Logarithmes Mr Zribi
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- Jean-Michel Fortier
- il y a 5 ans
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1 LSElriadh Eercice : le plan est rapporté à un repère orthonormé on considère la fonction f définie sur [0,+ [ par : f()=log( + ) si >0 et f(0)=0 /a/ étudier la continuité et la dérivabilité de f en0 b/ calculer lim f() + /a/ pour >0, calculer f () et vérifier que f ()= 4 (+ )² b/ étudier les variations de f et calculer lim f '() c/ dresser le tableau de variations de f + 3/ tracer ζ f en indiquant les tangentes au point O et au point A d abscisse 4/a/ montrer que l équation f()=, >0 admet une unique solution α et que α ],[ b/ montrer que pour tout [,] ; f() [,] c/ montrer que pour tout [,] ; f () 5/ soit u la suite définie sur IN par : U 0 = et U n+ =f(u n ) a/ montrer que pour tout n IN : U n b/ montrer que U n+ α U n α c/ montrer que U n α n ; en déduire que U est convergente et calculer sa limite log Eercice :I/ A/ on considère la fonction f définie sur ]0,+ [ par f()= dans un repère orthonormé (unité 4cm) et ζ f sa courbe / étudier les variations de f et préciser sa limite en 0 et en + / déterminer l équation de la tangente T à ζ f au point A d abscisse 3/ tracer ζf et T wwwzribimathsjimdocom Page
2 LSElriadh 4/ a tout entier naturel n on associe l équation (E n ) : f()= n a/ montrer que (E ) et (E ) n ont pas de solutions b/ montrer que pour tout n 3 ; l équation (E n ) admet deu solution α n et β n avec α n β n B/ /a/ soit g la fonction définie par : g()= ² +log(+) ; étudier les variations de g b/ en déduire le signe de g ; montrer que pour tout 0 ; ² log(+) c/ montrer qu on a également pour tout 0 ; log(+) /a/ en utilisant les questions précédentes ; montrer que pour tout 0 ; log(+ ) + en déduire que pour tout n 4 ; f(+ ) n n b/ montrer que pour tout [0, log(+ ) ] ; + En déduire que pour tout n 4 ; f(+ ) n n c/ montrer que pour tout n 4 ; + n α n + et en déduire la limite de α n ) n n Eercice 3 : A/ soit f n la fonction définie sur ]0,+ [ par f m ()= ² mlog 4 ou m est un paramètre réel, on désigne par ζ m la courbe de f m dans un repère orthonormé (unité 5cm) / calculer lim f () + m puis suivant les valeurs de n lim f () 0 + m / dresser suivant les valeurs de m, les différents tableau de variations de f m 3/ a/ montrer que par un point M 0 ( 0,y 0 ) tel que 0 >0 et 0, passe une et une seule courbe ζ m b/ montrer qu il eiste un point unique A appartenant à toutes les courbes ζ m 4/ construire ζ 0, ζ 4, ζ wwwzribimathsjimdocom Page
3 LSElriadh B/ on prend m=4, pour toute >0 on pose F()= log /a/ vérifier que F est la primitive de f 4 qui s annule en b/ calculer F() + lim / a/ montrer que l équation f 4 ()=0 admet deu solutions dont l une 0 ]3,4[ b/ montrer que 0 = + 8log 0 3/ soit la fonction ϕ définie sur [3,+ [ par ϕ()= + 8log a/ montrer que pour tout 3 ; ϕ() 3 b/ montrer que pour tout 3 ; on a 0 ϕ () 9 4 4/ soit la suite U définie sur IN par U 0 =3 et U n+ =ϕ(u n ) a/ montrer que U n 3 ; pour tout n IN b/ montrer que U n Un 0 ; pour tout n IN c/ en déduire que U est convergente vers 0 Eercice 4: ) soit g la fonction définie sur [0,+ [ par g(t)=t log(+t) Etudier les variations de g ; en déduire que pour tout t 0 ; 0 log(+t) t ) soit f la fonction définie sur [0,+ [ par f()=(+)log(+) log si 0 et f(0)=0 a) montrer que f est continue en 0 b) f est elle dérivable en 0? 3)a) vérifier que pour tout >0 on a : f() log(+)= log(+ ) c) montrer que +f() log(+) f() ; >0 4/ a) vérifier que f ()= log( + ) ; >0 b) montrer que f réalise une bijection de IR + sur lui même wwwzribimathsjimdocom Page 3
4 LSElriadh f () 5/ a) montrer que lim = b) prouver que f est dérivable sur [0,+ [ c/ calculer f() puis (f ) (log4) 6/ a) dresser le tableau de variations de w : f() b) montrer que l équation w()=0 admet deu solutions 0 et a, vérifier que,75 < a < c) étudier la position relative de ζ f et de la droite : y= d) tracer, ζ f et ζ f Eercice 5: Partie A Soit la fonction f définie sur ] 0;+ [ par : f( ) = a+ ( b+ c)ln avec a, b et c des réels La courbe (C) de f est donnée ci dessous y,5 0, ,5,5,5 3-0,5 - -,5 - -,5-3 wwwzribimathsjimdocom Page 4
5 LSElriadh En utilisant ce graphique et en sachant que f () = 3ln, justifier que l on a a c b = Partie B On considère alors la fonction g définie sur ] 0;+ [ par : ( ) ( )ln a Déterminer la limite de g en 0 b Déterminer la limite de g en + a Déterminer la fonction dérivée de g g = + = = et b Etudier, pour dans ] 0;+ [, le signe de ln et celui de g'( ) et les variations de g En déduire le signe de 3 Dresser le tableau complet des variations de g 4 Soit la droite d équation y = a Résoudre dans l équation ( )ln = 0 et donner une interprétation graphique des solutions b Etudier la position de la courbe représentative de g par rapport à Eercice 6: Le plan P est muni d un repère orthonormé ( O ; i, j) (unité graphique 3 cm) On considère la fonction définie sur [0, + [ par : Montrer que f est continue en 0 ln( + ) f( ) = si > 0 f(0) = a Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0, + [ par 3 g ( ) = ln( + ) + 3 Calculer g(0) et en déduire que sur + : 3 ln( + ) + 3 b Par une étude analogue, montrer que si 0, alors ln( + ) wwwzribimathsjimdocom Page 5
6 LSElriadh c Établir que pour tout strictement positif on a ln( + ) + 3 En déduire que f est dérivable en zéro et que f '(0) = 3 a Soit h la fonction définie sur [0, + [ par h ( ) = ln( + ) + Étudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0, + [ b Montrer que sur [0, [ h ( ) +, f '( ) = c Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en + d On désigne par C la représentation graphique de f Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0 Montrer que C admet une asymptote Tracer la courbe C Eercice 7: Partie A Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] ; + [ par : f( ) = ln( + ) + Calculer f (), étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f Calculer f(0) Montrer que l'équation f() = 0 admet eactement deu solutions dont l'une, que l'on désigne par α, appartient à [ 0,7 ; 0,7] 3 Donner le signe de f(), pour appartenant à ] ; + [ Partie B Soit g la fonction définie sur l'ensemble D = ] ; 0[ ]0 ; + [ par : ln( + ) g ( ) = ² Étude de g au bornes de son ensemble de définition a Calculer les limites de g() quand tend vers 0 par valeurs inférieures et quand tend vers 0 par valeurs supérieures b Calculer lim g( ) et lim g( ) > + Sens de variation de g wwwzribimathsjimdocom Page 6
7 LSElriadh a Calculer g () et déduire, à l'aide de la partie A, son signe b Montrer que α 0,75 g( α ) = αα ( + ) En déduire une valeur approchée de g( α ) en prenant 3 Tableau et représentation graphique de g a Dresser le tableau de variation de la fonction g b Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique cm) Eercice 8: On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; + [ par : f( ) = ln + ² si 0 > et f (0) = 0 On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O ;, i j) graphique : 5 cm) (unité Partie A : On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par : g ( ) = ln + ² ² + Calculer la dérivée g ' de g Montrer que pour tout de ]0 ; + [, ( ² ) g'( ) = ( ² + )² Etudier le signe de g'() selon les valeurs de Déterminer la limite de g en + Déterminer la limite de g en 0 3 Dresser le tableau des variations de g 4 En déduire qu'il eiste un unique nombre réel α > 0 tel que g( α ) = 0 Vérifier que 0,5 < α < 0,6 Déduire des questions précédentes le signe de g() sur l'intervalle ]0 ; + [ On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction g Partie B : wwwzribimathsjimdocom Page 7
8 LSElriadh a Calculer la limite quand tend vers + de f( ) (on pourra poser X = ) ² b En déduire que f() tend vers 0 quand tend vers + Montrer que pour tout de ]0 ; + [, on a f ( ) = g( ) Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; + [ Etude de f en 0 a Montrer que ln + ² peut on en conclure? tend vers 0 quand tend vers 0 par valeurs suprieures Que b Etudier la dérivabilité de f en 0 c Préciser la tangente à la courbe de f au point O 3 Donner l équation de la tangente au point d abscisse 4 Donner l allure de (C) wwwzribimathsjimdocom Page 8
O, i, ) ln x. (ln x)2
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