Index. Polynésie française juin Exercice 1 4 points... 1 Exercice 2 5 points... 2 Exercice 3 5 points... 5 Exercice 4 6 points...

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1 Inde Eercice 4 points... Eercice 5 points... Eercice 3 5 points... 5 Eercice 4 6 points... 8 Eercice 4 points Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueu. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueu et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : D l évènement : «le lecteur MP3 est défectueu» ; R l évènement : «l unité de contrôle rejette le lecteur MP3».. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.,98 R,6 D, R,94 D,5 R,95. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueu et ne soit pas rejeté. On cherche P(D R ) = P(D) P D ( R ) =,6 (,98) =,6, =, b. On dit qu il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu il n est pas défectueu, ou qu il n est pas rejeté alors qu il est défectueu. Calculer la probabilité qu il y ait une erreur de contrôle. On cherche P(D R ) + P( D R) =, +,94,5 =,48 3. Montrer que la probabilité qu un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à,894. P( R ) = P( R D) + P( R D ) =,6, +,94,95 =, Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être R / D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

2 commercialisé. Un lecteur MP3 est : commercialisé avec le logo de l entreprise s il subit avec succès les quatre contrôles successifs, détruit s il est rejeté au moins deu fois, commercialisé sans le logo sinon. Le coût de fabrication d un lecteur MP3 s élève à 5. Son pri de vente est de pour un lecteur avec logo et 6 pour un lecteur sans logo. On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif ) réalisé par l entreprise. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G. G prend les valeurs: 5 (détruit) quand il est rejeté deu fois ou trois fois ou quatre fois, (vendu sans logo) quand il est rejeté une fois, 7 (vendu avec logo) quand il n'est rejeté à aucun contrôle Les contrôles étant indépendants et successifs, la probabilité d'un succès au contrôle étant,894, la probabilité de passer un contrôle avec succès suit la loi binomiale b(4;,894) P(G = 7) = 4 4,8944,849 =,894 4, P(G = ) = 4 3,8943,849 = 4,894 3,58,35... P(G = 5) = P(G = 7) P(G = ), ou encore P(G = 5) = 4,894, ,894, ,894,849 4 = 6,894²,58² + 4,894,58 3 +,58 4 b. Calculer à près l espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat. E(G) = 7, ,894 3,58 5 ( (, ,894 3,58)) 44,88 à près par ecès.(calculs à vérifier) En moyenne, l'entreprise réalise un bénéfice d'environ 45 par vente de MP3. Eercice 5 points Partie A : Restitution organisée de connaissances Le plan complee est muni d un repère orthonormal direct. / D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

3 On supposera connus les résultats suivants : Pour tous points A, B et C du plan d affies respectives a, b et c, avec A C et A B : b a c a = AB AC et arg b a c a = AC, AB + k où k est un entier relatif. Soit z un nombre complee et soit θ un nombre réel : z = e i si et seulement si z = et arg(z)= θ + k π où k est un entier relatif. Démontrer que la rotation r d angle α et de centre Ω d affie ω est la transformation du plan qui à tout point M d affie z associe le point M d affie z telle que : z ω = e i (z ω). Soit M un point distinct de. Son image M' par r est définie par { M, M ' = [ ] M = M ' On a donc: M ' M = D'après les prérequis, le nombre complee z' z pour z, z' z = ei, soit, z ω = e i (z ω). La relation reste vraie lorsque M =, puisqu'on a: si z = alors z' =. Partie B est le nombre complee de module et d'argument, d'où, Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct O; u, v, unité graphique cm. Soit f l application qui, à tout point M d affie z associe le point M d affie z telle que : z = iz i.. a. Déterminer l affie ω du point Ω tel que f (Ω) =Ω On résout: z = iz i z = iz i si et seulement si z( i) = 4( + i) si et seulement si z = 4 i i L'équation a pour unique solution le nombre = 4i = 4 i = 4i b. Montrer que, pour tout nombre complee z on a : z 4i = i(z 4i). z 4i = iz + 4 = i(z 4i), car, 4i² = 4. c. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f. Comme i est le nombre complee e module et d'argument, on reconnaît l'écriture complee de la rotation de centre d'affie 4i et d'angle 3/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

4 . On note A et B les points d affies respectives a = 4 i et b = 4 + 6i. a. Placer les points A, B et Ω sur une figure que l on complètera au fur et à mesure des questions. Voir figure ci-dessous b. Déterminer les affies des points A et B images respectives des points A et B par f. a' l'affie de A' est a' = i(4 i) i = 6 + 8i b' l'affie de B' est b' = i( 4 + 6i) i = 3. On appelle m, n, p et q les affies des points M N, P et Q, milieu respectifs des segments [AA ], [A B], [BB ] et [B A]. a. Déterminer m. On admettra que n = + 7i, p = 3 + 3i et q = i. m = a a ' = 4 i 6 8 i = 5 + 3i b. Démontrer que MNPQ est un parallélogramme. L'affie de MN est z MN = + 7i (5 + 3i) = 4 + 4i L'affie de QP est z QP = 3 + 3i ( i) = 4 + 4i Comme MN = QP, le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. c. Déterminer la forme algébrique du nombre complee q m n m. q m n m = i 5 3i 7i 5 3i = 4 4i 4 4i On a donc: q m = i(n m). = 4i i 4 i = i Le point Q est l'image du point N dans la rotation de centre M est d'angle, d'où, MN = MQ et (MN) (MQ). En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. Le parallélogramme MNPQ ayant deu côtés consécutifs de même longueur est un losange. Le parallélogramme MNPQ ayant deu côtés consécutifs perpendiculaires est un rectangle. Le parallélogramme MNPQ est un carré. 4. Démontrer que les droites (B A) et (ΩN) sont perpendiculaires. Par eemple avec le produit scalaire: 4 B ' A = 6 et N 7 4 = 3, comme 6 + ( ) 3 =, les vecteurs B ' A et N sont orthogonau. 4/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

5 Eercice 3 5 points L espace est muni d un repère orthonormal O; i, j, k. On considère les points : A( ; ; 3), B( ; 3 ; ), C(6 ; 7 ; ), D( ; ; 3) et E(4 ; 6 ; ).. a. Montrer que le barycentre du système {(A, ), (B, ), (C, )} est le point E. Le barycentre G du système {(A, ), (B, ), (C, )} est défini par: ( + ) OG = OA OB + OC, d'où, 5/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

6 { Polynésie française juin 9 Les coordonnées de G sont: 6 G= 3 7 y G = 3 z G =, soit: { G =4 y G = 6. On retrouve les coordonnées du point E. z G = b. En déduire l ensemble Γ des points M de l espace tels que MA MB MC =. D'après la relation fondamentale du barycentre, pour tout point M de l'espace: MA MB + MC = ( + ) ME = ME. L'égalité MA MB MC = équivaut à ME = équivaut à ME = L ensemble Γ des points M de l espace tels que MA MB MC =.est la sphère de centre E et de rayon. a. Montrer que les points A, B et D définissent un plan. AB 4 et AD n'étant pas colinéaires (par eemple, la troisième coordonnée k = si et seulement si k = ), les points A, B, D ne sont pas alignés et définissent donc un plan. b. Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD). EC 3. EC AB = + 4 ( ) + ( ) ( 3) = et EC AD = + ( ) + ( 3) = Les produits scalaires étant nuls, le vecteur EC est orthogonal à deu vecteurs non colinéaires du plan (ABD), donc, la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD). c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD). Pour tout point M(; y; z) du plan (ABD), on a: AM EC =, d'où, ( ) + ( )(y ( ) + ( 3)(z 3) = y 3z + 6 = est une équation cartésienne du plan (ABD). 3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). Pour tout point M(; y; z) de la droite (EC), on a: EC et EM colinéaires. { 4=t Il eiste donc un réel t tel que EM = t EC, soit: y 6 = t. z = 3t 6/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

7 { =4 t y= 6 t, t R est une représentation paramétrique de la droite (EC). z= 3 t b. Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD). { =4 t y= 6 t Les coordonnées de F sont solutions de qui équivaut à z= 3t y 3z 6= { =4 t {4 t= 4 {t= y= 6 t =4 t = qui équivaut à qui équivaut à z= 3t y= 6 t y= 5 4 t 6 t 3 3t 6= z= 3 t z=5 Le point F a pour coordonnées (; 5; 5) 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Montrer que le plan (ABD) et l ensemble Γ, déterminé à la question., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection. La distance de E à (ABD) est d = = 4 4 = 4 Comme 4 < (rayon de la sphère de centre E), le plan (ABD) et sont sécants. Leur intersection est un cercle. Le centre du cercle est un point de (ABD) tel que la droite des centres est orthogonale à ce plan. C'est donc le point F. D'après le théorème de Pythagore, le rayon r de ce cercle est tel que R² = EF² + r² où R est le rayon de la sphère. r² = 4 = 7, d'où, r = 7 7/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

8 Eercice 4 6 points Le plan est muni d un repère orthogonal O; i, j. Partie A La courbe (C ), donnée en annee,, est la courbe représentative d une fonction f dérivable sur [ ; + [, de fonction dérivée f continue sur [ ; + [. La courbe (C ) passe par les points O et A (;. Montrer que f ' d = e e ) et, sur [ ; ], elle est au dessus du segment [OA]. D'après les données, la fonction dérivée f ' est continue, donc, l'intégrale eiste, et, une primitive de f ' est f. La courbe de f passe par O, d'où, f() = La courbe de f passe par A, d'où, f() = f ' d = [ f ] = f() f() = e e = e 8/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

9 . Montrer que f d 4e D'après les données, la courbe de f est au-dessus de (OA) sur [; ]. Donc, f est positive et f d est l'aire en unité d'aire de la partie du plan comprise entre l'ae des abscisses, les droites d'équation = et = et la courbe (C). Cette aire est supérieure à celle du triangle délimitée par le segment [OA], l'ae des abscisses et la droite d'équation =. L'aire du triangle vaut: a = On a bien: Partie B f d f 4e = 4e On sait désormais que la fonction f considérée dans la partie A est définie sur [ ; + [ par : f () = e.. Déterminer la limite de f en +. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. f () = e = e e Or, on sait (croissance comparée): lim Comme lim =, il vient: lim = +, d'où, lim =. e f = La droite d'équation y = (ae des abscisses) est asymptote à (C).. On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par : g () = Établir que l équation g () = admet une solution unique α dans l intervalle [ ; + [. g est un polynôme dérivable sur [; + [, pour tout, g' () = 3² + + qui est strictement positif sur [; + [. g() = et lim g = lim 3 = +. g est une fonction strictement croissante qui réalise une bijection de [; + [ sur [ ; + [. Comme [ ; + [, il eiste une et une seule solution [; + [ à l'équation g () =. 3. a. Montrer que pour tout de [ ; + [, f () et g () sont de signes contraires. f est le quotient de deu fonctions dérivables u et v sur [; + [. u est le produit de par e, d'où, u' () = e + ( ) e = e ( ) 9/ D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

10 f ' () = e e = e [ ] = Or, ( + )(² + ) + ² = ² ² = 3 + ² + = g (). Donc, f ' () = e g Comme e > et ² + >, f ' () et g () sont de signes contraires. b. En déduire les variations de f sur [ ; + [. On a montré au ): g( ) =, g étant strictement croissante sur [; + [, on a: Si alors g () g( ), soit: g (). f ' () est donc positif sur [; ] et f est strictement croissante sur [; ] On montre de même : g () sur [ ; + [, puis, f ' () sur cet intervalle et par conséquent, f est décroissante sur [ ; + [. + f '() + f() f( ) n 4. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : u n = n a. Montrer que pour tout de [ ; + [, Pour, il est évident que Pour étudier l'inégalité =.., on peut étudier le signe de la différence: = = b. Montrer que pour tout entier naturel n, u n ( e n e n ). Puisque e e >, on déduit du 4a): e, soit, f () e. Comme n n et comme l'intégrale conserve l'ordre, on a: n n n e f d n d f d. qui est de façon évidente une epression négative. / D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

11 Une primitive de e est e, d'où, u n [ e ] n n, soit, pour tout entier naturel n, u n ( e n e n ). c. En déduire la limite de un quand n tend vers +. Comme lim e n n vers. = et lim e n n =, le théorème des gendarmes permet de conclure que la (u n ) converge / D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9

12 / D:\docs_lycee_8_9\TS\annales\polynesie_juin_9.odt 8/6/9