Notes de cours de mathématiques en Seconde générale O. Lader

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1 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Notes de cours de mathématiques en Seconde générale O. Lader Table des matières Développer factoriser pour résoudre (S). Calcul algébrique Ensembles de nombres Généralités sur les fonctions (S) 7. Modéliser par une fonction Définitions et exemples Représentation graphique Vecteurs, translations. Configurations planes, repérage. (5S) 0. Géométrie dans le plan Vecteurs Opérations sur les vecteurs Repère du plan Euclidien Coordonnées d un vecteur dans un repère Opérations et coordonnées Deux applications à la géométrie : Statistique descriptive (S) 7 4. Algorithmique : Géométrie dans l espace (S) 0 5. Les solides usuels Droites et plans Positions relatives de deux droites Positions relatives de deux plans Positions relatives d une droite et d un plan Variations de fonction. Fonction affine. (S) 4 6. Intervalles Fonction croissante, fonction décroissante Fonction affine Probabilité sur un ensemble fini et simulation (S) 8 Fonctions de références (4S) 6 9 Fonctions affines et équations de droites (S) 4 9. Équation de droite et fonction affine Échantillonnage et intervalle de fluctuation (S) 44 Inéquations. Étude de variations (S) 45. Résolution graphique d une inéquation Résolution algébrique Étude du signe Trigonométrie (S) 46

2 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Remarques. ) h de cours + h de TD ) Il faut une petite maitrise des tableurs... Introduction Le programme est divisé en trois parties : Les fonctions : définition dans le cadre générale, représentation graphique, fonctions de référence, fonction croissante/décroissante, étude des variations. La géométrie : Repère. Introduction de la notion de vecteur dans le plan, opération sur les vecteurs. Géométrie dans l espace, volumes, patrons, droites et plans dans l espace (positions relatives). Statistique et Probabilité : Résumé d un tableau à une entrée : médiane, quartile, moyenne, écart interquartile, étendue. Probabilité sur un univers fini.

3 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Développer factoriser pour résoudre (S) Développer, factoriser Les ensembles : N Z D Q R. Intervalles Intersection, réunion. Calcul algébrique Math x : chapitre. Développer, factoriser pour résoudre, p.8 Définition.. Développer : c est transformer un produit de facteurs en une somme de termes. Factoriser : c est transformer une somme de termes ayant un facteur comment en un produit de facteurs. Formellement, le fait de développer peut être représenté de la manière suivante : a (b + c) = a b + a c ( ) le fait de factoriser peut être représenté de la manière suivante : a b + a c = a (b + c) On remarque que pour développer, on lit l identité ( ) de la gauche vers la droite et pour factoriser, on lit l identité ( ) dans l autre sens de la droite vers la gauche. En quelque sorte, les actions de développer et de factoriser sont réciproque l une de l autre. Exemples. ) x( + x + x ) = x + x + x. ) x + 8x = 4x(x + ). ) (a + b)(a b) = (a + b)a (a + b)b = a + ab ab b = a b. Propriété.. Soient a, b, c et d trois nombres, on a (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples. ) (x + 4)(x + y) = x + xy + 4x + 4y, ) (x )(x 4) = x x x 8, ) x 5x + 6 = (x )(x ). Propriétés. (identités remarquables). Soient a et b deux nombres, (a + b) = a + ab + b, (a b) = a ab + b, (a + b)(a b) = a b. Exemples. ) (x + ) = x + 6x + 9, ) (x ) = x x +, ) x + 4x + 4 = (x + ),

4 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 4) 5) (a + b + c) = (a + b) + (a + b)c + c = a + ab + b + ac + bc + c = a + b + c + (ab + ac + bc) (a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)(a + ab + b ) = (a + a b + ab + a b + ab + b = a + a b + ab + b Comme application, on déduit que (x + ) = x + x + x +. Définition.4. Réduire au même dénominateur, c est transformer une somme (ou une différence) de deux fractions en une seule fraction. Propriété.5. Pour tous nombres a, b, c et d avec b 0 et d 0, on a : a b + c ad + bc = d bd Exemples. ) = = 8 4 = 9. Avec, un peu d astuce, on aurait pu remarquer que le plus petit commun multiple (ppcm) des dénominateurs 6 et 4 est, ainsi : = 5 + = 9. ) Soit x un nombre quelconque, 7 x + x 7(x + ) + x(x ) = = x + 6x + 7 x + (x )(x + ) x Un peu de logique : Pendant le repas, un mathématicien dit à son fils : - Si tu ne manges pas tes légumes, tu n auras pas de crème glacée. Le fils mange donc ses légumes, et son père ne lui donne pas de crème glacée. Est-ce que le père a tenu sa parole? (réponse : oui).. Ensembles de nombres Définition.6. ) L ensemble des nombres entiers naturels est noté N : ) L ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z : N = {0,,,, 4, 5,...} Z = {...,,,, 0,,,, 4, 5,...} ) L ensemble des nombres entiers décimaux est noté D. C est l ensemble des nombres qui peuvent s écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple, 0. est un nombre décimal mais n en est pas un. 4) L ensemble des nombres rationnels est noté Q. C est l ensemble des nombres qui peuvent s écrire sous la forme a b avec a un entier relatif et b un entier relatif non nul. 5) L ensemble des nombres réels est noté R. Cet ensemble complète d une certaine manière l ensemble des rationnels Q, on y a ajouté les racines carrés et encore beaucoup d autres nombres. 4

5 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/ Z N D 6 7 Q 7 50 e R Figure Les ensembles de nombres Définition.7. Pour décrire un ensemble fini, on utilise des accolades de la manière suivante {x,..., x n }. Avec cette notation, on désigne un ensemble à n éléments dont les éléments sont notés x i pour i allant de à n. Exemples. L ensemble des 5 premiers entiers naturels : {0,,,, 4}. L ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à 0 : {,, 5,,, 7, 9,, 9}. Définition.8. Les intervalles de R : [a; b] = {x R; a x b} : l ensemble des nombres réels x compris entre a et b.... Définition.9. L intersection de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B, noté A B. Exemple. L intersection des intervalles [0, [ et ], ] est ], [. Définition.0. La réunion de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (au sens large), noté A B. Remarques. En mathématique, contrairement au langage usuel, la conjonction de coordination "ou" est utilisé au sens large ("ou inclusif"). C est-à-dire, un élément qui est dans A B peut être dans A, dans B ou être dans les deux à la fois. Par exemple 0 appartient à [ ; 0] {0}, tout comme

6 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Cette différence de sens commun donne lieu à la blague suivante : Une mathématicienne a eu un bébé. On lui demande si c est un garçon ou une fille. Que répond-elle? Oui. Notation. L ensemble vide se note. 6

7 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Généralités sur les fonctions (S) Définition, identifier la variable et éventuellement l ensemble de définition. Image, antécédent Courbe représentative Remarque. "Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur N, voire de fonctions de deux variables (aire en fonction des dimensions) sont à donner". Algorithme. "Même si les logiciels traceurs de courbes permettent d obtenir rapidement la représentation graphique d une fonction définie par une formule algébrique, il est intéressant, notamment pour les fonctions définies par morceaux, de faire écrire un algorithme de tracé de courbe." Au collège, on a étudié les droites affines qui sont définies par l équation y = a x + b où a et b sont deux nombres réels et on a vu que dans un repère cartésien, la droite est l ensemble des points M de coordonnées (x, y) où y = a x + b. Le problème avec cette écriture et que lorsque l on parle de y, on ne voit pas qu il dépend de x. D où, l introduction de la notation f(x) qui se lit "f de x".. Modéliser par une fonction. Définitions et exemples Deux quantités peuvent varier tout en étant liées. Ce lien peut s exprimer par un tableau de données (le prix d un objet en fonction de la date), une formule (équation d une droite), ou un graphique (un nuage de points qu on prolonge en courbe). Dans certains cas, on peut modéliser ce lien par une fonction. Exercices 0 page 4 Définition.. Soit D une partie de l ensemble des nombres réels R. Une fonction f : D R est une application qui à un nombre réel quelconque x dans D associe un nombre réel, qui est appelé image de x par f est qui est notée f(x). Exemple. ) Soit D la droite d équation y = x + alors la fonction affine associée D est la fonction f définie par f(x) = x + ainsi, la droite D peut être vue comme l ensemble des points de coordonnée (x, x + ). ) Posons g(x) = x alors g est la fonction qui à tout nombre associe son carré, d où : x 0 / 4 f(x) ( ) = 0 = 0 = (/) = 9/4 4 = 6 Nb : On remarquera que pour calculer l image d un nombre par une fonction, on remplace toute les occurences de x dans la définition de la fontion par le nombre, puis on "calcul" cette expression. ) Posons h(x) = x alors h est la fonction qui à tout nombre associe son cube, d où : x 0 / 4 f(x) 0 7/8 64 Exercice (ex page 44). Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x(x + ). ) Recopier et compléter h : x.... ) Calculer h(0), h() et h( ). 7

8 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Exercice (ex 4 page 44). Calculer dans chaque cas f(), f( ) et f(). ) f(x) = x x + 6, ) f(x) = (x ) +, ) f(x) = x+5, 4) f(x) = x + 5. Définition.. Une fonction affine f est une fonction définie par : où a et b sont deux nombres réels. f(x) = a x + b Exercice. Soit f une fonction définie par f(x) = x + x, completer le tableau suivant : x 5/4 5 f(x) Définition.. Soit f une fonction et un nombre x appartenant à l ensemble de définition de f. L image de x par la fonction f est le nombre f(x). Le nombre x est un antécédent du nombre f(x). Exemple. Considérons la fonction f : R R définie par f(x) = x +. Le nombre 8 est l image de 5 par f car f(5) = 5 + = 8. De plus, 5 est un antécédent de 8 par f. f : D R 5 x un antécédent de b 8 f(x) image de x b - 4 Exercice 4. exercices 7 et 9 page 44.. Représentation graphique Exemple. On se place dans le plan muni d un reprère orthonormé (O, I, J). Définition.4. Soit f : D R une fonction, le lieu géométrique des points M(x; f(x) où x est dans l ensemble D est appelé courbe représentative de f, notée C f. 8

9 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 C f f(x) M(x; f(x)) J O I x 9

10 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Vecteurs, translations. Configurations planes, repérage. (5S) Rappels sur les triangles, les cercles et les quadrilatères. Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale. Repères et coordonnées (abscisse, ordonnée) Distance entre deux points du plan. Milieu d un segment. Définition de la translation qui transforme un point A en un point B du plan. Égalité de deux vecteurs et parallélogramme. Coordonnées d un vecteur, somme, produit par un scalaire. Relation de Chasles. Caractérisation de l alignement et du parallélisme par la colinéarité de vecteurs.. Géométrie dans le plan Pour revoir des résultats de géométrie du plan, lire les pages 4 à 45 de math x. Théorème. (théorème de Pythagore). Soit ABC un triangle. C B A Le triangle est rectangle en A si et seulement si BC = AB + AC. Théorème. (théorème de Thalès). Considérons une des configurations suivante : A M N M N A B C B C La droite (BC) est parallèle à la droite (MN) si et seulement si AM AB AM AB = AN AC = MN BC = AN AC. De plus dans ce cas, on a Définition.. Soit ABC un triangle rectangle en A et ˆβ l angle en B. 0

11 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 C B ˆβ A ) cos( ˆβ) = ) sin( ˆβ) = ) tan( ˆβ) = côté adjacent hypothénuse = BA BC ; côté opposé hypothénuse = AC BC ; côté opposé côté adjacent = AC AB ; D autres rappels Propriété.4. Angle alterne interne et angle formé par deux droites parallèle avec une même troisième droite. Définition.5. Le point d intersection des médianes est appelé centre de gravité. Propriété.6. Une médiane coupe un triangle en deux parties qui ont la même aire. Propriété.7. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leurs milieux.. Vecteurs Définition.8. Soient A et A deux points du plan. On appelle translation de A vers A l unique transformation τ du plan qui envoie tout point M sur un point, noté M, tel que AMM A soit un parallélogramme (éventuellement aplati).

12 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 M M u A A Les couples (A, A ) et (M, M ) définissent un vecteur : u = AA = MM et on dit que τ est la translation de vecteur u. Le vecteur AA représente le déplacement de A vers A. D autre part, quelque soit les points A et B du plan, il existe une translation de A vers B au quel on associe le vecteur AB. Propriété-Définition.9. Soient A, B, C et D quatre point du plan. Dire que AB = CD signifie que D est l image de C par la translation qui envoie A sur B. Par conséquent, AB = CD si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Schématiquement, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens, même longueur. Propriété.0. On a AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont même milieu. Propriété.. Le I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = IB. Définition.. Un vecteur AB est nul lorsque A et B sont confondus. Définition.. Le vecteur BA est le vecteur opposé de AB. Deux vecteurs sont opposés lorsqu ils ont même direction et même longueur et qu ils sont de sens contraire.. Opérations sur les vecteurs Propriété.4. L enchaînement de deux translations est une translation. Définition.5. Soient u et v deux vecteurs. On appelle somme des vecteurs u et v, notée u + v, le vecteur w associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v.

13 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 u v u + v Propriété.6 (Relation de Chasles). Pour tous points A, B et C, on a AC = AB + BC Moralement, se déplacer de A à B en passant par C ou directement, le résultat est le même..4 Repère du plan Euclidien Définition.7. Se donner un repère du plan revient à se donner trois points non alignés O, I, J, on note le repère de la manière suivante : (O, I, J). Un repère (O, I, J) est dit orthonormé si la droite (OI) est perpendiculaire à la droite (OJ) et OI = OJ =. Propriété.8. Soient (O, I, J) un repère orthonormé du plan et M un point. Le point M est uniquement déterminé (repéré) par un couple (x, y) de nombre réels, son couple de coordonnées. La coordonnée x est appelée l abscisse du point M et la coordonnée y est appelée l ordonnée du point M. La figure suivante donne la caractérisation des coordonnées (x, y) : y M(x; y) J O I x Plus généralement, on peut définir la notion de coordonnées dans un repère arbitraire du plan : Propriété.9. Soit (O, I, J) un repère quelconque du plan et M un point du plan. On construit le parallélogramme OP MQ où le point P appartient à l axe des abscisses (O, I) de coordonnée x sur cet axe et le point Q appartient à l axe des ordonnées (O, J) de coordonnée y sur cet axe. Le couple (x, y) est uniquement déterminer par les conditions précédentes et on les appelle les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). De plus, x est appelé l abscisse du point M et y l ordonnée du point M.

14 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 y Q M(x; y) J O I P x Exemple. Considérons la configuration suivante : B M J O I A Supposons que OB =, OA = 4 et que OAMB est un rectangle. Alors, les coordonnées des points O,A,B et M sont : O(0; 0), A(4; 0), B(0; ), M(4; ). Propriété.0. Soient A(x A, y B ) et B(x B, y B ) deux points dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan. La distance AB est égale à : AB = (x A x B ) + (y A y B ) La distance entre deux points s obtient en prenant la racine carrée de la somme des différences des coordonnées des points au carré. Propriété.. Soient A(x A, y B ) et B(x B, y B ) deux points dans un repère (O, I, J) du plan. Le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées ( x A+x B ; y A+y B ). En d autres termes, les coordonnées du milieu du segment [AB] sont obtenues en prenant la moyenne des coordonnées..5 Coordonnées d un vecteur dans un repère Définition.. Soit (O, I, J) un repère. Les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que OM = u. 4

15 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 M u J O I Propriété.. Dans un repère, si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points. Le vecteur AB a pour coordonnées (x B x A, y B y A ). Propriété.4. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan..6 Opérations et coordonnées Propriété.5. Dans un repère, soient u (x, y) et v (x, y ) deux vecteurs. Les coordonnées de la somme u + v sont (x + x, y + y ). Le vecteur opposé, noté u, est de coordonnées ( x, y). Les coordonnées de la différence u v = u + ( v ) sont (x x, y y ). Définition.6. Dans un repère du plan, soit u (x, y) un vecteur. Soit λ un nombre réel, on note λ u le vecteur de coordonnées (λx, λy). Soit u un vecteur. On note que u = u + u. Approfondissons Propriété.7. Soient u, u deux vecteurs du plan et λ, λ deux nombres réels. On a (λ + λ ) u = λ u + λ u, λ(λ u ) = (λλ ) u, λ( u + u ) = λ u + λ u. Définition.8. Soient A, B deux points distincts du plan. Le point C appartient à la droite (AB) si et seulement si AC = λ AB pour un certain nombre réel λ. Définition.9. Soient u et v deux vecteurs. On dit que les vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un nombre réel λ tel que u = λ v ou s il existe un nombre réel µ tel que v = µ u. 5

16 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Propriété.0. Dans un repère, les vecteurs u x et v y sont proportionnelles si et seulement si xy x y = 0. x y sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées.7 Deux applications à la géométrie : Propriété.. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Propriété.. Trois points A, B, C distincts sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. 6

17 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 4 Statistique descriptive (S) Définition 4.. Dans une population (ou un échantillon), on considère un caractère X qui prend différents états, aux quels on associe des nombres x,..., x k. L effectif d une valeur x i est le nombre de fois qu il a cette valeur dans notre population, on le note n i. L effectif total est le nombre d individus de la population (ou d élément de l échantillon), il est noté N. La fréquence d une valeur x i est le quotient de l effectif n i par l effectif total N, il est noté f i. Formellement, on a f i = n i N En déplaçant l entier N de l autre côté de l équation, on note que n i = f i N. On représente ainsi la série statistique : X x... x k Total Effectifs n... n k N = Effectif total Fréquences f... f k La collection de données (x i, n i ) est appelée une série statistique (à une variable). Définition 4.. Soit (x i, n i ) une série statistique. On définit les effectifs cumulés (et les fréquences cumulées) de la manière suivante : X x x x... x k Total Effectifs n n n... n k N = Effectif total Effectifs cumulés n n + n n + n + n... n + n n k = N Fréquences f f f... f k Fréquences cumulés f f + f f + f + f... f + f f k = Définition 4.. Soit (x i, n i ) une série statistique. La médiane m est un nombre qui permet de couper l ensemble des valeurs en deux parties égales : mettant d un côté une moitié de l effectif où les valeurs prisent sont inférieures ou égales à m et de l autre côté l autre moitié de l effectif où les valeurs prisent sont supérieures ou égales à m. On note Q le premier quartile, la plus petite valeur de la série telle qu au moins 5% des valeurs lui soient inférieures ou égales. On note Q le troisième quartile, la plus petite valeur de la série telle qu au moins 75% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le différence entre le troisième quartile et le premier quartile Q Q est appelée écart interquartile. C est un critère de dispersion de la série. La différence entre le maximum et le minimum Max - Min est appelée l étendue de la série statistique. 7

18 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 5% des valeurs 5% des valeurs Min Q m 5% des valeurs Q 5% des valeurs Max x écart interquartile étendue Définition 4.4. On note x la moyenne de la série statistique : x = (nx nmxm) N = f x f m x m 8

19 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 4. Algorithmique : On considère l algorithme suivant : : Variables : M, S et N sont des nombres : Initialisation : : S prend la valeur 0. 4: Traitement : 5: Demander Combien de valeurs voulez-vous taper?" 6: Ranger la valeur dans N. 7: Pour I allant de à N faire 8: Saisir x 9: Ajouter x à S 0: Fin Pour : Calculer M = S N. : Afficher M. ) Faire tourner l algorithme ci-dessus en entrant des valeurs de votre choix. ) Tester le programme suivant qui correspondant à l algorithme précédent : Casio : "Nombres de valeurs":? N 0 S For I to N "X":? X S + X S Next S N M M Texas Instrument : Disp "Nombres de valeurs" Prompt N 0 S For(I,,N) Prompt X S + X S End S N M Disp M ) Que permet-il de calculer? 9

20 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 5 Géométrie dans l espace (S) Espace Première approche de la notion de fonction 5. Les solides usuels Définition 5.. Un solide est un objet en trois dimension. Par exemple un cube, un pavé, une pyramide, un cylinde... Une représentation en perspective cavalière du cube : face arrière arête visible arête non visible deux droites parallèles dans la réalité sont représentées par des parallèles en perspective cavalière angle de fuite face frontale Remarques. Un patron permet de fabriquer le solide par pliage. La perspective cavalière permet de représenter le solide sur une feuille papier en donnant l impression de la D. Propriété 5. (Perspective cavalière). Une perspective cavalière est une convention mathématique de représentation des solides dans un plan vérifiant les propriétés suivantes : ) Si deux droites sont parallèles dans la réalité, alors elles le sont aussi dans la représentation en perspective cavalière. ) Si des points sont alignés dans la réalité, alors ils le sont aussi en perspective cavalière. ) La perspective cavalière conserve les proportions. Quelques exemples : 0

21 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Parallélépipède rectangle V = largeur hauteur profondeur Le patron est composé de rectangles. L aire d un rectangle est : A = Longueur largeur longueur hauteur largeur Pyramides Le patron est composé d un polygone et de triangles. V = (Aire de la base hauteur) L aire d un triangle est : A = (base hauteur) hauteur Cylindre de révolution Le patron est composé d un rectangle et de deux V = Aire de la base hauteur disques. L aire d un disque est : A = rayon rayon hauteur rayon circonférence de la base hauteur Cône de révolution V = Aire de la base hauteur Le patron est composé d un disque et d une portion de disque avec α = rayon génératrice 60 génératrice rayon hauteur rayon α génératrice Sphère et boule V = 4 rayon A = 4 rayon rayon La sphère n a pas de patron.

22 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 5. Droites et plans Propriété 5.. Soit A, B, C trois points de l espace distincts et non alignés. Pour déterminer un plan, il suffit de donner points non alignés ou droites sécantes ou droites parallèles (non confondues). Le plan noté (ABC) est constitué par les points des droites passant par A et parallèles ou sécantes à la droite (BC). A + C + + B Remarques. La donnée de points non alignés ou de droites sécantes ou droites parallèles (non confondues) suffit à déterminer un plan Dans chaque plan de l espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane. Exemple. Soit ABCDEF GH un parallélépipède rectangle tel que : AB = 7 cm AD = 6 cm ) Nommer le plan colorié. ) Calculer la longueur BD. 5. Positions relatives de deux droites D J A H K E I L B C G F Définition 5.4. Deux droites incluses dans un même plan sont dites coplanaires. Propriété 5.5. Deux droites de l espace sont soit coplanaires soit non coplanaires : (d) et (d ) sont coplanaires et (d) et (d ) sont sécantes en M ou strictement parallèles ou confondues non coplanaires H M G H G H G H G D D D D C C C C E F E F E F E F A B A B A B A B 5.4 Positions relatives de deux plans Propriété 5.6. (P) et (P ) sont strictement parallèles (P) et (P ) sont confondus (P) et (P ) sont sécants en (d) (P ) (P) (P ) (P) (d) (P ) (P) Propriété 5.7. Un plan coupe deux plans parallèles suivant deux droites parallèles.

23 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l autre. Remarques. Deux plans confondus sont considérés comme parallèles. Un plan coupe deux plans parallèles en deux droites parallèles. Deux plans sont parallèles si et seulement s il existe deux droites sécantes de l un qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l autre. 5.5 Positions relatives d une droite et d un plan Propriété 5.8. (d) est strictement parallèle à (ABF ) (d) est incluse dans (HDC) (d) est sécante à (ABC) D A H E C B G F D A H E C B G F D A H E C B G F Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan.

24 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 6 Variations de fonction. Fonction affine. (S) Fonction croissante, fonction décroissante, Sens de variation d une fonction, Tableau de variations et tableau de signes. Maximum et minimum 6. Intervalles Définition 6.. Soit a < b deux nombres. On pose l intervalle (fermé) [a; b] : l ensemble des nombres réels x tels que a x b (l ensemble des nombres compris entre a et b au sens large). l intervalle ]a; b] : l ensemble des nombres réels x tels que a < x b (par rapport à l intervalle précédent, on a exclu le nombre a). l intervalle [a; b[ : l ensemble des nombres réels x tels que a x < b. l intervalle (ouvert) ]a; b[ : l ensemble des nombres réels x tels que a < x < b. Définition 6.. Soit a un nombre réel, l intervalle des nombres supérieurs ou égals à a est noté [a; + [ ; l intervalle des nombres inférieurs ou égals à a est noté ] ; a]. De même, on définit ]a; + [ et ] ; a[. 6. Fonction croissante, fonction décroissante Définition 6.. Dire qu une fonction f : I R est strictement croissante sur l intervalle I, c est dire que quand la variable x augmente dans I, son image f(x) augmente aussi. En d autres termes : pour tout x < x, on a f(x ) < f(x ). fonction croissante f(x ) > f(x ) x < x Définition 6.4. Dire qu une fonction f : I R est strictement décroissante sur l intervalle I, c est dire que quand la variable x augmente dans I, son image f(x) diminue. En d autres termes : pour tout x < x, on a f(x ) > f(x ). 4

25 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 fonction décroissante f(x ) > f(x ) x < x Définition 6.5. Soit f : [a; b] R une fonction. ) Dire que f atteint sont maximum en a sur [a; b] signifie que pour tout x de [a; b], f(x) f(a). Le maximum de f sur [a; b] est f(a). ) Dire que f atteint sont minimum en a sur [a; b] signifie que pour tout x de [a; b], f(x) f(a). Le minimum de f sur [a; b] est f(a). Exemple. Soit f : [ ; 4] R la fonction représentée par la courbe suivante : y C f maximum =.5 minimum = x 0 4 Le maximum de f est.5 qui est atteint en et le minimum de f est qui est atteint en.5. Exemple. Voici une représentation graphique d une fonction f : [ 5, 5] R. 5

26 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 y 4 maximum =.5 C f x minimum = - Le tableau de variation de la fonction f : x 5 5 f(x) Le maximum de f sur l intervalle [ 5; 5] est.5 et il est atteint en. Le minimum de f sur l intervalle [ 5; 5] est - et il est atteint en -5. Plus généralement, considérons une fonction f : I R telle que sont graphe soit de la forme suivante : y C f x x x x 4 x 5 x Définition 6.6. Le tableau de variation de notre fonction f : [a; b] R est : 6

27 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 x I a x x x x 4 x 5 b f(x) f(a) f(x ) f(x ) f(x ) f(x 4) f(x 5) f(b) Définition 6.7. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I. On dit que : ) le point x est un maximum local si pour tout x proche de x, on a f(x) f(x 0 ). ) le point x est un minimum local si pour tout x proche de x, on a f(x) f(x 0 ). ) le point x 4 est un maximum (global) si pour tout x de l intervalle I, on a f(x) f(x 0 ). 4) le point x est un minimum (global) si pour tout x de l intervalle I, on a f(x) f(x 0 ). 6. Fonction affine Définition 6.8. Soit a et b deux nombres réels. Soit f : R R définie par f(x) = ax + b pour tout nombre réel x. On dit que f est une fonction affine et que le nombre a (devant x) est le coefficient directeur de la droite et le nombre b est l ordonnée à l origine. Soit (O, I, J) un repère du plan. Graphiquement, on a B D b A a La droite D passe par le point (0; b). Propriété 6.9. Soit x A et x B deux nombres distints. Alors, le coefficient directeur est égale au taux d accroissement : a = f(x B) f(x A ) x B x A = y x En particulier, entre deux points de la droite d, si x augmente de, y varie de a. En effet, f(x + ) = a(x + ) + b = ax + b + a = f(x) + a. D où la propriété suivante : Propriété 6.0. Soit f : R R la fonction affine définie par f(x) = ax + b. ) Si a > 0, alors f est strictement croissante sur R. 7

28 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 a > 0 ) Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur R. a < 0 ) Si a = 0, alors la fonction affine f est constante et son graphe est une droite horizontale. Tableau de signe d une fonction affine Commençons par détailler deux exemples : Exemples. ) Signe de f(x) = x +. Dans un premier temps, résolvons l équation f(x) = 0 : x + = 0 x = x = = Ainsi, f(x) = 0 admet une unique solution x =. Voici le graphe de la fonction affine f : y = x + Soit x, alors x x ( ) x + + f(x) 0 D où f(x) 0 si x ] ; ] et de même, f(x) 0 si x [; + [. En résumé, on a le tableau de signe suivant : x + x Dans cet exemple, on notera que le coefficient directeur de f(x) = x + est égal à qui est un nombre positif! 8

29 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 ) Signe de f(x) = x + 5. Dans un premier temps, résolvons l équation f(x) = 0 : x + 5 = 0 x = 5 x = 5 = 5 Ainsi, f(x) = 0 admet une unique solution x = 5. Voici le graphe de la fonction affine f : y = x Soit x 5, alors x 5 x 5 < 0 x f(x) 0 Remarque : Lorsqu on multiplie une équation par un nombre négatif, l inégalité change de sens! 5 On note donc que f(x) 0 si x ] ; ] et de même f(x) 0 si x [ 5 ; + ]. En résumé, on a le tableau de signe suivant : x x Dans ce second exemple, le coefficient directeur de f(x) = x + 5 est égal à qui est un nombre négatif! Plus généralement, Propriété 6.. Soit f : R R une fonction affine définie par f(x) = ax + b pour tout x dans R où a 0. ) L équation a x + b = 0 admet une unique solution x = b a. ) Distinguons deux cas : a) Si a < 0 alors, x b a + a x + b + 0 b) Si a > 0 alors, 9

30 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 x b a + a x + b + 0 0

31 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Exercice 5. Voici une représentation graphique d une fonction f définie sur [ 5, 5] : y 4 C f x ) Déterminez graphiquement les valeurs de f(), f( ), f() et f( ). ) Déterminez graphiquement l image de, l image de et l image de 5. ) Résoudre les équations suivantes : a) f(x) = b) f(x) =.5 c) f(x) > 0 d) f(x) < 4) Dresser le tableau de variation de la fonction f. 5) Suivant la valeur de x dans [ 5, 5], comparer f(x) et f( ). 6) Suivant la valeur de x dans [ 5, 5], comparer f(x) et f(). 7) Trouver x où f est maximal, c est-à-dire tel que quel que soit x dans l intervalle [ 5, 5], f(x) f(x ).

32 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Exercice. ABCD est un carré de côté 4. Le point M appartient au segment [AB]. On pose BM = x. A M B M D C ) À quel intervalle I appartient x? ) On définit la fonction f sur I par f(x) = MM. Déterminer géométriquement le sens de variation de la fonction f sur I. ) a) Quelle est la distance CM? b) Exprimer CM puis f(x) en fonction de x. 4) Faire un tableau de valeurs avec un pas de ) Quelles sont les valeurs de x telles que MM? Exercice (corrigé). ) Comme M appartient au segment [AB] de longeur 4, la distance BM doit être comprise entre 0 et 4, ainsi x appartient à l intervalle I = [0; 4]. ) On définit la fonction f sur I par f(x) = MM. On voit que lorsque x augmente, M s éloigne de B et de même MM augmente. D où, la fonction f est croissante (elle conserve les variations). ) a) Comme M appartient au cerle de centre C et de rayon CB = 4. La distance CM est constante égale à 4. b) Dans le triangle CBM rectangle en B, on a d après le théorème de Pythagore, la relation suivante : CM = CB + BM = 4 + x = 6 + x D où CM = 6 + x. De la question précédente, on déduit que f(x) = MM = CM CM = 6 + x 4. 4) Voici le tableau de valeurs, arrondis au centième, avec un pas de 0.5 : x = BM f(x) = MM ) D après le précédent tableau, on voit que f(x) lorsque x, c est-à-dire lorsque x [; 4]. Chose qu on peut vérifer graphiquement : y.5 C f y = x

33 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 7 Probabilité sur un ensemble fini et simulation (S) Probabilité sur un ensemble fini. Réunion, intersection. Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux. Définition 7.. Une expérience aléatoire est une expérience vérifiant les deux conditions suivantes : elle comporte plusieurs issues envisageables. on ne peut prévoir l issue lorsqu on réalise l expérience. On se restreindra aux expériences comportant un nombre fini d issues. L univers (noté Ω) de l expérience aléatoire est l ensemble des issues de cette expérience. Un événement est un ensemble d issues de l expérience aléatoire. Les événements élémentaires sont les événements réduits à une unique issue de l expérience. Exemple. Le jet d un dé, tirage d une carte dans un jeu de carte, tirage d une boule dans une urne. Définition 7.. On appelle événement contraire d un événement A, l événement noté Ā qui contient l ensemble des issues n appartenant pas A. Définition 7.. Soient A et B deux événements d une expérience aléatoire donnée. L intersection des deux événements A et B est l événement constitué des issues qui sont dans A et dans B, noté A B. La réunion des deux événements A et B est l événement constitué des issues de A ou de B (au sens large), noté A B. On dit que A est inclus dans B, noté A B si toutes les issues de A sont aussi des issues B. L événement A B se réalise lorsque les deux événements à la fois se réalisent. L événement A B se réalise lorsqu au moins un des deux événements se réalise.

34 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Définition 7.4. Dans une expérience aléatoire, deux événements E et E sont dit incompatibles s ils ne partagent pas d issue commune (i.e : leur intersection est vide). Définition 7.5. Une (théorie de) probabilité associée à une expérience aléatoire est une application qui à un événement E associe un nombre réel, noté P(E) telle que : ) 0 P(E), ) P(Ω) = (il se passe certainement quelque chose), ) Pour tous A et B deux événements incompatibles, P(A B) = P(A) + P(B). Étant donné un événement E, le nombre P(E) donne (mesure) les chances de réussite de E. Plus P(E) est proche de, plus l événement E se réalisera. La probabilité de l événement vide est nul (P( ) = 0). Moralement, lorsqu on réalise une expérience aléatoire, il se passe toujours quelque chose. Propriété 7.6 (loi des grands nombres). Lors d une expérience répétée n fois, les fréquences obtenues d un événement E de l expérience se rapprochent de la variable théorique P(E), la probabilité de l événement E. (illustration avec un tableur) Propriété 7.7. Dans une expérience aléatoire, supposons que l univers Ω se décompose en n issues : x,..., x n (formellement, Ω = {x,..., x n }. Posons p i = P(x i ) la probabilité que l issue x i se réalise. Alors, p p n = La somme des probabilités des issues possibles d une expérience aléatoire vaut toujours un. Ce fait, peut être utilisé comme un premier test de vraisemblance d une théorie de probabilité proposé pour étudier une expérience aléatoire! Définition 7.8. Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues élémentaires ont la même probabilité de se réaliser, on dit que l expérience est équiprobable. Exemple. Lancé d un dé équilibré, lancé d une pièce équilibrée. Soit A un événement d une expérience aléatoire, le nombre d issues que contient A est appelé le cardinal de A et il est noté card(a). Propriété 7.9. Lors d une expérience aléatoire ayant n issues équiprobables : La probabilité de chaque événement élémentaire est n. La probabilité d un événement A est P(A) = card(a) n = nombre d issues favorable à A nombre d issues possibles 4

35 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Propriété 7.0. La probabilité de l événement contraire d un événement A est : P(Ā) = P(A) Propriété 7.. Soient A et B deux événements. Si A B alors, P(A) P(B). Moralement, la propriété précédente nous dit que plus un événement contient d issues plus il est probable. Exemple. On considère l expérience aléatoire du jet d un dé. Soit A l événement "le résultat est un multiple de trois" et B l événement "le résultat est un nombre pair". On note que A = {, 6} et B = {, 4, 6}, ainsi l intersection de A et B est A B = {6}. la réunion de A et B est A B = {,, 4, 6}. Théorème 7.. Si A et B sont deux événements d une expérience aléatoire alors : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5

36 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 8 Fonctions de références (4S) Fonctions linéaires, affines, fonction carré, fonction inverse. La fonction carré Définition 8.. La fonction carré est définie sur R par f : x x soit f(x) = x. Voici le graphe de la fonction carré : 4 x x 0 Propriété 8.. Le graphe de la fonction carrée est une parabole dont l axe des ordonnées est un axe de symétrie. Formellement, on a ( x) = x pour tout nombre réel x. Le tableau de variation de la fonction carré : x 0 + f(x) = x 0 Propriété 8.. Quel que soit le nombre x, x 0. Quels que soient les nombres a, b, on a (a b) = a b (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b a b = (a + b)(a b) Le fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0[ et est strictement croissante sur ]0; + [. Propriété 8.4. Soit a un nombre réel. Considérons l équation x = a : Si a < 0 alors x = a n admet pas de solution (Le carré d un nombre est toujours positif). Si a = 0 alors x = a admet une unique solution 0. Si a > 0 alors x = a admet deux solutions a et a. 6

37 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Fonctions polynômes de degré Définition 8.5. Une fonction polynôme de degré est une fonction f définie sur R par f(x) = ax + bx + c où a, b et c sont trois nombres réels tels que a soit non nul. Exemple. La fonction f définie par f(x) = x + 5x + est une fonction polynôme du second degré où a = 0, b = 5 et c =. La fonction g définie par g(x) = 7x x + 5 est une fonction polynôme du second degré où a = 7 0, b = et c = 5. Propriété 8.6. Soit f une fonction polynôme de degré définie par f(x) = ax + bx + c Le graphe de la fonction f est une parabole. Si a > 0, cette parabole est orientée vers le haut. y M M x S Si a < 0, cette parabole est orientée vers le bas. y S M M x La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées. Le point S de la parabole situé sur l axe de symétrie de la parabole est appelé sommet de la parabole. La fonction cube 7

38 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Définition 8.7. La fonction cube est définie sur R par f : x x soit f(x) = x. Voici le graphe de la fonction cube : x x Propriété 8.8. La fonction cube f(x) = x est définie sur R. Quel que soit le nombre x, x est de même signe que x (car x = }{{} x x). 0 Le fonction cube est strictement croissante sur R. La racine carrée Définition 8.9. La fonction racine carrée est définie sur [0; + [ par f : x. Voici le graphe de la fonction racine carrée : 5 4 x x Propriété 8.0. La fonction racine carrée x x est définie sur l intervalle [0; + [. Pour tout x 0 : x est le nombre tel que si on l élève au carré on obtient x : x = ( x) Pour tout x 0 et x 0, on a x x = x x La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; + [. 8

39 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Fonction inverse Définition 8.. La fonction inverse est définie sur ] ; 0[ ]0; + [ par f(x) = x Voici le graphe de la fonction inverse : 5 4 x x Le tableau de variation de la fonction inverse : 5 x 0 + f(x) = x Propriété 8.. La fonction inverse f(x) = x est définie sur ] ; 0[ et sur ]0; + [. Le fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ et est strictement décroissante sur ]0; + [. Propriété 8.. Le graphe de la fonction inverse est l hyperbole d équation y = x. De plus, cette hyperbole admet l origine du repère O comme centre de symétrie. Fonction homographique Définition 8.4. Soit a, b, c et d quatres nombres tels que c soit non nul. Une fonction homographique est une fonction f définie par f(x) = ax + b cx + d 9

40 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 d d La fonction f est définie sur les intervalles ] ; c [ et ] c ; + [. Le graphe d une telle fonction est appelé une hyperbole. Exemple. Soit f(x) = x x 4. C est une fonction homographique définie sur ] ; [ et sur ]; + [. Ci-dessous, son graphe

41 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 9 Fonctions affines et équations de droites (S) Droite comme courbe représentative d une fonction affine. Tracer une droite dans le plan repéré. Interpréter graphiquement le coefficient directeur d une droite. Caractériser analytiquement une droite. Établir que trois points sont alignés, non alignés. Reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes. Intersection de deux droites. Commençons par un rappel. Définition 9.. Soit a et b deux nombres réels. Soit f : R R définie par f(x) = ax + b pour tout nombre réel x. On dit que f est une fonction affine et que le nombre a (devant x) est le coefficient directeur de la droite et le nombre b est l ordonnée à l origine. Soit (O, I, J) un repère du plan. Graphiquement, on a B D b A a La droite D passe par le point (0; b). Propriété 9.. Le graphe de la fonction affine f est une droite D non parallèle à l axe des ordonnées. Propriété 9.. Un point A(x A ; y A ) appartient à la droite D si et seulement si y A = f(x A ). Propriété 9.4. Pour deux points distincts A et B de la droite D, le coefficient directeur est égale au taux d accroissement : a = y B y A = f(x B) f(x A ) x B x A x B x A Démonstration. On déduit par définition du graphe de la fonction affine f que { y A = a x A + b = a x B + b En retranchant à la deuxième équation la première, on a D où a = y B y A x B x A. y B y B y A = a x B a x A = a(x B x A ) 4

42 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 9. Équation de droite et fonction affine Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. Propriété 9.5. L ensemble des points M(x; y) du plan tels que est une droite parrallèle à l axe des ordonnées. x = c Propriété 9.6. ) L ensemble des points M(x; y) du plan tels que y = ax + b est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. De plus, cette droite est la représentation graphique de la fonction affine f : R R définie par f(x) = ax + b. ) Réciproquement, toute droite D non parallèle à l axe des ordonnées représente une fonction affine f : R R définie par f(x) = ax + b pour certains nombres réels m et p. Propriété 9.7. Deux droites d équations respectives y = ax + b et y = a x + b sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur a = a. Propriété 9.8. Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points distincts d une droite D n ayant pas la même abscisse (c est-à-dire x A x B ) alors la droite D est le graphe d une fonction affine de coefficient directeur a = y B y A x B x A Propriété 9.9. Toute droite du plan a une équation soit de la forme y = ax + b soit de la forme x = c. Théorème 9.0. Toute droite du plan a une équation de la forme ax + by = c. Remarque. La droite est parallèle à l axe des ordonnées si et seulement si b = 0. Propriété 9.. Trois points A, B et C distincts sont alignés si et seulement si les coordonnées de C vérifient une équation de (AB). Propriété 9.. Soient D une droite d équation ax + by = c et D une droite d équation a x + b y = c. Supposons qu elles sont sécantes, alors les coordonnées (x; y) du point d intersection M sont solution du système { ax + by = c a x + b y = c 4

43 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Propriété 9.. Soient D une droite d équation ax + by = c et D une droite d équation a x + b y = c. Elles sont parallèles si et seulement si ab ba = 0 Démonstration. Deux cas : ) Si D est parallèle à l axe des ordonnées, alors l équation de D s écrit ax = c (ici b=0) et D est parallèle à D si et seulement si D est aussi parallème à l axe des ordonnées. Ce qui équivaut à b = 0 et cette condition est vérifié si et seulement si ab 0a = 0. ) Si D est n est pas parallèle à l axe des ordonnées,... 4

44 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 0 Échantillonnage et intervalle de fluctuation (S) Définition 0.. Un échantillon de taille n est obtenu en prélevant au hasard, successivement et avec remise, n éléments d une population. Dans cette échantillon, on calcul la fréquence f d apparition d un certain caractère donné. La fréquence f est proche de la probabilité p d avoir le caractère p mais en générale ne lui est pas égale. Pour parler de cette variation (aléatoire), on dit que la fréquence f fluctue autour de p. Propriété 0.. Lorsqu on prélève un échantillon de taille n dans une population où la fréquence d un caractère est p, alors sous certaines conditions (n grand et p différent de 0 et ), la probabilité que cet échantillon fournisse une fréquence appartenant à l intervalle I = [p n ; p + n ] est au moins égale à Définition 0.. Associé à un échantillon de taille n où la probabilité est p d avoir un caractère donné, l intervalle I = [p n ; p + n ] est appelé intervalle de fluctuation de la fréquence f au seuil de 95% Propriété 0.4. Pour un échantillon de grande taille (n 0) ayant une proportion du caractère p comprise entre 0. et 0.8, l intervalle : [p ; p + ] n n est une bonne approximation de l intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence observée f du caractère. 44

45 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Inéquations. Étude de variations (S). Résolution graphique d une inéquation Définition.. Soit k un nombre réel et f : I R une fonction définie sur intervalle I. Résoudre l inéquation f(x) < k consiste à trouver l ensemble de tous les antécédents x de l intervalle I tels que leurs images f(x) par f soient inférieurs strictement au nombre k. Résoudre l inéquation f(x) > k consiste à trouver l ensemble de tous les antécédents x de l intervalle I tels que leurs images f(x) par f soient supérieurs strictement au nombre k. Exemples. Résoudre graphiquement f(x) > Résoudre graphiquement g(x) < sur l intervalle [0; 4] sur l intervalle [0; 5] y y 4 C g C f [ [ ] ] x 0 ] [ 4 5 x L ensemble des solutions est L ensemble des solutions est ]; [ [0; [ ]4; 5] Remarque. L inconvéniant principal de la résolution graphique est qu on ne peut obtenir qu une approximation de l ensemble solution.. Résolution algébrique Avec cette méthode, on peut trouver la solution exacte. Propriété.. Pour transformer une inéquation en une autre inéquation équivalente, on peut : ) Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l inéquation ; ) Multiplier ou diviser par un même nombre non nul chaque membre de l inéquation : sans changer le sens de l inégalité si ce nombre est positif ; en changeant le sens de l inégalité si ce nombre est négatif.. Étude du signe Pour résoudre l inéquation f(x) < k, on peut aussi chercher à étudier le signe de la fonction g(x) = f(x) k. L ensemble solution de f(x) < k correspond à l ensemble des antécédants x tels que g(x) soit négatif. 45

46 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Trigonométrie (S) Définition.. On appelle radian (symbole : rad) la mesure d un angle qui intercepte un arc dont la longueur est égale à son rayon R. B R rad O R A Exemples. ) Le périmètre du cercle de rayon est ainsi la longueur de l arc correspondant à un tour complet est. C est-à-dire que la mesure en radian d un tour complet est. ) L angle correspondant à un demi-tour mesure radians. ) L angle correspondant à un tiers d un demi-tour mesure radians. Valeurs remarquables : degrés radians Cercle trigonométrique Définition.. Le plan est dit orienté lorsqu on a choisi un sens positif de rotation. Dans le plan, par convention, on définit le sens positif comme l inverse de celui des aiguilles d une montre. Il est appelé sens trigonométrique : 46

47 Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Définition.. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon centré en l origine dans le plan muni d un repère orthonormée. N (α + ) En enroulant la droite verticale d équation x =, on définit une application qui à nombre réel α, représenté par un point N d ordonnée α, associe un point M sur le cercle trigonométrique tel que la longueur de l arc du point I au point M soit de α radians (voir la figure ci-contre). On remarque que si on ajoute à α, le point N d ordonnée α + se retrouve aussi en M sur le cercle trigonométrique. En effet, le périmètre du cercle trigonométrique est de, ainsi en enroulant "cette longueur de fil", on fait exactement un tour complet. On peut réitérer le processus est ajouter k avec k un entier relatif. J O y M(α) I N(α) x Propriété.4. Si un point de la droite d d abscisse a se trouve en M après enroulement sur le cercle trigonométrique C, alors les points d ordonnées...,a 4, a, a, a +, a + 4, a + 6,... se retrouvent également en M après enroulement sur C. N (α ) Cosinus et sinus d un angle orienté Définition.5. Soit α un nombre réel et M le point sur le cercle trigonométrique associé à α. Le cosinus du nombre réel α est l abscisse du point M ; cette valeur se note cos(α). Le sinus du nombre réel α est l ordonnée du point M ; cette valeur se note sin(α). y α sin(α) O cos(α) x En d autres termes, les coordonnées du point M sur le cercle trigonométrique correspondant à l angle α sont (cos(α); sin(α)). 47