Annales de mathématiques

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1 Année Promotion de re année I.U.T. Saint-Omer Dunkerque Département G.T.E. Annales de mathématiques Denis Bitouzé

2 Avant-propos Ces annales sont un recueil des énoncés et des corrigés de certains des contrôles des années précédentes. Au chapitre I page 4, on trouvera les énoncés, éventuellement quelque peu modifiés, des épreuves. Pour la plupart d entre elles, les documents et calculatrices personnels étaient interdits mais, lors de certaines, les calculatrices du département avaient été mises à la disposition des étudiants. Jusqu à l année universitaire 4 5, le temps imparti pour chaque épreuve était de h. À partir de 5 6, le temps imparti pour les re et e épreuves de l année universitaire était de h ; les e et 4 e épreuves de l année universitaire était de h. Regroupés dans le chapitre II page 75, les corrigés indiquent de manière très précise la ou une des méthodes à employer et un eemple de rédaction dont il est fortement conseillé de s inspirer. Ces annales constituent un ecellent moyen de jauger ce qui peut vous être demandé en contrôle et de vous eercer à composer en temps ité. Vous êtes donc invités à les travailler, avant la veille de la première épreuve!

3 Table des matières I Énoncés des épreuves 4 Année avril mai juin Année janvier mars juin Année novembre février juin Année novembre février juin Année décembre er mars juin Année décembre mai juin Année décembre mars juin Année décembre avril juin Année décembre avril juin Année janvier avril mai juin Année novembre janvier février mai juin Année er décembre janvier janvier avril juin juin Année décembre janvier janvier avril juin Année novembre janvier janvier mai juin juin Année novembre janvier mars juin

4 Table des matières Table des matières Année décembre janvier mai juin Année novembre janvier avril juin II Corrigés des épreuves 75 Année avril mai juin Année janvier mars juin Année novembre février juin Année novembre février juin Année décembre er mars juin Année décembre mai juin Année décembre mars juin Année décembre avril juin Année décembre avril juin Année janvier avril mai juin Année novembre janvier février mai juin Année er décembre janvier janvier avril juin juin Année décembre janvier janvier avril juin Année novembre janvier janvier mai juin juin Année novembre janvier mars juin Année décembre janvier mai juin Année novembre janvier avril juin Inde 69

5 Chapitre I Énoncés des épreuves Année avril 996 Eercice (sur 4). Calculer le développement ité de cos à l ordre en.. Étudier localement au point d abscisse la courbe C d équation cos y. Eercice (sur ). Rappeler la définition de Arccos.. Rappeler l epression de cos a en fonction de cosa.. Prouver que cosparccos 5 6 q 8 7 et en déduire que Arccos 5 6 Arccos 8 7. Eercice (sur 5). Démontrer que, en, tanh h h oph q.. (a) Rappeler le développement ité de lnp tq à l ordre en. (b) Calculer le développement ité de lnp tanhq lnp tanhq à l ordre en.. On rappelle que tanpa bq tana tanb tanatanb. Déduire des questions précédentes le développement ité de lnptanq à l ordre en π 4. Eercice 4 (sur 4). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si c alors p cq. (c) En appliquant cette formule, établir que pour tout lnp q.. Pour quelles valeurs de cette inégalité permet-elle d affirmer que est une valeur approchée de lnp q à près. Donner une valeur approchée de lnp,q à près. 4

6 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année Eercice 5 (sur 4). Étude préinaire. (a) Pour t, on pose vptq t 4 t. (b) i. Prouver que l ensemble de définition D de la fonction v est r, 4s. ii. Déterminer le maimum de v sur D. i. Pourquoi v est-elle intégrable sur D ii. Calculer l intégrale de v sur D au moyen d une intégration par parties. Définition I... iii. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra,bs la quantité µ définie par µ b a b a f ptq dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D.. Étude concrète. Un motard réalise une epérience de vitesse sur une piste rectiligne d etrémités A et B. Sa vitesse instantanée, eprimée en km/h, est donnée en fonction du temps par vptq at T t où a est un paramètre réel strictement positif ; t est eprimé en heure ; et T sont les instants respectivement de départ en A et d arrivée en B. (a) Calculer vpq et vpt q puis déterminer l instant t M de vitesse maimale ainsi que la vitesse maimale v M vpt M q. (b) On désigne par la distance parcourue depuis A et on rappelle qu alors la fonction est une primitive de la fonction v. Calculer pt q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. (c) Prouver qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. Sachant que A et B sont distants de km et que la vitesse maimale atteinte est km/h, déterminer T en secondes puis V en km/h. On donne 5 6 et mai 996 Eercice (sur 4) Soit C la courbe représentative de la fonction f définie par f pq a.. Calculer le développement ité généralisé de f pq à l ordre en 8.. (a) Déterminer les asymptotes D et D à C respectivement en 8 et 8. (b) Préciser les positions relatives Eercice (sur 5) i. de C et D au voisinage de 8 ii. de C et D au voisinage de 8. Soit α un réel de s π, π r. (a) Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que tan α cos α. (b) Rappeler l epression de sin α en fonction de sinα et cosα et en déduire que sinα tanα cos α. 5

7 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année (c) Déduire de ce qui précède que sinα. On pose t tanp{q. tanα tan α. (a) Rappeler l epression de la dérivée de la fonction tan et en déduire que dt p t qd. (b) À l aide de la question (c), eprimer sin en fonction de t.. On pose π I d sin. (a) En utilisant le changement de variable t tanp{q, établir que I dt p tq. (b) Quel changement de variable permet d affirmer que I (c) Calculer I. Eercice (sur 4) du u. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si c alors p cq 5{. (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir que pour tout Pour quelles valeurs de cette inégalité permet-elle d affirmer que 8 est une valeur approchée de à près. Donner une valeur approchée de, à près. Eercice 4 (sur 4) Soit f la fonction définie sur R par b f pq lnp q.. Pourquoi la fonction f n est-elle dérivable que sur R. La fonction f admet-elle un développement ité en d ordre supérieur ou égal à. Déterminer les développements ités de f d ordre à droite et à gauche de. Eercice 5 (sur ). Calculer la dérivée de Arctanp q.. On pose f pq Arctan Arctanp{q. Déduire de la question () l epression de f (a) sur R (b) sur R. 9 juin 996 Eercice (sur ). Déterminer la nature de l intégrale d.. (a) Déterminer un équivalent, au voisinage de, de. 4 6

8 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année (b) En déduire la nature de l intégrale 4 d. Eercice (sur ) Soit f la fonction définie sur R par f p,yq # y y si p,yq p,q si p,yq p,q.. Prouver que f est partiellement dérivable mais discontinue au point p,q.. (a) Déterminer la différentielle df p, yq de f en tout point p, yq p, q. (b) Calculer l image du couple p,4q par df p, q. Eercice (sur 4) On pose Ω R R et on considère la forme différentielle ω définie sur Ω par ωp,yq pyd dyq. y. Prouver que la forme différentielle ω n est pas eacte.. Démontrer que la forme différentielle y ω est eacte sur Ω et déterminer une fonction dont elle est, sur cet ensemble, la différentielle. Définition I... La fonction p,yq ÞÝÑ y est appelée facteur intégrant de la forme différentielle ω. Eercice 4 (sur 5) On considère l intégrale I définie par 8 dt I t 4 t.. Prouver que l intégrale I est convergente.. On pose, pour X, X dt IpXq t 4 t. En utilisant le changement de variable t tanu pour u dans s,π{r, établir que IpXq 4 Arctan X. En déduire la valeur de I. π 4 cosu sin u du. Eercice 5 (sur 5) On désigne par f la fonction définie sur R par b f p,yq y.. Déterminer puis représenter graphiquement l ensemble de définition D de f.. Déterminer l ensemble des points critiques de f.. Nota. Dans cette question, on ne cherchera pas à étudier le signe du discriminant fy f f. Soit y un réel et M p,q un point critique de f. Préciser la nature de M en étudiant, pour p,yq dans D, le signe de f p,yqf p,q. Qu en est-il des autres points critiques de f 4. (a) Soit p,yq un point de D. Calculer df p,yq. (b) Soit p,yq p, q p, yq p.,4. q f p,yq f p,y yq f p,yq. Sachant que 6,45, estimer f p,yq à l aide de df p,yq. 7

9 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année Année janvier 997 Eercice (sur 4) Calculer. Ñ 8,. Ñπ{ tan p sinq. Eercice (sur 6) On considère la fonction f définie sur R par f pq ln.. Le but de cette question est de démontrer le résultat, admis en cours, suivant : pour tout α dans Q, ln Ñ 8 α. (a) Sans calculer les ites au bornes de l ensemble de définition, dresser le tableau des variations de la fonction f. (b) Sachant que ln et en utilisant la question précédente, établir que pour tout, ln. (c) En déduire ln Ñ 8. (d) Soit α dans Q. En posant X α, prouver que ln Ñ 8 α.. (a) Calculer les ites de f en et en 8. (b) Donner l allure de la courbe représentative de f. Eercice (sur ). Rappeler, avec ses hypothèses, le théorème des accroissements finis.. On note T la température (en C) à l instant t (en h). Quand la température diminue, dt {dt représente la vitesse de refroidissement. Le record de variation de température en l espace de h a été atteint en 96 lorsque la température passa de 6 C à 48 C. Prouver que la vitesse de refroidissement a, à un moment donné, dépassé 4 C h pendant cette période. Eercice 4 (sur 8). (a) Rappeler la définition de Arcsin. (b) Prouver que, pour tout r, s, sinparcsin q. dans (c) Démontrer que, pour tout dans r,s, cosparcsinq. (d) Déduire de ce qui précède que, pour tout dans r,s, a sinparcsinq. (I.). (a) Que vaut Ñ Arcsin (b) Que vaut Ñ sin{ En déduire, à l aide de la relation (I.), Ñ Arcsin. Eercice 5 (Hors barème) En revenant à la définition de la ite, démontrer que Ñ 4 4. mars 997 Eercice (sur 7,5). Calculer l intégrale t e t dt. 8

10 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année Calculer, éventuellement au moyen d un changement de variable, l intégrale e e d plnq.. À l aide d une intégration par parties, calculer l intégrale Arctan d. 4. (a) Soit α et θ deu réels. i. Après avoir rappelé l epression de cosα en fonction de sinα, eprimer sin α en fonction de cosα. ii. Rappeler l epression de sin θ en fonction de sinθ et cosθ. En déduire, à l aide de la question précédente, que sin θ cos θ cos4θ. 8 (b) Éventuellement au moyen du changement de variable θ Arcsin, calculer Eercice (sur 4) a d.. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y y.. Résoudre l équation différentielle y y 4y. Eercice (sur,5) Effectuer la division selon les puissances croissantes, à l ordre, du polynôme X par le polynôme X. Eercice 4 (sur 4,5). Prouver que, pour tout h et tout θ dans s,r, p θhq 4.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction f : ÞÑ, déduire de la question précédente que, pour tout h, h h h h h h. (b) Pour quelles valeurs de h l inégalité précédente permet-elle d affirmer que h h est une valeur approchée de h à près (c) Donner une valeur approchée de,9 à près. Eercice 5 (sur,5). (a) Soit a un réel strictement positif. Rappeler l ensemble des réels α pour lesquels converge l intégrale 8 d α. a (b) Soit a et b deu réels tels que a b. Rappeler l ensemble des réels α pour lesquels converge l intégrale b a d pb q α.. Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d. 9

11 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année (Hors barème) Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d. 4 juin 997 Eercice (sur 6). Rappeler, avec ses conditions d application, la formule donnant la dérivée de la fonction réciproque f d une fonction numérique de variable réelle f.. (a) Rappeler rapidement les principales propriétés et la représentation graphique de la fonction cosinus hyperbolique ch. (b) Rappeler la définition de la fonction Argch et eprimer sa dérivée.. Calculer les intégrales (a) (b) 4 Eercice (sur 5) dt t, d Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle p qy y. (E ). Après avoir epliqué pourquoi l équation sans second membre y y y (E ) admet comme solution générale y e pc C q, C,C P R, résoudre l équation différentielle y y y (E ) en en cherchant une solution particulière sous la forme y α β γ. Eercice (sur,5). Soit k un entier naturel non nul. À l aide d une intégration par parties, prouver que plntq k dt t plntq k k plntq k dt.. Calculer plntq dt. Eercice 4 (sur,5). Prouver que si c alors p cq 7{.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction h f : h ÞÑ h, déduire de la question précédente que, pour tout h, h 8 5h 6 h h h 8. (b) Pour quelles valeurs de h cette inégalité permet-elle d affirmer que h h 8 est une valeur approchée de à près h

12 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année (c) Prouver que,{ p,q {8 est une valeur approchée de, à près. Eercice 5 (sur ). Déterminer le développement ité en à l ordre 4 de la fonction t ÞÝÑ sint cost.. Déterminer le développement ité en à l ordre de la fonction t ÞÝÑ et lnp tq.. (Hors barème) On note C la courbe représentant la fonction f définie sur R par f pq ln. (a) Prouver que le développement ité à l ordre en e de f est f pq e peq e peq o p eq. (b) Déduire de la question précédente l équation de la tangente T à C au point d abscisse e ainsi que la position relative de C et T. Année novembre 997 Eercice (sur 5). Calculer et 4 Ñ4 lnp q ln. Ñ 8. Étudier la continuité, par prolongement éventuel, de la fonction f définie par f pq.. Développer pabqpa ab b q et en déduire Ñ. Eercice (sur ) Calculer, par eemple en utilisant les équivalents, et Ñ pe qtan sin ln Ñ sinp q. Eercice (sur,5) On rappelle que le nombre complee j est défini par j i où i. Déterminer le module et un argument puis placer dans le plan complee l image. de j,. de j. Eercice 4 (sur,5) Soit y un réel de s π, π r.. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que tan y cos y.. Rappeler l epression de sin y en fonction de siny et cosy puis en déduire que siny tany cos y.. Déduire de ce qui précède que siny tany tan y. (I.)

13 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année Eercice 5 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par f pq Arcsin. On notera D f l ensemble de définition et C f la courbe représentative de f.. Le but de cette question est de déterminer D f. On pourra s aider des questions suivantes. (a) i. Prouver que, pour tout réel,. ii. Prouver que, pour tout réel,. (b) Rappeler l ensemble de définition de la fonction Arcsin et déduire D f des questions précédentes.. (a) Tracer, rapidement, l allure de la courbe représentative de la fonction Arcsin. (b) Rappeler la parité de la fonction Arcsin puis étudier celle de f.. Calculer f pq et 8f. 4. (a) i. Résoudre rapidement, à l aide des calculs effectués à la question ((a)i), l équation. ii. Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable et en déduire le sous-ensemble de R sur lequel f est dérivable. (b) On pose upq Calculer u pq.. (c) Prouver que f pq # si, si. 5. Dans toute cette question, on pose y Arctan. (a) Rappeler la définition de y. (b) Prouver que i. si alors y π, ii. si alors π y π. (c) Eprimer en fonction de y puis, à l aide de l égalité (I.), f pq en fonction de y. (d) (Hors barème) i. Déduire, à l aide de la définition de la fonction Arcsin et des questions (5c) et (5(b)i), que si alors f pq Arctan (I.) ii. Déduire, à l aide de la définition de la fonction Arcsin et des questions (5c) et (5(b)ii), en utilisant la relation liant sinpπ yq et siny, que si alors f pq π Arctan. (I.4) 6. À l aide des égalités (I.) et(i.4), tracer l allure de C f. 6 février 998 Eercice (sur 4,5). À l aide d intégrations par parties, déterminer { ρe ρ Arcsin dρ et d.. Au moyen de changements de variables, calculer e d 9 et e d plnq 4.

14 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année Eercice (sur,5) Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre par eemple à l aide de la méthode de la variation de la constante l équation différentielle y y e. (I.5) Eercice (sur,5) Après avoir résolu l équation sans second membre y 4y y (I.6) résoudre l équation différentielle y 4y y 6 9. (I.7) (c) On pose et α a, i. Prouver que α est une valeur approchée de ch à 9.8 près et préciser s il s agit d une valeur approchée par ecès ou par défaut. ii. En quoi l inégalité α a 8 permet-elle d affirmer que a est une valeur approchée de ch à 7 près Eercice 5 (sur,5) Eercice 4 (sur 7). On rappelle que, pour tout réel, ch e e et sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Soit a un réel, n un entier naturel non nul et f une fonction numérique de variable réelle. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange pour f en a à l ordre n.. (a) Sachant que sh, prouver que pour tout tel que et pour tout θ dans s,r, shθ. (b) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction ch en à l ordre 5 et en utilisant la question précédente, prouver que pour tout dans r, s, ch Rappeler l ensemble de définition de la fonction Argch. Rappeler à quoi équivaut y Argch.. On rappelle le résultat suivant. Proposition. Soit f une fonction bijective d un sousensemble A de R sur un sous-ensemble B de R. Soit un élément de B tel que f soit dérivable et de dérivée non nulle en f pq. Alors f est dérivable en et f pq f f pq. f f pq (a) Rappeler la dérivée de la fonction Argch (on pourra le cas échéant la retrouver à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique et de la propostion précédente). (b) En déduire les intégrales dt t et 4 d 9 4 (on pourra poser t ).

15 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année Le but de cette question est de prouver Argch ln a. (a) Vérifier que la relation précédente est vraie pour. (b) Dans toute la suite, on suppose. Prouver que # y Argch (c) si et seulement si # pe y q e y y. i. On considère. Prouver que l ensemble des solutions de l équation X X, d inconnue X, est l ensemble! juin 998 Eercice (sur 4,5) a a, ). ii. (Hors barème) Prouver que l ensemble des solutions de l inéquation # est l ensemble vide. En déduire que si et y alors l égalité e y n a jamais lieu et conclure. X X. Dans cette question, a désigne un paramètre strictement positif. (a) Prouver que X X e ax e a d a e a d. (b) Au moyen d un changement de variable, en déduire que e a d X e X a ax e u du a a (I.8) et préciser la nature de l intégrale 8 e a d puis son epression en fonction de ³ 8 e u du.. Les molécules de gaz enfermées dans un récipient à la température T (en degrés Kelvin) sont animées d une vitesse de v cm/s. Cet état d équilibre est caractérisé par la fonction de distribution de vitesse de Mawell-Boltzmann F définie par Fpvq cv e m kt v où m est la masse d une molécule, et c et k des constantes positives. La constante c doit être telle que 8 Fpvqdv. Grâce à l égalité (I.8) et sachant que ³ 8 e u π du, déterminer l epression de c en fonction de k, T et m pour qu il en soit ainsi. Eercice (sur,5). Comparer, pour u, e u et e u. En déduire la nature des intégrales 8 8 e u du et e u du.. Soit f la fonction définie de R dans R par # y si p,yq p,q f p,yq y sinon. 4

16 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année (a) La fonction f est-elle continue en p,q (b) Prouver que f est partiellement dérivable en p,q.. Prouver la discontinuité en p,q de la fonction f définie sur R par # 5 y si p,yq p,q f p,yq 4 y sinon. Eercice (sur,5) Déterminer les etrema de la fonction f définie sur R par f p,yq y 4y. Eercice 4 (sur 7) Soit f la fonction définie sur R par f pq a et C f sa courbe représentative.. En en déterminant une racine évidente, factoriser le polynôme P X X.. Étudier la fonction f en précisant notamment (a) ses ensembles de définition, continuité et dérivation, (b) ses ites au bornes de son ensemble de définition, (c) sa dérivée et ses variations résumées dans un tableau de variation.. Étudier localement C f au voisinage du point d abscisse. 4. Étudier les branches infinies de C f. 5. Esquisser C f. Eercice 5 (sur,5). (a) Calculer les développements ités en à l ordre 5 de tan et sh. (b) Rappeler la dérivée de Arcsin et en déduire son développement ité en à l ordre 5.. À l aide des questions précédentes, prouver que pour voisin de, sh Arcsin tan. Qu en est-il pour voisin de Année novembre 998 Eercice (sur ) Au fur et à mesure qu une navette spatiale prend de l altitude, le poids de l astronaute diminue jusqu à atteindre un état d apesanteur. Le poids P pzq (en kg) d un astronaute, pesant P à la surface de la terre, est à l altitude z (en km) donné par R P pzq P R z où R 64km.. Soit p un réel strictement positif. Prouver que la solution de l équation P pzq p est d P z R p. À quelle altitude l astronaute ne pèserat-il plus que le quart de son poids initial. À quelle altitude l astronaute, pesant 6 kg à la surface de la terre, ne pèsera-til plus que 7 kg 4. À quelle altitude l astronaute sera-t-il en état d apesanteur complet Que penser du résultat Eercice (sur 5). Donner les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant.. Calculer 5

17 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année (a) (b) (c) Ñ sin84 sin5 pe u qsin u uñ p7 uqptanuq lnp uq Eercice 5 (sur 6) On cherche à résoudre numériquement l équation e. On donne e,6, e 4,47 e 5 8,54. (I.9) e e Ñ ln. Eercice (sur ) Les fonctions f ci-dessous peuvent-elles être prolongées par continuité en. et. et. π{ et f : ÞÝÑ ; f : ÞÝÑ 5 ; f : ÞÝÑ p sinq tan.. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq e. On epliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R.. Prouver que l équation (I.9) admet une solution unique a sur R, située dans l intervalle s,r.. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de a et prouver que,56 est une valeur approchée à près de a. 6 février 999 Eercice (sur 6,5). À l aide d intégrations par parties, déter- Eercice 4 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par miner plnsq ds et π t cost dt. p π 4 f pq q cosp π 4 q.. Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Prouver que f est continue ou peut être prolongée par continuité sur l ensemble " π R k π *., k P Z. Au moyen d un changement de variable, calculer Eercice (sur ) d 9 et dt t t.. Rappeler ce que signifie y Arccos.. Rappeler l epression de cos a en fonction de cosa. 6

18 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année Prouver que cos Arccos et indiquer précisément l argument permettant d en déduire que Arccos 7 8 Eercice (sur,5) Arccos 7.. Soit a et h deu réels, n un entier et f une fonction. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange à l ordre n pour f au point a.. Déterminer la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre pour la fonction f : ÞÑ. Eercice 4 (sur,5) Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y y. Eercice 5 (sur 6,5). (a) Calculer la solution générale de l équation différentielle y y y (I.) et en déterminer la ite en 8. (b) Préciser la solution de l équation (I.) vérifiant # ypq y pq.. En utilisant éventuellement le théorème de la feuille annee, déterminer une solution particulière puis, à l aide de la question (), la solution générale de l équation différentielle y y y 7cos.. (a) Soit ϕ un réel de s π, π r. Prouver que tan ϕ {cos ϕ et eprimer cotan ϕ en fonction de sinϕ. (b) Soit λ et λ deu réels strictement positifs. On pose b A λ λ ϕ Arctan λ λ. (I.) i. Rappeler ce que signifie l égalité (I.). ii. (Hors barème) En factorisant par λ (resp. par λ ) dans A, en déduire que λ A cosϕ presp. λ A sinϕq. On pose, pour X réel, y λ cosx λ sinx. Prouver à l aide de la question précédente que y AcospX ϕq. Remarque I.4. On admettra dans la suite que cette dernière epression est valable pour tous λ et λ réels. En déduire que la solution générale de l équation (I.) peut s écrire y Ae cospϕq, A P R, ϕ Ps π, π r. juin 999 Eercice (sur 8,5). On rappelle que, pour tout réel, ch e e et sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh. 7

19 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R.. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f d une bijection f et, à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout réel, pargshq. 4. Rappeler, pour α dans R, le développement ité à l ordre en de p uq α et déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. En déduire que celui de Argsh à l ordre 5 en est Argsh op 5 q. (I.) 5. À l aide du le développement ité à l ordre en de Argsh, étudier localement au point d abscisse la fonction Argsh. 6. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argsh et donner la nature de l intégrale 4 Argsh d. Eercice (sur ) Soit f la fonction définie de R dans R par # y y si y f p,yq sinon.. Représenter graphiquement l ensemble p,yq P R ; y (.. Calculer f p, q et, pour tout, f p, q. La fonction f est-elle continue en p,q. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité partielle de f en p,q par rapport à et par rapport à y. 4. Pour tout p,yq de R tel que y, calculer fp,yq et fy p,yq. Eercice (sur ). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si et θ alors p θq 5{. (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir que pour tout, Donner une valeur approchée de, à près. Eercice 4 (sur ). En en donnant la valeur eacte, prouver la convergence de l intégrale 8 d.. Déterminer la nature de l intégrale I définie par 8 I d et, en justifiant le calcul, déterminer en fonction de I l epression de a 8 8 d. 8

20 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 Eercice 5 (sur,5) Étudier les branches infinies de la fonction f définie sur R par f pq p q p q. Année 999 décembre 999 Eercice (sur,5). Pour θ, π 6, π 4, π, π, rappeler les valeurs de cosθ et sinθ.. On considère les nombres complees z j i, z i et z i. (a) Déterminer (par le calcul ou géométriquement) les modules et arguments de z, z, z. (b) Déterminer la forme eponentielle de z, z, z. (c) Déterminer les modules et arguments de z z, z z, z 4. Eercice (sur,5) Pour chaque fonction f et chaque réel indiqués, calculer Ñ f pq.. et 8 et. 4 et f pq ; f pq 4 ;. et f pq ; 4. et f pq ln; 5. 8 et 6. 8 et Eercice (sur ) f pq ; f pq lnp q ln.. Rappeler les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant.. Calculer (a) (b) Ñ cos e, Ñ lnp q. tan. En posant éventuellement h, calculer e e Ñ sinp q. Eercice 4 (sur 4) Soit la fonction f définie sur R par f pq sin cos.. Déterminer et représenter graphiquement l ensemble de définition D f de f.. Étudier la parité de f.. Prouver que la fonction f peut être prolongée par continuité en. 4. (a) Soit λ un réel et ϕ la fonction constante égale à λ sur R. En revenant à la définition, prouver que, pour tout réel, ϕ pq. 9

21 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 (b) Soit λ un réel et u et v de deu fonctions dérivables. Rappeler les dérivées de u v, λu, uv et u v. (c) (Hors barème) Prouver que, pour tout de D f, Eercice 5 (sur 6) f pq sin cos.. Le but de cette question est de prouver que Arctan Arctan 4. (I.) (a) Rappeler la définition de y Arctan. Adapter cette définition au cas de l égalité (I.). (b) i. Rappeler l epression de tan a en fonction de tana et en déduire une epression simplifiée de tanparctan q. ii. Rappeler le sens de variation de la fonction Arctan et en déduire un encadrement de Arctan. (c) Conclure.. Prouver l égalité Arctan π Arctan 4 dont on notera qu elle équivaut à π Arctan Arctan 4.. (Hors barème) Plus généralement, prouver que # Arctan si Arctan π Arctan si. er mars Eercice (sur 8). Étude préinaire. (a) Pour t, on pose vptq t 4 t. (b) i. Prouver que l ensemble de définition D de la fonction v est r, 4s. ii. Déterminer le maimum de v sur D. i. Pourquoi v est-elle intégrable sur D ii. Calculer l intégrale de v sur D au moyen d une intégration par parties. Définition I.5.. iii. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra,bs la quantité µ définie par µ b a b a f ptq dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D.. Étude concrète. Un motard réalise une epérience de vitesse sur une piste rectiligne d etrémités A et B. Sa vitesse instantanée, eprimée en km/h, est donnée en fonction du temps par vptq at T t où a est un paramètre réel strictement positif t est eprimé en heure et T sont les instants respectivement de départ en A et d arrivée en B. (a) Calculer vpq et vpt q puis déterminer l instant t M de vitesse maimale ainsi que la vitesse maimale v M vpt M q.

22 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 (b) On désigne par la distance parcourue depuis A et on rappelle qu alors la fonction est une primitive de la fonction v. Calculer pt q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. (c) Prouver qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. Sachant que A et B sont distants de km et que la vitesse maimale atteinte est km/h, déterminer T en secondes puis V en km/h. On donne 5 6 et 8 9. Eercice (sur ). Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y pcosqy cos.. Résoudre l équation différentielle y 8y 5y et en chercher la solution y vérifiant y pq et y pq. Eercice (sur 4). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si h et θ alors p θhq. (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir pour tout h l inégalité h h lnp hq h h h.. Pour quelles valeurs de h cette inégalité permet-elle d affirmer que h h est une valeur approchée de lnp hq à près. Donner une valeur approchée de lnp,q à près. Eercice 4 (sur ) Calculer, éventuellement au moyen d un changement de variable, les intégrales suivantes. e t e t dt, e e d plnq. Eercice 5 (sur ) On rappelle que, pour tout dans s,r, la fonction Argth satisfait Argth ln.. Soit dans s,r. Epliciter pargthq.. À l aide d une intégration par parties et d un éventuel changement de variable, calculer { juin Eercice (sur 5) Argth d.. Démontrer que, en, tanh h h oph q.. (a) Rappeler le développement ité de lnp tq à l ordre en. (b) Calculer le développement ité de lnp tanhq lnp tanhq à l ordre en.. On rappelle que tanpa bq tana tanb tanatanb. Déduire des questions précédentes le développement ité de lnptanq à l ordre en π 4.

23 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 Eercice (sur,5) On définit la fonction f sur R par b f pq e { et on note D et C les ensemble de définition et courbe représentative de f.. (a) Rappeler le sens de variation de la fonction eponentielle et en déduire une minoration, pour tout, de e {. (b) Prouver que D R.. (a) En procédant éventuellement au changement de variable h {, prouver que f admet pour développement ité généralisé au voisinage de 8 : f pq o. (b) Déterminer le développement ité généralisé à l ordre de f au voisinage de 8. (c) Étudier les branches infinies de C. Eercice (sur 4,5). (a) Prouver la convergence de l intégrale 8 e s ds. (b) i. Pour s, comparer e s et e s. ii. En déduire la nature des intégrales 8 e s ds puis 8 e s ds.. Déterminer la nature de l intégrale lnp tq t dt. Eercice 4 (sur,5) Soit f la fonction définie sur R par f p,yq # y 4 y si p,yq p,q sinon.. Déterminer l ensemble de définition de f.. Étudier la continuité de f en p,q puis en déterminer l ensemble de continuité. Eercice 5 (sur 5,5) On désigne par f la fonction définie sur R par b f p,yq y.. Déterminer puis représenter graphiquement l ensemble de définition D de f.. Déterminer l ensemble des points critiques de f.. Nota. Dans cette question, on ne cherchera pas à étudier le signe du discriminant f y f f y. Soit un réel et M p,q un point critique de f. Préciser la nature de M en étudiant, pour p,yq dans D, le signe de f p,yq f p,q. Qu en est-il des autres points critiques de f 4. (a) Soit p,yq un point de D. Calculer df p,yq. (b) Soit p,yq p, q et p, yq p.,4. q. On pose f p,yq f p,y yqf p,yq. Sachant que 6,45, estimer f p,yq à l aide de df p,yq.

24 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année Année 9 décembre Eercice (sur,5). (a) Calculer (b) Calculer Ñ 8. Ñ6. 6 (c) Calculer b lnp q ln. Ñ 8. Prouver la continuité en de la fonction f définie par $ & sin si f : ÞÝÑ % si. Eercice (sur 4,75) Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations suivantes.. cosp π 8 q,. sin sin,. tan tanp π q. Eercice (sur,75). Rappeler les équivalents en de e, lnp q, cos, sin, tan.. À l aide des équivalents, calculer les ites (a) en de sin p q, (b) en de (c) en de Eercice 4 (sur 5,5) tan p πq cos, lnp q sinp q,. (a) Rappeler la définition de y Arccos. (b) À l aide de cette définition, prouver que Arccos 4 Arccos 8.. Soit f la fonction définie sur R par f pq Arccosp q. (a) Déterminer l ensemble de définition D de f. (b) Déterminer l ensemble de dérivabilité D de f. (c) Calculer, sur D, la dérivée de f et en déduire qu il eiste des constantes K et K telles que i. si, f pq Arccos K ii. si, f pq Arccos K (d) Déterminer les constantes K et K ci-dessus. (e) Ce qui a été obtenu à la question n o c est-il valable pour, et (f) Retrouver le résultat de la question n o b. Eercice 5 (sur,75) On cherche à résoudre numériquement l équation e. (I.4)

25 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq e. On epliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R.. Prouver que l équation (I.4) admet une solution unique a sur R.. Prouver que a appartient à l intervalle s, r. 4. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de a et prouver que,57 est une valeur approchée à près de a. 4 mai Eercice (sur 4,5). À l aide d intégrations par parties, déterminer π{4 ρe ρ θ dρ et cos θ dθ. π{4. Calculer, au moyen éventuel de changements de variables, d 9 et d (Hors barème) Soit a un réel et f une fonction intégrable sur ra, as. On pose I ³ a a f psqds. (a) Prouver que, si f est paire, I ³ a f psqds. (b) Prouver que, si f est impaire, I I. Qu en conclue-t-on Eercice (sur,5) Sur R, après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre par eemple à l aide de la méthode de la variation de la constante, l équation différentielle y y. Eercice (sur ) On considère un réel c et l équation différentielle y y cy (I.5). On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5).. On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5).. On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5). Eercice 4 (sur,5). On rappelle que, pour tout réel, ch e e sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Soit un réel, h un réel non nul, n un entier naturel non nul et f une fonction numérique de variable réelle. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange pour f sur r, hs à l ordre n.. Appliquer la formule de Taylor- Lagrange à la fonction sh en à l ordre (Hors barème) (a) Sachant que ch {, prouver que pour tout h tel que h et pour tout θ dans s,r, chθh {. (b) En utilisant les deu questions précédentes, prouver que pour tout h dans r, s, shh h h h

26 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année (c) On pose α et a,6. 6 i. Prouver que α est une valeur approchée de sh à près et préciser s il s agit d une valeur approchée par ecès ou par défaut. ii. En quoi l inégalité α a 7. 6 permet-elle d affirmer que a est une valeur approchée de sh à 5 près Eercice 5 (sur 8,5) où de l équation différentielle (I.6) est y Repe ϱ Qpqq de l équation différentielle (I.7) est y Impe ϱ Qpqq ϱ α iω Q est la fonction polynôme complee qu on détermine en résolvant l équation aq paϱ bqq paϱ bϱ cqq P sachant que. Calculer le développement ité de pe qcos à l ordre 4 en.. Calculer le développement ité de lncos à l ordre 6 en.. Soit f la fonction définie par f pq 4a 4 6 et C sa courbe représentative. (a) Étudier C localement au point d abscisse. (b) En procédant éventuellement au changement de variable h {, prouver que f admet pour développement ité généralisé au voisinage de 8 : f pq 4 o. (c) Déterminer le développement ité généralisé à l ordre de f au voisinage de 8. (d) Étudier les branches infinies de C. Théorème I.6.. Soit pa,b,cq un triplet de R R, P une fonction polynôme et α et ω deu réels. On considère les équations différentielles ay by cy P pqe α cosω (I.6) ay by cy P pqe α sinω. (I.7) Alors, une solution particulière. si aϱ bϱ c, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors 5 juin Eercice (sur,5) BQ BP et valq.. Comparer, pour tout, ln et. En déduire la nature de l intégrale 8 ln d.. Étudier la convergence des intégrales 8 Eercice (sur 5,5) 8 4 d et 4 d. 5

27 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année. (Question préinaire) Prouver que, si q, alors ņ k q k qn q.. On fie k dans N et on pose I k pk qπ kπ e sin d. (a) Au moyen d une double intégration par parties, prouver que I eπ. (b) Eprimer sinpt kπq en fonction de sint puis, au moyen d un changement de variable, prouver que I k pq k e kπ I.. On pose 8 I e sin d. Prouver que I est absolument convergente et déduire des questions et b que I. Eercice (sur 6). Déterminer l ensemble de définition de la fonction définie de R dans R par f p,yq ln y y.. Soit f la fonction définie de R dans R par f p,yq y y 5 y 9. (a) Calculer les dérivées premières et secondes de f. (b) On se propose de chercher si f présente un etremum. Prouver que f admet pour seul point critique le point p4,q. (c) Soit h et k des réels. i. Calculer f p4 h, kq. ii. En posant u h{k pour k, prouver que f p4 h, kq f p4,q. iii. Quelle est la nature du point f p4,q pour f Eercice 4 (sur,5) Résoudre dans R l équation différentielle y y. Eercice 5 (sur,5). Donner les développements ités à l ordre 4 en de e t, lnp tq, cost, sint.. On définit la fonction f par f pq a lnp q. (a) Prouver que le développement ité de f en à l ordre est, si est positif, f pq 4 o. (b) Étudier localement en la courbe représentant f. Année décembre Eercice (sur 6) Calculer les ites suivantes.. (a) Ñ 8 ; (b) Ñ ; (c) Ñ 8 ; (d) Ñ 7 ;. (a) Ñ 8 ; (b) Ñ 8 ln ;. (a) Ñ tan lnp q ; 6

28 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année (b) Ñ e e lnpq. Eercice (sur ) Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations. cos π 6 cos π 4 ;. tan cotan. Eercice (sur ) Résoudre dans C l équation z. Eercice 4 (sur 4) Soit f la fonction définie sur R par f pq cos sin. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Étudier (a) la parité de f ; (b) la périodicité de f.. Déterminer π f. 4. Prouver que f peut être prolongée par continuité en. 5. Pour, rπs, simplifier l epression de f pq. Eercice 5 (sur 5) Soit f la fonction définie sur R par f pq 5.. Factoriser a 5 b 5 par a b, en déduire le tau de variation de f puis prouver que f est strictement croissante sur r, 8r.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver (a) que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de ; (b) que,85 est une valeur approchée à près de. Eercice 6 (Hors barème sur ) Soit f la fonction définie par f pq p q. Prouver, en revenant à la définition, que Ñ f pq. 8 mars Eercice (sur 4,5). Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Young à l ordre n en a pour une fonction f.. Déterminer les développements de Taylor-Young d ordre en de sin et tan. En déduire sin tan Ñ.. (a) Déterminer les développements de Taylor-Young en de ch cos d ordres et. (b) En déduire i. ii. iii. ch cos Ñ, ch cos Ñ, ch cos Ñ. Eercice (sur,5) L objet de cet eercice est de prouver que, pour tout, Argch ln On rappelle que y Argch ðñ a. (I.8) # chy y. 7

29 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année. Rappeler l ensemble de définition de la fonction Argch.. (a) Prouver que si alors ln. (b) En revenant à la définition de la fonction ch, calculer ch ln pour.. Déduire de ce qui précède la relation (I.8) pour. Eercice (sur,5) Soit f une fonction et a et h deu réels.. Rappeler le théorème des accroissements finis pour f sur l intervalle ra,a hs.. Pour n entier naturel, rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor- Lagrange pour f à l ordre n sur l intervalle ra,a hs.. Le théorème des accroissements finis peut-il être considéré comme un cas particulier de la formule de Taylor- Lagrange Préciser. Eercice 4 (sur 5,5) Soit f la fonction définie sur R par f pq lnp q et h un réel strictement positif.. Déterminer, pour tout entier naturel non nul n et tout, l epression de f pnq pq.. Soit n entier naturel non nul. Prouver que si θ alors p θhq n.. (a) En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur l intervalle r,hs, établir l encadrement h lnp hq h. (b) En déduire une valeur approchée de lnp,q à près. 4. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à l ordre, établir l encadrement h lnp hq h. (b) En déduire une valeur approchée de lnp,q à près. 5. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à l ordre, établir l encadrement lnp hq h h h. (I.9) (b) En déduire une valeur approchée de lnp,q à près. (c) Pour quelles valeurs de h l encadrement (I.9) permet-il d affirmer que h h est une valeur approchée de lnp hq à près Eercice 5 (sur 6) Soit f la fonction définie sur R par f pq Arcsin.. Prouver que, pour tout réel,. En déduire l ensemble de définition de f.. Déterminer l ensemble de continuité de f.. Déterminer l ensemble d étude de f. 4. Calculer les valeur(s) et/ou ite(s) de f au bornes de son ensemble d étude. 5. Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable ; en déduire l ensemble de dérivabilité de f et prouver que # f si pq si. 8

30 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année 6. Étudier les variations de f et en esquisser la courbe représentative C. 7. Pour, utiliser l epression de f pq pour déterminer une epression plus simple de f pq. 8. Construire les courbes représentatives des fonctions Arctan, Arctan, Arctan et f en précisant, pour f, les points et les tangentes remarquables. 7 juin Eercice (sur 8,5). On rappelle que, pour tout réel, ch e e sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R.. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f d une bijection f et, à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout réel, pargshq. 4. Rappeler, pour α dans R, le développement ité à l ordre en de p uq α et déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. En déduire que celui de Argsh à l ordre 5 en est Argsh op 5 q. (I.) 5. À l aide du le développement ité à l ordre en de Argsh, étudier localement au point d abscisse la fonction Argsh. 6. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argsh et donner la nature de l intégrale 4 Argsh d. Eercice (sur ) Soit f la fonction définie de R dans R par # y y si y f p,yq sinon.. Représenter graphiquement l ensemble p,yq P R ; y (.. Calculer f p, q et, pour tout, f p,q.. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité partielle de f en p,q par rapport à et par rapport à y. 4. Pour tout p,yq de R tel que y, calculer fp,yq et fy p,yq. Eercice (sur ). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si et θ alors p θq 5{. 9

31 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir que pour tout, Donner une valeur approchée de, à près. Eercice 4 (sur ). En en donnant la valeur eacte, prouver la convergence de l intégrale 8 d.. Déterminer la nature de l intégrale I définie par 8 I d et, en justifiant le calcul, déterminer en fonction de I l epression de a 8 8 d. Eercice 5 (sur,5) Étudier les branches infinies de la fonction f définie sur R par f pq p q p q. Année 8 décembre Eercice (sur ) Eprimer sans valeur absolue la fonction f définie par f pq 4 9 Eercice (sur ). Résoudre dans R l équation cos π cos 6 π.. Résoudre dans R, puis dans s π, πs, l équation Eercice (sur 8) cos sin.. (a) Calculer les ites en et en 8 de f : ÞÑ {. (b) Calculer Ñ4 (c) Calculer Ñ (d) Prouver que l epression 445 est factorisable par 9. En déduire Ñ (a) Rappeler les équivalents en de e, lnp q, cos, sin, tan. (b) Calculer les ites quand Ñ de i. lnp q ; ii. cos pe q sin. (c) Calculer la ite quand Ñ π 4 de tan cos. Eercice 4 (sur 5) On cherche à résoudre numériquement l équation 4 4. (I.)

32 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq Prouver que l équation (I.) admet une solution unique sur l intervalle s,r.. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de et prouver que,49 est une valeur approchée à près de. Eercice 5 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par # cos f pq si si.. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation). Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en (on justifiera l affirmation) 9 avril Eercice (sur 7). Déterminer des primitives de (a) (b) cos sin a.. En intégrant par parties, calculer (a) (b) e θ cos θ dθ ln d.. (a) Au moyen d un changement de variable, calculer (b) 4. Calculer d 9. i. Rappeler l epression de cosα en fonction de cosα et en déduire une epression de cos α en fonction de cosα. ii. Au moyen du changement de variable t tanα, calculer (a) pour positif, (b) e t dt sin t cos t dt. dt p t q. Eercice (sur ) Résoudre dans R les équations différentielles suivantes et en déterminer les solutions valant en.. y y,.. dy d d dt y, t t. Eercice (sur ) Le but de cet eercice est de prouver que Arcsin Arcsin. (I.). Rappeler la définition de y Arcsin. Adapter cette définition au cas de l égalité (I.).. (a) On rappelle que, pour tout dans r,s, cosparcsinq. Déterminer une epression simplifiée de sinparcsin q.

33 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année (b) Rappeler le sens de variation de la fonction Arcsin et en déduire un encadrement de Arcsin.. Conclure. Eercice 4 (sur 4). Eprimer la dérivée f de f en en simplifiant au maimum l epression. 4. Déduire de la question précédente que, si P r, s, f pq Arcsin.. Prouver que, pour tout h et tout θ dans s,r, p θhq 4.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction f : ÞÑ, déduire de la question précédente que, pour tout h, h h h h h h. (b) Pour quelles valeurs de h l inégalité précédente permet-elle d affirmer que h h est une valeur approchée de h à près (c) Donner une valeur approchée de,9 à près. Eercice 5 (sur 4) Soit f la fonction définie par f pq Arcsinp 4 q.. Factoriser les polynômes 4 et 4 pour prouver que # # 4 4 ðñ.. En utilisant la question, déterminer l ensemble de définition de f. juin Eercice (sur 4). Déterminer le développement ité en à l ordre de lnp q. sin. Soit f la fonction définie sur R par d f pq. (a) Déterminer l ensemble de définition D de f. (b) Étudier les branches infinies de f. Eercice (sur ). Résoudre dans R les équations différentielles suivantes de fonction inconnue y et de variable : (a) y 5y 6y ; (b) 4y 4y y ; (c) y 4y 5y ; de cette dernière équation, déterminer la solution telle que # ypq y pq.. (Hors barème) Résoudre, en s aidant éventuellement du Théorème page suivante, l équation de fonction inconnue et de variable t sint.

34 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année Eercice (sur 4). Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d.. Déterminer la nature de l intégrale 8 e d. Eercice 4 (sur ). Déterminer et représenter graphiquement l ensemble de définition D de la fonction f définie de R dans R par b f p,yq y.. Soit f la fonction définie de R dans R par f p,yq y. Déterminer l unique point critique p,y q de f et prouver que f y atteint un etremum qu on précisera. Eercice 5 (sur 8) On rappelle que, pour tout réel, ch e e, sh e e, th sh ch.. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique.. Prouver que la fonction th est une bijection de R sur s,r.. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f d une bijection f et, à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout dans s,r, pargthq. 4. Rappeler le développement ité à l ordre en de u et déterminer le développement ité à l ordre 5 en de. En déduire que celui de Argth à l ordre 6 en est Argth 5 5 op 6 q. (I.) 5. À l aide du développement ité à l ordre en de Argth, étudier localement au point d abscisse la fonction Argth. 6. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argth et donner la nature de l intégrale Argth d. Théorème. Soit pa,b,cq un triplet de R R, P une fonction polynôme et α et ω deu réels. On considère les équations différentielles ay by cy P pqe α cosω (I.4) ay by cy P pqe α sinω. (I.5) Alors, une solution particulière où de l équation différentielle (I.4) est y Repe ϱ Qpqq de l équation différentielle (I.5) est y Impe ϱ Qpqq ϱ α iω

35 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 4 Q est la fonction polynôme complee qu on détermine en résolvant l équation aq paϱ bqq paϱ bϱ cqq P et ln Ñ sinp q. sachant que. si aϱ bϱ c, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq. Année 4 6 décembre Eercice (sur ). Calculer et 4 Ñ4 lnp q ln Ñ 8. Étudier la continuité, par prolongement éventuel, de la fonction f définie par f pq. Développer pabqpa ab b q et en déduire Ñ. Eercice (sur ) Calculer, par eemple en utilisant les équivalents, Ñ pe qtan sin Eercice (sur 4) Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations suivantes.. cosp π 8 q,. sin sin,. tan tanp π q. Eercice 4 (sur ) Soit y un réel de s π, π r.. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que tan y cos y.. Rappeler l epression de sin y en fonction de siny et cosy puis en déduire que siny tany cos y.. Déduire de ce qui précède que siny tany tan y. (I.6) Eercice 5 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par f pq Arcsin. On notera D f l ensemble de définition et C f la courbe représentative de f.. Le but de cette question est de déterminer D f. On pourra s aider des questions suivantes. (a) i. Résoudre les équations et. 4

36 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 4 ii. Prouver que, pour tout réel, et.. (b) Rappeler l ensemble de définition de la fonction Arcsin et déduire D f des questions précédentes.. (a) Tracer, rapidement, l allure de la courbe représentative de la fonction Arcsin. (b) Rappeler la parité de la fonction Arcsin puis étudier celle de f.. Calculer f pq et 8f. 4. (a) Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable et, en s aidant de la question (a)i page précédente, en déduire le sousensemble de R sur lequel f est dérivable. (b) On pose upq Calculer u pq. (c) Prouver que f pq. # si, si. 5. Le but de cette question est de prouver que # Arctan si, f pq π Arctan si. (I.7) (a) On considère un réel tel que. En revenant à la définition de l arc sinus, eprimer de façon équivalente, puis prouver l égalité Arctan Arcsin (on s aidera de l égalité (I.6 page précédente) de la question page précédente de l eercice 4 page précédente). (b) On considère un réel tel que. De même, en revenant à la définition de l arc sinus, eprimer de façon équivalente, puis prouver l égalité π Arctan Arcsin (on s aidera de l égalité (I.6) de la question page précédente de l eercice 4 page précédente). (c) À l aide de l égalité (I.7), tracer l allure de C f. 7 avril 4 Eercice (sur ). Calculer l intégrale d.. À l aide d une intégration par parties, calculer les intégrales t e t dt, Arctan d.. Calculer, éventuellement au moyen d un changement de variable, les intégrales suivantes. e t e t dt, Eercice (sur,5) e e d plnq.. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y y. 5

37 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 4. Résoudre l équation différentielle Eercice (sur 5) y y 4y.. Prouver que, pour tout h et tout θ dans s,r, p θhq 4.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction f : ÞÑ, déduire de la question précédente que, pour tout h, h h h h h h. (b) Donner une valeur approchée de,9 à près. Eercice 4 (sur 4). (a) Soit a un réel strictement positif. Rappeler l ensemble des réels α pour lesquels converge l intégrale 8 d α. a (b) Soit a et b deu réels tels que a b. Rappeler l ensemble des réels α pour lesquels converge l intégrale b a d pb q α.. Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d.. Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d. Eercice 5 (sur 5,5). Rappeler l ensemble de définition de la fonction Argch. Rappeler à quoi équivaut y Argch.. Le but de cette question est de prouver que Argch ln. (a) Vérifier que la relation précédente est vraie pour. (b) Dans toute la suite, on suppose. Prouver que # y Argch (c) si et seulement si # pe y q e y y. i. On considère. Prouver que l ensemble des solutions de l équation X X, d inconnue X, est l ensemble! a, a ). ii. (Hors barème) Prouver que l ensemble des solutions de l inéquation # est l ensemble vide. En déduire que si et y alors l égalité e y n a jamais lieu et conclure. 6

38 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 4 8 juin 4 Eercice (sur,5) Soit f la fonction définie de R dans R par $ & y f p,yq % y si p,yq p,q sinon.. Déterminer l ensemble de définition D de f. Bf. (a) Calculer B p,yq en tout point p,yq p,q. (b) En revenant à la définition, prouver que (c) Eercice (sur 7,5) Bf p,q. B i. Vers quel point tend p, q lorsque Ñ ii. Calculer Bf Ñ B p,q. La fonction Bf B est-elle continue en p,q (justifier). Donner les développements ités à l ordre 4 en des fonctions (a) t ÞÝÑ e t ; (b) t ÞÝÑ lnp tq ; (c) t ÞÝÑ cost ; (d) t ÞÝÑ sint.. Prouver que le développements ités en (a) de e sin à l ordre est op q (b) de lncos6 à l ordre 4 est op 4 q.. Soit f la fonction définie sur R par f pq e sin lncos6 dont la courbe représentative est notée C. (a) Déduire de la question précédente que le développement ité en à l ordre de f est f pq 8 op q (b) Donner l équation de la tangente T à C au point d abscisse ainsi que les positions relatives de C et T. Eercice (sur,5) Soit f la fonction définie sur R par f pq p q p q. Étudier les branches infinies de la courbe représentative C de f. Eercice 4 (sur,5). Prouver que, pour tout réel, lnp chq ln.. À l aide d un développement ité, établir que lnp chq ln Ñ 4 et en déduire un équivalent en de lnp chq ln p q 7.. Déterminer la nature de l intégrale π lnp chq ln p q 7 d.. 7

39 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 4 5 Eercice 5 (sur ) Soit R la fonction d ensemble de départ R et est définie par. Calculer (a) Rpρ,θq ln 6 ρ θ ρ θ 4.. Préciser et représenter graphiquement dans le plan l ensemble de définition D R de R.. On rappelle que la différentielle drpρ, θq de R, en un point pρ,θq où R est partiellement dérivable, est définie par drpρ,θq BR Bρ pρ,θqdρ Calculer drpρ,θq. BR Bθ pρ,θqdθ. (b) (c) (d) Ñ sin84 sin5 Ñ pe qtan sin pe u qsin u uñ p7 uqptanuq lnp uq Année janvier 5 Eercice (sur ). Calculer (a) e e Ñ ln. Eercice (sur,5) Les fonctions f ci-dessous peuvent-elles être prolongées par continuité en. et f : ÞÝÑ ; (b) 4 Ñ4 lnp q ln. Ñ 8. et. π{ et f : ÞÝÑ 5 ;. Développer pabqpa ab b q et en déduire Ñ. Eercice (sur 4). Donner les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant. f : ÞÝÑ p sinq tan. Eercice 4 (sur 4) Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations suivantes.. sinp π 8 q,. cos cos,. tan tanp π q. 8

40 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 4 5 Eercice 5 (sur 6,5) Soit f la fonction définie sur R par f pq 5.. Factoriser b 5 a 5 par b a, en déduire le tau de variation de f puis prouver que f est strictement croissante sur r, 8r.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver (a) que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de ; (b) que,85 est une valeur approchée à près de. (e) π 4 π 4 a cost dt. sin t. (a) Rappeler les formules d Euler. (b) À l aide des formules d Euler, linéariser puis déterminer les primitives de sin. (c) Reprendre les calculs en remarquant que sin cos sin. Eercice À l aide d intégrations par parties, calculer. lnt dt 8 avril 5 Eercice. Pour une fonction dérivable u, donner les primitives de u cos u. Déterminer (a) (b) (c) (d) et u u. d d a d e s ds es. pour n dans N t n lnt dt sin d s ch s d Arctan d { { parccosq d. Eercice À l aide de changements de variable, calculer. d 9 et, pour a dans R, a d a 9

41 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 4 5. Eercice 4 d p q.. Résoudre l équation différentielle y pcosqy cos par eemple après en avoir résolu l équation sans second membre associée.. Résoudre l équation différentielle y 8y 5y et en chercher la solution y vérifiant y pq et y pq. Eercice 5 Soit a un réel et f une fonction intégrable sur ra,as. On pose I ³ a a f psqds.. Prouver que, si f est paire, I ³ a f psqds.. Prouver que, si f est impaire, I I. Qu en conclue-t-on mai 5 Eercice On rappelle que, pour tout dans s,r, la fonction Argth satisfait Argth ln.. Soit dans s,r. Prouver que pargthq.. À l aide d une intégration par parties, calculer { Argth d. Eercice. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y y.. Résoudre l équation différentielle Eercice y y 4y.. Soit α un réel de s π, π r. (a) Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que tan α cos α. (b) Rappeler l epression de sin α en fonction de sinα et cosα et en déduire que sinα tanα cos α. (c) Déduire de ce qui précède que sinα. On pose t tanp{q. tanα tan α. (a) Pour une fonction dérivable u, rappeler les epressions de la dérivée de la fonction tanu et en déduire que dt p t qd. (b) À l aide de la question (c), eprimer sin en fonction de t.. On pose π I d sin. 4

42 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 4 5 (a) En utilisant le changement de variable t tanp{q, établir que dt I p tq. (b) À l aide du changement de variable permettant d affirmer que calculer I. du I u, Eercice 4 (Étude préinaire) Pour t, on pose vptq t 4 t.. Prouver que l ensemble de définition D de la fonction v est r,4s.. Déterminer le maimum de v sur D.. (a) Pourquoi v est-elle intégrable sur D (b) Prouver, au moyen d une intégration par parties, que l intégrale de v sur D vaut Définition I... (c) Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra,bs la quantité µ définie par µ b a b a f ptq dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D. Eercice 5 (Étude concrète de l eercice précédent) Un motard réalise une epérience de vitesse sur une piste rectiligne d etrémités A et B. Sa vitesse instantanée, eprimée en km h, est donnée en fonction du temps par vptq at T t où a est un paramètre réel strictement positif ; t est eprimé en heure ; et T sont les instants respectivement de départ en A et d arrivée en B.. Calculer vpq et vpt q puis déterminer l instant t M de vitesse maimale ainsi que la vitesse maimale v M vpt M q.. On désigne par la distance parcourue depuis A et on rappelle qu alors la fonction est une primitive de la fonction v. Calculer pt q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB.. Prouver qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. 4. Application numérique. Sachant que A et B sont distants de km et que la vitesse maimale atteinte est km h, déterminer T en secondes puis V en km h. On donne 5 6 et juin 5 Eercice. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. Prouver que si h et θ alors p θhq.. En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir pour tout h l inégalité h h lnp hq h h h. 4. En justifiant le résultat, donner une valeur approchée de lnp,q à près. Eercice. En en donnant la valeur eacte, prouver la convergence de l intégrale 8 d. 4

43 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 5 6. Déterminer la nature de l intégrale I définie par 8 I d.. (a) Rappeler un équivalent de lnp tq en (on pourra s aider d un développement ité de lnp tq en ). Eercice (b) Déterminer la nature de l intégrale lnp tq t dt.. (a) Démontrer que, en, tanh h h (b) oph q. i. Rappeler le développement ité de lnp tq à l ordre en. ii. Calculer le développement ité de lnp tanhq lnp tanhq à l ordre en. (c) On rappelle que tanpa bq tana tanb tanatanb. Déduire des questions précédentes le développement ité de lnptanq à l ordre en π 4.. Étudier les branches infinies de la courbe C représentant la fonction f définie par f pq ln. Eercice 4 On rappelle que, pour tout réel, pargshq.. Rappeler, pour α dans R, le développement ité à l ordre en de p uq α et déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. En déduire que celui de Argsh à l ordre 5 en est Argsh op 5 q.. À l aide du le développement ité à l ordre en de Argsh, étudier localement au point d abscisse la fonction Argsh. Eercice 5 Soit f la fonction définie de R dans R par # y y si y f p,yq sinon.. Déterminer et représenter graphiquement l ensemble de définition de f.. (a) Que vaut f p,q (b) Pour tout, calculer f p,q. La fonction f est-elle continue en p,q. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité partielle de f en p,q par rapport à et par rapport à y. 4. Pour tout p,yq de R tel que y, calculer fp,yq et fy p,yq. Année 5 6 novembre 5 Eercice. Résoudre les équations suivantes : et. 4

44 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 5 6. Résoudre l inéquation suivante.. Factoriser puis résoudre l inéquation suivante : Eercice.. Pour θ, π 6, π 4, π, π, rappeler les valeurs de cosθ et sinθ.. On considère les nombres complees z j i, z i et z i. (a) Déterminer (par le calcul ou géométriquement) les modules et arguments de z, z, z. (b) Déterminer la forme eponentielle de z, z, z. (c) Déterminer les modules et arguments de z z, z z, z 4. Eercice Calculer ou donner Ñ4 Ñ sin Ñ lnp q ln. Ñ 8 Eercice 4 Développer pa bqpa ab b q et en déduire Ñ. Eercice 5. En réduisant au même dénominateur prouver que cosa sina sina cosa. Résoudre dans R l équation sin π cotana tana. Le but de cette question est de prouver que sin cos ðñ rπs ou π rπs. (I.8) (a) Résoudre l équation sintcost. (b) Poser t et réécrire l équation (I.8) de façon à ce qu elle soit sous forme factorisée. (c) Résoudre l équation (I.8). 6 janvier 6 Eercice Soit f la fonction définie sur R par f pq cos sin. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Prouver que f peut être prolongée par continuité en.. Pour rπs, simplifier l epression de f pq. Eercice On considère la fonction f définie par f pq Arcsinp q. 4

45 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 5 6. Déterminer l ensemble de définition et l ensemble de dérivabilité de f.. Calculer la dérivée de f. Eercice. Rappeler la définition de Arcsin.. Prouver que, pour tout dans r,s, sinparcsinq.. Démontrer que, pour tout dans r,s, a cosparcsin q. et en déduire une simplification de tan parcsin q. Eercice 4 On considère la fonction f définie sur R par f pq ln. Le but de cet eercice est de démontrer le résultat, admis en cours, suivant : pour tout α dans Q, ln Ñ 8 α.. Sans calculer les ites au bornes de l ensemble de définition, dresser le tableau des variations de la fonction f.. Sachant que ln et en utilisant la question précédente, établir que pour tout, ln.. En déduire ln Ñ Soit α dans Q. En posant X α, prouver que ln Ñ 8 α. Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par f pq 7.. En étudiant le signe de sa dérivée, prouver que f est strictement monotone sur r, s.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver, en utilisant la méthode de dichotomie, (a) que 8 5 est une valeur approchée fractionnaire à près de ; (b) que,7 est une valeur approchée à près de. 4. Déterminer une racine évidente de l équation 7 et en déduire la valeur eacte de. février 6 Eercice Soit f la fonction définie sur R par f pq sin cos. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Prouver que f peut être prolongée par continuité en π.. Pour π,rπs, simplifier l epression de f pq. Eercice On considère la fonction f définie par f pq Arccos p q.. Déterminer l ensemble de définition et l ensemble de dérivabilité de f.. Calculer la dérivée de f. 44

46 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 5 6 Eercice Le but de cet eercice est de prouver que Arcsin Arcsin. (I.9). Rappeler la définition de y Arcsin. Adapter cette définition au cas de l égalité (I.9).. (a) On rappelle que, pour tout dans r,s, cosparcsinq. Déterminer une epression simplifiée de sinparcsin q. (b) Rappeler le sens de variation de la fonction Arcsin et en déduire un encadrement de Arcsin.. Conclure. Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R par # cos f pq si si.. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation). Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en (on justifiera l affirmation) Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par f pq 5 5 dont on admettra qu elle est strictement croissante sur r,s.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver, en utilisant la méthode de dichotomie, (a) que 8 87 est une valeur approchée fractionnaire à près de ; (b) que,4 est une valeur approchée à près de.. En remarquant que est racine de l équation 5 5 donner la valeur eacte de. 7 mai 6 Eercice Calculer les primitives suivantes :.. cos sin d t a t 4 4t dt Eercice En dérivant préalablement la fonction cotan, prouver par une intégration par parties que : π π 4 s sin s ds π 4 ln. Eercice Calculer les quantités suivantes au moyen d un changement de variable :. 4 d 6 d. en posant par eemple t, d p q Eercice 4 Résoudre les équations différentielles :. y plnqy 4ln 45

47 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 5 6. y 4y 6y Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par # sin f pq si si.. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation). Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en (on justifiera l affirmation) juin 6 Eercice. Donner les développements ités à l ordre 4 en des fonctions (a) t ÞÝÑ e t ; (b) t ÞÝÑ lnp tq ; (c) t ÞÝÑ cost ; (d) t ÞÝÑ sint ; (e) t ÞÝÑ sh t.. Calculer le développement ité d ordre 4 en de lnp qsh.. Calculer le développement ité d ordre en de cost. sint 4. Calculer le développement ité d ordre 4 en de ep p q. Eercice Calculer, pour tout paramètre β réel, Ñ 8 e lnpcos β q Eercice. Déterminer la nature de l intégrale 8 d.. Discuter, selon α P R, la nature de l intégrale 8 p q α d. Eercice 4 On rappelle que, pour tout réel, Argth ln.. Prouver que pargthq.. (a) Déterminer le développement ité à l ordre 5 en de. (b) En déduire que celui de Argth à l ordre 6 en est Argth 5 5 op 6 q. (I.). À l aide du développement ité à l ordre en de Argth, étudier localement au point d abscisse la fonction Argth. 4. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argth et donner la nature de l intégrale Eercice 5 Argth p q d. 46

48 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 6 7. Déterminer la nature de l intégrale 8 e u du.. (a) Comparer, pour u, e u et e u. (b) En déduire la nature de l intégrale 8 e u du puis de l intégrale 8 e u du. Année 6 7 er décembre 6 Eercice En utilisant les équivalents pour les deu dernières questions, calculer Eercice 7 5 Ñ 8 Ñ 8 tant tñ tant ln Ñ sinp q.. On pose : z i et z i. Déterminer (par le calcul ou géométriquement) les modules et arguments de (a) z ; (b) z ; (c) z z (d) z {z.. Déterminer la forme trigonométrique de z cosα i sinα (α Ps π,πr). Eercice. Simplifier l epression de la fonction f définie par b f pq puis construire sa courbe.. Résoudre dans R l équation trigonométrique : cos 4. Eercice 4 En justifiant le résultat, étudier le prolongement par continuité. en 4 de la fonction : f : ÞÑ 5 4. en de la fonction : f : ÞÑ sin Eercice 5 On cherche à résoudre numériquement l équation f pq où f pq 7. En admettant que f est strictement croissante sur l intervalle s, r, prouver que l équation f pq admet une unique solution sur cet intervalle.. En procédant par dichotomie, déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de et prouver que,6 est une valeur approchée à près de. 47

49 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année janvier 7 Eercice Énoncer le théorème des accroissements finis sous deu formes :. sur un intervalle ra,bs où a b ;. sur un intervalle d etrémités a et a h où a P R et h P R. Eercice. Soit f la fonction définie par f pq. (a) déterminer l ensemble de définition D f de f ; (b) déterminer l ensemble de dérivabilité D f de f ; (c) calculer la dérivée de f ; (d) déterminer la différentielle de f en.. Soit f la fonction définie par f pq Arccos. (a) déterminer l ensemble de définition D f de f ; (b) déterminer l ensemble de dérivabilité D f de f ; (c) calculer la dérivée de f ; (d) déterminer la différentielle de f en. Eercice Soit f la fonction définie sur R par # ln si f pq si.. Préciser l ensemble de définition de f.. La fonction f est-elle, en, (a) continue (b) dérivable. Définir eplicitement, notamment en : (a) la fonction f ; (b) la fonction f. Cette fonction f est-elle dérivable en 4. Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation complet. 5. On donne e,7 et e,. Construire approimativement la courbe représentative de f sur r, s en en précisant au moins trois points caractéristiques. Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R par f pq Arctan Arctan.. Déterminer l ensemble de définition de f.. Étudier la parité de f.. (a) Rappeler l ensemble de dérivabilité de la fonction Arctan puis, pour une fonction u, la dérivée de Arctan u. (b) En déduire l ensemble de dérivabilité de f et y calculer f. 4. En déduire que si Ps,r : Arctan Arctan. (I.) Quelles égalités de même nature obtienton sur les intervalles s, 8r et s 8,r 5. Rappeler la définition de Arctan et l utiliser afin de prouver différemment, pour Ps,r, l égalité (I.). Eercice 5. Déterminer des primitives des fonctions (a) ÞÑ 4, (b) ÞÑ, 48

50 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 6 7 (c) ÞÑ tan.. Déterminer la primitive de cos sin s annulant en π{. janvier 7 Eercice. Calculer (a) (b) 4 Ñ4 lnp q ln. Ñ 8. Rappeler la factorisation de a b et en déduire Ñ.. À l aide des équivalents, calculer les ites en de (a) (b) sin p q tan p πq cos 4. Déterminer l ensemble de définition et étudier la continuité, par prolongement éventuel, de la fonction f définie par f pq. Eercice Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations suivantes.. cosp π 8 q,. tan tanp π q. Eercice Déterminer les primitives de.. cos sin 4 Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R par f pq Arccos.. Tracer l allure de la courbe représentative de la fonction Arccos, en n omettant pas ses points caractéristiques.. Le but de cette question est de déterminer l ensemble de définition D f de la fonction f. On pourra s aider des questions suivantes. (a) Prouver que, pour tout réel,. (b) Rappeler l ensemble de définition de la fonction Arccos et déduire D f des questions précédentes.. Étudier la parité de la fonction f. 4. Calculer f pq, f pq et 8 f. 5. (a) Résoudre rapidement, à l aide des calculs effectués à la question (a), les équations et. (b) Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arccos est dérivable, en déduire le sous-ensemble de R sur lequel f est dérivable puis y calculer f. 49

51 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 6 7 (c) En déduire que si, Arctan Arccos. (I.) Qu en est-il pour Quelle égalité analogue obtient-on pour 6. À l aide de l égalité (I.), tracer l allure de la courbe représentative C f de la fonction f. avril 7 Eercice Calculer une primitive. de la fonction : ÞÑ. de la fonction : ÞÑ cos sin Eercice Par intégration par parties,. calculer plntq dt. prouver que π sin lnp sinqd π Eercice Au moyen d un changement de variable, calculer Eercice 4 d 4. Résoudre dans R l équation différentielle y y puis donner la solution s annulant en.. Résoudre l équation différentielle y y y Eercice 5 On rappelle que, pour tout réel, ch e e et sh e e. Pour tout n dans N, eprimer sh pnq.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre 4.. En déduire le développement de Taylor- Lagrange de la fonction sh en à l ordre 4. juin 7 Eercice. Donner les développements ités à l ordre 4 en des fonctions (a) t ÞÝÑ e t ; (b) t ÞÝÑ cost ; (c) t ÞÝÑ sint ; (d) t ÞÝÑ cht ; (e) t ÞÝÑ lnp tq ; (f) pour α P R, t ÞÝÑ p tq α.. (a) Calculer le développement ité de cos à l ordre en. (b) Étudier localement au point d abscisse la courbe C d équation cos y. 5

52 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 6 7 Eercice Soit f la fonction définie sur R par f pq p q p q. Étudier les branches infinies de la courbe représentative C de f. Eercice. Démontrer que, en, tanh h h oph q.. En déduire que le développement ité de lnp tan hq lnp tan hq à l ordre en est : lnp tanhqlnptanhq h. On rappelle que tanpa bq tana tanb tanatanb. 4 h oph q Déduire des questions précédentes le développement ité de lnptanq à l ordre en π 4. Eercice 4 On définit la fonction f sur R par b f pq e { et on note D et C les ensemble de définition et courbe représentative de f.. (a) Rappeler le sens de variation de la fonction eponentielle et en déduire une minoration, pour tout, de e {. (b) Prouver que D R.. (a) En procédant éventuellement au changement de variable t {, prouver que f admet pour développement ité généralisé au voisinage de 8 : f pq o. Eercice 5 (b) Déterminer le développement ité généralisé à l ordre de f au voisinage de 8. (c) Étudier les branches infinies de C.. On rappelle que, pour tout réel, ch e e sh e e. Indiquer la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R.. Déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. 4. On rappelle que, pour tout réel, pargshq. En déduire que le développement ité à l ordre 5 en de Argsh est Argsh op 5 q. (I.) 5. À l aide du le développement ité à l ordre en de Argsh, étudier localement au point d abscisse la fonction Argsh. 6. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argsh et donner la nature de l intégrale 4 Argsh p q d. 5

53 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 7 8 juin 7 Eercice On rappelle que, pour tout dans s,r, la fonction Argth satisfait Argth ln.. Soit dans s,r. Epliciter pargthq.. À l aide d une intégration par parties et d un éventuel changement de variable, prouver que { Argth d ln ln. 4 Eercice Calculer, éventuellement au moyen d un changement de variable, les intégrales :.. Eercice e e e s e s ds d plnq.. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y pcosqy cos.. Résoudre l équation différentielle y 8y 5y et en chercher la solution y vérifiant y pq et y pq. Eercice 4. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. Soit f la fonction f définie par f : ÞÝÑ lnp q. (a) Pour tout n dans N, eprimer la dérivée d ordre n de f. (b) Eprimer le développement de Taylor-Lagrange de la fonction f en à l ordre. Année 7 8 décembre 7 Eercice. Résoudre les équations suivantes : 4 et 4.. Factoriser 4 puis résoudre l inéquation : Eercice 4.. Résoudre les équations cos π et tan tan 4. Résoudre graphiquement (sans démonstration), dans R, l inéquation sin. Eercice. Rappeler le développement de pa bq 4.. En le considérant comme la partie réelle d un nombre complee à bien choisir, eprimer cos4θ, en fonction de cosθ et sinθ. Eercice 4 5

54 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 7 8. Rappeler les formules d Euler.. Linéariser sin 4 Eercice 5 Résoudre dans C l équation d inconnue z z 6z 5 janvier 8 Eercice Calculer Eercice a Ñ 8 Ñ 5 Ñ sin Ñ lnp q ln Ñ 8. Rappeler les équivalents en de e, lnp q, cos, sin, tan.. Calculer les ites en de (a) (b) sint sint ln tan.. Calculer e e a Ñ cosp q Eercice Étudier la continuité, par prolongement éventuel, des fonctions f, g et h définies respectivement par... f pq 5 gpq 4 (on pourra effectuer le changement de variable t 4 ) $ & cos si hpq % si. Eercice 4 On cherche à résoudre numériquement l équation f pq où f pq e.. En admettant que f est strictement croissante sur l intervalle s, r, prouver que l équation f pq admet une unique solution sur cet intervalle.. En procédant par dichotomie, déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de et prouver que,6 est une valeur approchée à près de. Eercice 5. Rappeler la définition de l arc cosinus.. Rappeler l ensemble de définition D de la fonction Arccos. 5

55 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 7 8. Tracer la courbe de la fonction Arccos. 4. Calculer Arccos, Arccos, Arccos, Arccos, Arccospq, Arccos. 5. Soit dans D Arccos. Prouver que Arccos Arccospq π. 6. Interpréter l égalité précédente relativement à la courbe C de la fonction Arccos. 8 janvier 8 Eercice. Calculer Ñ.. Résoudre dans R l inéquation puis eprimer sans valeurs absolues. Eercice Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations suivantes.. cos π 8,. tan tan π.. Résoudre dans R, puis dans sπ,πs, l inéquation cos sin. Eercice. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complees (a) cosϕ i sinϕ ; (b) p i tanϕq.. Calculer (a) Argpzq en fonction de Argpzq. Quel est le lien géométrique entre les images de z et z (b) Argpizq en fonction de Argpzq. Quel est le lien géométrique entre les images de z et iz Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R par f pq Arccos.. Le but de cette question est de déterminer l ensemble de définition D f de la fonction f. On pourra s aider des questions suivantes. (a) Résoudre l inéquation. de la question précé- (b) Déduire D f dente. (c) Résoudre rapidement, à l aide de la question (a), l équation.. Étudier la parité de la fonction f.. Calculer f pq, f pq et 8 f. 4. Prouver que, si, Arctan Arccos. (I.4) Quelle égalité analogue obtient-on pour 5. À l aide de l égalité (I.4), tracer l allure de la courbe représentative C f de la fonction f. 54

56 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année avril 8 Eercice Calculer une primitive. de la fonction : ÞÝÑ a ln. de la fonction : z ÞÝÑ ez e z Eercice Par intégration par parties,. calculer s Arctans ds. prouver que π pcosq lnp cosqd π Eercice Au moyen de changements de variable,. calculer d 6. calculer d 9 6. calculer d 4 4 Eercice 4. Pour un entier n quelconque, rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre n.. On pose f pq p q 4. (a) Développer l epression de f pq. (b) Donner le développement de Taylor-Lagrange de f en i. à l ordre ; ii. à l ordre ; iii. à l ordre 4. juin 8 Eercice. Rappeler, ou calculer, les développements ités d ordre 5 en de ch et sh.. Prouver que le développement ité d ordre 5 en de th est th 5 5 o 5 Eercice. Déterminer le développement ité d ordre 4 en de lnp qsinp q.. Prouver que p sinq 9 Eercice. Résoudre l équation différentielle y 4y. Résoudre l équation différentielle y 4y 6 o. En en résolvant d abord l équation sans second membre, résoudre l équation différentielle y 4 y. Déterminer, parmi toutes les solutions trouvées, celle qui s annule en. Eercice 4 On considère un réel c et l équation différentielle y y cy (I.5). On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5). 55

57 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 7 8. On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5).. On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5). Eercice 5. (a) À l aide de l eercice 4 page précédente, déterminer la ite en 8 de la solution générale de l équation différentielle y y y (I.6) (b) Prouver que la solution de l équation (I.6) vérifiant # ypq y pq est y e sinpq. En utilisant le théorème, déterminer une solution particulière puis, à l aide de la question de l eercice 4 page précédente, la solution générale de l équation différentielle y y y 7cos.. (a) Soit ϕ un réel de π, π. Prouver que tan ϕ {cos ϕ et eprimer cotan ϕ en fonction de sinϕ. (b) Soit λ et λ deu réels strictement positifs. On pose b A λ λ ϕ Arctan λ λ. (I.7) i. Rappeler ce que signifie l égalité (I.7). ii. En factorisant par λ (resp. par λ ) dans A, en déduire que λ A cosϕ λ resp. A sinϕ. iii. On pose, pour X réel, y λ cosx λ sinx. Prouver à l aide de la question précédente que y AcospX ϕq. Remarque On admettra dans la suite que cette dernière epression est valable pour tous λ et λ réels. iv. En déduire que la solution générale de l équation (I.6) peut s écrire y Ae cospϕq, A P R, ϕ P π, π. Théorème. Soit pa,b,cq un triplet de R R, P une fonction polynôme et α et ω deu réels. On considère les équations différentielles ay by cy P pqe α cosω (I.8) ay by cy P pqe α sinω. (I.9) Alors, une solution particulière où de l équation différentielle (I.5) est y Repe ϱ Qpqq de l équation différentielle (I.5) est y Impe ϱ Qpqq ϱ α iω Q est la fonction polynôme complee qu on détermine en résolvant l équation aq paϱ bqq paϱ bϱ cqq P sachant que 56

58 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 8 9. si aϱ bϱ c, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq. Année novembre 8 Eercice. Résoudre les équations suivantes : 4 9 et 4 9. Rappeler le développement de pa bq puis résoudre l équation t 6t t 8. Factoriser puis résoudre l inéquation :. Eercice On considère la fonction f définie par f pq tan π 4. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f.. Étudier la parité de f. Eercice. Calculer π{ π{4 puis cospπ{q et sinpπ{q.. En déduire cospπ{q, sinpπ{q, puis cosp5π{q, sinp5π{q, cosp7π{q et sinp7π{q. Eercice 4 Résoudre dans R l équation cos π Eercice 5 En en cherchant une racine évidente puis en factorisant à la volée, résoudre dans C l équation z z 4z 9 janvier 9 Eercice Pour chaque fonction f et chaque réel indiqués, calculer Ñ f pq.. et 8 et. 4 et f pq ; f pq 4 ;. et f pq ; 4. et 5. 8 et 6. 8 et f pq ln; f pq ; f pq b lnp q ln. 57

59 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 8 9 Eercice. Donner les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant.. Calculer (a) (b) (c) (d) cos Ñ e, sin84 Ñ sin5 Ñ lnp q. tan pe u qsin u uñ p7 uqptanuq lnp uq. En posant éventuellement h, calculer e e Ñ sinp q. Eercice Les fonctions f ci-dessous peuvent-elles être prolongées par continuité en. et f : ÞÝÑ ;. et. π{ et f : ÞÝÑ 5 ; f : ÞÝÑ p sinq tan. Eercice 4 On cherche à résoudre numériquement l équation ln. (I.4). Étudier, sans nécessairement la représenter graphiquement, la fonction f définie sur R par f pq ln On recourra éventuellement à un calcul de dérivée pour epliquer pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R.. Prouver que l équation (I.4) admet une solution unique α sur R, située dans l intervalle s,r.. Sachant que,6 < ln <,7,95 < ln <,94, < ln <,, < ln 8 8 <, (a) déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de α (b) prouver que,6 est une valeur approchée à près de α. Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par π 4 f pq cos π. 4. Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Prouver que f est continue ou peut être prolongée par continuité sur l ensemble " π R k π, k P Z *. 58

60 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 8 9 janvier 9 Eercice Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations. sin π 6 sin π 4 ;. tan cotan. Eercice. On rappelle que le nombre complee j est défini par j i où i. Déterminer le module et un argument puis placer dans le plan complee l image (a) de j, (b) de j.. Calculer Arg j ij.. Pour α Psπ,πr, déterminer la forme trigonométrique de z cos α i sin α. Eercice Au fur et à mesure qu une navette spatiale prend de l altitude, le poids de l astronaute diminue jusqu à atteindre un état d apesanteur. Le poids P pzq (en kg) d un astronaute, pesant P à la surface de la terre, est à l altitude z (en km) donné par R P pzq P R z où R 64km.. Soit p un réel strictement positif. Prouver que la solution de l équation P pzq p est d P z R p. À quelle altitude l astronaute ne pèserat-il plus que le quart de son poids initial. À quelle altitude l astronaute, pesant 6 kg à la surface de la terre, ne pèsera-til plus que 7 kg 4. À quelle altitude l astronaute sera-t-il en état d apesanteur complet Que penser du résultat Eercice 4. Prouver que si et seulement si. Eprimer sans valeurs absolues. mai 9 Eercice. Rappeler à quoi équivaut y Arcsin. De la fonction Arcsin, rappeler : (a) l ensemble de définition ; (b) l ensemble de dérivabilité.. Rappeler la dérivée de la fonction Arcsin. 4. Prouver que, pour tout convenable, a cosparcsin q a sinparccos q En déduire une epression simplifiée de tanparcsin q. Eercice Déterminer des primitives de.. sin cos. cos plnq Eercice Soit f la fonction définie sur R par # cos f pq si si.. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation) 59

61 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 8 9. Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en (on justifiera l affirmation) Eercice 4 Pour t, on pose vptq t t.. Prouver que l ensemble de définition D de la fonction v est r,s.. Déterminer le maimum de la fonction v sur D.. (a) Pourquoi la fonction v est-elle intégrable sur D (b) Prouver, au moyen d une intégration par parties, que l intégrale de v sur D vaut 5. Définition I.4.. (c) Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra,bs la quantité µ définie par µ b a b a f ptq dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D. Eercice 5 Soit f la fonction définie par a f pq ln. Prouver que l ensemble de définition D de f est R.. Calculer, pour tout réel, f pq.. Rappeler la dérivée de la fonction Argsh et en déduire que, pour tout réel, a Argsh ln 5 juin 9 Eercice. (a) Résoudre dans R l équation différentielle : dy d y (b) Résoudre dans R l équation différentielle : dy d y. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle : dy d psinqy sin. On considère l équation différentielle : d dt t t (I.4) (a) Déterminer les intervalles où l équation (I.4) est définie. (b) Résoudre l équation (I.4) sur s, 8r. (c) Parmi les solutions de l équation (I.4) sur s, 8r, déterminer celle(s) i. s annulant en ; ii. tendant vers en 8. Eercice On considère un réel c et l équation différentielle y 6y cy (I.4). On pose c 9. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.4).. On pose c 8. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.4). (a) On pose c 5. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.4). (b) Déterminer une solution particulière, puis la solution générale de l équation y 6y 5y e Eercice. (a) Déterminer le développement ité à l ordre 4 en de lnp qcos. 6

62 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 8 9 (b) En déduire le développement ité à l ordre 4 en de ln cosp q.. Prouver que, si est positif, le développement ité à l ordre en de a lnp q est : b lnp q 4 o (b) (c) 9 d 6 9 d Eercice 4 On note f la fonction, éventuellement prolongée par continuité en, définie par : f pq e sin. Prouver que le développement ité à l ordre en de f est : f pq. En déduire : (a) la ite de f en ; (b) la dérivée de f en ; 8 o (c) l équation de la tangente T à la courbe représentative C de f en ; (d) la position relative de C et T. Eercice 5. (a) Déterminer le développement ité à l ordre 4 en de (b) En déduire que celui de Arcsin à l ordre 5 en est Arcsin Calculer les primitives suivantes : (a) d op 5 q (I.4). (a) À l aide d une intégration par parties, prouver que a Arcsin d Arcsin K, K P R (b) En déduire la valeur de Arcsin d 4. (a) Rappeler trois epressions de cos θ et en déduire une epression de cos θ. (b) Au moyen du changement de variable sinθ, prouver que a d π 4 (c) Par intégration par parties, calculer Arcsin d 7 juin 9 Eercice L objet de cet eercice est de prouver que, pour tout, Argch ln On rappelle que y Argch ðñ a. (I.44) # chy y.. Rappeler l ensemble de définition de la fonction Argch.. (a) Prouver que si alors ln. 6

63 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 9 (b) En revenant à la définition de la fonction ch, calculer ch ln pour.. Déduire de ce qui précède la relation (I.44) pour. Eercice Soit f la fonction définie sur R par f pq Arcsin.. Prouver que, pour tout réel,. En déduire l ensemble de définition D de f.. Déterminer l ensemble de continuité C de f.. Déterminer l ensemble d étude E de f. 4. Calculer les valeur(s) et/ou ite(s) de f au bornes de son ensemble d étude. 5. Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable et en déduire l ensemble de dérivabilité D de f 6. Prouver que, sur D, # f si pq si. 7. Étudier les variations de f et en esquisser la courbe représentative. 8. Pour, utiliser l epression de f pq pour déterminer une epression plus simple de f pq. 9. Construire les courbes représentatives des fonctions Arctan, Arctan, Arctan et f en précisant, pour f, les points et les tangentes remarquables. Eercice Déterminer des primitives de. e z e z,. cost sin t.. cos plnq Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R par # sinp{q si f pq si.. Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en. Que peut-on dire de f en Eercice 5. Par intégration par parties, calculer { { parccosq d. On note Fpq la primitive : Fpq e cos d Par intégration par parties, obtenir une égalité liant Fpq à elle-même et permettant de déduire sa valeur. Année 9 6 novembre 9 Eercice Résoudre dans R les équations suivantes Eercice. Eprimer cosα puis cosα en fonction de cosα. 6

64 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 9. Résoudre dans R l équation sin π 6 π sin 4 Eercice On rappelle que le nombre complee j est défini par j i Calculer le module et un argument, puis placer dans le plan complee l image. de j. de j. de j (pour ce dernier, en retrouver alors une epression plus simple). Eercice 4 Calculer les ites suivantes, en ne distinguant ites à gauche et à droite qu en cas de nécessité.. (a) Ñ 8 a (b) Ñ (c) Ñ (d) Ñ (e) Ñ 7. (a) Ñ 8 (b) Ñ 8 ln. Pour les deu questions suivantes, on pourra recourir au équivalents. tan (a) Ñ lnp q e e (b) Ñ lnp q Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par f pq cos sin. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Étudier (a) la parité de f ; (b) la périodicité de f.. Déterminer π f. 4. En utilisant les équivalents, prouver que f peut être prolongée par continuité en. 5. Pour rπs, simplifier l epression de f pq. 8 janvier Eercice. Soit f la fonction définie sur R par # sin f pq si si. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation). Même question pour la fonction g définie sur R par # sin gpq si si. Eercice. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f définie par f pq Arcsin.. On rappelle que, pour tout dans r, s, a cosparcsin q sinparccos q En déduire une epression simplifiée de tan Arcsin. 6

65 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 9 Eercice Le but de cet eercice est de démontrer le résultat, admis en cours, suivant : pour tout α dans Q, ln Ñ 8 α. De la fonction ÞÑ ln, rappeler : (a) son ensemble de définition ; (b) son ensemble de continuité ; (c) les ites au bornes de son ensemble de définition ; (d) son sens de variation ; (e) la courbe représentative.. De la fonction ÞÑ, rappeler : (a) son ensemble de définition ; (b) son ensemble de continuité ; (c) les ites au bornes de son ensemble de définition ; (d) son sens de variation ; (e) la courbe représentative (qui sera tracée dans le même repère que la courbe de la fonction ÞÑ ln).. On admettra dans la suite que, pour tout, ln. En déduire ln Ñ Soit α dans Q. En posant X α, prouver que ln Ñ 8 α Eercice 4 On cherche à résoudre numériquement l équation e (I.45) On utilisera les inégalités : e,6, e 4,47, e 8 5,54.. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq e. On epliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R.. Prouver que l équation (I.45) admet une solution unique sur R, située dans l intervalle s,r.. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de 4. Prouver que,6 est une valeur approchée à près de. Eercice 5 On rappelle Arctan Arctan Soit f la fonction définie sur R par f pq Arctan π. Déterminer l ensemble de définition de f.. (a) Rappeler la parité et tracer rapidement la courbe représentative de la fonction Arctan. (b) Étudier la parité de f.. (a) Rappeler la définition de l arc tangente. (b) Prouver que, si P s,r, Arctan Arctan (I.46) (c) Obtenir des égalités de même nature que l égalité (I.46) : i. pour P s, 8r. ii. pour P s8,r. 64

66 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 9 4. (a) Prouver que pour et y positifs tels que y, Arctan Arctany Arctan y y (b) Établir des égalités de même nature pour et y positifs tels que y. (c) En déduire que Arctan Arctan Arctan π. 5 mars Eercice Soit f la fonction définie sur R par # ln si f pq si. Préciser l ensemble de définition de f.. La fonction f est-elle, en, (a) continue (b) dérivable. Définir eplicitement, notamment en : (a) la fonction f ; (b) la fonction f. Cette fonction f est-elle dérivable en 4. Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation complet. 5. On donne e,7 et e,. Construire approimativement la courbe représentative de f sur r, s en en précisant au moins trois points caractéristiques. Eercice Soit f la fonction définie par f pq Arccos.. déterminer l ensemble de définition D f de f ;. déterminer l ensemble de dérivabilité D f de f ;. calculer la dérivée de f ; 4. déterminer la différentielle de f en. Eercice. Déterminer des primitives des fonctions (a) ÞÑ 4, (b) ÞÑ, (c) ÞÑ tan.. Déterminer la primitive de cos sin s annulant en π{. Eercice 4 Par intégration par parties,. calculer plntq dt. prouver que π sin lnp sinqd π Eercice 5 Au moyen d un changement de variable, calculer d 4 4 juin Eercice. En recourant au besoin à une intégration par partie, rappeler ce que vaut ln d. Résoudre l équation différentielle : y plnqy. Résoudre l équation différentielle : y plnqy ln 65

67 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 9 Eercice. Résoudre l équation différentielle : y 4y 6y (I.47). Chercher la solution y de l équation (I.47) vérifiant y pq et y pq. Eercice. Rappeler les développements ités à l ordre 4 en des fonctions (a) ÞÝÑ e (b) ÞÝÑ cos (c) ÞÝÑ sin (d) ÞÝÑ lnp q (e) ÞÝÑ p q α pour α P R. Calculer les développements ités (a) en à l ordre de (b) en à l ordre de lnp q cos (c) en à l ordre de ln cosp q Eercice 4 On rappelle que, pour tout réel, ch e e sh e e th sh ch. Rappeler les développements ités à l ordre 5 en des fonctions (a) ÞÝÑ ch (b) ÞÝÑ sh. Démontrer que, en, th o En déduire que le développement ité de sinpthq à l ordre 5 en est : sinpthq 7 5 o 5 4. Calculer Eercice 5 sinpthq Ñ sin. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh. Epliquer pourquoi ces fonctions sont des bijections (qui seront précisées).. Déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. On rappelle que, pour tout réel, pargshq En déduire que le développement ité à l ordre 5 en de Argsh est Argsh o 5 (I.48) 4. À l aide de l égalité (I.48), déterminer : (a) la ite de la fonction Argsh en ; (b) la dérivée de la fonction Argsh en ; (c) l équation de la tangente T à la courbe représentative C de la fonction Argsh en ; (d) la position relative de C et T. 66

68 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année Année décembre Eercice. (a) Résoudre l équation 9 (b) Résoudre l équation 9. (a) Factoriser. (b) Résoudre l inéquation : Eercice Résoudre l équation cos 4 π 4 Eercice En en cherchant une racine évidente puis en factorisant à la volée, résoudre dans C l équation d inconnue z z 7z 9z Eercice 4. Calculer la ite de (a) en (b) en 8. Calculer Ñ. Calculer 6 Ñ (a) Rappeler sint tñ t (b) En déduire 5. Calculer 6. Calculer Ñ 8 sinptq tñ t e Ñ 8 ln 7. Calculer les ites de Eercice 5 (a) en cos (b) en 8 ln. Rappeler le développement de pa bq 4.. En le considérant comme la partie réelle d un nombre complee à bien choisir, eprimer cos4θ en fonction de cosθ et sinθ. 9 janvier Eercice. Donner les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant. Calculer (a) (b) tan Ñ lnp q cotan Ñ 67

69 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année (c) (d) (e) (f). Prouver que sin7 Ñ sin 49 lnp 7q Ñ tan 49 e u sin u uñ p7 uqptanuq lnp uq lnpcosq Ñ ptanq e e Ñ ln e Eercice En justifiant le résultat, étudier le prolongement par continuité. en de la fonction : f : ÞÑ sin. en 4 de la fonction : f : ÞÑ 5 4 Eercice Soit la fonction f définie sur R par f pq sin cos.. Déterminer et représenter graphiquement l ensemble de définition D f de f.. Étudier la parité de f.. Prouver que la fonction f peut être prolongée par continuité en. Eercice 4. Rappeler la définition de l arc cosinus.. Rappeler l ensemble de définition D de la fonction Arccos.. Tracer la courbe de la fonction Arccos. 4. Calculer Arccos, Arccos, Arccos, Arccos, Arccospq, Arccos. 5. Soit dans D Arccos. Prouver que Arccos Arccospq π 6. Interpréter l égalité précédente relativement à la courbe C de la fonction Arccos. Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par f pq 5. Factoriser a 5 b 5 par a b, en déduire le tau de variation de f puis prouver que f est strictement croissante sur r, 8r.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver (a) que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de ; (b) que,85 est une valeur approchée à près de. 6 mai Eercice Soit f la fonction définie par f pq Arcsin.. Rappeler l ensemble de définition de la fonction Arcsin.. Prouver que l ensemble de définition de f, noté D, est s 8,s Y r, 8r.. Déterminer l ensemble de dérivabilité D de f. 68

70 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année 4. Prouver que, pour tout de D, f pq 5. Déterminer la différentielle de f en. Eercice Soit f la fonction définie sur R par # cos f pq si si. Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en. Que peut-on dire de f en Eercice. Déterminer des primitives de (a) (b) cos sin (c) sh ch. Avec l aide éventuelle des formules d Euler, linéariser puis déterminer les primitives de sin. Eercice 4. À l aide d intégrations par parties, déterminer (a) ³ ρe ρ dρ (b) ³ s Arctans ds. Au moyen d un changement de variable, calculer : (a) 5 d 5 (b) pour a un réel non nul, a d a Eercice 5 On rappelle que, pour tout dans s,r, la fonction Argth satisfait Argth ln.. Soit dans s, r. Prouver que pargthq.. À l aide d une intégration par parties, calculer { 7 juin Argth d. Eercice. Résoudre l équation différentielle dy d y. Résoudre l équation différentielle dy d y Eercice. Prouver par intégration par parties que, sur π, π, cos d tan lnpcosq K, K P R. Résoudre sur π, π l équation différentielle dy d cos y. Résoudre sur π, π l équation différentielle dy d cos y 4 cos (I.49) 4. Déterminer la solution de l équation (II.) s annulant en. 69

71 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année Eercice. On considère un réel b et l équation différentielle y by 4y (I.5) (a) On pose b 5. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5). (b) On pose b 4. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5). (c) On pose b. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5).. En utilisant éventuellement le théorème, déterminer une solution particulière puis, à l aide de la question c), la solution générale de l équation différentielle y 4y cos (I.5). Déterminer la solution de l équation (I.5) telle que " ypq Eercice 4 y pq. Rappeler les développements ités à l ordre 4 en des fonctions ÞÝÑ e, ÞÝÑ cos, ÞÝÑ sin, ÞÝÑ lnp q et, pour α P R, ÞÝÑ p q α.. Prouver que le développement ité en à l ordre 4 de la fonction t ÞÝÑ sint cost est : t t o t 4. Déterminer le développement ité en à l ordre de la fonction t ÞÝÑ et lnp tq 4. On note C la courbe représentant la fonction f définie sur R par f pq ln. (a) Prouver que le développement ité à l ordre en e de f est f pq e peq e peq o p eq (b) Déduire de la question précédente l équation de la tangente T à C au point d abscisse e ainsi que la position relative de C et T. Eercice 5 On rappelle que, pour tout réel, ch e e, sh e e, th sh ch. Rappeler les développements ités à l ordre 5 en des fonctions (a) ÞÝÑ ch (b) ÞÝÑ sh. Démontrer que, en, th o En déduire que le développement ité de cospthq à l ordre 5 en est : 4. Calculer cospthq cospthq Ñ cos 4 8 o 5 Théorème. Soit pa,b,cq un triplet de R R, P une fonction polynôme et α et ω deu réels. On considère les équations différentielles ay by cy P pqe α cosω (I.5) ay by cy P pqe α sinω (I.5) Alors, une solution particulière où de l équation différentielle (I.5) est y Repe ϱ Qpqq de l équation différentielle (I.5) est y Impe ϱ Qpqq 7

72 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année ϱ α iω Q est la fonction polynôme complee qu on détermine en résolvant l équation aq paϱ bqq paϱ bϱ cqq P sachant que. si aϱ bϱ c, alors BQ BP et valq. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq. Année 5 novembre Eercice Eercice. Résoudre dans R l équation cos π 6 cos π. (a) En remarquant que π 4 π 8, prouver que a cos π 8 (b) En déduire sin π 8 et tan π 8. Eercice 4. (a) Rappeler les formules d Euler. (b) Linéariser cos.. En en cherchant une racine évidente puis en factorisant à la volée, résoudre dans C l équation Eercice 5. Calculer (a) z z 4z. Résoudre les équations suivantes : 6 5 et Factoriser puis résoudre l inéquation : (b). Rappeler 7 5 Ñ 8 Ñ 8. Eercice Soit la fonction f définie par f pq. Eprimer la fonction f sans valeur absolue.. Représenter graphiquement la fonction f. (a) (b). Prouver que sin Ñ tan Ñ cos Ñ 7

73 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année janvier Eercice. Rappeler les équivalents en de e, lnp q, cos, sin, tan.. Calculer les ites en de (a) cos pe q Eercice 4 Soit la fonction f définie sur R par f pq sin cos. Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Étudier la parité de f.. Prouver que la fonction f peut être prolongée par continuité en. Eercice 5 Soit f la fonction définie sur R par (b) (c) (d) Eercice Calculer sin t sin7t ln tan e u sin u p7 uqptanuq lnp uq f pq. Factoriser a b, en déduire le tau de variation : τ tb,au f paq f pbq a b de f entre b et a puis prouver que f est strictement croissante sur r, 8r.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver (a) Déterminer une valeur approchée fractionnaire à 8 près puis à près de ; (b) que,68 est une valeur approchée à près de... ln Ñ sinp q e e a Ñ cosp q Eercice En effectuant un changement de variable puis en recourant au équivalents, calculer tan Ñ π cos 4 avril Eercice Soit f la fonction définie sur R par # sin f pq si si.. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation). Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en (on justifiera l affirmation) Eercice Déterminer des primitives de 7

74 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année.. sh. cost sin t Eercice Calculer la primitive de cotan s annulant en π. Eercice 4 Soit f la fonction définie sur r, 8r par f pq ln a. Calculer, pour tout réel, f pq.. Rappeler la dérivée de la fonction Argch et en déduire que, pour tout réel, a Argch ln Eercice 5 Soit f la fonction définie par f pq Argch.. Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Déterminer l ensemble de dérivabilité D f de f.. Calculer la dérivée de f. 4. Déterminer la différentielle de f en. juin Eercice. En intégrant par parties, (a) calculer θ cos θ dθ (b) prouver que e ln d e 9. Au moyen d un changement de variable, calculer d 9 Eercice Résoudre dans R les équations différentielles suivantes, puis en déterminer les solutions valant en... dy d y dy d y. d dt t t Eercice Toutes les équations différentielles de cet eercice sont de fonction inconnue y et de variable.. Résoudre dans R : (a) y 5y 6y (b) 4y 4y y (c) y 4y 5y. De cette dernière équation, déterminer la solution telle que # ypq y pq. En s aidant éventuellement du théorème page suivante, résoudre dans R : y 4y 5y e Eercice 4. Rappeler les développements ités à l ordre 4 en des fonctions ÞÝÑ e, ÞÝÑ cos, ÞÝÑ sin, ÞÝÑ lnp q et, pour α P R, ÞÝÑ p q α.. (a) Déterminer le développement ité à l ordre 4 en de lnp qcos. (b) En déduire le développement ité à l ordre 4 en de ln cosp q. 7

75 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année. On note f la fonction, éventuellement prolongée par continuité en, définie par : f pq e sin Prouver que le développement ité à l ordre en de f est : f pq 8 o Eercice 5. Prouver que, si est positif, le développement ité à l ordre en de a lnp q est : b lnp q 4 o. (a) Déterminer le développement ité à l ordre 4 en de (b) (Hors barème) En déduire que celui de Arcsin à l ordre 5 en est Arcsin o 5 (I.54) Théorème. Soit pa,b,cq un triplet de R R, P une fonction polynôme et α et ω deu réels. On considère les équations différentielles ay by cy P pqe α cosω (I.55) ay by cy P pqe α sinω (I.56) Alors, une solution particulière où de l équation différentielle (I.55) est y Repe ϱ Qpqq de l équation différentielle (I.56) est y Impe ϱ Qpqq ϱ α iω Q est la fonction polynôme complee qu on détermine en résolvant l équation aq paϱ bqq paϱ bϱ cqq P sachant que. si aϱ bϱ c, alors BQ BP et valq. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq 74

76 Chapitre II Corrigés des épreuves Année avril 996 Eercice (p. 4).. On a à effectuer un produit de développements ités. cos!!! op q op q cos op q. 6 4! op q op q op q. On a cos op q op q. Donc C admet au point M d abscisse (d ordonnée {) une tangente T d équation y 5 8 et, puisque 6 pour tout réel, C reste en dessous de T dans un voisinage de M. Eercice (p. 4).. Par définition, y Arccos ðñ " cosy y π. (II.) 75

77 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Pour tout réel a, cosa cos a.. Il vient de la relation précédente que cosparccos 5 6 q cos parccos 5 6 q (II.) Or 5 6 donc Arccos Arccos 6 5 Arccos (car la fonction Arccos est décroissante sur r,s) donc Arccos 5 6 π{ et par suite Arccos 5 6 π. On déduit alors de (II.) et de (II.) que Arccos 5 6 Arccos 8 7. Eercice (p. 4).. On a à effectuer un quotient de développements ités. tan sin cos! op q! op q 6 op q op q. Or, le quotient de la division euclidienne de 6 ; donc tan op q.. (a) On sait que lnp hq h h h oph q. par est avec un reste de (b) Puisque h tan tend vers si tend vers, on obtient le développement ité de lnp tan q lnptan q par composition des développements ités de lnp hq et h tan : lnp tanq ln si bien que op q op q op q o op q op q lnp tanq lnp tanq op q op q op q op q lnp tanq lnp tanq 4 op q.. On pose t π{4. Alors, puisque tanpπ{4q, tanpπ{4 q tanpπ{4q tan tanpπ{4qtan tan tan. 76

78 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Donc Eercice 4 (p. 4). lnptan tq ln ptanpπ{4 qq tan ln tan lnp tanq lnp tanq 4 op q 4 lnptantq pt π{4q pt π{4q oppt π{4q q.. (a) Pour une fonction f de classe C sur un intervalle r,s, la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre donne f pq f p q f p q p! q où c est un réel de l intervalle s,r. f p q p! q (b) Si c, alors c donc p cq et par conséquent f pcq p! q p cq. (II.) (c) Pour tout, la fonction f : t ÞÑ lnp tq est de classe C 8 sur l intervalle r,s donc, grâce à la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre, on a où c f pq f pq f pq. Or f pq f pcq 6 f pq lnp q f pq donc, pour tout, f pq p q f pq p q f pq p cq. De la double inégalité (II.) on déduit pour tout que d où p cq lnp q.. Cette inégalité permet d affirmer que est une valeur approchée de lnp q à près dès que p q i.e. dès que p q (on peut même préciser qu il s agit alors d une valeur approchée par défaut). 77

79 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année On note que lnp,q lnp,q. Or, si,p q, on a p q et donc, p,q,95 est une valeur approchée de lnp,q à près par défaut. Eercice 5 (p. 5).. Étude préinaire. (a) (b) i. Puisque l ensemble de départ de la fonction v est r, 8r et puisque 4 t n eiste que pour t 4, l ensemble de définition D de la fonction v est r,4s. ii. La fonction v est dérivable sur r,4r et pour t 4, on a 4 v t ptq t p4 tq t 8 t. 4 t 4 t 4 t Il est clair que v est strictement positive sur r,8{r, nulle en 8{ et strictement négative sur r8{,4r ; donc v est maimale en t 8{ et vaut alors vp8{q {p q. i. La fonction v est intégrable sur r,4s car elle est continue sur cet intervalle. ii. On procède à une intégration par parties pour calculer ³ 4 vptqdt. 4 4 vptqdt t 4 t dt 4 4 tp4 tq p4 tq dt 4 p4 tq dt p4 tq vptqdt iii. On sait que la valeur moyenne V de v sur r,4s est donnée par. Etude concrète. V 4 4 vptqdt (a) On a immédiatement vpq vpt q. La fonction v est dérivable sur r,t r et pour t T, on a T v t ptq a t pt tq t T t a a. T t T t T t Puisque a, il est clair que v est strictement positive sur r,t {r, nulle en T { et strictement négative sur rt {,T r ; donc v est maimale en t T { et vaut alors vpt {q at a T {{ apt {q {. 78

80 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année (b) Puisque dptq vptqdt et pq, la fonction t ÞÑ ptq est la primitive s annulant en de la fonction (continue sur r,t s) t ÞÑ vptq ; donc T pt q vptq dt T at T t dt a tpt tq T a a pt q 4a 5 T 5. 5 pt tq 5 T T pt tq dt pt tq dt T La vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB est donnée par V T vptqdt pt q 4a T T 5 T. (c) La fonction v étant continue sur r,t s, on peut lui appliquer sur cet intervalle la formule de la moyenne : il eiste un réel c dans r,t s tel que vpcq T vptq dt T i.e. tel que vpcq V. Ceci prouve qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. On a $ & pt q % v M d où, par division, 4 5 T 5 pt {q { i.e. $ & % 4a 5 T 5 apt {q { i.e. T 8 h 6 8 s 5 s 6s. Donc V pt q{t {T 8 9 km/h. 79

81 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année mai juin 996 Année janvier 997 Eercice (p. 7).. On a : a a p q p q a a. Or, Ñ 8 Ñ 8 8. Donc a a. Ñ 8. On a, pour tout π{rπs, tan p sinq sin p sinq cos sin p sinq sin sin p sinq p sinqp sinq sin sin. Donc, puisque Ñπ{ sin, Eercice (p. 8). tan p sinq {. Ñπ{. (a) L ensemble de définition de la fonction f est R. Sur cet ensemble, f est continue et dérivable et, pour tout, Or, f pq. f pq ðñ ðñ ðñ 4. Donc f est strictement croissante sur s, 4r, strictement décroissante sur s4, 8r et admet un maimum absolu en 4. 8

82 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année (b) Puisque f admet un maimum absolu en 4, pour tout, f pq f p4q. Or f p4q ln4 ln pln q est strictement négatif. Par suite, pour tout, f pq i.e. ln. (c) On a donc, pour tout, ln{ { et, pour, ln{ {. Puisque Ñ 8 {, il s ensuit par le théorème des gendarmes que ln Ñ 8. (d) Pour, posons X α. Alors X {α et donc ln α lnx α X α lnx X. Or, si ÝÑ 8 alors X ÝÑ 8 donc, en vertu de la question précédente, ln Ñ 8 α XÑ 8 α lnx X.. (a) Puisque Ñ ln 8, Ñ f pq 8. D autre part Ñ 8 ln{ et f pq pln{ q si bien que Ñ 8 f pq 8. (b) À voir. Eercice (p. 8).. Soit a et b deu réels tels que a b et f une fonction continue sur ra,bs et dérivable sur sa,br. Alors, il eiste un réel c dans sa,br tel que f pbq f paq b a f pcq.. La température T est une fonction de la variable t (supposée dans l enoncé) continue et dérivable sur R ; donc, si t est l instant de début de la période considérée, T est continue sur rt,t s et dérivable sur st,t r. Par le le théorème des accroissements finis, il eiste un instant t dans st,t r tel que i.e. tel que T pt q T pt q t t dt dt pt q dt dt pt q {. Puisque 9{ 4, il eiste donc un instant, au cours de la période considérée, en lequel la vitesse de refroidissement a dépassé 4 C/h. Eercice 4 (p. 8). 8

83 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année (a) Par définition, y Arcsin ðñ # siny π{ y π{. (b) Soit un nombre dans r,s et y Arcsin. Alors, par définition, siny i.e. sinparcsinq. (c) Soit un nombre dans r,s. Alors, # siny y Arcsin ðñ π{ y π{ # sin y ùñ π{ y π{ # cos y ðñ π{ y π{ # cosy ðñ π{ y π{ a ùñ cosy car, si π{ y π{, alors cosy et donc cosy cosy. Il s ensuit que cosparcsinq. (d) On sait que, pour tout θ réel, sinθ sinθ cosθ. Donc, pour tout dans r,s, a sinparcsinq sinparcsinqcosparcsinq. (II.4). (a) Puisque Arcsin, la fonction Arcsin étant continue sur r,s, Ñ Arcsin. (b) On sait que sin. Ñ (II.5) Or, d après la relation (II.4), Arcsin sinparcsinq{ Arcsin sinparcsinq. Arcsin Donc, d après le théorème sur les ites de fonctions composées et la relation (II.5), Ñ Arcsin sinp Arcsin q siny. Ñ Arcsin yñ y Eercice 5 (p. 8). On rappelle que, par définition, Ñ 4 4 si, pour tout ε, il eiste α tel que α ùñ 4 4 ε. (II.6) 8

84 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Soit ε quelconque ; on doit chercher α (dépendant a priori de ε), tel que α ùñ 4 4 ε i.e. tel que i.e. tel que α ùñ ε α ùñ ε. On constate que, pour tout ε, le réel α ε est tel que la condition (II.6) soit réalisée ; donc Ñ 4 4. mars 997 Eercice (p. 9).. En intégrant par parties, t e t dt t et e t et dt t et 4 et pt q. 4. Puisque d{ dpln q, e e d e plnq dpln q e plnq plnq. En intégrant par parties, Arctan d Arctan si bien que l intégrale demandée égale π 4 e e 8 8. d π 4 dp q ln soit π 4 ln. 4. (a) i. On sait que cosα sin α donc sin α p cosαq{. ii. On a sinθ sinθ cosθ donc sinθ sin θ cos θ sin θ cos4θ. 4 8 (b) Posons θ Arcsin i.e. sinθ avec π{ θ π{ (la fonction ÞÑ Arcsin réalise en fait une bijection de r,s sur r,π{s). Il s en suit que d cosθ dθ a sin θ sin θ sin θ cos θ sin θ cosθ sin θ cosθ car π{ θ π{. si alors θ et si alors θ π{. 8

85 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Donc Eercice (p. 9). a d π{ π{ sin θ cos θ dθ cos4θ 8 θ 4 π{ 8 sin4θ 8 pπ{ q π 6.. On sait que la solution générale de l équation dθ y y (II.7) est y C ep d, C P R i.e. y Ce, C P R. On constate que y { est solution particulière de l équation y y. (II.8) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.8), somme de la solution générale de l équation (II.7) et d une solution particulière de l équation (II.8), est. L équation y Ce, C P R. y y 4y (II.9) a pour équation caractéristique r r 4 (II.) de discriminant p8iq. Donc l équation (II.) a pour solutions (complees conjuguées) r 8i 5 4i et r 8i Donc la solution générale de l équation (II.9) est y e 5 pc cos4 C sin4q, C,C P R. 5 4i. Eercice (p. 9). Soit A et B deu polynômes et k un entier positif. On rappelle que le polynôme Q est le quotient dans la division selon les puissances croissantes, à l ordre k, de A par B si et seulement si il eiste un polynôme R tel que # A B.Q X k R B Q k. Ici, A X, B X et k. On trouve Q X X X et X 4 R X 4 X 5 pi.e. R Xq. 84

86 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Eercice 4 (p. 9).. Si h alors, pour θ dans s,r, on a θh donc p θhq 4 et par conséquent p θhq 4. (II.). Soit f une fonction de classe C sur un intervalle fermé d etrémités et h (h P R ) et dérivable à l ordre sur le même intervalle ouvert. Alors, d après la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre, il eiste θ dans s,r tel que f phq f pq f pq h! f pq h! f pθhq h!. (II.). (a) Pour tout h, la fonction f : ÞÑ {p q est de classe C 8 sur l intervalle r,hs donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. Or f pq f pq p q f pq p q f pq 6 p q 4 donc f pq f pq f pq f pθhq Par conséquent, pour tout h, la formule (II.) donne f phq h h p θhq 4 h. De la double inégalité (II.), on déduit pour tout h que 6 p θhq 4. h h h h h. (b) Cette inégalité permet d affirmer, pour h, que h h est une valeur approchée de {p hq à près dès que p q h i.e. dès que p qh (on peut même préciser qu il s agit alors d une valeur approchée par ecès). (c) On note que {p,9q {p,9q. Or, si h,9p q, on a p qh et donc,9 p,9q,98 est une valeur approchée, par ecès, de {p,9q à près. Eercice 5 (p. 9).. On a vu en cours que (a) l intégrale 8 d α a converge si et seulement si α 85

87 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année (b) l intégrale b a d pb q α converge si et seulement si α.. La fonction f : ÞÑ p q{p4 q est définie sur R 4 ( donc est continue sur r, 8r. De plus, elle est positive sur cet intervalle. On a 4 8 i.e. 4 8 et g : ÞÑ { est continue sur r, 8r. Donc, puisque f et g sont continues et positives sur r, 8r et équivalentes en 8, les intégrales d et d sont de même nature. Or, en vertu de la question a page précédente, l intégrale 8 d converge donc il en est de même de l intégrale 8 4 d.. La fonction f : ÞÑ p q{p4 q est définie sur R 4 ( donc est continue sur r,s. Par suite, l intégrale 4 d est une intégrale de Riemann. Par ailleurs, on a prouvé que l intégrale 8 4 d converge. On en déduit que l intégrale 8 4 d est la somme de deu intégrales convergentes et est, à ce titre, elle-même convergente. 4 juin 997 Eercice (p. ). 86

88 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Soit f une fonction bijective d un sous-ensemble A de R sur un sous-ensemble B de R. Soit un élément de B tel que f soit dérivable et de dérivée non nulle en f pq. Alors f est dérivable en et f pq f f pq. f f pq. (a) La fonction cosinus hyperbolique ch est définie sur R par ch e e. C est une fonction paire, de dérivée sh (strictement positive sur R ). Par ailleurs, ch et 8 ch 8. On se reportera au cours pour la représentation graphique de la fonction ch. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur r, 8r. (b) La bijection réciproque de la fonction ch restreinte à R est la fonction notée Argch : # chy y Argch si et seulement si y. On sait que, pour tout, pargchq. (II.). (a) D après la relation (II.), dt t Argcht. (b) On a 4 4 Eercice (p. ). d d d b 9 4 b 4 d d b Argch d Argch6 Argch. 87

89 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année On sait que la solution générale de l équation p qy y (E ) est car y C ep a d, C P R i.e. y C, C P R ep d d ep ep ln. Par ailleurs, on constate que y est solution particulière de l équation complète p qy y. (E ) On aurait pu aussi utiliser la méthode de la variation de la constante qui conduit au même résultat. Il s en suit que la solution générale de l équation (E ), somme de la solution générale de l équation (E ) et d une solution particulière de l équation (E ), est a y C, C P R.. L équation y y y (E ) a pour équation caractéristique r r ayant pour solution réelle double r. On a vu en cours qu alors la solution générale de l équation (E ) est y e pc C q, C,C P R. Par ailleurs, la fonction y α β γ est une solution particulière de l équation complète (E ) si et seulement P R, α pα βq α β γ si et seulement P R, α p4α βq α β γ $ '& α 7 si et seulement si 4α β 8 '% α β γ 5 $ '& α 7 si et seulement si β '% γ si et seulement si y 7. Donc, la solution générale de l équation (E ) est y 7 e pc C q, C,C P R. 88

90 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Eercice (p. ).. Soit k un entier naturel non nul. En intégrant par parties, plntq k dt t plntq k t k t plntqk dt plntq k dt t plntq k k plntq k dt.. Il s en suit que plntq dt t plntq plntq dt plnq t plntq Eercice 4 (p. ). plntq dt plnq plnq 6 lnt dt plnq 6plnq 6 t plntq plntq dt plnq 6plnq ln 4.. Si h alors, pour θ dans s,r, on a θh donc p θhq 7 et par conséquent dt p θhq 7. (II.4). Soit f une fonction de classe C sur un intervalle fermé d etrémités et h (h P R ) et dérivable à l ordre sur le même intervalle ouvert. Alors, d après la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre, il eiste θ dans s,r tel que f phq f pq f pq h! f pq h! f pθhq h!. (II.5). (a) Pour tout h, la fonction f : ÞÑ { est de classe C 8 sur l intervalle r,hs donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. Or $ p q si k, '& f pkq pq p q si k, 4 '% p q 5 si k, 5 8 p q 7 si k, donc f pq, f pq, f pq 4, f pθq 5 8 p θhq 7. 89

91 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Par conséquent, pour tout h, il eiste d après la formule (II.5) un réel θ dans s,r tel que f phq h h p θhq 7 h 6. De la double inégalité (II.4), on déduit pour tout h que d où p θhq h 5 8 p θhq 7 h 6 et par suite h h 8 5h 6 h h h 8. (b) Cette inégalité permet d affirmer, pour h, que h 8 h est une valeur approchée de { h à près dès que p q 6 5 h i.e. dès que p qh a 6{5 (on peut même préciser qu il s agit alors d une valeur approchée par ecès). (c) On note que {, {,. Or, si h,p q, on a p qh a 6{5 et donc,{ p,q {8,9575 est une valeur approchée, par ecès, de {, à près. Eercice 5 (p. ).. Le premier terme non nul dans le développement ité en de sint est celui d ordre de cost est celui d ordre, le développement ité en de sint cost à l ordre 4 sera obtenu par produit des développements ité en de sint à l ordre 4 et de sint à l ordre : sint cost t t o t 4 t o t t t o t 4 6 sint cost t t o t 4. (On pouvait aussi utiliser l identité sint cost sint.). On a e t lnp tq t e t lnp tq t t o t t t t o pt q t6 t t o t. t t t o pt q 9

92 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année La division selon les puissances croissantes de t t 6 par t t t t. Donc e t lnp tq t t o t. à l ordre vaut. (a) On a p eq p eq o e e f pq lnpe hq p eq. (b) Déduire de la question précédente l équation de la tangente T à C au point d abscisse e ainsi que la position relative de C et T. Année novembre 997 Eercice (p. ).. On a On a 4 Ñ4 4 Ñ4 p 4qp q Ñ4 7. lnp q ln Ñ 8 Ñ 8 ln Ñ 8 ln or Ñ 8 { et uñ lnu donc lnp q ln. Ñ 8 ;. L ensemble de définition de f est r,rys, 8r. Sur cet ensemble, f est continue. Eaminons le cas du point ; en multipliant au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée, Ñ 4 Ñ p qp q Ñ 4 donc f est prolongeable par continuité en en posant f pq {4.. Il est clair que pa bqpa ab b q a b et donc Ñ Ñ p q Ñ p qp p q q Ñ p q donc la ite demandée est. 9

93 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Eercice (p. ). On sait que, en, e, tan, sin, lnp q. Donc, puisque Ñ et Ñ, on a en tan, sin, si bien que pe qtan Ñ sin Ñ. Par ailleurs, Ñ Eercice (p. ). ln sinp q lnp hq hñ sinh h hñ h.. On note que j cos π i sin π ei π donc j et Argj π rπs.. On sait que j j et que Arg j Argj rπs donc j et que Arg j 4π rπs. Eercice 4 (p. ). Eercice! Eercice 5 (p. ).. On sait que l ensemble de définition de la fonction Arcsin est r,s donc, puisque {p q est défini pour tout réel, P D f ðñ Donc $ & P D f ðñ % ðñ p q p q. # ðñ # si bien que D f R. Autre méthode. P D f ðñ ðñ ðñ ðñ d où. (a) Cours! P D f ðñ ðñ p q ðñ P R. 9

94 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année (b) La fonction Arcsin est impaire. L ensemble de définition D f de f est symétrique par rapport à ; pour dans D f, on a pq f pq Arcsin pq Arcsin Arcsin. D où f pq f pq donc f est impaire et on ne l étudie que sur R.. On a f pq Arcsin π{. D autre part, Ñ 8 {p q donc, puisque la fonction Arcsin est continue sur r,s donc en, on a 8 f Arcsin. 4. (a) i. D après la question (), {p q si et seulement si. De plus, d après la question (), {p q si et seulement si. ii. On sait que l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable est s,r. Donc le sous-ensemble de D f sur lequel f est dérivable est R t;u et, par suite, celui de R sur lequel f est dérivable est R tu. (b) Eercice! (c) Si u est une fonction dérivable en et upq parcsinupqq u pq a u pq. alors Le reste de la question est en eercice! 5. (a) Par définition, y Arctan ðñ # tany π y π. (b) i. Si alors, la fonction Arctan étant strictement croissante sur R, Arctan Arctan Arctan, d où Arctan π 4 i.e. y π 4 donc y π. ii. Si alors, la fonction Arctan étant strictement croissante sur R, Arctan Arctan, d où π{ Arctan π 4 (car, par définition, Arctan π ) i.e. π y π d où π y π et finalement π y π. (c) Soit. à l aide de l égalité siny tany tan y démontrée à l Eercice (4), on obtient tany f pq Arcsin tan Arcsin psin yq. y (II.6) (d) i. Si alors y π donc, en utilisant l égalité (II.6), # f pq Arcsinpsinyq y π 9

95 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Eercice! ce qui, par définition de la fonction Arcsin, équivaut à $ '& siny sinf pq '% π f pq π y π. Or, si deu nombres ont même sinus et sont compris entre π{ et π{, ils sont égau. Il s ensuit que f pq y soit, par la définition de y, f pq Arctan. ii. Si alors π y π donc, en utilisant l égalité (II.6), # f pq Arcsinpsinyq y π 6 février 998 Eercice (p. ). soit, puisque sinpπ yq sin y, # f pq Arcsinpsinpπ yqq π y π ce qui, par définition de la fonction Arcsin, équivaut à $ '& sinpπ yq sinf pq '% π f pq π π y π. Pour les mêmes raisons que précédemment, il s ensuit que f pq πy soit, par la définition de y, f pq π Arctan.. On a ρe ρ dρ ρe ρ e ρ dρ ρe ρ e ρ et Arcsin d Arcsin d a a Arcsin π 6 c 4 Arcsin d 6 π. a d 94

96 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année On a d d 9 π. d 9 d d darctan Arctan parctan Arctanq De plus, avec u ln, e d e e plnq 4 dln e plnq 4 du u u Eercice (p. ). On sait que la solution générale de l équation y y (II.7) est y C ep d, C P R i.e. y Ce, C P R. Utilisons la méthode de la variation de la constante et cherchons une solution particulière de l équation complète y y e (II.8) sous la forme y Cpqe. Alors y Cpqe est solution de (II.8) si et seulement si C pqe e si et seulement si Cpq K, K P R si et seulement si y p Kqe, K P R. On sait qu alors la solution générale de l équation complète (II.8) est y p Kqe, K P R. Eercice (p. ). L équation différentielle sans second membre y 4y y (II.9) a pour équation caractéristique r 4r soit pr q 9 soit pr q piq soit pr iqpr iq soit r i ou r i. On a vu en cours qu alors la solution générale de l équation (II.9) est y e pλcos µsinq, λ,µ P R. 95

97 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Par ailleurs, puisque le coefficient de y dans l équation complète y 4y y 6 9. (II.) est non nul, cette équation admet comme solution particulière une fonction de la forme y α β γ. Or y α β γ est solution particulière de (II.) si et seulement P R, α 4pα βq α β γ 6 9 si et seulement P R, α p8α βq α 4β γ 6 9 $ '& α 6 si et seulement si 8α β '% α 4β γ 9 $ '& α si et seulement si β '% γ si et seulement si y. Donc, la solution générale de l équation différentielle (II.) est y e pλcos µsinq, λ,µ P R. Eercice 4 (p. ).. La relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique P R, ch sh. La fonction ch est définie sur R, paire, de dérivée première sh et de dérivée seconde ch ; par ailleurs, ch et 8 ch 8. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur r, 8r. On se reportera au cours pour sa représentation graphique. La fonction sh est définie sur R, impaire, de dérivée première ch et de dérivée seconde sh ; par ailleurs, sh et 8 sh 8. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur R. On se reportera au cours pour sa représentation graphique.. Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle fermé d etrémités et h ( P R ) et dérivable à l ordre n sur le même intervalle ouvert. Alors, d après la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre n, il eiste θ dans s,r tel que f p hq ņ k f pkq p q hk k! h n pn q! f pn q p θhq. (II.). (a) La fonction ch étant croissante sur R, on a # θ ùñ θ ùñ ch chθ ch ùñ chθ {. 96

98 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année (b) Pour tout, la fonction sh est de classe C 8 sur l intervalle fermé d etrémités et donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre 5. Or il est clair que, pour tout k dans N, # sh pkq sh si k est pair ch si k est impair donc sh pkq # sh ch si k est pair si k est impair. Par conséquent, pour tout, la formule (II. page précédente) à l ordre 5 assure l eistence d un réel θ dans s,r tel que i.e. sh sh 6 5 chθ 5 chθ. (II.) 6 Or, si est dans r, s alors, d après la question a page précédente, # 5 chθ { si bien que (c) 5 5 shθ 5 8. On déduit de cet encadrement et de la relation (II.) l encadrement demandé. i. La question précédente permet d affirmer, puisque est dans r, s, que ch Or il est clair que 9 donc Ceci prouve que α est une valeur approchée de ch à 9.8 près et, puisque ch 4 4 i.e. ch α, c est par défaut que α est une valeur approchée de ch à 9.8. ii. Puisque α a 8, l inégalité triangulaire permet d affirmer que ch a ch α α a si bien que a est une valeur approchée de ch à 7 près. 97

99 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année Eercice 5 (p. 4).. La bijection réciproque de la fonction ch restreinte à R est la fonction Argch, dont l ensemble de définition est r, 8r. Donc # chy y Argch si et seulement si y.. (a) La dérivée de la fonction Argch est donnée Argch (b) On en déduit dt t Argcht et avec t 4. d dt 4t 4. (a) On a Argch et ln ln est vraie. (b) On a, par définition, # y Argch 6 dt t Argch6 Argch. donc, pour, la relation Argch ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ $ '& chy '% y # chy y # ey e y y # e y pe y q y # pe y q e y y. (c) i. On a, étant strictement positif puisque, X X ðñ px q a ðñ px q a ðñ X X ðñ X a a ou X a. 98

100 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année ii. On a, pour, # ðñ ðñ ðñ ðñ # # p q # # ðñ P Supposons et y. Alors e y donc, d après le raisonnement précédent, e y n a lieu pour aucun réel. On a donc, pour, # y Argch ðñ ðñ ðñ # pe y q e y y # e y y # y ln y ou e y ou # y (car si ) ðñ y ln a. Donc, pour tout, Argch ln a. juin 998 Année novembre 998 Eercice (p. 5). 99

101 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année L équation P pzq p équivaut à i.e. i.e. i.e. R P p R z d R z R P p d P (car P et p ) z R R (car R et z ) p d P z R p. (II.). L astronaute ne pèsera plus que le quart de son poids initial si et seulement si i.e. i.e. P pzq P {4 d P z R P 4 4 z R i.e. z R. Donc, c est à l altitude 64 km que l astronaute ne pèsera plus que le quart de son poids initial.. D après la question, l astronaute, pesant 6 kg à la surface de la terre, ne pèsera plus que 7 kg si et seulement si # P pzq 7 P 6 c 6 i.e. z R 7 9 i.e. z R i.e. z R. Donc, c est à l altitude 8 km que l astronaute ne pèsera plus que 7 kg. 4. L astronaute en état d apesanteur complet si et seulement si son poids p est nul ce qui correspond, d après (II.) à z 8. Bien sûr, ce résultat est d autant moins valable d un point de vue physique, qu à grande altitude (i.e. loin de la terre), l astronaute risquerait de s approcher d autres astres et d être donc soumis à l attraction que ceu-ci opéreraient, ce qui créerait de la pesanteur. Il est à noter que la relation donnant P pzq n est autre que la loi de la gravitation universelle de Newton. Eercice (p. 6).. Consulter le cours!

102 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année (a) La ite demandée est 4 5 car sin84 sin (b) La ite demandée est car 84 5 ÝÝÝÑ Ñ pe u qsin u p7 uqptanuq lnp uq u u p7 uqu u. (c) Posons t i.e. t ; alors Ñ équivaut à t Ñ et on a donc Eercice (p. 6). e e Ñ lnp q e t e tñ lnp tq. Par conséquent, la ite demandée est e car e t e lnp tq e et e t lnp tq tñ t e. tñ. Pour tout non nul, on a f pq p q p q. Donc f pq Ñ Ñ si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en en posant f pq.. Pour tout, on a f pq p q 5 9 p 5q 4 p q 5 p q 5 p q p q 5. 5 Donc f pq Ñ Ñ 5 si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en en posant f pq.

103 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année Pour tout π rπs, on a Donc f pq p sinq tan p sinqsin cos p sinqsin sin p sinqsin p sinqp sinq sin sin. f pq Ñ π Ñ π sin sin si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en π en posant f p π q. Eercice 4 (p. 6).. Un réel n appartient pas à D f si et seulement si cosp π 4 q i.e. cosp π 4 q i.e. cosp π 4 q cos i.e. π 4 rπs ou π 4 rπs i.e. π 4 rπs i.e. π rπ s. Donc, l ensemble de définition D f de f est R " π k π, k P Z *.. La fonction f est construite de manière naturelle. Elle est donc continue sur son ensemble de définition " π D f R k π *., k P Z De plus, pour π k π et k i.e. pour π, on a, en posant t π 4, Ñ π si et seulement si t Ñ. Or p π 4 q cosp π 4 q t cost t tñ t. tñ

104 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année Donc f pq Ñ π si bien que f est prolongeable par continuité en π en posant f p π q. Il s ensuit que f peut être prolongée par continuité sur l ensemble " π R k π *! " π π, k P Z Y R k ) π *., k P Z Eercice 5 (p. 6).. Il est clair que l ensemble de définition de f est R. Puisque 8 ep 8 et 8 ep, on a f 8 et f La fonction f est continue sur R et sa dérivée est donnée par f pq e. Donc f sur R si bien que f est strictement croissante sur R. On aurait aussi pu remarquer que f est la somme de deu fonctions strictement croissantes sur R : ÞÑ et ÞÑ e cette dernière l étant car la fonction ep l est.. D après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, puisque f est continue strictement croissante sur R et 8 f 8 f, l équation f pq, équivalente à l équation (), admet une unique solution réelle a. Puisque de plus f pq et f pq e e e (car ep est strictement croissante sur R), on sait que a appartient à s,r.. (a) Puisque e,6, on a,6 e,59 donc e si bien que f. Or f pq f pq donc f p q f pq et donc a appartient à s,r. (b) De plus, puisque e 4,47 on a,48 e 4,46 donc 4 e 4 si bien que f. 4 Or f p q f pq donc f p q f p 4 q et donc a appartient à s, 4 r.

105 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année (c) Enfin, 8 5,65 (division euclidienne!) donc, puisque e 5 8,54, on a,55 e 8 5,5 donc 5 8 e si bien que f. 8 Or f p q f p 4 q donc f p q f p 5 8 q et donc a appartient à s, 5 8 r. (d) Le diamètre de l intervalle s, 5 8 r est,5 donc a est distant de son centre 6 9 d au plus son rayon qui vaut,5 soit,65. Par conséquent a 9 6,65 6 février 999 Eercice (p. 6). donc 6 9 est une valeur approchée fractionnaire à près de a. 9 De plus, 6,65,565 donc, par l inégalité triangulaire, a,56 a,565,565,56 a,565,565,56, 65, 5,65 si bien que,56 est une valeur approchée à près de a.. On a, pour une certaine constante C, plnsq ds s plnsq s lns ds s s plnsq lns ds s plnsq s lns s ds s plnsq s lns s On a π. On a s plnsq ps lns s Cq. t cost d t sint d 9 π π d 9 9 sint dt d Arctan Arctan Arctan d Arctan π. cost π 9. ds 4

106 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année On a, pour une certaine constante C, dt t t dt dpt q pt q pt q d C. t t Eercice (p. 6).. Par définition, y Arccos ðñ # cosy y π. (II.4). Pour tout réel a, on sait que cosa cos a.. Puisque pour tout t dans r,s, cosparccostq t, il vient de la relation précédente que cosparccos 7 8 q cos parccos 7 8 q (II.5) Or 7 8 donc Arccos Arccos 8 7 Arccos (car la fonction Arccos est décroissante sur r,s) donc Arccos 7 8 π{ et par suite Arccos 7 8 π. On déduit alors de (II.4) et de (II.5) que Arccos Arccos. Eercice (p. 7).. Voir le cours.. Pour tout h, la fonction f : ÞÑ est de classe C 8 sur l intervalle d etrémités et h donc, grâce à la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre, on sait qu il eiste θ dans s,r tel que Or f phq f pq f pqh f pq f pθhq h 6 $ p q si k, '& f pkq pq p q si k, 4 '% p q donc si k, 8 p q 5 si k h $ '& si k, f pkq pq si k, '% 4 si k. Il s ensuit que, pour tout h, il eiste θ dans s,r tel que f phq h h 8 h 6 p θhq 5. 5

107 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 Eercice 4 (p. 7). On sait que la solution générale de l équation y y (II.6) est y C ep d, C P R i.e. y Ce, C P R. On constate que y { est solution particulière de l équation y y. (II.7) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.7), somme de la solution générale de l équation (II.6) et d une solution particulière de l équation (II.7), est y Ce, C P R. Eercice 5 (p. 7). On sait que la solution générale de l équation y y (II.8) est y C ep d, C P R i.e. y Ce, C P R. On constate que y { est solution particulière de l équation y y. (II.9) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.7), somme de la solution générale de l équation (II.6) et d une solution particulière de l équation (II.7), est y Ce, C P R. juin 999 Année 999 décembre 999 Eercice (p. 9).. Voir le cours.. (a) Puisque $ '& cos π '% sin π 6

108 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 on a z et Argpz q π. On voit aisément géométriquement que z et Argpz q π 4. Puisque z p i q et $ '& cos π 6 '% sin π 6 on a z et Argpz q π 6. (b) Il s ensuit que z e iπ{, z e iπ{4 et z e iπ{6. (c) On a donc Eercice (p. 9). z z e iπ{ e iπ{4 e ipπ{π{4q e 5iπ{ si bien que z z et Argpz z q 5π ; z e iπ{4 z e iπ{6 si bien que z z eipπ{4π{6q e5iπ{ et Argp z z q 5π ; z 4 j4 e iπ{ 4 e 8iπ{ e ipπ{ πq e iπ{ j z si bien que z 4 et Argpz 4 q π.. On remarque que f pq donc, puisque Ñ et Ñ, on a f 8. Par ailleurs, Ñ 8 Ñ 8 donc 8 f.. On remarque que, pour 4, f pq. On remarque que, pour, 4 p4qp q donc 4 f 7. f pq p qp q p qp q donc f 4. 4 p qp q 4. On sait que «la puissance l emporte sur le logarithme donc, puisque Ñ et Ñ ln 8, on a f. 5. On remarque que f pq p qp q donc 8 f. p q 7

109 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année Puisque Ñ 8 et uñ lnu, on a 8 f. Eercice (p. 9).. Voir le cours.. (a) La ite demandée est car, en, cos e. (b) La ite demandée est { car, en, lnp q tan. Posons h. Alors. e e sinp q e h e e pe h q sinh sinh ce qui, en, est équivalent à e h h e donc la ite demandée est e. Eercice 4 (p. 9).. Les fonctions sin et cos sont définies sur R donc R D f ðñ cos ðñ cos ðñ rπs. Il s en suit que D f R tk π, k P Zu.. La fonction f est paire car (a) son ensemble de définition D f est symétrique par rapport à ; (b) puisque les fonctions sin et cos sont respectivement impaire et paire, pour tout dans D f, f pq pqpsinq cos f pq.. En, la fonction f n est pas continue mais f pq {. Donc f peut-être prolongée par continuité en en posant f pq. 4. (a) Soit un réel. Alors ϕp hq ϕpq h donc ϕ pq. λ λ h ÝÝÝÑ hñ 8

110 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 (b) Voir le cours. (c) On a, pour tout de D f, Eercice 5 (p. ). f pq p sinq p cosq sinp cosq p cosq psin cosqp cosq sin sin p cosq psin cosqp cosq sin p cosq psin cosqp cosq p cos q p cosq p cosqpsin cos p cosqq p cosq sin cos.. (a) La définition de y Arctan est # tany y Arctan ðñ π y π. Donc, par définition, # Arctan Arctan 4 4 ðñ tan Arctan π Arctan π. (II.) (b) i. On sait que donc tana tana tan a. tan Arctan tan Arctan tan Arctan (II.) ii. La fonction Arctan est strictement croissante sur R donc, puisque, on a Arctan Arctan Arctan i.e. Arctan π 4 ce qui implique π Arctan π. (II.) (c) D après l équivalence (II.), l égalité (II.) et l encadrement (II.) prouvent que Arctan Arctan 4. 9

111 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999. Par définition, Arctan π Arctan 4 ðñ π Arctan Arctan 4 ðñ # 4 tanpπ Arctanq π π Arctan π. (II.) (a) On sait que tanpπ θq sinpπθq cospπθq cosθ sinθ tanθ donc tanpπ Arctanq tanparctanq tanparctanq tan parctanq 4. (II.4) (b) La fonction Arctan est strictement croissante sur R donc, puisque, on a Arctan π Arctanp q i.e. π 4 Arctan π i.e. π Arctan π donc π Arctan π i.e. π Arctan π ce qui implique π π Arctan π. (II.5) (c) D après l équivalence (II.), l égalité (II.4) et l encadrement (II.5) prouvent que Arctan π Arctan 4.. (a) Soit d abord un réel tel que. Par définition, Arctan Arctan ðñ i. On a # tanparctanq π Arctan π. (II.6) tanparctanq tanparctanq tan parctanq. (II.7) ii. La fonction Arctan est strictement croissante sur R donc, puisque, on a Arctan Arctan Arctan i.e. Arctan π 4 ce qui implique π Arctan π. (II.8) iii. D après l équivalence (II.6), l égalité (II.7) et l encadrement (II.8) prouvent que, si, Arctan Arctan. (b) Soit ensuite un réel tel que. L égalité Arctan π Arctan équivaut à Arctan π Arctan. Or, par définition, Arctan π Arctan ðñ # tanparctan πq π Arctan π π. (II.9)

112 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 er mars Eercice (p. ). i. On sait que tanpθ πq sinpθπq cospθπq cosθ sinθ tanθ donc tanparctan πq tanparctanq tanparctanq tan parctanq. (II.4) ii. La fonction Arctan est strictement croissante sur R donc, puisque, on a π Arctan Arctan p q i.e. π 4 Arctan π i.e. π Arctan π i.e. π Arctan π ce qui implique π Arctan π π. (II.4) iii. D après l équivalence (II.9), l égalité (II.4) et l encadrement (II.4) prouvent que, si,. Étude préinaire. Arctan π Arctan. (a) (b) i. Puisque l ensemble de départ de la fonction v est r, 8r et puisque 4 t n eiste que pour t 4, l ensemble de définition D de la fonction v est r,4s. ii. La fonction v est dérivable sur r,4r et pour t 4, on a 4 v t ptq t p4 tq t 8 t. 4 t 4 t 4 t Il est clair que v est strictement positive sur r,8{r, nulle en 8{ et strictement négative sur r8{,4r ; donc v est maimale en t 8{ et vaut alors vp8{q {p q. i. La fonction v est intégrable sur r,4s car elle est continue sur cet intervalle. ii. On procède à une intégration par parties pour calculer ³ 4 vptq dt. 4 4 vptq dt t 4 t dt 4 4 tp4 tq p4 tq dt 4 p4 tq dt p4 tq

113 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 iii. D après la définition, la valeur moyenne V de v sur r,4s est donnée par V ³ vptq dt 5.. Étude concrète. (a) On a immédiatement vpq vpt q. La fonction v est dérivable sur r,t r et pour t T, on a T v t ptq a t pt tq t a T t T t a T t T t. Puisque a, il est clair que v est strictement positive sur r,t {r, nulle en T { et strictement négative sur rt {,T r ; donc v est maimale en t T { et vaut alors vpt {q at a T {{ apt {q {. (b) Puisque dptq vptq dt et pq, la fonction t ÞÑ ptq est la primitive s annulant en de la fonction (continue sur r,t s) t ÞÑ vptq ; donc pt q T T vptq dt at T t dt a tpt tq T a a pt q 4a 5 T 5. 5 pt tq 5 T T pt tq dt pt tq dt T La vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB est donnée par V pt q T ³ T T vptq dt 5 4a T. (c) La fonction étant continue sur r,t s et dérivable sur s,t r, on peut lui appliquer sur cet intervalle le théorème des accroissements finis : il eiste un réel c dans r,t s tel que pt q pq pt q ³ pcq i.e. tel que vpcq T T vptq dt ou encore tel que vpcq V. Ceci prouve qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. On a # pt q v M d où, par division, 4 5 T 5 pt {q { i.e. # 4a 5 T 5 apt {q {

114 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 i.e. Eercice (p. ). T 8 h 6 8 s 5 s 6s. Donc V pt q{t {T 8 9 km/h.. On sait que la solution générale de l équation y pcosqy (II.4) est y C ep cos d, C P R i.e. y Ce sin, C P R. On constate que y est solution particulière de l équation y pcosqy cos. (II.4) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.4), somme de la solution générale de l équation (II.4) et d une solution particulière de l équation (II.4), est. L équation y Ce sin, C P R. y 8y 5y (II.44) a pour équation caractéristique r 8r 5 (II.45) de discriminant 64 6 p6iq. Donc l équation (II.45) a pour solutions (complees conjuguées) r 8 6i 4 i. Donc la solution générale de l équation (II.44) est y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R. La fonction y est solution de l équation (II.44) vérifiant y pq et y pq si et seulement si $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R y pq '% pq y i.e. $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R λ '% 4λ λ

115 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 999 car si y e 4 pλ cos λ sinq alors y 4e4 pλ cos λ sinq e 4 pλ sin λ cosq. Le précédent système équivaut à $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R λ '% λ 4{ donc la fonction y solution de l équation (II.44) vérifiant y pq et y pq est donnée par y e cos 4 4 sin. Eercice (p. ).. (a) Pour une fonction f de classe C sur un intervalle fermé d etrémités et h et dérivable à l ordre sur l intervalle ouvert correspondant, la formule de Taylor-Lagrange à l ordre donne f phq f pq f pq h! f pq h! où θ est un réel de l intervalle s,r. f pθhq h! (b) Si h et θ alors θh donc θh si bien que p θhq et par conséquent p θhq. (II.46) (c) Pour tout h, la fonction f : t ÞÑ lnp tq est de classe C 8 sur l intervalle r,hs donc, grâce à la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre, on a où θ f phq f pq f pqh. Or f pq f pθhq h 6 f pq lnp q, f pq, f pq p q, f pq p q donc, pour tout h, lnp hq h h h p θhq. De la double inégalité (II.46) on déduit pour tout h que h h p θhq h d où h h lnp hq h h h. 4

116 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. Cette inégalité permet d affirmer que h h est une valeur approchée de lnp hq à près dès que p q h i.e. dès que p qh (on peut même préciser qu il s agit alors d une valeur approchée par défaut).. On note que lnp,q lnp,q. Or, si h,p q, on a p qh et donc, p,q,95 est une valeur approchée de lnp,q à près par défaut. Eercice 4 (p. ). On a e t e t dt Puisque d{ dplnq, e e dpe t q e t dt ln e t d e plnq dpln q e plnq plnq Eercice 5 (p. ).. On peut calculer à l aide de la relation Argth ln e e 8 lnpe q ln ln e. 8. mais on a aussi vu en cours que, pour tout dans s,r, pargthq.. En intégrant par parties, { Argth d Argth si bien que { { d Argth { dp q { Argth d { ln 4 { ln { 4 ln ln 4 ln ln. 4 juin Année 9 décembre Eercice (p. ).. (a) On a, si, 8 p qp 4q 4 ÝÝÝÑ Ñ. 5

117 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (b) On a, si 6, p qp q 6 p 6qp q 9 p 6qp q ÝÝÝÑ Ñ6 6. (c) On a, si, b lnp q ln pa lnp q lnqp a lnp q lnq lnp q lnpq a a. lnp q ln lnp q ln Or et lnp q lnpq ln 8 ln 8 donc b lnp q ÝÝÝÝÑ Ñ 8 ln ln ÝÝÝÝÑ Ñ 8 8 si bien que b lnp q ln. Ñ 8. On a, si, f pq sin ÝÝÝÑ Ñ donc, par un corollaire du théorème «des gendarmes, f. Or f pq donc f est continue en. Eercice (p. ).. On a cosp π 8 q ðñ cosp π 8 q cos π ðñ π 8 π π ðñ π π π 8 ðñ π π 4 ou π 8 π π ou π π π 8 ou 5π π. 4 L ensemble des solutions de l équation cosp π 8 q est donc, dans R, l ensemble " * " π k π, k P Z Y 5π * k π, k P Z 4 4 et, dans s π,πs, l ensemble 5π 4, ( π 4. 6

118 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. On a sin sin ðñ ðñ ðñ π π π ou ou π π ou π π π π L ensemble des solutions de l équation sin sin est donc, dans R, l ensemble " π tk π, k P Zu Y k π *, k P Z et, dans s π,πs, l ensemble π,, π,π(.. On a tan tanp π q ðñ π ðñ π ðñ π 6 π π. π L ensemble des solutions de l équation tan tanp! π k π ) 6, k P Z et, dans s π,πs, l ensemble 5π 6, π, π 6, ( π. Eercice (p. ).. Voir le cours.. (a) En, donc (b) En, donc sin p q sin Ñ p q. p q tan p πq cos p πq π tan p πq Ñ cos π.. π q est donc, dans R, l ensemble 7

119 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (c) Posons h. Alors, si h Ñ donc Eercice 4 (p. ). lnp q lnp hq h sinp q sinh h lnp q Ñ sinp q.. (a) On a y Arccos ðñ # cosy y π. (b) D après la définition précédente, pour prouver que Arccos 4 Arccos 8, il suffit de prouver que i. cosp Arccos 4 q 8, ii. Arccos 4 π. Or, i. puisque cosa cos a, on a cos Arccos cos 4 Arccos 4 4 8, ii. puisque 4, la fonction Arccos étant strictement décroissante, on a Arccos Arccos 4 Arccos i.e. Arccos 4 π{ d où Arccos 4 π. Il s ensuit que Arccos 4 Arccos 8.. (a) Puisque l ensemble de définition de la fonction Arccos est égal à r,s, on a D r,s car P D ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ. (b) Puisque l ensemble de dérivabilité de la fonction Arccos est égal à s,r, on a D s,rys,r car P D ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ Ps,rYs,r. 8

120 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (c) Pour tout dans D, on a donc f pq f pq si bien que f pq 4 a p q 4 a # si si # parccosq si parccosq si. Il s ensuit qu il eiste des constantes K et K telles que # Arccos K si f pq Arccos K si. (d) Pour {, on obtient en particulier f p{q Arccosp{q K c est-à-dire, compte-tenu de la définition de f, π{ π{ K soit K. Pour {, on obtient en particulier f p{q Arccosp{q K c est-à-dire, compte-tenu de la définition de f, π{ 4π{ K soit K π. On obtient donc # Arccos si f pq π Arccos si. (e) Pour, on a f pq Arccos π Arccospq. Pour, on a f pq Arccospq π Arccos. Pour, on a f pq Arccos Arccos. Donc les relations précédentes sont encore valables pour, et. En conclusion, # Arccosp Arccos si q (II.47) π Arccos si. (f) D après les relations (II.47), puisque 4, on a Arccos 4 Arccos Arccos 4 8. Eercice 5 (p. 4).. Il est clair que l ensemble de définition de f est R. Puisque 8 ep 8 et 8 ep, on a f 8 et f La fonction f est continue sur R et sa dérivée est donnée par f pq e. Donc f sur R si bien que f est strictement croissante sur R. 9

121 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. D après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, puisque f est continue strictement croissante sur R et 8 f 8 f, l équation f pq, équivalente à l équation e, admet une unique solution réelle a.. Puisque de plus f pq et f pq e e e (car ep est strictement croissante sur R), on sait que a appartient à s,r. 4. (a) On met en œuvre la méthode de dichotomie. i. Une valeur approchée de e à la calculatrice montre que e donc f. Or f pq f pq donc f p q f pq et donc a appartient à s,r. ii. Une valeur approchée de e 4 à la calculatrice montre que 4 e 4 donc f 4. Or f p q f pq donc f p q f p 4 q et donc a appartient à s, 4 r. iii. Une valeur approchée de e 5 8 à la calculatrice montre que 5 8 e 5 8 donc 5 f 8. Or f p q f p 4 q donc f p q f p 8 5 q et donc a appartient à s, 5 8 r. iv. Une valeur approchée de e 6 9 à la calculatrice montre que 9 6 e 6 9 donc 9 f 6. Or f p q f p 5 8 q donc f p 6 9 q f p 8 5 q et donc a appartient à s 6 9, 5 8 r. v. Une valeur approchée de e 9 à la calculatrice montre que 9 9 e donc 9 f. Or f p 9 6 q f p 8 5q donc f p 6 9 q f p 9 q et donc a appartient à s 6 9, 9 r. vi. Une valeur approchée de e à la calculatrice montre que 7 64 e 64 donc 7 f 64. Or f p 9 6 q f p 9q donc f p 6 9 q f p 7 64q et donc a appartient à s 6 9, 7 64 r. (b) i. L intervalle s 6 9, 7 64 r est de diamètre 64 7 donc a est distant de son centre 8 d au plus son rayon qui vaut 8. Par conséquent a si bien que 8 7 près de a. ii. De plus, une valeur approchée de donnée par la calculatrice est 8,57 à près donc, par l inégalité triangulaire, a,57 a ,57 a pcar 8, 8q si bien que,57 est une valeur approchée à près de a.

122 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année 4 mai Eercice (p. 4).. On a ρe ρ dρ ρe ρ e ρ dρ ρe ρ e ρ et π{4 π{4 π{4 π{4 θ π{4 π{4 cos θ dθ θ tanθ tanθ dθ π{4 π{4 π 4 tan π 4 π 4 π 4 π 4 π{4 θ cos dθ. θ π{4 ln cosθ π{4 π{4 dln cosθ π{4 π{4 tan π 4 dcosθ cosθ ln ln π{4 sinθ π{4 cosθ dθ. On a d d 9 π d 9 d d darctan Arctan parctan Arctanq

123 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année et d 4 4 d p q p q {6 { {.. (Hors barème) (a) On a (b) On a a I a a a a a a I f psqds f psqds a f ptqdptq a a a a a a I f ptqdt f psqds f psqds f psqds a a f psqds a f psqds en posant t s f psqds f psqds f ptqdptq en posant t s f ptqdt Donc I si bien que I. car f est paire donc f ptq f ptq car f est impaire donc f ptq f ptq Eercice (p. 4). On sait que la solution générale de l équation y y est, sur R (puisque la fonction ÞÝÑ { est continue sur cet intervalle), y C ep d, C P R i.e. y Ce ln, C P R i.e. y C{, C P R car sur R. Utilisons la méthode de la variation de la constante et cherchons une solution particulière de l équation complète y y (II.48)

124 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année sous la forme y Cpq{. Alors y Cpq{ est solution de l équation (II.48) si et seulement si C pq{ si et seulement si Cpq ³ d si et seulement si Cpq { K, K P R si et seulement si y p { Kq{, K P R. Donc la solution générale de l équation complète (II.48) est, sur R, y { K{, K P R. Eercice (p. 4).. L équation y y y a pour équation caractéristique r r ðñ pr qpr q ðñ r ou r. Donc la solution générale de l équation y y y est y λ e λ e, λ,λ P R.. L équation y y y a pour équation caractéristique r r ðñ pr q dont est racine double. Donc la solution générale de l équation y y y est y e pλ λ q, λ,λ P R.. L équation y y y a pour équation caractéristique r r ðñ pr q 9 ðñ pr q piq ðñ pr iqpr iq r i ou r i. Donc la solution générale de l équation y y y est y e pλ cos λ sinq, λ,λ P R. Eercice 4 (p. 5).. La relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique P R, ch sh.

125 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année La fonction ch est définie sur R, paire, de dérivée première sh et de dérivée seconde ch ; par ailleurs, ch et 8 ch 8. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur r, 8r. On se reportera au cours pour sa représentation graphique. La fonction sh est définie sur R, impaire, de dérivée première ch et de dérivée seconde sh ; par ailleurs, sh et 8 sh 8. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur R. On se reportera au cours pour sa représentation graphique.. Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle fermé d etrémités et h (h P R ) et dérivable à l ordre n sur le même intervalle ouvert. Alors, d après la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre n, il eiste θ dans s,r tel que f p hq ņ k f pkq p q hk k! h n pn q! f pn q p θhq. (II.49). Pour tout h, la fonction f : ÞÑ sh est de classe C 8 sur l intervalle fermé d etrémités et h donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre 4. Or il est clair que, pour tout k dans N, # sh pkq sh si k est pair ch si k est impair donc sh pkq # sh ch si k est pair si k est impair. Par conséquent, pour tout h, la formule (II.49) à l ordre n 4 assure l eistence d un réel θ dans s,r tel que shh h 4. (Hors barème) h 6 h 5 chθh (II.5) (a) La fonction ch étant strictement croissante sur R, on a # h θ ùñ θh ùñ ch chθh ch ùñ chθh. (b) L équation (II.5) équivaut à shh h h 6 h5 chθh. (II.5) Or, si h est dans r, s alors, d après la question 4a, chθh si bien que h5 chθh h 5 8. On déduit de cet encadrement et de la relation (II.5) l encadrement demandé. 4

126 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (c) i. La question précédente permet d affirmer, puisque est dans r, s, que sh Eercice 5 (p. 5). Ceci prouve que α est une valeur approchée de sh à 5 8 près et, puisque sh α i.e. sh α, c est par défaut que α est une valeur approchée de sh à 5 8 près. ii. Puisque α a 7. 6, l inégalité triangulaire permet d affirmer que sh a sh α α a 5 8 si bien que a est une valeur approchée de sh à 5 près On a à effectuer un produit de développements ités. pe 4 q cos op 4 q!! 4! pe q cos op 4 q op 4 q.! 4 4! 4 4 4! op 4 q op 4 q op 4 q. On a à effectuer une composition de développements ités. lncos ln op 6 q op 6 q 4 op q op 6 q 4 lncos op 6 q. op 6 q op 6 q. (a) On effectue le développement ité de f en jusqu au er ordre suivant strictement 5

127 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année l ordre dont le coefficient est non nul. {4 f pq { op 4 q 6 f pq 4 op 4 q. Ceci prouve que C admet au point d abscisse une tangente T d équation y et, puisque f pq 4 op 4 q 4 opq est localement positif en, la courbe C est au dessus de T localement en. (b) On pose h {. Alors h Ñ si Ñ 8 et a c h 4 6 a 4 6h 4 h 6h 4 {4 h h 4.6h4 oph 4 q 4h h oph h q car h 4 h h h 4 a o. Donc, si tend vers 8, est positif et donc 4 f pq o. (c) De même, si tend vers 8, est négatif et donc f pq 4 o. (d) Il s en suit que, au voisinage de 8, la courbe C admet une asymptote D y et, puisque f pq 4 o p4 o pqq d équation 6

128 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année 5 juin est localement positif en 8, la courbe C est au dessus de D localement en 8. De même, au voisinage de 8, la courbe C admet une asymptote D d équation y et, puisque f pq 4 o p4 o pqq est localement positif en 8, la courbe C est au dessus de D localement en 8 (ce qui pouvait s obtenir par le caractère pair de la fonction f ). Année décembre Eercice (p. 6).. On a (a) Ñ 8 8 car Ñ 8 Ñ 8 8 et XÑ 8 X 8 ; 7 (b) Ñ Ñ8 5 Ñ8 ; (c) 8 Ñ pqp 4q Ñ ; (d) Ñ 7 p qpq Ñ p qp 4q 4 ;. (a) pour tout a réel, a en 8 car c a a Ñ 8 Ñ 8 donc, en 8, p q p q si bien que Ñ 8 ; (b) Ñ 8 ln Ñ 8 ln Ñ 8 8 ; tan. (a) Ñ lnp q Ñ car, en, tan et lnp q ; 7

129 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année (b) en posant h, e e Ñ lnp q e h e hñ lnph q e lnph q e h hñ e h hñ e lnph q hñ e h h e Eercice (p. 6). car, quand h Ñ, on a lnph q h et h Ñ donc e h h.. On a cos π cos 6 π ðñ π 4 6 π 4 rπs ðñ π 6 ou π 6 ou π 4 rπs 4 π 6 π 4 rπs ðñ 5π 4 rπs ou π 48 π rπs 4 π donc les solutions de l équation cos π 6 cos π 4 appartenant à s π,πs sont soit 5π 5π π, 4 4, π 48 π, π 48, π 48 9π 4, 5π 4, 5π 48, π 48, π 48, 47π 48. π, π 48 π 8

130 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. On a tan cotan ðñ tan tan ðñ tan # tan tan ðñ tan ðñ tan ou tan ðñ tan tan π 4 ou tan tan ðñ π 4 rπs ou π 4 rπs ðñ π π 4 π 4 donc les solutions de l équation tan cotan appartenant à s π,πs sont π 4 π, π 4 π, π 4 π, π 4 π soit π 4, π 4, π 4, π 4. Eercice (p. 6). Dans C, z ðñ z e i.kπ, k P Z où i Eercice 4 (p. 7). ðñ z e i.k π, k P Z ðñ z e i.k π, k P t,,u car θ ÞÑ e iθ est π-périodique " ðñ z P, * i, i! ðñ z P, j, j ).. Puisque les fonctions sin et cos sont définies sur R, R D ðñ sin ðñ sin ðñ rπs ou π rπs ðñ rπs. Donc D R tkπ, k P Zu.. (a) L ensemble de définition D de f est symétrique par rapport à et, si P D, f pq cospq sin pq cos psinq cos sin f pq car les fonctions sin et cos sont respectivement impaire et paire. Donc f est paire. (b) Les fonctions sin et cos étant π-périodiques, il en est de même de f.. Quand Ñ π, cos Ñ donc cos Ñ et sin Ñ donc sin Ñ si bien que π f 8. 9

131 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année 4. Puisque R D, la fonction f n est pas continue en mais, en, on a cos { et sin donc f pq 4 si bien que f admet, en, la ite finie {4. On peut donc prolonger f par continuité en, en posant f pq {4. 5. On a Eercice 5 (p. 7).. On a f pq cos sin cos p cos q cos p cosqp cosq si cos i.e. si rπs. p cosq b 5 a 5 pb aqpb 4 b a b a ba a 4 q. Donc le tau τ ta,bu de variation de f entre deu réels quelconques distincts a et b, défini par vérifie τ ta,bu f pbq f paq, b a τ ta,bu pb5 b q pa 5 a q b a b5 a 5 b a b a pb aqpb4 b a b a ba a 4 q pb aqpb aq b a b 4 b a b a ba a 4 b a. Si a et b sont distincts dans r, 8r, ce tau est alors strictemement positif puisque a et b sont positifs ou nuls et puisque l un au moins d entre eu est strictemement positif. Ceci prouve, par définition, que f est strictement croissante sur r, 8r.. La fonction f, polynômiale, est continue sur R donc sur r,s ; elle est de plus strictement croissante sur r, 8r donc sur r,s. Donc, grâce à un théorème du cours, on sait que f est une bijection de r,s sur rf pq,f pqs, i.e. sur r,s. Par conséquent, appartenant à r,s, il eiste un unique antécédent à par f dans r,s et n est ni ni puisque f pq et f pq. Ceci prouve que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.

132 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. (a) On met en œuvre la méthode de dichotomie. i. Le milieu de l intervalle s,r est et un calcul (éventuellement à la calculatrice) montre que f. Or f pq f pq donc f p q f pq et donc appartient à s,r. ii. Le milieu de l intervalle s,r est 4 et un calcul montre que f 4. Or f p q f pq donc f p 4 q f pq et donc appartient à s 4,r. iii. Le milieu de l intervalle s 4,r est et un calcul montre que f 8. Or f p 4 q f pq donc f p 4 q f p 8 7q et donc appartient à s 4, 7 8 r. iv. Le milieu de l intervalle s 4, 7 8r est 6 et un calcul montre que f 6. Or f p 4 q f p 8 7q donc f p 4 q f p 6 q et donc appartient à s 4, 6 r. v. Le milieu de l intervalle s 4, 5 6r est et un calcul montre que f 5. Or f p 4 q f p 6 5 q donc f p q f p 6 q et donc appartient à s 5, 6 r. vi. Le milieu de l intervalle s 5, 6 5 r est 64 et un calcul montre que f Or f p 5 q f p 6 5 q donc f p 64 q f p 6 q et donc appartient à s 5 64, 6 r. L intervalle I s 64 5, 6 r est de diamètre 64 donc est distant du centre 8 de I d au plus le rayon de I qui vaut 8. Par conséquent 8 8 si bien que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de. (b) De plus, une valeur approchée de 8 donnée par la calculatrice est 8,85 à près donc, par l inégalité triangulaire,,85 8 8,85 8 8,85 8 pcar 8, 8q si bien que,85 est une valeur approchée à près de. Eercice 6 (p. 7). Soit ε quelconque ; on doit prouver qu il eiste α (qui, en général, dépend de ε) tel que α ùñ p q ε b i.e. tel que α ùñ p q ε i.e. tel que α ùñ ε. On constate qu il eiste α satisfaisant cette condition : α ε convient (ainsi que tous les réels strictement positifs inférieurs à ε, par eemple α ε{, α ε{, etc.). Ceci ayant été prouvé pour un réel ε quelconque, c est vrai pour tout réel ε. On a donc bien prouvé que Ñ f pq.

133 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année 8 mars Eercice (p. 7).. Cf. cours!. Les fonctions sin et tan sont de classe C 8 respectivement sur R et sur s π{,π{r. Donc on peut leur appliquer la formule de Taylor-Young d ordre en. On sait que sin pq sin, sin pq cos, sin pq sin, sin pq cos et on a tan pq tan tan pq tan tan pq p tan qtan ptan tan q tan pq p tan p tan qtan q p 4tan tan 4 q. On sait donc qu il eiste deu fonctions ε et ε de ite nulle en telles que sin tan k k sin pkq k k! tan pkq k k! ε pq 6 ε pq ε pq ε pq. Il s ensuit que sin tan 6 ε pq ε pq ε pq ε pq ε pq ε pq si bien que, puisque ε et ε sont de ite nulle en, sin tan Ñ.. (a) Les fonctions ch et cos sont de classe C 8 sur R donc il en est de même de la fonction chcos. Donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Young à tous ordres en. On sait que ch pq ch, ch pq sh, ch pq ch, ch pq sh, et cos pq cos, cos pq sin, cos pq cos, cos pq sin si bien que pchcosq pq pq pchcosq pq pq pchcosq pq pq pq pchcosq pq pq.

134 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année On sait donc qu il eiste deu fonctions ε et ε de ite nulle en telles que ch cos ch cos (b) Par conséquent, i. ii. iii. Eercice (p. 7). k k pchcosq pkq k ε k! pq ε pq pchcosq pkq k ε k! pq ε pq. ch cos Ñ ε pq, Ñ ch cos Ñ ε pq, Ñ ch cos Ñ ε pq. Ñ. L ensemble de définition de la fonction Argch est r, 8r (car Argch est la bijection réciproque de la fonction ch restreinte à R et que chpr q r, 8r).. Soit un réel vérifiant. (a) Alors donc eiste bien et est, comme toute racine carrée, positif ; donc. La fonction ln étant, sur R, strictement croissante, ln ln i.e. ln. (b) On a ch ln a ep ln a ep ln a (II.5) donc ch ln a a.

135 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. Donc, si on pose y ln a, les deu questions précédentes prouvent que # chy y. ce qui assure, d après la définition de Argch rappelée dans l énoncé, que pour tout (i.e. pour tout de l ensemble de définition de Argch), Argch ln a. Eercice (p. 8).. Cf. le cours!. Cf. le cours!. Le théorème des accroissements finis est la formule de Taylor-Lagrange à l ordre n dans le cas particulier où n. Eercice 4 (p. 8).. On a, pour tout, f pq pq p q, f pq pq p q, f pq pq p q, f p4q pq 6p q 4, f p5q pq 4p q 5. On pourrait prouver par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n et tout, f pnq pq pq n pn q!p q n.. Si h et θ alors θh h donc θh h donc n p θhq n p hq n car ÞÑ n est croissante sur R donc p hq n p θhq n. On en déduit, puisque p hq n pour h, que p θhq n. (II.5) 4

136 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. (a) La fonction f : ÞÝÑ lnp q est continue sur l intervalle r, hs et dérivable sur l intervalle s,hr. Donc, d après le théorème des accroissements finis, il eiste θ dans s,r tel que lnp hq ln ph q θh i.e. lnp hq h θh. (II.54) Or, d après l encadrement (II.5) pour n, θh d où, pour h, h θh et donc, d après l égalité (II.54), i.e. h lnp hq h h lnp hq h. (b) En appliquant l encadrement précédent à h,, on obtient, lnp,q, ce qui prouve qu une valeur approchée (par ecès) de lnp,q à près est,. 4. (a) La fonction f : ÞÝÑ lnp q est de classe C sur l intervalle r,hs et dérivable à l ordre sur l intervalle s, hr. Donc, d après la formule de Taylor-Lagrange à l ordre, il eiste θ dans s,r tel que lnp hq k f pkq pq h k k! f p θhq h! i.e. lnp hq ln h p h θhq! i.e. lnp hq h p θhq h Or, d après l encadrement (II.5) pour n, p θhq d où, pour h, h h p θhq et donc, d après l égalité (II.55),. (II.55) h lnp hq h. 5

137 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année (b) En appliquant l encadrement précédent à h,, on obtient p,q { lnp,q, d où lnp,q, ce qui prouve qu une valeur approchée (par ecès) de lnp,q à près est,. 5. (a) La fonction f : ÞÝÑ lnp q est de classe C sur l intervalle r,hs et dérivable à l ordre sur l intervalle s, hr. Donc, d après la formule de Taylor-Lagrange à l ordre, il eiste θ dans s,r tel que lnp hq k f pkq pq h k k! f p θhq h! i.e. lnp hq ln h! h p θhq h! i.e. lnp hq h h p θhq h. (II.56) Or, d après l encadrement (II.5) pour n, p θhq d où, pour h, h p θhq h et donc, d après l égalité (II.56), lnp hq h h h. (II.57) (b) En appliquant l encadrement précédent à h,, on obtient lnp,q p, p,q {q p,q { d où lnp,q,95 ce qui prouve qu une valeur approchée (par défaut) de lnp,q à près est, L encadrement (II.57) permet d affirmer que h h est une valeur approchée de lnp hq à près pour tout h tel que h i.e. tel que h i.e. tel que h {. Eercice 5 (p. 9).. On sait que l ensemble de définition de Arcsin est r,s donc f pq eiste si et seulement si i.e. est pour tout réel i.e. en ajoutant et en retranchant i.e. P R car cette double inégalité est vraie pour tout réel. Donc l ensemble de définition D de f est R. 6

138 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. Comme toute fonction définie de manière «naturelle, la fonction f est continue sur son ensemble de définition i.e. sur R.. L ensemble de définition de f est clairement symétrique par rapport à et, pour tout réel, on a f pq Arcsin pq Arcsin pq f pq si bien que f est paire et que son ensemble d étude peut être ramené à D X r, 8r r, 8r. 4. On a f pq Arcsin π{ et, puisque ÝÑ 8, on a 8 f Arcsinpq π{. 5. On sait que l ensemble de dérivation de Arcsin est s,r donc, en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la question page précédente, f pq eiste si et seulement si 4 soit. On a, pour tout, f pq p qp q p q c 4 b p q p q p q 4 p q 4 p q # si si. 6. On en déduit que, sur R, la fonction f est strictement décroissante. 7. On déduit de l epression de f pq pour qu il eiste une constante C réelle telle que, pour tout, f pq Arctan C et, puisque # f pq Arctan C π 4 C, on a π 4 C i.e. C π{ d où finalement, pour tout, f pq Arctan π. 7

139 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année Cette égalité est en fait vraie pour tout puisqu on constate qu elle est vraie aussi pour car # f pq π Arctan π π. Les représentations graphiques des fonctions Arctan, Arctan, Arctan et f figurent sur la figure II.. On notera que la courbe C représentant f se déduit de celle représentant Arctan par un translation de vecteur p,π{q et que C admet au point p,π{q une demi-tangente de coefficient directeur (-) ; intersecte l ae des abscisses au point p,q où elle admet une tangente de coefficient directeur (-) ; admet la droite d équation y π{ comme asymptote au voisinages de 8 et 8. y y = π y = Arctan y = Arctan O y = f() y = π y = Arctan Figure II. Représentations graphiques des fonctions Arctan, Arctan, Arctan et f On trouvera dans le dossier public du réseau de la salle informatique cette même figure avec de belles couleurs qui en rendent la lecture plus claire... 7 juin Année 8 décembre Eercice (p. ). Facile! 8

140 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année Eercice (p. ).. En vertu de l équivalence cosx cosα ðñ X α rπs ou X α rπs, on a cos π cos 6 π ðñ π 6 π rπs ou π 6 ðñ π rπs ou 5 π 6 rπs ðñ π rπs ou π π. 5 π rπs Donc, l ensemble des solutions, sur R, de l équation cos π 6 cos π est! π ) " kπ ; k P Z Y π k π *. 5 ; k P Z. On a π cos sin ðñ cos cos ðñ π rπs ou π rπs ðñ 4 π rπs ou π rπs ðñ π π. 8 Donc, l ensemble des solutions, sur R, de l équation cos sin est! π k π ). 8 ; k P Z Les solutions de l équation cos sin appartenant à s π,πs sont 7π{8, π{8, π{8 et 5π{8. Eercice (p. ).. (a) On a immédiatement (b) On a donc 8 et Ñ Ñ Ñ4. 64 p 4q p 4qp 4 6q

141 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année (c) On a p q p q Ñ 4. (d) Posons ϕpq On constate que la fonction polynôme ϕ vérifie ϕp9q ce qui prouve que 445 est factorisable par 9. Par factorisation «à la volée, on obtient 4 45 p 9qp 5q. On en déduit que 4 45 p 9qp 5q p qp qp 5q p qp 5q si bien que. (a) Cf. le cours. Ñ (b) On a i. car, en, Ñ lnp q lnp q ; cos ii. Ñ pe q sin 6 donc cos pe q sin 6 car, quand Ñ, il en est de même de { et de, et (c) La ite demandée égale. En effet, posons h π 4 i.e. h π 4 ; alors tan cos tan h π tanh tan π 4 4 π4 cos tanhtan π 4 coshcos π h sinhsin π tanh tanh sinh donc, quand Ñ π 4 (i.e. quand h Ñ ) Eercice 4 (p. ). tan cos tanh p tanhqsinh h hp tanhq Ñ. 4

142 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année. La fonction f admet R pour ensemble de définition, de continuité et de dérivabilité. Les ites de f en 8 valent toutes deu 8. Pour tout réel, f pq 4p q ce qui prouve que f est strictement décroissante sur s 8,r et est strictement croissante sur s, 8r.. L équation 4 4 (II.58) équivaut à f pq. Or, f est une fonction strictement croissante et continue sur l intervalle s,r telle que f pq f pq (puisque f pq et f pq 4). Donc, d après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation (II.58) admet une solution unique sur l intervalle s,r.. Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f pq f p q donc appartient à s,r.- Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.- Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.+ Étape n o : Le milieu de l intervalle I 4 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.+ Étape n o 4 : Le milieu de l intervalle I 5 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.+ Étape n o 5 : Le milieu de l intervalle I 6 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.+ L intervalle I 6 est de diamètre 64 donc est distant du centre 8 de I 6 d au plus le rayon de I 6 qui vaut 8. Par conséquent 8 8 si bien que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de. Par l inégalité triangulaire,,4 8 8,4 8 8,4 8 8,4 si bien que,4 est une valeur approchée à près de. Eercice 5 (p. ).. La fonction f est continue en car 4

143 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année elle est définie en ce point ; on a f pq cos et tend vers en donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, f f pq.. Pour, f pq cos sin cos sin.. La fonction f n est pas dérivable en car f pq f pq cos n admet pas de ite lorsque tend vers. 9 avril Eercice (p. ).. (a) On a cos sin d pcosq cos d cos C, C P R. (b) On a a d a d p q d C, C P R C, C P R.. (a) On a θ cos θ dθ θ tanθ tanθ dθ sinθ θ tanθ cosθ dθ pcosθq θ tanθ dθ cosθ θ tanθ ln cosθ C, C P R. 4

144 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année. On a (b) On a (a) e e e ln d ln d e e d d 9 e 9 e e 9 e π. e 9 d 9 d d dt t Arctan t où t (b) i. Pour tout réel α, on a cosα cos α d où cos α cosα. (II.59) ii. En posant t tanα, π dt p t q 4 p tan αqdα p tan αq car la fonction α ÞÑ tanα est une bijection de r,π{4s sur r,s si t tanα alors dt dptanαq p tan αqdα 4

145 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année donc π dt p t q 4 π 4 π 4 p tan αqdα p tan αq dα tan α π 4 π 8 π 8 cos α dα cos α dα π sinα 4 4. d après (II.59) 4. (a) En posant u t, e t dt car, pour, ue u du la fonction t ÞÑ u t est une bijection de r,s sur r, s u t équivaut à t u et on a dt dpu q u du donc e t dt ue u e u du e e u e e p qe. (b) On a sin t sintp cos cos t dt tq cos dt t sint cos t dt sint dt pcostq cos dt cos t t cost C, C P R. cost Eercice (p. ). 44

146 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année. La solution générale de l équation y y est y C e ³ d, C P R i.e. y C e, C P R. On obtient alors ypq si et seulement si C si bien que la solution valant en est y e.. Les fonctions a : ÞÑ et b : ÞÑ étant continues sur R, dy y ðñ y e ³ d d pqe³ d d ðñ y e pqe d ðñ y e e e d ðñ y e pe e ðñ y Ce, C P R Cq, C P R ðñ y Ce, C P R. On obtient alors ypq si et seulement si C si bien que la solution valant en est y.. L ensemble de continuité commun au fonctions a : t ÞÑ {t et b : t ÞÑ {pt q étant s 8,rYs,rYs,rYs, 8r, la résolution de l équation d dt t t (II.6) est à effectuer sur chacun des intervalles s 8,r, s,r, s,r et s, 8r. Cependant, tant que la distinction n est pas nécessaire, on mène une résolution commune au 4 cas : sur chacun des intervalles s 8,r, s,r, s,r et s, 8r, d dt t ³ dt t ðñ e t ðñ e ln t ³ t e dt t dt t eln t dt ðñ e ln t t t dt ðñ t t t dt ðñ t t t dt ðñ dpt q t t ðñ t ln t C, C P R quelque soit le signe de t L équation (II.6) n étant pas définie en, aucune de ses solutions ne vaut en. 45

147 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année Eercice (p. ). La solution la plus rapide pour prouver que Arcsin Arcsin. est de remarquer que Arcsin π 6 et Arcsin π ce qui fait que l égalité à prouver est triviale. Ceu qui n avaient pas remarqué cela pouvaient procéder comme suit.. La définition de y Arcsin est # siny y Arcsin ðñ π y π. Donc, par définition, Arcsin Arcsin ðñ. (a) On sait que sina sinacosa. donc, d après le rappel, # sin Arcsin π Arcsin π. (II.6) sin Arcsin sin Arcsin cos Arcsin d. (II.6) (b) La fonction Arcsin est strictement croissante sur r,s donc, puisque, on a Arcsin Arcsin Arcsin i.e. Arcsin π 4 ce qui implique π Arcsin π. (II.6). D après l équivalence (II.6), l égalité (II.6) et l encadrement (II.6) prouvent que Arcsin Arcsin. Eercice 4 (p. ).. Si h alors, pour θ dans s,r, on a θh donc p θhq 4 et par conséquent p θhq 4. (II.64). Soit f une fonction de classe C sur un intervalle fermé d etrémités et h (h P R ) et dérivable à l ordre sur le même intervalle ouvert. Alors, d après la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre, il eiste θ dans s,r tel que f phq f pq f pq h! f pq h! f pθhq h!. (II.65) 46

148 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.8. Année. (a) Pour tout h, la fonction f : ÞÑ {p q est de classe C 8 sur l intervalle r,hs donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. Or f pq f pq p q f pq p q f pq 6 p q 4 donc f pq f pq f pq f pθhq Par conséquent, pour tout h, la formule (II.65) donne f phq h h p θhq 4 h. De la double inégalité (II.64), on déduit pour tout h que 6 p θhq 4. h h h h h. (b) Cette inégalité permet d affirmer, pour h, que h h est une valeur approchée de {p hq à près dès que p q h i.e. dès que p qh (on peut même préciser qu il s agit alors d une valeur approchée par ecès). (c) On note que {p,9q {p,9q. Or, si h,9p q, on a p qh et donc,9 p,9q,98 est une valeur approchée, par ecès, de {p,9q à près. Eercice 5 (p. ).. On remarque que pq et sont racines respectives des polynômes 4 et 4. Par factorisation à la volée, on obtient # 4 p qp4 4 q p qp q 4 p qp4 4 q p qp q (II.66) si bien que # # # 4 4 ðñ p qp q p qp q ðñ.. Puisque l ensemble de définition de la fonction Arcsin est r,s, f pq eiste si et seulement si # 4 4 ðñ 4 # ðñ. ðñ. Donc l ensemble de définition de la fonction f est r,s. 47

149 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4. La fonction Arcsin n est dérivable que sur s,r et, d après (II.66), 4 si et seulement si ou. Donc la fonction f n est dérivable que sur s, rys, rys,r. Pour dans cet ensemble, f pq b p 4 q p 4 q a p p 4 qqp p 4 qq p 4 q a p 4 qp 4 q 4 b p qp q p qp q 4 a p qp q 4 4 # si 4 si Si Ps, r, on a 4 et donc f pq donc il eiste une constante C réelle telle que, pour tout dans s, r, f pq Arcsin C. Or, f pq Arcsinp 4 q et Arcsin C C donc C si bien que, pour tout dans s, r, juin f pq Arcsin. Année 4 6 décembre Eercice (p. 4).. On a 4 Ñ4 4 Ñ4 p 4qp q Ñ

150 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 On a lnp q ln Ñ 8 Ñ 8 ln Ñ 8 ln or Ñ 8 { et uñ lnu donc ; lnp q ln. Ñ 8. L ensemble de définition de f est r,rys, 8r. Sur cet ensemble, f est continue. Eaminons le cas du point ; en multipliant au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée, Ñ 4 Ñ p qp q Ñ 4 donc f est prolongeable par continuité en en posant f pq {4.. Il est clair que pa bqpa ab b q a b et donc Ñ Ñ p q Ñ p qp p q q Ñ p q donc la ite demandée est. Eercice (p. 4). On sait que, en, e, tan, sin, lnp q. Donc, puisque Ñ et Ñ, on a en tan, sin, si bien que pe qtan Ñ sin Ñ. Par ailleurs, Ñ Eercice (p. 4).. On a ln sinp q lnp hq hñ sinh h hñ h. cosp π 8 q ðñ cosp π 8 q cos π ðñ π 8 π π ðñ π π π 8 ðñ π π 4 ou π 8 π π ou π π π 8 ou 5π π. 4 49

151 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 L ensemble des solutions de l équation cosp π 8 q est donc, dans R, l ensemble " * " π k π, k P Z Y 5π * k π, k P Z 4 4 et, dans s π,πs, l ensemble. On a sin sin ðñ ðñ ðñ 5π 4, ( π 4. π π π ou ou π π ou π π π π. L ensemble des solutions de l équation sin sin est donc, dans R, l ensemble " π tk π, k P Zu Y k π *, k P Z et, dans s π,πs, l ensemble π,, π,π(.. On a tan tanp π q ðñ π ðñ π ðñ π 6 π π. π L ensemble des solutions de l équation tan tanp! π k π ) 6, k P Z π q est donc, dans R, l ensemble et, dans s π,πs, l ensemble 5π 6, π, π 6, ( π. Eercice 4 (p. 4). Eercice! Eercice 5 (p. 5).. (a) i. ðñ ðñ ðñ p q ðñ On prouverait de façon analogue que ðñ 5

152 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 ii. On a ðñ # ðñ # ðñ P R. si bien que D f R. Autre méthode. ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ p q ðñ P R. (b) On sait que l ensemble de définition de la fonction Arcsin est r, s donc, puisque {p q est défini pour tout réel,. (a) Cours! P D f ðñ ðñ P R. (b) La fonction Arcsin est impaire. L ensemble de définition D f de f est symétrique par rapport à ; pour dans D f, on a pq f pq Arcsin pq Arcsin Arcsin D où f pq f pq donc f est impaire et on ne l étudie que sur R.. On a f pq Arcsin π{. D autre part, Ñ 8 {p q donc, puisque la fonction Arcsin est continue sur r,s donc en, on a 8 f Arcsin. 4. (a) On sait que l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable est s,r. Or on sait que {p q si et seulement si. Donc le sous-ensemble de D f sur lequel f est dérivable est R t;u et, par suite, celui de R sur lequel f est dérivable est R tu. (b) Eercice! (c) Si u est une fonction dérivable en et upq parcsinupqq u pq a u pq. alors Le reste de la question est en eercice! 5. (a) On considère un réel tel que. Par définition de l arc sinus, # sinp Arctanq Arctan Arcsin ðñ π Arctan π. Or on sait que sinp Arctanq tanparctanq tan parctanq 5

153 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 puisque, pour tout réel, tan parctan q. En outre, puisque, on a Arctan Arctan Arctan car la fonction Arctan est strictement croissante sur R. Il s ensuit que Arctan π d où π Arctan π. On en conclut que, si, Arctan Arcsin. (b) On considère un réel tel que. On prouverait de façon analogue que π Arctan Arcsin 6. Eercice! 7 avril 4 Eercice (p. 5).. On a en prouvant # sinpπ Arctanq π π Arctan π. d dp q dp q a.. En intégrant par parties, t e t dt t et e t et dt t et 4 et pt q. 4 Arctan d Arctan si bien que l intégrale demandée égale π 4 d π 4 dp q ln soit π 4 ln.. On a e t e t dt dpe t q e t dt ln e t lnpe q ln ln e. Puisque d{ dplnq, e e d e plnq dpln q e plnq plnq e e

154 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 Eercice (p. 5).. On sait que la solution générale de l équation y y (II.67) est y C ep d, C P R i.e. y Ce, C P R. On constate que y { est solution particulière de l équation y y. (II.68) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.68), somme de la solution générale de l équation (II.67) et d une solution particulière de l équation (II.68), est y Ce, C P R.. L équation y y 4y (II.69) a pour équation caractéristique r r 4 ðñ pr 5q 6 ðñ pr 5q p4iq ðñ pr 5 4iqpr 5 4iq ðñ r 5 4i. Donc la solution générale de l équation (II.69) est y e 5 pc cos4 C sin4q, C,C P R. Eercice (p. 6).. Si h alors, pour θ dans s,r, on a θh donc p θhq 4 et par conséquent p θhq 4. (II.7). Soit f une fonction de classe C sur un intervalle fermé d etrémités et h (h P R ) et dérivable à l ordre sur le même intervalle ouvert. Alors, d après la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre, il eiste θ dans s,r tel que f phq f pq f pq h! f pq h! f pθhq h!. (II.7). (a) Pour tout h, la fonction f : ÞÑ {p q est de classe C 8 sur l intervalle r,hs donc on peut lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. Or f pq, f pq p q, f pq p q, f pq 6 p q 4 5

155 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 donc f pq, f pq, f pq, f pθhq Par conséquent, pour tout h, la formule (II.7) donne f phq h h p θhq 4 h. De la double inégalité (II.7), on déduit pour tout h que 6 p θhq 4. h h h h h h. (b) On note que {p, 9q {p, 9q. Or, si h, 9 p q, on a h h h h Eercice 4 (p. 6). et donc,9 p,9q,98 est une valeur approchée (en fait, par ecès) de {p,9q à près.. On a vu en cours que (a) l intégrale 8 d α a converge si et seulement si α (b) l intégrale b a d pb q α converge si et seulement si α.. La fonction f : ÞÑ p q{p4 q est définie sur R 4 ( donc est continue sur r, 8r. De plus, elle est positive sur cet intervalle. On a 4 8 i.e. 4 8 et g : ÞÑ { est continue sur r, 8r. Donc, puisque f et g sont continues et positives sur r, 8r et équivalentes en 8, les intégrales d et d 54

156 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.9. Année 4 sont de même nature. Or, en vertu de la question a page précédente, l intégrale 8 d converge donc il en est de même de l intégrale 8 4 d.. La fonction f : ÞÑ p q{p4 q est définie sur R 4 ( donc est continue sur r,s. Par suite, l intégrale 4 d est une intégrale de Riemann. Par ailleurs, on a prouvé que l intégrale 8 4 d converge. On en déduit que l intégrale 8 4 d est la somme de deu intégrales convergentes et est, à ce titre, elle-même convergente. Eercice 5 (p. 6).. La bijection réciproque de la fonction ch restreinte à R est la fonction Argch, dont l ensemble de définition est r, 8r. Donc # chy y Argch si et seulement si y.. (a) On a Argch et ln donc, pour, la relation Argch ln est vraie. (b) On a, par définition, # y Argch ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ $ '& chy '% y # chy y # ey e y y # e y pe y q y # pe y q e y y. 55

157 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 (c) i. On a, étant strictement positif puisque, X X ðñ px q a ðñ px q a a ðñ X X a a ðñ X ou X. ii. On a, pour, # ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ P # # p q # # Supposons et y. Alors e y donc, d après le raisonnement précédent, e y n a lieu pour aucun réel. On a donc, pour, # # y Argch pe y q e y ðñ y # e y ðñ ou e y ðñ y # y ln y ou # y (car si ) ðñ y ln a. Donc, pour tout, Argch ln a. 8 juin 4 Année janvier 5 Eercice (p. 8). 56

158 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5. On a 4 Ñ4 4 Ñ4 p 4qp q Ñ4 7. On a lnp q ln Ñ 8 Ñ 8 ln Ñ 8 ln ; or Ñ 8 { et uñ lnu donc lnp q ln. Ñ 8. Il est clair que pa bqpa ab b q a b et donc Ñ Ñ p q donc la ite demandée est. Eercice (p. 8).. Consulter le cours!. Ñ p qp p q q Ñ p q (a) La ite demandée est 4 5 car sin84 sin ÝÝÝÑ Ñ (b) Puisque Ñ et Ñ, on a en tan, sin, si bien que la ite demandée est car pe qtan Ñ sin Ñ. (c) La ite demandée est car pe u qsin u p7 uqptanuq lnp uq u u p7 uqu u. 57

159 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 (d) Posons t i.e. t ; alors Ñ équivaut à t Ñ et on a donc Eercice (p. 8). e e Ñ lnp q e t e tñ lnp tq. Par conséquent, la ite demandée est e car e t e lnp tq e et e t lnp tq tñ t e. tñ. Pour tout non nul, on a f pq p q p q. Donc f pq Ñ Ñ si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en en posant f pq.. Pour tout, on a f pq p q 5 9 p 5q 4 p q 5 p q 5 p q p q 5. 5 Donc f pq Ñ Ñ 5 si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en en posant f pq.. Pour tout π rπs, on a f pq p sinq tan p sinqsin cos p sinqsin sin p sinqsin p sinqp sinq sin sin. 58

160 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 Donc f pq Ñ π Ñ π sin sin si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en π en posant f p π q. Eercice 4 (p. 8).. On a sinp π 8 q ðñ sinp π 8 q sin π 6 ðñ π 8 π π 6 ðñ π π π 6 8 ðñ 7π π 4 ou π 8 π π 6 ou π π π 6 8 ou π π. 4 π π L ensemble des solutions de l équation sinp π 8 q est donc, dans R, l ensemble " * " * 7π π k π, k P Z Y k π, k P Z 4 4 et, dans s π,πs, l ensemble. On a cos cos ðñ ðñ ðñ 7π 4, π 4 (. π π π ou ou ou π π π. L ensemble des solutions de l équation cos cos est donc, dans R, l ensemble "k π, k P Z * et, dans s π,πs, l ensemble π,, ( π.. On a tan tanp π q ðñ π ðñ π ðñ π 6 π π. π 59

161 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 L ensemble des solutions de l équation tan tanp! π k π ) 6, k P Z π q est donc, dans R, l ensemble et, dans s π,πs, l ensemble 5π 6, π, π 6, ( π. Eercice 5 (p. 8).. On a b 5 a 5 pb aqpb 4 b a b a ba a 4 q. Donc le tau τ ta,bu de variation de f entre deu réels quelconques distincts a et b, défini par vérifie τ ta,bu f pbq f paq, b a τ ta,bu pb5 b q pa 5 a q b a b5 a 5 b a b a pb aqpb4 b a b a ba a 4 q pb aqpb aq b a b 4 b a b a ba a 4 b a. Si a et b sont distincts dans r, 8r, ce tau est alors strictemement positif puisque a et b sont positifs ou nuls et puisque l un au moins d entre eu est strictemement positif. Ceci prouve, par définition, que f est strictement croissante sur r, 8r.. La fonction f, polynômiale, est continue sur R donc sur r,s ; elle est de plus strictement croissante sur r, 8r donc sur r,s. Donc, grâce à un théorème du cours, on sait que f est une bijection de r,s sur rf pq,f pqs, i.e. sur r,s. Par conséquent, appartenant à r,s, il eiste un unique antécédent à par f dans r,s et n est ni ni puisque f pq et f pq. Ceci prouve que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. (a) On met en œuvre la méthode de dichotomie. i. Le milieu de l intervalle s,r est et un calcul (éventuellement à la calculatrice) montre que f. Or f pq f pq donc f p q f pq et donc appartient à s,r. ii. Le milieu de l intervalle s,r est 4 et un calcul montre que f 4. Or f p q f pq donc f p 4 q f pq et donc appartient à s 4,r. iii. Le milieu de l intervalle s 4,r est et un calcul montre que f 8. Or f p 4 q f pq donc f p 4 q f p 8 7q et donc appartient à s 4, 7 8 r. iv. Le milieu de l intervalle s 4, 7 8r est 6 et un calcul montre que f 6. Or f p 4 q f p 8 7q donc f p 4 q f p 6 q et donc appartient à s 4, 6 r. 6

162 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 v. Le milieu de l intervalle s 4, 5 6r est et un calcul montre que f 5. Or f p 4 q f p 6 5 q donc f p q f p 6 q et donc appartient à s 5, 6 r. vi. Le milieu de l intervalle s 5, 6 5 r est 64 et un calcul montre que f Or f p 5 q f p 6 5 q donc f p 64 q f p 6 q et donc appartient à s 5 64, 6 r. L intervalle I s 64 5, 6 r est de diamètre 64 donc est distant du centre 8 de I d au plus le rayon de I qui vaut 8. Par conséquent 8 8 si bien que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de. (b) De plus, une valeur approchée de 8 donnée par la calculatrice est 8,85 à près donc, par l inégalité triangulaire,,85 8 8,85 8 8,85 8 avril 5 Eercice (p. 9).. Cf. cours. 8 pcar 8, 8q si bien que,85 est une valeur approchée à près de.. (a) On a d 4 4 ln {. (b) On a (c) On a (d) On a d d. 4 a d 4 4 a d a e s e s ds e s e s ds ln e s ln e s. 6

163 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 (e) Puisque cost sur r π 4, π 4 s, on a π 4 π 4 cost a sin t π 4 dt π 4 cost cos t dt π 4 π 4 π cost cost dt 4 π 4 π cost cost dt 4 π 4 dt rts π 4 π 4 π.. (a) Les formules d Euler sont (b) On a cos ei e i et sin ei e i. i e sin i e i i e i e i e i e i e i e i 8i e i e i ei e i 4 i i psin sinq. 4 Il s ensuit que sin d psin sinqd 4 4 cos cos K, K P R. (c) On a également sin d cos sin d sin sin cos d Eercice (p. 9). On a cos cos K, K P R.. lnt dt t lnt t dt t lnt t t. pour n dans N t n lnt dt tn n lnt n tn n t n n t dt t n dt. t n lnt lnt n 6

164 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année sin d cos cos d cos 4 sin. s shs ch s d s ths ths ds s ths ds s ths ln chs s ths lnchs. chs Arctan d Arctan Arctan d d Arctan ln Arctan ln. 6. { { Eercice (p. 9). { { parccosq d parccosq Arccos d { { π 9 { 4π 9 5 π 8 5 π 8 5 π 8. On pose t { i.e. t ; alors d 9 dt 9t 9 { { a Arccos π. π π Arccos d { { { { dt t Arctan t π. De manière analogue, on pose t {a i.e. at ; alors a d a adt a t a a { dt t Arctan t π a 4a. a d 6

165 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5. On pose t i.e. t et d t dt ; alors d p q t dt pt qt Eercice 4 (p. 4). π π π 4 6. dt t Arctan Arctan. On sait que la solution générale de l équation y pcosqy (II.7) est y C ep cos d, C P R i.e. y Ce sin, C P R. On constate que y est solution particulière de l équation y pcosqy cos. (II.7) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.7), somme de la solution générale de l équation (II.7) et d une solution particulière de l équation (II.7), est. L équation y Ce sin, C P R. y 8y 5y (II.74) a pour équation caractéristique r 8r 5 (II.75) de discriminant 64 6 p6iq. Donc l équation (II.75) a pour solutions (complees conjuguées) r 8 6i 4 i. Donc la solution générale de l équation (II.74) est y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R. La fonction y est solution de l équation (II.74) vérifiant y pq et y pq si et seulement si $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R y pq '% pq y 64

166 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 i.e. $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R λ '% 4λ λ car si y e 4 pλ cos λ sinq alors y 4e4 pλ cos λ sinq e 4 pλ sin λ cosq. Le précédent système équivaut à $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R λ '% λ 4{ donc la fonction y solution de l équation (II.74) vérifiant y pq et y pq est donnée par y e cos 4 4 sin. Eercice 5 (p. 4).. On a. On a a I a a a a a a I f psqds f psqds a f ptqdptq a a a a a a I f ptqdt f psqds f psqds f psqds a a f psqds a f psqds en posant t s f psqds f psqds f ptqdptq en posant t s f ptqdt Donc I si bien que I. car f est paire donc f ptq f ptq car f est impaire donc f ptq f ptq 65

167 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 mai 5 Eercice (p. 4).. On peut calculer à l aide de la relation Argth ln mais on a aussi vu en cours que, pour tout dans s,r, pargthq.. En intégrant par parties, { si bien que Argth d Argth { { d Argth { dp q { Argth d { ln 4 { ln { 4 ln ln 4 ln ln. 4 Eercice (p. 4).. On sait que la solution générale de l équation y y (II.76) est y C ep d, C P R i.e. y Ce, C P R. On constate que y { est solution particulière de l équation y y. (II.77) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.77), somme de la solution générale de l équation (II.76) et d une solution particulière de l équation (II.77), est y Ce, C P R.. L équation y y 4y (II.78) a pour équation caractéristique r r 4 (II.79) 66

168 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 de discriminant p8iq. Donc l équation (II.79) a pour solutions (complees conjuguées) r 8i 5 4i et r 8i Donc la solution générale de l équation (II.78) est 5 4i. y e 5 pc cos4 C sin4q, C,C P R. Eercice (p. 4).. (a) De la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire cos α sin α on peut déduire, en divisant par cos α que tan α cos α. (II.8) (b) On sait que sin α sin α cos α si bien que sinα sinα cosα sinα cosα cos α tanα cos α. (c) On déduit de ce qui précède, en prenant l inverse des membres de l égalité (II.8), que. On pose t tanp{q. sinα tanα cos α (a) Pour une fonction u dérivable, si bien que tanα tan α. ptanuq u tan u u cos u dt dtan tan d t d. (b) À l aide de la question (c), on a. On pose sin sin tan tan t t. 67

169 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5 (a) Dans l intégrale π I d sin, le changement de variable t tanp{q conduit à $ t tan '& $ '& dt π t d ðñ tan '% sin '% tan tan π t t sin t t t $ dt d '& t ðñ tan '% t tan π 4 sin t p tq $ d '& dt t ðñ t '% si bien que I dt t t p tq sin t p tq dt p tq. (b) On a $ '& u t t '% p tq u $ '& u t ðñ u '% p tq u si bien que Eercice 4 (p. 4).. I dt p tq du u. u (a) Puisque l ensemble de départ de la fonction v est r, 8r et puisque 4 t n eiste que pour t 4, l ensemble de définition D de la fonction v est r,4s. (b) La fonction v est dérivable sur r,4r et pour t 4, on a 4 v t ptq t p4 tq t 8 t. 4 t 4 t 4 t Il est clair que v est strictement positive sur r,8{r, nulle en 8{ et strictement négative sur r8{,4r ; donc v est maimale en t 8{ et vaut alors vp8{q {p q. 68

170 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 4 5. (a) La fonction v est intégrable sur r,4s car elle est continue sur cet intervalle. (b) On procède à une intégration par parties pour calculer ³ 4 vptq dt vptq dt t 4 t dt 4 4 tp4 tq p4 tq dt 4 p4 tq dt p4 tq vptq dt (c) On sait que la valeur moyenne V de v sur r,4s est donnée par Eercice 5 (p. 4). V 4 4 vptq dt On a immédiatement vpq vpt q. La fonction v est dérivable sur r,t r et pour t T, on a T v t ptq a t pt tq t T t a a. T t T t T t Puisque a, il est clair que v est strictement positive sur r,t {r, nulle en T { et strictement négative sur rt {,T r ; donc v est maimale en t T { et vaut alors vpt {q at a T {{ apt {q {.. Puisque dptq vptq dt et pq, la fonction t ÞÑ ptq est la primitive s annulant en de la fonction (continue sur r,t s) t ÞÑ vptq ; donc pt q T T vptq dt at T t dt a tpt tq T a a pt q 4a 5 T 5. 5 pt tq 5 T T pt tq dt pt tq dt T 69

171 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6 La vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB est donnée par V T T vptq dt pt q T 4a 5 T.. La fonction étant continue sur r,t s et dérivable sur s,t r, on peut lui appliquer sur cet intervalle le théorème des accroissements finis : il eiste un réel c dans r,t s tel que pt q pq pt q ³ pcq i.e. tel que vpcq T T vptq dt ou encore tel que vpcq V. Ceci prouve qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. 4. Application numérique. On a $ & pt q % v M d où, par division, 4 5 T 5 pt {q {. i.e., en heures, T 8. Eprimé en secondes, si bien que T T 6s. i.e. $ & % 4a 5 T 5 apt {q { En outre, V pt q{t {T 8 donc V 9km h. 5 juin 5 Année 5 6 novembre 5 Eercice (p. 4).. On a ðñ p qp q ðñ ou ðñ P t,u. # # ðñ ou ðñ ðñ. 7

172 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6. On a, grâce à un tableau de signes, ðñ p q ðñ ðñ Ps8,rYr, 8r.. On a p qp q d où, grâce à un tableau de signes, ðñ p qp q ðñ Ps 8,rYr,s. Eercice (p. 4).. Voir le cours.. (a) Puisque $ '& cos π '% sin π on a z et Argpz q π. On voit aisément géométriquement que z et Argpz q π 4. Puisque z p i q et $ '& cos π 6 '% sin π 6 on a z et Argpz q π 6. (b) Il s ensuit que z e iπ{, z e iπ{4 et z e iπ{6. (c) On a donc Eercice (p. 4). z z e iπ{ e iπ{4 e ipπ{π{4q e 5iπ{ si bien que z z et Argpz z q 5π z e iπ{4 z e iπ{6 si bien que z z ; eipπ{4π{6q e5iπ{ et Argp z z q 5π ; z 4 j4 e iπ{ 4 e 8iπ{ e ipπ{ πq e iπ{ j z si bien que z 4 et Argpz 4 q π. 7

173 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6. On a 4 Ñ4 4 Ñ4 p 4qp q Ñ4 7.. On a Ñ. On sait que 4. On a 4 Ñ p qp q Ñ 4. sin Ñ lnp q ln Ñ 8 Ñ 8 ln Ñ 8 ln or Ñ 8 { et uñ lnu donc lnp q ln. Ñ 8 ; Eercice 4 (p. 4). Il est clair que pa bqpa ab b q a b et donc Ñ Ñ p q Ñ p qp p q q Ñ p q donc la ite demandée est. Eercice 5 (p. 4).. On a. On a cosa sina sina cosa cosacosa sinasina cosasina cospa aq cosasina cosa cosasina cos a sin a cosasina cosa sina sina cosa cotana tana. sin π ðñ sin π sin π ðñ π π rπs ou π π π rπs ðñ π π rπs ou π ðñ 5π rπs ou π 4 rπs. π rπs 7

174 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6. (a) On a π sint cost ðñ sint sin t (b) En posant t, on a ðñ t π t rπs ou t π π t rπs ðñ t π rπs ou π rπs ðñ t π 4 rπs. sin cos ðñ sint cost ðñ sint cost sin t ðñ sin t sint cost ðñ sint psint costq ðñ sint psint costq (c) On a donc, avec t, sin cos ðñ sint psint costq ðñ sint ou sint cost ðñ t rπs ou t π 4 rπs ðñ rπs ou π rπs. 6 janvier 6 Eercice (p. 4).. Puisque les fonctions sin et cos sont définies sur R, R D ðñ sin ðñ sin ðñ rπs ou π rπs ðñ rπs. Donc D R tkπ, k P Zu.. Puisque R D, la fonction f n est pas continue en mais, en, on a cos { et sin donc f pq 4 si bien que f admet, en, la ite finie {4. On peut donc prolonger f par continuité en, en posant f pq {4. 7

175 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6. On a Eercice (p. 4). f pq cos sin cos p cos q cos p cosqp cosq si cos i.e. si rπs. p cosq. Puisque l ensemble de définition de la fonction Arcsin est r,s, f pq eiste si et seulement si ðñ 4 ðñ. Donc l ensemble de définition de la fonction f est, Y,. Puisque l ensemble de dérivabilité de la fonction Arcsin est s,r, en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes ci-dessus, on constate que l ensemble de dérivabilité de la fonction f est s, rys,r.. Pour dans s, rys,r, on a f pq a b p q p qp4 q. Eercice (p. 44).. Par définition, y Arcsin ðñ # siny π{ y π{.. Soit un nombre dans r,s et y Arcsin. Alors, par définition, siny i.e. sinparcsin q.. Soit un nombre dans r,s. Alors, # siny y Arcsin ðñ π{ y π{ # sin y ùñ π{ y π{ # cos y ðñ π{ y π{ # cosy ðñ π{ y π{ a ùñ cosy 74

176 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6 car, si π{ y π{, alors cosy et donc cosy cosy. Il s ensuit que cosparcsinq. 4. On a Eercice 4 (p. 44). tanparcsinq sinparcsinq cosparcsinq.. L ensemble de définition de la fonction f est R. Sur cet ensemble, f est continue et dérivable et, pour tout, Or, f pq. f pq ðñ ðñ ðñ 4. Donc f est strictement croissante sur s,4r, strictement décroissante sur s4, 8r et admet un maimum absolu en 4.. Puisque f admet un maimum absolu en 4, pour tout, f pq f p4q. Or f p4q ln4 ln plnq est strictement négatif. Par suite, pour tout, f pq i.e. ln.. On a donc, pour tout, ln{ { et, pour, ln{ {. Puisque Ñ 8 {, il s ensuit par le théorème des gendarmes que ln Ñ Pour, posons X α. Alors X {α et donc ln ln X α α lnx X α X. Or, si ÝÑ 8 alors X ÝÑ 8 donc, en vertu de la question précédente, Eercice 5 (p. 44). ln Ñ 8 α XÑ 8. On a, pour tout réel, f pq 4 7 α lnx X. fonction polynôme admettant pour racine évidente pq. Il s ensuit que : f pq p qp 7q si bien que f est de signe négatif entre ses racines et 7, donc entre et, ce qui prouve que f est strictement monotone (décroissante) sur r,s. 75

177 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6. La fonction f, polynômiale, est continue sur R donc sur r,s ; elle est de plus strictement croissante sur r,s. Donc, grâce à un théorème du cours, on sait que f est une bijection de r,s sur rf pq,f pqs, i.e. sur r6,s. Par conséquent, appartenant à r6,s, il eiste un unique antécédent à par f dans r,s et n est ni ni puisque f pq et f pq. Ceci prouve que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. (a) On met en œuvre la méthode de dichotomie. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 7 s,r est et un calcul montre que f pq f p q donc appartient à s,r.- Étape n o : Le milieu de l intervalle I 8 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.+ Étape n o : Le milieu de l intervalle I 9 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.- Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.- Étape n o 4 : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.- Étape n o 5 : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.+ L intervalle I est de diamètre 64 donc est distant du centre 8 5 de I d au plus le rayon de I qui vaut 8. Par conséquent si bien que 8 5 est une valeur approchée fractionnaire à près de. (b) Par l inégalité triangulaire,, , , ,7 si bien que,7 est une valeur approchée à près de. 4. On constate que pq est une racine évidente de l équation 7 (II.8) 76

178 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6 Il s ensuit, par une factorisation à la volée, que pii.8q ðñ p qp 4 q ðñ p q p 4 4q ðñ p q p q ðñ p q p q p q! ðñ P, ),. Donc les racines de l équation f pq sont, et appartient à s,r si bien que. ; parmi elles, seule février 6 Eercice 5 (p. 45). 7 mai 6 Eercice (p. 45). On a. cos sin d pcosq cos d pcosq cos d cos, C P R.. t a t 4 4t dt 4t 4 dt 4 t 4 4t t 4 4t t 4 4t dt 4 t 4 4t 4 t 4 4t, C P R. 8 Eercice (p. 45). Il est facile de voir rπs, pcotanq sin. 77

179 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6 Donc π π s π 4 sin s ds s π 4 sin s ds π s cotans Eercice (p. 45). π 4 π π 4 π π π 4 4 cos sin ds π π 4 psinq π 4 sin ds π π ln sin 4 π 4 π ln 4 ln π ln 4 π 4 ln. cotans ds. On effectue ci-dessous le changement de variable implicite t {4 : 4 d 4 6 d d d 6 π 6. d 4 4d 4 4 darctan 4 4 Arctan parctan Arctanq 4 78

180 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 5 6. On pose t. L application t ÞÑ t étant une bijection de r, s sur r,s, on a d p q t dt pt q t dt pt q Arctan t π. car Arctan Arctan car d dpt q t dt a t t t puisque t P r, s Eercice 4 (p. 45). Résolvons les équations demandées.. On résout d abord l équation sans second membre associée. Sur R, la fonction ln est continue donc y plnqy ðñ y Ce ³ ln d, C P R ðñ y Ce p lnq, C P R par intégration par parties ðñ y Ce plnq, C P R. On remarque que l équation avec second membre admet comme solution particulière la fonction y 4. Donc la solution générale de l équation complète est y 4 Ce plnq, C P R.. L équation caractéristique associée à l équation y 4y 6y (II.8) est r 4r 6. Or r 4r 6 ðñ pr q ðñ pr q i ðñ r i r i ðñ r i. L équation caractéristique admettant deu racines complees conjuguées de partie réelle pq et de parties imaginaires, la solution générale de l équation (II.8) est y e C cos C sin, pc,c q P R. Eercice 5 (p. 46).. La fonction f est continue en car 79

181 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 elle est définie en ce point ; on a f pq sin et tend vers en donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, f f pq.. Pour, f pq sin cos sin cos.. La fonction f n est pas dérivable en car f pq f pq sin n admet pas de ite lorsque tend vers. juin 6 Année 6 7 er décembre 6 Eercice (p. 47).. On a. On a 7 5 Ñ 8 Ñ 8 Ñ 8 Ñ 8 7 Ñ Ñ 8. Puisque, en, tant t, et puisque lorsque t Ñ, t et t tendent vers, on a tant tant t t ÝÑ tñ. 4. Puisque, en, lnp hq h et sinh h, on a Ñ ln sinp q lnp hq hñ sinh h hñ h. 8

182 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Eercice (p. 47).. On note que z i piq e i π donc z a pour module et pour argument π.. On a Une figure montre que z a pour module (diagonale d un carré de côté ) et pour argument π 4. On a donc # z z z z 9 Argpz z q Argpz q Argpz qrπs π π 4 rπs π 4 rπs # z {z z { z {p q { Argpz {z q Argpz q Argpz qrπs π π 4 rπs 5π 4 rπs π 4 rπs. z cosα i sinα cos α i sin α cos α i sin α cos α cos α cos α i sin α. Or α Ps π, π r puisque α Psπ,πr ; donc cos α si bien que la forme trigonométrique de z est : z cos α cos α i sin α. Eercice (p. 47).. Pour tout réel, b f pq b b p q car.. On a c cos acos 4 ðñ 4 ðñ cos ðñ cos ou cos ðñ cos cos π 6 ou cos cos 5π 6. 8

183 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Donc cos 4 si et seulement si π 6 rπs ou π 6 rπs ou 5π 6 rπs ou 5π 6 rπs. Autrement dit cos 4 si et seulement si π 6 rπs ou π 6 rπs. Eercice 4 (p. 47).. En 4, la fonction f peut être prolongée par continuité en posant f p4q 4, f pq p qp 4qp q p qp q ÝÑ Ñ4. car, si. En, la fonction f peut être prolongée par continuité en posant f pq car f pq sin sin puisque sinprq r,s du fait que sinprq r,s. Or Ñ donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, f. Eercice 5 (p. 47).. La fonction f, polynômiale, est continue sur R donc aussi sur l intervalle s, r. Par ailleurs, f pq 5 et f pq 6 donc f s annule au moins une fois sur s,r. Puisque f est en outre strictement croissante sur s, r, elle ne s y annule qu une seule fois. Il s ensuit que l équation f pq admet une unique solution sur cet intervalle.. Mettons en œuvre la méthode de dichotomie. Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est 5 et un calcul montre que f pq 5 f donc appartient à s 5,r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 4 s 5,r est 4 et un calcul montre que f 5 f 4 donc appartient à s 5, 4 r. L intervalle I 4 est de diamètre 8 donc est distant du centre 8 de I 4 d au plus le rayon de I 4 qui vaut 6. Par conséquent 8 6 si bien que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de. Par l inégalité triangulaire,,6 8 8,6 8 8,6 6 8,6 si bien que,6 est une valeur approchée à près de. 8

184 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Remarque II.. En notant que est solution de l équation f pq, on peut constater que 7 (la e solution étant 7). 5 janvier 7 Eercice (p. 47). Cf. cours. Eercice (p. 48)... (a) La fonction est définie sur R. Or, pour tout réel, donc. Il s ensuit que D f R. (b) La fonction est dérivable sur R. Or, pour tout réel, donc. Il s ensuit que D f R. (c) Si u est une fonction dérivable et, la fonction u a pour dérivée tout réel, f pq (d) On a df pq f pqd d donc df pq: R Ñ R h ÞÑ h u. Donc, pour u (a) La fonction Arccos a pour ensemble de définition r,s. Donc P D f ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ ou. Donc D f s 8,s Y r, 8r. (b) La fonction Arccos est a pour ensemble de dérivation s,r. Donc, par un raisonnement analogue au précédent, on obtient D f s 8,rYs, 8r. (c) Si u est une fonction dérivable, la fonction Arccosu a pour dérivée u là où u. Donc, pour tout dans s 8,r Y s, 8r, u f pq b b (car ). (d) On a df pq f pqd d donc df pq: R Ñ R h ÞÑ h 8

185 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Eercice (p. 48).. L ensemble de définition de f est s, 8r Y tu R car (a) la quantité ln eiste si et seulement si Ps, 8r ; (b) la fonction f est définie en par f pq.. La fonction f est, en, (a) continue (à droite) car Ñ f pq Ñ ln f pq (puisque «la puissance l emporte sur le logarithme ) ; (b) dérivable (à droite) car, pour h, f p hq f pq h si bien que f pq.. (a) Si alors f pq h lnh ÝÝÝÝÑ hñ ln ln pln q. et, comme on l a vu, f pq. (b) Si alors f pq et, pour h, pln q pln q p6ln 5q. f p hq f pq h h plnh q h hplnh q ÝÝÝÝÑ hñ si bien que f est dérivable deu fois (à droite) en, avec f pq. Mais la fonction f n est pas dérivable (à droite) en car le tau de variation de f en n admet pas de ite finie en : 4. Si, on a f p hq f pq h hp6lnh 5q h 6lnh 5 ÝÝÝÝÑ hñ 8 f pq ðñ pln q ðñ ln ðñ e Donc f est strictement décroissante sur r,e s et strictement croissante sur se, 8r. En outre, f pq ln ÝÝÝÝÑ Ñ 8 8 et f pq. 5. La courbe représentative C f de f sur r,s se trouve figure II. page suivante. On note sur cette courbe trois points caractéristiques : 84

186 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Figure II. Représentation graphique de la fonction f le point de coordonnées p,q en lequel C f admet une demi-tangente parallèle à l ae po,q ; le point de coordonnées pe, e q en lequel C f admet une tangente parallèle à l ae po,q ; le point de coordonnées p,q en lequel C f admet une tangente de pente puisque # f pq f pq pln q. Eercice 4 (p. 48).. L ensemble de définition D f de f est R t,u car l ensemble de définition de la fonction Arctan est R ; la quantité eiste si et seulement si et ðñ p qp q ðñ P t,u.. La fonction f est impaire car l ensemble D f est symétrique par rapport à ; si P D f, f pq ArctanpqArctan puisque la fonction Arctan est impaire. pq pq Arctan Arctan f pq. (a) L ensemble de dérivabilité de la fonction Arctan est R et, pour une fonction u, on a parctanuq u u. (b) L ensemble de dérivabilité de la fonction f est donc R t,u et, pour dans cet ensemble, on a : p qpq f pq p q 4 4 pp qq. 85

187 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année On déduit de ce qui précède que, sur chacun des intervalles de Rt,u s8,rys,rys, 8r, la fonction f est constante. En particulier, si Ps,r : f pq f pq Arctan Arctan si bien que, pour Ps,r : Arctan Arctan. De même, si Ps, 8r : f pq f p q Arctan Arctan Arctan Arctan π si bien que, pour Ps, 8r : Arctan Arctan π. Et puisque f est impaire, pour Ps 8,r, on a f pq π et donc : Arctan Arctan π. 5. Par définition y Arctan ðñ # tany π y π. Donc en faisant jouer le rôle de y ci-dessus à Arctan, il suffit pour prouver sur s,r Arctan Arctan. d établir que, pour P s, r : # tanparctanq π Arctan π. Or (a) d après la formule de la tangente de l arc double : tanparctanq tanparctanq tan parctanq (b) si alors, la fonction Arctan étant strictement croissante, Arctan Arctan Arctan i.e. π 4 Arctan π 4 soit π Arctan π. Ceci achève la preuve demandée. 86

188 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Eercice 5 (p. 48).. (a) On a 4 d 5 5 K, K P R (b) On a a d a d d 9 K, K P R K, K P R (c) On a sin pcosq tan d cos d d ln cos K, K P R cos cos. Soit F la primitive de s annulant en π{. Alors sin cost Fpq π sin t dt janvier 7 Eercice (p. 49).. On a (a) psintq π sin t dt Arctan psin tq Arctanpsinq Arctan sin π Arctanpsinq Arctan sin π Arctanpsinq Arctan Arctanpsinq π 4. π 4 Ñ4 4 Ñ4 p 4qp q Ñ

189 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 (b) On a lnp q ln Ñ 8 Ñ 8 ln Ñ 8 ln or Ñ 8 { et uñ lnu donc lnp q ln. Ñ 8 ;. On sait que a b pa bqpa ab b q et donc Ñ Ñ p q Ñ p qp p q q Ñ p q si bien que la ite demandée est.. (a) En, donc (b) En, donc sin p q sin Ñ p q. p q tan p πq cos p πq π tan p πq Ñ cos π. 4. L ensemble de définition de f est r,rys, 8r. Sur cet ensemble, f est continue. Eaminons le cas du point ; en multipliant au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée, Ñ 4 Ñ p qp q Ñ 4 donc f est prolongeable par continuité en en posant f pq {4. Eercice (p. 49).. On a cosp π 8 q ðñ cosp π 8 q cos π ðñ π 8 π π ou π 8 π ðñ π π π ou π π 8 8 ðñ π π ou 5π π. 4 4 π π 88

190 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 L ensemble des solutions de l équation cosp π 8 q est donc, dans R, l ensemble " * " π k π, k P Z Y 5π * k π, k P Z 4 4 et, dans s π,πs, l ensemble. On a tan tanp 5π 4, π 4 (. π q ðñ π ðñ π ðñ π 6 π π. π L ensemble des solutions de l équation tan tanp! π k π ) 6, k P Z π q est donc, dans R, l ensemble et, dans s π,πs, l ensemble 5π 6, π, π 6, ( π. Eercice (p. 49).. On a cos sin d pcosq cos d cos C, C P R.. On a 4 d Eercice 4 (p. 5).. Cf. cours.. (a) On a a pq d u pqd où u u Argshpq C, C P R. ðñ car est pour tout réel ðñ en ajoutant et en retranchant ðñ P R. 89

191 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 (b) L ensemble de définition de Arccos est r,s donc f pq eiste si et seulement si i.e. si et seulement si P R. Donc l ensemble de définition D f de f est R.. L ensemble de définition de f est clairement symétrique par rapport à et, pour tout réel, on a f pq Arccos pq Arccos pq f pq si bien que f est paire et que son ensemble d étude peut être ramené à D f X r, 8r r, 8r. 4. On a 5. (a) On a f pq Arccos f pq Arccos π f 8 Ñ 8 Arccos Arccospq π. et ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ P (b) On sait que l ensemble de dérivation de Arccos est s,r donc, d après ce qui précède, f est dérivable sur R donc sur R. On a, pour tout, f pq p qp q p q c 4 b p q p q p q 4 p q 4 p q car. 9

192 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 (c) Puisque parctanq, on a f pq parctanq pour. On en déduit qu il eiste une constante réelle C telle que, pour tout, f pq Arctan C. Donc, en particulier pour, on a f pq Arctan C soit π π 4 C. On en conclut que c est-à-dire C ou f pq Arctan Arctan Arccos. Ceci est en fait vrai pour tout car l égalité (II.8) est vraie aussi pour puisque : # f pq Arctan. Soit maintenant. Alors et donc, d après (II.8), f pq Arctanpq soit, puisque f est paire et Arctan est impaire, f pq Arctan. On obtient Arctan Arccos. 6. La courbe représentative C f de la fonction f est donc, sur R, celle de Arctan. La courbe sur R s obtient en eploitant le caractère pair de la fonction f. avril 7 Eercice (p. 5).. On a d dp q dp q a K, K P R.. On a : cos sin d psinq sin d psinq sin d sin Eercice (p. 5). K, K P R. On a plntq dt t plntq t lnt dt t t plntq lnt dt t plntq t lnt t t dt t plntq t lnt t K, K P R t plntq lnt K, K P R 9

193 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7. En posant u sin et v lnp sinq, on a u cos et v cos{p sinq. Donc π π sin lnp sinqd cos lnp sinq π π π sin sin d π p sinqp sinq d sin p sinqd cos π Eercice (p. 5). On a, en posant t, d 4 Eercice 4 (p. 5). dt ptq 4 π dt t Arctan t π 8 cos sin d. La fonction ÞÑ est continue sur R et sur R. Donc, sur chacun de ces deu intervalles : y y ðñ y ep d ep d d ðñ y eppln q eppln qd ðñ y ep ln ep ln d ðñ y d puisque, pour tout réel, ðñ y d ðñ y 4 K, K P R ðñ y K, K P R Ainsi la solution y de cette équation s annulant en vérifie # # ypq K, K P R y K, K P ðñ R ypq K ðñ y. L équation caractéristique associée à l équation différentielle y y y est r r ðñ pr q 9 ðñ pr q piq ðñ r i 9

194 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Donc la solution générale de cette équation différentielle est Eercice 5 (p. 5). y e pλ cos λ sinq, pλ,λ q P R. Pour tout n dans N, # sh pnq sh si n est pair ch si n est impair. Cf. cours. La fonction sh est de classe C 8 sur R donc est, pour tout réel, de classe C 4 sur, et dérivable à l ordre 5 sur s, r. Donc, d après la formule de Taylor-Lagrange, il eiste un réel θ de s,r tel que sh 4 k sh pkq k k! sh p5q pθq 5 5! i.e., puisque sh et ch, sh juin 7 juin 7 Eercice (p. 5). 6 chpθq 5. On peut calculer cette dérivée à l aide de la relation Argth ln mais on a aussi vu en cours que, pour tout dans s,r, pargthq.. En intégrant par parties, si bien que Argth d Argth d Argth dp q Argth d 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln. 4 9

195 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 Eercice (p. 5). On a. e s e s ds dpe s q e s ds ln e s lnpe q ln ln e.. Puisque d{ dpln q, e d e e plnq dpln q e plnq plnq e e 8 8. Eercice (p. 5).. On sait que la solution générale de l équation y pcosqy (II.84) est y C ep cos d, C P R i.e. y Ce sin, C P R. On constate que y est solution particulière de l équation y pcosqy cos. (II.85) Il s en suit que la solution générale de l équation (II.85), somme de la solution générale de l équation (II.84) et d une solution particulière de l équation (II.85), est. L équation y Ce sin, C P R. y 8y 5y (II.86) a pour équation caractéristique r 8r 5 (II.87) de discriminant 64 6 p6iq. Donc l équation (II.87) a pour solutions (complees conjuguées) r 8 6i 4 i. Donc la solution générale de l équation (II.86) est y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R. La fonction y est solution de l équation (II.86) vérifiant y pq et y pq si et seulement si $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R y pq '% pq y 94

196 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 6 7 i.e. $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R λ '% 4λ λ car si y e 4 pλ cos λ sinq alors y 4e4 pλ cos λ sinq e 4 pλ sin λ cosq. Le précédent système équivaut à $ '& y e 4 pλ cos λ sinq, λ,λ P R λ '% λ 4{ donc la fonction y solution de l équation (II.86) vérifiant y pq et y pq est donnée par y e cos 4 4 sin. Eercice 4 (p. 5).. Pour une fonction f de classe C sur un intervalle fermé d etrémités et h et dérivable à l ordre sur l intervalle ouvert correspondant, la formule de Taylor-Lagrange à l ordre stipule qu il eiste un réel θ de l intervalle s,r tel que f phq f pq f pq h! f pq h! f pθhq h.!. (a) On a f pq lnp q, f pq, f pq p q, f pq p q, f p4q pq 6p q 4 et, plus généralement, pour tout n dans N : f p4q pq pq n pn q!p q n. (b) Pour tout h, la fonction f : ÞÑ lnp q est de classe C 8 sur l intervalle d etrémités et h donc, grâce à la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre, on a où θ f phq f pq f pqh, soit lnp hq h h f pq f pθhq h 6 h p θhq. h 95

197 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 Année 7 8 décembre 7 Eercice (p. 5).. On a 4 ðñ p qp q ðñ ou ðñ P t,u. # # 4 ðñ 4 ou ðñ ðñ.. On a 4 p qp 4q d où, grâce à un tableau de signes, 4 ðñ 4 ðñ Eercice (p. 5).. On a cos π ðñ cos π cos 4 4 p qp 4q ðñ π 4 rπs ou π 4 rπs ðñ Ps8,sYs,4s. et ðñ π 4 rπs ðñ π π tan tan ðñ tan tan ðñ tan tanpq ðñ rπs ðñ rπs π ðñ. On a sin ðñ sin ðñ sin sin π 6 et, graphiquement, on en déduit π sin ðñ k π, 5π 6 6 kpz k π. 96

198 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 Eercice (p. 5).. pa bq 4 a 4 4a b 6a b 4ab b 4. Par la formule de Moivre, on a Eercice 4 (p. 5). cos4θ Repcos4θ i sin4θq Re pcosθ i sinθq 4 Re cos 4 θ 4cos θ i sinθ 6cos θ pi sinθq 4cosθ pi sinq θ pi sinθq 4 Re cos 4 θ 4i cos θ sinθ 6cos θ sin θ 4i cosθ sin θ sin 4 θ. Les formules d Euler sont cos 4 θ 6cos θ sin θ sin 4 θ cos ei e i et sin ei e i. i. On a e sin 4 i e i 4 i e 4i 4e i e i 6e i e i 4e i e i e 4i 6 e 4i e 4i 4 ei e i 8 pcos4 4cos q. 8 Eercice 5 (p. 5). z 6z ðñ z 6z 9 4 ðñ pz q 4 ðñ pz q piq ðñ pz iqpz iq ðñ z P t i, iu 5 janvier 8 Eercice (p. 5). On a. a Ñ 8 a Ñ 8 Ñ

199 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8. Ñ Ñ 8. par factorisation à la volée, 5 p qp q Ñ Ñ p qp q Ñ 4. d après le cours, 5. sin Ñ Eercice (p. 5).. Cf. cours. lnp q ln Ñ 8 sint. (a) On a tñ sint car, en, sint sint t t. Ñ 8 ln Ñ 8 ln ln lnp (b) On a q Ñ tan car, en, Ñ et ln tan.. On note que, si t (i.e. t ), alors Ñ si et seulement si t Ñ. Il s ensuit que e e a e t e cosp q cost Il s ensuit que e et e cost e t e cost e t b tñ t e e a e. Ñ cosp q e t t # e si t i.e. si e si t i.e. si. 98

200 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 Eercice (p. 5).. L ensemble de définition de f est D f r 5,rYs, 8r. Donc f, définie de manière «naturelle, est continue sur D f. Mais On a donc f pq p q 5 9 p 5q p q 5 4 p q 5 p q 5 si. 5 f Ñ 5 si bien que la fonction f peut être prolongée par continuité en, en posant f pq. La fonction ainsi prolongée est continue sur r 5, 8r.. Pour n pair, la fonction n est définie sur, et seulement sur, R. Il s ensuit que l ensemble de définition de g est D g r,rys, 8r. Donc g, définie de manière «naturelle, est continue sur D g. Mais si, pour dans D g, on pose t 4 (i.e. t 4 puisque ), on a gpq 4 t t 4 t p t qp t q t p tqp tqp t q p tqp t car t puisque q 4 p 4 q p Il s ensuit que g p 4 qp 4 qp Ñ q. q 4 99

201 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 si bien que la fonction g peut être prolongée par continuité en, en posant gpq 4. La fonction ainsi prolongée est continue sur r, 8r.. La fonction h a pour ensemble de définition D h R mais, n étant pas définie de manière «naturelle, elle n est pas nécessairement continue sur D h. Le seul point de discontinuité éventuel est manifestement le point. Or, du fait que cosprq r,s, on a cosprq r,s. Donc f pq cos cos. Mais Ñ donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, h c està-dire h hpq, compte-tenu de la définition de h. Il s ensuit que la fonction h est continue en, donc sur R. Eercice 4 (p. 5).. La fonction f est continue sur R donc aussi sur l intervalle s,r ; par ailleurs, f pq et f pq e e e (car la fonction ÞÑ e est strictement croissante sur R). Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, f s annule au moins une fois sur s,r. Puisqu en outre f est strictement croissante sur cet intervalle, elle ne s y annule qu une seule fois. Il s ensuit que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Mettons en œuvre la méthode de dichotomie. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 5 s,r est et un calcul montre que f pq f p q donc appartient à s,r.+ Étape n o : Le milieu de l intervalle I 6 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.- Étape n o : Le milieu de l intervalle I 7 s,r est et un calcul montre que f p q f p q donc appartient à s,r.- L intervalle I 7 est de diamètre 8 donc est distant du centre 6 9 de I 7 d au plus le rayon de I 7 qui vaut 6. Par conséquent si bien que 6 9 est une valeur approchée fractionnaire à près de. Par l inégalité triangulaire,, , , ,6 9 6,6,6 si bien que,6 est une valeur approchée à près de.

202 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 Eercice 5 (p. 5).. Par définition, y Arccos ðñ # cosy y π. (II.88). On sait que l ensemble de définition D est r,s.. La courbe C de la fonction Arccos est représentée figure II.. Figure II. Représentation graphique de la fonction Arccos 4. On a Arccos π, Arccos π, Arccos, Arccos π, Arccospq π. Le nombre Arccos n eiste pas. 5. Soit dans D Arccos. On doit prouver que Arccos Arccospq π i.e. π Arccospq Arccos ce qui, en vertu de l équivalence (II.88), revient à prouver # cospπ Arccospqq π Arccospq π. Or (a) on sait que, pour tout réel θ, cospπ θq cosθ et, pour tout t de r,s, cosparccostq t donc cospπ Arccospqq cosparccospqq pq (b) comme tout Arccos, Arccospq appartient à r, πs donc π Arccospq i.e. π Arccospq π. On a donc prouvé que π Arccospq Arccos i.e. Arccos Arccospq π. 6. Soit dans r,s et M le point de coordonnées p,yq appartenant à C ; on a alors y Arccos. Soit M le point de C d abscisse ; son ordonnée y vaut alors Arccospq et vérifie donc y y Arccos Arccospq π. On en déduit que le milieu du segment rm,m s, de coordonnées pq, y y, π est un point constant. Il s ensuit que la courbe C de la fonction Arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées p, π q.

203 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année janvier 8 Eercice (p. 54). Eercice (p. 54).. On a cos π 8 ðñ cos π 8 ðñ π 8 π ðñ π π 8 ðñ π 4 cos π π ou π 8 π π ou π π 8 ou 5π π. 4 π π π L ensemble des solutions de l équation cos π 8 est donc, dans R, l ensemble " * " π k π, k P Z Y 5π * k π, k P Z 4 4 et, dans s π,πs, l ensemble 5π 4, ( π 4.. On a tan tan π ðñ ðñ π ðñ π 6 π π π. π L ensemble des solutions de l équation tan tan! π k π ) 6, k P Z π est donc, dans R, l ensemble et, dans s π,πs, l ensemble 5π 6, π, π 6, ( π. Eercice (p. 54). Eercice 4 (p. 54).. (a) On a ðñ car est pour tout réel ðñ en ajoutant et en retranchant ðñ P R.

204 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 (b) On a ðñ ðñ (c) L ensemble de définition de Arccos est r,s donc f pq eiste si et seulement si i.e. si et seulement si P R. Donc l ensemble de définition D f de f est R.. L ensemble de définition de f est clairement symétrique par rapport à et, pour tout réel, on a f pq pq Arccos pq Arccos f pq si bien que f est paire et que son ensemble d étude peut être ramené à D f X r, 8r r, 8r.. On a f pq Arccos f pq Arccos π π 4 f 8 Ñ 8 Arccos Arccospq π. 4. Par définition, y Arccos ðñ # cosy y π. Donc, pour, Arctan Arccos ðñ Or #cosp Arctanq Arctan π. (a) on sait que, pour tout θ P R, tan θ cos θ donc cosp Arctanq cos parctanq tan parctanq (II.89)

205 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 (b) comme tout Arctan, Arctan appartient à s π{,π{r donc Arctan π donc Arctan π. En outre, puisque la fonction Arctan est strictement croissante sur R, entraîne Arctan d où Arctan. En résumé, Arctan π. On a donc prouvé que, pour, Arctan Arccos. Soit maintenant. Alors et donc, d après ce qui précède, pq Arctanpq Arccos pq Arccos et, puisque Arctan est impaire, Arctan Arccos. On obtient donc, pour tout, Arctan Arccos. 5. La courbe représentative C f de la fonction f est donc, sur R, celle de Arctan. La courbe sur R s obtient en eploitant le caractère pair de la fonction f. 5 avril 8 Eercice (p. 54).. En posant upq ln, on a : a b ln d u pq upq d u pqu pqd u pq K, K P R p lnq K, K P R. On a e z dz e z e z b pe z q dz Eercice (p. 55). Arcsine z K, K P R 4

206 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8. En posant u s et v Arctans, on a u s { et v {p s q. Donc s Arctans ds s Arctans s s ds s Arctans s s ds s ds s Arctans ps Arctansq K, K s Arctans s K, K P R P R. En posant u cos et v lnp cosq, on a u sin et v sin{p cosq. Donc π π pcosq lnp cosqd sin lnp cosq π π π π cos cos d sin cos d π p cosqp cosq d cos p cosqd sin π π sin cos d Eercice (p. 55).. On pose t {4 i.e. 4t ; alors d 6 4dt 6t 6 4 où K P R. dt t 4 Arctant K 4 Arctan 4 K. On note que d d On pose donc t {4 i.e. 4t{ ; alors d 9 6 d 6 où K P R d 4. dt t Arctant K Arctan 4 K 5

207 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8. On a d 4 4 d p q. Donc, en posant t i.e. pt q{, on a $ & d dt{ % P r,s ðñ t P, et donc Eercice 4 (p. 55). d 4 4 dt t t 6.. Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle fermé d etrémités et h (h P R ) et dérivable à l ordre n sur le même intervalle ouvert. Alors il eiste θ dans s,r tel que f phq ņ k f pkq pq hk k!. On pose f pq p q 4. (a) Grâce au triangle de Pascal, on a f pn q pθhq hn pn q!. f pq p q (II.9) (b) La fonction polynomiale f est de classe C 8 sur R donc elle satisfait les hypothèses de la formule de Taylor-Lagrange sur tout intervalle d etrémités et ( P R ) et ce, à tout ordre n. f pq i. Donc, en particulier pour n, il eiste θ dans s,r tel que k f pkq pq k k! f p q pθq p q! f pq pq f pq pq f pq pq Or f pq pq p q 4 d où f pq pq f pq pq 4p q d où f pq pq 4 f pq pq p q d où f pq pq f pq pq 4p q donc il eiste θ dans s,r tel que f pq 4 6 4p θq 6 si bien que il eiste θ dans s,r tel que f pq 4 6 4p θq. Ceci est le développement de Taylor-Lagrange de f en à l ordre. f pq pθq 6. 6

208 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.. Année 7 8 ii. De même pour n : il eiste θ dans s,r tel que f pq k f pkq pq k k! f p q pθq p q! f pq pq f pq pq f pq pq Or f pq pq 4p q d où f pq pq 4 f p4q pq 4 donc il eiste θ dans s,r tel que f pq pq 6 f p4q pθq 4 4. f pq si bien que il eiste θ dans s,r tel que f pq Ceci est le développement de Taylor-Lagrange de f en à l ordre. iii. De même pour n 4 : il eiste θ dans s,r tel que f pq 4 k f pkq pq k k! f p4 q pθq 4 p4 q! f pq pq f pq pq f pq pq Or f p4q pq 4 d où f p4q pq 4 f p5q pq donc il eiste θ dans s,r tel que f pq pq 6 f p4q pq 4 4 f p5q pθq 4. f pq si bien que il eiste θ dans s,r tel que 4 f pq Ceci est le développement de Taylor-Lagrange de f en à l ordre 4. juin 8 Eercice (p. 55). Eercice (p. 55). Eercice (p. 55). Eercice 4 (p. 55). Eercice 5 (p. 56). 7

209 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 Année novembre 8 Eercice (p. 57).. On a 4 9 ðñ p qp q ðñ ou " ðñ P, * et 4 9 ðñ ðñ $ & 4 9 % $ '& ou '% ðñ. On a pa bq a a b ab b et, un produit de facteur étant nul si et seulement si l un au moins des facteurs est nul, t 6t t 8 ðñ pt q ðñ t ðñ t. On a p qp q d où, grâce à un tableau de signes, Eercice (p. 57). ðñ p qp q ðñ ðñ P s8,s Y s,s.. On a vu en cours que tan eiste si et seulement si π rπs. Par ailleurs, π 4 ðñ π 4 ðñ π 4 8

210 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 Donc l ensemble de définition D de f est donné par :! π )! D R kπ, k P Z π 4, π ) 4. L ensemble de définition D de f est symétrique par rapport à. Par ailleurs, les fonctions tan et valeur absolue sont respectivement impaire et paire donc, pour tout dans D : f pq tanpq π 4 tan π 4 f pq Il s ensuit que la fonction f est impaire. Eercice (p. 57).. On a π{ π{4 π{ donc et π cos π sin π cos π 4 π cos 6 4 π cos 4 π sin π 4 π sin 6 4 π cos 4 π π sin sin 4 π sin 4. On a π π π cos cos cos π π π cos π cos π sin sin π π π sin 6 4 5π 6π π cos cos π cos π π sin 6 4 5π π sin sin π π cos 6 4 7π 6π π cos cos π π cos π sin

211 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 7π π π sin sin π cos 6 4 Eercice 4 (p. 57). On a cos π ðñ cos π cos π 6 ðñ π π 6 rπs ou π π 6 rπs ðñ π 6 π rπs ou π 6 ðñ π 4 rπs ou π rπs ðñ π 8 rπs ou π 4 rπs. Eercice 5 (p. 57). On constate que est racine évidente de l équation z z 4z et par factorisation à la volée, on a : π rπs z z 4z pz qpz z q Donc z z 4z ðñ pz qpz z q 9 janvier 9 Eercice (p. 57). ðñ z ou z z ðñ z ou pz q ðñ z ou pz q i ðñ z ou pz iqpz iq ðñ z ou z i ou z i ðñ z ou z i ou z i. On remarque que f pq donc, puisque Ñ et Ñ, on a f 8. Par ailleurs, Ñ 8 Ñ 8 donc 8 f.. On remarque que, pour 4, f pq 4 p4qp q donc 4 f 7.. On remarque que, pour, f pq p q 4 p q

212 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 donc f On sait que «la puissance l emporte sur le logarithme donc, puisque Ñ et Ñ ln 8, on a f. 5. On remarque que f pq donc 8 f. 6. On a, si, b lnp q ln a lnp q ln a lnp q ln a lnp q ln p q lnp q lnpq a lnp q ln. Or et lnp q lnpq ln 8 ln 8 donc b lnp q ÝÝÝÝÑ Ñ 8 ln ln ÝÝÝÝÑ Ñ 8 8 si bien que b lnp q ln. Ñ 8 Eercice (p. 58).. Consulter le cours!. (a) La ite demandée est car, en, cos e. (b) La ite demandée est 4 5 car sin84 sin ÝÝÝÑ Ñ (c) La ite demandée est { car, en, lnp q tan

213 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9. La ite demandée est car pe u qsin u p7 uqptanuq lnp uq 4. Posons h. Alors e e sinp q e h e e pe h q sinh sinh u u p7 uqu u. ce qui, en, est équivalent à e h h e donc la ite demandée est e. Eercice (p. 58).. Pour tout non nul, on a f pq p q p q. Donc f pq Ñ Ñ si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en en posant f pq.. Pour tout, on a f pq p q 5 9 p 5q 4 p q 5 p q 5 p q p q 5. 5 Donc f pq Ñ Ñ 5 si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en en posant f pq.. Pour tout π rπs, on a f pq p sinq tan p sinqsin cos p sinqsin sin p sinqsin p sinqp sinq sin sin.

214 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 Donc f pq Ñ π Ñ π sin sin si bien que la fonction f est prolongeable par continuité en π en posant f π. Eercice 4 (p. 58).. Il est clair que l ensemble de définition de f est R. Puisque 8 ln 8 et ln 8, on a f 8 et 8 f 8. La fonction f, définie de manière «naturelle, est continue sur son ensemble de définition R et sa dérivée est donnée par f pq. Donc f sur R si bien que f est strictement croissante sur R. On aurait aussi pu remarquer que f est la somme de deu fonctions strictement croissantes sur R : ÞÑ ln et ÞÑ.. D après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, puisque f est continue strictement croissante sur R et f 8 f, l équation f pq, équivalente à l équation (), admet une unique solution réelle α. Puisque de plus f pq et f pq ln ln ln (car ln est strictement croissante sur R ), on sait que α appartient à s,r.. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 8 s,r est et un calcul montre que f pq f donc appartient à s,r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 9 s,r est 7 4 et un calcul montre que f 7 f 4 donc appartient à s, 7 4 r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I s, 4 7 r est 8 et un calcul montre que f f 8 donc appartient à s, 8 r. L intervalle I est de diamètre 5 8 donc α est distant du centre 6 de I d au plus le rayon de I qui vaut 6. Par conséquent α si bien que 5 6 est une valeur approchée fractionnaire à près de α. Par l inégalité

215 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 triangulaire, α,6 α ,6 α , ,6 6 6,6, 6 6 si bien que,6 est une valeur approchée à près de α. Eercice 5 (p. 58).. Un réel n appartient pas à D f si et seulement si cos π 4 i.e. cos π 4 i.e. cos π cos 4 i.e. π 4 rπs ou π 4 rπs i.e. π 4 rπs i.e. π π. Donc, l ensemble de définition D f de f est R " π k π, k P Z *.. La fonction f est construite de manière naturelle. Elle est donc continue sur son ensemble de définition " π D f R k π *., k P Z De plus, pour π k π et k i.e. pour π, on a, en posant t π 4, Ñ π si et seulement si t Ñ. Or π 4 cos π 4 t cost t tñ t. tñ 4

216 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 Donc f pq Ñ π si bien que f est prolongeable par continuité en π en posant f p π q. Il s ensuit que f peut être prolongée par continuité sur l ensemble R " π janvier 9 Eercice (p. 58).. On a k π, k P Z * Y sin π sin 6! π ) R donc les solutions de l équation sin π 6 soit. On a " π π ðñ π 4 6 π 4 rπs 5π 5π π, 4 4, π π π, π, π 48, π 48 9π 4, 5π 4, 7π 48, π 48, π 48, 5π 48. tan cotan ðñ tan tan ðñ tan # tan tan ðñ tan k π, k P Z *. ou π 6 π π 4 rπs ðñ π 6 ou 4 π π 6 4 rπs ðñ 5π π rπs ou 4 48 sin ðñ tan ou tan ðñ tan tan π 4 ou π tan tan ðñ π 4 rπs ou π 4 rπs ðñ π π 4 π rπs 4 π π appartenant à s π,πs sont 4 π 4 5

217 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 donc les solutions de l équation tan cotan appartenant à s π,πs sont π 4 π, π 4 π, π 4 soit π 4, π 4, π 4 et π 4. Eercice (p. 59). π, π 4 π. On note que j cos π i sin π ei π donc j et Argj π rπs.. On sait que j j et que Arg j Argj rπs donc j et que Arg j 4π rπs. Eercice (p. 59).. L équation P pzq p équivaut à R P p R z d i.e. R z R P (car P p et p ) d i.e. i.e. P z R R (car R et z ) p d P z R p. (II.9). L astronaute ne pèsera plus que le quart de son poids initial si et seulement si i.e. i.e. P pzq P {4 d P z R P 4 4 z R i.e. z R. Donc, c est à l altitude 64 km que l astronaute ne pèsera plus que le quart de son poids initial.. D après la question, l astronaute, pesant 6 kg à la surface de la terre, ne pèsera plus que 7 kg si et seulement si # P pzq 7 P 6 c 6 i.e. z R 7 9 i.e. z R i.e. z R. Donc, c est à l altitude 8 km que l astronaute ne pèsera plus que 7 kg. 6

218 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année L astronaute en état d apesanteur complet si et seulement si son poids p est nul ce qui correspond, d après (II.9) à z 8. Bien sûr, ce résultat est d autant moins valable d un point de vue physique, qu à grande altitude (i.e. loin de la terre), l astronaute risquerait de s approcher d autres astres et d être donc soumis à l attraction que ceu-ci opéreraient, ce qui créerait de la pesanteur. Il est à noter que la relation donnant P pzq n est autre que la loi de la gravitation universelle de Newton. Eercice 4 (p. 59).. On a ðñ # # ðñ ou # # ðñ ou # ðñ ou # p qp q ðñ ou # ðñ ou. Il s ensuit que mai 9 Eercice (p. 59). ðñ ou ðñ # si si. Par définition, y Arcsin ðñ # siny y π. La fonction Arcsin a pour ensemble de (a) définition r, s ; (b) dérivabilité s,r. 7

219 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9. Pour tout dans s,r, parcsinq 4. Soit dans r,s, b cosparcsin q cos parcsinq b sin parcsinq a (II.9) Or, par définition, Arcsin π i.e. π Arcsin π donc, puisque cos sur π, π, on a cosparcsinq si bien que cosparcsinq cosparcsinq. Alors, l égalité (II.9) permet d affirmer que cosparcsinq. En utilisant le fait que (a) Arccospr,sq r,πs (b) sin sur r, πs on prouverait de façon analogue que, pour tout dans r,s, sinparccosq. On a donc, pour tout dans r,s, Eercice (p. 59).. On a tanparcsinq sinparcsinq cosparcsin q a d d u pqupq d où upq upq K, K P R K, K P R. On a sin cos d dcos cos dt t où t cos dt t Arctant K, K P R Arctanpcosq K, K P R 8

220 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9. On a cos plnq d Eercice (p. 59). u pq cos pupqq d tanpcospupqqq K, tanpcosplnqq K,. La fonction f est continue en car elle est définie en ce point ; on a f pq cos cos où upq ln K P R K P R et tend vers en donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, f f pq.. Pour, f pq cos cos sin sin. La fonction f n est pas dérivable en car f pq f pq cos n admet pas de ite lorsque tend vers. Eercice 4 (p. 6).. Puisque l ensemble de départ de la fonction v est r, 8r et puisque t n eiste que pour t, l ensemble de définition D de la fonction v est r,s.. La fonction v est dérivable sur r,r et pour t, on a v ptq t t t p tq t t p tq t Il est clair que v est strictement positive sur r,r, nulle en et strictement négative sur r,r ; donc v est maimale en t et vaut alors vpq p q. 9

221 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9. (a) La fonction v est intégrable sur r,s car elle est continue sur cet intervalle. (b) On procède à une intégration par parties pour calculer ³ vptq dt. vptq dt t t dt tp tq p tq dt 5 p tq vptq dt 5. p tq dt (c) On sait que la valeur moyenne V de v sur r,s est donnée par V vptq dt Eercice 5 (p. 6).. Soit un réel. On a : a a # si si # si si Donc, pour tout réel, D R. si bien que ln eiste. Il s ensuit que

222 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9. Soit un réel. Alors f pq. On sait que, pour tout réel, pargshq donc Argsh et f ont, sur R, même dérivée si bien qu elles sont égales à une constante près : DK P P R, Argsh f pq K En particulier, Argsh f pq K ; mais Argsh et f pq ln K. Il s ensuit que, sur R, Argsh et f sont égales : P R, Argsh ln donc 5 juin 9 Eercice (p. 6).. (a) L équation (b) dy d dy d y ðñ y C e, y ðñ y C e, C P R C P R. dy d psinqy sin ðñ y C e cos, C P R. (a) L équation d dt t t est définie sur les intervalles s8,r, s,r, s,r et s, 8r. (b) Sur s, 8r, d dt t t ðñ C t t ln t C P R (II.9)

223 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année 8 9 (c) i. Sur s, 8r, on a # d dt t t pq ðñ ln ln t Eercice (p. 6). Eercice (p. 6). Eercice 4 (p. 6). Eercice 5 (p. 6). 7 juin 9 Eercice (p. 6). Eercice (p. 6).. On a ii. Toutes les solutions de l équation (II.9) tendent vers en 8. ðñ car est pour tout réel ðñ en ajoutant et en retranchant ðñ P R. L ensemble de définition de Arcsin est r,s donc f pq eiste si et seulement si i.e. si et seulement si P R. Donc l ensemble de définition D de f est R.. L ensemble de continuité C de f est égal à D.. L ensemble de définition de f est clairement symétrique par rapport à et, pour tout réel, on a f pq Arcsin pq Arcsin pq f pq si bien que f est paire et que son ensemble d étude peut être ramené à D X r, 8r r, 8r. 4. On a f pq Arcsin π f 8 Ñ 8 Arcsin Arcsinpq π. On note également que f pq Arcsin.

224 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.4. Année On sait que l ensemble de dérivation de Arcsin est s,r. Or et ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ P donc f est dérivable sur D R donc sur R. 6. On a, pour tout, f pq p qp q p q c 4 b p q p q p q 4 p q 4 p q # si ; si. 7. Clairement, sur R, f est et donc f y est décroissante. Par ailleurs, sachant que f pq π, que 8 f π et que f est paire, on peut esquisser la courbe représentative de f. 8. Puisque parctanq, on a f pq parctanq pour. On en déduit qu il eiste une constante réelle C telle que, pour tout, f pq Arctan C. Donc, en particulier pour, on a f pq Arctan C soit π 4 C π. On en conclut que C ou f pq π Arctan (II.94) c Arcsin π Arctan. Ceci est en fait vrai pour tout car l égalité (II.94) est vraie aussi pour puisque : # f pq π Arctan.

225 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 Soit maintenant. Alors et donc, d après (II.94), f pq π Arctanpq soit, puisque f est paire et Arctan est impaire, f pq π Arctan. On obtient Arcsin π Arctan 9. La courbe représentative de la fonction f est donc, sur R, celle de π Arctan. La courbe sur R s obtient en eploitant le caractère pair de la fonction f. Eercice (p. 6). Eercice 4 (p. 6). Eercice 5 (p. 6). Année 9 6 novembre 9 Eercice (p. 6).. On a ðñ ðñ p qp q ðñ ou ðñ ou. D après ce qui précède, on a : # ðñ # ou ðñ. On a ðñ ðñ ðñ p qp q ðñ ou ðñ ou 4 Or, pour tout réel, 4 4 donc 4. Il s ensuit que ðñ ou P ðñ 4

226 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 4. D après ce qui précède, on a : # ðñ Eercice (p. 6). ðñ P. On sait que cosα cos α et que sinα sinα cosα. Donc cos α cospα αq cosα cosα sinα sinα cos α cosα sinα cosα sinα cos α cosα cosα sin α 4cos α cosα. On a Eercice (p. 6).. On a sin π sin 6 j π ðñ π 4 6 π ðñ π 6 4 rπs ou π 6 π π 4 rπs ou 4 π π 6 ðñ 5π π rπs ou rπs π π rπs 4 et, si θ désigne un argument de j : # Rej cosθ j sinθ Imj j donc #cosθ sinθ Donc θ π π, c est-à-dire Argpjq π π.. On a j j et Argpj q Argpjq π donc Argpj q 4π π. 5

227 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9. On a j j et Argpj q Argpjq π donc Argpj q 6π π. Il s ensuit que j. π donc Argpj q Eercice 4 (p. 6).. On a (a) Ñ 8 8 (b) On a a 8 car p qp q Donc, puisque Ñ Ñ (c) Ñ8 5 Ñ8 5 Ñ8 7 8 (d) Ñ p qp 4q Ñ (e) Ñ 7 p qp q Ñ p qp 4q 4 Ñ 8 Ñ 8 8 et XÑ 8 X, Ñ et Ñ, on a. (a) On a, puisque, p q p q c b b (b) si bien que Ñ 8 ln Ñ 8 ln Ñ 8 Ñ 8 8 6

228 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 tan. (a) Ñ lnp q car, en, tan et lnp q Ñ (b) en posant h, e e Ñ lnp q e h e hñ lnph q e lnph q e h hñ e h hñ e lnph q hñ e h h e Eercice 5 (p. 6). car, quand h Ñ, on a lnph q h et h Ñ donc e h h. Puisque les fonctions sin et cos sont définies sur R, R D ðñ sin ðñ sin ðñ rπs ou π rπs ðñ rπs Donc D R tkπ, k P Zu.. (a) L ensemble de définition D de f est symétrique par rapport à et, si P D, f pq cospq sin pq cos psinq cos sin f pq car les fonctions sin et cos sont respectivement impaire et paire. Donc f est paire. (b) Les fonctions sin et cos étant π-périodiques, il en est de même de f.. Quand Ñ π, cos Ñ donc cos Ñ et sin Ñ donc sin Ñ si bien que π f Puisque R D, la fonction f n est pas continue en mais, en, on a cos { et sin donc f pq 4 si bien que f admet, en, la ite finie 4. On peut donc prolonger f par continuité en, en posant f pq 4. 7

229 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 5. On a f pq cos sin cos p cos q cos p cosqp cosq si cos i.e. si rπs p cosq 8 janvier Eercice (p. 6).. La fonction f n est pas continue en car, quand Ñ, Ñ 8 et sinx n admet pas de ite quand X Ñ 8 donc sin n admet pas de ite lorsque tend vers.. La fonction g est continue en car (a) elle est définie en ce point ; (b) on a Eercice (p. 6). gpq sin et tend vers en donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, g gpq.. L ensemble de définition de Arcsin est r,s donc f pq eiste si et seulement si i.e. 4 i.e. i.e. ou Donc l ensemble de définition D f de f est, Y,.. Puisque, pour tout t dans r,s, sinparcsintq t, on a tan Arcsin sin Arcsin cosparcsinp qq Eercice (p. 64). b p q 8

230 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9. La fonction ÞÑ ln (a) a pour ensemble de définition R (b) est continue sur R (c) tend vers 8 en et vers 8 en 8 (d) est strictement croissante sur R (e) est représentée graphiquement II.4. Figure II.4 Courbes représentatives des fonctions ÞÑ ln et ÞÑ. La fonction ÞÑ (a) a pour ensemble de définition R (b) est continue sur R (c) tend vers 8 en 8 (d) est strictement croissante sur R (e) est représentée graphiquement II.4.. Puisque, pour tout, ln, on a, pour tout, ln. En outre, pour, ln ln donc. Or Ñ 8 donc, par le théorème des gendarmes, ln Ñ 8 4. Pour, posons X α. Alors X α et donc ln ln X α α lnx X α X Or, si ÝÑ 8, alors X ÝÑ 8 ; donc, en vertu de la question précédente, Eercice 4 (p. 64). ln Ñ 8 α XÑ 8 α lnx X i.e. ln Ñ 8 α. Il est clair que l ensemble de définition de f est R. Puisque 8 ep 8 et 8 ep, on a 8 f 8 et 8 f 8. La fonction f est, sur R, continue. Elle est strictement croissante sur R car elle est la somme de deu fonctions strictement croissantes sur R : ÞÑ et ÞÑ e (cette dernière l étant car la fonction ep l est).. D après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, puisque f est continue strictement croissante sur R et 8 f 8 f, l équation f pq, équivalente à l équation (), admet une unique solution réelle. Puisque de plus f pq et f pq e e e (car ep est strictement croissante sur R), on sait que appartient à s,r. 9

231 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9. (a) Puisque e,6, on a,6 e,59 donc e si bien que f. Or f pq f pq donc f p q f pq et donc appartient à s,r. (b) De plus, puisque e 4,47 on a,48 e 4,46 donc 4 e 4 si bien que f 4. Or f p q f pq donc f p q f p 4 q et donc appartient à s, 4 r. (c) Enfin, 5 8,65 donc, puisque e 5 8,54, on a,55 e 5 8,5 donc 5 8 e 8 5 si bien que f 5 8. Or f p q f p 4 q donc f p q f p 8 5q et donc appartient à s, 5 8 r. (d) Le diamètre de l intervalle s, 5 8 r est,5 donc est distant de son centre 6 9 d au plus son rayon qui vaut,5 soit,65. Par conséquent 9 6,65 donc 9 6 est une valeur approchée fractionnaire à près de. 4. De plus, 9 6,65,565 donc, par l inégalité triangulaire,,6,565,565,6,565,565,6, 65, 75, si bien que,6 est une valeur approchée à près de. Eercice 5 (p. 64).. L ensemble de définition D f de f est R t,u car : (a) l ensemble de définition de la fonction Arctan est R (b) la quantité eiste si et seulement si et ðñ p qp q ðñ P t,u. (a) La fonction Arctan est impaire. Elle est représentée graphiquement figure II.5. Figure II.5 Courbe représentative de la fonction Arctan (b) La fonction f est impaire car i. l ensemble D f R t,u est symétrique par rapport à ii. si P D f, la fonction Arctan étant impaire, on a pq f pq Arctanpq Arctan pq Arctan Arctan f pq

232 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9. (a) Par définition y Arctan ðñ # tany π y π (b) Il suffit donc, pour prouver P s,r, Arctan Arctan de faire jouer le rôle de y ci-dessus à Arctan i.e. d établir que, pour tout P s,r : # tanparctanq π Arctan π Soit P s,r. Alors, i. d après la formule de la tangente de l arc double : (c) tanparctanq tanparctanq tan parctanq ii. si alors, la fonction Arctan étant strictement croissante, Arctan Arctan Arctan i.e. π 4 Arctan π 4 soit π Arctan π. Ceci achève la preuve demandée. i. Soit dans s, 8r. Alors P s,r. Donc, d après la question précédente, Arctan Arctan i.e., puisque pour tout, Arctan Arctan π, π Arctan Arctan i.e. π Arctan Arctan i.e. Arctan π Arctan ii. Soit dans s8,r. Alors P s, 8r donc, d après le résultat précédent, pq Arctanpq π Arctan pq i.e. Arctan π Arctan i.e. Arctan π Arctan

233 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 4. (a) Soit et y deu réels tels que y. Pour prouver que Arctan Arctany Arctan y y il suffit d établir : # tanparctan Arctanyq y y π Arctan Arctany π Prouvons-le. i. D après la formule : on a tanpa bq tana tanb tanatanb tanparctanq tanparctanyq tanparctan Arctanyq tanparctanqtanparctanyq y y ii. Ici y. Mais y d après les hypothèses de l énoncé donc {y. Puisque la fonction Arctan est strictement croissante sur R, on a Arctan Arctan Arctan p{yq i.e. Arctan Arctan p{yq (II.95) Or, pour tout y, Arctany Arctanp{yq π ; donc l encadrement (II.95) donne π Arctan Arctany soit, en ajoutant Arctany au membres, Arctany Arctan Arctany π Enfin, par définition de l arc tangente, Arctany est strictement supérieur à π. Donc π π Arctan Arctany Ceci achève la preuve demandée. (b) Si et y positifs sont tels que y alors y i.e. y donc, d après la question précédente i.e. i.e. Arctan Arctan y Arctan y π Arctan π y Arctany Arctan y Arctan Arctany π Arctan y y y (II.96)

234 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 (c) Posons et y. Alors et y sont positifs et tels que y si bien que, d après l égalité (II.96), i.e. i.e. Arctan Arctan π Arctan Arctan Arctan π Arctan Arctan Arctan Arctan π 5 mars Eercice (p. 65).. L ensemble de définition de f est s, 8r Y tu R car (a) la quantité ln eiste si et seulement si Ps, 8r ; (b) la fonction f est définie en par f pq.. La fonction f est, en, (a) continue (à droite) car Ñ f pq Ñ ln f pq (puisque «la puissance l emporte sur le logarithme ) ; (b) dérivable (à droite) car, pour h, f p hq f pq h si bien que f pq. h lnh ÝÝÝÝÑ hñ. (a) Si alors f pq ln ln pln q et, comme on l a vu, f pq. (b) Si alors f pq pln q pln q p6ln 5q et, pour h, f p hq f pq h h plnh q h hplnh q ÝÝÝÝÑ hñ si bien que f est dérivable deu fois (à droite) en, avec f pq. Mais la fonction f n est pas dérivable (à droite) en car le tau de variation de f en n admet pas de ite finie en : f p hq f pq h hp6lnh 5q h 6lnh 5 ÝÝÝÝÑ hñ 8

235 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 4. Si, on a f pq ðñ pln q ðñ ln ðñ e Donc f est strictement décroissante sur r,e s et strictement croissante sur se, 8r. En outre, f pq ln ÝÝÝÝÑ Ñ 8 8 et f pq. 5. La courbe représentative C f de f sur r,s comporte trois points caractéristiques : le point de coordonnées p,q en lequel C f admet une demi-tangente parallèle à l ae po,q ; le point de coordonnées pe, e q en lequel C f admet une tangente parallèle à l ae po,q ; le point de coordonnées p,q en lequel C f admet une tangente de pente puisque # f pq f pq pln q Eercice (p. 65).. La fonction Arccos a pour ensemble de définition r,s. Donc P D f ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ ou Donc D f s 8,s Y r, 8r.. La fonction Arccos est a pour ensemble de dérivation s,r. Donc, par un raisonnement analogue au précédent, on obtient D f s 8,rYs, 8r.. Si u est une fonction dérivable, la fonction Arccosu a pour dérivée u u u. Donc, pour tout dans s 8,r Y s, 8r, là où f pq b b (car ) 4. On a df pq f pqd d donc Eercice (p. 65). df pq: R Ñ R h ÞÑ h 4

236 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9. (a) On a 4 d 5 5 K, K P R (b) On a a d a d d 9 K, K P R K, K P R (c) On a sin pcosq tan d cos d d ln cos K, K P R cos cos. Soit F la primitive de s annulant en π{. Alors sin Fpq Eercice 4 (p. 65). π cost sin t dt psintq π sin t dt Arctan psin tq Arctanpsinq Arctan sin π Arctanpsinq Arctan sin π Arctanpsinq Arctan Arctanpsinq π 4.. On a plntq dt t plntq t lnt dt t t plntq lnt dt t plntq t lnt t t dt π t plntq t lnt t K, K P R t plntq lnt K, K P R 5

237 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9. En posant u sin et v lnp sinq, on a u cos et v cos{p sinq. Donc π π sin lnp sinqd cos lnp sinq π π π sin sin d π p sinqp sinq d sin p sinqd cos π π cos sin d Eercice 5 (p. 65). On a, en posant t, d 4 4 juin dt ptq 4 dt t Arctan t π 8 Eercice (p. 65). Résolvons les équations demandées.. On sait que ln d ln C, C P R. On résout d abord l équation sans second membre associée. Sur R, la fonction ln est continue donc y plnqy ðñ y Ce ³ ln d, C P R ðñ y Ce p lnq, C P R par intégration par parties ðñ y Ce plnq, C P R.. On remarque que l équation avec second membre admet comme solution particulière la fonction y. Donc la solution générale de l équation complète est y Ce plnq, C P R Eercice (p. 65).. L équation caractéristique associée à l équation y 4y 6y (II.97) 6

238 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 est r 4r 6. Or r 4r 6 ðñ pr q ðñ pr q i ðñ r i r i ðñ r i. L équation caractéristique admettant deu racines complees conjuguées de partie réelle pq et de parties imaginaires, la solution générale de l équation (II.97) est y e C cos C sin, pc,c q P R.. La fonction y est solution de l équation (II.97) vérifiant y pq et y pq si et seulement si $ '& y e λ cos λ sin, λ,λ P R y pq '% y pq i.e. $ '& y e λ cos λ sin, λ,λ P R λ '% λ λ car si y e λ cos λ sin alors y e λ cos λ sin e λ sin λ cos. Le précédent système équivaut à $ '& y e λ cos λ sin, λ,λ P R λ '% λ donc la fonction y solution de l équation (II.97) vérifiant y pq et y pq est donnée par y e cos sin. Eercice (p. 66).. Cf. cours. On a (a) 8 6 o 7

239 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.5. Année 9 (b) lnp q cos 6 o (c) ln cosp q pq pq 6 o p q Eercice 4 (p. 66).. On a (a) ch 4 4 o 5 (b) sh 6 5 o 5. th 5 5 o 5.. On a sinpthq 7 5 o 5 4. On a Donc sinpthq sin Eercice 5 (p. 66). o 6 o p q o pq 6 o pq o pq 6 o pq o pq sinpthq Ñ sin. La relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique est. On P R, ch sh. La fonction ch est définie sur R, paire, de dérivée première sh et de dérivée seconde ch ; par ailleurs, ch et 8 ch 8. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur r, 8r. On se reportera au cours pour sa représentation graphique. La fonction sh est définie sur R, impaire, de dérivée première ch et de dérivée seconde sh ; par ailleurs, sh et 8 sh 8. Cette fonction, continue et strictement croissante sur R est une bijection de R sur R. On se reportera au cours pour sa représentation graphique. 4 8 o 4 8

240 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. Pour tout réel, pargshq donc Argsh Argsh 6 5 o o 4 d o 5 4. Puisque Argsh o 5 (a) la ite de la fonction Argsh en est ; (b) la dérivée de la fonction Argsh en est ; (II.98) (c) l équation de la tangente T à la courbe représentative C de la fonction Argsh en est y ; (d) On a Or Argsh 6 6 o o pq i. est positif sur R et négatif sur R ii. 6 o pq est localement négatif en donc Argsh est localement positif en et localement négatif en. Il s ensuit que la courbe C est au-dessus de T localement en et au-dessous de T localement en. Année décembre Eercice (p. 66).. On a 9 ðñ p qp q ðñ ou ðñ P t,u # # 9 ðñ 9 ou ðñ ðñ. 9

241 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. On a p qp q d où, grâce à un tableau de signes, ðñ ðñ Eercice (p. 67). cos 4 π 4 On a ðñ cos 4 π cos 4 p qp q ðñ 4 π 4 rπs ou 4 π 4 rπs ðñ 4 π 4 rπs ðñ π π 6 ðñ Ps8,sYs,s Eercice (p. 67). On constate que racine évidente du polynôme z 7z 9z donc que celui-ci est factorisable par z. On a : z 7z 9z pz q z 6z z 7z 9z ðñ pz q z 6z ðñ z ou z 6z 9 4 ðñ z ou pz q 4 ðñ z ou pz q piq ðñ z ou pz iqpz iq ðñ z P t, i, iu Eercice 4 (p. 67).. On a (a) (b). On a donc Ñ Ñ 8 Ñ 8 Ñ 4 p q p q 4

242 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. On a donc 6 64 p 4qp 4q p 4qp 4 6q Ñ (a) D après le cours, sint tñ t (b) On en déduit, en posant t, sinptq sinptq sinpq tñ t tñ t Ñ 5. Par croissances comparées («l eponentielle l emportant sur la puissance ) : 6. On a e Ñ 8 Ñ 8 ln ln 7. (a) D après le cours, cos Ñ Ñ 8 ln Ñ 8 ln ln ln (b) On sait que cos donc cos donc cos ; or, pour tout réel, donc, pour tout non nul : Eercice 5 (p. 67). cos En outre, Ñ 8 donc, par le corollaire du théorème «des gendarmes, cos Ñ 8. pa bq 4 a 4 4a b 6a b 4ab b 4. Par la formule de Moivre, on a cos4θ Repcos4θ i sin4θq Re pcosθ i sinθq 4 Re cos 4 θ 4cos θ i sinθ 6cos θ pi sinθq 4cosθ pi sinq θ pi sinθq 4 Re cos 4 θ 4i cos θ sinθ 6cos θ sin θ 4i cosθ sin θ sin 4 θ cos 4 θ 6cos θ sin θ sin 4 θ 4

243 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année 9 janvier Eercice (p. 68).. Cf. cours.. Calculer (a) On a tan Ñ lnp q Ñ car, en, tan et lnp q. (b) On a cotan Ñ Ñ tan Ñ (c) La ite demandée est 7 car Ñ 7 Ñ 49 et sin7 sin ÝÝÝÑ Ñ (d) La ite demandée est 7 car sin7 tan ÝÝÝÑ Ñ (e) La ite demandée est 7 car lnp 7q tan ÝÝÝÑ Ñ (f) La ite demandée est car, en, e t t, car uñ u uñ u uñ u et car e u sin u p7 uqptanuq lnp uq u u p7 uqu u p7 uq ÝÝÝÑ uñ (g) La ite demandée est car, en i. lnp tq t et Ñ cos ii. cos p cosq, et car lnpcosq ptanq lnp pcos qq cos cos ptanq ÝÝÝÑ Ñ 4

244 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (h) Si t alors t et, lorsque Ñ, t Ñ. Alors e e ln e t e ln t e e t t ln t Or tñ donc e e t Donc Eercice (p. 68). ln e t t t e ÝÝÑ e tñ e e Ñ ln e. On a, si, f pq sin ÝÝÝÑ Ñ donc, par un corollaire du théorème «des gendarmes, f. Donc f peut être prolongée par continuité en en posant f pq.. En 4, la fonction f peut être prolongée par continuité en posant f p4q car 5 4 p 4qp q p qp qp q donc, si 4, f pq Eercice (p. 68) Les fonctions sin et cos sont définies sur R donc p qp qp q p qp q ÝÑ Ñ4 R D f ðñ cos ðñ cos ðñ Il s en suit que D f R tk π, k P Zu.. La fonction f est paire car π (a) son ensemble de définition D f est symétrique par rapport à ; (b) puisque les fonctions sin et cos sont respectivement impaire et paire, pour tout dans D f, f pq pqpsinq cos f pq 4

245 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. En, la fonction f n est pas continue mais f pq { Donc f peut-être prolongée par continuité en en posant f pq. Eercice 4 (p. 68).. Par définition, y Arccos ðñ # cosy y π (II.99). On sait que l ensemble de définition D est r,s.. La courbe C de la fonction Arccos est représentée figure II.6. y y Arccos π y π π π y cos Figure II.6 Représentation graphique de la fonction Arccos 4. On a Arccos π, Arccos π, Arccos, Arccos π, Arccospq π. Puisque R r,s, le nombre Arccos n eiste pas. 5. Soit dans D Arccos. On doit prouver que Arccos Arccospq π i.e. π Arccospq Arccos ce qui, en vertu de l équivalence (II.99), revient à prouver : # cospπ Arccospqq π Arccospq π Or, 44

246 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (a) on sait que, pour tout réel θ, cospπ θq cosθ et, pour tout t de r,s, cosparccostq t donc cospπ Arccospqq cosparccospqq pq (b) comme tout arc cosinus, Arccospq appartient à r,πs donc π Arccospq i.e. π Arccospq π. On a donc prouvé que π Arccospq Arccos i.e. Arccos Arccospq π. 6. Soit dans r,s et M le point de coordonnées p,yq appartenant à C ; on a alors y Arccos. Soit M le point de C d abscisse ; son ordonnée y vaut alors Arccospq et vérifie donc y y Arccos Arccospq π. On en déduit que le milieu du segment rm,m s, de coordonnées pq, y y, π est un point constant. Il s ensuit que la courbe C de la fonction Arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées p, π q. Eercice 5 (p. 68).. On a b 5 a 5 pb aqpb 4 b a b a ba a 4 q Donc le tau τ ta,bu de variation de f entre deu réels quelconques distincts a et b, défini par vérifie τ ta,bu f pbq f paq, b a τ ta,bu pb5 b q pa 5 a q b a b5 a 5 b a b a pb aqpb4 b a b a ba a 4 q pb aqpb aq b a b 4 b a b a ba a 4 b a Si a et b sont distincts dans r, 8r, ce tau est alors strictemement positif puisque a et b sont positifs ou nuls et puisque l un au moins d entre eu est strictemement positif. Ceci prouve, par définition, que f est strictement croissante sur r, 8r.. La fonction f, polynômiale, est continue sur R donc sur r,s ; elle est de plus strictement croissante sur r, 8r donc sur r,s. En outre, f pq f pq. Donc, grâce à un corollaire du théorème du des valeurs intermédiaires, l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. (a) On met en œuvre la méthode de dichotomie. 45

247 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année 6 mai Eercice (p. 68). Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est et un calcul montre que f pq f donc appartient à s,r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I s,r est 4 et un calcul montre que f f 4 donc appartient à s 4,r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I s 4,r est 7 8 et un calcul montre que f 4 7 f 8 donc appartient à s 4, 7 8 r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 4 s 4, 7 8r est 6 et un calcul montre que f 4 donc appartient à s 4, f 6 Étape n o 4 : Le milieu de l intervalle I 5 s 4, 5 6r est et un calcul montre que f 4 f 5 donc appartient à s 5, 6 r. Étape n o 5 : Le milieu de l intervalle I 6 s 5, 5 6r est 64 et un calcul montre que 6 r. 5 f f 5 64 donc appartient à s 5 6 r. L intervalle I 6 est de diamètre 64 donc est distant du centre le rayon de I 6 qui vaut 8. Par conséquent , 8 de I 6 d au plus si bien que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de. Par l inégalité triangulaire,,85 8 8,85 8 8,85 8 8,85 si bien que,85 est une valeur approchée à près de.. La fonction Arcsin a pour ensemble de définition r,s.. Il s ensuit que P D ðñ ðñ ðñ ðñ ðñ ou. Donc D s 8,s Y r, 8r. 46

248 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. La fonction Arcsin est a pour ensemble de dérivation s,r. Donc, par un raisonnement analogue au précédent, on obtient D s 8,rYs, 8r. u 4. Si u est une fonction dérivable, la fonction Arcsinu a pour dérivée là où u u. Donc, pour tout dans s 8,r Y s, 8r, f pq b b et donc, puisque f pq 5. On a df pq f pqd d donc Eercice (p. 69). df pq: R Ñ R h ÞÑ h. Si alors f pq cos donc f pq cos sin cos sin. On a f pq f pq cos cos Or cos ÝÝÝÑ Ñ si bien que, par un corollaire du théorème «des gendarmes, Ñ f pqf pq. Donc f est dérivable en et f pq. 47

249 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. La fonction f n est pas continue (donc pas dérivable) en car, pour, f pq cos sin n admet pas de ite en ; en effet, si Ñ, Ñ 8 et la fonction sin n admettant pas de ite en 8, sin n admet pas de ite en. Eercice (p. 69).. (a) On a d dp q dp q a C, C P R (b) On a cos sin d psinq sin d (c) On a sh ch d sin C, pchq ch d Arctanch C, C P R C P R. On a vu en cours que sin cos donc cos sin d d p cosqd sin C, C P R Eercice 4 (p. 69).. Il se trouve que cos Ñ (cf. question précédente) mais ce qui précède suffit à affirmer que f n admet pas de ite en. 48

250 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. (a) En posant u e ρ et v ρ, on a u e ρ et v. Donc ρe ρ dρ ρe ρ e ρ dρ ρe ρ e ρ C, C P R (b) En posant u s et v Arctans, on a u s { et v {p s q. Donc s Arctans ds s Arctans s s ds s Arctans s s ds s ds s Arctans ps Arctansq C, C s Arctans s C, C P R P R. (a) En posant 5t, on a 5 d π 5dt p5tq 5 dt t Arctan t (b) En posant at, on a a d a a a π 4a adt patq a dt t Arctan t Eercice 5 (p. 69). 49

251 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année. On a pargthq ln p q pq. En intégrant par parties, { Argth d Argth Argth { ln 4 { On aurait aussi pu utiliser : { Argth d { 4 ln ln 4 ln ln 4 { { { d { ln d dp q ln { plnp q lnp qqd { { lnp qd lnp qd ce qui, par intégration par parties des deu intégrales, conduit au même résultat. 7 juin Eercice (p. 69).. On a dy d y ðñ y C e, C P R. On a dy d y ðñ y 4 C e, C P R 5

252 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année Eercice (p. 69). Eercice (p. 7). Eercice 4 (p. 7).. Le premier terme non nul dans le développement ité en de sint étant celui d ordre de cost étant celui d ordre, le développement ité en de sint cost à l ordre 4 sera obtenu par produit des développements ités en de sint à l ordre 4 et de sint à l ordre : sint cost t t t sint cost t t o t 4 t t 6 o t 4 o t 4 o t (On pouvait aussi utiliser l identité sint cost sint.). On a e t lnp tq t e t lnp tq t t o t t t t o pt q t6 t t o t t t t o pt q Le quotient selon les puissances croissantes de t t 6 par t t t t. Donc à l ordre vaut e t lnp tq t t o t. 5

253 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.6. Année (a) En posant, e h où h Ñ (i.e. h e), on a f pq lnpe hq ln e h e h lnpeq ln e he h h e o e o h h e e e h p eq p eq o e p eq (b) Déduire de la question précédente l équation de la tangente T à C au point d abscisse e ainsi que la position relative de C et T. Eercice 5 (p. 7).. On a (a) ch 4 4 o 5 (b) sh 6 5 o 5. th 5 5 o 5.. Par composition de développements ités, on obtient cospthq 4 8 o On a Donc cospthq cos 4 4 cospthq Ñ cos 4 8 o o 4 8 o pq 4 o pq 8 o pq 4 o pq 9 o pq 9 5

254 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année Année 5 novembre Eercice (p. 7).. On a 6 5 ðñ p4 5qp4 5q ðñ 4 5 ou 4 5 " ðñ P 5 4, 5 * 4 et ðñ 4 ðñ $ & 6 5 % 5 4 $ '& 5 ou '% 5 4 ðñ 5 4. On a p qp q donc ðñ p qp q ðñ d où, grâce au tableau de signes II. page suivante : ðñ P s8,s Y s,s. Eercice (p. 7).. Le tableau II. page suivante permet d eprimer f pq sans valeur absolue : $ '& si P s8,r f pq si P r,s '% si P s, 8r. La courbe C de la fonction f est représentée à la figure II.7 page 55. 5

255 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année 8 8 pqp q Table II. Tableau de signe de pqp q f pq 8 8 Table II. Epression de f pq sans valeur absolue Eercice (p. 7). On a cos π cos 6 Eercice 4 (p. 7). π ðñ π 6 π rπs ou π 6 ðñ π π 6 rπs ou 5 π 6 π rπs ðñ π rπs ou 5 π π 6 ðñ π rπs ou π π 5 π rπs. (a) Les formules d Euler sont cos ei e i et sin ei e i i 54

256 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année y 8 7 C Figure II.7 Courbe de la fonction f (b) On a e cos i e i e i e i e i e i e i e i 8 e i e i ei e i 4 pcos cosq 4. On constate que est racine évidente de l équation z z 4z et par factorisation à la volée, on a : z z 4z pz qpz z q 55

257 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année Donc Eercice 5 (p. 7).. (a) On a (b) On a z z 4z ðñ pz qpz z q ðñ z ou z z ðñ z ou pz q ðñ z ou pz q i ðñ z ou pz iqpz iq ðñ z ou z i ou z i ðñ z ou z i ou z i Ñ 8 Ñ 8 7 Ñ 8 7 Ñ 8 Ñ 8 (c) D après le cours, sin Ñ (d) D après le cours,. Cf. cours. tan Ñ janvier Eercice (p. 7).. Cf. cours. Ñ 8 Ñ 8 56

258 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. (a) La ite demandée est car, en, cos e (b) La ite demandée est car, en, sint sint t t (c) La ite demandée est car, en, Ñ et ln tan (d) La ite demandée est car Eercice (p. 7). pe u qsin u p7 uqptanuq lnp uq u u p7 uqu u. Cf. notes personnelles. On note que, si t (i.e. t), alors Ñ si et seulement si t Ñ. Il s ensuit que ln lnp tq sinp q sint tñ t t d où ln Ñ sinp q. On note que, lorsque Ñ, (a) e e Ñ e e, nombre ; (b) cosp q Ñ donc a cosp q Ñ Il s ensuit que e e a 8 cosp q Ñ 57

259 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année Eercice (p. 7). La ite demandée égale. En effet, posons h π 4 i.e. h tan cos tan h π 4 π cos h 4 π 4 ; alors tanh tan π 4 tanhtan π 4 coshcos π sinhsin π tanh tanh sinh tanh sinhp tanhq tanh sinhp tanhq donc, quand Ñ π 4 (i.e. quand h Ñ ) tan cos tanh sinhp tanhq h hp tanhq p tanhq Ñ Eercice 4 (p. 7).. Les fonctions sin et cos sont définies sur R donc R D f ðñ cos ðñ cos ðñ rπs Il s en suit que D f R tk π, k P Zu.. La fonction f est paire car (a) son ensemble de définition D f est symétrique par rapport à ; (b) puisque les fonctions sin et cos sont respectivement impaire et paire, pour tout dans D f, f pq pqpsinq cos f pq. En, la fonction f n est pas continue mais f pq { Donc f peut-être prolongée par continuité en en posant f pq. Eercice 5 (p. 7).. On a a b pa bqpa ab b q 58

260 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année Donc τ tb,au pa a q pb b q a b a b a b a b pa bqpa ab b q a b a ab b Si a et b sont distincts dans r, 8r, ce tau est alors strictemement positif puisque a et b sont positifs ou nuls et puisque l un au moins d entre eu est strictemement positif. Ceci prouve, par définition, que f est strictement croissante sur r, 8r.. La fonction f, polynômiale, est continue sur R donc sur r,s ; elle est de plus strictement croissante sur r, 8r donc sur r,s. En outre, f pq f pq. Donc, grâce à un corollaire du théorème du des valeurs intermédiaires, l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. (a) On met en œuvre la méthode de dichotomie. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 7 s,r est et un calcul montre que f pq f donc appartient à s,r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 8 s,r est 4 et un calcul montre que f f 4 donc appartient à s, 4 r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I 9 s, 4 r est 5 8 et un calcul montre que f 5 f 8 donc appartient à s 5 8, 4 r. Étape n o : Le milieu de l intervalle I s 5 8, 4r est 6 et un calcul montre que f 5 8 donc appartient à s 8 5, f 6 Étape n o 4 : Le milieu de l intervalle I s 8 5, 6r est et un calcul montre que 5 f 8 f donc appartient à s, 6 r. Étape n o 5 : Le milieu de l intervalle I s, 4 6r est 64 et un calcul montre que 6 r. f f 4 64 donc appartient à s 64 4, 6 r. L intervalle I est de diamètre 64 donc est distant du centre 87 le rayon de I qui vaut 8. Par conséquent de I d au plus si bien que 87 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de. Par l inéga- 59

261 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année lité triangulaire,, , , ,68,4 8 avril Eercice (p. 7). si bien que,68 est une valeur approchée à près de.. La fonction f est continue en car elle est définie en ce point ; on a f pq sin sin et tend vers en donc, par un corollaire du théorème des gendarmes, f f pq.. Pour, f pq sin sin cos cos. La fonction f n est pas dérivable en car f p hq f pq sin h h n admet pas de ite lorsque h tend vers puisque la fonction sin n admet pas de ite en 8. Eercice (p. 7). 6

262 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. On a a d d u pqupq d où upq upq K, K P R K, K P R. On a sh d u pqshpupqqd où upq chpupqq K, K P R ch K, K P R. On a cost sin t dt psintq sin t dt Arctanpsintq K, K P R Eercice (p. 7). On a cost cotant dt π π sint dt psintq dt π sint ln sint Eercice 4 (p. 7). ln sin ln sin π ln sin. Soit dans s, 8r. Alors f pq π 6

263 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. On sait que, pour tout, pargchq donc Argch et f ont, sur s, 8r, même dérivée si bien qu elles sont égales à une constante près : DK P P s, 8r, Argch f pq K Il s ensuit en particulier que Ñ Argch Ñ f pq K (II.) Or ces fonctions sont continues sur leurs ensembles de définition (D Argch r, 8r et, clairement, D f contient r, 8r) donc # Ñ Argch Argch Ñ f pq K f pq K donc, d après (II.), Argch f pq K ; mais Argch et f pq ln donc K. Il s ensuit que, sur r, 8r, Argch et f sont égales : P r, 8r, Argch ln Eercice 5 (p. 7).. La fonction Argch a pour ensemble de définition r, 8r. Donc P D f ðñ ðñ Donc D f s,s.. La fonction Argch est a pour ensemble de dérivation s, 8r. Donc, par un raisonnement analogue au précédent, on obtient D f s,r. u. Si u est une fonction dérivable, la fonction Argchu a pour dérivée u Donc, pour tout dans s,r, là où u. f pq b b donc, puisque, 6

264 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année 4. On a df f d 4 d, c est-à-dire : df : R Ñ R h ÞÑ 4 h juin Eercice (p. 7).. (a) On a (b) On a e θ cos θ dθ θ tanθ tanθ dθ sinθ θ tanθ cosθ dθ pcosθq θ tanθ dθ cosθ θ tanθ ln cosθ C, C P R e e ln d ln d e e d e 9 e e 9 e 9 e 9 6

265 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. On a d 9 9 π 9 d 9 d d dt t Arctan t où t Eercice (p. 7).. La solution générale de l équation y y est y C e ³ d, C P R i.e. y C e, C P R. On obtient alors ypq si et seulement si C si bien que la solution valant en est y e.. Les fonctions a : ÞÑ et b : ÞÑ étant continues sur R, dy y ðñ y e ³ d d pqe³ d d ðñ y e pqe d ðñ y e e e d ðñ y e pe e ðñ y Ce, C P R ðñ y Ce, C P R Cq, C P R On aurait aussi pu remarquer que y est solution de particulière de dy d y et que y Ce, C P R est solution générale de l équation sans second membre associée dy d y, si bien que y Ce, C P R est solution générale de dy d y. On obtient alors ypq si et seulement si C si bien que la solution valant en est y.. L ensemble de continuité commun au fonctions a : t ÞÑ {t et b : t ÞÑ {pt q étant s8,r Y s, 8r, la résolution de l équation d dt t t (II.) 64

266 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année est à effectuer sur chacun des intervalles s8,r et s, 8r. Cependant, tant que la distinction n est pas nécessaire, on mène une résolution commune au deu cas : sur chacun des intervalles s8,r et s, 8r, d dt t t ³ dt ðñ e t ðñ e ln t ³ t e dt t dt t eln t dt ðñ e ln t t t dt ðñ t t t dt ðñ t t t dt ðñ dpt q t t ðñ t ln t quel que soit le signe de t C, C P R L équation (II.) n étant pas définie en t, aucune de ses solutions ne vaut en. Eercice (p. 7).. (a) L équation y 5y 6y a pour équation caractéristique r 5r 6 qui admet deu solutions réelles distinctes r et r car r 5r 6 ðñ pr qpr q ðñ r ou r Donc la solution générale de l équation y 5y 6y est y C e C e, C,C P R (b) L équation 4y 4y y a pour équation caractéristique 4r 4r qui admet une solution réelle double r car 4r 4r ðñ pr q ðñ r Donc la solution générale de l équation 4y 4y y est y e pc C q, C,C P R (c) L équation y 4y 5y a pour équation caractéristique r 4r 5 qui admet deu solutions complees conjuguées r i et r i car r 4r 5 ðñ pr q ðñ pr q i ðñ pr iqpr iq ðñ r i ou r i 65

267 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année Donc la solution générale de l équation y 4y 5y est y e pc cos C sinq, C,C P R Par ailleurs, du fait que e pc cos C sinq e ppc C qcos pc C qsinq $ '& y 4y $ 5y '& y e pc cos C sinq, C,C P R ypq ðñ ypq '% y '% pq y pq $ '& y e pc cos C sinq, C,C P R ðñ e '% pc cos C sinq e ppc C qcos pc C qsinq $ '& y e pc cos C sinq, C,C P R ðñ C '% C C $ '& y e pc cos C sinq, C,C P R ðñ C '% C ðñ y e sin. On remarque que l équation y 4y 5y e a pour solution particulière y e. Or d après la question précédente, son équation sans second membre associée, y 4y 5y, a pour solution générale y e pc cos C sinq, C,C P R Donc, le théorème fondamental permet de conclure que Eercice 4 (p. 7).. Cf. cours.. (a) On a y 4y 5y e ðñ y e e pc cos C sinq, C,C P R lnp q cos o 4 o 4 4 (b) Si t, c-à-d si t, alors Ñ ðñ t Ñ. Donc ln cosp q lnp tqcost t t t 6 4 o o 4 o t 4 d après la question précédente p q p q p q 6 o p q 4 66

268 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année. On a f pq e sin o 4 6 o o 6 o p q ce qui, par division euclidienne selon les puissances croissantes, donne : f pq 8 o Eercice 5 (p. 74).. On a : b lnp q lnp q 4 o 4 4 o o car o o. (a) On a 8 4 o 4 o 4 (b) On sait que, si, Arcsin d 67

269 Chapitre II. Corrigés des épreuves II.7. Année donc Arcsin Arcsin o d o 5 68

270 Inde B Bijection, 8, 9,, 5 C Continuité,, 6, 9, 6,,, 8, 4 45, 48, 49, 58, 59, 65, 68, 7 D Dérivabilité,, 44, 45, 47, 48, 59, 65, 68, 7 Dérivée, 6,,,, 5, 7, 9, 8,,, 4, 4, 44, 45, 47, 48, 5, 59, 65, 66, 68, 7 Développement ité, 5, 65, 66, 7 branches infinies, 5 Développements ités, 4, 6,, 5, 8,, 5, 9,, 7, 4, 4 ailleurs qu en zéro, 4,,, 4, 5, 7 branches infinies, 5, 9,, 5, 9,, 7, 4, 5 calculs de ites, 46 composée, 5, 66, 7 étude locale d une courbe, 4,, 5, 8, 5, 6, 9,, 7, 4, 46, 5, 5, 66, 7 généralisé, 5 quotient, 5, 66, 7 Dichotomie, Différentielle, 47, 48, 65, 68, 7 E Ensemble de définition, 5,, 9,,, 4, 4, 47 49, 54, 59, 6, 65, 68, 7 Équation, 5, 4, 5, 57, 59, 66, 7 Équation différentielle du premier ordre, 9,,, 7,, 4,, 5, 9, 4, 45, 5 du second ordre, 9,,, 5, 9, 4, 45, 5 Équation trigonométrique, 4, 44 Équivalents, 6, Etrema, 5,, 4, 59 F Factorisation, 66 Fonction eponentielle, 6, 8, 68 Fonction logarithme, 8, 6, 8, 4, 6, 67, 68 Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles, 5, 8, 6, 9, 6, 4 différentielles, 7,, 7 ensemble de définition, 5, 6, 7 etrema, 5 point critique, 7,, 6 Fonctions hyperboliques directes,, 5 réciproques, Fonctions réciproques dérivée, Fonctions trigonométriques directes, réciproques, 4, 6, 7, 9 Forme différentielle, 7 Formule de Taylor-Lagrange, 4, 6, 9,,, 7, 8,, 4 Formule de Taylor-Young, Formules d Euler, 9 I Inéquation, 4, 5, 57, 66, 7 Intégrale, 8,,, 5 changement de variable, 6, 7, 9,, 4, 6,, 4, 5,, 5, 9, 4, 5 généralisée, intégration par parties, 5, 9,,, 6,,, 4, 5,, 5, 9, 4, 45, 5, 59, 6, 69 valeur moyenne, 5,, 4, 6 L Limites,,, 5, 6, 9,, 4, 7, 8 69

271 Inde Inde N Nombres complees,, 9, 4, 57, 58 P Parité, 6, 9, 57, 6 Périodicité, 6, 6 Polynômes division, 9 factorisation, 5, Primitives, 5,, 8,,, 8, 4, 49, 6 R Représentation graphique, 48, 65 T Tableau de variation, 48, 65 Théorème des accroissements finis, 8 V Valeur absolue,, 47, 7 7