LIGNES A RETARD. avec ϕ = - ωτ = - 2.π.f.τ

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1 LIGNES A RETARD. DEFINITION L ignal d orti (t d'un lign à rtard parfait t lié au ignal d'ntré par la rlation : (t (t - τ. τ : rtard apporté par la lign.. ETUDE EN REGIME HARMONIQUE Si v (t V M.in(ωt v (t V M.in(ω.(t - τ V M.in(ωt + [ ] donc : T V V [ ] V ; V; ; T [ ] avc - ωτ -.π.f.τ f f. ELLULE RETARD ELEMENTAIRE R v v Un circuit R contitu un cllul rtard dan crtain condition ; n fft : T T t -arctan(r ω + jrω + ( Rω i ω << /R alor T t -Rω -ωτ avc τ R L rtard τ introduit par un cllul R t égal à R. Exmpl : on déir un rtard d m avc un band paant d khz. La condition ω << (/R R << 5,9 µ. En choiiant R µ, il faudrait utilir cllul R éparé par d étag tampon pour obtnir un rtard d m. SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc

2 4. UTILISATION DE QUADRIPOLES L 4. Lign an prt v L/ L/ v L quadripôl ci-du ont aocié n cacad. vn in- in+ un- in un Par l'application d loi d nœud t d maill, nou obtnon : u n- v n + u n ( i n- - i n.du n- /dt ( i n - i n+.du n /dt ( v n L.di n /dt (4 ( du n- /dt dv n /dt + du n /dt (5 (5 t (4 du n- /dt L.d i n /dt + du n /dt ( 'écrit donc i n- - i n L.d i n /dt +.du n /dt (6 d'aprè ( i n- - i n L.d i n /dt + i n - i n+ donc L.d i n /dt +.i n i n- + i n+ En régim inuoïdal, l'intnité du courant in 'écrit : i n I M.inωt L'intnité dan la bobin uivant t rtardé d τ par rapport à i n : i n+ I M.in[ω(t - τ] cll dan la bobin précédnt t n avanc d τ : i n- I M.in[ω(t + τ] En rportant dan l'équation 6 t n utiliant l fait qu : p + q p q in( p + in( q.in.co -ω.l.i n +.i n.i n.co(ωτ donc co(ωt - ω.l/ i ωτ << alor co(ωτ - ω τ / t τ (L / L rtard apporté par un cllul t alor contant (indépndant d la fréqunc. Pour obtnir l mêm rtard qu dan l'xmpl précédnt, il faudra utilir l mêm nombr d cllul mai an étag tampon. L élémnt étant réactif, la lign à rtard n'introduira pa d prt. 4. Lign réll En réalité il faut tnir compt d la réitanc d fuit du condnatur ρ t urtout d la réitanc éri d la bobin r. r/ r/ L/ L/ ρ SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc

3 5. LIGNE BIFILAIRE, ABLE OAXIAL Un conductur ul prént un inductanc t un réitanc. La prénc d dux conductur proch impliqu égalmnt la prénc d'un capacité t l'iolant n'étant pa parfait, un réitanc n parallèl ur c condnatur. différnt grandur étant réparti l long du câbl, il agit d un circuit à contant réparti qu l on rprént : λ/ r/ r/ λ/ ρ λ : inductanc réparti (H/m : capacité réparti (F/m r : réitanc éri réparti (Ω/m ρ : réitanc parallèl réparti (Ω/m 5. Impédanc caractéritiqu Si l on néglig l prt du câbl (r t ρ, on obtint on impédanc caractéritiqu (ou itérativ n calculant l impédanc d ntré du circuit ci-dou t n idntifiant ctt impédanc à Zc. λ/ λ/ Zc Z SSr rrgg MMOONNNNI II NN ( + Z Z. Z c Z + Z + Z + Z c avc : Z jλω / jlω t Z jω l'impédanc caractéritiqu t tll qu Z Z c donc : Z Z. Z + Z + Z Z + Z. Z ( ( ( c c c l Z Z +. Z. Z l.ω + c Pour qu ctt impédanc oit indépndant d la fréqunc, il faut qu : ω dan c ca : Z R c c l λ l'impédanc caractéritiqu t réll. 4 << l. λ. Exmpl : Pour un câbl coaxial, l contructur donn l caractéritiqu uivant : Z c 5 Ω pf/m diélctriqu : polyéthylèn diamètr d l âm :,9 mm diamètr xtériur du diélctriqu :,9 ±, mm On n déduit λ Z c. 5 nh/m t l rtard par cllul τ λ. 5n Pour m d câbl, l rtard ra d,5 µ. Rmarqu : L calcul donn : µ πε ε ε λ Ln r r r 7 nh 7 pf oit τ 5 n π r Ln(r / r : célérité d la lumièr dan l vid :. 8 m/. Prmittivité rlativ du polyéthylèn ε r, L rtard apporté par un cllul (corrpondant à un mètr d câbl coaxial n dépnd qu du diélctriqu utilié t vaut dan l ca prént τ 5 n. LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc

4 5. élérité, longuur d'ond Dan l diélctriqu, l ignal propag à la vit : longuur duré τ ε 8 r. m / dan l xmpl ci-du. La longuur d'ond t la plu ptit ditanc ntr dux cllul ayant d vibration n pha : Un cllul déphaant d rad, pour obtnir un déphaag d π rad, il faut utilir N π/ cllul Un cllul corrpondant à un mètr d câbl, N cllul ont pour longuur N. mètr donc : λ π π π. τ.. ω f 6. APPLIATION DES LIGNES A RETARD 6. Ocillatur inuoïdal La chaîn dirct t contitué d'un amplificatur invrur Vcc R L A< R RE L dan l ca d un montag à tranitor bipolair, l cofficint d'amplification n tnion vaut : A v avc Y + j ω Y. RE R p L pω L p : inductanc du modèl parallèl d la bobin R p : réitanc parallèl d la bobin n parallèl ur la réitanc ρ du tranitor. A la fréqunc f A -R v π L. R p E p Si l'on boucl l'amplificatur avc un L.A.R. apportant un rtard τ tl qu l ignal ramné à l'ntré oit n pha avc clui-ci, l ytèm ocillra. Il faut donc : ω.τ π πτ/t π τ T / L'amplificatur étant élctif, mêm i la tnion d'ntré v n't pa inuoïdal, la tnion d orti l ra ; il t donc inutil d prévoir un ytèm d limitation du gain. Pratiqumnt, on choiit la lign à rtard à partir d la rlation τ f / t l'on accord, à l'aid d'un condnatur variabl, la fréqunc d réonanc du circuit L. SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc 4

5 6. Filtr à L.A.R. 6.. Montag à ommatur v(t v(t-τ v(t-τ v(t-nτ Σ v(t L princip conit à additionnr l différnt tnion rtardé : v (t v (t + v (t-τ + v (t-τ + + v (t-nτ Si la tnion d'ntré t inuoïdal : v o (t V M.in(ωt à la orti d la prmièr L.A.R. : v (t V M.in[ω(t-τ] in(ωt+ avc - ωτ à la orti d la énièm lign à rtard, on aura : v n (t V M.in[ω(t-nτ] in(ωt+ n avc n - nωτ D où la rpréntation d Frnl dan l ca d dux lign à rtard utilié : V La tnion d orti t donc rprénté par l vctur omm. S'il y a N L.A.R., il xit N' N + vctur déphaé ntr ux. V A V B / V D O V t aocié au vctur AB : AB.OA.in(/ V t aocié au vctur AD : AD.OA.in(N / donc : V in ( N' / in (( N + / V in / in / ( ( En poant x /, on obtint l modul d la fonction d tranfrt pour N : SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc 5

6 Iin(x/in(xI,5,5,5,5,5,5,5 4 4,5 5 On contat qu : n ba fréqunc t pour x k.π, l modul t maximum t vaut N'.V il 'annul pour x k.π/n' où k t un ntir poitif Exmpl : Un filtr utili 6 L.A.R. d m chacun, la prmièr fréqunc pour laqull v 'annul t tll qu : ωτ π π π τ + f / oit f N N + 7τ 4 khz En poant x /, on obtint l modul d la fonction d tranfrt pour N 6 : Iin(7x/in(xI,5,5,75,5,5,75,5,5 SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc 6

7 6.. Montag ommatur-outractur Si l'on invr l tnion à la orti d L.A.R. d rang impair avant d l appliqur au ommatur, a tnion d orti aura pour xprion : (... j t j j j v V ω + + Rappl : M n ( q u u + u un i u q. u q i+ jx jx jx + jx in( x co( x j ici q - -j t dux ca ont à conidérr uivant qu n t pair ou impair. i n k q n + -nj nj j t n nj nj ( n j t j t n v VM V ω ( / / V j M (.... j j M.. in / ω ω / / + + co ( / V in ( n / donc : V co ( / Pour n 6 on obtint : Iin(6x/co(xI,5,5,75,5,5,75,5,5 n k + q n - -nj nj j t n nj nj ( n j t + j t n v VM V ω ( / / + V j M (.... j j M.. co / ω ω / / + + co ( / V co ( n / donc : V co ( / L rapport d modul d fonction d tranfrt t rprénté à la figur. Pour n 7 on obtint : SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc 7

8 Ico(7x/co(xI ,5,5,75,5,5,75,5,5 6.. Application indutrill L lign à rtard ont utilié dan d nombrux domain, notammnt n téléviion t téléphoni. En téléviion, l ignal d chrominanc corrpondant à la coulur roug t tranmi pndant un lign (64 µ alor qu l ignal aocié au blu t tranmi pndant la lign uivant. Pour pouvoir rcontitur l coulur il faut donc rtardr l prmir ignal d 64 µ pour qu l dux ignaux rtrouvnt n pha. L ignaux d luminanc t d chrominanc doivnt uprpor dan l tub trichrom ; or la luminanc t tranmi avc un band larg ( 6MHz t la chrominanc avc un band étroit (MHz. L tmp d monté d'un ignal étant invrmnt proportionnl à a band paant (, à,4 µ pour l ignal d luminanc, nviron µ pour clui d chrominanc il faut donc rtardr l ignal d luminanc avant d l'appliqur au tub imag. Dan un ocillocop l déclnchmnt d la ba d tmp n t pa intantané. Pour obrvr d événmnt d court duré, l ignal vrtical t rtardé par rapport au ignal d déclnchmnt. rtain ocillocop poèdnt un ba d tmp rtardé dtiné à obrvr un parti d un ignal complx, tl qu un lign d ignal vidéo parmi d autr. Dan un radar : un cibl fix fournit un écho contant d un impulion à l autr un cibl mobil provoqu un écho d amplitud différnt à chaqu impulion Pour éliminr l cibl fix, l ignal rçu lor du prmir écho t rtardé pui rtranché à l écho rçu lor d l impulion uivant. SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc 8

9 7. ONSTITUTION DE QUELQUES LIGNES À RETARD 7. Lign à rtard faibl ( µ La lign à rtard t contitué dun bâton cylindriqu iolant rcouvrt d band métalliqu rlié ntr ll t qui contitunt la ma d la lign à rtard. un fil iolé t bobiné ur l cylindr. L fil prént un crtain inductanc t il xit ntr chacun d point t l band métalliqu un capacité d où on chéma équivalnt. Entré Sorti Entré Sorti 7. Lign à rtard plu important ( µ Entré A l ntré, un tranductur piézo-élctriqu tranform l ignal élctriqu n un ond ultraonor qui propag dan un lam d vrr ou d acir avant d ubir la tranformation invr dan l tranductur piézo-élctriqu du récptur. Pour augmntr l tmp d propagation, l on put multiplir l nombr d réflxion à l intériur d la lam. dipoitif t utilié n téléviion pour rtardr l ignal d chrominanc d 64 µ. La préciion t d l ordr d 5n t l atténuation d l ordr d db. Son impédanc caractéritiqu vari ntr 5 t qulqu cntain d ohm. Sorti 7. Lign à rtard à tranfrt d charg (DT ou D voir cour ur l D. SSr rrgg MMOONNNNI II NN LLi iiggnn àà rrt r tt aar rrdd... ddoocc 9