Extrait CNED. Configuration du plan. Sommaire. 1. Prérequis 2. Les théorèmes à connaître, à savoir utiliser. Séquence 7 MA20. Cned Académie en ligne

Transcription

1 Extrait NED onfiguration du plan Sommaire 1. Prérequis 2. Les théorèmes à connaître, à savoir utiliser Séquence 7 M20 1 ned cadémie en ligne

2 1 Prérequis Médiatrice Définition Définition Soient et deux points du plan. La médiatrice D du segment [] est la perpendiculaire à la droite () passant par le milieu I de []. I Propriété (admise) : La médiatrice de [] est l ensemble des points équidistants à et à, c est-à-dire l ensemble des points M du plan tels que : M = M. La médiatrice de [] est l axe de l unique symétrie axiale transformant en. Les triangles Triangles isocèles, équilatéraux, rectangles Définitions Soit un triangle. e triangle est un triangle isocèle de sommet si : =. e triangle est un triangle équilatéral si : = =. e triangle est un triangle rectangle de sommet si : () () (le côté [] est alors l hypoténuse du triangle ). Propriété Le triangle est un triangle isocèle de sommet si et seulement si : =. Séquence 7 M20 3 ned cadémie en ligne

3 Droites remarquables dans un triangle À savoir Les médianes d un triangle sont concourantes en un point que l on appelle centre de gravité du triangle (G ci-contre). Les médiatrices d un triangle sont concourantes en un point que l on appelle centre du cercle circonscrit au triangle ( ci-dessous). G Remarque Les médiatrices d un triangle équilatéral sont ses axes de symétrie. Les hauteurs d un triangle sont concourantes en un point que l on appelle orthocentre du triangle (H ci-contre). H I Les bissectrices d un triangle sont concourantes en un point que l on appelle centre du cercle inscrit au triangle (I cicontre). 4 Séquence 7 M20 ned cadémie en ligne

4 2 Les théorèmes à connaître, à savoir utiliser Exercices de révision Introduction e paragraphe a pour but de vous amener à revoir les théorèmes de géométrie étudiés au collège. Les exercices qui suivent, sont des exercices «de base», leur résolution découle directement des théorèmes. Si vous n arrivez pas à résoudre l un de ces exercices, vous pouvez reprendre votre cours du collège ou consulter au fur et à mesure les résultats rappelés dans la partie de ce chapitre. ien sûr, ces exercices sont corrigés dans le fascicule Devoirs. Les exercices Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 est un triangle ; les bissectrices des angles et se coupent en I et la parallèle à () menée par I coupe () en M et () en N. Montrer que le triangle MI est isocèle. est un triangle isocèle en et = 36. La bissectrice de l angle coupe () en D. La bissectrice de l angle D coupe () en E. Démontrer que les droites () et (DE) sont parallèles. est un triangle rectangle en. Le point H est le pied de la hauteur de issue de. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [H] et []. Montrer que (IJ) (). est un triangle isocèle en inscrit dans un cercle. I est un point de l arc ne contenant pas. Démontrer que (I) est la bissectrice de l anglei. est un triangle isocèle en. Les parallèles à () passant par et à () passant par se coupent en un point M. Démontrer que les droites (M) et () sont perpendiculaires. Séquence 7 M20 7 ned cadémie en ligne

5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 [] et [D] sont deux diamètres quelconques d un cercle. Quelle est la nature du quadrilatère D? () et () sont deux droites, est le point de () tel que ( ) () et est le point de () tel que ( ) (). n note : I = ( ) ( ). Montrer que : () (I). Soit un cercle de centre et un point extérieur au disque délimité par. onstruire «à la règle (non graduée) et au compas» les tangentes à passant par. ours Pour calculer une longueur M Pour calculer une longueur, on peut penser : au théorème de Thalès ; à se placer dans un repère orthonormé ; au théorème de Pythagore ; aux formules trigonométriques dans un triangle rectangle ; au théorème de la médiane. N J M = N =MN I ( ) + ( ) 2 2 = x x y y ( ) = ( ) = ( ) = sin ; cos et tan = + 8 Séquence 7 M20 ned cadémie en ligne

6 == où est le milieu de [] Pour calculer un angle Pour calculer un angle, on peut penser : angles alternes-internes, correspondants ; la somme des angles d un triangle vaut 180 ; Théorème de l angle inscrit ; aux formules trigonométriques dans un triangle rectangle. à se placer dans un repère et 2 sont alternes-internes. 2 et 3 sont correspondants. 1 et 3 sont opposés par le sommet. N M M N P 1 = = 180 = 2 P Séquence 7 M20 9 ned cadémie en ligne

7 Pour prouver que deux droites sont perpendiculaires Pour prouver que deux droites sont perpendiculaires, on peut penser : au réciproque du Théorème de Pythagore (éventuellement dans un repère) : (si = + alors est rectangle en ) ; au réciproque du Théorème de la médiane ( est le milieu de [], si == alors est rectangle en ) ; à la propriété : si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre ; à l orthocentre d un triangle. Pour montrer que deux droites sont parallèles Pour prouver que deux droites sont parallèles, on peut penser : au réciproque du Théorème de Thalès :, M, et, N, sont alignés dans le même ordre, si M = N alors (MN) // () ; aux parallélogrammes ; à la colinéarité des vecteurs ; aux angles alternes-internes, correspondants ; à la géométrie repérée. Pour montrer que 3 points sont alignés Pour prouver que 3 points sont alignés, on peut penser : au parallélisme (si () // () alors, et alignés) ; aux droites remarquables dans un triangle ; aux angles (si = 180 alors, et alignés) ; 10 Séquence 7 M20 ned cadémie en ligne