I) A quoi sert une fonction?

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1 FICHE METHODE sur les FONCTIONS REELLES I) A quoi sert une fonction? a) Exemples : 1. Il a actuellement 30 euros d économies et en ajoute 5 par semaine! Comment varient ses économies en fonction du nombre x de semaines? f(x) = 5x Il a 8 filles et 2 garçons, et il arrive un couple ( fille, garçons ) par minute! Comment varie le pourcentage de filles en fonction du nombre x de minutes? f(x) = 100x x 3. Ce mois ci, l entrée était à 20 euros et il a eu 500 entrées de vendues! Chaque mois, le nombre de clients diminue de 10 et le prix d entrée augmente d un euro! Comment varie la recette en fonction du nombre x de mois? f(x) = (500 10x )(20 x ) 4. Le prix est de 50 euros et augmente de 5% par mois! 5 Comment varie le prix en fonction du nombre x de mois? f(x) = 50 ( ) x = 50 1,05 x. b) Remarques : Les fonctions servent beaucoup dans la vie, on les rencontre quotidiennement de manière intuitive ( quand notre age varie, notre taille varie, de même quand notre age varie notre poids varie, de même pour notre pourcentage en eau de nôtre corps et encore bien d autres choses ). Il existe une infinité de couples de grandeurs phsiques, par exemple ( notre age, notre taille ), ( notre age, notre poids ), tels que premièrement : quand la valeur de la première grandeur varie, la valeur de la seconde varie et deuxièmement : à chaque valeur de la première grandeur, correspond une seule valeur de la seconde ( à tel instant, nous mesurons telle taille et cette taille uniquement ), sous ces conditions, on dit que la seconde grandeur est fonction de la première ( et non le contraire, il peut exister une taille que nous mesurons à 17 ans et à 76 ans et dans ce cas, à une taille ne correspond pas un seul age mais deux ages différents et notre age n est alors pas fonction de nôtre taille! ). Les fonctions servent à décrire les changements qui existent dans notre monde ( changement de taille, de poids, de position, de vitesse, du nombre d habitants, ). Changement d une chose en fonction du temps, mais aussi changement d une chose en fonction d une autre chose ( pas nécessairement le temps ), par exemple, le changement, les variations des ventes de glaces en fonction de la température qu il fait, Dans l exemple 1 ci dessus, si la valeur x du nombre de semaines est fixé, alors on détermine la valeur des économies de la personne, ses économies sont fonction du nombre de semaines! D une manière générale, nous sommes en présence d une fonction réelle à chaque fois que 2 grandeurs sont liées de façons telles qu a chaque valeur de la première correspond une seule valeur de la seconde. ( si la 2 ère grandeur «a changé», forcément, la 1 ère aussi ) Les fonctions réelles servent à décrire un certain lien de dépendance qui existe parfois entre deux grandeurs, les valeurs de ces grandeurs étant des nombres réels. Les expressions algébriques usuelles permettent de définir des fonctions, une fonction étant alors définie par une formule, par exemple f(x) = 5x 30 ( la valeur de 5x 30 est fonction de la valeur de x ). De plus, il est possible de «voir» certaines fonction sous la forme d une courbe ( il suffit de placer les points de coordonnées ( x ; = f(x) ) dans un repère pour différentes valeurs de x ).

2 Les fonctions permettent de «modéliser» certains phénomènes, de décrire l évolution de certains phénomènes dans le temps ( variations de la température moenne de la terre, variation de la population d un pas ) Il est nécessaire de nos jours, de connaître certains résultats concernant les fonctions, ainsi que de maîtriser certains savoir-faire. II) Qu est ce qu une fonction réelle Définition 1: ( fonction réelle, image, antécédent ) Soit I un intervalle de IR. Une fonction appelée «f» définie sur l intervalle I, est une relation qui associe à chaque nombre x de I un et un seul nombre réel noté «= f(x)» ( «f de x» ) et appelé l image de x par f. On dit aussi que x est un antécédent de = f(x) par la fonction f. On note : f : I IR x = f(x) ( la fonction f de I dans IR qui à x associe égal f de x) On dit que f est une fonction de la variable x. I est l ensemble de départ appelé aussi ensemble de définition de la fonction et IR l ensemble d arrivée. Exemples : 1 Soit f la relation définie sur IR qui à tout nombre x de IR associe son carré x². A chaque nombre réel se trouve ainsi associé un et un seul nombre ( son carré ) et on est donc ici en présence d une fonction. ( d ailleurs appelée la «fonction carrée» ) On note : soit f : IR IR ou plus simplement : f(x) = x² pour x IR x = x² Par exemple : f : 3 3² = 9 «f, à 3 associe 9» ou encore f(3) = 9 «f de 3 égal 9» ou encore «l image de 3 par f est 9» f : -3 (-3)² = 9 ou encore f(-3) = 9, «l image de -3 par f est 9» 2 Soit f qui à tout nombre x de [0 ; [ associe sa racine carrée x on est aussi en présence d une fonction. ( d ailleurs appelée la «fonction racine carré» ) On note f : [0, [ IR ou plus simplement : f(x) = x pour x [0 ; [. x x 3 Les expressions algébriques usuelles définissent des fonctions sur des intervalles à préciser, on a ainsi la fonction cube, la fonction cosinus, la fonction logarithme népérien, 4 Pour une personne X aant vécu 100 ans, soit f la relation qui à tout instant de sa vie noté «t» (en années) depuis sa naissance jusqu'à sa mort associe la taille de cette personne ( en cm ), on est en présence d une fonction définie sur [0, 100]. On note f : [0, 100] IR t = f(t) = taille de la personne X à la date t 5 Galilée ( ) à remarqué que si on ne tient pas compte de la résistance de l air, si on laisse tomber une pierre d un pont, la distance parcourue par la pierre en fonction du temps est donnée par la formule f(t) 5t², à chaque instant correspond une distance et une seule, et on est en présence d une fonction ( cette loi s appelle la loi de la chute des corps ) On note f : [0, 10] IR t 5t² ( [0 ; 10] si la chute dure 10 secondes )

3 Pour rendre compte de l évolution d un phénomène en fonction du temps, ou plus généralement de l évolution d un phénomène en fonction d un autre, il est fréquent d utiliser un tableau de valeurs qui met en vis a vis les valeurs qui se correspondent. ( 1 ère ligne votre age et 2 ème ligne taille ) Définition 2 : ( Tableau de valeurs ) Soit f une fonction définie sur l intervalle I de IR. On peut disposer dans un tableau de valeurs, des valeurs de la variable x (valeurs choisies dans I ) et les valeurs f(x) des images correspondantes. Valeur de x a b c Valeur de f(x) f(a) f(b) f(c) Exemples : 1 Soit la fonction carrée : f(x) = x² pour x IR Voici un tableau de valeurs : Valeur de x Valeur de x² Soit la fonction racine carrée : f(x) = x pour x [0 ; [ Voici un tableau de valeurs : Valeur de x Valeur de x 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 Il et tout aussi fréquent de placer les valeurs qui se correspondent dans un repère, l axe (Ox) des abscisses sert à placer les valeurs de la variable x ( l age par exemple ) et l axe (O) des ordonnées sert à placer les valeurs des images correspondantes ( la taille par exemple ). Définition 3 : ( Graphique d une fonction et courbe représentative ) Soit f une fonction définie sur l intervalle I de IR. On peut disposer dans un repère cartésien, des points de coordonnées ( x ; = f(x) ) pour des valeurs de la variable x ( prises dans l intervalle I ) où f(x) est la valeur de l image de x par f. On obtient une représentation graphique partielle de la fonction f. ( nous montre un certain visage de la fonction ) Exemples : 1 Soit la fonction racine carrée : f(x) = x pour x [0 ; [ dont on a un tableau de valeurs : x 0 0,01 0,25 0, x 0 0,1 0,5 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,1 On place dans un repère les points de coordonnées ( 0; 0) ; (0,01 ;0,1) ; ( 4 ; 2 ) ; et on obtient le graphique ci dessous. 3 2 VALEURS de f(x) = x (4 ; 2 ) valeurs choisies. Images correspondantes. 1 0 VALEURS de x x

4 ( en plaçant beaucoup de points on obtient un graphique qui ressemble à une courbe ) UNE PARTIE DE LA COURBE DE LA FONCTION RACINE CARREE 3 VALEURS de f(x) = x 2 (4 ; 2 ) 1 0 VALEURS de x x III) Propriétés des fonctions réelles? Lorsque l on étudie l évolution de la température (ou d un compte en banque ou d un bénéfice) en fonction du temps, il peut-être utile de savoir quand celle ci est négative, positive ou nulle. Ce qui d une manière générale nous conduis à savoir préciser le signe d une fonction. Définition 4 : SIGNE D UNE FONCTION EN UN POINT Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR et a I (un nombre réel de l intervalle I ) On dit que : La fonction f est POSITIVE strict en a si et seulement si f(a) > 0 ( f(a) est positif strict ) La fonction f est NEGATIVE strict en a si et seulement si f(a) < 0 ( f(a) est négatif strict ) La fonction f est NULLE en a si et seulement si f(a) = 0 ( f(a) est nul ) Exemple : La fonction cube : f(x) = x 3 pour x IR ( on étudie le signe au point x = 2 ) est positive strict en 2 car f(2) = 2 3 = 8 ( positif ) est négative strict en -2 car f(-2) = (-2) 3 = -8 ( négatif ) est nulle en 0 car f(0) = 0 3 = 0 ( nul ) Définition 5 : SIGNE D UNE FONCTION SUR UN ENSEMBLE Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR et soit J une partie incluse dans I. ( J I ) On dit que : La fonction f est POSITIVE strict sur J si et seulement si f(a) > 0 pour tout a J La fonction f est NEGATIVE strict sur J si et seulement si f(a) < 0 pour tout a J La fonction f est NULLE sur J si et seulement si f(a) = 0 pour tout a J Exemple : La fonction cube : f(x) = x 3 pour x IR est positive strict sur ] 0 ; [ car le cube d un nombre positif est positif. est négative strict sur ] - ; 0 [ car le cube d un nombre négatif est négatif. est nulle sur { 0 } car le cube d un nombre nul est nul. Ce qui peut se résumer dans un tableau de signes Valeur de x 0 Signe de x 3 0

5 Propriété 1 : SIGNE D UNE FONCTION et COURBE ( trouver le signe grâce à la courbe ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR et dont la courbe est C f. Pour le signe de la fonction f : f POSITIVE STRICT C f est strictement au DESSUS de l axe des abscisses ( Ox ) f NEGATIVE STRICT C f est strictement EN DESSOUS de l axe (Ox ) f NULLE C f COUPE l axe des abscisses ( Ox ). (admis) Exemple : 1 Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 8,5] par la courbe C f ci dessous nulle pour x = 2 ou x = C f x -1 On constate que : La fonction f est négative strict pour x ] 2, 6 [ La fonction f est positive strict pour x [0, 2[ ] 6, 8,5] La fonction f est nulle pour x {2, 6 } Ce qui se résume dans le tableau de signes ci dessous. Valeur de x ,5 Signe de f(x) 0 0 Définition 6 : SENS DE VARIATION d une FONCTION REELLE Une notion importante est celle de sens de variation d une fonction. Préciser le sens de variation d une fonction, c est tout simplement préciser si, quand la variable x varie en augmentant l image f(x), augmente, diminue ou reste la même! Il est souvent utile de connaître les valeurs de x pour lesquelles f(x) augmente ( diminue, reste stable)( quand le temps passe! est-ce que ma taille augmente, diminue ou reste stable?) Il a fallu trouver une définition mathématique des notions de croissance, décroissance ou constance

6 A) CROISSANCE : La fonction f est Croissante stricte sur I Pour tous nombres a et b appartenant à I Si a < b Alors f (a) < f (b) ( Conserve l ordre ) «2 nombres et leurs images sont dans le même ordre» B) DECROISSANTE : f (b) f (a) a b La fonction f est Décroissante stricte sur I Pour tous nombres a et b appartenant à I Si a < b Alors f (a) > f (b) ( Change l ordre ) f (a) f (b) «2 nombres et leurs images sont en ordre inverse» a b C) CONSTANTE : La fonction f est Constante sur I Pour tous nombres a et b appartenant à I f (a) = f (b) ( Supprime l ordre ) f (a) = f (b) Exemple : 9 Soit la fonction f définie sur [0 ; 16 ] par la courbe ci dessous. a b o On constate que : f est croissante sur [ 0 ; 8 ] ( pour x [0 ; 8] ) et croît de -7 à 9. f est décroissante sur [ 8 ; 16] ( pour x [8 ; 16] ) et décroît de 9 à 7. ce qui se résume dans le tableau de variations suivant : Valeurs de x Variations de f -7-7

7 Il est parfois utile de savoir si la fonction admet un maximum ou un minimum ( définis ainsi ) Définition 7 : EXTREMUMS Sur l intervalle I, le MAXIMUM de la fonction f vaut M et est atteint en «a». f (a) = M et quel que soit x appartenant à l intervalle I on a f (x) M Sur l intervalle I, le MINIMUM de la fonction f vaut m et est atteint en «a». f (a) = m et quel que soit x appartenant à l intervalle I on a f (x) m Exemple : Soit f définie sur [ 1 ; 13 ] par la courbe ci contre : La fonction f a un Maximum Atteint pour x 4 et qui vaut à peux près 7. La fonction f admet un Minimum atteint pour x 10 et qui vaut à peux près 1. M 4 4 m o 5 10 Propriété 2 : RESOLUTION D EQUATIONS ou D INEQUATIONS GRAPHIQUEMENT On est parfois amené à déterminer pour le phénomène que l on étudie ( température, prix, ) S il dépasse une certaine valeur ou est en dessous d une certaine valeur ( dans une chambre froide, la température ne doit pas dépasser 2 C par exemple ) Ce qui nous amène à savoir résoudre des inéquations ou équations ( graphiquement, dans ce qui suit ). Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre réel. Résoudre l équation f(x) = a c est préciser les valeurs de x I ( s il en existe ) pour lesquelles f(x) vaut «a» les solutions sont les valeurs de x I pour lesquelles la courbe de f coupe la droite d équation = a Résoudre l inéquation f(x) > a c est préciser les valeurs de x I ( s il en existe ) pour lesquelles f(x) est supérieur strict à «a» les solutions sont les valeurs de x I pour lesquelles la courbe de f est strictement au dessus de la droite d équation = a. Résoudre l inéquation f(x) < a c est préciser les valeurs de x I ( s il en existe ) pour lesquelles f(x) est inférieur strict à «a» les solutions sont les valeurs de x I pour lesquelles la courbe de f est strictement en dessous de la droite d équation = a (admis)

8 Exemple : Soit f définie sur [ 0 ; 8 ] par la courbe ci contre :. L équation : f( x) = 6, graphiquement a pour ensemble de solutions : S { 2,1 ; 5,6 }.. L inéquation : f(x) > 6, graphiquement a pour ensemble de solutions : S ] 2,1 ; 5,6 [.. L inéquation : f(x) < 6, graphiquement a pour ensemble de solutions : S [ 0 ; 2,1[ ] 5,6 ; 8 ]. o = ,1 5,6 On peut aussi être amené à comparer deux phénomènes qui évoluent en fonction du temps ( tarif d un article dans un magasin A et tarif d un même article dans un magasin B, ) On est alors amené à COMPARER 2 FONCTIONS ( fait graphiquement dans ce qui suit ). Propriété 3 : Soient f et g deux fonctions définie sur un même intervalle I. Résoudre l équation f(x) = g(x) c est préciser les valeurs de x I ( s il en existe ) pour lesquelles f(x) et g(x) sont égaux les solutions sont les valeurs de x I pour lesquelles les courbes de f et de g se coupent. Résoudre l inéquation f(x) > g(x) c est préciser les valeurs de x I ( s il en existe ) pour lesquelles f(x) est supérieur strict à g(x) les solutions sont les valeurs de x I pour lesquelles la courbe de f est strictement au dessus de celle de g. Exemple : Soient C f et C g les courbes des fonctions f et g définies sur [ 0 ; 9 ] par les courbes ci dessous. (admis) 8 6 C f 4 2 C g x -2 Graphiquement on détermine que : f(x) = g(x) pour x { 2 ; 6 } f(x) < g(x) pour x ] 2 ; 6 [ f(x) > g(x) pour x [ 0 ; 2 [ ] 6 ; 9 ]