nde 3 Corrigé du devoir maison de mathématiques n 8 Sujet 1 2 nde Exercice 1 : Réponse (a). Exercice 2 : Partie A

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1 nde Exercice 1 : Réponse (a). nde Corrigé du devoir maison de mathématiques n 8 Suet 1 On peut par exemple calculer le coefficient directeur y B y A = 7 x B x A 0 = 10 = 5 (seule la réponse (a) propose un coefficient directeur de 5) On peut aussi vérifier que y A = 5 x A soit 7 = 5 (vrai) donc A appartient à la droite d équation y=5x- Et y B = 5 x B soit = 5 0 (vrai aussi) donc B appartient aussi à cette drtoie. Exercice : Partie A 1) ) a) Coordonnées du point G 1 : x = = 1,5 y = = 16 G 1 ( 1,5 ; 16 ) Coordonnées du point G : x = = 4 y = = 140 G ( 4 ; 140 ) b) G 1 et G n ayant ni la même abscisse, ni la même ordonnée, la droite (G 1 G ) admet une équation réduite de la forme y = mx + p. Calcul du coefficient directeur m : m = y G y G = x G x G1 4 1,5 = 14,5 = 5,6 Calcul de l ordonnée à l origine p : On sait que y G1 = 5,6 x G1 + p car G 1 (G 1 G ) Donc 16 = 5,6 1,5 + p soit 16 = 8,4 + p donc p = 16 8,4 = 117,6 L équation réduite de la droite (G 1 G ) est y = 5,6 x + 117,6

2 Partie B : ) Pour tracer ( ) on peut choisir deux points : par exemple ( 0 ; 161 ) et ( 5 ; 15 ) En effet : 1, = 161 et 1, = 15. ) Par lecture graphique : à partir de la 6 ème année (où les effectifs du centre aéré A et du centre aéré B seront égaux), l effectif du centre aéré A deviendra supérieur à celui du centre aéré B. Calcul de l effectif à l année 6 pour le centre aéré A : 5, ,6 = 151, 151 enfants Calcul de l effectif à l année 6 pour le centre aéré B : 1, = 151,4 151 enfants Exercice : extrait du manuel de 1 ère STS Nathan. Nommons x le prix d une boîte B 1 en et y celui d une boîte B. 1 boîtes B 1 coûtent 1 x. 0 boîtes B coûtents 0y. Donc 1 boîtes B 1 et 0 boîtes B coûtent 1x + 0 y ou 170,40. On a donc : 1x + 0y = 170,4 5 boîtes B 1 coûtent 5x. 0 boîtes B coûtent 0x. 5 boîtes B 1 et 0 boîtes B coûtent 5x + 0y ou 176,50. On a donc : 5x + 0y = 176,50 Résolvons le système (S) 1x + 0y = 170,4 L 1 5x + 0y = 176,50 L (S) 51 x = 188,7 L 1 L 1 L 510 y = 14 (S) x =,7 L 5L 1 1L y = 4, Une boîte B 1 coûte,70 et une boîte B 4,0. S = { (,7 ; 4,)}

3 nde Exercice 1 : 1) nde Corrigé du devoir maison de mathématiques n 8 Suet Point A B C D O M K I Abscisse / Ordonnée / En effet : AA = 0 = 0 i + 0 AB = 4 i = 4 i + 0 AC = AB + AD = 4 i + 4 AD = 4 = 0 i + 4 car ABCD est un carré donc un parallélogramme. AO = 1 AC = 1 ( 4 i + 4 ) = i + car O est le milieu de [AC] AM = AD + DM = AD + OD car M est le symétrique de O par rapport à D. = AD + 1 BD car O est le milieu de [BD] = AD + 1 ( BA + AD) d après la relation de Chasles. = AD + 1 = 1 AB + BA + 1 AD AD = 1 4 i + 4 = i + 6 AI = AO car I est le centre de gravité de ABD et se trouve donc aux de sa médiane AO. = ( i + ) (voir calcul des coordonnées de AO ) = 4 i + 4 ) a) Trouvons une équation de (MI). M ( ;6) I ( 4 ; 4 ). x M x I et y M y I donc la droite (MI) admet une équation réduite de la forme y = mx + p. Calcul du coefficient directeur : 4 m = y I y M = = x I x M 4 ( ) = = 1,4 Calcul de l ordonnée à l origine : On a y M = 1,4 x M + p donc 6 = 1,4 ( ) + p Soit 6 =,8 + p soit p = 6,8 =, L équation réduite de la droite (MI) est y = 1,4 x +, Trouvons les coordonnées de Q. Q est l intersection de (AB) et de (MI). (AB) est l axe des abscisses, donc y Q = 0. Q appartient à (MI) donc y Q = 1,4 x Q +, soit 0 = 1,4 x Q +, 1,4 x Q =, x Q =, 1,4 = 14 = 16. Donc Q( ;0)

4 ) b) Trouvons une équation de (MC). M ( ; 6 ) C ( 4 ; 4 ). x M x C et y M y C. Donc (MC) admet une équation réduite de la forme y = mx + p. Calcul du coefficient directeur : m = y C y M 4 6 = x C x M 4 ( ) = 6 = 1 Calcul de l ordonnée à l origine : y C = 1 x C + p soit 4 = p (E) (E) 4 = 4 + p = p p = 16 L équation réduite de (MC) est donc y = 1 x + 16 Trouvons les coordonnées de P : P (AD) et (AD) est l axe des ordonnées, donc x P = 0. P (MC) donc y P = 1 x P + 16 donc y P = donc y P = 16. P ( 0 ; 16 ) ) c) Montrons que K, Q, P sont alignés. Calculons les coordonnées du vecteur KQ : KQ ( x Q x K ; y Q y K ) Calculons les coordonnées du vecteur KP : KP ( x P x K, y P y K ) KP ( 0 4 ; 16 KQ ( ; 0 ( 4) ) KQ ( ; 4 ) KQ ( 1 7 ; 4 ) ( 4) ) KP ( 4 ; ) KP ( 4 ; 8 ) Calculons le déterminant formé par les coordonnées de KQ et KP : = ( 4) = = = 0 7 Les vecteurs KQ et KP sont colinéaires, donc les points K, Q, P sont alignés. CQFD.

5 Exercice : On nomme les différents points de la figure (cf : figure). On souhaite calculer la longueur x = BF et la longueur y = FC. (en pas) En appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABF rectangle en B, on a : AF = AB + BF soit AF = 0 + x soit AF = x En appliquant le théorème de Pythagore au triangle FCD rectangle en C, on a : DF = DC + FC soit DF = 40 + y soit DF = y Comme les distances AF et DF sont égales (hypothèse des oiseaux), on a AF = DF Et donc x = y x y = (x + y)(x y) = 700 (1) On sait de plus que x + y = BF + FC = BC = 50. En remplaçant x + y par 50 dans (1), on obtient : 50 ( x y ) = 700 x y = = 14 Résolvons alors le système x + y = 50 L 1 x y = 14 x = 64 L 1 L 1 + L L y = 6 x = L L 1 L y = 18 S = { ( ;18) }. La fontaine se trouve à pas de la plus petite tour et à 18 pas de la plus haute. Calcul de l angle BFA. tan BFA = BA BF = 0 = 15. BFA = Arctan(15/16) 4, Calcul de l angle CFD. Tan CFD = CD CF = = 0. CFD = Arctan(0/9) 65,77. 9 Depuis la fontaine, on voit donc la petite tour avec un angle de 4,15 environ et la grande tour avec un angle de 65,77.