Les nombres complexes ont été introduits en Terminale et nous allons rappeler brièvement les

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Charles Faubert
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1 on Chapitre 1 Nombres complexes Les nombres complexes ont été introduits en Terminale et nous allons rappeler brièvement les définitions et propriétés vues à cette occasion. 1.1 Définitions - Nous admettons l existence d un ensemble vérifiant les propriétés suivantes Il existe un élément de tel que. 3 - Tout élément de s écrit de manière unique avec et réels. 4 - est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent celles de et obéissent aux mêmes règles de calcul. Ainsi, on a par exemple L ensemble ainsi défini est appelé ensemble des nombres complexes et on note aussi L écriture est dite forme cartésienne du nombre complexe et l égalité de deux nombres complexes et se traduit par Les réels et sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du complexe Re Im et notées et Les complexes de la forme avec réel sont appelés imaginaires purs et l ensemble des complexes imaginaires purs est noté Conjugué d un nombre complexe Définition Pour tout appelle conjugué de le nombre complexe noté défini par Proposition Le conjugué d une somme (respectivement d un produit, d un quotient) est la somme (respectivement le produit, le quotient) des conjugués. 3

2 ! prolonge PREUVE Pour la somme et le produit, la preuve est évidente et laissée au soin du lecteur. Considérons le cas du quotient!"# $!" %!" $!"# % % % &!"# %!" % & '!!"( %! $!"# %!!"*) +!, %! Proposition Pour tout nombre complexe!, on a Re+!, % !.!, Im+!, % -/+! 0!, 2. et 3.! est réel si et seulement 4.! si! %! est imaginaire pur si et seulement si! % 0! ) PREUVE Ces résultats découlent directement des définitions. REMARQUE L utilisation du conjugué permet d obtenir la forme cartésienne de l inverse d un nombre complexe non nul Pour+1 23, % , /3,+1 0 /3, % 1 0 / % / Module d un nombre complexe Définition Pour tout! % 1. / , on définit le module de! 9! 9% par 8 >! L application module dans8 > l application valeur absolue de8 dans. En effet si! 7 8 2! % 1 a9! 9%? 1 6 % 91 on 9. 1.!! Proposition Pour tout nombre complexe! 9! et9! 9%?!! 9! 9% &A! % 5 est un réel positif 2. 9Re+! 9% 90! 9% 9! 9,9B9! 9et9Im+!,9B9! ;0 < 9! 9de= 1. /3 % 1 0 /3 &DCCCC! CCCC Pour tout nombre complexe! non nul! % 9!! 96 9! % 9! 9 et ) PREUVE Ces résultats découlent directement de la définition du module. 9!!"9 % 9! 99!"9 2 CCC!"CCC% 9! 9 Proposition Pour tous nombres complexes! 9!"9!" % !.!"9BE9! et!" 9. 9!"9 2 99! 90 9!"99B9! 0!"9 si 9!!"96 %!!"F!!"G %!! H!"!"% 9! 96 H 9!"96 % & 9!!"9 % 9! 99!"9 1. PREUVE 4

3 2. SiIJ 3. SI L M K NNNI NNNO IJ L IJ I P QIJR I L IJIJ II LTSI SIJSO SO L U NNNI IJ W IJSO L XI W IJYXI W IJY L SI SO W SIJSO W IIJW IJI IIJon IIJW IJI L a Z W Z L [ReXZ Y \ [ En posantz L NNNLVSI S SIJS SReXZ YS\ [ SZ S L [ SI SSIJS 4. SI SI W IJSO \ SI SO W SIJSO W [ SI SSIJSL XSI SW SIJSYO L U SI W IJS\ SI SW SL SIJS SXI ] IJY W IJS\ SI ] IJSW SIJSL U JS] SI S\ SIJ] I SI S] SIJS\ SI ] IJS S L SI ] IJS SI ] IJS\ SI S] SIJS\ SI ] IJSL U SSI S] SIJSS\ SI ] IJS ^ D où SI De même ] D où Si_ `a `b cde Xf ] _ désignent Y L cde _ des g hicxf réels ] quelconques _ Y L ] hic _ g cde Xf W _ Y L ] cde _ g hicxf W _ Y L ] hic_ Rappels de trigonométrie cde jko ] _ l L hic _ g hic jko ] _ l L cde _ g cde jko W _ l L hic _ g hic jko W _ l L ] cde _ cde Xa W by L cde a hicb W cde b hica g hicxa W by L hic a hicb ] cde a cde b cde [_ L [ cde _ hic _ g hic[_ L hico _ ] cde O _ Siope _ etope Q _[ R sont cde O _ LEm OXn ] hic [_ Y g hico _ LEm OXn W hic[_ Y ope Q _[ R cde _ L n [q W qo ` hic_ L n n ] W qo ` ope _ L n [q ] qo a etope b etope [_ en définis, on a aussi en posantq L Ces dernières formules seront démontrées en exercice et on pourra également établir les formules donnantope Xa W by deope deope _ en fonction fonction. 5

4 on appelle argu Arguments d un nombre non nul Définition Pour tout nombre complexei L _ W rs àt appartenant u, ment dei et on notev wxxi Y tout angley à[zf hicy L { _ défini près tel que _ O W s O ` cde y L { _ OsW so Il résulte alors des définitions }~ ~ ƒ de module ˆ Š et argument ƒ que } ~ tout ~ nombre ˆ Š complexe non nul s écrit Cette écriture est dite forme trigonométrique de. Proposition ƒ 1.ƒ } Ž A 3.ƒ 4.ƒ 5.ƒ š } } ƒ ƒ Ž ƒ š Ž œ ƒ ž } ƒ Ž et pour 6.ƒ Ÿ } ƒ Ž 7.ƒ š } ƒ ƒ š Ž PREUVE En notant } ƒ, š } ƒ š et } ƒ š, on a 2.ƒ 1.ƒ } Ž A } ~ ~ A 3.ƒ 4. }~ ~ ˆ Š }~ ~ ˆ Š } ƒ } Ž } ƒ Ž } Œ Ž A } Ž Ž ˆ } Œ Ž A }~ ~ A } Ž Ž } ˆ~ ~ ˆ 5. š } ~ } ~ ~~ š~ ~~ š~ š ˆ Š š Š Š š ˆ Š š } ~ š~ š ˆ Š š ˆ Š š Š š 6. Ÿ 7.ƒ ƒ š } š Ž } ƒ ƒ š Ž Et on en déduit immédiatement par récurrence sur ƒ ž } ƒ Ž } } Aƒ ƒ Ÿ } Œ Ž } ƒ Ÿ } ƒ Ž š } ƒ Ÿ E š } ƒ ƒ š Ž D où 6

5 ¹ ¹ ¹ et¹ Øsont et¹ ñ ñ Plan complexe Soit un plan affine réel rapporté à un repère orthonormé }T ª«ª ª. L application qui à tout complexe }A ˆ± ± E ² associe le point³ de de coordonnées ± dans est une bijection qui permet d identifier et. Le plan est alors appelé plan complexe. Si³ et sont associés par,³ } s appelle l image de et } ³ s appelle l affixe de³. On note³ pour signifier que³ est le point de d affixe. y M O Arg z µ ¹ µ º ¼ ½ ¾ ½ ºµÀ µ À º Â Á Ã Ä Å Ã ¹ Æ x º Ç ÈÉ ÄÀ Æ ÊËÌ Í On a et si Si on note Î àî le plan vectoriel associé muni de la base orthonorméeä Å Ã Ï Æ,l application à tout complexeà º ¼ ¾ Ô associe le vecteur¼ ¾ Ï Õ est une bijection qui permet d identifieró et Î. Pour tout Õ à Î À º Ð Ö Ä Õ Æ appartenant s appelle aussi l affixe de. Si¹ ÄÀ Æ et¹ ØÄÀØÆ sont deux points du planî à, on a les propriétés suivantes symétriques par rapport si et seulement sià Ø º À Ã Å Æ À àä Ã Ï Æ siàøº À Øsont symétriques par rapport si et seulement Øsont symétriques par rapport si et seulement Notation exponentielle Pour toutù ÚÛÜ ºAÝÞßÙ ¾ Ôßàá toutäùãùøæ â ã ½ réel, on note Ù. Cette notation est justifiée par les propriétés suivantes ÚÛÜ äúûüå ºæÄÝÞß Ù ¾ Ôßàá ÙÆÄÝÞß ÙØ¾ Ôßàá ÙØÆ 1 - Pour ºçÝÞßÄÙ Ù ÝÞßÙØ ¾ ßàá on a Ù ßàá ÙØ¾ ÔÄßàá Ù ÝÞß ÙØ¾ ßàá ÙØÝÞß ÙØÆ ¾ Ôßàá ÄÙ ¾ ÙØÆ º Ù Æ ÚÛèÜé Üåê On en déduit en particulier par récurrence pour toutë â ì íúûüîï º ÚÛïÜ -ð Ù â ã Ã ÚÛÜ º Â Á ÚÛÜ ÝÞß Ù ¾ Ôßàá º Ù ÝÞß½ ÝÞß Ù Ôßàá Ù ¾ ßàá½ÙÙ =ÝÞßÄ Ù Æ ¾ Ôßàá Ä Ù Æ º ÚÖÛÜ 2 ð ë â et ò Ã íúûüîï º = ÚÛïÜ Il en résulte Sous forme trigonométrique, ð ë â ò Ã ð Ù â ã Ã ÄÝÞßÙ ¾ Ôßàá cette formule est dite formule Ù Æï º ÝÞßëÙ ¾ Ôßàá de Moivre et ës écrit Ù Ù â ã Ã º ñ ó ô Ù â ËÌ ò Ù â ã Ã ÚÛÜ º 3 -ð À â Ó Ã µà µº ÚÖÛÜ 4 â Ó µ µà µ º º ÚÛÜ Ã 5 ñø Ù â ã ø ÐÒÑ Ó Î qui ñ ó ô õ Ù â ã µà º ÚÛÜ On note ö º À 7

6 ú ' Finalement tout nombre complexeù ù úeûù ûüýþ pourra s écrire avecÿ exponentielle d un nombre complexe qui n est qu une variante de la forme trigonométrique. De la notation exponentielle, on déduit également les formules d Euler ÿ ÿ ú üýþ ü ýþ ÿ ú üýþ ü ýþ ú ù. C est la notation Rappelons encore deux formules qui seront très utiles pour effectuer des calculs dans 1 - Sommation des termes consécutifs d une suite géométrique Pour tout, on a ú!" si ú # $ si ú% 2 - Formule du binôme de Newton Pour tout & ' et tout" ( ), on a & ' ú+* ", - & * " - & $ ' * " - & ' * " " - & ' $ * " - " ' ú Cette dernière formule se démontre par récurrence en utilisant la formule de Pascal Pour tous entiers" et/ tels que 0 / 0 " 1 * " / 1.2 Racines carrees d un nombre complexe Définitions - ú+* " / - 2* " / - * ". - & 8

7 9

8 v X Á ž u È Á Á È Application à la résolution de l équation du second degré dans Soit l équationb h t P v q u P q ˆ \ S avec b t T u T ˆ h i Š Š. La décomposition canonique du trinôme du second degré donne, puisquet \ S t P v q u P q ˆ \ S w x Œ P q u u v V t Ž X t ˆ t v \ S w x Œ P q u v V t Ž \ u v X t ˆ t v \u v X t ˆ est le discriminant du trinôme. Si désigne une des racines carrées de, on voit que les racines de b h sont données par P n \ X u q V t et P v \ X u X V t Si \ S, \ S et les deux racines sont confondues. La somme des racines est \ P n q P v \ X t, tandis que leur produit est \ P n P v \ u v X v t v \ u v X b u v X t ˆ t v h \ ˆ t. EXEMPLE Résoudre l équation b h r p v qb X r h p X X r \ S Le discriminant de cette équation est \ b X r h v q r b q r h \ q r dont les racines carrées (calculées par la méthode précédente) sont \ b V q r h. Les racines de b h sont alors données par P n \ X b X r h q b V q r h V r \ V q r T P v \ X b X r h X b V q r h V r \ U q r Applications trigonométriques 1 Développement deå Æ Ç È Ç ÉÊ È D après la formule de Moivre et la formule du binôme, on a Å Æ Ç È À Á Ç É Ê È ž Ë Å Æ Ç È À Á Ç É Ê È Ì ¹ Í Î Ë Å Æ Ç È Ì Ë Ç É Ê È Ì On obtient alors les développements de Å Æ Ç È et Ç ÉÊ È en identifiant parties réelles et imaginaires dans cette égalité. EXEMPLE Å Æ Ç º È À Á Ç É Ê º È = Ë Å Æ Ç È À Á Ç É Ê È Ì = Å Æ Ç È À º Å Æ Ç Ã È Ç É Ê È «º Å Æ Ç È Ç ÉÊ Ã È «Ç ÉÊ D où Å Æ Ç º È = Å Æ Ç È «º Å Æ Ç È Ç É Ê Ã È ž Ï Å Æ Ç È «º Å Æ Ç È Ç É Ê º È = º Å Æ Ç Ã È Ç É Ê È «Ç ÉÊ È žº Ç É Ê È «Ï Ç ÉÊ 2 Linéarisation deå Æ Ç Ð È Ç ÉÊ Ð È Å Æ Ç Ð È Ç É Ê Ñ È Ë Ò Ó Ì Ã On utilise la formule du binôme et les formules d Euler. EXEMPLE Å Æ Ç È = Ô Ë Ÿ Õ À Ÿ Õ Ì Ö = Ë Ÿ Õ À º Ÿ Õ À º Ÿ Õ À Ÿ Õ Ì = Ï Ë Å Æ Ç º È À º Å Æ Ç È Ì 10

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