Devoir de synthèse n 1 Classe : 4M2
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- Raymond Larivière
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1 Durée de l épreuve : 3H Devoir de synthèse n 1 Classe : 4M AFIF BEN ISMAIL Eercice n 1 Répondre par vrai ou fau (aucune justification n'est demandée) 1) Si une suite ( u n ) est divergente alors l'une au moins des suites ( u n ) ou ( n 1 ) divergente. ) Si z 3 + i alors z 010 R u + est 3) Un antidéplacement qui admet au moins un point fie est une symétrie orthogonale. 4) Si f est une fonction continue sur un intervalle [ a, b ] (a < b) et dérivable sur ] a, b [ telle que f( a) f( b) alors sa courbe représentative admet au moins une tangente horizontale Eercice n Soit θ un réel de l'intervalle 0,. On pose 3 f( z) z (cos θ + i) z + (1 + i cos θ) z i 1) a) Montrer que l'équation f( z ) 0 admet une solution imaginaire z 0 que l'on déterminera. b) Déduire alors les deu autres solutions de l'équation f( z ) 0 O, i, j ) Dans le plan complee rapporté à un repère orthonormé ( ) On considère les points A, B et C d'affies respectives i, e i θ et e a) Déterminer le réel θ 0 pour lequel le quadrilatère OABC est un parallélogramme. b) Vérifier que le parallélogramme ainsi obtenu est un losange. c) Déterminer et caractériser, dans ce cas, toutes les isométries qui transforment C en B et B en A. Eercice n 3 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct Soit D le point de P te que le triangle CDA soit rectangle et isocèle et CA, CD [ ] 1) Faites une figure que l'on complétera au fur et à mesure. i θ. Page : 1
2 ) Soit R A la rotation de centre A transformant B en C et R C la rotation de centre C et d'angle. On pose f R C or A a) Déterminer f( A) et f( B ). b) Démontrer que f est une rotation dont on précisera l'angle et le centre noté O. Placer O sur la figure. c) Quelle est la nature du quadrilatère ABOC. 3) On pose g fos ( BC). a) Déterminer g(a) et g(b). b) Montrer que g ne peut pas etre une symétrie orthogonale et déduire alors sa nature. 4) On note H le milieu de [ ] BC et H ' g( H ). a) Montrer que H ' est le milieu de [ OD ]. b) Donner la forme réduite de g. Eercice n 4 Soit f la fonction définie sur D ], ] [ 0, [ + par : f() + On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé(o,i, j). 1) Etudier la dérivabilité de f à gauche en - et à droite en 0. Interpréter les résultats trouvés. ) a) Calculer f '() pour tout réel de D \ {, 0} f '() < 0 pour < et f '() > 0 pour > 0 b) Dresser le tableau de variations de f. et vérifier que 3) Montrer que la droite d équation y 1 est une asymptote à (C) au voisinage de 4) Tracer et (C). 5) Soit (C') le symétrique de (C) par rapport au point I( 1, 0). a) Monter que pour tous points M(, y) et M '( ', y ') on a : ' M ' S I (M) y ' y b) Soit g la fonction qui admet pour représentation graphique la courbe (C'). Montrer que g est définie sur D par g( ) +. Page :
3 Solutions Solution de l'eercice 1 1) ) Fau Prenons u ( 1) n. On a : ( ) n u, elle converge vers 1 et ( ) n + u 1 elle converge vers 1 ) Vrai : n n 1 1 alors que la suite ( ) i ) Vrai : ( ) u est divergente. n i i(335 ) i e 3 + i e e 3) Vrai 4) ) Vrai. (Résultats de cours) Solution de l'eercice 1) a) Soit y un réel 3 ( ) ( θ ) ( ) ( θ ) ( ) 3 iy ( θ i) y ( i θ ) y i f( iy) 0 iy cos + i iy i cos iy i 0 + cos + + cos 0 3 ( θy θy) i ( y y y ) cos cos ( y ) y cosθ 1 0 y 1 3 y + y + y 1 0 Donc i est la solution imaginaire de l'équation. n , b) Puisque i est une solution de l'équation f( z ) 0 alors f(z) est factorisable par z i. Donc C, ( ) ( )( ) où a, b et c sont des nombres complees. z f z z i az + bz + c Après développement et identification des coefficients on trouve: a 1 a 1 b ia cosθ i c 1 c ib 1 + i cosθ b cos θ ic i c ib 1 + i cos θ vrai Donc z C f z z i z θ z +, ( ) ( )( cos 1) f z z i ou z θ z ( ) 0 cos ( i ) 4cos θ 4 4sin θ sinθ cosθ i sinθ i Donc les deu autres solutions sont: z ' cosθ i sinθ e θ cosθ + i sinθ i et z " cosθ + i sinθ e θ Page : 3
4 ) Aff( OB) Aff( OC) iθ e iθ e cos( θ) + isin( θ) R iθ e (car ] [ θ 0, sin( θ) 0) D'où les points O, A et B ne sont pas alignés pour tout réel Alors OABC est un parallélogramme O B A C θ 0,. iθ iθ e i + e iθ iθ 1 O B A C e e i i sinθ i sinθ Ce qui donne θ (car θ 0, 6 ) iθ c) OA i 1 et OC e 1 OA OC et en plus OABC est un parallélogramme donc OABC est un losange. d) OABC est un losange donc BC AB 0 et par suite il eiste un seul déplacement f et un seul antidéplacement g tq f( C) g( C) B et f( B) g( B) A. Détermination du déplacement f On a : CB BA ce qui prouve que f n'est pas une translation et par suite c'est une rotation. (les seuls déplacements sont les translations ou les rotations) Le centre de la rotation f est l'intersection des médiatrices des segments [ AB ] et [ BC ]. Et puisque f( B) A alors son angle θ est donné par: i i i 6 3 θ OB, OA arg arg e arg e [ ] i 3 6 e Détermination de l'antidéplacement g Un antidéplacement est une symétrie orthogonale ou une symétrie glissante. Supposons que g est une symétrie orthogonale d'ae D Puisque g( B) A et g( C) B alors la droite D est à la fois médiatrice de [ AB ] et médiatrice de [ ] BC donc ( AB) ( BC) ce qui est impossible. Donc g est une symétrie glissante. On note son ae et u son vecteur. g( B) A I A B ( IJ) g( C) B J B C g S ot t os gog t os os ot t Or gog( C) g( g( C)) g( B) A u u u u u Page : 4
5 Donc t ( C) A u ce qui donne u CA 1 ou encore u CA JI Solution de l'eercice 3 1) ) a) f( A) R ( R ( A)) R ( A) D car C A C f( B) R ( R ( B)) R ( C) C. b) RA( B) C A C C et ( AB, AC ) [ ] 4 CA CD et ( CA, CD ) [ ] donc R A est une rotation d'angle. 4 f est la composée de deu rotations dont la somme des angles k, pour tout k Z donc f est une rotation d'angle f( A) D et f( B) C donc son centre O est l'intersection des médiatrices des segments [ AD ] et [ BC ]. c) AB AC et OB OC donc (OA) est la médiatrice de [ BC ]. BAO AOC (alternes internes) (AB)//(OC) 8 BOA OAC (alternes internes) (OB)//(AC) 8 D'où OBAC est un parallélogramme, et puisque AB AC donc c'est un losange. 3) a) g( A) f( S( BC) ( A)) f( O) O (OBAC est un losange donc S ( ) ( BC) A O).. Page : 5
6 g( B) f( S ( B)) f( B) C. ( BC) b) Si g est une symétrie orthogonale alors son ae est à la fois médiatrice de [ OA ] qui est (BC) et médiatrice de [ BC ] qui est (OA) ce qui est impossible. g est la composée d'un déplacement et d'un antidéplacement donc c'est un antidéplacement. En plus g ne peut pas être une symétrie orthogonale, donc c'est une symétrie glissante. On note son ae et u son vecteur. 4) a) H B C A O car OBAC est un losange. g est une isométrie donc elle conserve le milieu d'un segment. Ce qui permet de dire que g( H) g( A) g( O) avec g( A) et ( BC) g( O) f( S ( O)) f( A) D d'où H ' O D. O b) g S ot t os u u g( A) O A O H g( O) D O D H ' ( HH ') H g( H) t ( H) H ' u HH '. Solution de l'eercice 4 1) u f() f( ) + + lim lim lim ( ) ( ) ( ) + lim 1 lim 1 ( ) ( ) ( + ) + + Donc f n est pas dérivable à gauche en. f() f( 0) + + lim lim lim 1 lim + 1 lim Donc f n est pas dérivable à gauche en. Interprétation graphique : La courbe (C) admet deu demi tangentes verticales au points d abscisses - et 0. ) a) Pour tout réel de D \ {, 0}, Pour <, + 1 < 1 < 0 donc f '() < 0. f '() Page : 6
7 Pour > 0 on a : ( + ) + ( + ) ( + ) f '() > b) ( ) ( ) f '() + f() lim f() lim + + 4) lim f() lim lim lim lim ) lim f() ( 1) lim f() lim ( 1) lim + ( + 1) ( ) lim 0 + ( + 1) Donc : y 1 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de. Page : 7
8 5) a) + ' 1 ' M ' S I (M) I M * M ' y + y ' y ' y 0 b) On a : S I ((C)) (C ') Soient M '( ', y ') et M(, y) tels que S I (M) M ' M ' (C ') M (C) D et y f() ' D et y ' f( ') ' et y ' ( ') + ( ') ( ') ' 0 ' 0 ' et y ' ' ' ' ' ' D et y ' ' ' ' Conclusion : M(, y) (C ') D et y + Page : 8
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