COURS 37 : La sphère et la boule. Activité géogébra + vidéos. Le segment [OA] est un rayon de la sphère, de la boule et des cercles.
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- Isabelle Denis
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1 CHAPITRE 9 : GEOMETRIE DANS L ESPACE COURS 37 : La sphère et la boule Activité géogébra + vidéos Définition La sphère de centre O et de rayon R est la surface constituée des points M de l espace tels que OM = R. Définition La boule de centre O et de rayon R est le solide constitué des points M de l espace tels que OM R. O est le centre de la sphère, de la boule et des cercles. Le segment [OA] est un rayon de la sphère, de la boule et des cercles. Le segment [AB] est un diamètre. Le point B 1 appartient à la sphère, à la boule et à un cercle de centre O passant par A. Les cercles sont appelés des GRANDS CERCLES de la sphère. Repérage dans un parallélépipède rectangle COURS 38 : Repérage dans l espace Repérage sur une sphère
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3 COURS 39 : Section d une sphère et d une boule Propriété La section d une sphère par un plan P est un cercle. C est le cercle de centre I et de rayon IM, IM OM, [OM] rayon de la sphère. Le triangle OIM est rectangle en I. Cas particuliers Le plan de section passe par le centre O de la sphère. La section est un grand cercle de la sphère. OI = 0 Le plan de section est tangent à la sphère. La section est donc réduite au seul point H. OI = R COURS 40 : Aire d une sphère. Volume d une boule.
4 Propriétés L aire d une sphère de rayon R est donnée par la formule : A = 4πR² Le volume V d une boule de rayon R est donné par la formule : V = 4 3 πr3
5 COURS 41 : Section d un parallélépipède rectangle par un plan Propriété La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un RECTANGLE de mêmes dimensions que cette face. Propriété La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un RECTANGLE dont l un des côtés a la même longueur que cette arête. COURS 42 : Section d un cylindre de révolution La section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l axe est un CERCLE centré sur l axe et de même rayon que le cylindre. La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à l axe est un RECTANGLE dont l un des côtés a la même longueur que la hauteur du cylindre.
6 COURS 43 : Section d une pyramide par un plan parallèle à la base La section d une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. On obtient une pyramide réduite et un tronc de pyramide. Si h et h sont les hauteurs respectives des deux pyramides (SABCD) et (SA B C D ) alors on a : h ' h SA' SA SB' SB SC' SC SD' SD A' B' AB B' C' C' D' BC CD D' A' DA Il y a proportionnalité des longueurs respectives des deux pyramides. COURS 44 : Section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base La section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. On obtient un cône réduit et un tronc de cône. Avec R et R les rayons respectifs des cônes de hauteurs [ SO ] et [ SO ] De même, on a : SO ' SA' R' SO SA R Il y a proportionnalité des longueurs respectives des deux cônes.
7 COURS 45 : Réduction d un cône, d une pyramide L agrandissement ou la réduction de rapport k d un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par ce nombre k. Une maquette réalisée à l échelle est la réduction de rapport 1 de l objet réel. 100 Une feuille de format A3 (29,742) est un agrandissement de rapport 2 d une feuille de format A4. Propriété : Dans un agrandissement, ou une réduction de rapport k : les aires sont multipliées par k², les volumes sont multipliés par k 3. Exemples : Deux feuilles de format A4 sont nécessaires pour recouvrir une feuille de format A3 (k= 2, k²=2). Huit petits cubes d arête a sont nécessaires pour remplir un cube d arête 2a (k=2, k 3 =8).
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Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
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