Oral 1 : Leçon 63 Transformée de Laplace. CAPES externe

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1 Oral : Leçon 63 Transformée de Lalace. CAPES externe. Subi Nicolas Année 2 Plan Définition. Définition Transformées usuelles Proriétés 3 2. Linéarité Théorème du retard Dérivation Intégration Utilisation des transformées de Lalace 6 3. Des équations différentielles ordinaires L étude d un circuit RLC Pour cette leçon, on se lace au niveau BTS. Le rogramme se borne à la transformation de Lalace des fonctions causales. Module : Analyse sectrale : Transformation de Lalace. Pré-requis : Intégrations : intégrales et rimitives. Notions sur les intégrales imrores. Définition. Définition Définition.. Une fonction f définie sur R est causale si our tout t strictement négatif, f(t est nulle. Définition.2. On aelle fonction échelon unité la fonction U définie sur R ar : { U(t = si t < U(t = si t

2 2 DÉFINITION Remarque Pour transformer une fonction g définie sur R en une fonction causale f renant les même valeurs sur R +, on la multilie ar la fonction échelon unité : f(t = U(tg(t our tout t R. exemles au tableau. Définition.3. Soit : f : R + R. t f(t une fonction causale. On aelle transformée de Lalace de f la fonction F de la variable comlexe définie ar : F ( = L(f(t = e t f(t F est la transformée de f tandis que f est aelée l original de F. Remarque On utilise généralement la transformée de Lalace our simlifier les calculs des équations différentielles. En effet, comme nous allons le voir dans la artie suivante, dériver une transformée revient à multilier ar, et intégrer revient à diviser ar, ce qui simlifie en effet significativement les calculs. La transformée de Lalace de f n existe que si l intégrale imrore e t f(t est convergente. En classe de BTS on se limite à R. Les conditions sur our que la transformée de Lalace existe ne sont as discutées..2 Transformées usuelles Les élèves n utilisent as en général la définition formelle de la transformée de Lalace, mais des tables de conversion utilisables directement our les calculs. Voici une table regrouant les rinciales transformées utiles our les calculs des BTS : fonction de t transformee (fonction de t 2 t n n! n+ e at t n e a at n! ( a n+ ( 2 +a 2 a ( 2 +a 2 cos(at sin(at Démonstration :. Par abus de notation, on notera les bornes d intégrations qui sont les limites à l infini ar +. Soit f(t =. On a : Soit f(t = t. On a, ar intégration ar arties : Ainsi, d arès le calcul récédent : Et donc, ar croissance comarée : F ( = F ( = [ e t e t = [ te t te t = F ( = [ te t ] + F ( = 2 ] + t= ] + t= t= + 2 = + e t Leçon 63 : Transformée de Lalace

3 3 2 PROPRIÉTÉS Soit f(t = t n. Effectuons une récurrence sur n. P n = f(t = t n, e t t n = n! n=. n+. d arès le calcul du oint récédent. Donc P vrai. Suosons que P n est vrai. Alors : f(t = t donc F ( = 2 f(t = t n+ donc F ( = Effectuons une intégration ar arties, on a : [ F ( = e t t n+ Ainsi, ar hyothèse de récurrence : La roriété est donc vraie our tout n N. Soit f(t = e kt. F ( = Soit f(t = cos(at. Utilisons la formule d Euler : On a donc ar linéarité : D où : Et on a donc : F ( = + n + e t e kt = ] t= + n + n! (n +! = n+ n+2 [ e ( kt e ( kt = ( k cos(at = eiat + e iat L(f( = 2 L(eiat ( + 2 L(e iat ( L(f( = 2 ia ia L(f( = 2 2 ( ia( + ia L(f( = 2 ( 2 + a 2 Si f(t = sin(at, le même tye de calcul que récédemment donne : L(f( = a ( 2 + a 2 e t t n+ e t t n ] + t= = ( k 2 Proriétés 2. Linéarité Proriété 2. La transformée de Lalace ossède la roriété de linéarité : Soit a, b R, et f, g fonctions réelles définies sur R +. L(af + bg = al(f + bl(g Démonstration : ar linéarité de l intégrale. On a donc bien : L(af + bg = e t (af + bg(t. = a e t f(t + b e t g(t L(af + bg = al(f + bl(g Leçon 63 : Transformée de Lalace

4 4 2 PROPRIÉTÉS 2.2 Théorème du retard Si l on considère un signal, ce théorème ermet de regarder le cas où le signal ne commence as à l instant t= mais à l instant t=k, k >. La fonction causale f est translatée. Théorème 2. (du retard. Soit k R. L(f(t k( = e k L(f( Démonstration : L(f(t k( = Avec le changement de variable t t k, on a : L(f(t k( = lim Et f fonction causale translatée de k, nulle sur [, k]. e t f(t k = lim ( k R R + ke (t+k f(t e t f(t k Donc : L(f(t k( = e t e k f(t = e k e t f(t L(f(t k( = e k L(f( Un théorème semblable est le théorème de changement d échelle qui lui fait intervenir une multilication. Théorème 2.2 (de changement d échelle. Soit k ], + [. L(f(kt( = k L(f ( k Démonstration : On utilise là aussi un changement de variable. L(f(kt( = e t f(tk = lim R e t f(tk y = kt, dy = k. On a : L(f(kt( Et donc : = lim L(f(kt( = k kr e y k f(y k dy e y ( k f(ydy = k L(f k 2.3 Dérivation Proriété 2.2 Soit f fonction réelle définie sur R +. Alors on a : où f( + = lim t,t> f(t. Plus généralement on a : L(f = L(f f( + L(f = 2 L(f f( + f ( + L(f (n = n L(f( n f( n 2 f (... f (n 2 f (n Leçon 63 : Transformée de Lalace

5 5 2 PROPRIÉTÉS Démonstration : La remière formule se démontre ar une intégration ar artie. En effet : On a donc bien : En aliquant cette formule à f on a : Et donc : L(f = e t f (t ( L(f = lim [e t f(t] R + L(f = f( + + R L(f = L(f f( + L(f = L(f f ( + e t f(t e t f(t L(f = ( L(f f( + f ( + = 2 L(f f( + f ( + Ces formules se généralisent aisément à f (3, f (3,, f (n. 2.4 Intégration Proriété 2.3 Soit f fonction réelle définie sur R +. Alors on a : L( t f(xdx = L(f( Démonstration : On a d arès la roriété de dérivation : L(f = L(f f( + Considérons F la rimitive de f nulle en, F (t = t f(xdx. On a F (t = f(t. Aliquons la formule récédent à F, on a : L(F = L(F F ( + = L(F et donc L(F = L(f. L(f = L(F Exercice. Trouver l original de : L(y = On a : Ainsi, d arès les tables : = ( + 2( + 3 = y(t = 2e 2t + e 3t Leçon 63 : Transformée de Lalace

6 6 3 UTILISATION DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE 3 Utilisation des transformées de Lalace 3. Des équations différentielles ordinaires Exercice. Résoudre l équation différentielle suivante : y = 3y 2y + e t avec y( =, y ( = Aliquons la transformée de Lalace à l équation. On a : D autre art : Ainsi l équation devient : En factorisant ar L(y on a : L(e t ( = L(y 3y + 2y = 2 L(y( y( y ( 3(L(y( y( + 2L(y( Il faut trouver L(y, on l isole donc et on a : Et donc : Finalement : 2 L(y( 3L(y( L(y( = L(y( = ( L(y( + 3 = L(y( = L(y( = ( ( 3( ( ( = ( 2 2 ( 2( ( L(y( = ( 2 ( 2 = ( 2 La transformée de Lalace de ces fractions s obtient simlement grâce aux tableaux de référence : 3.2 L étude d un circuit RLC On considère un circuit RLC série, comme suit : y(t = e t te t = e t ( t Leçon 63 : Transformée de Lalace

7 7 3 UTILISATION DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE On a que : i = C du. L équation de maille établit que la somme des différences de tension avant et arès chaque aareil du système est égale à la tension totale. Il y a une seule branche en série ici. L équation des mailles du circuit s écrit : E(t = u c + L di + R i où Ri corresond à la résistance, L di à la bobine, u c est la tension aux bornes du condensateur, E la force électromotrice du générateur en volt. On a donc : de(t Finalement on a : de(t Effectuons un exercice concernant ce circuit. Remarque = du + L d2 i 2 + R di = C i + L d2 i 2 + R di Pour cet exercice on va avoir besoin de la décroissance exonentielle d une onde sinusoidale, t e at cos(ωt dont la transformée est : + a ( + a 2 + ω 2 Cela vient de la roriété suivante : Proriété 3. L(e at f(t( = L(f( a Démonstration :? Et donc : L(e at f(t( = L(e at f(t( = e t e at f(t e ( at f(t = L(f( a Exercice. Dans un laboratoire, un technicien étudie l établissement d un courant d intensité i dans un circuit de tye RLC. i est une fonction à valeur réelle de la variable t définie comme suit : Si t < alors i(t = Si t alors 2 i (t + i (t + i(t = (t + U(t i( + = i ( + = U est la fonction échelon unité, définie ar : { U(t = si t < U(t = si t. Déterminer, à l aide de la variable réelle, la transformée de Lalace de la fonction t (t + U(t. 2. Exrimer, à l aide de la variable réelle et de la transformée de Lalace L(i de i, la transformée de Lalace de la fonction t 2 i (t + i (t + i(t. 3. En déduire, our >, L(i( en fonction de. 4. Monter que, our >, L(i s écrit sous la forme : L(i( = ( Déduire de ce qui récède l exression de i(t en fonction de t.. L(( + tu(t( = e t (t + = e t t + L(( + tu(t( = L(t( + L(( = 2 + e t Leçon 63 : Transformée de Lalace

8 8 3 UTILISATION DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE 2. Par linéarité : L( 2 i (t + i (t + i(t( = 2 L(i ( + L(i ( + L(i( En utilisant les roriétés de dérivation de la transformée de Lalace, et en considérant les conditions initiales du système, on obtient : On a donc : L( 2 i (t + i (t + i(t( = 2 ( 2 L(i( i( + i ( + + L(i( i( + + L(i( L( ( 2 i (t + i 2 ( (t + i(t( = L(i( D arès l équation et les deux questions récédentes on a : ( 2 ( L(i( = Donc : ( 2 L(i( = L(i( = et car >. Simlifions finalement en multiliant en haut et en bas ar 22, cela donne : En déveloant : 5. On a donc : L(i( = ( = ( ( (( ( = = L(i( L(i( = ( En utilisant les tables des transformées de Lalace on en déduit donc que : Remarque i(t = t + e t cos(t Plus difficile mais envisageable, signal sinusoïdal : E(t = U o cos(ωt. Leçon 63 : Transformée de Lalace