ANNEXE I TRANSFORMEE DE LAPLACE

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1 ANNEE I TRANSFORMEE DE LAPLACE Perre-Smon Lalace, mahémacen franças Lalace enra à l unversé de Caen a 6 ans. Très ve l s néressa aux mahémaques e fu remarqué ar d Alember. En analyse, l nrodus la foncon oenelle e les coeffcens de Lalace. Il ravalla égalemen beaucou sur les équaons aux dfférences e sur les équaons dfférenelles. Conraremen aux aarences, l ulsaon de la ransformée de Lalace our la résoluon d équaons dfférenelles n es as due à Lalace, mas à Heavsde. Olver Heavsde, élecrcen anglas Largemen auoddace l qua l école à 6 ans, Heavsde devn élégrahse e s néressa à l élecrcé. Il éuda le raé sur l élecrcé e le magnésme de Maxwell, e en smlfa foremen les équaons. Enre 88 e 887 l déveloa le calcul oéraonnel, subsuan à d/d our la résoluon des équaons dfférenelles résulan de l analyse des crcus élecrques. Cee echnque causa une grande conroverse, en rason de son manque de rgueur mahémaque. Elle ne fu rouvée ar la ransformée de Lalace que ans lus ard. I. Défnon So f une foncon du ems. Sa ransformée de Lalace unlaérale F es défne ar : [ ] f F fex d I. où es la varable comlexe. On défn égalemen arfos la ransformée de Lalace blaérale ar : f ex d es en fa une noaon our lm f ex d. Ce chox arculer our la borne d négraon nféreure erme de rendre correcemen en come les foncons dsconnués en e les dsrbuons d, d, ec.. La foncon F n es as défne dans ou le lan comlexe : elle n exse que dans une régon de convergence. Nous ne nous en occuerons as ro c.

2 TRANSFORMEE DE LAPLACE [ ] I f fex d I. Dans ce cours de Théore des Crcus, nous ulserons sysémaquemen la remère. Elle nous ermera en effe de fare aaraîre, dans les ransformées, les condons nales de nos crcus grâce à I.4. Noons ceendan que, our les foncons causales, qu seron majoraremen ulsées dans ce cours, les deux ransformées son denques. Les roréés de ces deux ransformées son essenellemen les mêmes vor c-dessous. Pour nous raeler que les foncons éudées c son causales, nous les noerons sysémaquemen sous la forme fε, où ε es la foncon échelon Fg. I.. f fε a b Fg. I. a. foncon non-causale b. foncon causale. I. Les sgnaux usuels 4 e leurs ransformées La Table I. donne la ransformée de Lalace des sgnaux les lus courans. On les démonrera à re d exercce. Exemle I. [ δ ] L δ e d I [ ε ] e d e a a a ε a L I e e e d e a Une foncon es de causale s elle es denquemen nulle our <. 4 On ourra même les aeler «sgnaux naurels», usque, comme on le monre au chare consacré à l éude des sysèmes lnéares, l aaron de hénomènes oscllaores amors e σ es une roréé nrnsèque des sysèmes lnéares. La foncon e x ne s aelle as exonenelle naurelle our ren j e

3 TRANSFORMEE DE LAPLACE j j e e [ cos ε ] ε j j L I e L j j σ j σ j j avec σ j σ σj σ j σ e e sn ε I ε L allure de chaque sgnal es esqussée à la Table I.. Il es ar conre lus dffcle d esqusser les ransformées : F es défn sur le lan comlexe 5 e es elle même comlexe en général. Une «esqusse» de F corresond donc en rnce à deux grahes en D, our le module e l argumen de F resecvemen. On réfère donc en général esqusser F à ravers ses sngularés, qu son les endros du lan comlexe où F end vers ou vers l nfn. Ces ons son resecvemen aelés zéros e ôles de F vor l exemle c-dessous. Exemle I. On eu affcher faclemen le module e l argumen d une ransformée de Lalace, en ulsan Malab Fg. I.: x[-.:.:]; y[-:.:]; x'*onesszey'j*y'*onesszex; N[ ]; % zero en - D[.5]; % oles en.5±.5j modabsolyvaln,./olyvald,; argangleolyvaln,./olyvald,; meshx,y,*logmod fgure meshx,y,arg j - s - a c b Fg. I. Affchage d une ransformée de Lalace ayan un zéro en - e deux ôles comlexes conjugués en -.5±.5j. a : module ; b : argumen ; c : esqusse D des ôles e zéros 5 Plus récsémen, dans la régon du lan comlexe où elle converge.

4 4 TRANSFORMEE DE LAPLACE f F δ N ôle n zéro ε ε Im x Re ε Im ² Re x e a ε ex-aε -/a a -a Im Re e a ε a -a Im Re sn ε Im Re cosε cos ε π/ Im Re cos ε ² Im Re σ e sn ε snex-σε -/σ π/ σ σ< σ Im Re

5 TRANSFORMEE DE LAPLACE 5 σ e cos θ ε σ σ σ< θ arcan σ θ Im Re r σ e cos θ ε α σ θ arcan r e b a a α σ e b ε α σ σ< σ σ> a b a b Ke K e ε α α a σ K b a σ> α a b r θ σ α -b - α -b -a -a Im Re Im Re Im Re Table I. Transformée de Lalace des sgnaux usuels avec ab,, σ, θ,, R I. Proréés fondamenales Il es facle de démonrer les roréés suvanes : [ ] L af bg af bg lnéaré I. I df F f d dérvée I.4 F f d négrale I.5 [ τ ] τ f e F reard emorel I.6 σ L I e f F σ ranslaon de la ransformée I.7 [ ] L f* g F G convoluon I.8 I lm F lm f héorème de la valeur nale à condon que ces lmes exsen I.9

6 6 TRANSFORMEE DE LAPLACE lm F lm f héorème de la valeur fnale I. à condon que ces lmes exsen F f kt ε kt T k e érodfcaon I. Exemle I. ar ares df df e d f e f e d F d d f τ τ I [ f* g ] f τ g τ dτ e d f τ e dτ g τ e d τ F G NB : On consae que cee roréé n es vrae srco sensu que our la ransformée de Lalace blaérale L II, vu les bornes d négraon ulsées c-dessus. Elle rese donc égalemen vrae en ransformée de Lalace unlaérale à condon que les foncons soen causales.. df lm F f lm e d f f f f d. df lm F f lm e d f f f f d Ces deux roréés son rès moranes en raque : elle ermeen de vérfer, dans une cerane mesure, l exacude d une ransformée F arès calcul, s on connaî ar alleurs les valeurs lmes de f. kt T k F f kt ε kt e F F e e I.4 Transformée nverse La ransformée de Lalace nverse unlaérale f d une foncon F es défne ar : I [ ] L F f F ex d π j I. où le chemn d négraon eu êre chos quelconque dans le lan comlexe à condon de reser dans le domane de convergence de F. En raque, comme les ransformées F de la luar des sgnaux usuels son des fracons raonnelles N/D, l suff de les décomoser en fracons smles e d ulser la roréé de lnéaré de la ransformée de Lalace. Le déveloemen qu su es la base du calcul oéraonnel e ore le nom de déveloemen d Heavsde. I.4. Pôles smles T

7 TRANSFORMEE DE LAPLACE 7 On suose our commencer que d N<d D e que les ôles de F c es-à-dre les zéros de D son smles: N F... m avec j s j I. On eu alors oujours écrre : A A Am F... avec A F m I.4 Les coeffcens comlexes On en dédu : m P m A son aelés les résdus de leurs ôles resecfs. f Ae A e... A e ε I.5 Exemle I.4 Exemle I.5 F f e e ε F 4 j j A A j j j j j j4 4 * avec A A j * j ε j Ae ε f Ae A e R R Acos I Asn ε cos sn ε j Ce résula concorde ou à fa avec les ransformées de sn e cos de la Table. I.4. Pôles doubles Suosons manenan qu'on a oujours d N<d D, mas que F ossède des ôles doubles 6 : 6 Nous ne consdérerons as c le cas des ôles de mullcé suéreure à deux, eu ule à l ngéneur.

8 8 TRANSFORMEE DE LAPLACE N F I.6 On eu alors oujours écrre : n n A A F avec A F d F A d I.7 On en dédu que la conrbuon des fracons smles dues aux ôles doubles son : f A e A e ε I.8 Exemle I e e f F ε I.4. Fracon raonnelle quelconque Dans le cas le lus général, l se eu que l'on a non seulemen des ôles mulles, mas égalemen que le d N d D. Il suff alors de commencer ar rocéder à la dvson du olynôme N ar D : d R d avec D R Q D R D Q F < I.9 L'nverson de la fracon raonnelle en R se fa comme récédemmen, e l'nverson de Q donne : ' q q q f q q q F k k k k δ δ δ I. La résence du olynôme Q nfluence donc unquemen le comoremen de f auour de. Exemle I.7 ' 4 e e f F ε δ δ I.4.4 Concluson

9 TRANSFORMEE DE LAPLACE 9 On consae que le len enre une ransformée de Lalace e le sgnal corresondan es beaucou lus smle qu'l n'y araî à remère vue. En effe : Ms à ar les zéros en, qu fon aaraîre des mulsons de Drac e leurs dérvées, le ye des comosanes résenes dans le sgnal es déermné unquemen ar les ôles. Chaque ôle corresond en général à une exonenelle magnare amore de ulsaon égale à sa are magnare e d'amorssemen égal à sa are réelle qu do êre négave our corresonde à un amorssemen; dans le cas conrare, le sgnal es amlfé au cours du ems. En arculer : Pôle en : erme consan Pôles magnares urs oujours ar are : csoïde non amore, de ulsaon déermnée ar la oson des ôles sur l'axe magnare Pôles comlexes conjugués oujours ar are : csoïde amore, de ulsaon déermnée ar la are magnare des ôles, e d'amorssemen déermné ar leur are réelle Pôle réel : exonenelle décrossane d'amorssemen déermné ar la oson du ôle sur l'axe réel Un ôle double corresond à une mullcaon des foncons c-dessus ar. Les zéros dans le lan comlexe ne fon que modfer le résdu de ces ôles, e agssen donc unquemen sur l'amlude e la hase nale des comosanes lées aux ôles. Exercces Exercce I. On demande de calculer la ransformée de Lalace du sgnal suvan, e de vérfer les héorèmes de la valeur fnale e nale : f Soluon F Exercce I. On demande de calculer la ransformée de Lalace du sgnal suvan, e de vérfer les héorèmes de la valeur fnale e nale :

10 TRANSFORMEE DE LAPLACE f 8 Soluon F Exercce I. e 8 On demande de calculer la ransformée de Lalace de l'onde carrée érodque suvane, e de vérfer le héorème de la valeur nale : f Soluon f eu claremen êre obenu à arr d'une seule érode f, que l'on addonne à ellemême une nfné de fos, en la reardan à chaque fos de T. Il ven donc : F T e T e Exercce I.4 On demande de calculer la ransformée de Lalace du sgnal suvan, e de vérfer le héorème de la valeur nale :

11 TRANSFORMEE DE LAPLACE f Soluon f eu claremen êre obenu à arr d'une seule érode f, que l'on addonne à ellemême une nfné de fos, en la reardan à chaque fos de T5s. Il ven : F Exercce I e 5e e 4 5 On demande de calculer e d'esqusser la ransformée de Lalace nverse de la foncon suvane, e de vérfer les héorèmes des valeurs nales e fnales : F 5 e Soluon Exercce I.6 f e 5. 5 ε 5.9 ε 5.9 ε 5 On demande de calculer e d'esqusser la ransformée de Lalace nverse de la foncon suvane, e de vérfer les héorèmes des valeurs nales e fnales : F Soluon Exercce I f e e 4 δ ε 8 ε On demande de calculer e d esqusser la ransformée de Lalace nverse de la foncon suvane, e de vérfer les héorèmes des valeurs nales e fnales : F Soluon f δ. e.6 cos. ε NB : le héorème de la valeur fnale es nalcable c. Exercce I.8

12 TRANSFORMEE DE LAPLACE On demande de calculer e d esqusser la ransformée de Lalace nverse de la foncon suvane, e de vérfer les héorèmes des valeurs nales e fnales : F Soluon Exercce I π f e e 6 cos ε NB : le héorème de la valeur fnale es nalcable c. NB : F ossède des ôles à gauche de l axe magnare, donc f n es as bornée. Avec l ade de Malab foncons roos e resdue, rouver la ransformée de Lalace nverse de la foncon suvane : F Soluon 9.497E E E E E f 965.e cos5.5 7.e cos ε