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1 N o -00-XIF au caalogue echnques d'enquêe 005

2 Commen obenr d aures rensegnemens oue demande de rensegnemens au suje du présen produ ou au suje de sasques ou de serces connexes do êre adressée à : Dson des méhodes d enquêes auprès des enreprses Sasque Canada Oawa Onaro KA 06 (éléphone : Pour obenr des rensegnemens sur l ensemble des données de Sasque Canada qu son dsponbles eullez composer l un des numéros sans fras suans. Vous pouez égalemen communquer aec nous par courrel ou ser nore se Web. Serce naonal de rensegnemens Serce naonal d apparels de élécommuncaons pour les malenendans Rensegnemens concernan le Programme des serces de dépô élécopeur pour le Programme des serces de dépô Rensegnemens par courrel Se Web Rensegnemens pour accéder au produ e produ n o -00-XIF au caalogue es dsponble grauemen. Pour obenr un exemplare l suff de ser nore se Web à e de chosr la rubrque Nos produs e serces. Normes de serce à la clenèle Sasque Canada s engage à fournr à ses clens des serces rapdes fables e couros e ce dans la langue offcelle de leur chox. À ce égard nore organsme s es doé de normes de serce à la clenèle qu doen êre obserées par les emploés lorsqu ls offren des serces à la clenèle. Pour obenr une cope de ces normes de serce eullez communquer aec Sasque Canada au numéro sans fras es normes de serce son auss publées dans le se sous À propos de Sasque Canada > Offrr des serces aux Canadens.

3 Sasque Canada Dson des méhodes d enquêes auprès des enreprses echnques d'enquêe 005 Publcaon auorsée par le mnsre responsable de Sasque Canada Mnsre de l Indusre 005 ous dros réserés. e conenu de la présene publcaon peu êre reprodu en ou ou en pare e par quelque moen que ce so sans aure permsson de Sasque Canada sous résere que la reproducon so effecuée unquemen à des fns d éude prée de recherche de crque de compe rendu ou en ue d en préparer un résumé desné aux journaux e/ou à des fns non commercales. Sasque Canada do êre cé comme su : Source (ou «Adapé de» s l a leu : Sasque Canada nom du produ numéro au caalogue olume e numéro pérode de référence e page(s. Auremen l es nerd de reprodure quelque conenu de la présene publcaon ou de l emmagasner dans un ssème de recouremen ou de le ransmere sous quelque forme e par quelque moen que ce so reproducon élecronque mécanque phoographque pour quelque fn que ce so sans l auorsaon écre préalable des Serces d ocro de lcences Dson du markeng Sasque Canada Oawa Onaro Canada KA 06. Noembre 005 N o -00-XIF au caalogue ISSN Pérodcé : semesrel Oawa hs publcaon s aalable n Englsh upon reques (caalogue no. -00-XIE Noe de reconnassance e succès du ssème sasque du Canada repose sur un parenara ben éabl enre Sasque Canada e la populaon les enreprses les admnsraons canadennes e les aures organsmes. Sans cee collaboraon e cee bonne oloné l sera mpossble de produre des sasques précses e acuelles.

4 4 Vol. 9 N o pp Sasque Canada N o -00 au caalogue echnques d enquêe jun 003 Esmaon du aux de chômage fondée sur un modèle pour l Enquêe sur la populaon ace du Canada : Une approche baésenne hérarchque Yong You J.N.K. Rao e Jack Gambno Résumé Enquêe sur la populaon ace (EPA du Canada perme de produre des esmaons mensuelles dreces du aux de chômage aux neaux naonal e proncal. e programme de l EPA dffuse auss des esmaons du chômage pour des régons nfraproncales comme les régons méropolanes de recensemen (RMR e les aggloméraons de recensemen (AR. Cependan pour ceranes de ces régons nfraproncales les esmaons dreces ne son pas rès fables parce que la alle de l échanllon es assez pee. Nous ulsons c un modèle ransersal e chronologque permean d empruner de l nformaon recuelle pour derses régons e pérodes de référence afn de produre des esmaons du aux de chômage fondées sur un modèle au neau de la RMR ou de l AR. Ce modèle es une généralsaon d un modèle ransersal d usage rès répandu pour l esmaon régonale qu nclu un modèle de marche aléaore ou modèle AR ( pour la composane emporelle aléaore. Nous ulsons les données mensuelles sur les bénéfcares de l assurance-emplo (a.-e. au neau de la RMR ou de l AR comme coarables auxlares dans le modèle. Nous suons une approche hérarchque baésenne (HB e ulsons l échanllonneur de Gbbs pour générer des échanllons à parr de la lo conjone a poseror. Nous obenons les esmaeurs Rao-Blackwellsés pour les moennes e les arances a poseror des aux de chômage au neau de la RMR/AR. a méhode HB lsse les esmaons d enquêe e rédu consdérablemen les erreurs-pes. Nous éudons auss l ajusemen du modèle baésen en nous fondan sur les los prédces a poseror. Mos clés : Échanllonnage de Gbbs; méhode hérarchque baésenne; Enquêe sur la populaon ace; esmaon régonale; aux de chômage.. Inroducon On consdère en général le aux de chômage comme un ndcaeur mporan des résulas économques. Au Canada les esmaons proncales e naonales son celles qu néressen le plus les médas mas les esmaons nfraproncales son égalemen rès mporanes. e programme de l assurance-emplo (a.-e. les ulse pour éablr les règles à applquer pour admnsrer le programme. En oure les aux de chômage au neau de la régon méropolane de recensemen (RMR c es-à-dre les lles de plus de habans e de l aggloméraon de recensemen (AR c es-à-dre les aures cenres urbans son examnés de près au neau local. Cependan pour nombre d AR la alle de l échanllon n es pas suffsane pour produre des esmaons dreces adéquaes. Nore objecf c es d obenr des esmaeurs fondés sur un modèle donnan de melleurs résulas que l esmaeur drec qu es basé unquemen sur l échanllon obenu pour une RMR ou une AR parculère pour un mos donné. Par souc de commodé comme les RMR son égalemen des AR dans la sue de l exposé AR s enendra des AR ans que des RMR. Au Canada les aux de chômage son produs par le programme de l Enquêe sur la populaon ace (EPA. Cee dernère es une enquêe mensuelle réalsée auprès de ménages séleconnés conformémen à un plan d échanllonnage srafé à pluseurs degrés. Chaque mos un sxème de l échanllon es remplacé. Donc cnq sxèmes de l échanllon son communs à deux mos consécufs. Ce cheauchemen d échanllons crée des corrélaons qu on peu exploer pour produre de melleures esmaons au moen de oue méhode qu s appue sur les données accumulées au fl du emps. Pour une descrpon déallée du plan d échanllonnage de l EPA consuler Gambno Sngh Dufour Kenned e ndeer (998. Habuellemen les esmaeurs régonaux son renforcés par emprun de données recuelles pour des pees régons smlares à une pérode donnée ou pour une même régon au fl du emps mas non les deux. Ces dernères années pluseurs méhodes on éé déeloppées en ue d empruner smulanémen des données de renfor ransersales (dmenson spaale e longudnales (dmenson emporelle. es esmaeurs fondés sur la méhode mse au pon par Rao e Yu (994 comme ceux décrs dans Ghosh Nanga e Km (996 dans Daa ahr Ma e u (999 e dans le présen arcle permeen d exploer les deux dmensons smulanémen pour produre des esmaons amélorées aan des propréés souhaables pour les pees régons. Daa e coll. (999 on applqué leur modèle à de longues séres chronologques ( 48 mos sur l ensemble des pees régons proenan de la U.S. Curren Populaon Sure. Ic nous applquons un modèle comparable à l EPA du Canada mas conraremen à Daa e coll. (999 nous ulsons de coures séres chronologques sur l ensemble. Yong You Jack Gambno Dson des méhodes d enquêes auprès des ménages Sasque Canada Oawa (Onaro Canada KA 06; J.N.K. Rao School of Mahemacs and Sascs Carleon Uners Oawa (Onaro Canada KS 5B6.

5 You Rao e Gambno : Esmaon du aux de chômage fondée sur un modèle pour l Enquêe sur la populaon ace 5 des pees régons. Par conséquen nore modèle ne conen aucun paramère sasonner ce qu rédu consdérablemen le nombre de paramères qu l fau esmer; des précsons sur la modélsaon e l analse fguren aux secons e 4. Malgré cee smplfcaon nous obenons un ajusemen adéqua du modèle e une réducon mporane des coeffcens de araon(c.. des esmaeurs régonaux du aux de chômage. a réducon des c.. en en pare à nore méhode de calcul des marces des coarances qu s appue sur des c.. lssés e des corrélaons aec décalage pour obenr des esmaons lssées des marces des coarances d échanllonnage pour les esmaeurs drecs d après l EPA. À la secon nous présenons le modèle qu s appue sur des données emprunées aux derses pees régons e aux derses pérodes de référence. À la secon 3 nous plaçons le modèle dans un cadre hérarchque baésen (HB. Nous décrons l ulsaon de l échanllonnage de Gbbs pour générer des échanllons à parr de la lo conjone a poseror e nous obenons les esmaeurs HB correspondans. À la secon 4 nous applquons la méhode HB aux données de l EPA pour produre les aux de chômage au neau du AR. Plus spécfquemen les sous-secons 4. e 4.3 décren le chox du modèle e l analse de l ajusemen de ce derner. a sous-secon 4.4 donne les esmaons fondées sur le modèle pour les aux de chômage par pee régon (AR e les comparasons des c.. Enfn à la secon 5 nous formulons ceranes conclusons.. Modèles ransersaux e chronologques So l esmaon drece d après l EPA de le aux de chômage réel de la ème AR (pee régon au emps pour... m... où m représene le nombre oal d AR e la pérode (courane d nérê. Nous supposons que + e... m... ( où les e son les erreurs d échanllonnage. So (... (... e e ( e... e. Alors e es un eceur d erreurs d échanllonnage pour la ème AR. Dans le plan d échanllonnage de l EPA les AR son raées comme des sraes. Donc les eceurs d échanllonnage e ne son pas corrélés enre régons (AR. Éan donné le processus de renouellemen de l échanllon de l EPA l exse dans chaque régon un cheauchemen mporan d échanllons sur de brèes pérodes. Par conséquen nous deons enr compe de la corrélaon enre e e e s ( s. On suppose habuellemen que e su une lo normale mularée don le eceur des moennes es nul e la marce des coarance es Σ c es-à-dre e N(0 Σ. En ulsan ( nous obenons ~ ~ N( Σ... m. ( Donc es sans bas par rappor au plan d échanllonnage pour. Dans le modèle ( nous supposons que la marce des arances-coarances Σ es connue. Émere l hpohèse que la lo es normale e que Σ es connue dans le modèle ( es la praque courane pour l esmaon régonale fondée sur un modèle (or par exemple Fa e Herro 979; Ghosh e Rao 994; Daa e coll. 999; Rao 999. Dans le présen arcle nous suons la méhode classque e raons Σ comme s elle éa connue. a spécfcaon de Σ pourra êre dffcle en praque. Nous ulsons un esmaeur lssé de Σ dans le modèle pus nous le raons comme s l s agssa de la rae Σ. Des rensegnemens plus déallés sur la consrucon de l esmaeur lssé de Σ dans le conexe de l EPA fguren à la secon 4. Pfeffermann Feder e Sgnorell (998 on proposé une méhode smple d esmaon des auo-corrélaons des erreurs d échanllonnage pour les plans de sondage aec renouellemen de panel comme celu de l EPA du Canada. Il sera ule d éuder la fasablé de cee méhode dans nore conexe. Pour rer par des données proenan des derses pees régons e des derses pérodes de référence nous modélsons le aux de chômage réel au moen d un modèle de régresson lnéare à effes aléaores en nous seran des arables auxlares x. Nous supposons que x β + + u... m... (3 où x (... x xp es le eceur des données auxlares au neau de la régon pour la ème AR au emps ; β es un eceur des paramères de régresson de longueur p; es un effe aléaore régonal aec ~ d N(0 ; u es une composane emporelle aléaore. Pour une régon donnée Daa e coll. (999 supposen que u su un processus de marche aléaore au cours de la pérode... auremen d u u +... m... (4 où ~ N(0. Alors co( u us mn( s. oure nous supposons que { } { } e { e } son muuellemen ndépendans. e paramère de régresson β e les composanes de la arance e son nconnus dans le modèle. Rao e Yu (994 on ulsé un modèle auorégressf AR( pour u c es-à-dre u ρu + e ρ <. Daa e coll. (999 on négrés dans leur analse des effes mensuels e annuels en an qu effes sasonners pour dans (3 au moen d une longue sére chronologque ( 48 mos. Dans nore modélsaon nous aons l nenon d éuder les effes de l emprun de données aux derses régons e pérodes de référence à l ade de données proenan de séres chronologques coures pluô que longues. En parculer éan donné le ccle de renouellemen de sx mos du plan d échanllonnage de l EPA au Canada nous n ulsons que sx mos de données pour le lssage; or la secon 4 pour des précsons. Donc le En Sasque Canada N o -00 au caalogue

6 6 modèle de len (3 es plus smple que celu de Daa e coll. (999. Cee smplfcaon rédu rasemblablemen l nsablé de la marce lssées des coarances Σ. S nous arrangeons les données { } sous forme de eceur (... m où (... nous pouons écrre les modèles ( (3 e (4 sous la forme marcelle suane X β + + u + e... m (5 où X ( x... x u ( u... u e es un eceur de de longueur. e modèle (5 es un cas spécal d un modèle lnéare général à effes mxes. Il éend auss le modèle ben connu de Fa-Herro (Fa e Herro 979 en emprunan des données aux derses régons e aux derses pérodes. Aux fns de comparason nous consdérons auss dans l analse le modèle de Fa-Herro pour des pons dans le emps.... e modèle au pon es donné par e + e... m (6 x β +... m (7 où les erreurs d échanllonnage e ~ nd N(0 e les effes aléaores régonaux ~ d N(0 pour chaque pon e son ndépendans de. Nous supposons que les arances d échanllonnage son connues (esmaons lssées e que es nconnue. e modèle de Fa- Herro combne les données ransersales à chaque pérode pour esmer mas n emprune pas de données aux pérodes passées. Nous cherchons à obenr un esmaeur fondé sur un modèle de noammen pour la pérode courane. Daa ahr e Ma (00 e You (999 on obenu des esmaeurs à deux degrés pour e des approxmaons de l EQM pour les esmaeurs par la méhode emprque du melleur prédceur lnéare sans bas (MPSB. Ic nous éudons à la fos des modèles AR( e de marche aléaore sur les u dans le cas d une approche enèremen HB ulsan la méhode d échanllonnage de Gbbs. 3. Analse hérarchque baésenne À la présene secon nous applquons la méhode hérarchque baésenne au modèle ransersal e chronologque donné par ( (3 e (4 e au modèle de Fa-Herro donné par (6 e (7. Nous obenons les esmaons de la moenne e de la arance a poseror des moennes régonales par la méhode d échanllonnage de Gbbs. 3. e modèle hérarchque baésen Nous présenons manenan le modèle ransersal e chronologque dans un cadre hérarchque baésen comme su : Sous la condon du paramère (... ] ~ nd N( Σ ; [ Sous la condon des paramères β u e [ β u ] ~ nd N( x β + ρu ; Sous la condon des paramères u e [ u u ] ~ nd N( ρu ; Margnalemen β e son muuellemen ndépendans les los a pror éan données par β ~ IG( a b e ~ IG ( a b où IG représene une lo gamma nersée e a b a b représenen les consanes poses connues qu son généralemen fxées à une aleur rès fable pour refléer les connassances agues au suje de e. Pour le modèle de marche aléaore nous prenons ρ e pour le modèle AR( ρ < e nous supposons que ρ es connu. Nous cherchons à esmer e en parculer le aux couran de chômage. Dans l analse HB on esme au moen de sa moenne a poseror E( e on mesure l ncerude lée à l esmaeur par la arance a poseror V (. Nous ulsons l échanllonnage de Gbbs (Gelfand e Smh 990; Gelman e Rubn 99 pour obenr la moenne e la arance a poseror de. Parellemen nous pouons exprmer le modèle de Fa-Herro (6 (7 comme su : Sous la condon des paramères [ ] ~ nd N( ; Sous la condon des paramères β e [ β ] ~ nd N( x β ; Margnalemen β e son muuellemen ndépendans les los a pror éan données par β ~ IG( a b. echnques d enquêe jun Méhode d échanllonnage de Gbbs a méhode d échanllonnage de Gbbs es une méhode érae de Mone Carlo par chaîne de Marko ulsée pour smuler le rage d échanllons à parr d une dsrbuon conjone de arables aléaores en procédan à un échanllonnage à parr de densés de probablé à pe nombre de dmensons e pour fare des nférences au suje des los conjones e margnales (Gelfand e Smh 990. Cee méhode es surou applquée à l nférence dans un cadre baésen où l on s néresse à la lo a poseror des paramères. Supposons que la densé condonnelle de es f ( pour... n e que l nformaon a pror sur (... k es résumée par la densé a pror π (. So π ( la densé a poseror de connassan les données (... n. En praque l pourra êre dffcle de rer drecemen des échanllons à parr de π ( éan donné la fore négraon dmensonnelle en Sasque Canada N o -00 au caalogue

7 You Rao e Gambno : Esmaon du aux de chômage fondée sur un modèle pour l Enquêe sur la populaon ace 7 ce qu concerne. Cependan on peu ulser l échanllonneur de Gbbs pour consrure une chaîne de Marko ( g ( g ( g { (... k } aec π ( comme lo lme. À re d llusraon posons que (. À parr d un ( 0 (0 (0 ensemble nal de aleurs ( nous ( g ( g ( g ( g générons ( en échanllonnan à ( g ( g ( g parr de π ( e à parr de π (. ( g ( g ( g Sous ceranes condons de régularé ( conerge en lo ers π ( à mesure que g. S la aleur de g es grande on peu fonder des nférences margnales au suje de π ( sur les échanllons ( g margnaux { + k ; k...}. Pour les modèles hérarchques baésens décrs à la secon 3. nous deons pour applquer l échanllonneur de Gbbs générer des échanllons à parr des los condonnelles complèes des paramères β e u e. Nous donnons ces los condonnelles à l annexe A.. oues les los condonnelles complèes présenées en annexe son des los normales pes ou des los Gamma nersées qu on peu échanllonner faclemen. 3.3 Esmaon a poseror Pour applquer l échanllonnage de Gbbs nous suons les recommandaons de Gelman e Rubn (99 e exécuons ndépendammen ( > chaînes parallèles chacune de longueur d. Nous supprmons les d premères éraons de chaque chaîne après quo nous reenons oues les éraons subséquenes pour calculer les moennes e les arances a poseror ans que pour sureller la conergence de l échanllonneur de Gbbs. Nous dscuons de la surellance de la conergence à la secon 4. Nous ulsons l approche de la Rao-Blackwellsaon pour obenr des esmaeurs des moennes e arance a poseror d nérê. a Rao-Blackwellsaon peu rédure consdérablemen les erreurs de smulaon comparaemen aux esmaons naïes fondées sur les échanllons smulés (Gelfand e Smh 99; You e Rao 000. Pour le modèle ransersal e chronologque les esmaons Rao- Blackwellsées de E( e V ( son données par e Eˆ( ( ( I ( Σ d l k d + + ( ( X β + u ( d Vˆ( + ( ( [( I ( Σ + ( X β + u ] ( Σ l ( Σ d l k d + l ( Σ d k d + d k d + d l k d + + ( + + ( ( ( ( ( X β ( ( I I ( ( ( X β ( I ( X β + u I ( + u + u /( d ( d ( d ( où { β u lk ; k d +... d l... } son les échanllons obenus au moen de l échanllonneur de Gbbs e I es la marce d dené d ordre. Donc en ulsan l échanllonnage de Gbbs nous pouons esmer la moenne régonale pour la pérode courane e la moenne régonale pour les pérodes anéreures... smulanémen pour chaque régon. esmaon de la marce des coarances a poseror Vˆ ( fourn auss une esmaon de la coarance a poseror de e s pour s.... Sous le modèle de Fa-Herro en représenan par (... m les données pour la pérode courane e en ulsan les los condonnelles données à l annexe A. nous pouons obenr de la même façon les esmaeurs Rao-Blackwellsés de E e V : e Vˆ ( + Eˆ ( d l k d + d l k d + [( r l k d + [( r [( r ( d d l k d + [ + r + r ( r + r x x ( x β ]/( d β β ] ] ]/( d /( d ( d Sasque Canada N o -00 au caalogue

8 8 où r /( +. Noons que E( e V ( n ulsen que des données ransersales à la pérode. Par conséquen E( sera mons effcace que l esmaeur HB E( basé sur l ensemble des données; or la secon Applcaon à l EPA 4. Descrpon des données e exécuon Nore analse HB pore sur les esmaons du chômage calculées d après les données de l EPA de 999. e Canada compe 64 aggloméraons de recensemen (AR. Nous aons ulsé les aux de bénéfcares de l assuranceemplo (a.-e. comme données auxlares x dans le modèle. Cependan ces données ne son dsponbles que pour 6 AR. Donc nous n aons nclus que ces m 6 AR dans le modèle. Dans chaque AR nous aons consdéré sx esmaons mensuelles consécues de janer 999 à jun 999 de sore que 6 e que le paramère d nérê es le aux réel de chômage pour la régon en jun 999. Nous n aons ulsé que les données couran sx mos parce que le renouellemen de l échanllon de l EPA es basé sur un ccle de sx mos. Chaque mos le sxème de l échanllon de l EPA es remplacé. Donc après sx mos la corrélaon enre les esmaons es rès fable. e coeffcen de corrélaon aec décalage es de 048 enron pour un décalage d un mos e dmnue à mesure que le décalage augmene. a fgure monre les coeffcens de corrélaon aec décalage esmés (lssés pour les esmaons du aux de chômage fondées sur les données l EPA. Il es clar qu après sx mos les coeffcens de corrélaon aec décalage son ous nféreurs à Coeffcens de corrélaon aec décalage du aux de chômage mensuel esmé Décalage (nombre de mos Fgure. Coeffcens de corrélaon aec décalage du aux de chômage fondé sur l EPA. Pour obenr une esmaon lssée de la marce des coarances d échanllonnage Σ ulsées dans le modèle nous aons commencé par calculer le coeffcen moen de araon (c.. pour chaque AR sur l ensemble des pérodes ( mos c que nous représenons par CV e les coeffcens moen de corrélaon aec décalage sur l ensemble des pérodes e des AR. En ulsan ces c.. e ces coeffcens de corrélaon aec décalage lssés nous aons obenu une esmaon lssée Σˆ don les élémens dagonaux éaen ˆ (CV e don les élémens non dagonaux éaen égaux à ˆ s ρ ( ˆ ˆ / s ss e nous aons raé Σˆ comme éan la Σ réelle où ρ s es le coeffcen moen de corrélaon aec décalage pour le décalage s. Nore éude monre qu ulser l esmaon lssée de Σ dans le modèle amélore consdérablemen les esmaons en ce qu a ra à la réducon du c.. Pour exécuer l échanllonnage de Gbbs nous aons consdéré 0 exécuons parallèles chacune de longueur d 000. Nous aons supprmé les d 000 premères éraons de «rodage». Pour sureller la conergence de l échanllonneur de Gbbs pour les paramères d nérê (... m nous aons su la méhode de Gelman e Rubn (99 comprenan les éapes qu suen. ( ème Pour chaque so la k aleur smulée dans la ème l chaîne k d +... d l.... À la premère éape calculer la moenne globale d + l k d e la moenne à l néreur de la séquence ( l d /( d d l k d + /.... Pus calculer B / d la arance enre les moennes de séquence sous la forme / ( ( l B d l /(. À la deuxème éape calculer W la moenne des arances à l néreur des séquences s l chacune fondée sur ( d degrés de lberé; auremen d W l sl /. À la rosème éape calculer s ( d W / d + B / d e V s + B /( d. À la dernère éape rouer les faceurs de réducon d échelle possbles Rˆ V / W (... m. S la aleur de ces faceurs s approche de pour ous les paramères scalares à esmer alors on peu penser que l échanllonneur de Gbbs a aen la conergence souhaée. Dans nore éude l échanllonneur de Gbbs a rès ben conergé en ce qu concerne les aleurs de R ˆ. 4. Chox du modèle echnques d enquêe jun 003 À la présene secon nous comparons le modèle que nous proposons au modèle AR( à composane emporelle de Rao e Yu (994. Un ceran nombre de méhodes de comparason de modèles dans un cadre baésen on éé ms au pon e pluseurs son mplémenées dans le programme BUGS ben connu (or Spegelhaler homas Bes e Glks 996. En praque s l exse plus d un modèle d nérê on peu chosr le modèle baésen en s appuan sur un faceur de Baes qu l es dffcle de calculer drecemen. D aures sraéges de chox du modèle ncluen la rasemblance prédce e la log-rasemblance prédce. En parculer Dempser (974 a proposé d examner la lo a poseror de la log-rasemblance des données Sasque Canada N o -00 au caalogue

9 You Rao e Gambno : Esmaon du aux de chômage fondée sur un modèle pour l Enquêe sur la populaon ace 9 obserées. On peu obenr les quanés de la lo a poseror de la log-rasemblance à parr de la lo prédce a poseror de la somme des carrés des écars log f (. Il es facle d esmer la somme des carrés des écars a poseror à l ade des sores de l échanllonneur de Gbbs pusqu l s ag de l espérance de log f ( sur la densé a poseror π (. Dans le cas des modèles non hérarchques la aleur mnmale possble de log f ( es la somme des carrés des écars classque. Pour les modèles hérarchques l es probable que le mnmum d échanllon donne une rès mauase esmaon du mnmum de la somme des carrés des écars e que la moenne so une mesure plus rasonnable (Karm e Zeger 99; Glks Wang Yonne e Coursag 993. Pour le modèle AR( à composane emporelle nous ensageons deux aleurs de ρ : ρ 0 75 e ρ 05. Nous calculons la log-rasemblance à chaque éraon de l échanllonneur de Gbbs. Pus nous obenons la moenne de la somme des carrés des écars prédce a poseror so 35 pour le modèle proposé 378 pour le modèle AR( aec ρ 0 5 e 3583 pour le modèle AR( aec ρ 075. Donc la mesure de la somme des carrés des écars donne à penser que le modèle de marche aléaore sur les u es un peu meux ajusé aux données que le modèle AR(. Pour comparer les modèles nous aons auss calculé la mesure de dergence de aud e Ibrahm (995 fondée sur la lo prédce a poseror. So un rage à parr de la lo a poseror de éan donné e un rage à parr de f (. Alors margnalemen es un échanllon proenan de la lo prédce a poseror f ( obs où obs représene les données obserées. a mesure de la dergence aendue de aud e Ibrah (995 es donnée par d( obs E( k obs obs où k es la dmenson de obs. De deux modèles nous préférons celu qu donne la aleur la plus fable de cee mesure. Comme dans Daa Da e Ma (998 e Daa e coll. (999 nous aons ulsé pour obenr une approxmaon de la mesure de dergence d ( obs les échanllons smulés à parr de la lo prédce a poseror. En ulsan les sores de l échanllonneur de Gbbs nous aons obenu une mesure de dergence de 336 pour le modèle proposé de 46 pour le modèle AR( aec ρ 0 5 e 45 pour le modèle AR( aec ρ 075. Donc la mesure de dergence lasse auss enendre que le modèle de marche aléaore es un peu meux ajusé que le modèle AR(. Il conen de menonner que la somme des carrés des écars a poseror e la mesure de dergence son calculées en ue de comparer deux ou pluseurs modèles dsncs. Après aor séleconné un modèle nous deons nous assurer qu l es ajusé aux données queson que nous allons examner manenan. 4.3 es d ajusemen du modèle Pour érfer l ajusemen global du modèle proposé nous aons ulsé la méhode des aleurs p prédces a poseror (Meng 994; Gelman Carln Sern e Rubn 995. Selon cee méhode les aleurs smulées d une mesure approprée de dergence son produes à parr de la lo prédce a poseror pus comparées à la mesure correspondane pour les données obserées. Plus précsémen so ( une mesure de dergence qu dépend des aleurs de e du paramère. a aleur p prédce a poseror es défne par p prob( ( > ( où es un échanllon ré à parr de la lo prédce a poseror f ( obs. Noons que la probablé es en rappor aec la lo a poseror de éan donné les données obserées. Il s ag d une exenson naurelle de la aleur p habuelle dans un conexe baésen. S un modèle es ajusé aux données obserées alors les deux aleurs de la mesure de dergence son smlares. Auremen d s le modèle donné es ajusé conenablemen aux données obserées alors ( obs dera se suer à proxmé de la pare cenrale de l hsogramme des aleurs ( s es généré de façon répéée à parr de la lo prédce a poseror. Conséquemmen la aleur p prédce a poseror dera s approcher de 05 s le modèle es ben ajusé aux données. es aleurs p exrêmes (proches de 0 ou de mplquen que l ajusemen n es pas bon. a aleur p es ndépendane en ce sens qu elle es calculée sans égard à un aure modèle. Il es assez facle de calculer la aleur p à l ade des aleurs smulées de à parr de l échanllonneur de Gbbs. Pour chaque aleur smulée nous pouons smuler à parr du modèle e calculer ( e ( obs. Pus la proporon de fos que ( excède ( obs nous donne une approxmaon de la aleur p. Pour le modèle ransersal e chronologque la mesure de la dergence ulsée pour l ajusemen global es m donnée par d ( ( Σ (. Daa e coll. (999 on ulsé la même mesure. Nous aons calculé la aleur p en combnan les aleurs smulées de e proenan des 0 exécuons en parallèle. Nous aons obenu une aleur p égale à 065. Donc ren n ndque que l ajusemen global du modèle de marche aléaore chronologque e ransersal es nsuffsan. Pour le modèle de Fa-Herro ulsan unquemen les données ransersales couranes une mesure approprée de dergence es donnée par d FH m ( ( obs obs / où (... m. Dans ce cas la aleur p esmée es d enron 0587 émognan d un bon ajusemen du modèle de Fa-Herro aux données ransersales couranes unquemen. Cependan les esmaons HB connexes son consdérablemen mons effcaces que les esmaons HB fondées sur le modèle ransersal e chronologque proposé qu emprune de l nformaon smulanémen aux derses régons e aux derses pérodes; or les fgures 3 e 4. Sasque Canada N o -00 au caalogue

10 0 Une lme de la aleur p prédce a poseror es qu elle fa «double usage» des données obserées obs d abord pour générer les échanllons à parr de f ( obs pus pour calculer la aleur p. Cee double ulsaon des données peu ndure un comporemen non naurel comme l on démonré Baarr e Berger (000. Pour éer la double ulsaon des données ces aueurs on proposé deux mesures p de rechange qu ls on nommées la aleur p prédce a poseror parelle e la aleur p prédce condonnelle. Cependan ces mesures semblen êre plus dffcles à exécuer que la aleur p prédce a poseror parculèremen dans le cas d un modèle complexe comme le modèle chronologque e ransersal d esmaon régonale. 4.4 Esmaon Nous allons manenan obenr les esmaons a poseror des aux de chômage sous le modèle chronologque e ransersal de marche aléaore donné par (3 e (4. Nous aons ulsé les esmaeurs Rao-Blackwellsés donnés à la secon 3.3 pour obenr des esmaons de la moenne e de la arance a poseror de. Nous représenons ces esmaons par HB. Pour éuder l effe de l ulsaon d une esmaon lssée de la marce des coarances d échanllonnage Σ nous aons égalemen ulsé l esmaon d enquêe drece de Σ dans le modèle. Nous représenons les esmaons obenues dans ces condons par HB. Pour éuder l effe de l emprun d nformaon proenan de dfférenes pérodes nous aons égalemen calculé les esmaons HB de sous le modèle de Fa-Herro basé unquemen sur les données ransersales couranes que nous représenons par HB3. a fgure monre les esmaons dreces d après l EPA e les ros esmaons HB des aux de chômage en jun 999 pour les 6 AR du Canada. es 6 AR son présenées par ordre de alle de populaon la plus pee (Dawson Creek C.-B habans fguran à gauche e la plus grande (orono On habans à droe. Pour les esmaons poncuelles le modèle de Fa-Herro (HB3 a endance à rédure les esmaons e à les rapprocher de la moenne des aux de chômage ce qu donne des esmaons rop lsses en général. es esmaons HB aren plus e on endance à comper un plus grand nombre de aleurs exrêmes que les esmaons HB pusqu elles son produes en ulsan les esmaons dreces de Σ qu son sujees à erreurs d échanllonnage. es esmaons HB représenen un lssage modéré des esmaons dreces d après l EPA. Pour les AR don la populaon e par conséquen la alle d échanllon es grande les esmaons dreces e les esmaons HB son rès proches les unes des aures; pour les plus pees AR les esmaons dreces e les esmaons HB dffèren consdérablemen pour ceranes régons. a fgure 3 donne les coeffcens de araon (c.. des esmaons. Pour les esmaons HB le c.. es égal au rao de la racne carrée de la arance a poseror e de la moenne a poseror. a fgure 3 monre claremen que l esmaon drece es celle don le c.. es le plus grand e l esmaon HB celle don le c.. es le plus fable. e c.. des esmaons HB es plus fable que celu des esmaons HB pour oues les AR e celu des esmaons HB es plus fable que celu des esmaons HB3 pour oues les AR sauf deux assez pees. e gan d effcacé donné par les esmaons HB es manfese parculèremen pour les AR don la populaon es fable. aux de chômage (% Coeffcen de araon echnques d enquêe jun 003 Comparason des esmaons (Jun 999 RMR/AR selon la alle de populaon Fgure. Comparason des esmaons dreces e HB. Comparason de la réducon du c.. (Jun 999 RMR/AR selon la alle de la populaon Fgure 3. Comparason des c.. a fgure 4 monre la réducon en pourcenage du c.. lorsqu on passe de l esmaon drece d après les données d enquêe aux esmaons HB HB e HB3. a réducon en pourcenage du c.. s oben en dsan la dfférence enre le c.. pour l EPA e le c.. pour les esmaons HB par le c.. pour l EPA e en exprman le résula en pourcenage. Il es clar que le scénaro HB es celu qu produ la réducon la plus mporane du c.. e le scénaro HB3 la réducon la plus fable. a réducon moenne en pourcenage des c.. comparaemen aux esmaons dreces d après l EPA es de % pour le modèle de Fa-Herro (HB3 de 40 % pour HB e de 6 % pour HB. En oure la réducon du c.. es plus mporane pour Sasque Canada N o -00 au caalogue

11 You Rao e Gambno : Esmaon du aux de chômage fondée sur un modèle pour l Enquêe sur la populaon ace les pees AR que pour les grandes. a réducon du c.. a endance à dmnuer à mesure que la populaon augmene. Pourcenage de réducon (% Comparason de la réducon du c.. (Jun 999 RMR/AR selon la alle de la populaon Fgure 4. Comparason de la réducon du c.. En résumé nous rons les conclusons qu suen. Premèremen les esmaons HB fondées sur un modèle son melleures que les esmaons dreces d après l EPA. En parculer le modèle ransersal e chronologque de marche aléaore (HB donne leu à une réducon mporane du c.. Deuxèmemen le modèle ransersal e chronologque de marche aléaore es plus effcace que le modèle de Fa-Herro. rosèmemen l ulsaon de l esmaon lssée de la marce des arances- coarances d échanllonnage Σ es for effcace. 5. Concluson Nous aons présené un modèle hérarchque baésen ransersal e chronologque en ue d obenr des esmaons fondées sur un modèle des aux de chômage pour les AR du Canada à parr des données de l EPA. e modèle emprune de l nformaon smulanémen aux derses régons e aux derses pérodes. Nore analse monre que aec un processus de marche aléaore sur les composanes chronologques aléaores ce modèle es assez ben ajusé aux données. es esmaons hérarchques baésennes fondées sur ce modèle son neemen melleures que les esmaons dreces d après les données de l enquêe en ce qu concerne le c.. parculèremen pour les AR don la populaon es fable. Cependan l esmaon des c.. es fondée sur l hpohèse qu on connaî les marces des arances-coarances d échanllonnage ncluses dans le modèle. Par conséquen l n es pas enu compe de l ncerude assocée à l esmaon de Σ. Nous aons égalemen consdéré le modèle ben connu de Fa-Herro qu combne les données ransersales unquemen en ulsan les données à un pon parculer dans le emps par exemple la pérode courane d nérê. Nous consaons que sous le modèle de Fa-Herro les c.. son comprs enre ceux obenus pour l esmaon drece e ceux obenus pour la méhode fondée sur un modèle présenée c. e modèle ransersal e chronologque donne unformémen de melleurs résulas que le modèle de Fa-Herro pour ce qu es de la réducon du c.. résula qu n es pas naendu pusque nore modèle éend celu de Fa-Herro en emprunan emporellemen e spaalemen des nformaons. ors de l applcaon de nore modèle aux données de l EPA nous aons ulsé des esmaons smples lssées des marces des arances-coarances d échanllonnage Σ pus nous les aons raées comme s l s agssa des marces réelles. Nous préoons éuder la sensblé des esmaons HB des paramères régonaux e des c.. assocés à derses méhodes de lssage des Σ. En parculer l pourra êre plus réalse d ulser des esmaons lssées de la forme ~ (CV e ~ / s ρ ~ ~ s ( ss au leu des esmaons lssées smples que nous aons emploées. Cependan l es plus dffcle d applquer la méhode HB dans ce cas pusque ~ e ~ s dépenden des paramères nconnus. Dans le présen arcle nous aons ulsé un modèle de len lnéare mxe (3 pour les paramères qu concorde aec le modèle d échanllonnage (. Récemmen You e Rao (00 on déeloppé des modèles non concordans d échanllonnage e de len pour les données ransersales où le modèle de len es un modèle non lnéare mxe conraremen au modèle d échanllonnage (. You Chen e Gambno (00 on éendu la méhode aux données ransersales e aux séres chronologques en ulsan un modèle de len log-lnéare pour. Remercemens es aueurs remercen deux éaluaeurs e le rédaceur de leurs commenares e suggesons for ules. es raaux on éé fnancés parellemen par une bourse de recherche ocroée à J.N.K. Rao par le Consel de recherches en scences naurelles e en géne. Annexe A.. So X ( X... X m (... m u ( u... um aec (... u ( u... u. Nous énumérons c-après les los condonnelles complèes pour le modèle ransersal e chronologque. Pour le modèle proposé (composane emporelle de marche aléaore ρ ; pour le modèle AR( à composane emporelle de rechange ρ <. β u ~ N(( X X ( u ( X X ; m β u ~ IG( a + m / b + ( x β u / ; m β u ~ IG( a + m( / b + ( u ρ / ; u Sasque Canada N o -00 au caalogue

12 Pour... m u β ~ ρ N + u x β ρu + Pour... m e u β u + ρ + ~ N Pour... m u β u u + ~ N Pour... m β ( Σ + + u ~ N(( I x β ρu + ρ + + ρu + ρ + x β ρu + ; + ( X β + u ( I +. ; ; A.. So (... m X ( x... x m (... m... Nous énumérons c-après les los condonnelles complèes pour le modèle de Fa- Herro au pon dans le emps. β ~ N(( X X X ( X X ; β u ~ IG ( a Pour... m où β r m + m / b + /( ~ N(( r +. ( x + r Bblographe β x / ; β ( r Baarr M.J. e Berger J.O. (000. P alues for compose null models. Journal of he Amercan Sascal Assocaon echnques d enquêe jun 003 Daa G.S. Da B. e Ma. (998. Mularae Baesan small area esmaon: An applcaon o sure and saelle daa. Sankhā Daa G.S. ahr P. Ma. e u K.. (999. Herarchcal Baes esmaon of unemplomen raes for he saes of he U.S. Journal of he Amercan Sascal Assocaon Daa G.S. ahr P. e Ma. (00. Emprcal Baes esmaon of medan ncome of four-person famles b sae usng me seres and cross-seconal daa. Journal of Sascal Plannng and Inference Dempser A.P. (974. he drec use of lkelhood for sgnfcance esng (aec dscusson. Dans Proceedngs of Conference on Foundaonal Quesons n Sascal Inference (Éds. O. Barndorff-Nelsen P. Blaesld e G. Schou. Dep. of heorecal Sascs Uners of Aarhus Denmark FAY R.E. e HERRIO R.A. (979. Esmaes of Income for small places: An applcaon of James-Sen procedures o census daa. Journal of he Amercan Sascal Assocaon Gambno J.G. Sngh M.P. Dufour J. Kenned B. e ndeer J. (998. Mehodolog of he Canadan abour Force Sure Sasque Canada Numéro de Caalogue Gelfand A.E. e Smh A.F.M. (990. Samplng based approaches o calculang margnal denses. Journal of he Amercan Sascal Assocaon Gelfand A.E. e Smh A.F.M. (99. Gbbs samplng for margnal poseror expecons. Communcaons In Sascs heor and Mehods Gelman A. Carln J. Sern H. e Rubn D. (995. Baesan Daa Analss. ondon: Chapman and Hall. Gelman A. e Rubn D.B. (99. Inference from erae smulaon usng mulple sequences. Sascal Scence Ghosh M. Nanga N. e Km D.H. (996. Esmaon of medan ncome of four-person famles: a Baesan me seres approach. Journal of he Amercan Sascal Assocaon Ghosh M. e Rao J.N.K. (994. Small area esmaon: An apprasal (aec dscusson. Sascal Scence Glks W.R. Wang C.C. Yonne B. e Coursag P. (993. Random-effecs models for longudnal daa usng Gbbs samplng. Bomercs Karm M.R. e Zeger S.. (99. Generalzed lnear models wh random effecs: Salamander mang resed. Bomercs aud P. e Ibrahm J. (995. Predce model selecon. Journal of Roal Sascal Soce Seres B Meng X.. (994. Poseror predce p alue. he Annals of Sascs Pfeffermann D. Feder M. e Sgnorell D. (998. Esmaon of auocorrelaons of sure errors wh applcaon o rend esmaon n small areas. Journal of Busness and Economc Sascs Rao J.N.K. (999. Quelques progrès récens concernan l esmaon régonale fondée sur un modèle. echnques d enquêe Sasque Canada N o -00 au caalogue

13 You Rao e Gambno : Esmaon du aux de chômage fondée sur un modèle pour l Enquêe sur la populaon ace 3 Rao J.N.K. e Yu M. (994. Small area esmaon b combnng me seres and cross-seconal daa. he Canadan Journal of Sascs Spegelhaler D. homas A. Bes N. e Glks W. (996. BUGS 0.6: Baesan nference Usng Gbbs Samplng Manual. Aalable a hp://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs. You Y. (999. Herarchcal Baes and Relaed Mehods for Model-Based Small Area Esmaon. hèse non-publée School of Mahemacs and Sascs Carleon Uners Oawa Canada. You. Y. Chen E. e Gambno J. (00. Nonlnear mxed effecs cross-seconal and me seres models for unemplomen rae esmaon. 00 Proceedngs of he Amercan Sascal Assocaon Secon on Goernmen Sascs [CD-ROM] Alexandra VA: Amercan Sascal Assocaon. You Y. e Rao J.N.K. (000. Esmaon baésenne hérarchque des moennes pour pees régons à l ade de modèles à pluseurs neaux. echnques d enquêe You Y. e Rao J.N.K. (00. Small area esmaon usng unmached samplng and lnkng models. he Canadan Journal of Sascs Sasque Canada N o -00 au caalogue

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