République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement supérieur et de La Recherche Scientifique. Polycopie:

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1 Réublque Algérenne Déocraque e Poulare Mnsère de l Ensegneen suéreur e de a Recherche Scenfque Unversé : Hassba BENBOUAI de CHEF Faculé : Scences Déareen : Physque Doane : ST-SM Polycoe: Vbraons e Ondes Mécanques Raels de Cours Problèes osés au concours d enrée au Grandes Ecoles Scenfques Module : Physque Nveau : èe Année cence Présené ar: Année Unversare : /

2 Avan roos Ce docuen a éé desné au éudans de deuèe année des flères scenfques echnques des unversés e écoles d ngéneurs d Algére. Il réond au rograe offcel du odule «Vbraons e Ondes écanques» ensegnés en deuèe année des flères Scences e echnques e Scences de la aère. Ce anuel conen une sére de roblèes lés au hénoènes de vbraons e de roagaon des ondes écanques avec un rael de cours. e anuscr es dvsé en deu grandes ares, vbraons e ondes écanques réares en se chares. e reer ore sur l ulsaon du foralse de agrange our décrre les oscllaons des sysèes hysques. éude des oscllaons lnéares de fable alude lbres des sysèes à un degré de lberé es résenée dans le chare deu. e rosèe chare rae le ouveen aor qu rend en coe les forces de froeens de vscosé rooronnelles à la vesse du oble. a noon de résonance consacrée au oscllaons forcées es résenée au quarèe chare. e cnquèe chare sur les vbraons au luseurs degrés de lberé. es analoges enre les sysèes élecrques e écanques son résenées les cnq chares. e deuèe vole du rograe recoande d nrodure l naon des hénoènes lés à la roagaon des ondes écanques dans dfférens leu aérels. A ce effe nous avons rs le, coe le odèle de la corde vbrane.

3 Noenclaure ET Ec Ec E S F ee M A T C J R V ee Coordonnées généralsées Energe oale du sysèe Energe Cnéque du sysèe Energe Cnéque oyenne du sysèe Energe oenelle su sysèe agrangen du sysèe Acon du sysèe Forces eéreures alquées au sysèe Moens eéreurs alqués au sysèe Pulsaon rore du ouveen lbre Alude Déhasage Pérode rore du ouveen lbre Consane de radeur du ressor Consane de orson Moen d nere Rayon d un dsque Masse d un sysèe Coordonnées du sysèe Vesse du délaceen

4 l l P V d Ca nd q u f T fr f g Masse voluque ongueur du ressor ongueur du ressor à vde Presson du gaz à l équlbre Volue du gaz à l équlbre Tranche d éléen enre les osons e +d Caacé élecrque Caacé élecrque Charge qu crcule dans le crcu Tenson d alenaon Force de froeen Coeffcen de froeen Faceur d aorsseen Pseudo Pulsaon du ouveen fableen aor Pseudo Pérode du ouveen fableen aor Force eéreure alquée au sysèe Pulsaon Force eéreure alquée au sysèe Soluon générale du ouveen force Soluon arculère r Pulsaon de résonance du ouveen forcé, Pulsaon de couure en rége forcé Bande assane

5 Q Z ~ T E w V s Faceur de qualé Iédance Masse lnéque de la corde Masse surfacque Tenson de la corde Tenson lnéare Consane de Young ongueur d onde Veceur d onde Vesse de roagaon Coeffcen de coressblé

6 DEDICACES Je déde ce raval en sgne de resec e de reconnassance à: Mes chers arens our ous les sacrfces qu'ls on consens, our ous les encourageens ans que our leur souen oral e aérel qu 'a ers d achever ce raval. Je le déde égaleen à: Ma rès chère fee e es chers enfans Mes chers frères e sœurs Mes oncles e anes Toue a falle e es roches

7 Soare Avan roos Noenclaure PREMIERE PARTIE : VIBRATIONS Chare : Généralés sur les oscllaons. Chare : Mouveen lbre à un degré de lberé. 8 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé. 8 Chare 4 : Mouveen forcé à un degré de lberé. 9 Chare 5 : Mouveen à luseurs degrés de lberé. 6 DEUXIEME PARTIE : ONDES MECANIQUES Chare 6 : Généralés sur le hénoène de roagaon. 5 Chare 7 : Alcaon : l équaon de roagaon écanque dans dfférens leu. 6 Références bblograhques

8 Chare : Généralés sur les oscllaons PARTIE I VIBRATIONS Chare : Généralés sur les oscllaons

9 Chare : Généralés sur les oscllaons Rael héorque : a vbraon es un hénoène hysque oscllaore d un cors en ouveen auour de sa oson d équlbre. Par les ouveens écanques les lus varés, l ese des ouveens qu se réèen : les baeens du cœur, le ouveen d'une balançore, le ouveen alernaf des sons d'un oeur à eloson. Tous ces ouveens on un ra coun : une rééon du ouveen sur un cycle. Un cycle es une sue nnerroue de ouveens ou de hénoènes qu se renouvellen oujours dans le êe ordre. Prenez à re d'eele le cycle à quare es d'un oeur à eloson. Un cycle cole corend quare éaes adsson, coresson, eloson, échaeen qu se réèen duran un cycle oeur. On aelle ouveen érodque un ouveen qu se réèe e don chaque cycle se rerodu denqueen. a durée d'un cycle es aelée érode. Un ouveen érodque arculèreen néressan dans le doane de la écanque es celu d'un obje qu se délace de sa oson d'équlbre e y reven en effecuan un ouveen de va-e-ven ar raor à cee oson. Ce ye de ouveen érodque se noe oscllaon ou ouveen oscllaore. es oscllaons d'une asse relée à un ressor, le ouveen d'un endule ou les vbraons d'un nsruen à corde son des eeles de ouveens oscllaores. Tou sysèe écanque, ncluan les achnes ndusrelles les lus colees, eu êre rerésené ar des odèles forés d un ressor, un aorsseur e une asse. e cors huan, souven qualfé de "belle écanque", es décoosé à la fgure. en luseurs sous-sysèes "asseressor-aorsseur" rerésenan la èe, les éaules, la cage horacque e les jabes ou les eds.

10 Chare : Généralés sur les oscllaons Fgure. : Modélsaon asse-ressor-aorsseur de l hoe. Pour corendre le hénoène vbraore, on assoce à ous les sysèes hysques un sysèe "asse-ressor" qu consue un ecellen odèle rerésenaf our éuder les oscllaons coe su, fgure. : Fgure.: Schéa asse-ressor F s aelle la force de raelle qu es rooronnelle à l allongeen. a consane es aelée la consane de radeur. Il ese deu aures confguraons our le sysèe asse-ressor, fgure. :

11 Chare : Généralés sur les oscllaons 4 Fgure. : Tros aures confguraons our le sysèe asse-ressor a rerésenaon de luseurs ressors se résene en deu cas : En arallèle, fgure 4. : Fgure 4. : Ressors en arallèles a radeur équvalene es la soe des radeurs e elle que : eq En sére, fgure 5. : Fgure 5. : Ressors en séres

12 5 Chare : Généralés sur les oscllaons a radeur équvalene our les consanes e elle que : eq Un sysèe hysque oscllan es reéré ar la coordonnée généralsée qu es défn ar l écar ar raor à la oson d équlbre sable. On défn q le nobre de degré de lberé ar le nobre de ouveens ndéendans d un sysèe hysque qu déerne le nobre d équaons dfférenelles du ouveen. énerge cnéque d un sysèe écanque s écr sous la fore : n c E énerge oenelle d un sysèe écanque s écr à arr de déveloeen lé de Taylor sous la fore:... E 6 E E E E a valeur = corresond à la oson d équlbre du sysèe caracérsée ar : E Il ese deu yes d équlbre : Equlbre sable, fgure 6. : E Fgure 6.: Equlbre sable

13 Chare : Généralés sur les oscllaons Equlbre nsable, fgure 7. : E 6 Fgure 7.: Equlbre nsable e ouveen oscllaore es d lnéare s ce écar es nfnésal. Ans, l énerge oenelle rend la fore quadraque en foncon de l écar ar raor à la oson d équlbre elle que : E E a consane E es aelée la consane de raelle. Ans ; la force de raelle rend la fore lnéare en foncon de l allongeen e oosée au ouveen elle que: E F équaon du ouveen our un sysèe conservaf eu êre déernée ar ros éhodes : Prnce de la conservaon d énerge oale : Où E T E T E c E det Cons ane d es aelée l énerge oale du sysèe. o dynaque de Newon : n F a

14 Chare : Généralés sur les oscllaons Où a es aelée l accéléraon des coosanes du sysèe. Méhode de agrange : E c E Cons ane 7 Où es le agrangen du sysèe. Dans ce cas les forces dérven d un oenel e le ouveen du sysèe es conservaf. Arès l alcaon le rnce de ondre acon, on oben l équaon d Euler- agrange coe su : d d,n équaon du ouveen our un sysèe dssaf non conservaf eu êre déernée coe su : Sysèe en ranslaon : Où F e d d F e,n son les forces eéreures alquées au sysèe. Sysèe en roaon Où M e d d M e,n son les oens eéreurs alqués au sysèe. Dans ce cas les forces ne dérven as d un oenel.

15 8 Chare : Mouveen lbre à un degré de lberé

16 9 Raels héorques: Un sysèe solé oscllan à un degré de lberé es déerné ar la coordonnée généralsée qu es l écar ar raor à l équlbre sable. On défn l oscllaon haronque ar l équaon dfférenelle suvane : Où ω es aelée la ulsaon rore du sysèe. On défn la érode rore T coe su : T a soluon de cee équaon dfférenelle es de fore snusoïdale el que : Acos Où A rerésene l alude des oscllaons e ϕ es le déhasage. es consanes A e ϕ son déernées ar les condons nales suvanes : Fgure. : Mouveen snusoïdal Il fau sgnaler que oues les oscllaons de fable alude auour de la oson d équlbre euven êre asslées à des ouveens lnéares e l énerge oenelle eu s erer sous fore quadraque de la coordonnée généralsée. En revanche, au-delà d une cerane alude l oscllaon deven non lnéare. Eeles : Ressor :

17 Fgure. : Mouveen lnéare d un ressor e veceur de oson : o v énerge cnéque : E c v énerge oenelle our des ees oscllaons, s écr: E Alors, le agrangen du sysèe es de fore: E c E équaon de ouveen es de fore : d d avec a soluon de l équaon dfférenelle : Acos Pendule sle :

18 Fgure. : Mouveen lnéare d un endule sle e veceur de oson : l sn o y l cos l cos v y l sn v y l énerge cnéque : E c v l énerge oenelle : E gl cos Alors, le agrangen du sysèe s écr : E c E l gl cos équaon de ouveen our des ees oscllaons, es : d d l glsn l gl avec sn a ulsaon rore es égale : a soluon de l équaon dfférenelle es de fore : Acos

19 Alcaons : Problèe : Soen les sysèes écanques suvans : o Une oule de asse M, de oen d nere J, e de rayon R, susendue au on O ar un ressor de radeur. e fl neensble glsse sur la oule sans froeen relé ar une asse, fgure.4. o Un sysèe de bras rgdeen lés e ournan dans le lan de la fgure auour du on fe O. A l équlbre le bras es vercal, fgure.5. o Un sysèe hydraulque de fore U consué de deu uyau cylndrques de secons S, S relés ar un aure cylndre de secon S e de longueur B qu conen un lqude de asse voluque. e sysèe es équvalen à un ressor de radeur e e de asse M e. A l équlbre le lqude a la haueur H, fgure.6.

20 Dans le cas des oscllaons lnéares, déerner our chaque sysèe : e nobre de degré de lberé. énerge cnéque, l énerge oenelle. En dédure le agrangen. équaon dfférenelle du ouveen. a érode rore. Soluons :

21 4 Fgure.4: a fgure.4 es rerésenée en éa d équlbre Fgure.4a e en éa de ouveen Fgure.4b. es araères, X, X e X, X rerésenen resecveen les osons des asses M e en éa d équlbre e en ouveen. e nobre de degré de lberé : a longueur du fl l es la êe en ouveen e en équlbre el que: En équlbre : l D X R X X En ouveen : l D X R X X Ares l égalé des deu équaons, on oben :, son déendans e nobre de degré de lberé es alors égal à. e agrangen es : énerge cnéque : E c M J

22 5 énerge oenelle: E e agrangen s écr alors : c R J M E E équaon dfférenelle es : R J 4 M d d a érode rore T : O R J 4 M T Fgure.5: e nobre de degré de lberé : On défn les délaceens nfnésau coe su :

23 6 déendans son,, l, l, l e nobre de degré de lberé es égal à e agrangen : énerge cnéque : c l l l E énerge oenelle : cos gl l l E e agrangen s écr alors : cos gl l l E E c équaon dfférenelle es : l gl l l d d a érode rore T : O l gl l l T Fgure.6:

24 7 e nobre de degré de lberé : On a la conservaon du volue d eau délacé dans le ube en fore U d où, S S S les coordonnées,, Donc le nobre de degré de lberé es égal a e agrangen : énerge cnéque : son déendanes

25 8 S S S S h B hs M hs, BS, hs Avec M S S S S h B hs M E e e e c énerge oenelle : On calcule la consane de raelle à arr de l énerge oenelle, on a alors : S S gh S S S gh S g S P S F E e e e e agrangen du sysèe s écr alors : e e c M E E équaon dfférenelle es : M e e a ulsaon rore ω es : S S S S h B hs S S gh S M e e Problèe : On odélse le ouveen d un baffe d une rado ar un résonaeur d HEMOTZ, résené coe un gaz arfa de resson P, de volue V à l équlbre herque, enferé dans une encene relée ar un son de asse qu osclle sans froeen suvan l ae O coe le onre la fgure.7c-dessous.

26 9 enseble du sysèe évolue en oéraon adabaque. Déerner l équaon dfférenelle du ouveen en alquan la lo fondaenale de la dynaque. En dédure la ulsaon rore du sysèe e la soluon générale. Soluons : En alquan la éhode des forces on oben : ra Sur : O F a P F a SP Pusque l oéraon es adabaque, on a: PV c cons an e P V P V équaon dfférenelle s écr alors : P P V S P S V a ulsaon rore es :

27 P S V a soluon générale es : Acos Problèe : Soen les sysèes écanques consués ar une ge de asse néglgeable relée ar un ressor de radeur rerésenés dans les fgures.8 e.9 coe su: Pour des ees oscllaons, déerner our le sysèe de la fgure.8: e agrangen. équaon dfférenelle du ouveen. a ulsaon rore e la soluon générale.

28 En dédure our le sysèe de la fgure.9 : équaon dfférenelle du ouveen ans que la soluon générale sans Fgure.8 : fare des calculs. énerge cnéque l sn o y l cos V Soluons : l cos o y l sn énerge oenelle our deu sysèes : E gl cos e agrangen s écr alors : E c E l gl cos équaon dfférenelle du ouveen es : d d a ulsaon rore es : a gl l a soluon générale es : Fgure.7 : Acos a gl l équaon dfférenelle du ouveen es : a gl l a soluon générale es : Acos E c V l

29 Problèe 4: On consdère un fléau consué d une ge éallque de asse néglgeable, de longueur l oran deu asses e M, ournan sans froeen auour de son ae au on fe O coe le onre la fgure.. A l équlbre la barre es horzonale. Déerner: a condon d équlbre e l allongeen du ressor. e agrangen du sysèe équaon dfférenelle du ouveen, la ulsaon rore e la érode rore. a soluon générale avec les condons nales suvanes : * e v Alcaon nuérque : =M=Kg, =N/ e lagrangen : Soluons : On a les délaceens nfnésau coe su : l l,, 4 4 son déandans

30 On a donc un seul degré de lberé. énerge cnéque : l Ec M l M l avec, l 4 énerge oenelle : E l 4 l 4 e agrangen s écr alors : E l l l c E l M l 9M 4 équaon dfférenelle du ouveen : d d 4 9M a ulsaon rore ω e la érode rore son : M TO 9M a soluon générale es : Acos Problèe 5 : So un dsque de asse M, de oen d nere J lé ar deu ressors, l un au cenre O, l aure au on A dsan de R/ du on O se glssan sans froeen suvan l ae O coe le onre la fgure.:

31 4 Eablr le agrangen du sysèe. Déerner l équaon dfférenelle du ouveen En dédure la ulsaon rore du sysèe ans que la soluon générale Soluons : e degré de lberé : On a le délaceen nfnésal coe su R, son déendans e sysèe a un seul degré de lberé e agrangen du sysèe : énerge cnéque : E c J M avec R énerge oenelle :

32 5 E R e agrangen du sysèe s écr alors coe su : J M R 4 équaon dfférenelle s écr alors : d d 4 J M R a ulsaon rore es : 4 J M R a soluon générale s écr alors : Acos Problèe6 : So un sysèe élecrque nd, C a en sére rerésené dans la fgure. coe su : A arr des los du Krchhoff, éablr l équaon dfférenelle du ouveen. En dédure la ulsaon rore du ouveen. a lo des alles : V Z nd q C a avec Z nd équaon dfférenelle deven alors : Soluons : j nd nd d d q C a

33 6 nd q C a q avec dq d On a l équvalence du sysèe écanque-élecrcé coe su: nd q C a q nd q ca a ulsaon rore du ouveen s écr sous la fore: nd C a Problèes suléenares: Problèe 6: Soen deu ressors de êe radeur on une longueur à vde l. a fgure. rerésene une asse relée à leurs eréés eu glsser sans froeen suvan l ae O Déerner: e agrangen du sysèe. équaon dfférenelle du ouveen. a ulsaon rore, la érode rore e la soluon générale. Problèe 7: On consdère un gaz onsé, un lasa, foré d ons e d élecrons ayan une charge globale nulle. On néglgera les ouveens des ons beaucou lus lourds que les élecrons. On suose que les élecrons ne se délacen que

34 7 arallèleen à l ae O. Au reos, le lasa es hoogène e conen n, nobre d élecron ar uné de volue. On consdère une ranche de lasa d, les élecrons sués resecveen en oson e +d se délacen ar les quanés s, e s+d, la fgure.4: En ulsan l équaon de osson, déerner l équaon dfférenelle du ouveen. En dédure la ulsaon rore du sysèe.

35 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé 8 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé

36 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé 9 Rael héorque : En réalé ous les sysèes hysques neragssen avec le leu envronnan. Dans ce chare on do enr coe l nfluence de la force de froeen vsqueuse de ye V sur les oscllaons du sysèe. Ce ye de ouveen es aelé f fr ouveen aor. On défn l oscllaon aor coe su : Où es un coeffcen osf e es aelé faceur d aorsseen. a résoluon de cee équaon se fa ar le changeen de varable, l équaon deven alors : r r On calcule le dscrnen on oben alors : Il ese ros yes de soluons : ' Cas où le sysèe es foreen aor : a soluon de l équaon dfférenelle s écr coe su :, r r Ae Ae r Où A e A son coeffcens à déerner ar les condons nales : On d que le sysèe a un ouveen aérodque. Cas où l aorsseen crque :

37 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé a soluon de l équaon es de fore : A A r r r e r Où A e A son coeffcens à déerner ar les condons nales :, Cas où l aorsseen es fable : a soluon de l équaon dfférenelle es de fore : Ae cos avec Où A e son des consanes à déerner ar les condons nales : On défn la ulsaon du sysèe coe su: On défn la érode du sysèe T aelé seudo-érode coe su :

38 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé T On défn le décréen logarhque qu rerésene la décrossance de l alude à une seule érode du sysèe coe su: n T Il fau sgnaler que le sysèe sub une ere d énerge oale due au raval des forces de froeen. de T d dw fr E T W fr

39 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé Alcaons : Problèe : On défn un oscllaeur aor rég ar l équaon dfférenelle suvane :. Avec es la asse du cors, es le coeffcen de rael e es le délaceen du cors. On lance le sysèe avec une vesse nale v =5c/s. Donc à =, = e v Calculer la érode rore du sysèe, sachan que : =5g e =.8N/. Monrer que s α=.6g/s, le cors a un ouveen oscllaore aor. Résoudre dans ce cas l équaon dfférenelle. Calculer le seudo-érode du ouveen. Calculer le es dédure. Calculer la vesse d une seudo-érode. au bou duquel la reère alude Soluons : équaon du ouveen aor es de fore : es aene. En.. a érode rore du sysèe es T : avec, T O 5rad / s.5s équaon dfférenelle du ouveen se ransfore en :

40 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé r ' ' r Avec e cors a un ouveen oscllaore aor. a résoluon de cee équaon dfférenelle es de fore : Ae cos En alquan les condons nales :, cos, v v A avec a soluon fnale sera erée coe su : Ae cos v e sn a fgure. rerésene le ouveen oscllaore aor. a seudo-érode : T.7s e es de la reère alude Il fau que :

41 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé 4 d d D où :.5s T 4 Arcg Problèe : Soen les sysèes écanques rerésenés dans les fgures. e. coe su : Pour des ees oscllaons, déerner our chaque sysèe : e agrangen e l équaon dfférenelle du ouveen. a ulsaon rore e la soluon générale our un fable aorsseen. Fgure. : e agrangen : énerge cnéque : E c v l Soluons :

42 5 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé énerge Poenelle : a a sn avec cos gl E e agrangen s écr : cos gl a l E E c équaon dfférenelle es : e l a, l a M d d a soluon générale es our un fable aorsseen es de fore: cos Ae Fgure. : e agrangen : énerge cnéque : c v E énerge Poenelle : E e agrangen s écr alors : c E E équaon dfférenelle es :, F d d e a soluon générale our un fable aorsseen es : cos Ae

43 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé 6 Problèe : On consdère un sysèe écanque aor, oscllan auour d un ae assan ar O rerésené ar une ge éallque de longueur l de asse néglgeable relée ar deu ressors denques de consane de radeur au on l/ coe le onre la fgure.4 : Eablr le agrangen du sysèe. Déerner l équaon dfférenelle du ouveen. En dédure la ulsaon rore du sysèe. Résoudre dans le cas de fable aorsseen l équaon dfférenelle du ouveen avec les condons nales suvanes :, e agrangen : énerge cnéque : E c v l énerge Poenelle : E glcos Soluons : avec l sn l e agrangen s écr :

44 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé 7 E c E l l équaon dfférenelle es : d d M e gl cos l gl l Pour un fable aorsseen la soluon s écr sous la fore :,, Ae cos avec, A Alors, la soluon générale s écr : e sn, l gl l Problèe 4: So une boule de asse susendue à une ge de longueur l, de asse néglgeable e longée dans un lqude. Cee asse es souse à une force de froeen vsqueuse don le coeffcen de froeen es coe le onre la fgure.6 coe su : Eablr le agrangen du sysèe. Déerner l équaon du ouveen. Résoudre dans le cas de fable aorsseen l équaon dfférenelle. Alcaon nuérque : =Kg, l=5c, g=/s. Calculer la valeur aale que ne do as aendre our que le sysèe osclle.

45 Chare : Mouveen aor à un degré de lberé 8 On rend la valeur de égale à N.s/, calculer le es nécessare τ our que l alude dnue à ¼ de sa valeur. e agrangen du sysèe : E c E l gl cos équaon dfférenelle es : Avec, g l a soluon générale es : Soluons : Ae cos a valeur aale de a : e es τ : Ae g a l 4 e ln4.8s 8.94N.s /

46 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 9 Chare 4 : Mouveen forcé à un degré de lberé

47 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 4 Rael héorque : On défn une oscllaon forcée, ou sysèe en ouveen sous l acon d une force eéreure. On défn l équaon du ouveen forcé coe su : f Où f es aelée la foncon ecaon eéreure. Cee équaon es lnéare de second ordre non hoogène à coeffcens consan. a soluon de l équaon dfférenelle qu résene la réonse du sysèe à l acon eéreure, es la soe de deu heres : Où g e rerésenen resecveen la soluon générale la soluon arculère. g Il fau sgnaler qu au débu du ouveen rerésene le rége ransore. Au fl du es la soluon hoogène g deven néglgeable devan la soluon arculère qu défn le rége eranan. Ans la soluon oale dans ce cas, es de fore : Dans le cas où l ecaon es snusoïdale de ye : f f j cos fe a soluon oale s écr alors coe su : Acos Où A rerésene l alude de la soluon oale e le déhasage. On cherche la soluon de l équaon dfférenelle sous fore colee : Avec Ae j jae j Ae j

48 4 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé Alors l alude s écr : j f Ae j En odule : 4 f A En Arguen : Arg éude des varaons du odule de l alude se fa ar : d A d Il ese deu ulsaons : r On aelle r la ulsaon de résonance. On défn ans : a largeur de la bande assane : e faceur de qualé Q our un fable aorsseen : r Q

49 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 4 Alcaons : Problèe : So un euble A odélsé ar le sysèe hysque rerésené ar une asse M e un ressor de radeur sub à un ouveen ssque snusoïdal d alude a de fore s a cos coe su: Quelle es la réonse du sysèe. Jusfer e agrangen du sysèe : énerge cnéque : E c v énerge oenelle : E s Soluons : e agrangen du sysèe s écr alors : s équaon dfférenelle es de fore : d d F e a cos a Re e j a soluon de cee équaon es : j Ae

50 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 4 En relaçan dans l équaon de ouveen, on déerne l alude de la réonse coe su : A a a réonse du sysèe es rerésenée dans la fgure. : A lorsque euble va s effondrer face au sése car le sysèe osclle avec la ulsaon rore. On aelle ce hénoène la résonance. On se roose dans ce cas la de ere en lace un oyen d aorr les oscllaons eéreurs du sysèe qu se radu ar une force de froeen vsqueuse. Problèe : So le crcu fore ar l assocaon arallèle R, nd, C a e alene ar une source de couran snusoïdale délvran un couran d nensé cos coe le onre la fgure 4.4 c-dessous.

51 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 44 Erer la enson colee u au bornes de l assocaon arallèle en foncon de,, e des araères du crcu. On ose, C nd a e on défn le faceur de qualé du crcu coe su : Q RC a Erer le odule de la enson u au bornes de l assocaon arallèle en foncon de R,, Q e. Monrer que u asse ar un au u a déerner. our une valeur de à Rerésener soareen u f en foncon de. Que rerouve - u a on? Calculer la largeur de la bande assane. Soluons : a enson colee u du sysèe es de fore : So Z ~ équ u Z ~ équ d' où u Z ~ l édance colee équvalene du crcu R..C en arallèle. équ

52 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 45 Avec : Z ~ équ R jc a j nd d ' où u jr C R a nd e odule de la enson s écr alors : u R Q On consae que : u u a R lorsque e schéa de la foncon u f es rerésené dans la fgure.4 u a coe su : f Avec u u a f s Q Résonance a bande assane s écr coe su : avec Q Arès ransforaon on oben la largeur réelle de la bande assane :

53 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 46 d' où RC Problèe : On consdère un sysèe de réceon rado odélsé ar un crcu R, nd, C a en sére e alené ar une source de enson snusoïdale d nensé u u cos coe le onre la fgure 4.6 c-dessous. Déerner l édance oale du sysèe. En dédure le odule du couran arcourue ar le crcu en foncon des araères R, nd, C a e ω. Euder les varaons du odule de couran en foncon de ω Trouver la fréquence de résonance. En dédure le couran au. Eablr la bande assane e le faceur de qualé en foncon des araères du crcu R, nd, C a e ω. Donner une elcaon our le fonconneen de ce sysèe. Soluons : e crcu es en sére, l édance oale es : Z ~ R j nd C e odule du couran es : u u I Z ~ R a nd C a es varaons du odule du couran son :

54 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 47 I a Pour u R nd d ' où C a r On aelle r ar la ulsaon de résonance. a fgure 4.7 rerésene l allure I en foncon de ω nd C a a bande assane e le faceur de qualé son défn : nd Q R alcaon echnque de ce hénoène es la sélecon des fréquences de résonances our dfférenes saons de rado. R nd Problèe 4: On défn un ssoère coe un sysèe hysque aelé caeur qu corend un suor e une asse relé ar un ressor e un aorsseur dsosés en arallèle, la fgure 4.8. a asse, de cenre de gravé G, ne eu se délacer que vercaleen. e suor, le ressor e l aorsseur on une asse néglgeable.

55 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 48 e ressor a une longueur à vde l e une rgdé. a consane de froeen es. On récse que s, les eréés A e B d un aorsseur aarenan à un sysèe écanque, décrven un ae Δ arallèle à l ae O avec des vesses resecves v b, l aorsseur eercce sur le rese du sysèe en on A une force en on B une force v v où es le veceur unare. Pare A : a a e suor es oble ar raor au reère R. Calculer l abscsse du cenre d nere de la asse en équlbre. v b v a Ecrre l équaon dfférenelle du ouveen de la asse écaré de sa oson d équlbre. Que deven cee équaon quand on ose = +X. On ose, C f avec f 4 c. Monrer que l équaon dfférenelle s écr sous la fore suvane : va e e...

56 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 49 Calculer α * e β * en foncon de λ e ω. On donne λ=.5, ω = rad/s. A l nsan nal, X= c e X X our =.s.. Déerner Pare B : On suose anenan que le suor es soldare du carer d une achne ané d un ouveen snusoïdale vercale coe le onre la fgure 4.9. On suose que b es osf. b sn ar raor au reère R, Ecrre l équaon de la asse ar raor à R. Monrer que l équaon dfférenelle eu s écrre sous la fore suvane :.. Avec. X H C sn b sn Déerner H e C, que rerésene X? Euder la soluon en rége eranen X B sn osf. avec B

57 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 5 Calculer le raor B e an en foncon de λ e. b Tracer l allure du grahe de B en foncon de μ el que B=f. On suose que λ=.5, onrer que s μ es suéreur à une cerane valeur μ, B es nféreur à - b. Calculer μ. En dédure une condon our que l aarel usse fonconner en caeur d alude. Soluons : Pare A : e suor es oble ar raor au reère R. abscsse s écr coe su : g l équaon dfférenelle du ouveen es de fore : d ' où Alors a l a g X X X X X a nouvelle équaon du ouveen s écr alors : X Avec X a résoluon de cee équaon dfférenelle : X r r. 5 a soluon es de fore : X e Avec A X A cos B B sn X

58 5 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé e sysèe a un ouveen aor. a valeur de X es : X=.5 Pare B : e suor es oble ar raor au reère R. a relaon dynaque du ouveen : sn b X e X où ' d g a l équaon du ouveen deven alors : b H Avec sn b X X X a soluon oale de l équaon dfférenelle en rége eranen es : sn B X X En noaon colee on aura la fore suvane : j Be X ~ X ~ En relaçan dans l équaon dfférenelle, on oben alors : Avec an b B es varaons de B=fμ : s d db Ans on dsngue deu cas : Aorsseen fable Résonance Aorsseen oran On eu en dédure que :

59 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 5 B B b Pour =.5, on aura : B B b B a. 5 b our s d ' où 7. 5 On eu conclure que l aarel rerodu les oscllaons du carer s la ulsaon ω es orane. Il fonconne alors en caeur d alude. Problèe 5: On défn le odèle d un oscllaeur haronque, fgure 4., rerésenée ar une asse lacée dans un oenel élasque du ye : E Cee asse es souse à une force de froeen vsqueuse e don le coeffcen de froeen es α. Mode lbre : Dans le cas des oscllaons lbres Déerner le agrangen du sysèe. Eablr l équaon du ouveen. En dédure la soluon générale avec les condons nales suvanes : == e v. Mode forcé : On ade que les froeens esen, la asse effecue des oscllaons forcées sous l effe d une force snusoïdale : f f cos

60 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 5 On ade que la vesse du oble es de fore : v v cos Éablr l équaon du ouveen. Résoudre l équaon dfférenelle en rége eranen. Déerner l édance écanque colee défn coe raor enre la force alquée e la vesse du oble. Coarer le résula avec le sysèe élecrque. Mode lbre : e lagrangen du sysèe : équaon du ouveen : Soluons : avec a soluon générale es de fore : Mode forcé : v sn équaon du ouveen : f f avec C es une équaon dfférenelle nhoogène lnéare, d un ouveen force. a résoluon de cee équaon dfférenelle en rége eranen es : A cos R e Ae j Soen A l alude de la soluon e son arguen. En relaçan dans l équaon dfférenelle e arès le calcul, On oben alors :

61 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 54 A f e an es varaons de A son déernées ar : da r d Résonance En relaçan dans l équaon du ouveen, l édance colee es écre coe su : Z ~ écan f v Z ~ écan j Pour le sysèe élecrque, le résula es donné coe su: Z ~ élecr u Z ~ élecr R j nd C a On conclue donc les équvalences suvanes : R C nd a Problèe 6: orsqu un oeur élecrque fonconne, l résene des vbraons naurelles qu l es nécessare d aorr our éver de les ransere a son châsss. On révo donc un sysèe de susenson. e oeur es assle au on aérel de asse ouvan se délacer arallèleen a l ae vercal Oz. a susenson le relan au châsss es odélsée ar un ressor de longueur à vde l e de radeur en arallèle avec un aorsseur eerçan sur le oeur une force de frenage f z u e châsss rese fe dans un référencer galléen e on noe le cha de esaneur g fr z

62 Chare 4: Mouveen forcé à un degré de lberé 55 Mode A : e oeur ne fonconne as e l es oble. Déerner dans ce cas la longueur l du ressor. On rend la référence z= au on. Mode B : e oeur éan oujours arrêé, on l écare de sa oson d équlbre e us on le lasse évoluer lbreen. Déerner le agrangen du sysèe. Éablr l équaon dfférenelle du ouveen vérfée ar z. On ose e Donner la fore de la soluon générale z en foncon des araères ν e ω, on suose que ν<. Coen aelle--on ce rége? Écrre l eresson de l énerge oale E T en foncon de z e dz d de Que vau--l la valeur de l eresson T. le sysèe es l conservaf? d Mode C : e oeur fonconne, e ou se asse coe s l aarassa une force suléenare de fore : F F cos u z Éablr la nouvelle équaon du ouveen vérfée ar z En rége eranen, on cherche des soluons de la fore

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