CHAPITRE 4 RELATIONS, FONCTIONS ET GRAPHES

Transcription

1 CHAPITRE 4 RELATIONS, FONCTIONS ET GRAPHES 4-1 LE PLAN CARTÉSIEN Le plan cartésien ou le sstème de coordonnées rectangulaires est formé par une droite réelle horizontale et une droite réelle verticale qui se coupent à leur origine. Ces droites sont appelées les aes de coordonnées. En mathématiques, l'ae horizontal est nommé aussi l'ae des et l'ae vertical, l'ae des. On peut bien entendu remplacer les variables et par toute autre paire de variables. Ces aes divisent le plan en quatre quadrants. II 4 I À chaque point dans le plan, sont associés ses coordonnées, une paire ordonnée (a,b) déterminée par une droite horizontale et une droite verticale passant par le point. Ainsi, a est l'abscisse ou la coordonnée du point et correspond à l'intersec- III IV tion de la droite verticale avec l'ae horizontal, tandis que b est l'ordonnée ou la coordonnée du point et correspond à l'intersection de la droite horizontale et de l'ae vertical. Le point (0,0) est appelé l'origine. Tout point du plan peut être caractérisé par ses coordonnées (, ). Si nous considérons points P 1 ( 1, 1 ) et P (, ) dans le plan, la distance entre ces deu points P 1 et P est d(p 1, P ) = ( 1 ) + ( 1 ) P (, ) P 1 ( 1, 1 ) Eemple Trouvez la distance entre les points P (, 5) et Q (3, 1). d(p, Q ) = [3 ( )] + [1 5] = = 41 Le point milieu d'un segment de droite qui va du point P 1 ( 1, 1 ) au point P (, ) est P 1 +, 1 +

2 page IV. chapitre 4 : relations, fonctions et graphes Eemple 4-1. Soit les points A ( 3, ) et B (4, 3). Le point milieu du segment allant de A à B est P 3 + 4, + 3 = P 1, 1 4- ÉQUATIONS DE DEUX VARIABLES, SOLUTIONS GRAPHIQUES Nous avons vu au chapitre 3 les notions d'équations et d'inéquations à 1 variable ainsi que leur ensemble solution. Que se passe-t-il si variables sont présentes dans l'équation, par eemple + = 4? Pour parler d'une solution de cette équation, nous devons fournir une valeur de et une valeur de, donc une paire (ou un couple) de valeurs (, ). Dans ce cas-ci, (, 1), (0, ) et 3, 1 sont des solutions de + = 4, mais (1, 1) n'est pas une solution. On constate qu'une équation à deu variables indique une relation entre ces variables. Ses solutions sont les couples qui vérifient l'équation et chacun de ces couples peut être représenté par un point du plan cartésien. L'ensemble solution d'une équation de deu variables est l'ensemble de toutes les paires ordonnées de nombres réels qui font de l'équation un énoncé vrai. Le graphe d'une équation de deu variables est le graphe de son ensemble solution et on obtient en général une droite ou une courbe dans le plan cartésien. Eemple 4-.1 Trouver la représentation, dans le plan cartésien, des solutions à l'équation = 1 On peut donner certaines valeurs à pour trouver les valeurs correspondantes de et ainsi obtenir plusieurs points solutions: (0, 1), ( 1, 0), (1, 0), (, 3), etc. Après avoir placé ces points dans le plan cartésien, on peut par etrapolation compléter le graphe de cette équation. 4 = 1-4 -

3 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.3 Lorsqu'on étudie une équation, on peut rencontrer certaines propriétés de smétrie qui peuvent nous aider à tracer son graphe: Un graphe est smétrique par rapport à 1. l'ae si ( a,b) fait partie du graphe lorsque (a,b) fait partie du graphe.. l'ae si (a, b) fait partie du graphe lorsque (a,b) fait partie du graphe. 3. l'origine (l'ae et l'ae ) si ( a, b) fait partie du graphe lorsque (a,b) fait partie du graphe. TEST DE SYMÉTRIE D'UNE ÉQUATION Smétrie par rapport à: l'ae des l'ae des l'origine L'équation est équivalente lorsque: est remplacé par est remplacé par et sont remplacés par et Eemple 4-. a) Lorsqu'on remplace par dans l'équation = 1, on obtient = ( ) 1 = 1, une équation équivalente. Le graphe est donc smétrique par rapport à l'ae des. b) Soit l'équation = 3. Si on remplace par, on aura = ( ) 3 = 3, qui n'est pas équivalente à l'équation de départ. Par contre, si on remplace par et par, on aura = ( ) 3 = 3 = 3. Le graphe de = 3 est donc smétrique par rapport à l'origine. 4-3 LA DROITE, LE CERCLE ET L'ELLIPSE Certains tpes d'équations à variables reviennent très souvent en sciences appliquées. Nous en verrons 3 dans cette section. La droite: Lorsqu'on veut parler d'une relation entre deu variables entre lesquelles l'on a constaté une progression linéaire, on aura une équation aant la forme standard A + B = C, où A, B et C sont des constantes, A ou B non nulles et où,. Une droite est la représentation graphique de l'ensemble solution de cette équation.

4 page IV.4 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point où le graphe de la droite rencontre l'ae des, l'abscisse à l'origine est l'abscisse du point où le graphe rencontre l'ae des. La pente de la droite qui joint les points ( 1, 1 ) et (, ) est m = 1 1 si 1 Lorsque 1 = pour tous les points de la droite, la droite est verticale et sa pente n'est pas définie. Deu droites de pentes m 1 et m sont parallèles si et seulement si m 1 = m et elles sont perpendiculaires si et seulement si m 1 m = 1. Il eiste plusieurs façons de représenter l'équation d'une droite. Elles sont résumées dans le tableau suivant: ÉQUATION DE LA DROITE Forme standard A + B = C A 0 ou B 0 Forme pente-ordonnée à l'origine = m + b Pente: m; ordonnée à l'origine: b Forme pente-coordonnées 1 = m( 1 ) Pente: m; point: ( 1, 1 ) Droite horizontale = b Pente: 0 Droite verticale = a Pente: non définie Eemple Quelle est l'équation de la droite passant par les points (, 1) et ( 3, 5)? Calculons la pente: m = 5 ( 1) 3 = 6 5 = 6 5 Une fois qu'on connaît la pente, on peut utiliser, indifféremment, une des deu formes suivantes: i) = m + b = 6 + b et on utilise un des points pour déterminer la valeur de b: 5 1 = b b = = 7 5. = ii) 1 = m( 1 ) en se servant du deuième point: 5 = 6 5 ( ( 3)) = 6 ( + 3) 5

5 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.5 5 = 6 ( + 3) 5 Cette forme est équivalente à la première trouvée. Dans les deu cas, on peut se ramener à la forme standard équivalente: = = = 7 Eemple 4-3. Quelle est l'équation de la droite passant par le point (4, 1) qui est perpendiculaire à la droite 3 = 4? i) Commençons par trouver la pente de la droite 3 = 4: 4 = 3 = Donc m 1 = 1 3 ii) Puisqu'on veut une droite perpendiculaire, la pente de la droite cherchée doit être m et 1 3 m = 1 m = 3 = 3 + b et puisqu'elle doit passer par (4, 1), 1 = b b = 13 donc = Le cercle : Si tous les points (, ) d'un graphe sont à une égale distance r > 0 de l'origine [ le point (0, 0) ], alors ils satisfont l'équation + = r qui est l'équation du cercle centré à l'origine. Par le théorème de Pthagore, on voit bien que + = r. + = r r O P(,) Si le cercle n'est pas centré à l'origine, mais sur un point de coordonnées (h, k) alors l'équation générale du cercle sera ( h) + ( k) = r, où r > 0 est le raon du cercle. Eemple Le graphe de l'équation ( + ) + ( 5) = 5 sera celui d'un cercle de raon 5, centré en (, 5). Eemple Dans le plan, quelle figure géométrique représentera l'équation 6 + = 5?

6 page IV.6 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes La présence du terme ( 6) nous dit que l'on doit compléter le carré de l'epression en : 6 = = ( 3) 9 On aura donc ( 3) 9 + = 5 ( 3) + = 34 On aura un cercle de raon 34 centré en (3, 0). L'ellipse: L'équation générale d'une ellipse centrée à l'origine est On remarque que si b = a, on retrouve l'équation du cercle + = a. De plus, si on remplace par ( h) et par ( k), on obtiendra l'équation générale d'une ellipse centrée au point (h, k): ( h) a + ( k) b = 1. Voici, à droite, le graphe d'une ellipse centrée à l'origine, pour laquelle a > b. a + = 1 avec a,b > 0 b b a F 1 F a b Si on pose = 0 dans l'équation a + b = 1, on aura = a = ±a. Donc les points ( a, 0) et (a, 0) sont sur le graphe. Puisque dans le graphe précédent, on considérait a > b, l'ellipse est caractérisée par aes: les grand ae sur l'abscisse qui va de a à a et le petit ae sur l'ordonnée de b à b. Si on avait b > a, alors le grand ae serait vertical. En géométrie, on définit l'ellipse comme l'ensemble des points dont la somme des distances à deu points fies (appelés foers) est constante. La distance entre le centre de l'ellipse et un des foers est appelée distance focale. Le dessin de droite représente une ellipse pour laquelle la distance focale est c et a > b; son équation est a + b = 1. b F 1 F a c c a b P(,)

7 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.7 On peut montrer les résultats suivants: d(f 1, P) + d(f, P) = a c + b = a donc la distance focale c = a b On définit l'ecentricité (notée e) d'une ellipse comme le rapport: e = c a Remarque: Une inéquation à variables sera représentée par une région du plan au lieu d'une courbe. Par eemple, + < 4 désigne la région à l'intérieur du cercle de raon, centré à l'origine. L'inéquation < + 3 désigne la région qui est sous la droite = LES FONCTIONS ET LEURS GRAPHES Si A et B sont deu ensembles non vides, une fonction de l'ensemble A vers l'ensemble B est une règle qui associe à chaque élément de A un et un seul élément de B. On écrit souvent f: A B. Si A, on dénote par f() l'élément de B associé à ; on note f() la valeur de f au point ou encore l'image de f au point. L'ensemble A s'appelle le domaine de f et est noté Dom(f). L'ensemble des valeurs de B qui sont atteintes par la fonction s'appelle l'image de f et est noté Im(f); on a donc Im(f) B. f : A B a f( ) Soit l'équation = +. On dit ici que est une fonction de ; = f() = + puisque chaque élément du domaine est envoé sur la valeur + et qu'aucun nombre n' est envoé sur deu éléments différents de l'image de f. Dans cet eemple, Dom(f) = et Im(f) = { }. Dans l'eemple précédent, la variable est la variable indépendante (celle qui est transformée par la fonction) et est la variable dépendante (celle dont la valeur dépend de celle donnée à ). Faire le graphe d'une fonction consiste à tracer dans le plan la courbe reliant les points (, f()) = (, ) où Dom(f); c'est donc tracer l'équation = f(). Pour satisfaire la définition, une droite verticale rencontre le graphe d'une fonction en au plus un point. À moins qu'il en soit spécifié autrement, le domaine d'une fonction définie par une équation est l'ensemble

8 page IV.8 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes de tous les nombres réels qui, lorsqu'ils remplacent la variable indépendante, produisent un nombre réel pour la variable dépendante. L'abscisse de tout point où le graphe de la fonction f rencontre l'ae des est appelé une intersection de f. L'ordonnée de tout point où le graphe de la fonction f rencontre l'ae des est appelé une intersection de f. Eemple 4.1 Soit l'équation = f() = +, où,. Pour que eiste, il faut que + 0 Donc Dom(f) = [, ) Comme + est positif ou nul, Im(f) = [0, ) Eemple 4. Soit l'équation + = 4. Comme il s'agit d'un cercle de raon centré à l'origine et qu'une droite verticale peut rencontrer son graphe à endroits, on sait que cette équation ne définit pas une fonction. D'ailleurs, si on essaie d'isoler, on aura = 4 = ± 4 et on remarque que si on pose = 0 alors = ou =. Par contre, = 4 = g() définit une fonction dont le graphe est le demicercle supérieur de raon centré à l'origine. De plus, Dom(g) = [, ] et Im(g) = [0, ] Soit f : A B une fonction. On dit que f est injective si 1, A, f( 1 ) = f( ) 1 = f est surjective si Im(f) = B f est bijective si elle est à la fois injective et surjective. (Chaque élément de A est en correspondance avec un seul élément de B et vice-versa.) Soit I un intervalle dans le domaine de f et soit a et b dans I. Alors: 1. f est croissante sur I si f(b) > f(a) pour tout b > a.. f est décroissante sur I si f(b) < f(a) pour tout b > a. 3. f est constante sur I si f(b) = f(a) pour tout a et b.

9 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.9 Eemple 4.3 Soit g() = 1 dont le graphe est le suivant: g() = Cette fonction est croissante sur [1, ) et décroissante sur (, 1] De plus, sur cette fonction n'est pas bijective car g(0) = g() = 1. Par contre, si on restreint le domaine à [1, ), cette fonction devient bijective. Une fonction f est une fonction linéaire si f() = m + b avec m 0. La droite que nous avons étudiée dans la section précédente en est la représentation graphique. Une fonction f est une fonction quadratique si f() = a + b + c où a 0. Cette fonction et son graphe (qu'on appelle parabole) ont les propriétés suivantes, qu'on retrouve en se rappelant qu'on peut compléter le carré: f() = a + b + c = a ( + b ) a b 4ac 4a : 1. Ae de smétrie: = b a. Sommet: b a, f b a 3. f b La valeur minimale de f() si a > 0 = a La valeur maimale de f () si a < 0 f() Ae de smétrie f() Ae de smétrie 4. a > 0 Ouverte vers le haut Min f(){ Sommet a < 0 Ouverte vers le bas Sommet Ma f()

10 page IV.10 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 5. Domaine: tous les nombres réels; image: à identifier d'après le graphique; b si a > 0, alors Im = f, a b si a < 0, alors Im =, f a Une fonction définie par morceau est une fonction dont la définition fait appel à plus d'une formule, c'est-à-dire que c'est une fonction qui est définie à l'aide de plus d'une fonction distincte sur des intervalles distincts de son domaine. Eemple 4.4 Soit f() = { + 1 si < si 3 1 f() 1 3 Le graphe d'une fonction est continu s'il n'a pas de trous ou coupures ( de sauts) et il est discontinu à tout point où il a un trou ou une coupure. Eemple 4.5 a) Le graphe de l'eemple précédent n'est pas continu puisqu'il a une coupure en =. Si la fonction avait pris la valeur constante 3 au lieu de, le graphe aurait été continu. Par contre, ce graphe est continu si on restreint son domaine à un des deu intervalles ou bien <. b) Le graphe de la fonction g() = 1 n'est sûrement pas continu sur le domaine de g() puisque g(0) n'est pas définie. Remarque: Un graphe est continu sur un intervalle I si on peut tracer la fonction sans lever le craon, sur cet intervalle. Voici plusieurs propriétés des graphes qui nous permettent de mieu analser ceu-ci ou qui peuvent nous permettre de déduire un graphe à partir d'un autre.

11 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.11 Les tests de smétrie: f( ) = f() f( ) = f() f est une fonction paire dont le graphe est smétrique par rapport à l'ae vertical. f est une fonction impaire dont le graphe est smétrique par rapport à l'origine. Translation le long de l'ae vertical: = f() + k, k > 0 = f() k, k > 0 Translate le graphe de = f() vers le haut de k unités. Translate le graphe de = f() vers le bas de k unités. Translation le long de l'ae horizontal: = f( h), h > 0 = f( + h), h > 0 Translate le graphe de = f() vers la droite de h unités. Translate le graphe de = f() vers la gauche de h unités. Réfleion: = f() Réfléchit le graphe de = f() par rapport à l'ae des. Dilatation et contraction: = Cf(), C > 1 = Cf(), 0 < C < 1 Dilate le graphe de = f() en multipliant chaque ordonnée par la valeur C. Contracte le graphe de = f() en multipliant chaque ordonnée par la valeur C. Eemple 4.6 Soit f() = a) C'est une fonction paire puisque f( ) = ( ) = = f() b) Si on veut obtenir le graphe de g() = + 4, on n'a qu'à prendre celui de f() et le translater de 4 unités vers le haut. c) Si on veut obtenir le graphe de h() = ( + 3), on n'a qu'à prendre celui de f() et le translater de 3 unités vers la gauche. Remarque: Souvent par abus de notation, on écrit f : même si le domaine de f n'est pas tout. Il faut être prudent et bien identifier le domaine de f.

12 page IV.1 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 4-5 LES OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS La somme, la différence, le produit et le quotient des fonctions f et g sont définis par: ( f + g)() = f() + g() ( f g)()= f() g() ( fg)() = f()g() f g ()= f() g(), g() 0 Le domaine de chacune des nouvelles fonctions obtenues par ces opérations est l'intersection des domaines de f et g, à l'eception des valeurs de pour lesquelles g() = 0 qui doivent être eclues du domaine de f / g. La composition des fonctions f et g est définie par (f g)() = f [ g()]. Le domaine de f g est l'ensemble des nombres réels dans le domaine de g pour lesquels g() est dans le domaine de f. Le domaine de f g est toujours un sous-ensemble du domaine de g. Eemple Soit f() = + 1 et g() = 1 3 Dom(f) = { 1} Dom (g) = {3} 1 (f+g) () = (f g) () = Dom (f+g) = [ 1, 3) (3, ) Dom(f g) = [ 1, 3) (3, ) (f g)() = f [ g()] = f 1 3 = = 3 On peut montrer que 0 si ou > 3. 3 Donc Dom(f g) = (, ] (3, ). Remarque: plusieurs fonctions usuelles peuvent être vues comme une composition de fonctions. Par eemple, f() = ( 7) 4 = (g h) () où h() = 7 et g() = 4. Un bon test pour identifier des fonctions composées est le test du calcul. Si on veut trouver f(3), on a étapes: 1 évaluer 3 7 = 1 évaluer ( 1) 4 = 1.

13 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV EXERCICES *1. Soient les points A(-,3) et B(4,0), trouvez a) La distance entre A et B b) La pente de la droite passant par A et B c) La pente de la droite perpendiculaire à la droite passant par A et B 3. Trouvez le centre et le raon du cercle donné par ( + 3) + ( ) = 5 *. Donnez l'équation du cercle de raon 7 centré en a) (0,0) b) (3,-) *4. Faites le graphe de 3 + = 9 et indiquez sa pente. 5. Donnez l'équation de la droite dont l'abscisse à l'origine est 6 et l'ordonnée à l'origine est 4. Donnez la réponse finale sous forme A + B = C où A, B et C sont des 6. Donnez l'équation de la droite sous forme = m+ b sachant que la pente est 3 et que l'ordonnée à l'origine est. nombres entiers. *7. Donnez les équations ainsi que les pentes respectives des droites horizontales et verticales passant par (-3, 4). 8. Parmi ces epressions lesquelles définissent comme fonction de? a) = b) = c) 3 = d) = Les problèmes 9-18 réfèrent au fonction f, g, k et m suivantes f( ) = g( )= 4 k( ) = 5 m( ) = 1 Trouvez les quantités ou epressions indiquées *9. f( ) + g( ) + k( 0) 10. ( ) + 1 ( ) + 4 m g *11. ( ) f( ) f + h h 1. ( ) g( a) g a + h h 13. ( f + g) ( ) 14. ( f g) ( ) 15. ( fg) ( ) 17. ( f o g) ( ) 18. ( g o f) ( ) 16. f g ( )

14 page IV.14 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 19. Trouvez les valeurs minimums et maimums de f ( ) = sans tracer le graphe. Quelles sont les coordonnés du sommet du graphe. *0. De quelle façon peut-on obtenir les graphes des fonctions suivantes à partir du graphe de =? a) = b) = 3 ( ) c) = + 3 Les problèmes 1-5 se réfère à la fonction q donnée par le graphe ci-dessous: 1. Trouvez le domaine et l'image de q. q( ). Trouvez les intervalles pour lesquelles la 5 fonction q est croissante. 3. Trouvez les intervalles pour lesquelles la fonction q est décroissante Trouvez les intervalles pour lesquelles la fonction q est constante Identifiez les points de discontinuité a) Trouvez l'équation de la droite passant par P( 4,3) et Q(0, 3). Donnez la réponse sous la forme A + B = C, où A, B, et C sont des entiers avec A > 0. b) Trouvez d(p, Q) *7. Donnez les équations des droites a) parallèle à b) perpendiculaire à la droite = 5 passant par le point (,1). Donnez la réponse sous la forme = m+ b

15 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV Analsez la smétrie du graphe de = 36 par rapport au aes des et des. 30. Soient f() = 8 et g() = : a) Trouvez f o g et g o f. b) Donnez le domaine de f o g et g o f. 9. Tracez le graphe de f() = Indiquez l'ae de smétrie, les etrémums, les intersections avec les aes et le sommet de f(). 31. Faites le graphe de la fonction suivante et trouvez le domaine, l'image et les points de discontinuité. ( ) = si 1 < 0 f si Tracez le graphe de a) = 33. Trouvez l'équation du cercle passant par le point ( 1, 4) et de centre (3,0). b) = + 1 c) = Trouver le centre et le raon du cercle donné par l'équation = Si la pente d'une droite est négative, est-ce que la fonction dont le graphe est cette droite est une fonction croissante, décroissante ou ( )? constante sur l'intervalle, 35. Analsez la smétrie par rapport au aes et à l'origine et tracez le graphe de = Trouvez le domaine de f( ) = 5 *38. Soient f( ) = et g( ) = 1, trouvez chacune des fonctions ainsi que son domaine (A) fg (B) f g (C) f o g (D) g o f *39. Trouvez l'équation satisfaite par l'ensemble des points équidistants des deu points (3, 3) et (6,0). Quelle est le nom de cette figure géométrique? 40. Quelle sera la représentation graphique des équations suivantes : a) ( ) ( ) = 1 b) = 0

16 page IV.16 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 41. Dépréciation linéaire. Un sstème informatique acheté par une petite compagnie au coût de 1 000$ aura une valeur dépréciée de 000$ après 8 ans. Si la valeur se déprécie linéairement de 1 000$ à 000$: a) Trouvez l'équation linéaire reliant la valeur V (en dollars) au temps t (en années). b) Quelle sera la valeur dépréciée du sstème après 5 ans? *4. Affaires - fiation de pri. Un magasin d'articles de sports vend 51$ des shorts de tennis lui coûtant 30$ et il vend 35$ des lunettes de soleil lui coûtant 0$. a) Si la politique de pri du magasin pour des articles lui coûtant plus de 10$ est considérée comme linéaire et est illustrée par les pri de ces deu articles, écrivez une équation qui eprime le pri de détail R comme une fonction du coût C. b) Quel devrait être le pri de détail d'une paire de skis qui coûte au magasin 105$? 43. Salaire. Un vendeur reçoit un salaire de base de 00$ par semaine et une commission de 10% sur le total des ventes ecédant 3 000$ dans la semaine. Si représente le montant des ventes hebdomadaires du vendeur, eprimez le salaire hebdomadaire E() comme une fonction de. Trouvez E( 000) et E(5 000). 4-7 LES FONCTIONS INVERSES Comme nous l'avons déjà vu, une fonction est bijective s'il n' a pas deu paires ordonnées dans la fonction aant la même deuième composante et des premières composantes différentes. Une droite horizontale rencontre le graphe d'une fonction bijective en au plus un point. Une fonction croissante (décroissante) sur son domaine est bijective. L'inverse d'une fonction bijective f est la fonction f 1 obtenue en inversant toutes les paires ordonnées de f. Si f n'est pas bijective, alors f 1 n'eiste pas. Supposons que f 1 eiste, alors: 1. f 1 est bijective.. Le domaine de f 1 = l'image de f. 3. L'image de f 1 = domaine de f. 4. = f 1 () si et seulement si = f().

17 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV f 1 [f()] = pour tout dans le domaine de f. 6. f [f 1 ()] = pour tout dans le domaine de f Pour trouver f 1, résoudre l'équation = f() pour, puis changer pour, et pour. 8. Les graphes de = f() et = f 1 () sont smétriques par rapport à la droite =. Eemples a) Soit f() = 1 = = + 1 = Donc f 1 () = f () f 1 () b) Soit f() = 1 = Dom(f) = [1, ) et Im(f) = [0, ) 1 = = + 1 Donc f 1 () = + 1 et Dom (f 1 ) = [0, ) f 1 () f () 4-8 LES FONCTIONS POLYNOMIALES Nous voons dans cette section une généralisation de concepts qu'on a déjà abordés dans certaines sections (entre autres -, -3, ) Une fonction polnomiale de degré n est une fonction de la forme: P() = a n n + a n-1 n a 1 + a 0, a n 0 où les coefficients a i sont des nombres réels et n un entier, n 0. On peut généraliser en considérant que les coefficients de la fonction polnomiale de degré n, P(), sont des nombres complees et que le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres complees. Le

18 page IV.18 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes nombre r est un zéro de la fonction P, ou un zéro du polnôme P(), ou une solution ou racine de l'équation P() = 0, si P(r) = 0. Si les coefficients de P() sont des nombres réels, alors les intersections du graphe de = P() sont des zéros réels de P(), et des solutions ou racines réelles de l'équation P() = 0. On retrouve plusieurs théorèmes importants se rapportant au fonctions polnomiales. Soit P() un polnôme de degré supérieur à 0 et soit r un nombre réel. Algorithme de division. P() = ( r) Q() + R, où r est le diviseur, Q(), le quotient, est un polnôme unique d'un degré inférieur à P(), et R, le reste, est un nombre réel unique. Théorème du reste. P(r) = R. Théorème de la factorisation. Le nombre r est un zéro de P() si et seulement si ( r) est un facteur de P(). Eemple a) On veut diviser P() = par le facteur ( 3). En appliquant l'algorithme vu à la section -, on aura: = Donc P() = ( 3) ( 3 + 3) + 4 et P(3) = 4. b) Si P() = , alors la division par ( 3) ne produit pas de reste et on a: P() = ( 3) ( 3 + 3) On dit que = 3 est un zéro ou une racine de P() car P(3) = 0. Une fonction polnomiale à coefficients réels est continue partout et son graphe n'a pas de trous ou cassures. Si P() est un polnôme de degré n > 0 et que alors nous avons les théorèmes importants suivants: Théorème fondamental de l'algèbre. P() possède au moins un zéro. Théorème des n zéros. P() peut s'eprimer comme le produit de n facteurs linéaires et possède n zéros non nécessairement distincts.

19 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.19 Théorème des zéros imaginaires. Si P() est à coefficients réels, alors les zéros imaginaires de P(), s'il en a, apparaissent en paires conjuguées. Zéros réels et polnômes de degré impair. Si P() est à coefficients réels et est de degré impair, alors P() possède toujours au moins un zéro réel. Si P() est écrit sous la forme d'un produit de facteurs linéaires et si ( r) apparaît m fois, alors on dit que r est un zéro de multiplicité m et ( r) m est un facteur de P(). Donc un polnôme de degré n > 0 à coefficients réels peut toujours se décomposer (de façon unique) en un produit de facteurs linéaires (du tpe a + b) ou quadratiques irréductibles (du tpe a + b + c, avec b 4ac < 0); chacun de ces facteurs peut apparaître plusieurs fois dans la décomposition. Eemple 4-8. Soit P() = Par essais et erreurs, on trouve P(1) = 0 On conclut que = 1 est un zéro et donc que ( 1) est un facteur. Après division, on trouve P() = ( 1)( + 4). Le polnôme est donc factorisé sur puisque + 4 a des racines complees. Si on factorise sur, on aura P() = ( 1)( + i)( i) Théorème de localisation. Si P(a) et P(b) sont de signes opposés, alors il eiste au moins une racine entre a et b. Eemple Soit P() = Comme P(1) = 8 > 0 et P() = 3 < 0, on sait qu'il a au moins une racine réelle entre = 1 et =. Théorème des racines rationnelles. Si un nombre rationnel réduit b c est une racine du polnôme P( ) = a n n + a n 1 n 1 +L + a 1 + a 0 a n 0 à coefficients entiers, alors b divise a 0 et c divise a n Eemple Soit P() = Si b c est une racine de P(), alors b divise 5 et c divise. Les candidats sont donc ±5, ±1, ±5 et ±1.

20 page IV.0 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes Après essais, on trouve que P 1 1 = 0. Donc = Pour trouver le facteur, on pose = est une racine. = = 0. ( + 1) étant un facteur de P(), on divise pour obtenir P() = ( + 1)( 4 + 5). Avec la formule quadratique, on obtient que les racines de sont ± i. Donc P() a 3 racines (sur ): 1, + i et i. 4-9 LES FONCTIONS RATIONNELLES Une fonction de la forme f() = n(), où n() et d() sont des polnômes, est une fonction rationnelle. d() La droite = a est une asmptote verticale pour le graphe de = f() si f() tend vers l'infini, noté f(), ou si f() tend vers "moins l'infini", noté f(), lorsque a + ( tend vers a par la droite) ou bien si a ( tend vers a par la gauche). Si d(a) = 0 et n(a) 0, alors la droite = a est une asmptote verticale. La droite = b est une asmptote horizontale pour le graphe de = f() si f() b lorsque ou. La droite = m+ b est une asmptote oblique si le degré de n() est un de plus que le degré de d() et si ce dernier pôlnome n'est pas un facteur de n(). L'équation de l'asmptote sera égal au quotient obtenu en divisant les deu pôlnomes. Par eemple comme = on aura = + 6 qui sera une asmptote oblique. En effet dans la partie droite de l'équation, plus est grand, plus le comportement de la fonction rationnelle se 17 rapprochera de celui de la droite = + 6 car plus est grand, plus la valeur de se rapproche de 0. Soit: f() = a m m a 1 + a 0 b n n b 1 +b 0, a m,b n 0 1. Si m < n, alors l'ae des est une asmptote horizontale.. Si m = n, alors la droite = a m / b n est une asmptote horizontale. 3. Si m > n, alors il n' a pas d'asmptote horizontale.

21 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.1 Le graphe d'une fonction rationnelle: f() = n()/d() Étape 1: Les intersections. Trouvez les solutions réelles de l'équation n() = 0 et utilisez ses solutions pour dessiner les intersections du graphe de f. Évaluez, si elle eiste, f(0) et dessinez l'intersection. Étape : Les asmptotes verticales. Trouvez les solutions réelles de l'équation d() = 0 et utilisez ses solutions pour identifier le domaine de f, les points de discontinuités et les asmptotes verticales. Dessinez en lignes pointillées les asmptotes verticales. Étape 3: Le tableau de signes. Construisez un tableau de signes pour f et utilisez-le pour étudier le comportement du graphe près de chaque asmptote verticale. Étape 4: Les asmptotes horizontales. Déterminez s'il eiste une asmptote horizontale et s'il a lieu, dessinez-la en ligne pointillée. Étape 5: Smétrie. Analsez les smétries par rapport à l'ae vertical et à l'origine. Étape 6: Complétez le dessin. Complétez le graphe en dessinant quelques points additionnels et en les joignant par une courbe lisse et continue sur chaque intervalle du domaine de f. (Ne joignez aucun point de discontinuité.) Eemple Soit f() = = = ( 3) ( + )( 1) Dom(f) = {, 1} asmptote horizontale: = 1 = - = 1 asmptotes verticales: = et = 1 Après avoir calculé certains points et avoir eaminé f() si 1 et 1 +, = 1 puis si et +, on peut obtenir le graphe suivant:

22 page IV. chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 4-10 EXERCICES *1. Lesquelles parmi ces fonctions sont des bijections? a) f() = 3 b) g() = ( ) c) h() = 3 d) F() = ( + 3), 3. Soit f() = 3 7 a) Trouvez f 1 () b) Trouvez f 1 (5) c) Trouvez f 1 [ f()] d) Est-ce que f est décroissante, croissante ou constante sur (, )? *3. Soit f( ) = 1 : a) Trouvez f 1 ( ) b) Trouvez le domaine et l'image de f et f 1 c) Tracez les graphe de f, f 1, et = sur un même graphique. 4. Soit f( ) = 1, 0 : a) Trouvez le domaine et l'image de f et f 1 b) Trouvez f 1 ( ). c) Trouvez f 1 ( 3). d) Trouvez f 1 [ f(4) ] e) Trouvez f 1 [ f ( ) ]. *5. Divisez P( ) = pard( ) = +, donnez la réponse sous la forme 6. Quels sont les zéros du polnôme P( ) = 3( ) ( + 4) ( + 1)? P( ) = D( )Q( ) + R. ( ) = + et P( 1 + i) = 0, trouvez un autre zéro de P( ). *7. Si P 8. Comment peut-on vérifier que le polnôme P ( ) = possède au moins une racine entre 1 et?

23 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.3 9. Trouvez les racines rationnelles de P *11. Si P ( ) = ( ) = , ( ) et R tels que ( ) = ( 1 4 )Q( ) + R. trouvez Q P Quelle est la valeur de P 1 4 ( )? 10. Montrez que P( ) = 4 possède une racine entre 1 et. Trouvez cette racine à une décimale près. 1. Si P( ) = , trouvez P( 1 ) 13 Factorisez P ( ) = 1. *14. Est-ce que + 1 est facteur de P( ) = ? Epliquez sans diviser. 15. Trouvez le domaine et l'abscisse à l'origine de a) f( ) = Trouvez les asmptotes horizontale et verticale du numéro 15. b) g( ) = Trouvez le domaine de g() = 1/ Tracez le graphe de f() = 1/( + ) en indiquant les asmptotes. 19. Soit : f( ) = 1 + a) Trouvez le domaine et les intersections avec les deu aes. b) Trouvez les asmptotes verticale et horizontale de f. c) Tracez le graphe de f en indiquant les asmptotes. *0. Soit la bijection f donnée par. a) Trouvez f 1 ( ). b) Trouvez f 1 ( 3). c) Trouvez f 1 [ f( ) ]. f( ) = + 3 *1. Trouvez toutes les racines rationnelles de. Factorisez le polnôme du numéro 1. P( ) =

24 page IV.4 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 3. Trouvez toutes les racines rationnelles de P ( ) = Trouvez les racines: P( ) = Factorisez le polnôme du numéro Trouvez un polnôme de plus petit degré avec le coefficient dominant 1 qui a les zéros suivants : - 1 (multiplicité ), 3 (multiplicité 1) et 1 (multiplicité 3) Laissez votre réponse sous la forme factorisée. Quel est le degré du polnôme? 7. Tracez le graphe de f( ) = en indiquant les asmptotes verticales, horizontales et obliques. *8. Une arche circulaire forme le dessus d'un cadre de porte dont les côtés verticau ont 6 pieds de haut et sont espacés de 8 pieds. Si le dessus de l'arche est à pieds au-dessus de ses etrémités, quel est le raon de l'arche? 9. Un fermier possède 10 pieds de clôture à utiliser dans la construction de deu enclos rectangulaires et identiques qui partagent un côté commun (voir la figure). a) Eprimez l'aire totale A() comprise par les deu enclos en fonction de la largeur. b) En tenant compte de considérations phsiques, quel est le domaine de la fonction A? c) Trouvez les dimensions des enclos qui maimiseront l'aire totale comprise par les enclos. 30. Une entrée est formée en plaçant une porte rectangulaire à l'intérieur d'une arche d'équation = 16 où et sont en pieds. Si la surface de la porte est de 48 pieds carrés, quelles seront la hauteur et la largeur de la porte?

25 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.5 CHAPITRE 4 RÉPONSES SECTION a) 45. a) + = 7 b) m = 1 b) ( 3) + ( + ) = 7 c) m 1 = 3. Centre : C( h, k)= ( 3, ) 4. Pente : 3 Raon : r = = 1 6. = Verticale : = 3 pente non définie; 8. a) Fonction Horizontale : = 4, pente = 0 b) N'est pas fonction c) Fonction d) N'est pas fonction a h ; domaine : ± 4 { } Min en = b a = 3. Donc Min = f ( 3) = Sommet en ( 3, f( 3) ) = ( 3,) 0. a) Smétrie par rapport à l'ae des b) Descendre la courbe de 3 unités c) Déplacer la courbe de 3 unités vers la gauche

26 page IV.6 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 1. Domaine = (, ). [, 1], [ 1, ) Image = ( 3, ) 3. [ 1, 1) 4. (, ) 5. =, =1 6. a) 3 + = 6 b) 5 7. a) = 3 b) = Smétrique par rapport au deu aes. Il s'agit d'une ellipse centrée à l'origine avec a = 3 et b = 9. Min f( ) = f( 3) = 4 = [ 4, ) Intersection avec l'ordonnée : = f( 0) = a) ( f o g) ( ) = 8; ( go f) ( ) = 8 b) domaine de f o g est domaine de g o f est [ 0, ) Intersection avec l'abcisse : = 1, = Domaine : [ 1, 1] Image : [ 0, 1] (, 3] 3 f() un point de discontinuité en =

27 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV a) b) c) ( 3) + = Centre : C( h, k)=c(, 3); Raon : r = 16 = Smétrique par rapport à l'origine 36. Décroissante 4-4 -

28 page IV.8 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 37. [ 5, 5] 38. a) ( fg) ( ) = 1 ; (, 1] b) f g ( )= ( ) 1 ;, 1 c) ( f o g) ( ) = 1 ; (, 1] d) ( g o f) ( ) = 1 ; [ 1, 1] 39. = 3; c'est une droite 40. a) Ellipse centrée en (, 5) avec a = 3 et b = 1 b) Cercle de raon centré en 3, a) V = 1 50t b) V = $ 4. a) R = 1,6C +3 b) R = 171 $ 43. E( ) = 00 si ,1 100 si > 3 ; E( 000)= 00, E( 5 000)= 400 SECTION a), c) et d). a) b) 4 c) d) Croissante 3. a) f 1 ( ) = 1+ 6 f 1 ( ) = b) Domaine de f = [ 1, ) = image de f 1 ; c) 4 f ( ) Image de f = [ 0, ) = domaine de f 1 4 6

29 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.9 4. a) Domaine de f = [ 0, ) = image de f 1 ;.image de f = [ 1, ) = domaine de f 1 b) f 1 ( ) = + 1 c) f 1 ( 3) = [ ] = 4 e) f 1 [ f( ) ] = d) f 1 f( 4) = ( + ) ( + ) 5 6., 4, i 8. P( 1) = 5 et P( ) = 1 9., 3, ,4 11. P 13. P ( ) = 1 4 ( ) = 1 + ( ) + 5; P [ ( )] ( 1 ) = 5 1. [ ] 14. P 1 ( ) = 0, ( 1) = +1 Donc, oui 15. a) (, 4) ( 4, ) l'intersection avec l'abcisse : = 3 b) (, ) (, 3) ( 3, ); l'intersection avec l'abcisse : = 0 16 a) = ; = (,3) b) = 0 ; =, = = 4 = 0-4 -

30 page IV.30 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 19. a) (, 1) ( 1, ); c) intersection avec l'abcisse : = 1; 4 = 1 intersection avec l'ordonnée : = 1 = 1 b) = 1. = a) f 1 ( ) = c) f 1 [ f( ) ] = b) f 1 ( 3) = , 1,. ( 4) ( + 1) ( + ) 3. Aucune racine rationnelle 4. 1, 1, et 1± i 3 5. ( + 1) ( 1) 1+ i 3 1 i 3 6. P ( ) = + 1 Le degré est 6. ( +3) 1 ( ) = 1-8 = r = 5 pieds 9. (A) A( ) = 60 3 (B) 0 < < 40 (C) = 0, = Il a solutions : 4 pieds de large sur 1 pieds de haut ou bien 5, pieds de large sur 9, pieds de haut.

31 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.31 RÉVISION: EXERCICES SUR LES CHAPITRES 3 ET 4 1. Résolvez pour : = Soient A( 3,) et B( 5,6), trouvez a) la distance entre les points A et B; b) la pente de la droite passant par A et B; c) la pente de la droite perpendiculaire à celle décrite en b). 3. Trouvez l'équation du cercle de raon dont le centre est a) (0, 0) b) (-3, 1) Solutionnez et tracez le graphe des problèmes 4 à 6 4. (3 ) < Tracez la droite -3 = 6; indiquez sa pente et son ordonnée à l'origine. 8. Soient f( ) = + 5 et g( ) = 3, trouvez a) f ( ) + g( 3) b) ( f + g) ( ) c) ( f o g )( ) d) f(a + h) f(a) h 9. Effectuez et donnez vos réponses sous forme standard a) ( 3i) ( 5 + 7i) b) (1 + 4i)(3 5i) c) 5 + i + 3i 10. Soit P()= et D( ) = + 3. Eprimez P() en terme de Q() de la façon suivante : P( )= D( )Q ( ) + R. 11. Soit P( )= ( + ) ( 3) ( 5). Quelles sont les racines de P()?

32 page IV.3 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes Solutionnez les problèmes 1 à = = = = Soit P( )= Comment peut-on savoir que P() a une racine entre 1 et? 17. Soit P( )= Trouvez toutes les racines rationnelles de P(). 18. Pour quelles valeurs de est-ce que + 3 représente un nombre réel? 19. Soit la fonction illustrée à droite. f ( ) a) Quel est son domaine? 5 b) Quelle est son image? c) f ( 3) + f( ) + f( ) =? d) Sur quel intervalle f() est-elle croissante? e) Quelles sont les abscisses des points de -3 discontinuité? -5 Solutionnez les problèmes 0 à = = = Soit la droite 3 + = 1 et le point ( 6, 1) a) trouvez l'équation de la droite parallèle à celle-ci et passant par ce point. b) trouvez l'équation de la droite perpendiculaire à celle-ci et passant par ce point. Donnez vos solutions sous la forme = m + b.

33 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV.33 Solutionnez et tracez le graphe des équations 4 à 6 : > 3 5. (3 + 1)( ) ( + ) 6. (3m 4) Rappel: u = u 7. Quel est le domaine de g( ) = + 4? 8. Pour quelles valeurs de 4 représente-t-il un nombre réel? 9. Effectuez et donnez la réponse sous forme standard a) ( 3i) (4 5i)( 3i) ( + 10i) b) i i c) i Eprimez sous la forme a + bi a) (5 + 9) ( 3 16) b) c) Tracez le graphe de la fonction f( ) = 8. Indiquez son ae de smétrie, les coordonnées de son sommet, les intersections avec les aes et sa valeur minimale. Effectuez et simplifiez 3 à a 3 16b 4 t t Trouvez la fonction inverse de f( ) = Réécrivez les epressions suivantes sous la forme a p + b q, où a et b sont des nombres réels, et p et q sont des nombres rationnels. a) b) 5 4

34 page IV.34 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 38. Tracez le graphe de la fonction f ( ) = 1 si < si 0 De plus, indiquez son domaine, son image et tous les points de discontinuité. Solutionnez les problèmes 39 à = /3 4 1/3 3 = 0 Aide: / 3 = ( 1 / 3 ) 41. u 4 + u 1 = t t = Tracez le graphe des équations suivantes : a) = + 1 b) = + 1 Utilisez la calculatrice pour évaluer les epressions 44 et 45 à deu décimales près ,45 <1,86 0,33 7,9 45.,35 +10,44 16,47 = Solutionnez pour en termes de : + 1 = Soit f( ) = + 4. a) Trouvez f 1 ( ). b) Trouvez le domaine et l' image de f et de f 1 ( ).. c) Sur un même sstème de coordonnées, tracez les graphes de f, de f -1 et de =. 48. Evaluez 1 pour = Evaluez + pour = 1 i Simplifiez ( + 1) 3 ( 1) Pour quelles valeurs de a et de b l'inégalité a b < b a est-elle vérifiée? 5. Factorisez relativement au nombres entiers 9b 4 16b (a a + 1)

35 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV Simplifiez m m m + m + m 54. Trouvez le centre et le raon du cercle défini par l'équation = Solutionnez pour en termes de + + = Trouvez toutes les racines de 3 = Trouvez toutes les racines de 1 = Simplifiez en n'utilisant que des eposants positifs a) (a 1/4 b 1/4 )(a 1/4 + b 1/4 )(a 1/ + b 1/ ) b) Lesquels des polnômes suivants sont facteurs de P( )= ? a) - 1 b) Factorisez P( )= Rationnalisez le numérateur de h h Aide: (a 3 b 3 ) = (a b) (a + ab + b ) 6. Reformulez sous forme standard : a + bi a bi, a,b Simplifiez 1/(n ) n n 4n,n > RÉPONSES 1. = 5. a) 5 b) m = c) m 1 = 1

36 page IV.36 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 3. a) + = b) ( + 3) + ( 1) = 4. 5 [ 5, ) 5. 5 < < 9 ( 5, 9) 6. 5 ou : (, 5] [, ) 7. pente : 3 intersection avec l'ordonnée : = i - 4 ntersection avec l'abcisse : = 3-8. a) 0 b) c) d) a + h 9. a) 7 10i b) 3 + 7i c) 1 i = ( + 3) ( 3 4 6) , 3, 5 1. = 0, = ± = 3 ± = P( 1) = 5 et P( ) = ,, ou 3, ( ) b) { } [ 1, ) c) 1 d) [ 3, ] et [, ) 19. a) Tous les nombres réels :, e),. 0. Aucune solution : 1 est eclu. 1. = 1, 3. = 5, 1

37 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV a) = 3 8 b) = < 3 ou > 3. Donc, 3 3, ( ) ou m 3, 7. [ 4, ) a) 0 + 0i ou 0 b), 4 : [, 4) 4, 6 5 ( ) c) i 35 = i 3 i 3 = ( i 4 ) 8 ( i) = 1 8 ( i) = i 30. a) i b),9 + 10,7i c) 4 6i 31. Le minimum de la fonction est f b a = f = f(1) = = 9 8 Im(f ) = [ 9, ) Intersection avec l'ordonnée : f( 0) = 8 Intersections avec l'abcisse : = 4 ou = a 3 b b t f 1 ( ) = 5 ou a) 5 + b) / ou /

38 page IV.38 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes 38. Domaine: tous des nombres réels Image: (, 1) [ 1, ) 4 discontinue en = = 3 ± 5, = 3±i = 7 8, u = ±i, ± 3 4. t = a) 6 4 b) ,36 < 16,09 : [ 18,36, 16,09 ) 45. 5,68 et 1,3 46. = a) f 1 ( ) = 4, 0 6 f 1 () b) Domaine de f et image de f 1 : [ 4, ) (C) 4 f () Domaine de f 1 et image de f : [0, ) Il faut a < b 5. b ( 3b 4a + 4) ( 3b + 4a 4) 53. m 4m

39 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes page IV Centre : ( 3, 1) Raon : = = ± i = ± a) a b b) est un facteur de P( ) car P(-1) = P( ) = ( + 1) ( + 4) ( 3) = ( + 1) ( + 4) ( 3) ( + 3) ( 8 + h) /3 + ( 8 + h) 1/ a b a + b + ab a + b i 63.

40 page IV.40 chapitre 4 : relations, fonctions et graphes