Chapitre 1.1 Fonctions trigonométriques.

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1 Chapitre. Fonctions trigonométriques. Exercice. Formules de somme et de différence En remplaçant a et b par des valeurs particulières complèter le tableau suivant avec les résultats donnés ci-après : cos (a + b = cos a cos b sin a sin b sin (a + b = cos a sin b + sin a cos b cos (a b = cos a cos b + sin a sin b sin (a b = sin a cos b cos a sin b Exercice. Formules de duplication Déduire de l exercice précédent les formules suivantes : cos a sin a cos (a = cos a sin (a = sin (a cos (a tan (a = tan a sin tan a a et tan (a + b = tan (a + tan (b tan a tan b tan (a b = tan (a tan (b + tan a tan b On remplace b par a dans les formules de l exercice précédent : En utilisant le fait que cos a + sin a = : cos a = cos(a + a = cos a cos a sin a sin a = cos a sin. cos a = cos a = sin a. sin a = sin(a + a = sin a cos a. Pour la tangente on part de sa définition : sin a tan a = cos a = sin a cos a cos a sin a. Il suffit alors de diviser le numérateur et le dénominateur de la dernière fraction par cos a pour retrouver le résultat : sin a cos a sin a cos a tan a = cos a sin a = sin a cos a = tan a tan a.

2 Pour la formule de la somme de la tangente : sin(a + b tan(a + b = cos(a + b cos a sin b + sin a cos b = cos a cos b sin a sin b = cos a cos b cos a sin b + sin b cos a cos a cos b sin a sin b cos a cos b sin b = cos b + sin a cos a. sin a sin b cos a cos b Enfin on utilise le fait que la fonction tangente est impaire (tan( b = tan b pour obtenir le dernier résultat : tan(a b = tan(a + ( b = tan a tan b tan a tan b. Exercice 3. A l aide des formules de l exercice retrouver les formules suivantes : Transformation de produit en somme cos a cos b = (cos (a + b + cos (a b sin a sin b = (cos (a b cos (a + b sin a cos b = (sin (a + b + sin (a b Transformation de somme en produit cos p + cos q = cos ( p+q cos p cos q = sin ( p+q ( cos p q ( sin p q sin p + sin q = sin ( p+q sin p sin q = sin ( p q ( cos p q ( cos p+q Transformation de produit en somme : (cos (a + b + cos (a b = (cos a cos b sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b = ( cos a cos b = cos a cos b. (cos (a b cos (a + b = (cos a cos b + sin a sin b cos a cos b + sin a sin b = ( sin a sin b = sin a sin b. (sin (a + b + sin (a b = (cos a sin b + sin a cos b cos a sin b + sin a cos b = ( sin a cos b = sin a cos b.

3 Transformation de somme en produit : En posant a = p+q et b = p q il suffit d effectuer les calculs à partir des formules précédentes. ( ( p + q p q cos cos = [ ( p + q cos + p q ( p + q + cos p q ] De même pour les autres formules. = cos p + cos q. Exercice 4. Montrer que si l on pose t = tan (x/ alors on a cos x = t + t sin x = t + t tan x = t t On note c = cos(x/ et s = sin(x/. Alors : t + t = c c s c c + c s = c s c + s c = cos ( x = cos x. t + t = sc c + s = sin ( x t = sin x. t = sc c s = sin x cos x = tan x. Exercice 5. Les dimensions du triangle OBM sont données sur la figure suivante : O M B 3 Entourer parmi les données suivantes celles qui sont correctes OB = 3 sin BOM = 3 sin BMO = 3 OB = 3 ( ( cos BOM = 3 sin BOM + cos BOM = En appliquant le théorème de Pythagore on a OB = 3. côté opposé sin BOM = hypoténuse = 3. Et enfin la dernière proposition est toujours vraie quel que soit l angle! 3

4 Exercice 6. Soit (C un cercle de centre A et B un point de (C.. Construire les points D E F et G du cercle (C tels que : ( AB AD = π 3 ( AB AE = 3π 4 ( AB AF = 7π 6 ( AB AG = 3π 4.. Déterminer la mesure principale des angles ( AD AE ( AE AG ( AG AD et ( AG AF. E D B F G Pour calculer la mesure d un angle il suffit de faire la différence des mesures par rapport au vecteur de base : ( AD AE = ( AD AB + ( AB AE = ( AB AD + ( AB AE = 3π 4 π 3. Exercice 7. Une tour est entouré par un large fossé comme le montre le dessin ci-dessous : En se situant en A l angle MAN vaut 4. En reculant de mètres (AB = et en se positionnant en B l angle MBN vaut 7. Les triangles AMN et BMN sont rectangles en M. En exprimant MN en fonction de AM de deux façons différentes (utiliser le fait que BM = BA+AM calculer la longueur AM. En déduire la hauteur de la tour. 4

5 On note MAN = α MBN = β. Dans le triangle rectangle MAN on a MN = MA tan α. Dans le triangle rectangle BMN on a MN = BM tan β. En égalant les deux relations on a MA tan α = (MA + AB tan β MA = AB tan β tan α tan β Il n y a plus qu à faire l application numérique en faisant attention de convertir les angles en radians. Exercice 8. Exprimer en fonction de R le périmètre et l aire de la figure : R rad R Le périmètre p se calcule en ajoutant les deux rayons et la longueur de l arc de cercle : p = R + αr où α est la mesure de l angle. L aire du secteur est obtenue avec la formule A = α R. On peut retrouver le périmètre et l aire d un cercle si α = π. Exercice 9. Soient C et C deux cercles de même centre O de rayons respectifs R et R (R < R et A et B deux points de C. Pour aller de A à B deux chemins sont possibles : trajet : de A à B sur le cercle C trajet : de A à A puis de A à B sur C et enfin de B à B comme le montre la figure ci-dessous : C C B O α B A A On suppose que R = 5 R = 5 et α = rad. Lequel des deux trajets est le plus court? On suppose que R = 3 R = 5 et α = 3 rad. Lequel des deux trajets est le plus court? 3 Trouver une condition sur α pour que les deux trajets aient même longueur puis que le trajet soit plus long que le trajet. 5

6 Les longueurs des trajets et sont données par : T = αr T = (R R + αr. T = 5 et T = 5. T = 9 et T = Le trajet est plus long que le trajet si et seulement si Les trajets sont égaux lorsque α =. T T α(r R (R R (α (R R α. Exercice. { π/ x π Sachant que et sans utiliser de calculatrice donner une valeur exacte de cos x et de sin x = /3 tan x. Tout le monde sait bien que cos (π/8 = ( + /. Déterminer sin (π/8. cos x = sin x. Attention sans plus d indication cette equation a deux solutions : /3 et /3. Mais comme il est précisé que π/ x π le cosinus est négatif. Ainsi cos x = /3. De même sin(π/8 = = + et non la valeur opposée car π/8 π/ c est à dire sin x. Exercice. Simplifier l expression A(x = cos (3π x + cos ( π + x + sin ( 3π x On utilise les formules des angles associés vues dans le cours (aidez vous d un dessin si nécessaire : ( π A(x = cos(3π x + cos + x + sin ( 3π x = cos(π x sin x + cos x = cos x sin x + cos x = sin x. Exercice. Simplifier au maximun pour tout réel t l expression ( cos t( + cos t. Démontrer que pour tout réel t : cos 4 t sin 4 t = cos t sin t. Des formules remarquables et un peu de cours : ( cos t( + cos t = cos t = sin t. cos 4 t sin 4 t = (cos t + sin t(cos t sin t = cos t sin t(= cos t. 6

7 Exercice 3. En remarquant que π/ = π/3 π/4 déterminer une valeur exacte de cos (π/ puis de cos (π/4. On utilise les formules des premiers exercices : cos(π/ = cos(π/3 π/4 = cos(π/3 cos(π/4 + sin(π/3 sin(π/4 = + 3 = ( + 3. ( 4 cos(π/ = cos π 4 = cos (π/4 cos(π/4 = + cos(π/ car < π/4 < π/. =... Exercice 4. Résoudre dans R les équations et les inéquations suivantes : a cos x = b sin (3x = ( c cos 3x + π ( = cos x + π 4 3 d cos (x = cos (3x e cos (x f sin (3x > 7

8 a Sur [ π π] deux angles ont un cosinus égal à : ±π/4. Donc x = π/4 + kπ ou x = π/4 + kπ k Z. b De manière similaire 3x = π/3+kπ ou 3x = π/3+kπ k Z. Soit x = (+6kπ/9 ou x = (+6kπ/9. c Deux cosinus sont égaux si les angles sont égaux ou si les angles sont opposés aux périodes près. Ainsi : 3x + π 4 + kπ = x + π 3 + k π k k Z ou 3x + π 4 + kπ = x π 3 + k π k k Z Ce qui donne x = π 4 + (k kπ ou x = 7π 48 + k k π k k Z e On résout d abord l inéquation en x. Sur une période par exemple [ π] cos(x si et seulement si x [π/4 7π/4]. (Ce qui se voit plus aisément sur un cercle trigonométrique. Comme on résout l inéquation dans R x se situe dans l union des intervalles [π/4 + kπ 7π/4 + kπ] k Z qui se note [π/4 + kπ 7π/4 + kπ]. k Z Pour finir il suffit de diviser les bornes des intervalles par pour donner l ensemble des solutions : x k Z[π/8 + kπ 7π/8 + kπ]. Exercice 5. Exprimer cos a cos b en fonction de cos (a + b et cos (a b. En effectuant un changement de variable démontrez que pour tous les nombres réels p et q on a ( p + q cos p + cos q = cos cos ( p q 3 En déduire les solutions de l équation cos x + cos (x + cos (3x =.. et ont déjà été faites dans les premiers exercices de ce chapitre. Pour la 3ème question il s agit de faire le bon choix pour p et q. On remarque notamment que si on prend p = x3 et q = x alors (p + q/ = x et (p q/ = x ce qui va permettre d obtenir une équation en cos x et cos x uniquement : (cos x + cos 3x + cos x = cos x cos x + cos x = cos x( cos x +. Soit cos x = soit cos x + =. Donc x {kπ/ π/3 + kπ π/3 + kπ k Z} Exercice 6.Soit f la fonction définie sur R par f(x = 4x 3 + 3x. Faire l étude de la fonction (avec tableau de variations et tracer sa courbe représentative. Trouver les solutions dans [; π] de l équation d inconnue a sin 3a = /. 3 Montrer que pour tout réel a sin 3a = 3 sin a 4 sin 3 a. 4 En déduire les solutions de l équation f(x =. 8

9 f est continue et dérivable sur R et f (x = x + 3. f s annule pour x = ±/.... Si a [ π] alors 3a [ 6π]. Donc l équation sin 3a = / a pour solutions dans [ π] 3 {π/8 5π/8 3π/8 7π/8 5π/8 9π/8}. sin 3a = sin(a + a = cos a sin a + sin a cos a = ( sin a sin a + sin a cos a = sin a sin 3 a + sin a( sin a = 3 sin a 4 sin 3 a. 4 f(x = 4x 3 + 3x =. On effectue le changement de variable x = sin a qui est valable car grâce à l étude de f en question on sait que les solutions de l équation f(x = sont comprises entre et -. Cela donne 3 sin a 4 sin 3 a = = sin 3a équation dont les solutions ont déjà été calculées. On revient à la variable x en prenant le sinus des valeurs données en. Il reste 3 solutions car les propriétés des angles associés font que certains sinus sont égaux. x = Exercice 7. Sans faire l étude de la fonction donner l allure de la courbe de f(x = sin (x. Faire l étude de f puis tracer sur un même graphique la courbe représentant f et celle de g(x = sin x. Exercice 8. Une ] limite célèbre. Soit x un réel de ; π [. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O; i ; j on considère les points A( M(cos x sin x P (cos x et T ( tan x. Soient A l aire du triangle OAM A l aire du secteur de disque OAM et A 3 l aire du triangle OAT. tan x sin x M T O P cos x A En comparant ces aires prouver que : sin x x tan x. En déduire que cos x < sin x x <. 3 Déterminer la limite en de f(x = sin x (distinguer x > et x <. x 9

10 A = sin x A = x A 3 = tan x. En comparant ces aires sur la figure on a sin x x tan x. En divisant par sin x l inégalité cela ne la renverse pas car l angle est ici positif. En revanche on renverse l inégalité en prenant son inverse : x sin x cos x cos x sin x x. 3 Une application du théorème des gendarmes permet de retrouver la limite du cours. Si x est négatif il faut faire attention au sens de l inégalité car le x et son sinus deviennent négatifs. Exercice 9. Etudier la fonction f(x = tan ( x. La fonction f est définie pour x π/ + kπ k Z c est-à-dire x > pour que sa racine carrée existe ET x (π/ + kπ k Z. Sur chaque intervalle ] (π/ + kπ (π/ + (k + π [ f est continue et dérivable et f (x = x ( + tan ( x. Le fonction f est donc strictement croissante sur chaque intervalle et a pour limites respectives et + en (π/ + kπ à droite et en (π/ + (k + π à gauche. Chapitre. : fonctions logarithme et exponentielle. Exercice. Résoudre les équations ln (x = 4 ln (x = 3 ln (x = ln (x + ln (5 π = ln x = 4 x = e 4. ln x = x = e. 3 ln x = x = exp( eπ. ln(x + ln(5 π = ln(x = π x = 3.

11 Exercice. Ecrire plus simplement ln (4 ln (7; ln ( ( 5 + ln ln ( 5 ; ln ( ; ln (8 ln ( + ln (5; ln ( ln (.; ln (3 + + ln (3 ln ( 4 ln(4 ln(7 = ln = ln. 7 ( ( ( ln = ln = ln( =. 5 5 ln( ln( = ln( ln( = ln( ln( =. ( 8 5 ln(8 ln( + ln(5 = ln = ln(. ln( ln(. = ln( 4 ln( = 4 ln( ln( = ln(. ln(3 + + ln(3 ( = ln (3 (3 + = ln(9 8 = ln =. Exercice 3. Démontrer que pour tout x réel on a : ln ( + e x = x + ln ( + e x. ln( + e x = ln ( e x (e x + = ln(e x + ln( + e x = x + ln( + e x. Exercice 4. Résoudre dans R les équations : ln (x + ln (x = ln ( + ln (3; ln (x + ln (4 x = ln (x + ln (3 a ln(x + ln(x = ln( + ln(3 ln(x(x = ln 6 x(x = 6 x = 3. La racine - n est pas valable car x doit être positif pour que son logarithme soit défini. b ln(x + ln(4 x = ln(x + ln(3 ln(x(4 x = ln(3(x x(4 x = 3(x x =. La racine -3 n est pas valable pour la même raison que précédemment. Exercice 5. Résoudre dans R les équations : ln (x + x = ln (x + ln (x + = ( x + ln = ln (x + = + ln ( x x

12 a ln(x + x = x + x = e. Cette équation du second degré a deux solution ( ± + 4e/ mais la racine négative est écartée car elle n est pas dans le domaine de définition du logarithme. c ln ( x + x = x + = (x e x = e + e. d ln(x + = + ln( x x + = e ( x x = e e +. Exercice 6. Résoudre les inéquations suivantes : ln (x < ln (x ln (x + ( + e ln (x > ln (x ln ( + e x x > ln e x Les fonctions logarithme et exponentielle sont strictement croissantes sur leurs domaines de définition. Ainsi lorsqu on les utilise dans une inéquation le signe de celle-ci est inchangé. a ln(x < exp(ln(x < e x < e. b ln(x ln(x x exp(. c ln(x + x e x +e. d ln(x > ln(x x > x x <. e ln( + e x > + e x > e x > Ce qui est vrai ( pour tout x + e x f ln e x Le logarithme n est défini que lorsque e x est strictement positif c est à dire pour x strictement négatif (car dans ce cas e x <. ( + e x ln e x + e x e x e + e x e( e x car e x > e x ( + e e ( e x ln. e + Exercice 7. Montrer que pour tout réel x > ln ( + x > x x

13 ATTENTION : coquille dans l énoncé du cours. On étudie la fonction différence que l on appellera ϕ(x = ln( + x x + x. Elle est continue et dérivable en tout x > et ϕ (x = +x + x = x +x >. La fonction ϕ est donc strictement croissante. Comme ϕ( = ϕ est positive et donne donc la minoration souhaitée. Exercice 8. Déterminer les limites suivantes : lim ln ( + + x ; x + ln (x lim x x ; lim x + ln (x + x x x. a Comme +x tend vers + lorsque x + + x tend également vers + et la limite demandée est également +. b ln(x x + donc ln(x x + x. c lim x + x x + ln(x x x + ( + ln(x =. x x x d après la limite précédemment calculée. On a transformé une somme + en un produit qui n est pas indéterminé. Exercice 9. Faire l étude et la représentation graphique des fonctions suivantes : f (x = + ln (x x f (x = ln (x 3(ln (x f 3 (x = ln ( + x. x La fonction f est définie continue et dérivable pour x strictement positif et f (x = x + ln(x x = ln(x x. La dérivée a le signe de ln(x. Donc f est croissante sur ] ] et décroissante sur [ + ]. par croissance comparée de x et ln(x. lim f (x = x lim f (x = x + - 3

14 La fonction f est définie continue et dérivable pour x strictement positif et f (x = x 6 ln x. La x dérivée s annule en x = e /6 est positive pour x ] e /6 ] et négative pour x ]e /6 + [. Donc f est croissante sur ] e /6 ] et décroissante sur [e /6 + ]. lim f (x = x lim f (x ln(x( 3 ln(x = x + x + - e /6 3 La fonction f 3 est définie lorsque +x x est positif c est-à-dire pour < x <. Sur ] [ la fonction f 3 est continue et dérivable et f 3(x = x ( + x x + + x ( x = x x + + x + x ( x 4 = ( + x( x = 4 4 x. f 3 est strictement positive sur ] [ donc f 3 est strictement croissante sur cet intervalle. lim f 3(x = x + lim f 3(x = + x - Exercice. Ecrire plus simplement les expressions suivantes : e x e x ; e x+3 e x ; (ex + e x ; e x ex + e x. 4

15 e x e x = e x+ x = e = e. e x+3 e x = ex+3 x+ = e x+4. (e x + e x = (e x + (e x + e x e x = e x + e x + e = e x + e x +. e x ex + e x = e x e x =. Exercice. Montrer que pour tout x R exp (x x +. On étudie la fonction f(x = e x x. Elle est définie continue et dérivable sur R et f (x = e x. La dérivée est positive pour x et négative pour x. La fonction f est donc décroissante sur ] ] et croissante sur [ + [. Comme f( = on a f(x pour tout x d où le résultat. Exercice. Résoudre dans R les inéquations suivantes : exp (x > ; exp (x + 3 > ; exp (x exp (x ; exp (x + 5 < exp ( x exp (x + a exp(x > x > e x > e/. b exp(x + 3 exp x + > exp(x + 3 > exp x + car exp(x + > exp(x < x <. c exp(x exp(x Cette inéquation est toujours vérifiée car la fontion exponentielle est croissante sur R. d exp(x + 5 < exp( x x + 5 < x x < 3 Exercice 3. Déterminer les limites suivantes : a lim x + ex 3x 5 b lim x ex 3x 5 c lim x + + 3e x + e x + d lim x + e x e lim x + 3xe x f lim (x + ex x e x 5 g lim x + 3x e x e x + e x h lim x x 3 i lim x 3 + e x 5

16 ab Le polynôme x 3x 5 tend vers + lorsque x tend vers ±. Donc la fonction exp(x 3x 5 tend vers + lorsque x tend vers +. c x + x + donc lim x + + 3e x + =. d e x + + e x lim x + e x x + e x =. e lim x + 3xe x = par croissance comparée. f Idem. g Par croissance comparée l exponentielle l emporte sur la fonction polynôme. Donc lim +. h e x lim x x 3 x x x x. ( e x D après les limites du cours (la dérivée de la fonction exponentielle vaut en. i La limite est donnée directement sans forme indéterminée et vaut +. x x + e x 5 3x = Exercice 4. Résoudre dans R les équations suivantes : e (x+ = ; e x+ e x 3 = ; e x e 3x+5 = ; e x + e x = ; e x + e x = e 3 + e x. a e x+ = x + = x =. b c d e x+ e x 3 = x + = x 3 x =. e x e 3x+5 = e 4x+4 = 4x + 4 = x =. e x + e x = e x + e x + 4 = 9 ( 4 e x + = 9 4 Cette équation a deux solutions (ne pas prendre directement la racine carrée... : e x + / = 3/ ou e x + / = 3/. Cependant dans ce cas la seconde solution est à écarter car une exponentielle ne peut être négative. Donc x =. e e x + e x = e 3 + e x e x + = e 3+x + x = 3 + x. Ce qui est faux pour tout x. Il n y a pas de solution à cette équation. Exercice 5. Déterminer les limites suivantes :. lim x + x + x ln (x. lim x ln (x + x 3 x + 3 x 3. lim x + x + x ln (x 6

17 e x+ 4. lim x + x + 7. lim x x + ln. lim x + x(x x ln (x + ( x x 5. lim x + ln (3x + x 6. lim x + x x ln (x + 8. lim x +(x ln (x lim x ( +(x ln (7x 3 + 4x + 3 e x e x. lim x ln (x x ln (x +. lim x + x + x x 3. lim x +( + xln (x 4. lim x + ( x x + 5. lim x 3 x + ( x x+ x + x + ( e x x lim x + x + x (xx ln (x 7. lim (ln ( + x 8. lim x + x + x (xx (x + x x ln (x 9. lim x + x x+. lim + x + + e x 3 Quand une limite est difficile à calculer on peut commencer par calculer une valeur proche de la borne pour se donner une idée de la réponse. Par exemple si on demande la limite de f en + on calcule (avec une calculatrice! f(.. NB : il y a souvent plusieurs manières d arriver au même résultat. En + x ln(x tend vers par croissance comparée. La limite globale vaut donc +. On effectue un changement de variable en posant y = x. On a alors : lim x + x ln(x + x = lim y ln(y(y + y + y + y ln(y + y ln(y + =. En reconnaissant une croissance comparée et la dérivée de ln en x =. 3 x 3 x + 3 lim x + x ln(x x + = +. par croissance comparée du logarithme et des polynômes. 4 x x + 3/x ln(x e x+ lim x + x + e y + y= x + y + = + 5 ln(3x + lim = 3 x + x lim ln(3x + = 3 x 3x. (poser y = 3x si nécessaire d après la limite du cours. 6 7

18 7 Pour cette limite on s intéresse d abord au quotient dans le logarithme. par croissance comparée. lim x x + ln ( x x x x =. x + ln x + ln( x 8 On rend la croissance comparée plus explicite en posant y = x : lim x +(x ln(x 3 8 = ( x + 4 x x lim x +(x ln((x 3 + 6x x lim y ln(y 3 + 6y(y + y + lim y ln(y(y + 6y + y + lim y ln y + y ln(y + 6y +. y + Le premier terme tend vers par croissance comparée le second tend vers car le logarithme tend vers une constante. 9Idem il faut faire apparaître une croissance comparée. Comme - est racine du polynôme à l intérieur du logarithme on va le factoriser par (x ( : lim ln(7x 3 + 4x + 3 = x ( +(x lim x ( +(x (x + ln((x + (7x 3x + 3 x ( + (x (x + ln(x + + (x (x + ln(7x 3x + 3 = car le premier terme comporte une croissance comparée et le second tend vers sans problème de forme indéterminée. lim x + x(x x /ln(x + = voir les limite du cours ln(x + /x et x ln(x en. La limite vaut /e. 8

19 Le changement de variable est moins évident. On va faire apparaître un taux d accroissement. Cette idée vient du fait qu on peut remarquer qu on a une différence de deux termes qui sont très proches lorsque x est grand. On va poser y = /x pour obtenir une quantité qui est petite quand x tend vers l infini. lim x ln x + x ln(x + x + ( ln y = lim y ln = lim y ln ln = lim y y ln ( /y /y+ ( y +y y ( +y y ln y ( y + ( + La limite est la dérivée de la fonction f : t ln( +t en. f (t = ( + t +t Donc f ( = et la limite demandée vaut. = ( + t = ( + t + t. e x e x lim x + x x e(x x ex x + x x ( x + ex x x e(x x x x Le second terme dans la parenthèse est une croissance comparée entre exponentielle et polynôme en +. Le premier terme tends vers. La limite globale vaut donc. 3 Pour les limites comportant une exponentielle de base différente de e il est très vivement recommandé pour ne pas dire obligatoire d utiliser la notation exponentielle classique. car x ln x tend vers en. lim ( + x ln(x = x + lim exp(ln(x( + x x + exp(ln(x exp(x ln(x x + =. 9

20 4 lim x + En posant y = x 3 : lim x + ( x ( x + x 3 exp x ln x + ( x x + x 3 y + ( x + x 3 exp (x ln(x + x ln(x 3. x + y + exp exp ((y + 3 ln(y + 4 (y + 3 ln y ( ( y + 4 y ln(y + 4 y ln y + 3 ln y A l intérieur de l exponentielle le dernier terme tend vers. On reconnait en y ln(y + 4 y ln y une limite similaire à ce qu on a calculé en. Vous pouvez refaire l exercice pour montrer que y ln(y + 4 y ln y tend vers 4 lorsque y +. Ainsi la limite globale est exp(4. 5 On fait apparaître la croissance comparée en simplifiant les polynômes :. lim x + ( x x+ x + x + x + exp x + exp x + exp = e =. ( ( x + x 3 x + ln + 5 x + ( ( + /x x + 5/x x + /x ln + /x ( ln x x 6 Plusieurs étapes sont nécessaires pour cette limite : lim x + Détaillons le premier terme : ( e x x+ + x + x + exp x + exp ln(e x + lim x + x + x + x + x + =. ( ( e x x + ln + x + ( ln(e x + x + ln(x + x + ln(e x ( + e x x + ln(e x + ln( + e x x + x x +. Le second : ln(x + lim x + x + x + x + =. ln((x + x + x + x + ln(x + x + La limite globale vaut donc e.

21 7 lim x +(ln( + x ln(x x + exp x + exp ( ln( + x ln(x ( ln(x( + /x ln(x 8 x (xx lim x(xx x x x + x (xx x + x + x xx ( /x x + x xx x + x xx =. 9 (x + x lim x + x x+ exp(x ln(x + (x + ln(x x + exp(x ln(x + x ln(x ln(x. x + La limite étudiée en est de retour ici les deux premiers termes de la somme tendent vers et le dernier vers. La limite globale est donc. x ( ln(x + x ln + e x 3 = x + + e 3 e x. A l infini l exponentielle l emporte sur le polynome de er degré ainsi que sur le logarithme. La limite de cette fonction en + est.

22 Chapitre : Primitives Exercice. On note f une fonction définie sur R. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f. a f(x = b f(x = x c f(x = 5x d f(x = 4x e f(x = x 3x + On note F une primitive de f sur R. a F (x = x. b F (x = x. c F (x = 5 x = 5 x. d F (x = 4 3 x3. e F (x = 3 x3 3 x + x. Exercice. Pour chacune des fonctions f donner l ensemble des primitives de f sur l intervalle I. a f(x = 3x + x + I = R b f(x = x + I = R c f(x = x I =] + [ d f(x = exp (x I = R On note F une primitive de f sur I. L ensemble des primitives de f sur I est alors l ensemble des fonctions de la forme F + k où k est une constante réelle. a F (x = x 3 + x + x. b F (x = 3 x3 + x. c F (x = ln(x. x est positif on peut donc se passer de la valeur absolue qu il ne faut oublier en temps normal! d F (x = exp(x. Exercice 3. Soit f définie sur I =] + [ par f(x = x. Déterminer les primitives de f sur I. x Existe-t-il une primitive de f prenant la valeur pour x =? Une primitive de f sur I est F (x = x + x. La primitive F recherchée est de la forme F + c où c est une constante réelle. On souhaite avoir F ( = : F ( = + + c = c =. Ce qui permet de totalement définir la fonction F. Exercice 4. Pour chacune des fonctions f ci-dessous donner un intervalle I sur lequel f a des primitives

23 et donner toutes les primitives de f sur cet intervalle. a f(x = x 7 b f(x = x 3 c f(x = x4 + x a f est définie et continue sur R et les primitives de f sont de la forme F (x = x8 + c c R. 8 b f est définie et continue sur R et les primitives de f sont de la forme F (x = + c c R. x c f est définie et continue sur R et les primitives de f sont de la forme F (x = 3 x3 + c c R. x Exercice 5. Pour chacune des fonctions f ci-dessous donner un intervalle I sur lequel f a des primitives et donner toutes les primitives de f sur cet intervalle. a f(x = 5x + x + exp (x + 4 b f(x = 3 sin (x + cos (x c f(x = x 3 On note F une primitive de f sur I. L ensemble des primitives de f sur I est alors l ensemble des fonctions de la forme F + k où k est une constante réelle. a I = R F (x = 5 3 x3 + x + ln x. b I = R F (x = 3 cos x + sin x. c I = R F (x = 3 exp(x x. Exercice 6. Donner une primitive de la fonction f en précisant sur quel intervalle elle est définie. a f(x = (x + 3 b f(x = (3x + 5 c f(x = ( x + 5 d f(x = x + x + x + e f(x = sin (x cos 3 (x f f(x = (ln x x g f(x = x x + h f(x = x + x + i f(x = x + 4x + 3 j f(x = x exp ( x k f(x = exp (3x + l f(x = x exp ( x m f(x = n f(x = 3x x + x + o f(x = x + x 3

24 On note F une primitive de f sur I. L ensemble des primitives de f sur I est alors l ensemble des fonctions de la forme F +k où k est une constante réelle. On utilise ici les règles de dérivation des fonctions composées (dernière proposition du cours. Il est parfois nécessaire de faire apparaître ces dérivées. a I = R F (x = (x +. En dérivant il sort un facteur qui est la dérivée de u(x = x + b I = R f(x = 3 3(3x + 5 F (x = (3x + 4. c I = R F (x = 6 ( x + 6. d I = R car x +x+ est toujours positif. On reconnait une fonction de type u /u. F (x = ln x + x + = ln(x + x + (x + x + positif. e I = R F (x = cos 4 x. Attention au signe! cos = sin. Forme u u α. f I =] + [ F (x = 3 (ln x3. Forme u u α. g I = R car x + toujours positif. F (x = ln(x +. Forme u /u. h I = R \ / F (x = ln x +. Forme u /u. i I = R \ 3 F (x = ln x + 4x + 3. Forme u /u. j I = R F (x = exp( x. Forme u exp(u. k I = R F (x = 3 exp(3x +. Penser à faire apparaître u = 3. ( l I = R F (x = exp. Forme u exp(u. x m I =] + [ car il faut que + x soit positif et différent de. F (x = + x. Forme u / u. n I = R car x + toujours positif. F (x = 3 ln(x +. Forme u /u. o I =] ] ] + [ (il faut que +/x soit positif et est exclu à cause du /x. F (x = 3 (+ x 3/. 4

25 Chapitre 3 Intégrales Exercice. On considère la fonction f définie sur R par f(x = x +. Représenter graphiquement f. Calculer l intégrale 4 Déterminer une primitive F de f sur R et vérifier que f(t dt sans chercher une primitive de f. 4 f(t dt = F (4 F ( Pour trouver la valeur de l intégrale sans calculer de primitive on calcule l aire du trapèze rectangle délimité par la courbe de la fonction f l axe des abscisses et les droite d équation x = et x = 4. On obtient A = (4 ( (f( + f(4/ = 5. Une primitive de f sur R est F (x = 4 x + x et F (4 F ( = ( 3 = 5. Exercice. Calculer chacune des intégrales suivantes : a e 3 4 (t + 4 dt b (4x x dx f (t dt c (3x 3 dx g t dt d π sin (x dx x dt h t6 x + dx 5

26 a b c d e f g h 3 π 4 (t + 4 dt = [ t + 4t] 3 = (t dt = [ 3 t3 t] = 3. t dt = [ t] = (. ( 9 + = 33. sin x dx = [cos x] π = ( =. (4x x dx = [x 3 x3 ] 4 = 3x 3 dx = [ 3 4 x4 ] = 3 4 = dt = [ t6 5t 5 ] = 5 5 = 6 6. x x + dx = [ x + ] = 5. ( 3 64 = Exercice 3. Soit n un entier naturel non nul. On pose u n = exp ( x dx. n En déterminant un encadrement de la fonction intégrée donner un encadrement de u n. Montrer que la suite (u n est monotone. 3 En déduire que la suite (u n est convergente et déterminer sa limite. Si x alors : x x n n x n n ( exp ( x exp n n On obtient alors un encadrement de u n en intégrant les constantes entre et (c est à dire elle-mêmes : ( exp u n. n Pour tout x de [ ] on a exp x n > x ( x n x n + x n < n + < exp u n < u n+. ( x n + La suite (u n n est donc strictement croissante (donc monotone. 3 Comme la suite (u n n est majorée elle est donc convergente (c est à dire qu elle a une limite finie. Si n + alors exp( x /n et u n. 6

27 Exercice 4. Exprimer le produit cos (x cos (3x cos (5x comme une somme au moyen de cos (9x cos (7x cos (3x et cos (x. En déduire π/ cos (x cos (3x cos (5x dx. On ressort les formules de trigonométrie de transformation de produit en somme. Si on ne s en souvient plus on peut toujours passer par les formules de type cos(a + b. Donc π/ cos(x(cos(3x cos(5x = cos(x ((cos(8x + cos(x = (cos(x cos(8x + cos(x cos(x = (cos(9x + cos(7x + cos(3x + cos(x. 4 π/ cos(x cos(3x cos(5x dx = cos(9x + cos(7x + cos(3x + cos(x dx 4 = [ 4 9 sin(9x + 7 sin(7x + ] π/ sin(3x + sin(x 3 = ( Exercice 5. Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a a] avec a >. Montrer que si f est paire on a Montrer que si f est impaire on a a a a f(t dt = a a f(t dt =. f(t dt. Si f est paire alors f( a = f(a. On utilise la relation de Chasles : a f(t dt = f(t dt + a f(t dt = a a a Si f est impaire alors f( a = f(a. a f(t dt = f( t dt + a f(t dt = f( t dt + a a f(t dt + a a f(t dt = a a f(t dt =. f(t dt. Exercice 6. Soient n Z F n = π/3 π/6 (sin (t n cos (t dt et G n = π/3 π/6 (sin (t n (cos (t 5 dt. Montrer que (sin (t n cos (t est de la forme u(xu (x pour une fonction u convenable. En déduire F n. Montrer que (sin (t n (cos (t 4 = (sin (t n (sin (t n+ + (sin (t n+4.calculer G n. 3 Montrer que (cos (t 3 est de la forme ( u(xu (x pour une fonction u convenable. En déduire H n = π/3 π/6 (cos (t 3 dt. 7

28 F n = π/3 π/6 (sin t n cos t dt = [ ] π/3 ( (sin tn+ = n+ 3 n + π/6 n + n+ n+. Pour tout t et tout n Z on a (sin t n (cos t 4 = (sin t n ( (cos t = (sin t n ( (sin t = (sin t n (sin t n+ + (sin t n+4. D où G n = π/3 π/6 (sin t n (cos t 5 = F n F n+ + F n+4 3 On écrit cos 3 t = cos t( sin t pour pouvoir intégrer. L intégrale vaut F F =.... Exercice 7. En effectuant une intégration par parties calculer chacune des intégrales suivantes : a d π e x sin (x dx b ln (x x e x ln (t dt (x > f x ln (x dx c x (x 3 + ln (x dx (x + exp (x dx a L objectif est de se débarasser du facteur x dans l intégrale. Si on le dérive on obtient une constante. On choisit alors de poser f(x = x g (x = sin x f (x = g(x = cos x. On obtient alors I = π π x sin x dx = [x cos x] π + cos x dx = π cos(π + + = π. b Comme on ne connait pas a priori de primitive de ln x on pose Alors f(x = ln(x g (x = x f (x = x x g(x =. I = x ln x dx = [ x ln x ] = ( 4 ln = ln 3 4. [ x ] x dx 8

29 c Même principe qu en a on veut se débarasser du polynôme de premier degré. On pose f(x = x + f (x = g (x = exp(x g(x = exp(x. Alors I 3 = (x + exp(x dx = [(x + exp(x] exp(x dx = (3e [exp(x] = (3e (e = e +. d On pose Alors I 4 = e f(x = ln x g (x = x f (x = x g(x = 3 x 3. ln(xx dx = [ ln(xx 3 ] e = ( 3 e 3 [ x 5 ] e 5 = ( 3 e 3 + e5 5e 5 = e5 5e 5 3e 3. e x 4 dx e I 5 = x x ln(t dt = [t ln(t] x + t t dt = x ln(x (x. f I 6 = x (x 3 + ln(t dt = = = [( ] t 4 x x ( 4 + t ln(t + 4 t3 + dt ( [ ] x 4 x 4 + t ln(x 6 t4 + t ( x t ln(x + 6 ( t4 + t. Exercice 8. Soit n N calculer l intégrale suivante : I = 3 ln (x x n dx. 9

30 Il faut distinguer le cas n = cela peut se voir en commencer à effectuer le calcul sans se préocuuper de la valeur de n. Si n [ ] 3 3 I = ln(x n x n n x n dx = [ (3 n ln(3 n ln( [ x n ] ] 3 n n = [ (3 n ln(3 n ln( ( 3 n n]. n n Si n = alors I = [ ] 3 (ln(x = ((ln(3 ln((ln(3 + ln( = ( 3 ln ln(6. Exercice 9. On pose I = π 4 (x + cos (x dx et J = Calculer I + J (sans calculer I et J. Calculer I J à l aide d une intégration par parties. 3 En déduire les valeurs de I et J. π 4 (x + sin (x dx. I + J = = π/4 π/4 (x + (cos x + sin x dx (x + dx = [ x + x ] π/4 = π + 4π. 6 I J = = π/4 π/4 (x + (cos x sin x dx (x + cos(x dx π/4 = [(x + sin(x]π/4 = ( π + + [cos(x]π/4 = π + = π. sin(x dx (I + J + (I J = I = π + 8π. 6 (I + J (I J = J = π 6. 3

31 Exercice. En effectuant deux intégrations par parties calculer chacune des intégrales suivantes : a (x + exp ( x dx b π x sin (x dx c π exp (x sin x dx Le principe est de toujours conserver le même schema d intégration et de dérivation lors de plusieurs IPP successives. Ainsi si on commence par dériver le polynôme de la première intégrale on dérivera toujours ce polynôme jusqu à obtenir une constante : I = (x + exp( x dx = [ (x + exp( x ] + = 4e + ( [(x + exp( x] + I = I 3 = ( = 4e + e + [exp( x] = 6e + e. π = x sin(x dx [ x cos(x ] π + π = π + [x sin(x] π = π + 4 [cos(x] π = π. π exp(x sin(x dx (x + exp( x dx x cos(x dx π sin(x dx exp( x dx π = [cos(x exp(x] π + exp(x cos(x dx π = (exp(π + + ([exp(x sin(x] π exp(x sin(x dx = exp(π + 4I 3. 5I 3 = exp(π +. I 3 = exp(π +. 5 Exercice. Pour chacune des intégrales suivantes trouver les valeurs des réels a et b telles qu en posant t(x = ax + b on ramène l intervalle d intégration en x à l intervalle d intégration en t demandé. Calculer ensuite l intégrale. 5 ( I = 7 x 4 7 x + 4 dx t [ ] 7 I = π/6 ( tan 8x π dx 4 t [ π 8 π ]. 8 3

32 Déterminons d abord le changement de variable à effectuer : on veut que lorsque x vaut (resp. 5 t vaille (resp.. Donc { = a + b = 5a + b On trouve a = /3 et b = /3. Donc t(x = x. 3 On exprime ensuite le changement inverse à savoir x en fonction de t : x(t = 3t + et x (t = 3. Il ne reste plus qu à remplacer x par sa valeur dx par x (t dt et les bornes dans l intégrale qu on aura légèrement transformée pour ne pas compliquer les calculs : I = 7 = 7 = 7 = 9 = 9 = 5 5 (x 4x + 4 dx (x dx =t(5 =t( = 3. (x(t 3 dt (3t + dt 9t dt t dt On procède de même pour l autre intégrale. On veut t( = b = π/8 et t( = a + b = π/8. Ce qui donne t(x = 4x π 8. En inversant x(t = t 4 + π 3 et x (t = 4. En remplaçant dans l intégrale : I = = 4 = 4 =. π/6 π/8 π/8 π/8 π/8 ( tan 8x π dx 4 ( ( t tan π π dt 3 4 tan(t dt car la fonction tangente (et a fortiori la fonction x tan(x est impaire et qu on l intègre sur un intervalle centré sur. Exercice. En posant le changement de variable u = exp (x montrer que ln ( exp (x dx = π. 3

33 On pose u(x = exp(x. Alors x(u = ln(u +. En faisant attention à la dérivation de fonction composée on a x (u = u u +. On calcule les nouvelles bornes : y( = et y(ln( =. Il ne reste plus qu à remplacer : I = = = u u. u + du u u + du du = [atan(u] + u du = atan( + atan( = π. Remarque : il n est pas forcément nécessaire de remplacer strictement x par son expression en u (x(u. Ici u = exp(x sautant aux yeux dans l intégrale il suffit de remplacer par u sans avoir à recalculer exp(ln(u + (= u. Pour info : La fonction x atan(x est définie sur R à valeurs dans ] π/ π/[ et (atan(x = + x. Exercice 3. Calculer les intégrales suivantes en faisant le changement de variable indiqué ai = 3/4 5/6 dx x x+ u(x = + x bi = ln(3 ln( ln(3 dt exp (t exp ( t u(t = exp (t ci 3 = 8 7/8 ln ( 3 x u(x = 3 x a u(x = x + donc x(u = u et x (u = u. Pour les bornes u( 5/6 = /4 et u( 3/4 = /. D où I = / /4 u (u u du = [argtanh(y] / /4 = ln(3 + ln(5/3 = ln(5 ln(3. La fonction argument tangente hyperbolique argtanh(x a pour dérivée ( x. Elle est définie sur ] [ et admet une forme logarithmique : argtanh(x = ( + x ln. x 33

34 b u = exp(t donc t(u = ln(u et t (u = /u. Les bornes deviennent exp( ln( = / et exp(ln(3 ln( = 3/4. D où I = = 3/4 / 3/4 / /u u /u du u du = [argtanh(u] 3/4 / = (ln(3 ln(7. c u(x = x 3 donc x(u = u 3 et x (u = 3u. u(7/8 = 3/ et u(8 =. I 3 = 3/ 3 ln(u u du IPP = [ ln(u u 3 ] 3/ = 7 8 ln( 3/ 3/ u 3 u du ( u + u + + u = 7 8 ln( [ 3 u3 + u + u + ln u du ] 3/ = 7 8 ln( ( ln( =... = ( 35 8 ln( Exercice 4. Calculer l intégrale I = x dx en effectuant le changement de variable qui consiste à remplacer x par cos (t (on fera attention à bien définir l intervalle de variation de t de manière à avoir un changement de variable bijectif. Il faut choisir un intervalle I où t cos t est bijectif c est-à-dire que pour tout x de [ ] il faut qu il n existe qu un seul et unique t tel que x = cos(t. Par exemple I = [ π]. Dans ce cas I = x dx = cos (t( sin t dt = π = π π sin (t dt cos(t = π 4 [sin(t]π = π. dt 34

35 Chapitre 4. Nombres complexes Entraînement au calcul de nombres complexes Exercice. Soient z = + 3i et z = i 5. Calculer et écrire sous forme algébrique z + z z z z 3z zz z. z + z = 3 + 4i z z = 7 + i z 3z = 9 + 3i zz = 3( + i z = 5 + i. Exercice. Placer dans le plan complexe les points d affixe z = + 3i z = 3 + i z 3 = + i z 4 = i z 5 = i z 6 = i z 7 = z 8 = i 3 z 9 = z 3z z = z 3 (z 4 z. z 9 = 5 + 3i z = 5. z9 z z3 z8 z5 z z7 z z6 z4 Exercice 3. a Calculer (3 + i(3 i. En déduire la forme algébrique de b Déterminer la forme algébrique des nombres complexes 3 + i. + i 3 i et i. 35

36 a (3 + i(3 i = 3 + = 3 donc 3 i = i = 3 3 i 3. b De la même manière on multiplie par le conjugué du dénominateur pour obtenir + i = i ( + i( i = i. 3 i = 3 + i (3 i(3 + i = 3 + i. i = i i = i. Exercice 4. a Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z = + 7i z 4 = z 3 = i 3 i 5 + 3i z 4 = i 3i z 5 = + i. i b Résoudre l équation ( + iz = 3 i donner la solution sous forme algébrique. c Ecrire plus simplement le nombre complexe 7 + 5i z 6 = 7 i + 7 i 7 + 5i On utilise la même technique qu à l exercice précédent : z 6 = ( 7 + 5i( 7 + i 3 + 7i = 7i ( + 7i( 7i = 53 i = 4( 3 + i = 3 + i. 3 i 4 i i( + 3i = = 3 3i + i. + i = i( + i = i. i z = 3 i + i = (3 i( i + ( 7 i( 7 5i 3 = 5i = 4 + 7i + 4 7i 3 = 4 Exercice 5. Conjugaison. Soit z = 3 + 5i et z = + 3i. Calculer z z z + z z + z z + z zz zz zz. z = 3 5i z = 3i z + z = + 8i z + z 8i = z + z zz = i zz = + i = zz Exercice 6. 36

37 a Calculer le module de chacun des nombres complexes b Donner les formes trigonométriques de z = 3 + 4i z = i z 3 = 5 i z 4 = 3 z 5 = i 4 z 6 = i z 7 = 5 z 8 = + i. z = + i z = 3 + i z 3 = i 3 z 4 = i. z = 5 z = z 3 = 5 + i = 9 z 4 = 3 z 5 = 7 z 6 = z 7 = 5 z 8 = Exercice 7. On considère les nombres complexes z = e iπ/3 z = e iπ/4 et Z = z z. a Donner la forme exponentielle de Z. b Donner les formes algébriques de z et ( z. En déduire la forme algébrique de Z. π ( π c En déduire les valeurs exactes de cos et sin. Z = eiπ/3 e iπ/4 = ei(π/3 π/4 = e iπ/. Z = /( + i 3 /( + i = ( + 3( i = i Il suffit d identifier les parties réelles et imaginaires pour obtenir cos(π/ et sin(π/. Exponentielle complexe et trigonométrie Exercice 8. a Rapeller la forme trigonométrique du nombre complexe e iθ. b En utilisant les exponentielles complexes retrouver les formules de développement de cos(θ + ϕ et sin(θ + ϕ. e i(θ+ϕ = e iθ e iϕ = (cos θ + i sin θ(cos ϕ + i sin ϕ = (cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ + i(cos θ sin ϕ + sin θ cos ϕ = cos(θ + ϕ + i sin(θ + ϕ Les relations s obtiennent par identification des parties réelles et imaginaires. Exercice 9. a En utilisant les exponentielles complexes développer cos(3θ et sin(3θ respectivement en fonction de cos(θ et sin(θ. Pour rappel (a + b 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3. 37

38 b A l inverse exprimer (cos(θ 4 et (sin(θ 4 en fonction de cos(4θ et cos(θ. Pour rappel : (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4. a b e 3iθ = (e iθ 3 = (cos θ + i sin θ 3 = cos 3 θ + 3i cos θ sin θ 3 cos θ sin θ i sin 3 θ = (cos 3 θ 3 cos θ sin θ + i(3 cos θ sin θ sin 3 θ = (cos 3 θ 3 cos θ( cos θ + i(3( sin θ sin θ sin 3 θ = (4 cos 3 θ 3 cos θ + i(3 sin θ 4 sin 3 θ = cos 3θ + sin 3θ (cos θ 4 = 4 (eiθ + e iθ 4 = 6 (e4iθ + 4e 3iθ e iθ + 6e iθ e iθ + 4e iθ e 3iθ + e 4iθ = 6 (e4iθ + e 4iθ + 4e iθ + 4e iθ + 6 = ( cos(4θ + 8 cos(θ = 8 cos(4θ + cos(θ (sin θ 4 = (i 4 (eiθ e iθ 4 = 6 (e4iθ + e 4iθ 4e iθ 4e iθ + 6 = ( cos(4θ 8 cos(θ Exercice. Soit z = + i tan(θ. Quel est l argument de z? En développant z 3 déterminer tan(3θ. Utilisation des complexes pour la géométrie D ( tan θ arg( + i tan θ = atan = θ. Donc z 3 a pour argument 3θ. z 3 = + 3i tan θ 3 tan θ i tan 3 θ tan(arg(z 3 = tan(3θ = Re(z3 Im(z 3 = 3 tan θ tan3 θ 3 tan θ Exercice. Soient les points A B et C d affixes respectives a = + 3+i b = 3+i et c = i. a Déterminer les affixes des vecteurs AB et AC ainsi que leurs modules. Que dire du triangle ABC? b Calculer l angle entre les vecteurs AB et AC. Que dire du triangle? 38

39 AB = b a = 3 b a = 3. AC = c a = 3 3i = 3. Les vecteurs AB et AC ont même longueur. Le triangle ABC est isocèle en A. ( ( ( c a 3 AB AC = arg = arg b a + i = π. Donc ABC est équilatéral. 3 Exercice. Soient les points A B et C d affixes i 3 i et 7 3i. Montrer que ces points sont alignés. On a c a = (b a. Les vecteur AB et AC sont donc colinéaires et les points alignés. Exercice 3.Soit j = e iπ/3. a Montrer que + j + j = j3 j =. b Soient M M et M 3 les points d affixes j et j. Que dire du point O par rapport au triangle M M M 3? On se propose de montrer dans la suite de l exercice que si a b et c sont les affixes distinctes de trois points A B et C alors on a : ABC est un triangle équilatéral a + bj + cj = a + j + j = + e iπ/3 + e 4iπ/3 = + e iπ/3 + e iπ/3 = + cos(π/3 =. L autre membre de l égalité se déduit de la somme des premiers termes d une suite géométrique (ici j n. b On a OM + OM + OM 3 = ce qui signifie que O est le barycentre des points M M et M 3 (aussi appelé centre de gravité. c Donner les conditions nécessaire et suffisante sur le complexe c a b a équilatéral. d Montrer que c + a(e iπ/3 + be 4iπ/3 =. pour que le triangle ABC soit e Montrer que e iπ/3 = j : i en utilisant la forme algébrique. ii en factorisant par l exponentielle de la moyenne des arguments (ici e iπ/6. f En se souvenant que j 3 = retrouver l équivalence recherchée. 39

40 c ABC est équilatéral si et seulement si AB = AC et l angle  = π/3. C est à dire ( ABC équilatéral c a c a b a = et arg = π/3 c a b a b a = eiπ/3. d En partant de cette dernière relation on a ABC équilatéral c a = (b ae iπ/3 c + a(e iπ/3 be iπ/3 = On écrit = e iπ pour modifier l argument du terme en b : c + a(e iπ/3 + be iπ e iπ/3 = c + a(e iπ/3 + be 4iπ/3 = ei ei f Repartons de la relation trouvée en d En multipliant par j : D après la question a j 3 = : e iπ/3 = i = + i = eiπ/3 = j. e iπ/3 = e iπ/6 (e iπ/6 e iπ/6 = e iπ/6 i sin(π/6 = ie iπ/6 = e iπ/ e iπ/6 = e iπ/3 = j. ABC équilatéral c + a(e iπ/3 + be 4iπ/3 = ABC équilatéral c + aj + bj = ABC équilatéral cj + aj 3 + bj 4 = ABC équilatéral a + bj + cj = Exercice 4. Soit Q un quadrilatère quelconque et construisons des carrés sur les côtés de ce quadrilatère comme indiqué sur la figure. L exercice est de prouver que les segments joignant les centres des carrés opposés sont perpendiculaires et sont de même longueur comme cela semble être le cas sur la figure. On désigne par a b c et d les affixes des vecteurs formant les côtés du quadrilatère. On fixe l origine du repère au sommet où a commence c est-à-dire le point O sur la figure. a Que dire de la somme a + b + c + d? b Déterminer en fonction de a l affixe du point P. Procéder de même pour déterminer les affixes des points Q R et S. c Calculer les affixes z et z des vecteurs P R et SQ. d Conclure. 4

41 Figure Un quadrilatère et ses carrés adjacents P O a S d c b Q R En suivant les côtés du quadrilatère on a a+b+c+d = donc a+b+c+d =. Pour déterminer l affixe de P donc du vecteur OP on part du point O et on rejoint le milieu du premier côté du quadrilatère (P. Ensuite le vecteur P P a pour longueur a et est orthogonal à a donc p = a + e iπ/ a = a + ia. En procédant de même pour les autres centres des carrés on a p = a( + i q = a + b( + i r = a + b + c( + i s = a + b + c + d(i + On peut alors calculer l affixe des vecteurs qui nous intéressent : { z = r p = b + c(i + + a( i = (a + b + c + i(c a z = s q = c + b( i + d( + i = (d + b + c + i(d b On veut montrer que r p et s q sont orthogonaux et de même longueur c est-à-dire z = z e ±iπ/ On a z ± iz = z + iz = d + b + c + i(d b + i(a + b + c (c a = (a + b + c + d + i(a + b + c + d =. On a donc montré cette propriété géométrique étonnante avec seulement trois calculs simples de nombres complexes. 4

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