Séries chronologiques

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1 Séries chronologiques Nino Silverio Support de cours provisoire pour l unité de valeur Mathématiques et statistiques destiné aux classes du BTS Comptabilité-Gestion de l ECG. Introduction DÉFINITION Une série chronologique est une série statistique ordonnée en fonction du temps. Exemples : le cours journalier en bourse (à la clôture) d une action, la température extérieure relevée à un même endroit à 15h, etc. L étude de ces séries est intéressante car elle peut permettre de prévoir l évolution du phénomène observé dans le temps. Voici une série chronologique (source Statec) indiquant le nombre de victimes dans des accidents de la route au Luxembourg : Nombre de victimes Nombre de victimes

2 Introduction Cette série chronologique peut être représentée graphiquement de la façon suivante : COMPOSANTES Sur la représentation graphique d une série chronologique, on peut distinguer les composantes fondamentales suivantes : le mouvement de tendance générale ou trend indiquant l évolution générale du phénomène étudié les mouvements cycliques sur une grande période autour du trend. Ces mouvements peuvent être périodiques (exemple : récession et expansion économique, etc.) les mouvements saisonniers ou variations saisonnières sont des variations se reproduisant périodiquement à des moments bien déterminés (exemple : vente de mazout avant l hiver, etc.) les mouvements accidentels ou résiduels sont dus à des facteurs exceptionnels pour la plupart imprévisibles (grève, risque de guerre, etc.) 2 Séries chronologiques

3 Estimation de la tendance Estimation de la tendance Il est clair qu afin de pouvoir estimer la tendance, c est-à-dire le mouvement d un phénomène observé sur un grand intervalle de temps, il faut disposer d une série statistique sur une longue période. Disposant de ces données, le premier travail consiste à effectuer une représentation graphique adéquate permettant d avoir une vue globale du phénomène étudié. MOYENNES MOBILES Afin d éliminer ou d amortir les mouvements cycliques, saisonniers et accidentels, on utilise la technique des moyennes mobiles. On procède ainsi en quelque sorte au lissage de la courbe. Le principe de cette méthode est de construire une nouvelle série obtenue en calculant des moyennes arithmétiques successives de longueur p fixe à partir des données originales. Chacune de ces moyennes obtenues correspondra au milieu de la période pour laquelle la moyenne arithmétique vient d être calculée. Exemple : le tableau ci-dessous contient des mesures d un phénomène relevées à 9 instants différents. t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t Si nous calculons les moyennes mobiles d ordre 3, nous obtenons les valeurs suivantes : t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t La moyenne mobile d ordre 3 pour t vaut = On 3 3 constate que, vu la façon de calculer ces moyennes, les deux valeurs extrêmes pour t 1 et t 9 ont disparu, c est-à-dire une de chaque côté. En calculant les moyennes mobiles d ordre 5, nous aurons : t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t Séries chronologiques 3

4 Estimation de la tendance Exemple : la valeur pour t vaut = = 5.2 Cette 5 5 fois-ci les deux valeurs extrêmes de la série sont perdues. On constate que si p est impair, donc de la forme p = 2k + 1, à chaque extrémité k valeurs sont perdues. En représentant graphiquement ces résultats, nous remarquons bien la tendance au lissage de la représentation orginale avec l utilisation de la technique des moyennes mobiles. En choississant p pair, nous sommes confrontés au problème que les moyennes obtenues ne correspondront pas à une abscisse existante, mais chevaucheront entre deux de ces valeurs. Exemple : dans la série chronolgique précédente, si nous calculons les moyennes mobiles d ordre 4, nous obtenons des valeurs pour, t 3.5, etc., ce qui n est pas pratique. C est pour cette raison qu on calcule une moyenne sur 5 valeurs mais en prenant soin de pondérer les deux valeurs extrêmes par 1 2 au lieu de 1 pour les autres valeurs. Il faut quand même veiller à diviser par 4 (et non par 5)! Ceci nous garantit que chaque valeur n est prise en compte qu une seule fois. t Séries chronologiques

5 Estimation de la tendance Nous aurons donc les moyennes mobiles d ordre 4 suivantes : t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t Pour mieux comprendre, voici le calcul pour 4 1 d ordre 4 : t = = = t 3 de la moyenne mobile AJUSTEMENT ANALYTIQUE Si les données (brutes ou lissées) sur le graphique se présentent sous une forme ressemblant à une courbe connue (droite, parabole, exponentielle, etc.), on peut essayer de dégager une forme analytique pour cette courbe. Nous ajustons cette courbe avec les méthodes étudiées au chapitre précédent. Le graphique ci-dessus représente les mêmes données que dans l exemple initial du chapitre, mais cette fois-ci, le graphique contient une approximation linéaire du trend réalisée automatiquement par Excel ainsi que les deux droites de régression calculées avec les formules vues dans le chapitre précédent. Séries chronologiques 5

6 Estimation des mouvements saisonniers Estimation des mouvements saisonniers MODÈLE ADDITIF, MODÈLE MULTIPLICATIF Pour effectuer l analyse des mouvements saisonniers, on essaie d abord de déterminer si on est en présence d une série dans laquelle pour une observation O donnée : la variation saisonnière S s ajoute simplement à la résultante des autres composantes R ; O = R + S c est le modèle additif la variation saisonnière S est proportionnelle à la résultante des autres composantes R : S = cr et alors O = S + R = cr + R = R( 1 + c) c est le modèle multiplicatif. Afin de faire cette distinction, on peut se baser sur une méthode graphique ou utiliser une méthode analytique. Nous étudions ces méthodes sur un exemple concret en nous basant sur la série chronologique Nouvelles immatriculations de voitures particulières, commerciales et utilitaires neuves selon le mois (source Statec) : MÉTHODE DU PROFIL Pour faire cette détermination (modèle additif, multiplicatif) graphiquement, on peut par exemple superposer les saisons représentées par des droites de profil sur un même graphique. Si ces droites sont parallèles, le modèle est additif, autrement le modèle est multiplicatif. Sur le graphique de notre exemple, les droites de profil ne sont pas parallèles pour toutes les saisons, le modèle est multiplicatif. Ceci est confirmé en utilisant une autre méthode graphique : la méthode de la bande. MÉTHODE DE LA BANDE On fait un graphique représentant la série chronologique, puis on trace une droite passant respectivement par les minima et par les maxima de chaque saison. Si ces deux droites sont parallèles, nous sommes en 6 Séries chronologiques

7 Estimation des mouvements saisonniers présence d un modèle additif. Dans le cas contraire, c est un modèle multiplicatif. Sur cet exemple, nous constatons que les deux droites ne sont pas parallèles, nous sommes donc en présence d un modèle multiplicatif. Séries chronologiques 7

8 Correction des variations saisonnières MÉTHODE ANALYTIQUE On calcule les moyennes et écarts-types pour chacune des périodes considérées et on calcule la droite des moindres carrés σ = ax + b. Si a est nul, c est un modèle additif, si a 0, le modèle est multiplicatif. Moyenne Écart-type En calculant la droite des moindres carrés, on obtient a = et b = , ce qui confirme encore une fois que pour cet exemple, nous sommes bien en présence d un modèle multiplicatif. Correction des variations saisonnières DONNÉES DÉSAISONNALISÉES MODÈLE ADDITIF Dans beaucoup de situations, il est préférable de travailler sur des données qui ne sont pas affectées par un mouvement saisonnier. C est pour cela que l on transforme la série chronologique initiale en données désaisonnalisées ou corrigées des variations saisonnières. Considérons la série statistique des chiffres d affaires trimestriels (en milliers d ) d une entreprise [3]. Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim Le modèle de la série statistique est bien additif, pour s en convaincre, il suffit d employer la méthode de la bande et de constater que la droite qui passe par les maxima et celle qui passe par les minima sont parallèles. Calculons les moyennes mobiles d ordre 4 (puisque nous sommes en présence d une série dont la périodicité est de 4 trimestres). Ensuite nous déterminons les différences saisonnières, c est-à-dire les différences entre les valeurs de la série statistique de départ et les valeurs des moyennes mobiles correspondantes. 8 Séries chronologiques

9 Correction des variations saisonnières Ces différences vont nous servir pour obtenir les cœfficients saisonniers non corrigés trimestriels. Les cœfficients saisonniers ne sont en fait que les moyennes des différences saisonnières pour chacun des trimestres. Par exemple pour le premier trimestre, nous obtenons : ( ) Nous calculons de cette manière les quatre cœfficients saisonniers. Nous supposons que la composante saisonnière est strictement périodique. L effet net de la composante saisonnière sur une période doit être nul car il est repris dans la tendance générale de la série chronologique. Ceci nous amène donc à rectifier les cœfficients saisonniers non corrigés en leur retranchant la moyenne des cœfficients saisonniers pour toutes les périodes. Séries chronologiques 9

10 Correction des variations saisonnières Disposant maintenant des cœfficients saisonniers corrigés, nous pouvons désaisonnaliser la série chronologique en retranchant de chacune des valeurs initiales la valeur du cœfficient saisonnier correspondant. Le graphique ci-dessous reprend la série chronologique de départ ainsi que la série chronologique désaisonnalisée. MODÈLE MULTIPLICATIF MÉTHODE DES MOYENNES MOBILES Nous verrons deux techniques pour désaisonnaliser une série statistique dans l hypothèse d un modèle multiplicatif, de loin le plus fréquent en pratique. En utilisant la méthode des moyennes mobiles, nous calculons les moyennes mobiles d ordre égal au nombre de périodes de la saison (mois, trimestre, année, etc.). Tableau des moyennes mobiles d'ordre Séries chronologiques

11 Correction des variations saisonnières Après avoir calculé ces moyennes, on calcule les rapports saisonniers qui sont égaux aux données de la série d origine divisées par les moyennes mobiles correspondantes. Tableau des rapports saisonniers CŒFFICIENTS SAISONNIERS Nous effectuons ensuite les moyennes des rapports saisonniers pour chacune des périodes de la saison. Ces moyennes sont les cœfficients saisonniers. Cœfficients saisonniers Somme On admet en général que la somme des cœfficients saisonniers est égale au nombre de périodes de la saison, dans notre exemple égale à 12 ou que la moyenne des cœfficients saisonniers est égale à 1. Dans notre cas, elle vaut Nous corrigeons les valeurs calculées en les divisant par cette moyenne. Cœfficients saisonniers corrigés Somme Séries chronologiques 11

12 Correction des variations saisonnières Disposant des cœfficients saisonniers corrigés, l obtention de la série chronologique désaisonnalisée est immédiate : il suffit de diviser chaque valeur de la série d origine par le cœfficient saisonnier corrigé de la période correspondante. Série chronologique corrigée des variations saisonnières Voici une représentation graphique sur laquelle nous avons reporté les données originales ainsi que les données corrigées des variations saisonnières. MÉTHODE DES RAPPORTS À LA TENDANCE Une autre façon de procéder pour désaisonnaliser une série chronologique consiste à calculer la droite de régression des données en fonction des n périodes de la saison. 12 Séries chronologiques

13 Correction des variations saisonnières Dans notre exemple, nous établissons la droite de régression des ventes par rapport aux 60 (12 fois 5 saisons) périodes. Cette droite est d équation y = 14.64x Calculons alors les valeurs pour chacune des périodes en nous basant sur la droite de régression que nous venons d établir. Nous obtenons le tableau suivant : Valeurs basées sur la droite de régression y = 14.64x Pour obtenir les rapports saisonniers, il suffit de diviser les valeurs originales par celles obtenues en se basant sur la droite de régression. Tableau des rapports saisonniers Nous calculons ensuite la moyenne pour chaque période obtenant ainsi les cœfficients saisonniers. Cœfficients saisonniers Somme Séries chronologiques 13

14 Correction des variations saisonnières Nous n avons pas besoin d ajuster ces cœfficients puisque leur somme vaut 12 (nombre de périodes par saison). Finalement, nous obtenons de la même façon que précédemment les valeurs de la série chronologique corrigées des variations saisonnières : Série chronologique corrigée des variations saisonnières Voici pour terminer une représentation graphique de la série originale, de la droite de régression et de la série désaisonnalisée. 14 Séries chronologiques

15 Exercices non résolus Exercices non résolus 1. En vous basant sur la série chronologique suivante (source BelgoStat), que pouvez vous dire sur la consommation de gaz-oil et fuel léger en Belgique? Quelles sont vous prévisions pour les six premiers mois de l année 2002? Pétrole (milliers de tonnes) Gas-oil et fuel-oil léger déc déc déc nov nov nov oct oct oct sept sept sept août août août juil juil juil juin juin juin mai mai mai avr avr avr mars mars mars févr févr févr janv janv janv Voici une série statistique trimestrielle (source BelgoStat) sur le degré d'utilisation de la capacité de production en % dans les secteurs briques, ciment, céramique pour le bâtiment et l'industrie, verre plat. Quelles conclusions pouvez-vous en tirer? 1995T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Séries chronologiques 15

16 Références Références [1] Michel, Statistique descriptive avec ou sans tableur, Dunod, 1999 [2] David M. Levine, Mark L. Berenson, David Stephan, Statistics for managers, Prentice Hall, 1999 [3] J.-L. Monino, J.-M. Kosianski, F. Le Cornu, Statistique descriptive, Dunod, 2000 [4] M. Boissonade, A. M. Halbique, Statistique et probabilités, Ligel, Séries chronologiques