Synthèse d analyse Avril 2011

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1 Snthèse d analse Avril 20

2 Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur civil Son objectif est de proposer une snthèse des définitions et propriétés utiles Aucun résultat énoncé n est démontré Si un étudiant souhaite obtenir une preuve des énoncés annoncés, nous le renvoons à ses cours de l enseignement secondaire Il ne faut pas considérer ce document comme une bible! D une part, il ne s agit pas de notes de cours Les notions ne sont pas toujours abordées dans le même ordre que lors de leur approche en classe C est ainsi que les fonctions logarithmiques et eponentielles sont présentées sur le même pied que les polnômes, fractions rationnelles, etc D autre part, il est certainement pourvu de nombreu défauts : lacunes, imprécisions, manque d eemples ou d eercices, illustrations omises, lapsus ou fautes de frappe, Une étude par coeur du contenu de ce recueil n est pas une bonne méthode pour se préparer et ne garantit en rien la réussite de l eamen La pratique de la résolution d eercices et de problèmes est également indispensable Nous renvoons le lecteur au questions/réponses publiées ailleurs Toutes nos ecuses pour ces défauts Nous espérons profiter des commentaires et remarques des utilisateurs pour perfectionner cette première version pour les années ultérieures Tous mes remerciements au Professeur Delhez pour ses relectures et ses nombreu conseils avisés Yvan Haine 2

3 Chapitre Notions de base Définitions Une fonction f réelle d une variable réelle est une loi qui à tout réel associe au plus un réel noté f() On dit que f() est l image du réel par la fonction f ou la valeur de la fonction f en L ensemble des valeurs de qui ont une image par f est le domaine de définition de la fonction f On le note généralement dom f L ensemble {f() : dom f} est appelé l ensemble image de f ou l ensemble des valeurs de f Certains l appellent aussi codomaine de f Dans le plan muni d un repère (généralement orthonormé ou au moins orthogonal), on représente l ensemble des points de coordonnées (, f()) On obtient ainsi une courbe d équation = f() C est le graphique de la fonction f Un zéro de la fonction f est une valeur de telle que f() = 0 2 Lecture de graphique On peut facilement lire plusieurs caractéristiques d une fonction sur son graphique Un point de l ae des abscisses appartient au domaine de définition d une fonction si la perpendiculaire à l ae des abscisses issue de ce point rencontre le graphique de la fonction en un point 3

4 2 LECTURE DE GRAPHIQUE CHAPITRE NOTIONS DE BASE Eemple Soit une fonction dont le graphique est ci-dessous : = f() dom f Le point = 2 appartient au domaine de f Par contre la fonction n est pas définie au point = Le domaine de définition de f est [0, + [ Remarque Si une perpendiculaire à l ae des abscisses rencontre un graphique en plus d un point, alors ce graphique n est pas celui d une fonction Eemple Un point de l ae des ordonnées appartient à l ensemble des valeurs d une fonction si la perpendiculaire à l ae des ordonnées issue de ce point rencontre le graphique de la fonction en au moins un point 4

5 CHAPITRE NOTIONS DE BASE 2 LECTURE DE GRAPHIQUE Eemple Soit une fonction dont le graphique est ci-dessous : = f() ens val f La valeur = 2 appartient à l ensemble des valeurs de f, au contraire de la valeur = L ensemble des valeurs de f est [0, + [ Les zéros d une fonction sont les abscisses des points d intersection du graphique avec l ae des abscisses Eemple Soit la fonction f dont le graphique est ci-dessous : = f() 3 3 Les zéros de f sont = 3, = 0 et = 3 Une fonction est positive (négative) sur un intervalle I ssi son graphique est au-dessus (en-dessous) de l ae des lorsque I 5

6 3 FONCTIONS PAIRES ET IMPAIRES CHAPITRE NOTIONS DE BASE Eemple La fonction f de l eemple précédent est positive sur ] 3, 0[ ] 3, [ et négative sur ], 3[ ]0, 3[ 3 Fonctions paires et impaires 3 Définition Une fonction f est paire si dom f, dom f et f( ) = f() Une fonction f est impaire si dom f, dom f et f( ) = f() Remarque Une condition nécessaire pour qu une fonction soit paire ou impaire est donc que son domaine de définition soit smétrique par rapport à l origine Insistons sur le fait qu il s agit d une condition nécessaire, mais pas suffisante Il eiste des fonctions dont le domaine est smétrique par rapport à 0 mais qui ne sont ni paires, ni impaires Eemple Le domaine de définition de la fonction f() = + est R Mais comme f( ) = +, la fonction n est ni paire (f( ) f()) ni impaire (f( ) f()) Par contraposition, si le domaine de définition d une fonction n est pas smétrique par rapport à 0, la fonction n est ni paire, ni impaire Eemple Le domaine de définition de la fonction f() = est [0, + [ Cet ensemble n est pas smétrique par rapport à 0 Par conséquent, la fonction n est ni paire, ni impaire 6

7 CHAPITRE NOTIONS DE BASE 3 FONCTIONS PAIRES ET IMPAIRES 32 Propriétés du graphique Le graphique d une fonction paire est smétrique par rapport à l ae des ordonnées Eemple f() = 2 f() = f( ) Le graphique d une fonction impaire est smétrique par rapport à l origine des aes Eemple f() = 3 f() f( ) 7

8 4 VARIATIONS ET EXTREMA CHAPITRE NOTIONS DE BASE 33 Fonctions fondamentales Si n Z et k R, les fonctions f() = 2n, f() = cos, f() = et f() = k sont des fonctions paires Si n Z, les fonctions f() = 2n+, f() = sin, f() = tg sont des fonctions impaires 34 Propriétés Si f est impaire et définie en = 0, alors f(0) = 0 La somme ou différence de deu fonctions paires (impaires) est paire (impaire) Le produit ou quotient de deu fonctions de même parité (de parités différentes) est paire (impaire) Conséquences Toute fonction dont l epression est un polnôme ne contenant que des puissances paires (impaires) de est une fonction paire (impaire) 4 Variations et etrema 4 Croissance et décroissance Une fonction réelle f est croissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) f( 2 ) Une fonction réelle f est décroissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) f( 2 ) 8

9 CHAPITRE NOTIONS DE BASE 4 VARIATIONS ET EXTREMA Eemple La fonction f() = 2 est croissante sur [0, + ] f( ) 2 f( 2 ) Une fonction réelle f est strictement croissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) < f( 2 ) Une fonction réelle f est strictement décroissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) > f( 2 ) 42 Etrema d une fonction Appelons voisinage de 0 un intervalle (non réduit à 0 ) contenant 0 Soit une fonction f réelle, définie sur un ensemble I et 0 I On dit que f admet un maimum local en 0 si il eiste un voisinage V I de 0 tel que V, f() f( 0 ) On dit que f admet un minimum local en 0 si il eiste un voisinage V I de 0 tel que V, f() f( 0 ) 9

10 4 VARIATIONS ET EXTREMA CHAPITRE NOTIONS DE BASE Eemple La fonction f() = sin admet un maimum local en = π 2 f() = sin π 2 On dit que f admet un maimum global en 0 si I, f() f( 0 ) On dit que f admet un minimum global en 0 si I, f() f( 0 ) Eemple La fonction f() = 2 admet un minimum global en = 0 Remarque La maimum ou minimum est dit strict si V, 0, f() < f( 0 ) ou f() > f( 0 ) 0

11 CHAPITRE NOTIONS DE BASE 5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES 5 Transformations graphiques 5 f() + k Si k R, le graphique de la fonction f() + k est obtenu en translatant le graphique de la fonction f() de k unités selon l ae des ordonnées Eemple f() = sin f() = sin e 2 52 f( + k) Si k R, le graphique de la fonction f( + k) est obtenu en translatant le graphique de la fonction f() de k unités selon l ae des abscisses Eemple f() = sin f() = sin( + 3π 4 ) 3π 4 e

12 5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES CHAPITRE NOTIONS DE BASE 53 k f() Si k R, le graphique de la fonction k f() est obtenu en multipliant les ordonnées des points du graphique de la fonction f() par k Cette transformation géométrique s appelle une affinité Cela a pour effet d «étirer»le graphique de f parallèlement à l ae O si k > ou de l «aplatir»si k < Eemple f() = sin f() = 3 sin() 54 f(k ) Si k R, le graphique de la fonction f(k ) est obtenu en «étirant»le graphique de f parallèlement à l ae O si k < ou en «compressant»le graphique de f parallèlement à l ae O si k > Cette transformation géométrique s appelle une affinité 2

13 CHAPITRE NOTIONS DE BASE 5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES Eemple f() = sin f() = sin(3) 55 f() Le graphique de la fonction f() est obtenu par l union du graphique de f lorsque f() est positif et du graphique de f lorsque f() est négatif Eemple f() f() 3

14 5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES CHAPITRE NOTIONS DE BASE 4

15 Chapitre 2 Limites La notion de limite est fort compliquée et toute en nuances Définir cette notion avec rigueur (définitions en ε, η) demande beaucoup de temps et de précision tant le nombre de cas à envisager est important Nous omettons donc volontairement ces définitions rigoureuses dans cette snthèse Par contre, nous en donnerons des définitions "intuitives" et les illustrerons par des eemples et des interprétations graphiques Maitriser le concept de limite demande deu choses : interpréter la limite obtenue pour comprendre comment la fonction se comporte au "voisinage" des bornes ouvertes de son domaine de définition, être capable de calculer une limite Ces deu aspects sont abordés dans cet ordre dans cette snthèse 2 Point adhérent Un point est adhérent à un ensemble s il appartient à cet ensemble ou s il est une borne ouverte de cet ensemble Par etension intuitive de cette définition, nous admettrons de dire que + ( ) est adhérent à un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) 5

16 22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES 22 Définitions intuitives 22 Limite finie à l infini Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ et α R La limite de f quand tend vers + est égale à α si la différence f() α prend des valeurs aussi petites que l on veut pour autant que soit suffisamment grand On note lim + f() = α On dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers + Eemple Soit la fonction f() = + On peut prouver (voir paragraphe relatif au calcul des limites) que lim + f() = Graphiquement, on a f() = f() Interprétation graphique Dans ce cas, la différence f() représente la différence entre l ordonnée d un point du graphique de f d abscisse et le nombre Cette différence devient aussi petite que l on veut pour autant que s éloigne suffisamment de l origine vers la droite 6

17 CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ], b[ et α R La limite de f quand tend vers est égale à α si la différence f() α prend des valeurs aussi petites que l on veut pour autant que soit négatif, suffisamment grand en valeur absolue On note lim f() = α On dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers Eemple Soit la fonction f = + On peut prouver (voir paragraphe relatif au calcul des limites) que lim f() = Graphiquement, on a f() = f() Interprétation graphique Dans ce cas, la différence f() représente la différence entre l ordonnée d un point du graphique de f d abscisse et l ordonnée du point de la droite d équation = qui a la même abscisse Cette différence d ordonnées devient aussi petite que l on veut pour autant que s éloigne suffisamment de l origine vers la gauche Remarques Il est possible -comme dans l eemple ci-dessus- que les limites de la fonction quand 7

18 22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES tend vers + et quand tend vers soient égales Dans ce cas, on utilisera couramment la notation lim f() = α ± en étant conscient que l on écrit deu limites en même temps Il est indispensable que + (- ) soit une borne ouverte du domaine de définition de f pour que la notion de limite en + ( ) ait un sens Eemple n a pas de sens puisque dom = [0, + [ lim 222 Limite infinie à l infini Limite en + Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ La limite de f quand tend vers + est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit suffisamment grand On note lim f() = + + On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers + Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ La limite de f quand tend vers + est égale à si f() est négative et f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit suffisamment grand On note lim f() = + On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers + 8

19 CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES Eemple Soit la fonction f() = 2 2 On peut prouver que lim + f() = + Graphiquement, on a f() lim + f() = + Interprétation graphique Si lim + f() = +, alors le graphique de f "se dirige" vers le coin supérieur droit du plan Limite en Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ], b[ La limite de f quand tend vers est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit négatif et suffisamment grand On note lim f() = + On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ], b[ La limite de f quand tend vers + est égale à si f() est négative et f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit négatif et suffisamment grand On note lim f() = 9

20 22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers Eemple Soit la fonction f() = 2 2 On peut prouver que lim f() = + Graphiquement, on a f() lim f() = + Interprétation graphique Si lim f() = +, alors le graphique de f "se dirige" vers le coin supérieur gauche du plan 223 Limite infinie en un réel Limite à droite et à gauche Limite à droite Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, a R La limite à droite de f quand tend vers a est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que > a soit suffisamment proche de a On note lim a + f() = + On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers a par la droite 20

21 CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES La limite à droite de f quand tend vers a est égale à si f() prend des valeurs négatives, en valeur absolue aussi grandes que l on veut pour autant que > a soit suffisamment proche de a On note lim f() = a + On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers a par la droite Limite à gauche Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, b R La limite à gauche de f quand tend vers b est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que < b soit suffisamment proche de b On note lim f() = + b On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers b par la gauche La limite à gauche de f quand tend vers b est égale à si f() prend des valeurs négatives, en valeur absolue aussi grandes que l on veut pour autant que < b soit suffisamment proche de a On note lim f() = b On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers b par la gauche 2

22 22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES Eemple Soit f() = 2 4 On peut prouver que lim 2 + lim ( 2) = = + lim 2 lim ( 2) 2 4 = 2 4 = lim ( 2) f() = + lim f() = f() lim ( 2) f() = + lim f() = 2 Limite infinie en un réel Si f une fonction définie sur un ensemble contenant un ensemble du tpe ]a, b[ ]b, c[, la limite de f quand tend vers b est égale à + ( ) si les limites de f quand tend vers b à gauche et à droite sont égales à + ( ) 22

23 CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES Eemple Soit f() = 2 On peut prouver que lim 0 f() = + f() lim 0 + f() = + lim 0 f() = + Si les limites de f à droite et à gauche de b eistent et sont différentes, la limite de f quand tend vers b n eiste pas Eemple Soit f() = On peut prouver que lim 0 ± f() = ± Donc lim 0 f() n eiste pas car les limites à gauche et à doite eistent mais sont différentes f() Si f est une fonction définie à droite (à gauche) d un réel b et pas à gauche (pas à droite), alors la limite de f quand tend vers b est égale à la limite de f quand tend vers b par la droite (gauche) 23

24 22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES Eemple Soit f() = ln On sait que que lim 0 + f() = La limite à gauche n a pas de sens Donc lim 0 f() = f() 224 Limite finie en un réel Limite à droite Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, a R La limite à droite de f quand tend vers a est égale à α, α R si f() prend des valeurs aussi proches que l on veut de α pour autant que > a soit suffisamment proche de a On note lim a + f() = α On dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers a par la droite Limite à gauche Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, b R La limite à gauche de f quand tend vers b est égale à β si f() prend des valeurs aussi proches que l on veut de β pour autant que < b soit suffisamment proche de a On note lim b f() = β On dit aussi que f tend vers β lorsque tend vers b par la gauche Limite finie en un réel Si f est une fonction définie sur un ensemble contenant un ensemble du tpe ]a, b[ ]b, c[ La 24

25 CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES limite de f quand tend vers b est égale à α(α R) si les limites de f quand tend vers b à gauche et à droite sont égales à α Si f est une fonction définie à droite (à gauche) d un réel b et pas à gauche (droite), alors la limite de f quand tend vers b est égale à la limite de f quand tend vers b par la droite (gauche) Dans les deu cas, on dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers b Eemple Soit f() = Cette fonction est définie sur R On a lim 0 ± = 0 Les limites à gauche et à doite de 0 sont égales Donc lim 0 = 0 f() Eemple Soit f() = Cette fonction est définie sur [0, + [ On a lim 0 + = 0 La limite à gauche de 0 n a pas de sens Donc lim 0 = 0 f() 25

26 23 CALCUL DE LIMITES CHAPITRE 2 LIMITES 23 Calcul de limites Le calcul de la limite d une fonction se fait à l aide de deu éléments : des limites de fonctions fondamentales des théorèmes relatifs au limites de somme, produit, quotient et composition de fonctions 23 Limites fondamentales Limites à l infini Lorsqu on calcule la limite d une fonction en ±, on est souvent amené à envisager les mêmes limites Il est donc indispensable de connaître les résultats suivants (qui sont tous démontrables) lim k = k, k R ± + si n est pair lim ± n = lim ± = 0, n N n ± si n est impair lim p q = +, p > 0, q > 0 + lim p q = 0, p < 0, q > 0 + lim ln = + + lim + e = + lim e = 0 + ( π ) lim arctg = ± ± 2, n N 26

27 CHAPITRE 2 LIMITES 23 CALCUL DE LIMITES Limites infinies lim = si n N est impair a ( a) n lim = + si n N est pair a ( a) n lim = + pour tout n naturel a + ( a) n lim a + ( a) = + pour tout q q Q+ 0 lim ln = 0 + Limites finies Pour tout polnôme P (), lim P () = P (a) a a R +, lim = a a a R, lim e = e a a a R + 0, lim ln = ln a a a R, lim sin = sin a a a R, lim cos = cos a a a [, ], lim arcsin = arcsin a a a [, ], lim arcos = arcos a a a R, lim arctg = arctg a a 232 Limites et opérations Pour évaluer la limite d une fonction en ±, on peut utiliser les théorèmes suivants Ils permettent de donner la valeur de la limite d une somme, d un produit, de deu fonctions Certaines configurations ne donnent cependant pas toujours le même résultat Ce sont les cas dits "d indétermination" Ils figurent entre [ et ] dans les énoncés suivants 27

28 23 CALCUL DE LIMITES CHAPITRE 2 LIMITES Deu limites finies Si lim f() = α et lim g() = β, α, β R alors ± ± lim (f() + g()) = α + β ± lim (f() g()) = α β ± lim ± (f() g()) = α β f() lim ± g() = α β si β 0 si α 0 et β = 0 [ ] 0 si α = 0 et β = 0 0 Une limite finie et une limite infinie Si lim f() = α et lim g() = +, α R alors ± ± lim (f() + g()) = + ± lim ± lim (f() g()) = ± f() lim ± lim ± (f() g()) = g() = 0 g() f() = si α 0 [0 ] si α = 0 Deu limites infinies Si lim f() = + et lim g() = + alors ± ± lim (f() + g()) = + ± lim (f() g()) = [ ] ± lim ± lim ± (f() g()) = + f() [ ] g() = 28

29 CHAPITRE 2 LIMITES 24 CAS D INDÉTERMINATION 233 Limite d une fonction de fonction Si f est une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ telle que lim f() = α et si g est une fonction définie sur un intervalle dont α est + adhérent est telle que lim g() = A, alors lim g(f()) = A α a Eemple La fonction f() = + 2 La fonction g est définie sur R\{ 2} et est la composée des fonctions g() = + 2 lim + La fonction h est définie sur R + et lim = 0 + (A = 0) 0 + Donc lim = Cas d indétermination et h() = + 2 = 0+ (a = + et α = 0) Trouver la vraie valeur d une limite lorsque celle-ci est une indétermination s appelle "lever l indétermination" Il n est pas possible d epliquer ici toutes les configurations possibles et toutes les méthodes correspondantes Nous nous contenterons d epliquer les plus fréquentes 24 Polnômes : cas [ ] La limite à l infini d un polnôme P () = suivant n a k k où a n 0 se calcule à l aide du théorème k=0 La limite à l infini d un polnôme est égale à la limite de son terme de plus haute puissance lim P () = lim a n n ± ± Les cas d indétermination nécessitant le théorème de l Hospital sont abordés dans le chapitre des dérivées 29

30 24 CAS D INDÉTERMINATION CHAPITRE 2 LIMITES Eemple lim = [ ] = lim + 3 = Fonction rationnelle : [ ] La limite à l infini d une fonction rationnelle P () Q() = à l aide du théorème suivant n a k k k=0 p b k k k=0 où a n 0 et b p 0 se calcule La limite à l infini d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haute puissance du numérateur et du dénominateur P () lim ± Q() = lim a n n ± b p p Conséquence La limite à l infini d une fonction rationnelle est égale à 0 si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur a n si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur b n ± si le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur Eemple lim + lim + lim + [ = [ ] 3 3 = [ ] 3 2 = ] = lim + = lim + = lim = = = + 30

31 CHAPITRE 2 LIMITES 24 CAS D INDÉTERMINATION 243 Fonctions irrationnelles [ cas ] [ Si une indétermination apparaît dans une epression faisant apparaître une ] fonction irrationnelle, l indétermination peut généralement être levée en mettant en évidence la plus haute puissance du radicand Eemple Soit f() = 2 On a lim 2 [ = ± ] = lim ± = ± { }} { 2 cas [ ] Les cas d indétermination [ ] faisant apparaître une epression irrationnelle se lèvent généralement en multipliant et en divisant l epression par le binôme conjugué Eemple Soit f() = 2 On a ( lim 2 ) = [ ] + ( = lim 2 )( 2 + ) ± 2 + = lim ± = Remarque Si le cas d indétermination [ ] se présente avec une epression irrationnelle faisant intervenir une racine cubique, c est par le "trinôme conjugué" qu il faut multiplier afin d utiliser 3

32 24 CAS D INDÉTERMINATION CHAPITRE 2 LIMITES le produit remarquable a ± b = a3 ± b 3 a 2 ab + b Fonction rationnelle : [ ] 0 0 La limite quand tend vers a d une fonction rationnelle P () présente l indétermination [ ] Q() 0 lorsque a est à la fois un zéro de P () et de Q() 0 On en déduit la méthode de levée de l indétermination : on factorise P () et Q() en divisant ces deu polnômes par a, puis on simplifie la fonction rationelle Eemple lim 2 3 = [ ] 0 ( )( + ) = lim 0 ( )( ) = lim ( + ) ( ) = 2 3 Remarque Comme le montre l eemple ci-dessus, la limite d une fonction rationnelle en un des zéros du dénominateur peut donc être finie Il est donc fau de dire qu une fonction rationnelle admet une asmptote verticale au() zéro(s) de son dénominateur 245 Fonctions irrationnelles cas [ ] 0 0 [ ] 0 Si une indétermination apparaît dans une epression faisant apparaître une 0 fonction irrationnelle, l indétermination peut généralement être levée soit en multipliant et divisant la fraction par le binôme conjugué de l (les) epression(s) irrationnelle(s) soit par simplification 32

33 CHAPITRE 2 LIMITES 25 LIMITES ET INÉGALITÉS Eemple Soit f() = [ ] 0 On a lim = 0 + = lim + ( )( + ) = lim = lim ( + ) = 2 Soit f() = On a lim 0 + = lim = Limites et inégalités Si f et g sont deu fonctions telles que f() < g() dans un voisinage de a (sauf éventuellement en a) admettant chacune une limite quand tend vers a, alors lim f() lim g() a a Eemple Soient f() = et g() = 2 Ces deu fonctions vérifient g() < f() pour tout > Par suite lim + 2 lim + De même, les deu fonctions vérifient f() < g() pour tout ]0, [ Par suite lim 0 + lim

34 25 LIMITES ET INÉGALITÉS CHAPITRE 2 LIMITES Théorème de l étau a Si f, g et h sont trois fonctions telles que f() g() h() dans un voisinage de a (sauf éventuellement en a), et si lim f() = lim h() = α, a a alors lim g() = α a a Les bricoleurs l appellent "théorème de l étau", les gourmands "théorème du sandwich" et les autres "théorème des gendarmes" Eemple Soient les fonctions f() = sin, g() = et h() = Pour tout > 0, on a f() g() h() De plus, lim f() = lim h() = Par conséquent, sin lim + = 0 On peut faire le même raisonnement en h() g() f() 34

35 Chapitre 3 Asmptotes 3 Asmptote horizontale Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) et α R On dit que la droite d équation = α est une asmptote horizontale au graphique de f en + ( ) lorsque lim f() = α ( lim f() = α) + 35

36 32 ASYMPTOTE OBLIQUE CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Eemple Soit la fonction f() = +, comme lim ± f() =, le graphique de f admet la droite d équation = comme asmptote horizontale f() AH = La droite d équation = est une asmptote horizontale au graphique de f aussi bien en + qu en 32 Asmptote oblique 32 Définition Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) On dit que la droite d équation = m + p est une asmptote oblique au graphique de f en + ( ) ssi il eiste m et p réels tels que lim + (f() (m + p)) = 0 ( lim (f() (m + p)) = 0) 36

37 CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 32 ASYMPTOTE OBLIQUE 322 Critère d eistence d une asmptote oblique Le graphique de la fonction f admet une asmptote oblique en + ( ) ssi il eiste m et p réels tels que et p = m = f() lim + lim (f() m) + Eemple Soit la fonction f = 2 + Comme et m = p = f() lim + = lim f() = 0, + le graphique de f admet la droite d équation = comme asmptote oblique Graphiquement, on a f() = f() ) Interprétation graphique Dans ce cas, la différence f() représente la différence entre l ordonnée d un point du graphique de f d abscisse et l ordonnée du point de la droite d équation = qui a la même abscisse Cette différence d ordonnées devient aussi petite que l on veut pour autant que s éloigne suffisamment de l origine vers la droite 37

38 33 ASYMPTOTE VERTICALE CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Ici, la même droite est également asmptote au graphique de f en Remarques L eistence d un m réel tel que m = tel que p = lim (f() m) + f() lim + ne garantit pas l eistence d un p réel Eemple Soit la fonction f() = On a lim = 0, mais lim = Une asmptote horizontale est un cas particulier d asmptote oblique Elle correspond au cas m = 0 Le graphique d une fonction ne peut admettre une asmptote oblique (non horizontale) en + que si lim f() = ± La réciproque n est pas vraie : il eiste des fonctions + admettant une limite infinie et dont le graphique n admet pas d asmptote oblique Eemple f() = Asmptote verticale Soit f une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, alors la droite d équation = a est asmptote verticale à droite au graphique de f si lim f() = et a + la droite d équation = b est asmptote verticale à gauche au graphique de f si lim f() = b 38

39 CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 33 ASYMPTOTE VERTICALE Eemple Soit f() = Comme lim = et lim + = +, la droite d équation = est une asmptote verticale au graphique de f f() = AV : = Remarques Une droite d équation = a peut être asmptote verticale au graphique d une fonction à droite, à gauche ou des deu côtés Eemple Comme ln est définie uniquement sur ]0, + [ et lim 0 + ln =, la droite d équation = 0 est asmptote verticale à droite au graphique de la fonction f() = ln f() = ln 39

40 34 CO-EXISTENCE D ASYMPTOTES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 34 Co-eistence d asmptotes 34 Asmptotes horizontales et obliques Soit f une fonction dont le domaine contient un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) Le graphique d une fonction ne peut admettre aucune des configurations suivantes une asmptote horizontale et une asmptote oblique en + ( ), deu horizontales en + ( ), deu obliques en + ( ) Par contre, le graphique d une fonction peut admettre deu asmptotes horizontales différentes en + et, f() = arctg = π 2 = π 2 deu asmptotes obliques différentes en + et f() = 2 une smptote oblique d un côté et une asmptote horizontale de l autre 40

41 CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 34 CO-EXISTENCE D ASYMPTOTES f() = une asmptote d un côté et pas de l autre f() = e 342 Asmptotes verticales Le graphique d une fonction peut admettre plusieurs asmptotes verticales Eemple Le graphique de la fonction f() = 2 4, admet les deu droites d équation = 2 et = 2 comme asmptotes verticales tant à gauche qu à droite f() = 2 4 AV : = 2 AV : = 2 4

42 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Le graphique de la fonction f() = tg en admet une infinité d asmptotes verticales d équations = π 2 + kπ, k Z 3π 2 π 2 π 2 3π 2 35 Limites par valeurs supérieures et inférieures 35 Définitions Si lim f() = α et que f() > α, suffisamment grand (en valeur absolue), on dit ± que f tend vers α par des valeurs supérieures On note lim f() = ± α+ Si lim f() = α et que f() < α, suffisamment grand (en valeur absolue), on dit ± que f tend vers α par des valeurs inférieures On note lim f() = ± α 352 Interprétation graphique Graphiquement, le graphique de f est au-dessus de l asmptote horizontale d équation = α lorsque lim f() = ± α+ et le graphique de f est en-dessous de l asmptote horizontale d équation = α lorsque lim f() = ± α 42

43 CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES Eemple Soit la fonction f() = +, on a lim + f() = + et lim f() = Donc le graphique de f est au-dessus de la droite d équation = en + et endessous en f() AH = Remarques Il eiste des fonctions telles que lim ± f() = α sans qu on ne puisse préciser si elles tendent par des valeurs supérieures ou inférieures à α Eemple Soit la fonction f() = sin On a lim + sin = 0, mais f change périodiquement de signe Le graphique oscille de part et d autre de l ae des abscisses f() = sin Il est fau de dire que le graphique d une fonction ne peut pas avoir de point d intersection avec une asmptote horizontale 43

44 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Eemple La fonction f() = ln admet la droite d équation = 0 comme asmptote horizontale en + et f() = 0 f() = ln 353 Position d un graphique par rapport à une asmptote oblique Si le graphique d une fonction admet une asmptote oblique, on peut déterminer la position du graphique par rapport à cette asmptote oblique de la même façon que pour les asmptotes horizontales Si lim ± (f() m) = p+, le graphique de f est au-dessus de l asmptote oblique Si lim ± (f() m) = p, le graphique de f est en-dessous de l asmptote oblique Remarque Il est parfois difficile de prouver que la limite lim ± (f() m) = p± Dans ce cas, on peut utiliser les conditions équivalentes suivantes Si lim ± (f() (m + p)) = 0+, le graphique de f est au-dessus de l asmptote oblique Si lim ± (f() (m + p)) = 0, le graphique de f est en-dessous de l asmptote oblique 44

45 CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES Eemple Soit la fonction f() = Comme f() m = lim ± = et p = lim f() = lim ± = 2, la droite d équation = + 2 est asmptote oblique au graphique de f Pour déterminer la position du graphique de f par rapport à l asmptote oblique, on calcule p = lim f() ( + 2) = lim ( 2 + 2) = lim ± ± ± = 0± Le graphique de f est situé au-dessus de l asmptote en + et en-dessous de l asmptote en Graphiquement, on a f() = 45

46 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 46

47 Chapitre 4 Fonctions continues 4 Définitions Une fonction f est continue en un point 0 de son domaine si lim 0 f() = f( 0 ) Une fonction f est continue sur un intervalle [a, b] si elle est continue en tout point de [a, b] L ensemble des points où la fonction est continue est le domaine de continuité de la fonction Remarque Pour qu une fonction soit continue en un point 0, il faut donc que 3 conditions soient réalisées : f( 0 ) doit eister La fonction f doit être définie en 0 lim 0 f() doit eister et être finie lim 0 f() doit être égale à f( 0 ) Notation Soit un intervalle I L ensemble des fonctions continues sur I est noté C 0 (I) Une fonction continue sur I appartient donc à C 0 (I) 47

48 4 DÉFINITIONS CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES Eemple La fonction f() = E() (fonction partie entière) n est pas continue en chaque entier En effet, comme lim E() = 0 et lim + E() =, lim E() n eiste pas Eemple La fonction f() = + 2 si 4 si = n est pas continue en = En effet, comme lim f() = 3 et f() = 4, lim f() f() f() 48

49 CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES 42 PROPRIÉTÉS 42 Propriétés 42 Opérations sur les fonctions continues Si f et g sont deu fonctions continues en 0, alors αf + βg est continue en 0, α, β R f g est continue en 0 si g( 0 ) 0, f g est continue en Continuité d une fonction de fonction Si f est une fonction continue en 0 et si g est une fonction continue en f( 0 ) alors g(f()) est continue en 0 43 Eemples fondamentau Tout polnôme est continu sur R Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition Les fonctions,, ln et e sont continues sur leur domaine de définition Les fonctions sin, cos et tg sont continues sur leur domaine de définition Les fonctions arcsin, arcos et arctg sont continues sur leur domaine de définition 49

50 44 THÉORÈMES CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES 44 Théorèmes des fonctions continues 44 Théorème des bornes atteintes Une fonction f réelle, continue sur un intervalle fermé borné [a, b] réalise ses bornes supérieures et inférieures sur [a, b] Si f C 0 [a, b], m et M [a, b] tels que f(m) f() f(m), [a, b] f(m) f(b) f(a) a m M b f(m) Remarque f(m) et f(m) sont respectivement les bornes inférieure et supérieure de f sur [a, b] On traduit aussi ce théorème en disant Une fonction f continue sur un intervalle [a, b] est bornée 50

51 CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES 44 THÉORÈMES 442 Théorème des valeurs intermédiaires Si f est une fonction réelle, continue sur l intervalle [a, b] et telle que f(a) f(b), alors, pour tout réel α compris entre f(a) et f(b), il eiste un point c [a, b] tel que f(c) = α f(b) a α c b f(a) Remarques Le point c n est pas nécessairement unique Le point c est unique ssi la fonction f est strictement monotone (croissante ou décroissante) Toute fonction continue qui change de signe entre a et b s annule au moins une fois entre a et b Cette propriété est à la base de la méthode de résolution d une équation f() = 0 par la méthode de dichotomie Cette version du théorème des valeurs intermédiaires peut être élargie : 5

52 44 THÉORÈMES CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES Si f est une fonction réelle, continue sur l intervalle ]a, b[ et telle que lim f() et a + lim f() eistent et sont différentes, alors, pour tout réel α compris entre lim f() b a + et lim f(), il eiste un point c ]a, b[ tel que f(c) = α b Cet énoncé a pour conséquence la propriété suivante : Tout polnôme de degré impair admet au moins un zéro réel En effet, les limites d un polnôme de dégré impair en + et sont de signes différents et tout polnôme est continu sur R 52

53 Chapitre 5 Fonctions dérivables 5 Définitions Le nombre dérivé de la fonction f au point 0 (appartenant au domaine de définition de f) est le nombre noté f ( 0 ) tel que f ( 0 ) = lim h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h si cette limite eiste et est finie On le note aussi df d ( 0) La fonction f est dérivable en 0 si f ( 0 ) eiste f( 0 + h) f( 0 ) Si lim n eiste pas ou si elle est infinie, la fonction est dite non h 0 h dérivable en 0 Si f est dérivable en chacun des points d un ensemble E, elle est dite dérivable sur E Si f est dérivable sur E, la fonction f qui à chaque point de E associe son nombre dérivé f () est appelée fonction dérivée de f Si cette fonction dérivée est continue, on dit que f est continument dérivable Remarques Pour que f ( 0 ) eiste, il faut évidemment que f soit définie en 0 mais aussi dans un voisinage de 0 (pour que f( 0 + h) eiste) On ne peut donc pas calculer la dérivée d une fonction en un point isolé de son domaine de définition 53

54 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES On utilise aussi la définition équivalente f ( 0 ) = lim 0 f() f( 0 ) 0 Une fonction f définie sur [a, b] est dérivable à droite en = a si f(a + h) f(a) lim h 0 + h eiste et est finie On appelle cette limite le nombre dérivé à droite de f en = a De même, f est dérivable à gauche en = b si f(b + h) f(b) lim h 0 h eiste et est finie On appelle cette limite le nombre dérivé à gauche de f en = b L epression f( 0 + h) f( 0 ) h est appelée quotient différentiel ou tau d accroissement de f entre 0 et 0 + h 52 Formules de dérivabilité Le calcul des dérivées des fonctions peut se faire à l aide des formules et propriétés suivantes : 54

55 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ 52 Dérivées immédiates ( n ) = n n, n N, R (sin ) = cos, R (cos ) = sin, R (ln ) =, R+ 0 (ep ) = ep(), R (arcsin ) =, ], [ 2 (arcos ) =, ], [ 2 (arctg ) = +, R 2, R + ( ) 0 =, R 0 Remarque La formule de dérivation d une puissance ( n ) = n n peut être étendue au eposants entiers à condition alors que R 0 Eemple ( ) = 2 De même, elle peut être étendue au eposants rationnels q = m p où m, p Z 0 sont premiers entre eu Suivant les valeurs de m et p, la formule est alors vraie dans R 0 ou R + 0 Eemple En particulier, ( ) = 2, R+ 0 ( 3 ) = 3 3 2, R 0 55

56 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 522 Propriétés Dérivée d une somme, d un produit et d un quotient de deu fonctions Si f et g sont dérivables en, alors α f + β g est dérivable en, quels que soient α et β R et (α f + β g) () = α f () + β g () Si f et g sont dérivables en, alors f g est dérivable en et (f g) () = f () g() + f() g () Si f et g sont dérivables en tel que g() 0, alors f g est dérivable en et ( ) f () = f () g() f() g () g g 2 () Eemple ( ) 2 = 3( 2 ) 2 ( 2) = 3(2) 2( 2) 3 = ( e ) = () e + (e ) = e + e = ( + )e (tg ) = ( ) sin cos cos sin ( sin ) = cos cos 2 = cos 2 Conséquences Tout polnôme est dérivable sur R Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition Dérivation d une fonction composée Si f est une fonction dérivable en, si g est dérivable en u = f(), alors la fonction g(f()) est dérivable en et (g(f())) = g (f()) f () 56

57 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ Conséquences Les fonctions sin, cos, ep sont dérivables sur le domaine de dérivabilité de leur argument Les fonctions irrationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition sauf les zéros du radicand Les fonctions valeur absolue sont dérivables sur leur domaine de définition sauf les zéros de l argument Les fonctions arcsin et arcos sont dérivables sur leur domaine de définition, sauf les valeurs de qui donnent à l argument une valeur égale à ou - Eemple La fonction h() = (3 2 ) 5 est la composée de la fonction f() = 3 2, définie et dérivable sur R et de la fonction g() = 5, définie et dérivable sur R La fonction h() est donc dérivable sur R et ( (3 2 ) 5) = 5(3 2 ) 4 (3 2 ) = 5(3 2 ) 4 6 = 30(3 2 ) 4 La fonction h() = e est la composée de la fonction f() =, définie et dérivable sur R + 0 et de la fonction g() = e, définie et dérivable sur R La fonction h() est donc dérivable sur R + 0 et ( e ) = e ( ) = e 2 57

58 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES La fonction h() = arcsin( 2 ) est la composée de la fonction f() = 2, définie et dérivable sur R et de la fonction g() = arcsin définie et dérivable sur ], [ La fonction h() est donc dérivable sur { : < 2 < } Comme < 2 < 2 < 2 < 0 0 < 2 < 2 2 < < 0 ou 0 < < 2, la fonction h() est dérivable sur ] 2, 0, [ ]0, 2[ et ( arcsin( 2 ) ) = ( 2 ) 2 ( 2 ) = = Par suite, et ( arcsin( 2 ) ) = 2 2 2, sur ]0, 2[ ( arcsin( 2 ) ) = 2 2 2, sur ] 2, 0[ Remarque Il arrive qu une fonction soit dérivable en un point alors qu une des epressions qui interviennent ne soit pas dérivable Eemple Soit f() = sin et étudions la dérivabilité de f en = 0 On a et Par conséquent, f est dérivable en = 0 f(h) f(0) h sin h lim = lim = 0 + h 0 + h h 0 + h f(h) f(0) h sin h lim = lim = 0 + h 0 h h 0 h 58

59 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE 53 Interprétation géométrique du nombre dérivé 53 Tangente au graphique d une fonction en un de ses points Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ]a, b[ et 0 ]a, b[ Si h est suffisamment petit, 0 + h ]a, b[ Les points de coordonnées ( 0, f( 0 )) et ( 0 +h, f( 0 +h)) sont des points du graphique de f f( 0 + h) f( 0 ) h La droite qui les unit a pour équation f( 0 ) = f( 0 + h) f( 0 ) ( 0 ) h Si h tend vers 0, la droite "pivote" autour du point ( 0, f( 0 )) On appelle tangente au graphique de f au point d abscisse 0 la droite d équation f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) 59

60 53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES Eemple Soit f() = 2 2 On a f(2) = 2, f () = et f (2) = 2 L équation de la tangente au graphique de f au point d abscisse = 2 est donc f 2 = 2( 2) = 2 2 Le nombre dérivé d une fonction en un point est donc le coefficient directeur de la tangente au graphique de la fonction en ce point Par conséquent, si la dérivée d une fonction f est un point 0 est nulle, alors la tangente au graphique de f au point d abscisse 0 est horizontale Remarque Si le graphique de f est représenté dans un repère orthonormé, on peut appeler aussi le coefficient directeur "coefficient angulaire" ou "pente" 532 Points de non dérivabilité Point à tangente verticale Le graphique d une fonction admet une tangente verticale au point ( 0, f( 0 )) si 0 appartient au domaine de définition de f f n est pas dérivable en 0 lim 0 f () = ± 60

61 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE Eemple La fonction f() = 2 est définie sur [, ] et dérivable sur ], [ Sa dérivée vaut f () = 2 Les points (, 0) et (, 0) sont des points à tangente verticale car lim 2 = + et lim ( ) + 2 = f() = 4 2 = 2 = 2 Eemple La fonction f() = 3 est définie sur R et dérivable sur R 0 Sa dérivée vaut f () = Le point (0, 0) est un point à tangente verticale car lim 0 ± f () = + f() = 3 Point anguleu Le graphique d une fonction admet un point anguleu au point ( 0, f( 0 )) si 0 appartient au domaine de définition de f f n est pas dérivable en 0 les limites lim + 0 f () et lim 0 f () eistent, sont finies et différentes 6

62 53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES Eemple La fonction f() = ( 2) 2 est définie sur R + et dérivable sur ]0, 2[ ]2, + [ Sa dérivée vaut f () = ( 2)(3 2) 2 ( 2) 2 Le point (2, 0) est un point anguleu car lim 2 + f () = 2 et lim 2 f () = 2 f() = ( 2) 2 Le graphique de f admet une tangente à gauche d équation = 2( 2) et une tangente à droite d équation = 2( 2) Remarque Le point (0,0) est un point à tangente verticale Remarque Une deuième possibilité pour avoir un point anguleu est qu une des deu limites soit finie et l autre infinie Mais il est peu fréquent avec des fonctions "conventionnelles" Point de rebroussement Le graphique d une fonction admet un point de rebroussement au point ( 0, f( 0 )) si 0 appartient au domaine de définition de f f n est pas dérivable en 0 les limites lim + 0 f () et lim 0 f () eistent et sont infinies et différentes 62

63 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 54 THÉORÈMES Eemple La fonction f() = 3 2 ( 2) est définie sur R et dérivable sur ], 0[ ]0, 2[ ]2, + [ Sa dérivée vaut f () = (3 4) 3 ( 2 ( 2)) 2 Le point (0, 0) est un point de rebroussement car lim 0 + f () = et lim 0 f () = + f() = 3 2 ( 2) Remarque Le point (2,0) est un point à tangente verticale 54 Théorèmes des fonctions dérivables 54 Lien entre continuité et dérivabilité Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle Remarque La réciproque n est pas vraie La fonction est continue en = 0, mais pas dérivable en ce point 63

64 54 THÉORÈMES CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 542 Condition nécessaire pour avoir un etremum Si f est réelle, dérivable sur ]a, b[ et si il eiste 0 ]a, b[ tel que f( 0 ) f() ( ou f( 0 ) f()), ]a, b[, alors f ( 0 ) = 0 Remarques On peut formuler cette énoncé de façon plus littéraire : Si une fonction f dérivable sur un intervalle ]a, b[ admet un maimum ou un minimum en 0 ]a, b[, alors le nombre dérivé de f en 0 est nul Cela a pour conséquence que si f admet un maimum ou un minimum en un point 0 où f est dérivable, la tangente au graphique de f en ( 0, f( 0 )) est horizontale = f( 0 ) = f() a 0 b Ce n est pas une condition suffisante : une fonction peut admettre un maimum ou un minimum en un point où la fonction n est pas dérivable Eemple f() = admet un minimum en = 0, mais n est pas dérivable en = 0 Donc sa dérivée n est pas nulle! La réciproque de cette propriété n est pas vraie Il eiste des points où la dérivée d une fonction est nulle sans que la fonction n admette un etremum 64

65 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 54 THÉORÈMES Eemple La fonction f() = 3 est telle que f (0) = 0 Pourtant la fonction n admet ni maimum, ni minimum en = Théoreme de Rolle Si f est réelle, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b), alors il eiste ξ ]a, b[ tel que f (ξ) = 0 f (ξ) = 0 f(a) = f(b) = f() a ξ b Cela veut donc dire que si une fonction vérifie les hpothèses du théorème de Rolle, son graphique admet une tangente horizontale en (au moins) un de ses points dont l abscisse est dans l intervalle 544 Théorème des accroissements finis Si f est réelle, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il eiste ξ ]a, b[ tel que f (ξ) = f(b) f(a) b a 65

66 54 THÉORÈMES CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES g f(b) f(a) a ξ b Remarques La thèse peut aussi s écrire f() = f(a) + ( a)f (ξ) Cela veut donc dire que si une fonction vérifie les hpothèses du théorème des accroissements finis (TAF), son graphique admet une tangente parallèle à la droite joignant les points (a, f(a)) et (b, f(b)) en (au moins) un de ses points dont l abscisse est dans l intervalle 545 Théorème de l Hospital Si f et g sont réelles et dérivables sur ]a, b[, si g () 0 sur ]a, b[, si lim f() = lim g() = 0 ou a + a + f () si lim a + g () = L f() alors lim a + g() = L Eemple lim 0 sin = [ ] 0 (sin ) = lim 0 0 cos = lim = 0 66

67 CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 54 THÉORÈMES Remarques Plusieurs applications successives du théorème peuvent être nécessaires pour lever certaines indéterminations Eemple e [ ] lim + 2 = [ = ] (e ) = lim + = lim + ( 2 ) = lim + (e ) (2) = lim + = + [ Le théorème de l Hospital ne s applique que pour des indéterminations de tpe [ ] ] 0 ou Cependant, il permet aussi de lever des indéterminations de tpe [0 ] à 0 condition de transformer l epression e 2 e 2 Eemple lim + e = [0 ] = lim + [ ] (e ) = = lim + e = 0 Le théorème de l Hospital donne la bonne valeur de la limite de la fonction, mais pas nécessairement la façon dont la fonction converge vers sa limite Eemple ln( + ) [ lim = = lim + ln() ] + + = lim + + = ln( + ) On constate cependant que comme >, la limite initiale est supérieure à ln(), alors que comme < +, la limite du quotient des dérivées est inférieure à Si les hpothèses ne sont pas vérifiées, le théorème de l Hospital peut donner un résultat fau 67

68 54 THÉORÈMES CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES Eemple lim + e = = 0 n est pas un cas d indétermination 0 Si on lui applique erronément le théorème de l Hospital, on obtient lim + e = lim = + e 68

69 Chapitre 6 Variations et etrema d une fonction 6 Lien entre dérivée et croissance 6 Définition Etudier les variations d une fonction, c est déterminer les ensembles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante Généralement, le but est de déterminer ensuite les etrema de la fonction 62 Propriétés La fonction f réelle est croissante (décroissante) sur l intervalle I ssi le tau d accroissement est positif (négatif) pour tous, 2 I f( ) f( 2 ) 2 69

70 6 LIEN ENTRE DÉRIVÉE ET CROISSANCE CHAPITRE 6 VARIATIONS Eemple La fonction f() = + est strictement croissante sur R f( 2 ) = f() 2 f( ) Si f désigne une fonction réelle, dérivable sur l intervalle ouvert I, alors f est monotone croissante (décroissante) sur I ssi f 0(f 0) sur I Si f désigne une fonction réelle, dérivable sur l intervalle ouvert I et si f > 0(f < 0) sur I alors f est strictement croissante (décroissante) sur I Eemple La fonction f() = ln est dérivable sur R + 0 et (ln ) = Comme > 0 sur R+ 0, ln est strictement croissante sur R+ 0 Remarque La réciproque de cette propriété n est pas vraie Eemple La fonction f() = 3 est strictement croissante sur R, mais sa dérivée f () = 3 2 n est pas strictement positive sur R 70

71 CHAPITRE 6 VARIATIONS 62 EXTREMA 62 Etrema 62 Point stationnaire On appelle point stationnaire d une fonction f dérivable un zéro de f Eemple Soit la fonction f() = 2 Sa dérivée est f () = 2 f n admet qu un seul point stationnaire en = Condition suffisante pour avoir un etremum local Si f est réelle, dérivable sur un intervalle ouvert I et s il eiste 0 I tel que f () 0(f 0) à droite de 0 et f () 0(f 0) à gauche de 0, alors la fonction admet un maimum (minimum) local en 0 et f ( 0 ) = 0 Par conséquent, si f présente un etremum local en un point, sa dérivée est nulle La recherche des etrema d une fonction se fera donc en cherchant les points stationnaires de f Eemple Soit la fonction f() = 3 3 Sa dérivée est f () = Les points stationnaires de f sont donc situées en = et = On peut alors construire le tableau de signe de f et de variation de f suivant f () = 3( 2 ) f() Ma min 7

72 62 EXTREMA CHAPITRE 6 VARIATIONS Ma min Remarques Si 0 est un point stationnaire de f, cela ne signifie pas que 0 est un etremum de f Pour cela, il faut que f change de signe de part et d autre de 0 Eemple 0 = 0 est un point stationnaire de f() = 3, mais pas un etremum f() = La condition n est pas nécessaire : une fonction peut admettre un etremum en un point où elle n est pas dérivable 72

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