119 exercices de mathématiques pour 1 re S

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "119 exercices de mathématiques pour 1 re S"

Transcription

1 mai 06 9 exercices de mathématiques pour re S Stéphane PASQUET

2 Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 I Le second degré I. Calcul de discriminant et de racines I. Équation avec une racine carrée I. Avec changement de variables I.4 Changements de variables I. Résolution d inéquations I.6 Une inéquation I.7 Polynôme de degré I.8 Polynôme de degré I.9 Trouver un trinôme à partir d une parabole I.0 Trouver la bonne courbe I. Conditions sur deux paramètres I. Trinôme avec un paramètre I. Une équation avec paramètre I.4 La trajectoire de la balle de tennis I. En Physique I.6 À Noël I.7 Vers le nombre d or I.8 Une autre écriture pour une racine carrée I.9 Aire d une couronne rectangulaire I.0 Trouver deux nombres I. Exercice de recherche II Généralité sur les fonctions II. Trouver le domaine de définition II. Fonctions paires, fonctions impaires II. Lecture de tableaux de variation II.4 Lectures graphiques II. Décompositions en fonctions de référence II.6 Fonctions associées : domaine de définition et variations () II.7 Fonctions associées : domaine de définition et variations () II.8 Étude d une fonction avec valeurs absolues II.9 Valeur absolue d un polynôme de degré II.0 Calculs avec valeurs absolues II. Équations avec valeurs absolues II. Inéquations avec valeurs absolues ii

3 II. Ensemble de points III Suites III. Sens de variation III. Sens de variation, majorant et minorant III. Sens de variation d une suite définie par récurrence III.4 Sens de variation d une suite avec racines carrées III. Reconnaître une suite arithmétique et géométrique III.6 Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, le retour III.7 Trouver un terme ou la raison dans une suite arithmétique III.8 Trouver un terme ou la raison d une suite géométrique III.9 Établir une relation de récurrence III.0 Somme des premiers termes d une suite arithmétique III. Somme des premiers termes d une suite géométrique III. Le super-héros III. Étude d une suite arithmético-géométrique avec algorithme III.4 Le débit de l eau, le débit de lait III. Somme des premiers termes d une suite arithmético-géométrique III.6 Suite homographique et suite géométrique, avec un algorithme III.7 Suite homographique et suite arithmétique III.8 Compilation d exercices III.9 Suites imbriquées III.0 Suites imbriquées IV Dérivation IV. Nombre dérivé & équation de tangentes IV. Lecture graphique de nombres dérivés IV. Détermination d une fonction par lecture graphique IV.4 Détermination d une fonction par lecture graphique IV. Dérivées de référence IV.6 Dérivées de fonctions produits et quotient IV.7 Variations de fonctions produits IV.8 Sens de variation de fonctions quotients IV.9 Étude complète de la fonction x x x x + IV.0 Optimisation d une aire dans un triangle rectangle IV. Optimisation du volume d une boîte IV. Optimisation d une aire dans une parabole IV. Optimisation du volume d un cône V Trigonométrie V. Mesure principale V. Calculs de mesures principales d angles V. Lecture d angles sur le cercle trigonométrique V.4 Résolution d équations trigonométriques V. Transformation d une équation V.6 Équations avec changement de variable V.7 À la découverte d un sinus et d un cosinus inconnu iii

4 VI Géométrie plane VI. Vecteurs colinéaires dans un repère VI. Vecteurs avec paramètre VI. Alignement de points VI.4 Alignement de points VI. Dans un parallélogramme VI.6 Équations cartésiennes de droites VI.7 Équation de droites avec paramètre VI.8 Équation de droites & médiatrice VI.9 Un algorithme VII Produit scalaire VII. Produits scalaires et angles VII. Produits scalaires et angles dans un repère orthonormé VII. Angle dans un carré VII.4 Détermination d un angle dans un cercle VII. Dans un rectangle VII.6 Équation de droites perpendiculaires VII.7 Équations de cercles VII.8 Trois cercles tangents VII.9 La formule de Héron VII.0 Aire d un triangle inscrit dans un cercle VII. Avec les formules trigonométriques VII. Dans un repère : cercle, angle et hauteur VII. Dans un rectangle VIII Statistiques descriptives VIII. Notes de deux classes VIII. Salaires dans deux entreprises VIII. Influence d un ajout dans une série statistique VIII.4 Un algorithme VIII. De l algèbre dans les statistiques IX Probabilités IX. Différents ordinateurs IX. 49 boules dans un urne IX. Deux urnes IX.4 Avec deux dés IX. Avec une pièce de monnaie IX.6 Lancer de pièces IX.7 Nombre variable de boules IX.8 Recherche d une mise de départ IX.9 Avec une urne IX.0 Dans une usine de composants électroniques IX. Au lycée à vélo IX. Au tennis IX. Le jeu des petits chevaux iv

5 X Fluctuation et échantillonnage X. Pièce défectueuse X. Un dé peut-être truqué X. Le médecin de campagne X.4 Les OVNIS X. Coup de fatigue au centre d appels v

6 Règles de navigation Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 Bonjour. J ai souhaité créé ici un document dans lequel il est facile de naviguer. C est la raison pour laquelle : À chaque énoncé d exercices, vous pouvez cliquer sur le numéro de la page où se trouve le corrigé pour vous y rendre directement ; À tout moment, vous pouvez retourner au sommaire en cliquant sur le petit carré qui se trouve devant chaque titre. D autre part, il se peut que quelques erreurs se soient glissées dans les énoncés ou corrections ; si vous avez un doute, n hésitez pas à me contacter via le formulaire qui se trouve sur mon site (http://www.mathweb.fr/contact.html) afin d aboutir à un document tendant vers la perfection... Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon travail! Stéphane Pasquet vi

7 Compilation LATEX ε de ce document Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 Ce document repose sur deux extensions personnelles : pas-exos.sty pas-echant.mod.tex tous les deux disponibles gratuitement sur la page : de mon site. Il a été initialement rédigé sous Ubuntu, mais dernièrement compilé sous Windows 0. Vous aurez besoin de GIAC Xcas pour les calculs sur les échantillonnages. Utilisateurs de Windows : vérifiez que C:\xcas\ apparaît bien dans le PATH (tapez «invite de commandes» dans la barre de recherche, lancez le terminal, puis tapez «path» et validez. Si ce chemin ne figure pas dans le PATH, tapez «variables d environnement» dans la barre de recherche et sélectionnez «Modifier les variables d environnement système» cliquez ensuite sur le bouton «Variables d environnement» en bas de la fenêtre qui apparaît ; sous «variables système», il y a une fenêtre dans laquelle apparaît une ligne commençant par «Path» : sélectionnez-là puis cliquer sur le bouton «Modifier» ; ajoutez «C :\xcas\» en fin de ligne. Il vous faudra redémarrer le système pour que ce changement soit pris en compte. vii

8 viii

9 Le second degré Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Équations Exercice. Calcul de discriminant et de racines A (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 8 Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant et ses éventuelles racines. x x + x x + x + x 4 x + x + x x + 6 x x x 4x x 8x + 9 x + 4x + Exercice. Équation avec une racine carrée A (Source : 0-secdeg-08) Corrigé page 9 Résoudre les équations suivantes : x + = x x 8 = x x = x Exercice. Avec changement de variables A (Source : 0-secdeg-09) Corrigé page 0 Résoudre les équations suivantes : x x + 4 = 0 x 4 + x = 0 6 x + x = 0 4 Ä cos x ä + cos x = 0 (x x + ) (x x + ) + = 0

10 Exercice 4. Changements de variables R (Source : 0-secdeg-7) Corrigé page On souhaite résoudre sur ] π ; π] l équation (E) suivante : 4 Ä sin x ä Ä ä + sin x 6 = 0 On pose = et on suppose que = Ä a + b 6 ä. a. Montrer que a + 6b = 0 et ab = 4. b. En déduire que a 4 0a + 96 = 0. c. Trouver alors a et b et en déduire. En déduire les solutions de (E). Inéquations Exercice. Résolution d inéquations A (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 4 Résoudre les inéquations suivantes : x + x + < 0 x x + 0 x + x < 0 4 x 9x + 0 x 7x x 0x + > 0 7 4x x x (x )( x + x + ) < 0 Exercice 6. Une inéquation R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 6 Résoudre l inéquation : 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x +

11 Factorisation Exercice 7. Polynôme de degré R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 7 On considère le polynôme P (x) = x + 7x + 7x +. Vérifier que x = est une racine de P. Factoriser alors P (x) sous la forme P (x) = (x + )Q(x), où Q est un trinôme de degré. Résoudre alors l équation P (x) = 0. Exercice 8. Polynôme de degré 4 R (Source : 0-secdeg-8) Corrigé page 8 On considère le polynôme P (x) = 0x 4 9x 4x + 07x 4. Calculer P () et P ( ). En déduire que P (x) = A(x) B(x), où A et B sont deux polynômes de degré que l on déterminera. En déduire les racines de P. Lectures graphiques Exercice 9. Trouver un trinôme à partir d une parabole R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 8 Nous avons tracé dans le repère sur la page suivante des paraboles. P P 4 #» j O #» ı P P Retrouver les trinômes (sous la forme développée) correspondant à chacune d elles. Exercice 0. Trouver la bonne courbe R (Source : 0-secdeg-6) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : f(x) = x + x x.

12 Montrer que f() = 0. En déduire une factorisation de f(x) sous la forme f(x) = (x )(ax + bx + c). En déduire la courbe représentative de f parmi les trois ci-dessous : 0 4 a Trinôme avec paramètres 0 4 b 0 4 c Exercice. Conditions sur deux paramètres R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 0 On considère le trinôme x + mx + p, où m et p sont deux réels. À quelles conditions sur m et p ce trinôme admet au moins une racine? Exercice. Trinôme avec un paramètre R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 0 Montrer que, pour tout k dans R \ { }, le polynôme : P (x) = (k + )x + kx + (k ) admet toujours deux racines distinctes. Exercice. Une équation avec paramètre R (Source : 0-secdeg-4) Corrigé page 0 On considère l équation : (E m ) : (m + )x + (m )x + (m + 4)(m ) = 0. Pour m = 0, donner les solutions de (E 0 ). Pour quelles valeurs de m l équation (E m ) admet-elle une unique solution? Pour quelles valeurs de m l équation (E m ) admet-elle pour solution? 4

13 Exercices de recherche Exercice 4. La trajectoire de la balle de tennis R (Source : 0-secdeg-04) Corrigé page Un joueur de tennis se trouve à 9 m du filet et renvoie la balle à h = 0 cm du sol avec un angle de α = 0 avec l horizontale. En fonction de sa position délicate, on estime sa vitesse de frappe à v 0 = 0 km/h. Sachant que la hauteur du filet est 9,4 cm et que la trajectoire de la balle est donnée par la formule : y = g (v 0 cos α) x + x tan α + h, où : g 9, 8 m s, v 0 est la vitesse initiale (exprimée en m s ), α est l angle de la trajectoire avec l horizontale, h est la hauteur initiale (exprimée en mètre), La balle dépassera-t-elle le filet? Si tel n est pas le cas, quelle vitesse aurait-il fallu donner à la balle en la frappant? Exercice. En Physique R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page On dispose de deux conducteurs de résistances R et R. Si on les monte en série (figure I.), on obtient un dipôle ohmique de résistance r = R + R. Si on les monte en parallèle (figure I.), on obtient un dipôle ohmique de résistance R telle que R = R + R (on dit que R est la moyenne harmonique de R et R ). R R Figure I. En série R R Figure I. En parallèle On sait que r = 0 Ω et R = Ω. Trouvez R et R.

14 Reprenez la question précédente avec r = 4 Ω et R = Ω. On connaît r et R. Montrez que l on peut alors calculer R et R à la seule condition que r 4R. Exercice 6. À Noël R (Source : 0-secdeg-06) Corrigé page Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noël. Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes. Sachant qu au total 468 cadeaux ont été déposés près de l arbre de Noël, combien de personnes y avait-il? Exercice 7. Vers le nombre d or R (Source : 0-secdeg-07) Corrigé page 4 Résoudre l équation : On notera ϕ la solution positive. x = + x. Que vaut : N = +» + + +? Exercice 8. Une autre écriture pour une racine carrée R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 4 On pose : A =» + 0. On cherche à écrire A sous la forme a + b, où a et b sont deux entiers relatifs. Développer Ä a + b ä. Montrer alors que : a + b = ab = 0 Calculer alors a et b. 4 S inspirer de ce qui vient d être fait pour trouver une formule permettant de calculer a et b tels que :» p + q n = a + b n ; p Z, q Z, n N. 6

15 Exercice 9. Aire d une couronne rectangulaire R (Source : 0-secdeg-9) Corrigé page 6 x x x 6 Déterminer x de sorte que l aire de la partie blanche de la figure ci-contre soit égale à celle du rectangle plein. 0 x Exercice 0. Trouver deux nombres R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 7 Deux entiers naturels ont pour différence 7, et la différence entre leur produit et leur somme est égale à 4. Trouver ces deux nombres. Exercice. Exercice de recherche R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 7 On considère un triangle de côtés de mesures respectives a, b et c telles que : a + b + c = ab + ac + bc. Montrer que ce triangle est équilatéral. Indication : on pourra partir de l égalité donnée, puis s en inspirer pour poser une fonction trinôme de degré d inconnue a par exemple. 7

16 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. x x + = (x ) (c est une identité remarquable). Par conséquent, = 0 et sa racine double est α =. x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 = 9 8 =. α = ( ) = et β = ( ) + =. x + x. Les racines sont donc : = 4 ( ) ( ) = 9 8 =. 4 x + x +. α = ( ) < 0 donc le trinôme n a aucune racine. + = et β = ( ) =. = 4 =. x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 = =. α = ( ) = 6 et β = x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 ( ) = + 4 = 49. α = ( ) 49 ( ) = 7 4 = et β = =. 8

17 7 4 x 4x + 6. Donc le trinôme a une racine double : 8 x 8x +. Les racines sont donc : 9 x + 4x +. α = ( 8) 40 = ( 4) 4 6 = 6 6 = 0. 4 α = 4 4 = 8. = ( 8) 4 = 64 4 = 40. = Les racines sont donc : α = 4 76 ( ) = Corrigé de l exercice. = 4 0 = 4 4 ( ) = = 76. = + 9 Le domaine de validité de l équation : x + = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x + 0 x 0 soit : On a : x. etβ = et β = 9. x + = x x + = (x ) x + = 4x x + 9 4x x + 8 = 0. Le discriminant de 4x x + 8 est : = 69 8 = 4. Les solutions de l équation sont donc potentiellement : α = 4 8 0, 8 et β = + 4 8, 4. Comme α < et β, l ensemble solution de l équation est : { } + 4 S = 8 9

18 Le domaine de validité de l équation x 8 = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x 8 0 x 0 soit :x. On a : x 8 = x x 8 = (x ) x 8 = 4x 0x + x 0x + = 0 Le discriminant de x 0x + est : = = 4, donc il y a deux solutions potentielles : α = 0 6 = et β =. α > et β > donc l ensemble solution de l équation est : S = ß ; Le domaine de validité de l équation : x = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x 0 x 0 soit x =. Nul besoin donc d aller plus loin ; l ensemble solution de l équation x = x est : ß S = Corrigé de l exercice. x x + 4 = 0. On pose X = x ; ainsi, l équation est équivalente à : X X + 4 = 0, dont le discriminant est : = 6 = 9. 0

19 Donc les solutions de l équation X X + 4 = 0 sont : X = = et X = + = 4. Les solutions de l équation x x + 4 = 0 doivent donc vérifier : x = et x = 4, d où : D où : x = et x = 6. S = { ; 6} x 4 + x = 0. On pose X = x ; ainsi, l équation est équivalente à : X + X = 0, dont le discriminant est : = 9 8 =. Les solutions de l équation X + X = 0 sont donc : X = = et X = + =. Les solutions de l équation x 4 + x = 0 sont donc x et x tels que : x = et x =, soit : x = ou x = et x = ou x =. L ensemble solution de l équation x 4 + x = 0 est donc : S = ; ; ; Ä cos x ä + cos x = 0. On pose X = cos x ; ainsi, l équation est équivalente à : dont le discriminant est : Elle admet donc deux solutions distinctes : X + X = 0 = 9 4 ( ) = =. X = = et X = + 4 =. X = et X = cos x donc cos x =, ce qui est impossible car un cosinus est toujours compris entre et ; X = et X = cos x donc cos x =, soit x = π (à π près) ou x = π près). (à π

20 Ainsi, l ensemble solution de l équation Ä cos x ä + cos x = 0 est : S = ß π (à π près) ; π (à π près) 4 (x x + ) (x x + ) + = 0. On pose X = x x + ; ainsi, l équation est équivalente à : X X + = 0 dont les solutions évidentes sont X = et X =. X = x x + = x(x ) = 0 x = 0 ou x =. X = x x + = x x = 0. Le discriminant de cette dernière équation est = = donc les solutions sont : x = et x = +. Ainsi, l ensemble solution de l équation (x x + ) (x x + ) + = 0 est : S = { ; 0 ; ; + } 6 x + x = 0. On pose X = X ; ainsi, l équation est équivalente à : 6X + X = 0 dont le discriminant est : = 4 6 ( ) = 49 = 7. Les solutions de l équation 6X + X = 0 sont donc : X = 7 6 = et X = + 7 =. X = et X = x donc x = X = ; X = et X = x donc x = X =. Ainsi, l ensemble solution de l équation 6 x + x = 0 est : S = ß ;

21 Corrigé de l exercice 4. a. = Ä a + b 6 ä = a + ab 6 + 6b = a + 6b + ab 6 = a + 6b = 0 ab = 8 a + 6b = 0 ab = 4 b. ab = 4 donc b = 4. La première équation donne alors : a Å 4 ã a + 6b = 0 a + = 0 a a a = 0 a = 0a a 4 0a + 96 = 0 c. On pose A = a ; l équation a 4 0a + 96 = 0 est équivalente à : dont le discriminant est : A 0A + 96 = 0 = ( 0) 4 96 = 6 = 4. L équation A 0A + 96 = 0 admet donc deux solutions : A = 0 4 = 8 = a et A = = = a. Ainsi, a = 8 = ou a = 8 =, et a = = ou a =. Faisons le choix de prendre a = ; alors b = 4 = =. Dans ce cas, a + b 6 = + 6 = Ä + ä. Or, î Ä + äó Ä ä = = =. Ainsi, = Ä + ä. 4 Ä sin x ä Ä ä + sin x 6 = 0. On pose X = sin x. (E) est donc équivalente à : 4X + Ä ä X 6 = 0. Le discriminant de 4X + Ä ä X 6 est : î Ä äó Ä ä Ä ä = = =.

22 Ainsi, l équation en X admet deux solutions distinctes : et Ainsi, soit, sur ] π ; π] : X = Ä ä 4 X = Ä ä + 4 sin x = = Ä + ä = + Ä + ä 8 8 et sin x = = =. x = π ou x = π et x = π 4 ou x = π 4. Par conséquent, sur ] π ; π], les solutions de (E) sont : π, π, π 4 et π 4. Corrigé de l exercice. x + x + < 0. Le discriminant de x + x + est = 4 = < 0 donc le trinôme est du signe du coefficient de x, soit ici, donc positif. L ensemble solution est donc : x x + 0 S = Le discriminant de x x + est = 4 =. Il y a donc deux racines : α = = et β = + = 4 4. Le trinôme ï ax + bx + c est du signe de a entre ses racines, donc x x + 0 pour x ; ò. ï S = ; ò x + x < 0 Le discriminant de x + x est = 9 4 ( ) ( ) = donc il admet deux racines distinctes : α = et β = + =. Le trinôme ax + bx + c est du signe de a entre les racines donc l ensemble solution de l inéquation est : S = ] ; [ 4 x 9x + 0 Le discriminant de x 9x + est = 8 4 ( ) = donc il admet deux racines : α = 9 = 9 + et β = Le trinôme ax + bx + c est du signe de a (donc positif) à l extérieur des racines donc l ensemble solution de l inéquation est : S = ] ; ] [ [ 9 + ; + 0 4

23 x 7x Le discriminant de x 7x + 0 est = = 7 < 0 donc il est toujours du signe de, donc positif. L ensemble solution est donc : 6 4x 0x + > 0 S = R Le discriminant de 4x 0x + est = = 0. Par conséquent, il est du signe de «4» (donc positif) tout le temps sauf en sa racine α = 0 4 = (où il est nul). Par conséquent, l ensemble solution de l inéquation est : ß S = R \ 7 4x x x + 0 Le discriminant de x x + est = 9 8 =. Par conséquent, il admet deux racines distinctes α = = et β = + =. On en déduit le tableau de signes suivant : x 4x x x + 4x x x L ensemble solution de l inéquation est alors : S = ò ; ò ] ; [ 4 8 (x )( x + x + ) < 0 Le discriminant de x + x + est = + 4 = 49 donc il admet deux racines : α = 7 = et β = + 7 =. On en déduit le tableau de signes suivant : 4 4 x x x + x + (x )( x + x + ) L ensemble solution de l inéquation est alors : S = ò ; ï ] ; + [

24 Corrigé de l exercice 6. Avant toute chose, on cherche le domaine de validité de l inéquation. Cette inéquation existe lorsque : x 7 0 0x 49x + 0 Le discriminant du polynôme 0x 49x + est : donc il admet deux racines distinctes : x = ( 49) 9 0 = ( 49) 4 0 = 6 Il peut donc se factoriser sous la forme : = 9 > 0 = et x = Å 0x 49x + = 0 x ã Å x 7 ã Å = x ã Å x 7 ã Å = x ã Å x 7 ã = (x )(x 7). = 7. Cette factorisation va être importante pour la résolution de l inéquation. ß Le domaine de validité de l inéquation est donc R \ ; 7. 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x + 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x + 0 7x 0 x 7 (x + ) (x )(x 7) 0 (7x 0)(x ) (x 7)(x ) (x + ) (x )(x 7) 0 4x x 0x + 0 x 0 0x 49x + 4x 66x 0 0x 49x + 0 (7x x 0) 0x 49x Le discriminant du polynôme 7x x 0 est : = ( ) 4 7 ( 0) = 69 = 7 > 0. 6

25 Donc il admet deux racines distinctes : α = ( ) 7 7 = 7 et β = En utilisant la propriété du signe d un trinôme du second degré, on obtient le tableau de signes suivant : Ainsi, S = x 7x x 0 0x 49x + (7x x 0) 0x 49x + ò ; ò 7 Corrigé de l exercice 7. ò ; 7 ï [ ; + [ P ( ) = ( ) + 7 ( ) + 7 ( ) + = = = 0. P ( ) = 0 donc x = est une racine de P. P (x) = (x + )(ax + bx + c) = ax + bx + cx + ax + bx + c = ax + (b + a)x + (c + b)x + c Ainsi, on souhaite que, pour tout réel x : = x + 7x + 7x + = ax + (b + a)x + (c + b)x + c. Par identification des coefficients, on a : = a 7 = b + a 7 = c + b = c On en déduit que a = et c =. Par suite, à l aide de la troisième équation (par exemple), on trouve b =. Finalement, on obtient : P (x) = (x + )(x + x + ) P (x) = 0 x + = 0 ou x + x + = 0. Le discriminant de x + x + = 0 est = 9 8 = donc il admet deux racines : α = = et β = + = 4 4. Par conséquent, l ensemble solution de l équation P (x) = 0 est : S = ß ; ; 7

26 Corrigé de l exercice 8. P () = 0 et P ( ) = 0. On en déduit que P (x) = (x )(x+)(ax +bx+c), soit P (x) = (x x 6)(ax +bx+c). (x x 6)(ax + bx + c) = ax 4 + bx + cx ax bx cx 6ax 6bx 6c = ax 4 + (b a)x + (c b 6a)x + ( c 6b)x 6c = 0x 4 9x 4x + 07x 4 Donc : a = 0 b a = 9 c b 6a = 4 c 6b = 07 6c = 4 On en déduit que a = 0 et c = 7, puis que b = 9 + a = 9. Finalement, P (x) = (x x 6)(0x 9x + 7). Le discriminant du polynôme 0x 9x + 7 est : = ( 9) = 8 = 9. Ses deux racines sont alors : x = = et x = = 7. Les racines de P sont donc :,, 7 et. Corrigé de l exercice 9. Pour P. On voit que ses deux racines sont α = et β =. Par conséquent, le trinôme est de la forme f (x) = a(x + )(x ). Le sommet de la parabole est le point de coordonnées ( ; 4) donc f () = 4. Ainsi, a( + )( ) = 4 4a = 4 a =. On a donc : f (x) = (x + )(x 4) soit f (x) = x + x + 4 Pour P. On voit que le trinôme n a pas de racines car la parabole ne coupe pas l axe des abscisses. Posons f (x) = ax + bx + c. La parabole passe par le point de coordonnées (0 ; ) donc f (0) =, soit c =. 8

27 La parabole passe par le point de coordonnées ( ; ) donc f () =, soit a + b + =, soit 4a + b = 0 ou encore b = a. On peut alors écrire : f (x) = ax ax +. La parabole passe par le point de coordonnées (4 ; ) donc f (4) =, soit 6a 8a + =, ou encore 8a = 4. Donc a = On en déduit alors que a =, b = = et c =. Donc : f (x) = x x + Pour P. Posons f (x) = ax + bx + c. A (0 ; ) P = c =. B ( 4 ; ) P = 6a 4b =, soit 4a = b. Donc f (x) = ax + 4ax. C ( ; ) P = 4a 8a =, soit 4a = d où a =. On en déduit : f (x) = x x Pour P 4. L axe des abscisses est tangent à la parabole donc f 4 (x) = a(x α). L unique racine étant, on a f 4 (x) = a(x + ). De plus, f 4 (0) = et f 4 (0) = 4a donc a =. Finalement, on a : 4 f 4 (x) = 4 x + x + Corrigé de l exercice 0. f() = + = + = 0. (x )(ax + bx + c) = ax + bx + cx ax bx c = ax + (b a)x + (c b)x c Ainsi, pour tout réel x : f(x) = (x )(ax + bx + c) x + x x = ax + (b a)x + (c b)x c a = a = b a = b = c b = c = c = On a alors : f(x) = (x )(x + x + ). 9

28 f() = 0 donc C f coupe l axe des abscisses en x =. On peut donc éliminer la courbe b. De plus, le discriminant de x + x + est : = 4 = > 0, donc ce polynôme admet racines distinctes, ce qui signifie que C f coupe l axe des abscisses en points distincts. Ainsi, la courbe a est celle qui représente la fonction f. Corrigé de l exercice. On sait qu un trinôme admet au moins une racine lorsque son discriminant est positif ou nul. Ici, = m 4p. Il faut donc que : pour que le trinôme ait au moins une racine. m 4p Corrigé de l exercice. Le discriminant de : est : P (x) = (k + )x + kx + (k ) = (k) 4 (k + ) (k ) = 4k 4(k ) = 4 > 0. Donc P admet toujours deux racines, quelle que soit la valeur de k. Corrigé de l exercice. Pour m = 0, on a : (E 0 ) : x x 4 = 0 Le discriminant du polynôme x x 4 est : = b 4ac = ( ) 4 ( 4) = + 6 = 7. Ainsi, > 0 donc il y a deux solutions à l équation (E 0 ) qui sont : α = b a = 7 et β = b + a = + 7. L ensemble solution de (E 0 ) est donc : S = { 7 ; + } 7 0

29 L équation (E m ) admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gauche est égal à 0. Ce discriminant est : = b 4ac = (m ) 4(m + )(m + 4)(m ) = (m ) î (m ) 4(m + )(m + 4) ó = (m ) î m 4(m + 8m + m + 4) ó = (m )(m 8m 6m 6) = (m )( 8m m 7). = 0 m = 0 ou 8m m 7 = 0 m = ou 8m + m + 7 = 0 Le discriminant du polynôme 8m + m + 7 est : donc ce polynôme admet deux racines : m = 68 6 δ = = 68, et m = Ainsi, l équation (E m ) admet une unique solution pour trois valeurs de m : m = ; m = 68 6 ; m = (E m ) admet pour solution si, en remplaçant x par dans l équation, l égalité est vérifiée : est solution de (E m ) (m + ) + (m ) + (m + 4)(m ) = 0 m + + m + m m + 4m 4 = 0 m + 6m 4 = 0. Le discriminant du polynôme m + 6m 4 est : = b 4ac = 6 4 ( 4) = =. Il existe donc deux solutions à l équation m + 6m 4 = 0 : m = 6 = et m = +. Ainsi, est solution de l équation (E m ) pour m = + et pour m =.

30 Corrigé de l exercice 4. Filet #» j 0 O #» ı 9 m m On convertit : 0 km/h =, 6 m s. 600 s En remplaçant les lettres dans la formule donnée, on a : soit : Le sommet de la parabole a pour abscisse : y = 9, 8 (, 6 cos 0 ) x + x tan 0 + 0,, y = 0, x + 0, x + 0,. b a = 0, ( 0, ). Donc, au sommet de sa trajectoire, la balle n aura pas encore atteint le filet. En prenant x = 9, on obtient : y 0, 8 ce qui signifie que la balle aura touché le sol avant 9 mètres. Le joueur a donc perdu. Cherchons la vitesse minimale v (en m s ) à donner à la balle lors de la frappe pour quelle franchisse le filet. La fonction définie par :, f(x) = x + 0, x + 0, v représente la hauteur (en mètre) de la balle en fonction de sa position x. On veut que f(9) > 0, 94, soit : c est-à-dire :, , , > 0, 94 v 449, 9 v +, 86 > 0 = 449, 9 v >, 86 =, 86 < v 449, 9 = v 449, 9 >, 86 = v > 7, 7 = v > 7, 7 = v >, 4 La vitesse à donner doit donc être supérieure à,4 m s (soit à peu près 4 km/h).

31 Corrigé de l exercice. R = + donc R = R R, ce qui donne : R R r = R R 0 soit : R R = 0. D après le cours, on sait que P = R R = 0 et S = R + R = 0 et donc que R et R sont racines du trinôme : dont le discriminant est : Les deux racines sont donc : x Sx + P soit : x 0x + 0, = ( 0) 4 0 = = 0. R = 0 0 = et R = +. On a d une part : R = R R r et d autre part S = R + R = 4. = R R 4 P = R R = 4 Le trinôme x Sx + P = x 4x + 4 a pour discriminant : = ( 4) 4 4 = 0. On peut donc dire que R = R = b a = 4 4 =. Nous l avons vu, on ne peut calculer R et R que lorsque le discriminant de x Sx + P est supérieur ou égal à 0, soit lorsque : donc : ou encore : S 4P 0 r 4rR 0 r(r 4R) 0. Or, r 0 donc cette dernière inéquation donne, en simplifiant par r : r 4R. Corrigé de l exercice 6. Notons x le nombre total de personnes. Une personne offre cadeaux à (x ) personnes donc : x(x ) = 468

32 soit : ou encore : x(x ) = 6 x x 6 = 0. Le discriminant de x x 6 est : Il y a donc deux racines : = ( ) = 6 =. α = ( ) = < 0 et β = + = > 0. Il n y a donc qu une solution à notre problème : il y a personnes. Corrigé de l exercice 7. L équation est équivalente à Le discriminant du trinôme est : x x = 0. = donc les solutions de l équation sont : α = et ϕ = +. On a : N = + +» = + N. Donc N est solution de l équation de la question. Comme N > 0, on en déduit que :» = ϕ = +. Corrigé de l exercice 8. Ä a + b ä = a + b + ab. Si A = a + b =» + 0, alors A = a + b + ab = + 0. Par identification du coefficient de et du nombre entier, on a : a + b = ab = 0 soit : a + b = ab = 0 4

33 De la seconde équation du système précédent, on peut déduire : b = 0 a et en remplaçant b par cette valeur dans la première équation, on obtient : soit : En posant X = a, on arrive à : dont le discriminant est : a + 00 a = a 4 a + 00 = 0. X X + 00 = 0 = ( ) 800 = 89 = 7. Les deux solutions de X X + 00 = 0 sont alors : X = + 7 = et X = 7 Donc les solutions de a 4 a + 00 = 0 sont a et a tels que : soit : Or, a Z donc a = ou a =. a = et a = 8 = 8. a = ou a = et x = ou a =. Si a =, alors b = 0 = et A = + ; Si a =, alors b = et A = < 0, ce qui n est pas possible car A > 0. Ainsi,» + 0 = + 4 Posons A =» p + q n. Alors, A = p + q n d où : a + nb = p b = q a La première équation devient alors : ou encore : ou encore : a + nq 4a = p a 4 4pa + nq = 0. X 4pX + nq en posant X = a.

34 Le discriminant est : = 6p 4nq = 4(4p nq ). Première condition d existence : il faut que 4p nq 0 pour pouvoir transformer l écriture de A. Dans ce cas, les deux solutions X et X sont : X = 4p 4p nq = p» 4p nq et X = p +» 4p nq. Deuxième condition : il faut que p 4p nq 0 et p + 4p nq 0. Dans ce cas, a = ± p» 4p nq et a = ± p +» 4p nq. Or, a Z donc : e condition : il faut que» p 4p nq N ou que» p + 4p nq N. On a alors : a = ± p ±» 4p nq et b = q ±» p ± 4p nq. Corrigé de l exercice 9. Notons A l aire du «grand rectangle» à l intérieur duquel se trouve le rectangle plein, dont l aire sera notée A. A A désignera donc l aire de la partie blanche. A A = 0 6 (0 x)(6 x) = 480 (480 60x x + 4x ) = 9x 4x. Ainsi, l aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur si : 9x 4x = 480 9x + 4x 8x 84x = 0 Le discriminant de x x + 60 est : x x + 60 = 0 (en divisant les deux = ( ) 4 60 = 89 = 7 donc les solutions de l équation x + x + 60 = 0 sont : x = 7 = et x = + 7 = 0. Or, 0 x 8 car la largeur du rectangle extérieur est égale à 6 et que x ne peut excéder sa moitié. Ainsi, pour x =, l aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur. 6

35 Corrigé de l exercice 0. Notons x et y les deux nombres. On sait alors d après l énoncé que : La première équation nous donne : x y = 7 xy (x + y) = 4 x = 7 + y donc en remplaçant x par cette dernière expression dans la seconde équation, on a : Le discriminant de y + y 0 est : (7 + y)y (7 + y + y) = 4 7y + y 7 y = 4 donc deux valeurs sont possibles pour y : y + y 0 = 0. = 4 ( 0) = + 00 = = y = = 0 et y = Or, y N donc y 0 ; seule y = est une valeur possible. On en déduit alors que x = 7 + y = 7 + =. Les deux nombres sont donc et. + =. Corrigé de l exercice. a + b + c = ab + ac + bc a (b + c)a + b + c bc = 0. Posons alors f(a) = a (b + c)a + b + c bc. L équation f(a) = 0 admet au moins une solution car le triangle existe donc le discriminant de f(a) est supérieur ou égal à 0. = î (b + c) ó 4 (b + c bc) = b + bc + c 4b 4c + 4bc = 6bc (b + c ) = Ä b bc + c ä = (b c) Ainsi, 0. Or, on sait que 0 donc = 0, ce qui signifie que b = c. (b + c) Il n y a qu une solution à l équation f(a) = 0 donnée par : = b Finalement, on a a = b = c. Le triangle est donc équilatéral. = b (car b = c). 7

36 Généralité sur les fonctions Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Trouver le domaine de définition A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page Pour chacune des fonctions suivantes, trouver le domaine de définition D. f(x) = x x + f(x) = x x f(x) = x 4 f(x) = 9x 7 x f(x) = x + 6 f(x) = x x + 7 f(x) = x x + 8 f(x) = x x x + 9 f(x) = x 4x + x x + 4 Exercice. Fonctions paires, fonctions impaires A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page Pour chacune des fonctions suivantes, dites si elles sont paires, impaires ou ni l une ni l autre. f (x) = x f (x) = x x + f (x) = x x + 4 f 4 (x) = x x + f (x) = x x Exercice. Lecture de tableaux de variation R (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 6 La fonction f a pour tableau de variation : x f(x) 0 0 a. Combien l équation f(x) = 0 admet-elle de solution(s)? 8

37 b. Quel est le minimum de f? Le maximum? c. Combien l équation f(x) = admet-elle de solution(s)? La fonction g a pour tableau de variation : x g(x) 7 4 a. Quel est le minimum de g? Le maximum? b. Combien l équation g(x) = 0 admet-elle de solution(s)? c. Résoudre l inéquation g(x) 0 sur [ ; 7]. d. Combien l équation g(x) = admet-elle de solution(s)? Exercice 4. Lectures graphiques R (Source : 0-genfonc-04) Corrigé page 6 À partir des courbes suivantes, dresser un tableau de variations des fonctions f et g. g #» j f O #» ı Résoudre graphiquement : a. f(x) 0 b. g(x) c. f(x) = g(x) On donne : f(x) = x + x et g(x) = x 4 x. Résoudre algébriquement l inéquation g(x), puis comparer avec les résultats trouvés à la question b. 9

38 Exercice. Décompositions en fonctions de référence A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 7 À l aide des fonctions de références (x ax + b, x x, x x et x x ), décomposez les fonctions suivantes afin de trouver leur sens de variation sur le ou les intervalles précisé(s). f : x ï ï x sur ; + f : x x + + x f : x sur ] ; + [ x + 4 f 4 : x ( x + 8) sur ] ; 4] f : x sur ] ; + [ (x + ) sur ] ; [ et sur ] ; + [ Exercice 6. Fonctions associées : domaine de définition et variations () A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 8 Pour chacune des fonctions suivantes, donner l ensemble de définition puis les variations sur cet ensemble. f(x) = g(x) =» (x ) 4 ( x) Exercice 7. Fonctions associées : domaine de définition et variations () A (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : Dresser le tableau de variation de f. On pose g(x) =» f(x). f(x) = x 4x. a. Déterminer l ensemble de définition de g. b. En justifiant soigneusement toutes les étapes, dresser le tableau de variation de g. On pose h(x) = f(x). a. Déterminer l ensemble de définition de h. b. Dresser le tableau de variation de h en justifiant. 4 On pose i(x) = f(x). a. Déterminer l ensemble de définition de i. b. Dresser le tableau de variation de i en justifiant. 0

39 Valeurs absolues Exercice 8. Étude d une fonction avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-06) Corrigé page 40 On considère la fonction f définie par : f(x) = x x +. Trouver les expressions de f(x) sans valeurs absolues suivant les valeurs de x. En déduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonction f. Trouver les variations de la fonction g : x f(x). Exercice 9. Valeur absolue d un polynôme de degré A (Source : 0-genfonc-07) Corrigé page 40 On considère la fonction f définie par : f(x) = x x +. Trouver les expressions de f(x) sans valeurs absolues suivant les valeurs de x. En déduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonction f. Résoudre l inéquation f(x) x +. Exercice 0. Calculs avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-08) Corrigé page 4 Effectuer les calculs suivants. On mettra les résultats sous sa forme la plus simplifiée Exercice. Équations avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-09) Corrigé page 4 Résoudre dans R les équations suivantes : x = 6 x + = x + = 4 x = 4x + x = x + 6 x =

40 Exercice. Inéquations avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 4 Résoudre dans R les équations suivantes : x > 8x + 4 x 9 4 x + 0 < Exercice. Ensemble de points R (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 4 Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x y =. Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y =. Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y + x y =. 4 Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y + x + y =.

41 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. f(x) = x x +. f(x) est un trinôme du second degré donc défini pour tout réel x. Ainsi, f(x) = x x. D = R f(x) est un quotient dont le numérateur est défini pour tout réel x (car c est une fonction affine). Son dénominateur ne doit pas être égal à 0. Donc x 0, soit x 0 (). Le dénominateur est une racine carrée donc son radicande (x) doit être supérieur ou égal à 0, donc x 0 (). Les conditions () et () nous donne : D = ]0 ; + [ f(x) = x. f(x) est une racine carrée donc son radicande (x ) doit être supérieur ou égal à 0. x 0 x. Par conséquent, D = î ; + î 4 f(x) = 9x 7. f(x) est un quotient dont le numérateur est toujours défini et dont le dénominateur doit être non nul (différent de 0). D où : 9x 7 0 x 7 9. On en déduit alors : ß 7 D = R \ 9

42 f(x) = x x +. Les deux conditions à remplir ici sont : x 0 x + > 0 (dénominateur non nul) x x > x. D où : 6 f(x) = x x +. Les conditions à remplir ici sont : Pour résoudre l inéquation x x + suivant : D = [ ; + [ x x + 0 x + 0 0, nous devons nous aider du tableau de signes x x x + x x Ainsi, D = ] ; [ [ ; + [ 7 f(x) = x x +. f(x) existe lorsque x x + 0. Le discriminant de x x + est = 9 8 = donc ce trinôme a pour racines α = = et β = + =. On sait qu un trinôme est du signe du coefficient de x à l extérieur de ses racines d où : D = ] ; ] [ ; + [ 8 f(x) = x x x +. f(x) existe quand x 0 et x x + 0. x 0 lorsque x ] ; ] [ ; + [ car les racines (évidentes) de x sont et. De plus, x x + = (x + ) 0 pour tout réel x. On en déduit alors que : D = ] ; ] [ ; + [ 4

43 x 4x + 9 f(x) = x x + 4. Les conditions à remplir ici sont : x 4x + 0 x x Le discriminant de x 4x + est = 6 = 4 donc x 4x + admet deux racines : α = 4 4 = et β = 4 + =. Ainsi, x 4x + 0 pour x ] ; ] [ ; + [. Le discriminant de x x + 4 est = 6 = 9 donc x x + 4 admet deux raines : α = = et β = + = 4. On en déduit alors : D = ] ; [ [ ; 4[ ]4 ; + [ Corrigé de l exercice. f (x) = x. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0. De plus, f ( x) = ( x) = x = f (x). Par conséquent, f est paire. f (x) = x x +. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0. De plus, f ( x) = ( x) ( x) + = x + x +. Donc f ( x) f (x) et f ( x) f (x). Par conséquent, f n est ni paire ni impaire. f (x) = x x +. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0 (car x + 0 pour tout réel x). De plus, f ( x) = ( x)» ( x) + = x x + = f (x). Par conséquent, f est impaire. 4 f 4 (x) = x x +. Le domaine de définition de f 4 est R, donc centré en 0 (car x + 0 pour tout réel x). x De plus, f 4 ( x) = ( x) + = x x + = f 4(x).

44 Par conséquent, f 4 est impaire. f (x) = x x. Le domaine de définition de f est D = R \ {} (car x 0 x ). D n est pas centré en 0 donc f ne peut pas être paire ou impaire. Corrigé de l exercice. a. L équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle ] ; 0[. b. Le minimum de f est, atteint pour x = et son maximum est, atteint pour x = 0. c. L équation f(x) = a solutions ; l une dans ] ; 0[ et l autre dans ]0 ; [. a. Le minimum de g est, atteint pour x = et le maximum est, atteint pour x =. b. L équation g(x) = 0 admet aucune solution car son maximum est strictement inférieur à 0. c. Le minimum de g sur [ ; 7] étant strictement inférieur à 0, l inéquation g(x) 0 a pour solution : S = [ ; 7]. d. L équation g(x) = admet solutions : une sur ] ; [, une autre sur ] ; [ et une autre sur ] ; 7[. Corrigé de l exercice 4. Nous avons : x f(x) x g(x) a. f(x) 0 x [ ; ] ] ; ]. b. La droite d équation y = coupe la courbe représentative de g en points d abscisses respectives : x 0, 9, x = 0 et x = 0, 9. L inéquation g(x) a alors pour ensemble solution : S = [ ; 0, 9] [0 ; 0, 9]. 6

45 N.B. L échelle du graphique ainsi que ses graduations ne nous permettent pas de donner avec précision les abscisses x et x, donc si l élève donne d autres valeurs que celles données ici, le résultat sera correct (dans la mesure où les valeurs sont proches de 0, 9 et 0, 9). c. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On peut alors dire que l ensemble solution est approximativement : S = {0, 4 ;, }. g(x) x 4 x x 4 x 0 Å x x 4ã 0 Les racines de x 4 sont et, d où le tableau de signes suivant : x x x 4 x Ä x 4 ä [ ] [ ] L ensemble solution de l inéquation est donc : S = ; 0 ;, ce qui correspond bien aux résultats trouvés à la question b. car 0, 86. Corrigé de l exercice. f : x x sur ï ; + ï. f : x u u x x. La fonction u : x x est une fonction affine de coefficient directeur négatif donc elle est décroissante ; en prenant la racine carrée de u, on ne change pas les variations donc u est décroissante. ï ï f est donc décroissante sur ; + f : x x + + sur ] ; [ et sur ] ; + [. x Posons : f : x g + h où : g : x u x v= u x w= v w et h : x x +. x x Pour g, u est une fonction affine croissante, donc v = u est aussi croissante et donc w = v est décroissante, ce qui fait que w est aussi décroissante. 7

46 De plus, h est une fonction affine décroissante. Ainsi, f est décroissante comme somme de fonctions décroissantes sur ] ; [ et sur ] ; + [. f : x sur ] ; + [. x + f : x u x + v= u x + w= v x + z=+w x + z x + z x + u est une fonction affine croissante, donc v = u est croissante, donc w = v est décroissante, d où z = + w aussi et z est croissante. Ainsi, z Ainsi, f est décroissante sur ] ; + [. est décroissante. 4 f 4 : x ( x + 8) sur [4 ; + [. f 4 : x u x + 8 v=u ( x + 8). u est une fonction affine décroissante et positive sur ] ; 4] (car x x 8 x 4). La fonction carré étant croissante lorsque sa variable est positive, v = u est croissante lorsque u 0, c est-à-dire sur ] ; 4]. f 4 est donc croissante sur ] ; 4]. f : x sur ] ; + [. (x + ) f : x u x + v=u (x + ) w= v (x + ) w (x + ) u est croissante et u 0 sur ] ; + [, donc v = u est croissante, donc w = v est décroissante, donc w est croissante. f est donc croissante sur ] ; + [. Corrigé de l exercice 6. ò On a : D f = ; ï ò ï ; + et : x x ( x) ( x) ( x) + 8

47 On a : (x ) 4 0 x 4x x(x 4) 0 Donc D g = ] ; 0] [4 ; + [ et : x x 4x x 4x Corrigé de l exercice 7. b = donc le sommet de la parabole (qui représente f) a pour abscisse. a On a donc : x + f(x) a. Le discriminant de f est : donc f(x) a deux racines : = ( 4) 4 ( ) = = 6 x = 4 6 Donc D g = ] ; ] [ ; + [. = et x = b. étant entre les racines de f, f est décroissante sur ] ; ], puis croissante sur [ ; + [. Or, prendre la racine carrée d une fonction ne change pas ses variations donc : =. x + g a. D h = R car nous pouvons calculer la valeur absolue de n importe quel nombre réel f(x). b. On sait que f(x) < 0 sur ] ; [ ; or, prendre la valeur absolue d une fonction négative inverse les variations alors que prendre la valeur absolue d une fonction positive ne les change pas. On a donc : x + h 9

48 4 a. D i = ] ; [ ] ; [ ] ; + [. b. Prendre l inverse d une fonction inverse ses variations donc : x f(x) i(x) + Corrigé de l exercice 8. On sait que x > 0 pour x > ; donc pour x <, x = (x ) = x ; On sait que x + > 0 pour x > ; donc pour x <, x + = (x + ) = x. On a donc : x + x = x x 0 x x + = x 0 x + x + f(x) = x ( x ) = x (x + ) = x x (x+) = Ainsi, De la question précédente, on déduit : pour x ] ; ] f(x) = x pour x [ ; ] pour x [ ; + [ x f(x) + x > 0 x < d où : x f(x) + 0 Corrigé de l exercice 9. f(x) = x x +. Le polynôme x x + admet une racine évidente : α =. Donc la seconde racine est β = c aα =. On a alors le tableau suivant : x x x + f(x) x x + 0 x + x 0 x x + 40

49 On déduit de la question précédente le tableau suivant : x + f(x) 0 0 L inéquation f(x) x + équivaut à : x x x x x + x + 0 x + x x + 0 x x + x + Sur [ ; ], on a : x + x 0. Le discriminant de x + x est : = 4 4 ( ) ( ) = 6 < 0 donc x + x est toujours du signe de, donc toujours négatif. Ainsi, [ ; ] est inclus dans l ensemble solution. Sur ] ; ] et sur [ ; + [, on a : x 4x 0. Le discriminant de x 4x est : = = 0. Il y a donc deux racines : α = 4 0 = < et β = + >. Donc α et β sont dans les intervalles ] ; ] et sur [ ; + [. Ainsi, x 4x 0 sur [α ; ] et sur [ ; β]. Par conséquent, l ensemble solution de l inéquation f(x) x + est : S = î ; + ó. Corrigé de l exercice = = = = 7 7 = 7 6 = > donc >, soit > 0 ; ainsi, =. < donc <, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä = =. Ainsi, + = + = < 9 donc < 9, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä =. 4

50 < donc <, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä = =. Ainsi, = Ä ä = + = + 4. Corrigé de l exercice. x = 6 x = 6 ou x = 6 x = 7 ou x = L ensemble solution est donc S = { ; 7}. x + =. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle donc l ensemble solution est : S =. x + = x + = ou x + = x = ou x = 8 x = ou x = 4 L ensemble solution est donc S = { 4 ; }. 4 x = 4x + x = 4x + ou x = (4x + ) = 4x x ou 7x = x = ou x = 7 ß L ensemble solution est donc S = ;. 7 x = x + x = x + ou x = x x = 4 ou 7x = x = 4 ou x = 7 ß L ensemble solution est donc S = 7 ; 4. 6 x = x = ou x = x = 4 ou x = x = ou x = ou x = ou x = L ensemble solution est donc S = ; ; ;. Corrigé de l exercice. x > x > ou x < x > 7 ou x < x > 7 ou x < L ensemble solution de l inéquation x > est donc S = ò ; ï ò 7 ï ; + 4

51 8x + 4 8x x 4 x 4 L ensemble solution de l inéquation 8x + 4 est donc S = ï ò 4 ; 4 x 9 x 9 ou x 9 x 4 ou x 4 x 4 ou x 4 L ensemble solution de l inéquation x 9 est donc S = 4 x + 0 < < x + 0 < < x < < x < L ensemble solution de l inéquation x + 0 < est donc S = ] ; [ ò ; 4 ò ï 4 ï ; + Corrigé de l exercice. Nous allons faire une disjonction de cas sur x y afin d enlever les valeurs absolues. Si x y > 0 (c est-à-dire si y < x), alors x y = x y = y = x. La condition de départ sur y (qui est y < x) est bien remplie car x < x pour tout x. Donc l ensemble des points cherché est la droite D d équation y = x. Si x y < 0 (c est-à-dire si y > x), x y = (x y) = y = x +. La condition de départ sur y (qui est y > x) est bien remplie car x + < x pour tout x. Donc l ensemble des points cherché est la droite D d équation y = x +. Au final, l ensemble des points est donc la réunion de ces deux ensembles : S = D D. Il est ici nécessaire de faite une disjonction de cas sur x et y. Si x > 0 : Si y > 0, alors x + y = x + y = y = x +. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x > 0 et y > 0 (représentée en bleu ci-dessous). Si y < 0, alors x + y = x y = y = x. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x > 0 et y < 0 (représentée en rouge ci-dessous). Si x < 0 : Si y > 0, alors x + y = x + y = y = x +. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x < 0 et y > 0 (représentée en violet ci-dessous). 4

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Séquence 3. 1 ère partie : 2 e partie : Second degré. Probabilités (1) Séquence 3 MA12. Cned - Académie en ligne

Séquence 3. 1 ère partie : 2 e partie : Second degré. Probabilités (1) Séquence 3 MA12. Cned - Académie en ligne Séquence 3 1 ère partie : Second degré e partie : Probabilités (1) Séquence 3 MA1 1 1 ère partie Second degré Sommaire 1. Pré-requis. Forme canonique, étude d une fonction du second degré 3. Équation du

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

3D Compléments de cours. Guy GREISEN

3D Compléments de cours. Guy GREISEN 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ 6 1.1 Introduction................................................ 6 1.2 Formule générale.............................................

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines Cours 7 FONCTIONS USUELLES Parité d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est paire si : { D est symétrique par rapport à 0 Pour tout x D, f ( x) = f (x) On

Plus en détail

Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.

Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. www.mathsenligne.com 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE COURS (1/6) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Expressions algébriques Transformations d expressions algébriques en vue d une résolution

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

Les paraboles. x ax 2 + bx + c.

Les paraboles. x ax 2 + bx + c. 1ES Résumé du cours sur le second degré. Les paraboles. On appelle fonction du second degré une fonction de la forme x ax 2 + bx + c. Bien sûr a doit être différent de 0 sinon ce n est pas une fonction

Plus en détail

Second degré. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2008/2009

Second degré. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2008/2009 Second degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 008/009 Table des matières 1 Polynômes du second degré 1.1 Définition................................................. 1. Forme canonique.............................................

Plus en détail

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.

Plus en détail

Groupe : (h, k) ( 5, 12)

Groupe : (h, k) ( 5, 12) Fiche de soutien Les propriétés de la fonction racine carrée PROPRIÉTÉ FONCTION SOUS FORME CANONIQUE f(x) = a + k (ou f(x) = a 1 + k et a 1 = a ) EXEMPLE f(x) = 2 12 (ou f(x) = 6 12) Coordonnées du sommet

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière PRO 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO Sommaire

Plus en détail

Second degré Forme canonique d un trinôme Exercices corrigés

Second degré Forme canonique d un trinôme Exercices corrigés Second degré Forme canonique d un trinôme Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : reconnaître une forme canonique Exercice 2 :

Plus en détail

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines

Plus en détail

Une année de Mathématiques en classe de Première S

Une année de Mathématiques en classe de Première S Une année de Mathématiques en classe de Première S Freddy Mérit Année scolaire 2012-2013 Ce manuel, à destination des élèves de Première S, a été en partie réalisé à partir de la consultation des ouvrages

Plus en détail

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine.

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine. Sommaire 1 C est quoi une fonction? 2 2 Représentation graphique d une fonction. 6 3 Fonction affine. 8 4 Représentation graphique d une fonction affine. 10 5 Coefficient directeur d une fonction affine.

Plus en détail

2 nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 2013. Lectures graphiques (9 points) Les 2 parties sont indépendantes Partie A

2 nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 2013. Lectures graphiques (9 points) Les 2 parties sont indépendantes Partie A nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 013 Lectures graphiques (9 points) Les parties sont indépendantes Partie A Tous les clients d un petit restaurant ont opté pour la formule

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières

Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières I Exercices I-1 1................................................

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,

Plus en détail

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016 LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Exercices de rentrée MPSI-PCSI

Exercices de rentrée MPSI-PCSI Exercices de rentrée MPSI-PCSI Lycée Saint-Louis 015-016 Introduction Cette feuille d exercices s adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint- Louis Il s agit d exercices qui sont entièrement

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Equations différentielles Mathématiques Martine Arrrou-Vignod FORMAV 2009 I Equations différentielles linéaires à coefficients constants du premier ordre 3 I.1 Vocabulaire Définitions......................

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

C k A C. x 5 4 + Signe de f (x) + 0 0 + x 4 2 2 + Variations

C k A C. x 5 4 + Signe de f (x) + 0 0 + x 4 2 2 + Variations nde Eléments de correction du DNS 1 Lectures graphiques Soient f et g deux fonctions définies sur IR. Leurs représentations graphiques, notées respectivement C f et C g, sont tracées dans le repère ci-dessous.

Plus en détail

MATÉRIEL D APPRENTISSAGE SERVANT D APPUI AU NOUVEAU TABLEAU DE CORRESPONDANCE DU CURRICULUM À : MATHÉMATIQUES 11 NO P-0-257

MATÉRIEL D APPRENTISSAGE SERVANT D APPUI AU NOUVEAU TABLEAU DE CORRESPONDANCE DU CURRICULUM À : MATHÉMATIQUES 11 NO P-0-257 MATÉRIEL D APPRENTISSAGE SERVANT D APPUI AU NOUVEAU CURRICULUM DE L ONTARIO : MATHÉMATIQUES, FONCTIONS, 11 e année, COURS PRÉUNIVERSITAIRE/PRÉCOLLÉGIAL (MCF3M) TABLEAU DE CORRESPONDANCE DU CURRICULUM À

Plus en détail

Comment Utiliser Supra Math 4

Comment Utiliser Supra Math 4 Comment Utiliser Supra Math 4 1- Dérivation Tableau de Variations* : Calcule la dérivée et construit le tableau à partir de f(x), f (x) et les xo. Note : Quand vous entrez la fonction, vous pouvez taper

Plus en détail

EQUATIONS, INEQUATIONS

EQUATIONS, INEQUATIONS 1 sur 13 EQUATIONS, INEQUATIONS I. Résolution d équations Activité conseillée p126 activité1 : Notion d équation et d inéquation Activité conseillée p60 activité1 : Notion d équation et d inéquation -p140

Plus en détail

Geogebra. Logiciel de géométrie dynamique. Activité pour la classe. Thomas Castanet http://chingatome.net - page 1

Geogebra. Logiciel de géométrie dynamique. Activité pour la classe. Thomas Castanet http://chingatome.net - page 1 Geogebra Logiciel de géométrie dynamique ctivité pour la classe Thomas astanet http://chingatome.net - page 1 Table des matières Geogebra - ctivités - page 2 . Présentation : Geogebra est un logiciel de

Plus en détail

ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires.

ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires. 1 ENTREE EN CLASSE DE TERMINALE S. FEUILLE D EXERCICES 2015 1. Pour qui est ce document. Ce document est destiné à tous les élèves entrant en Terminale S, quelle qu ait été leur moyenne dans la discipline

Plus en détail

Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur.

Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2008 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques ( points) Exercice

Plus en détail

BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai 2016. André Breton

BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai 2016. André Breton BTS MCI Lycée Vauban, Brest 4 mai 06 André Breton Table des matières I Compléments pour les bac pro 8 ÉquationsFactorisationsInéquations 9. Identités remarquables................................ 9. Le

Plus en détail

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales Chapitre 3 : Fonctions affines Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère. 1 Rappels sur les équations de droite Une droite qui n est pas verticale a une unique équation du type y = ax + b, qu

Plus en détail

Généralités sur les fonctions ( En seconde )

Généralités sur les fonctions ( En seconde ) Généralités sur les fonctions ( En seconde ) Dernière mise à jour : Dimanche 31 Octobre 2010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2010-2011) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE CHAPITRE I TRIGONOMETRIE ) Le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon qui est orienté, ce qui veut dire qu on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens

Plus en détail

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE 2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Exercice 1 : (4 points) 1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous. Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total Elèves ayant eu la grippe 14 133 147

Plus en détail

Fonctions affines Exercices corrigés

Fonctions affines Exercices corrigés Fonctions affines Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : antécédent, image, résolution d équation, représentation graphique d une fonction affine (coefficient directeur et ordonnée

Plus en détail

Amérique du Sud, novembre 2006

Amérique du Sud, novembre 2006 Exercice 1 ( 5 points) Commun à tous les candidats Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s intéresse aux prises de sang effectuées dans

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Chapitre 3 FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Terminale BEP Objectifs (à la fin du chapitre, je dois être capable de ) : - Différencier fonction affine et linéaire. - Calculer une image. - Déterminer

Plus en détail

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale E Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 16 mai 2012 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications

Plus en détail

Mathématiques en Seconde. David ROBERT

Mathématiques en Seconde. David ROBERT Mathématiques en Seconde David ROERT 2011 2012 Sommaire 1 Translation Vecteurs 1 1.1 Translation......................................................... 1 1.1.1 Définition.....................................................

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014 Corrigé du baccalauréat ES Asie 9 juin 4 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Proposition : fausse f (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C ; cette droite passe

Plus en détail

82 exercices de mathématiques pour 2 nde

82 exercices de mathématiques pour 2 nde 4 octobre 05 8 exercices de mathématiques pour nde Stéphane PASQUET Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr 4 octobre 05 I Calculs & ordres.................................. I. Calculs divers........................................

Plus en détail

C(x) = 5 9. et h = 160

C(x) = 5 9. et h = 160 Chapitre Fonctions affines. Définition Définition. La fonction définie par f : R R = m+h où m et h sont des nombres réels, est appelée fonction affine. Eemple La fonction C() qui permet de convertir des

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année 213-214 Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable

Plus en détail

La fonction racine carrée. Document B. Table des matières

La fonction racine carrée. Document B. Table des matières 1 La fonction racine carrée Document B Table des matières - Résolution algébriques d équations avec racine carrée, p.2 à 8; - Règles sous la forme canonique avec b 1 et b = 1, p.9-10; - Équation axe de

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé

Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Florent Girod Année scolaire 205 / 206. Eternat Notre Dame - Grenoble Table des matières I Savoir-Faire 2 ) Suites numériques.................................

Plus en détail

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1 BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES Mai 2010 La calculatrice est autorisée. Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation. N candidat : Observations Présentation et rédaction :

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2 DEUG MIAS 1 e année, 2 e semestre. Maximilian F. Hasler Département Scientifique Interfacultaire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fax : 0596 72 73

Plus en détail

66 exercices de mathématiques pour Terminale ES

66 exercices de mathématiques pour Terminale ES 3 novembre 205 66 exercices de mathématiques pour Terminale ES Stéphane PASQUET Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr 3 novembre 205 I Suites........................................ I. Suite

Plus en détail

Fonctions Affines Problèmes du premier degré

Fonctions Affines Problèmes du premier degré Fonctions Affines Problèmes du premier degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Fonctions Affines 2 1.1 Définition Représentation graphique.................................

Plus en détail

OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES Académie d AIX-MARSEILLE Session 2012. Série S

OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES Académie d AIX-MARSEILLE Session 2012. Série S CLASSES DE PREMIERES GÉNÉRALES ET TECHNOLOGIQUES OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES Académie d AIX-MARSEILLE Session 01 Durée : 4 heures Série S Les calculatrices sont autorisées. Ce sujet comporte 4 exercices

Plus en détail

1 Introduction. 2 Fonctions linéaires, fonctions affines. 2.1 Définitions. Fonctions linéaires et fonctions affines Cours. Objectifs du chapitre

1 Introduction. 2 Fonctions linéaires, fonctions affines. 2.1 Définitions. Fonctions linéaires et fonctions affines Cours. Objectifs du chapitre Fonctions linéaires et fonctions affines Cours Objectifs du chapitre Connaitre le sens de variation d une fonction affine. Connaitre le signe d une fonction affine. 1 Introduction Activité 2 Fonctions

Plus en détail

La dérivation dans R

La dérivation dans R S La dérivation dans R Introduction Activité sur la cute libre d un corps. 2 Nombre dérivé Définition du nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et soit a un réel de l intervalle

Plus en détail

Deuxième épreuve d admission. Exemples de sujets

Deuxième épreuve d admission. Exemples de sujets Deuxième épreuve d admission. Exemples de sujets Thème : probabilités 1) On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note la somme des deux faces obtenues. 1.a) Donner un univers associé cette expérience.

Plus en détail

Contrôle commun : 4 heures

Contrôle commun : 4 heures Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier

Plus en détail

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Intervention du Professeur de mathématiques. Effectif de la classe : 34 élèves. Intervention : quinze heures en alternance avec le cours de Philosophie.

Plus en détail

C H A P I T R E 2 C A L C U L S A L G E B R I Q U E S

C H A P I T R E 2 C A L C U L S A L G E B R I Q U E S Classe de Troisième C H A P I T R E C A L C U L S A L G E B R I Q U E S UTILISER DES LETTRES...4 EXPRESSIONS ÉQUIVALENTES...6 VOCABULAIRE DU CALCUL LITTÉRAL...7 RÉDUCTIONS D'ÉCRITURES...9 DÉVELOPPER UN

Plus en détail

COURS DICTE ou rétroprojeté (TNI)! (mots de vocabulaire et formules écrites au tableau bien sûr)

COURS DICTE ou rétroprojeté (TNI)! (mots de vocabulaire et formules écrites au tableau bien sûr) Date J 03/09 Séquences Pédagogiques et Travail personnel Prise de contact. Fiche «administrative» et fiche «informations et règles de fonctionnement». A remplir et faire signer pour LUNDI 07. Programme

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Auteur : Alain Ladureau DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir la notion de développement limité. Utiliser des développements limités dans l étude locale des fonctions. Les appliquer

Plus en détail

Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures

Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 011 Durée de l épreuve : heures L usage de la calculatrice est autorisé. Aucun prêt de matériel n est toléré. La qualité de la rédaction et le soin

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

TRAVAIL PRATIQUE. 2x + 1. x + 1

TRAVAIL PRATIQUE. 2x + 1. x + 1 A - Polynômes et factorisation Résultats d apprentissage générau C COMMUNICATION RP RÉSOLUTION DE PROBLÈMES L LIENS R RAISONNEMENT E ESTIMATION ET CALCUL MENTAL T TECHNOLOGIE V VISUALISATION généraliser

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

Variations des fonctions

Variations des fonctions CH2-1er S Variations des fonctions Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : Ce chapitre vous permet de revoir les fonctions usuelles et de découvrir de nouvelles fonctions usuelles : valeur absolue et racine

Plus en détail

Correction du brevet blanc n 2

Correction du brevet blanc n 2 Correction du brevet blanc n 2 Rédaction et présentation : 4 points Applications numériques : 12 points 1 Exercice 1: On donne: A = 3 5 6 3 2 1.Je calcule Aet donne le résultat sous forme d'une fraction

Plus en détail

PROGRAMMES DE MATHEMATIQUES

PROGRAMMES DE MATHEMATIQUES RÉPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTÈRE DE L ÉDUCATION & DE LA FORMATION DIRECTION GÉNÉRALE DES PROGRAMMES & DE LA FORMATION CONTINUE Direction des Programmes & des Manuels Scolaires PROGRAMMES DE MATHEMATIQUES

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

I n t r o d u c t i o n a u x ( 2 0 S ) m a t h é m a t i q u e s a p p l i q u é e s e t p r é - c a l c u l 1 0 e a n n é e

I n t r o d u c t i o n a u x ( 2 0 S ) m a t h é m a t i q u e s a p p l i q u é e s e t p r é - c a l c u l 1 0 e a n n é e I n t r o d u c t i o n a u x m a t h é m a t i q u e s a p p l i q u é e s e t p r é - c a l c u l 0 e a n n é e ( 0 S ) Examen de préparation de mi-session Corrigé I n t r o d u c t i o n a u x m a

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercice VI. Ch6-Exercice Montrer par récurrence que En déduire que puis que k =,,..., n, d k dx k xn = n(n ) (n + k)x n k, d n dx n xn = n! d k dx k xn =

Plus en détail

DÉRIVATION (Partie 1) I. Fonction dérivée d une fonction polynôme du second degré

DÉRIVATION (Partie 1) I. Fonction dérivée d une fonction polynôme du second degré 1 sur 5 DÉRIVATION (Partie 1) Le mot «dérivé» vient du latin «derivare» qui signifiait «détourner un cours d eau». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736

Plus en détail

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016 Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire 2015-2016 1 Pour des cours particuliers par petits groupes de 3 ou 4 élèves en maths et/ou physique-chimie, veuillez me contacter.

Plus en détail

Correction. Mathématique Élémentaire. Test n 2 (26 septembre 2011) Question 1. Calculez. (a) (1 + i)(3 i) = 1 3 i 2 + 3i i = 4 + 2i.

Correction. Mathématique Élémentaire. Test n 2 (26 septembre 2011) Question 1. Calculez. (a) (1 + i)(3 i) = 1 3 i 2 + 3i i = 4 + 2i. Question 1. Calculez (a) (1 + i)(3 i) = 1 3 i + 3i i = 4 + i. (b) l inverse dans C de i : i 1 = i car ( i) i = i = 1. (c) l inverse dans C de ( i) : par une formule du cours, ( i) 1 = (d) 1 + 7i = 1 +

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Mathématiques en Première S. David ROBERT

Mathématiques en Première S. David ROBERT Mathématiques en Première S David ROBERT 007 008 Sommaire Progression 1 Devoir maison n 1 : Lieux de points 3 1 Généralités sur les fonctions 5 1.1 Activités..........................................................

Plus en détail

MATHÉMATIQUES PROGRAMMES DE. 1 ère & 2 ème Années secondaires

MATHÉMATIQUES PROGRAMMES DE. 1 ère & 2 ème Années secondaires RÉPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L EDUCATION ET DE LA FORMATION DIRECTION GENERALE DES PROGRAMMES ET DE LA FORMATION CONTINUE ------------------------------ DIRECTION DES PROGRAMMES ET DES MANUELS SCOLAIRES

Plus en détail

Baccalauréat Métropole 12 septembre 2013 Sciences et technologies du design et des arts appliqués

Baccalauréat Métropole 12 septembre 2013 Sciences et technologies du design et des arts appliqués Baccalauréat Métropole 2 septembre 203 Sciences et technologies du design et des arts appliqués EXERCICE 5 points Questionnaire à choix multiples : pour chaque question une seule des propositions est exacte,

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

Séance 1 : Notion de fonction : fonction linéaire et fonction affine

Séance 1 : Notion de fonction : fonction linéaire et fonction affine Séance 1 : Notion de fonction : fonction linéaire et fonction affine La première partie de la première séance est dédiée à la lecture de la fiche méthodologique. Pourquoi débuter les révisions par une

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR A. P. M. E. P. SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011 Métropole 2001..........................................

Plus en détail

T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014

T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Sauf mention du contraire, tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. La précision et la clarté de

Plus en détail

Inde, avril 2014, exercice 1

Inde, avril 2014, exercice 1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser

Plus en détail

1S DS 4 Durée :?mn. 2. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g, définie sur I = [ 1; 3].

1S DS 4 Durée :?mn. 2. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g, définie sur I = [ 1; 3]. 1S DS 4 Durée :?mn Exercice 1 ( 5 points ) Les trois questions sont indépendantes. 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 3 x. a) Donner son ensemble de définition. Il faut 3 x 0 3 x donc D f =] ; 3]

Plus en détail