119 exercices de mathématiques pour 1 re S

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1 mai 06 9 exercices de mathématiques pour re S Stéphane PASQUET

2 Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 I Le second degré I. Calcul de discriminant et de racines I. Équation avec une racine carrée I. Avec changement de variables I.4 Changements de variables I. Résolution d inéquations I.6 Une inéquation I.7 Polynôme de degré I.8 Polynôme de degré I.9 Trouver un trinôme à partir d une parabole I.0 Trouver la bonne courbe I. Conditions sur deux paramètres I. Trinôme avec un paramètre I. Une équation avec paramètre I.4 La trajectoire de la balle de tennis I. En Physique I.6 À Noël I.7 Vers le nombre d or I.8 Une autre écriture pour une racine carrée I.9 Aire d une couronne rectangulaire I.0 Trouver deux nombres I. Exercice de recherche II Généralité sur les fonctions II. Trouver le domaine de définition II. Fonctions paires, fonctions impaires II. Lecture de tableaux de variation II.4 Lectures graphiques II. Décompositions en fonctions de référence II.6 Fonctions associées : domaine de définition et variations () II.7 Fonctions associées : domaine de définition et variations () II.8 Étude d une fonction avec valeurs absolues II.9 Valeur absolue d un polynôme de degré II.0 Calculs avec valeurs absolues II. Équations avec valeurs absolues II. Inéquations avec valeurs absolues ii

3 II. Ensemble de points III Suites III. Sens de variation III. Sens de variation, majorant et minorant III. Sens de variation d une suite définie par récurrence III.4 Sens de variation d une suite avec racines carrées III. Reconnaître une suite arithmétique et géométrique III.6 Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, le retour III.7 Trouver un terme ou la raison dans une suite arithmétique III.8 Trouver un terme ou la raison d une suite géométrique III.9 Établir une relation de récurrence III.0 Somme des premiers termes d une suite arithmétique III. Somme des premiers termes d une suite géométrique III. Le super-héros III. Étude d une suite arithmético-géométrique avec algorithme III.4 Le débit de l eau, le débit de lait III. Somme des premiers termes d une suite arithmético-géométrique III.6 Suite homographique et suite géométrique, avec un algorithme III.7 Suite homographique et suite arithmétique III.8 Compilation d exercices III.9 Suites imbriquées III.0 Suites imbriquées IV Dérivation IV. Nombre dérivé & équation de tangentes IV. Lecture graphique de nombres dérivés IV. Détermination d une fonction par lecture graphique IV.4 Détermination d une fonction par lecture graphique IV. Dérivées de référence IV.6 Dérivées de fonctions produits et quotient IV.7 Variations de fonctions produits IV.8 Sens de variation de fonctions quotients IV.9 Étude complète de la fonction x x x x + IV.0 Optimisation d une aire dans un triangle rectangle IV. Optimisation du volume d une boîte IV. Optimisation d une aire dans une parabole IV. Optimisation du volume d un cône V Trigonométrie V. Mesure principale V. Calculs de mesures principales d angles V. Lecture d angles sur le cercle trigonométrique V.4 Résolution d équations trigonométriques V. Transformation d une équation V.6 Équations avec changement de variable V.7 À la découverte d un sinus et d un cosinus inconnu iii

4 VI Géométrie plane VI. Vecteurs colinéaires dans un repère VI. Vecteurs avec paramètre VI. Alignement de points VI.4 Alignement de points VI. Dans un parallélogramme VI.6 Équations cartésiennes de droites VI.7 Équation de droites avec paramètre VI.8 Équation de droites & médiatrice VI.9 Un algorithme VII Produit scalaire VII. Produits scalaires et angles VII. Produits scalaires et angles dans un repère orthonormé VII. Angle dans un carré VII.4 Détermination d un angle dans un cercle VII. Dans un rectangle VII.6 Équation de droites perpendiculaires VII.7 Équations de cercles VII.8 Trois cercles tangents VII.9 La formule de Héron VII.0 Aire d un triangle inscrit dans un cercle VII. Avec les formules trigonométriques VII. Dans un repère : cercle, angle et hauteur VII. Dans un rectangle VIII Statistiques descriptives VIII. Notes de deux classes VIII. Salaires dans deux entreprises VIII. Influence d un ajout dans une série statistique VIII.4 Un algorithme VIII. De l algèbre dans les statistiques IX Probabilités IX. Différents ordinateurs IX. 49 boules dans un urne IX. Deux urnes IX.4 Avec deux dés IX. Avec une pièce de monnaie IX.6 Lancer de pièces IX.7 Nombre variable de boules IX.8 Recherche d une mise de départ IX.9 Avec une urne IX.0 Dans une usine de composants électroniques IX. Au lycée à vélo IX. Au tennis IX. Le jeu des petits chevaux iv

5 X Fluctuation et échantillonnage X. Pièce défectueuse X. Un dé peut-être truqué X. Le médecin de campagne X.4 Les OVNIS X. Coup de fatigue au centre d appels v

6 Règles de navigation Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 Bonjour. J ai souhaité créé ici un document dans lequel il est facile de naviguer. C est la raison pour laquelle : À chaque énoncé d exercices, vous pouvez cliquer sur le numéro de la page où se trouve le corrigé pour vous y rendre directement ; À tout moment, vous pouvez retourner au sommaire en cliquant sur le petit carré qui se trouve devant chaque titre. D autre part, il se peut que quelques erreurs se soient glissées dans les énoncés ou corrections ; si vous avez un doute, n hésitez pas à me contacter via le formulaire qui se trouve sur mon site ( afin d aboutir à un document tendant vers la perfection... Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon travail! Stéphane Pasquet vi

7 Compilation LATEX ε de ce document Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 Ce document repose sur deux extensions personnelles : pas-exos.sty pas-echant.mod.tex tous les deux disponibles gratuitement sur la page : de mon site. Il a été initialement rédigé sous Ubuntu, mais dernièrement compilé sous Windows 0. Vous aurez besoin de GIAC Xcas pour les calculs sur les échantillonnages. Utilisateurs de Windows : vérifiez que C:\xcas\ apparaît bien dans le PATH (tapez «invite de commandes» dans la barre de recherche, lancez le terminal, puis tapez «path» et validez. Si ce chemin ne figure pas dans le PATH, tapez «variables d environnement» dans la barre de recherche et sélectionnez «Modifier les variables d environnement système» cliquez ensuite sur le bouton «Variables d environnement» en bas de la fenêtre qui apparaît ; sous «variables système», il y a une fenêtre dans laquelle apparaît une ligne commençant par «Path» : sélectionnez-là puis cliquer sur le bouton «Modifier» ; ajoutez «C :\xcas\» en fin de ligne. Il vous faudra redémarrer le système pour que ce changement soit pris en compte. vii

8 viii

9 Le second degré Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Équations Exercice. Calcul de discriminant et de racines A (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 8 Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant et ses éventuelles racines. x x + x x + x + x 4 x + x + x x + 6 x x x 4x x 8x + 9 x + 4x + Exercice. Équation avec une racine carrée A (Source : 0-secdeg-08) Corrigé page 9 Résoudre les équations suivantes : x + = x x 8 = x x = x Exercice. Avec changement de variables A (Source : 0-secdeg-09) Corrigé page 0 Résoudre les équations suivantes : x x + 4 = 0 x 4 + x = 0 6 x + x = 0 4 Ä cos x ä + cos x = 0 (x x + ) (x x + ) + = 0

10 Exercice 4. Changements de variables R (Source : 0-secdeg-7) Corrigé page On souhaite résoudre sur ] π ; π] l équation (E) suivante : 4 Ä sin x ä Ä ä + sin x 6 = 0 On pose = et on suppose que = Ä a + b 6 ä. a. Montrer que a + 6b = 0 et ab = 4. b. En déduire que a 4 0a + 96 = 0. c. Trouver alors a et b et en déduire. En déduire les solutions de (E). Inéquations Exercice. Résolution d inéquations A (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 4 Résoudre les inéquations suivantes : x + x + < 0 x x + 0 x + x < 0 4 x 9x + 0 x 7x x 0x + > 0 7 4x x x (x )( x + x + ) < 0 Exercice 6. Une inéquation R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 6 Résoudre l inéquation : 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x +

11 Factorisation Exercice 7. Polynôme de degré R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 7 On considère le polynôme P (x) = x + 7x + 7x +. Vérifier que x = est une racine de P. Factoriser alors P (x) sous la forme P (x) = (x + )Q(x), où Q est un trinôme de degré. Résoudre alors l équation P (x) = 0. Exercice 8. Polynôme de degré 4 R (Source : 0-secdeg-8) Corrigé page 8 On considère le polynôme P (x) = 0x 4 9x 4x + 07x 4. Calculer P () et P ( ). En déduire que P (x) = A(x) B(x), où A et B sont deux polynômes de degré que l on déterminera. En déduire les racines de P. Lectures graphiques Exercice 9. Trouver un trinôme à partir d une parabole R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 8 Nous avons tracé dans le repère sur la page suivante des paraboles. P P 4 #» j O #» ı P P Retrouver les trinômes (sous la forme développée) correspondant à chacune d elles. Exercice 0. Trouver la bonne courbe R (Source : 0-secdeg-6) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : f(x) = x + x x.

12 Montrer que f() = 0. En déduire une factorisation de f(x) sous la forme f(x) = (x )(ax + bx + c). En déduire la courbe représentative de f parmi les trois ci-dessous : 0 4 a Trinôme avec paramètres 0 4 b 0 4 c Exercice. Conditions sur deux paramètres R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 0 On considère le trinôme x + mx + p, où m et p sont deux réels. À quelles conditions sur m et p ce trinôme admet au moins une racine? Exercice. Trinôme avec un paramètre R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 0 Montrer que, pour tout k dans R \ { }, le polynôme : P (x) = (k + )x + kx + (k ) admet toujours deux racines distinctes. Exercice. Une équation avec paramètre R (Source : 0-secdeg-4) Corrigé page 0 On considère l équation : (E m ) : (m + )x + (m )x + (m + 4)(m ) = 0. Pour m = 0, donner les solutions de (E 0 ). Pour quelles valeurs de m l équation (E m ) admet-elle une unique solution? Pour quelles valeurs de m l équation (E m ) admet-elle pour solution? 4

13 Exercices de recherche Exercice 4. La trajectoire de la balle de tennis R (Source : 0-secdeg-04) Corrigé page Un joueur de tennis se trouve à 9 m du filet et renvoie la balle à h = 0 cm du sol avec un angle de α = 0 avec l horizontale. En fonction de sa position délicate, on estime sa vitesse de frappe à v 0 = 0 km/h. Sachant que la hauteur du filet est 9,4 cm et que la trajectoire de la balle est donnée par la formule : y = g (v 0 cos α) x + x tan α + h, où : g 9, 8 m s, v 0 est la vitesse initiale (exprimée en m s ), α est l angle de la trajectoire avec l horizontale, h est la hauteur initiale (exprimée en mètre), La balle dépassera-t-elle le filet? Si tel n est pas le cas, quelle vitesse aurait-il fallu donner à la balle en la frappant? Exercice. En Physique R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page On dispose de deux conducteurs de résistances R et R. Si on les monte en série (figure I.), on obtient un dipôle ohmique de résistance r = R + R. Si on les monte en parallèle (figure I.), on obtient un dipôle ohmique de résistance R telle que R = R + R (on dit que R est la moyenne harmonique de R et R ). R R Figure I. En série R R Figure I. En parallèle On sait que r = 0 Ω et R = Ω. Trouvez R et R.

14 Reprenez la question précédente avec r = 4 Ω et R = Ω. On connaît r et R. Montrez que l on peut alors calculer R et R à la seule condition que r 4R. Exercice 6. À Noël R (Source : 0-secdeg-06) Corrigé page Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noël. Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes. Sachant qu au total 468 cadeaux ont été déposés près de l arbre de Noël, combien de personnes y avait-il? Exercice 7. Vers le nombre d or R (Source : 0-secdeg-07) Corrigé page 4 Résoudre l équation : On notera ϕ la solution positive. x = + x. Que vaut : N = +» + + +? Exercice 8. Une autre écriture pour une racine carrée R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 4 On pose : A =» + 0. On cherche à écrire A sous la forme a + b, où a et b sont deux entiers relatifs. Développer Ä a + b ä. Montrer alors que : a + b = ab = 0 Calculer alors a et b. 4 S inspirer de ce qui vient d être fait pour trouver une formule permettant de calculer a et b tels que :» p + q n = a + b n ; p Z, q Z, n N. 6

15 Exercice 9. Aire d une couronne rectangulaire R (Source : 0-secdeg-9) Corrigé page 6 x x x 6 Déterminer x de sorte que l aire de la partie blanche de la figure ci-contre soit égale à celle du rectangle plein. 0 x Exercice 0. Trouver deux nombres R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 7 Deux entiers naturels ont pour différence 7, et la différence entre leur produit et leur somme est égale à 4. Trouver ces deux nombres. Exercice. Exercice de recherche R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 7 On considère un triangle de côtés de mesures respectives a, b et c telles que : a + b + c = ab + ac + bc. Montrer que ce triangle est équilatéral. Indication : on pourra partir de l égalité donnée, puis s en inspirer pour poser une fonction trinôme de degré d inconnue a par exemple. 7

16 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. x x + = (x ) (c est une identité remarquable). Par conséquent, = 0 et sa racine double est α =. x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 = 9 8 =. α = ( ) = et β = ( ) + =. x + x. Les racines sont donc : = 4 ( ) ( ) = 9 8 =. 4 x + x +. α = ( ) < 0 donc le trinôme n a aucune racine. + = et β = ( ) =. = 4 =. x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 = =. α = ( ) = 6 et β = x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 ( ) = + 4 = 49. α = ( ) 49 ( ) = 7 4 = et β = =. 8

17 7 4 x 4x + 6. Donc le trinôme a une racine double : 8 x 8x +. Les racines sont donc : 9 x + 4x +. α = ( 8) 40 = ( 4) 4 6 = 6 6 = 0. 4 α = 4 4 = 8. = ( 8) 4 = 64 4 = 40. = Les racines sont donc : α = 4 76 ( ) = Corrigé de l exercice. = 4 0 = 4 4 ( ) = = 76. = + 9 Le domaine de validité de l équation : x + = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x + 0 x 0 soit : On a : x. etβ = et β = 9. x + = x x + = (x ) x + = 4x x + 9 4x x + 8 = 0. Le discriminant de 4x x + 8 est : = 69 8 = 4. Les solutions de l équation sont donc potentiellement : α = 4 8 0, 8 et β = + 4 8, 4. Comme α < et β, l ensemble solution de l équation est : { } + 4 S = 8 9

18 Le domaine de validité de l équation x 8 = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x 8 0 x 0 soit :x. On a : x 8 = x x 8 = (x ) x 8 = 4x 0x + x 0x + = 0 Le discriminant de x 0x + est : = = 4, donc il y a deux solutions potentielles : α = 0 6 = et β =. α > et β > donc l ensemble solution de l équation est : S = ß ; Le domaine de validité de l équation : x = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x 0 x 0 soit x =. Nul besoin donc d aller plus loin ; l ensemble solution de l équation x = x est : ß S = Corrigé de l exercice. x x + 4 = 0. On pose X = x ; ainsi, l équation est équivalente à : X X + 4 = 0, dont le discriminant est : = 6 = 9. 0

19 Donc les solutions de l équation X X + 4 = 0 sont : X = = et X = + = 4. Les solutions de l équation x x + 4 = 0 doivent donc vérifier : x = et x = 4, d où : D où : x = et x = 6. S = { ; 6} x 4 + x = 0. On pose X = x ; ainsi, l équation est équivalente à : X + X = 0, dont le discriminant est : = 9 8 =. Les solutions de l équation X + X = 0 sont donc : X = = et X = + =. Les solutions de l équation x 4 + x = 0 sont donc x et x tels que : x = et x =, soit : x = ou x = et x = ou x =. L ensemble solution de l équation x 4 + x = 0 est donc : S = ; ; ; Ä cos x ä + cos x = 0. On pose X = cos x ; ainsi, l équation est équivalente à : dont le discriminant est : Elle admet donc deux solutions distinctes : X + X = 0 = 9 4 ( ) = =. X = = et X = + 4 =. X = et X = cos x donc cos x =, ce qui est impossible car un cosinus est toujours compris entre et ; X = et X = cos x donc cos x =, soit x = π (à π près) ou x = π près). (à π

20 Ainsi, l ensemble solution de l équation Ä cos x ä + cos x = 0 est : S = ß π (à π près) ; π (à π près) 4 (x x + ) (x x + ) + = 0. On pose X = x x + ; ainsi, l équation est équivalente à : X X + = 0 dont les solutions évidentes sont X = et X =. X = x x + = x(x ) = 0 x = 0 ou x =. X = x x + = x x = 0. Le discriminant de cette dernière équation est = = donc les solutions sont : x = et x = +. Ainsi, l ensemble solution de l équation (x x + ) (x x + ) + = 0 est : S = { ; 0 ; ; + } 6 x + x = 0. On pose X = X ; ainsi, l équation est équivalente à : 6X + X = 0 dont le discriminant est : = 4 6 ( ) = 49 = 7. Les solutions de l équation 6X + X = 0 sont donc : X = 7 6 = et X = + 7 =. X = et X = x donc x = X = ; X = et X = x donc x = X =. Ainsi, l ensemble solution de l équation 6 x + x = 0 est : S = ß ;

21 Corrigé de l exercice 4. a. = Ä a + b 6 ä = a + ab 6 + 6b = a + 6b + ab 6 = a + 6b = 0 ab = 8 a + 6b = 0 ab = 4 b. ab = 4 donc b = 4. La première équation donne alors : a Å 4 ã a + 6b = 0 a + = 0 a a a = 0 a = 0a a 4 0a + 96 = 0 c. On pose A = a ; l équation a 4 0a + 96 = 0 est équivalente à : dont le discriminant est : A 0A + 96 = 0 = ( 0) 4 96 = 6 = 4. L équation A 0A + 96 = 0 admet donc deux solutions : A = 0 4 = 8 = a et A = = = a. Ainsi, a = 8 = ou a = 8 =, et a = = ou a =. Faisons le choix de prendre a = ; alors b = 4 = =. Dans ce cas, a + b 6 = + 6 = Ä + ä. Or, î Ä + äó Ä ä = = =. Ainsi, = Ä + ä. 4 Ä sin x ä Ä ä + sin x 6 = 0. On pose X = sin x. (E) est donc équivalente à : 4X + Ä ä X 6 = 0. Le discriminant de 4X + Ä ä X 6 est : î Ä äó Ä ä Ä ä = = =.

22 Ainsi, l équation en X admet deux solutions distinctes : et Ainsi, soit, sur ] π ; π] : X = Ä ä 4 X = Ä ä + 4 sin x = = Ä + ä = + Ä + ä 8 8 et sin x = = =. x = π ou x = π et x = π 4 ou x = π 4. Par conséquent, sur ] π ; π], les solutions de (E) sont : π, π, π 4 et π 4. Corrigé de l exercice. x + x + < 0. Le discriminant de x + x + est = 4 = < 0 donc le trinôme est du signe du coefficient de x, soit ici, donc positif. L ensemble solution est donc : x x + 0 S = Le discriminant de x x + est = 4 =. Il y a donc deux racines : α = = et β = + = 4 4. Le trinôme ï ax + bx + c est du signe de a entre ses racines, donc x x + 0 pour x ; ò. ï S = ; ò x + x < 0 Le discriminant de x + x est = 9 4 ( ) ( ) = donc il admet deux racines distinctes : α = et β = + =. Le trinôme ax + bx + c est du signe de a entre les racines donc l ensemble solution de l inéquation est : S = ] ; [ 4 x 9x + 0 Le discriminant de x 9x + est = 8 4 ( ) = donc il admet deux racines : α = 9 = 9 + et β = Le trinôme ax + bx + c est du signe de a (donc positif) à l extérieur des racines donc l ensemble solution de l inéquation est : S = ] ; ] [ [ 9 + ; + 0 4

23 x 7x Le discriminant de x 7x + 0 est = = 7 < 0 donc il est toujours du signe de, donc positif. L ensemble solution est donc : 6 4x 0x + > 0 S = R Le discriminant de 4x 0x + est = = 0. Par conséquent, il est du signe de «4» (donc positif) tout le temps sauf en sa racine α = 0 4 = (où il est nul). Par conséquent, l ensemble solution de l inéquation est : ß S = R \ 7 4x x x + 0 Le discriminant de x x + est = 9 8 =. Par conséquent, il admet deux racines distinctes α = = et β = + =. On en déduit le tableau de signes suivant : x 4x x x + 4x x x L ensemble solution de l inéquation est alors : S = ò ; ò ] ; [ 4 8 (x )( x + x + ) < 0 Le discriminant de x + x + est = + 4 = 49 donc il admet deux racines : α = 7 = et β = + 7 =. On en déduit le tableau de signes suivant : 4 4 x x x + x + (x )( x + x + ) L ensemble solution de l inéquation est alors : S = ò ; ï ] ; + [

24 Corrigé de l exercice 6. Avant toute chose, on cherche le domaine de validité de l inéquation. Cette inéquation existe lorsque : x 7 0 0x 49x + 0 Le discriminant du polynôme 0x 49x + est : donc il admet deux racines distinctes : x = ( 49) 9 0 = ( 49) 4 0 = 6 Il peut donc se factoriser sous la forme : = 9 > 0 = et x = Å 0x 49x + = 0 x ã Å x 7 ã Å = x ã Å x 7 ã Å = x ã Å x 7 ã = (x )(x 7). = 7. Cette factorisation va être importante pour la résolution de l inéquation. ß Le domaine de validité de l inéquation est donc R \ ; 7. 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x + 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x + 0 7x 0 x 7 (x + ) (x )(x 7) 0 (7x 0)(x ) (x 7)(x ) (x + ) (x )(x 7) 0 4x x 0x + 0 x 0 0x 49x + 4x 66x 0 0x 49x + 0 (7x x 0) 0x 49x Le discriminant du polynôme 7x x 0 est : = ( ) 4 7 ( 0) = 69 = 7 > 0. 6

25 Donc il admet deux racines distinctes : α = ( ) 7 7 = 7 et β = En utilisant la propriété du signe d un trinôme du second degré, on obtient le tableau de signes suivant : Ainsi, S = x 7x x 0 0x 49x + (7x x 0) 0x 49x + ò ; ò 7 Corrigé de l exercice 7. ò ; 7 ï [ ; + [ P ( ) = ( ) + 7 ( ) + 7 ( ) + = = = 0. P ( ) = 0 donc x = est une racine de P. P (x) = (x + )(ax + bx + c) = ax + bx + cx + ax + bx + c = ax + (b + a)x + (c + b)x + c Ainsi, on souhaite que, pour tout réel x : = x + 7x + 7x + = ax + (b + a)x + (c + b)x + c. Par identification des coefficients, on a : = a 7 = b + a 7 = c + b = c On en déduit que a = et c =. Par suite, à l aide de la troisième équation (par exemple), on trouve b =. Finalement, on obtient : P (x) = (x + )(x + x + ) P (x) = 0 x + = 0 ou x + x + = 0. Le discriminant de x + x + = 0 est = 9 8 = donc il admet deux racines : α = = et β = + = 4 4. Par conséquent, l ensemble solution de l équation P (x) = 0 est : S = ß ; ; 7

26 Corrigé de l exercice 8. P () = 0 et P ( ) = 0. On en déduit que P (x) = (x )(x+)(ax +bx+c), soit P (x) = (x x 6)(ax +bx+c). (x x 6)(ax + bx + c) = ax 4 + bx + cx ax bx cx 6ax 6bx 6c = ax 4 + (b a)x + (c b 6a)x + ( c 6b)x 6c = 0x 4 9x 4x + 07x 4 Donc : a = 0 b a = 9 c b 6a = 4 c 6b = 07 6c = 4 On en déduit que a = 0 et c = 7, puis que b = 9 + a = 9. Finalement, P (x) = (x x 6)(0x 9x + 7). Le discriminant du polynôme 0x 9x + 7 est : = ( 9) = 8 = 9. Ses deux racines sont alors : x = = et x = = 7. Les racines de P sont donc :,, 7 et. Corrigé de l exercice 9. Pour P. On voit que ses deux racines sont α = et β =. Par conséquent, le trinôme est de la forme f (x) = a(x + )(x ). Le sommet de la parabole est le point de coordonnées ( ; 4) donc f () = 4. Ainsi, a( + )( ) = 4 4a = 4 a =. On a donc : f (x) = (x + )(x 4) soit f (x) = x + x + 4 Pour P. On voit que le trinôme n a pas de racines car la parabole ne coupe pas l axe des abscisses. Posons f (x) = ax + bx + c. La parabole passe par le point de coordonnées (0 ; ) donc f (0) =, soit c =. 8

27 La parabole passe par le point de coordonnées ( ; ) donc f () =, soit a + b + =, soit 4a + b = 0 ou encore b = a. On peut alors écrire : f (x) = ax ax +. La parabole passe par le point de coordonnées (4 ; ) donc f (4) =, soit 6a 8a + =, ou encore 8a = 4. Donc a = On en déduit alors que a =, b = = et c =. Donc : f (x) = x x + Pour P. Posons f (x) = ax + bx + c. A (0 ; ) P = c =. B ( 4 ; ) P = 6a 4b =, soit 4a = b. Donc f (x) = ax + 4ax. C ( ; ) P = 4a 8a =, soit 4a = d où a =. On en déduit : f (x) = x x Pour P 4. L axe des abscisses est tangent à la parabole donc f 4 (x) = a(x α). L unique racine étant, on a f 4 (x) = a(x + ). De plus, f 4 (0) = et f 4 (0) = 4a donc a =. Finalement, on a : 4 f 4 (x) = 4 x + x + Corrigé de l exercice 0. f() = + = + = 0. (x )(ax + bx + c) = ax + bx + cx ax bx c = ax + (b a)x + (c b)x c Ainsi, pour tout réel x : f(x) = (x )(ax + bx + c) x + x x = ax + (b a)x + (c b)x c a = a = b a = b = c b = c = c = On a alors : f(x) = (x )(x + x + ). 9

28 f() = 0 donc C f coupe l axe des abscisses en x =. On peut donc éliminer la courbe b. De plus, le discriminant de x + x + est : = 4 = > 0, donc ce polynôme admet racines distinctes, ce qui signifie que C f coupe l axe des abscisses en points distincts. Ainsi, la courbe a est celle qui représente la fonction f. Corrigé de l exercice. On sait qu un trinôme admet au moins une racine lorsque son discriminant est positif ou nul. Ici, = m 4p. Il faut donc que : pour que le trinôme ait au moins une racine. m 4p Corrigé de l exercice. Le discriminant de : est : P (x) = (k + )x + kx + (k ) = (k) 4 (k + ) (k ) = 4k 4(k ) = 4 > 0. Donc P admet toujours deux racines, quelle que soit la valeur de k. Corrigé de l exercice. Pour m = 0, on a : (E 0 ) : x x 4 = 0 Le discriminant du polynôme x x 4 est : = b 4ac = ( ) 4 ( 4) = + 6 = 7. Ainsi, > 0 donc il y a deux solutions à l équation (E 0 ) qui sont : α = b a = 7 et β = b + a = + 7. L ensemble solution de (E 0 ) est donc : S = { 7 ; + } 7 0

29 L équation (E m ) admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gauche est égal à 0. Ce discriminant est : = b 4ac = (m ) 4(m + )(m + 4)(m ) = (m ) î (m ) 4(m + )(m + 4) ó = (m ) î m 4(m + 8m + m + 4) ó = (m )(m 8m 6m 6) = (m )( 8m m 7). = 0 m = 0 ou 8m m 7 = 0 m = ou 8m + m + 7 = 0 Le discriminant du polynôme 8m + m + 7 est : donc ce polynôme admet deux racines : m = 68 6 δ = = 68, et m = Ainsi, l équation (E m ) admet une unique solution pour trois valeurs de m : m = ; m = 68 6 ; m = (E m ) admet pour solution si, en remplaçant x par dans l équation, l égalité est vérifiée : est solution de (E m ) (m + ) + (m ) + (m + 4)(m ) = 0 m + + m + m m + 4m 4 = 0 m + 6m 4 = 0. Le discriminant du polynôme m + 6m 4 est : = b 4ac = 6 4 ( 4) = =. Il existe donc deux solutions à l équation m + 6m 4 = 0 : m = 6 = et m = +. Ainsi, est solution de l équation (E m ) pour m = + et pour m =.

30 Corrigé de l exercice 4. Filet #» j 0 O #» ı 9 m m On convertit : 0 km/h =, 6 m s. 600 s En remplaçant les lettres dans la formule donnée, on a : soit : Le sommet de la parabole a pour abscisse : y = 9, 8 (, 6 cos 0 ) x + x tan 0 + 0,, y = 0, x + 0, x + 0,. b a = 0, ( 0, ). Donc, au sommet de sa trajectoire, la balle n aura pas encore atteint le filet. En prenant x = 9, on obtient : y 0, 8 ce qui signifie que la balle aura touché le sol avant 9 mètres. Le joueur a donc perdu. Cherchons la vitesse minimale v (en m s ) à donner à la balle lors de la frappe pour quelle franchisse le filet. La fonction définie par :, f(x) = x + 0, x + 0, v représente la hauteur (en mètre) de la balle en fonction de sa position x. On veut que f(9) > 0, 94, soit : c est-à-dire :, , , > 0, 94 v 449, 9 v +, 86 > 0 = 449, 9 v >, 86 =, 86 < v 449, 9 = v 449, 9 >, 86 = v > 7, 7 = v > 7, 7 = v >, 4 La vitesse à donner doit donc être supérieure à,4 m s (soit à peu près 4 km/h).

31 Corrigé de l exercice. R = + donc R = R R, ce qui donne : R R r = R R 0 soit : R R = 0. D après le cours, on sait que P = R R = 0 et S = R + R = 0 et donc que R et R sont racines du trinôme : dont le discriminant est : Les deux racines sont donc : x Sx + P soit : x 0x + 0, = ( 0) 4 0 = = 0. R = 0 0 = et R = +. On a d une part : R = R R r et d autre part S = R + R = 4. = R R 4 P = R R = 4 Le trinôme x Sx + P = x 4x + 4 a pour discriminant : = ( 4) 4 4 = 0. On peut donc dire que R = R = b a = 4 4 =. Nous l avons vu, on ne peut calculer R et R que lorsque le discriminant de x Sx + P est supérieur ou égal à 0, soit lorsque : donc : ou encore : S 4P 0 r 4rR 0 r(r 4R) 0. Or, r 0 donc cette dernière inéquation donne, en simplifiant par r : r 4R. Corrigé de l exercice 6. Notons x le nombre total de personnes. Une personne offre cadeaux à (x ) personnes donc : x(x ) = 468

32 soit : ou encore : x(x ) = 6 x x 6 = 0. Le discriminant de x x 6 est : Il y a donc deux racines : = ( ) = 6 =. α = ( ) = < 0 et β = + = > 0. Il n y a donc qu une solution à notre problème : il y a personnes. Corrigé de l exercice 7. L équation est équivalente à Le discriminant du trinôme est : x x = 0. = donc les solutions de l équation sont : α = et ϕ = +. On a : N = + +» = + N. Donc N est solution de l équation de la question. Comme N > 0, on en déduit que :» = ϕ = +. Corrigé de l exercice 8. Ä a + b ä = a + b + ab. Si A = a + b =» + 0, alors A = a + b + ab = + 0. Par identification du coefficient de et du nombre entier, on a : a + b = ab = 0 soit : a + b = ab = 0 4

33 De la seconde équation du système précédent, on peut déduire : b = 0 a et en remplaçant b par cette valeur dans la première équation, on obtient : soit : En posant X = a, on arrive à : dont le discriminant est : a + 00 a = a 4 a + 00 = 0. X X + 00 = 0 = ( ) 800 = 89 = 7. Les deux solutions de X X + 00 = 0 sont alors : X = + 7 = et X = 7 Donc les solutions de a 4 a + 00 = 0 sont a et a tels que : soit : Or, a Z donc a = ou a =. a = et a = 8 = 8. a = ou a = et x = ou a =. Si a =, alors b = 0 = et A = + ; Si a =, alors b = et A = < 0, ce qui n est pas possible car A > 0. Ainsi,» + 0 = + 4 Posons A =» p + q n. Alors, A = p + q n d où : a + nb = p b = q a La première équation devient alors : ou encore : ou encore : a + nq 4a = p a 4 4pa + nq = 0. X 4pX + nq en posant X = a.

34 Le discriminant est : = 6p 4nq = 4(4p nq ). Première condition d existence : il faut que 4p nq 0 pour pouvoir transformer l écriture de A. Dans ce cas, les deux solutions X et X sont : X = 4p 4p nq = p» 4p nq et X = p +» 4p nq. Deuxième condition : il faut que p 4p nq 0 et p + 4p nq 0. Dans ce cas, a = ± p» 4p nq et a = ± p +» 4p nq. Or, a Z donc : e condition : il faut que» p 4p nq N ou que» p + 4p nq N. On a alors : a = ± p ±» 4p nq et b = q ±» p ± 4p nq. Corrigé de l exercice 9. Notons A l aire du «grand rectangle» à l intérieur duquel se trouve le rectangle plein, dont l aire sera notée A. A A désignera donc l aire de la partie blanche. A A = 0 6 (0 x)(6 x) = 480 (480 60x x + 4x ) = 9x 4x. Ainsi, l aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur si : 9x 4x = 480 9x + 4x 8x 84x = 0 Le discriminant de x x + 60 est : x x + 60 = 0 (en divisant les deux = ( ) 4 60 = 89 = 7 donc les solutions de l équation x + x + 60 = 0 sont : x = 7 = et x = + 7 = 0. Or, 0 x 8 car la largeur du rectangle extérieur est égale à 6 et que x ne peut excéder sa moitié. Ainsi, pour x =, l aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur. 6

35 Corrigé de l exercice 0. Notons x et y les deux nombres. On sait alors d après l énoncé que : La première équation nous donne : x y = 7 xy (x + y) = 4 x = 7 + y donc en remplaçant x par cette dernière expression dans la seconde équation, on a : Le discriminant de y + y 0 est : (7 + y)y (7 + y + y) = 4 7y + y 7 y = 4 donc deux valeurs sont possibles pour y : y + y 0 = 0. = 4 ( 0) = + 00 = = y = = 0 et y = Or, y N donc y 0 ; seule y = est une valeur possible. On en déduit alors que x = 7 + y = 7 + =. Les deux nombres sont donc et. + =. Corrigé de l exercice. a + b + c = ab + ac + bc a (b + c)a + b + c bc = 0. Posons alors f(a) = a (b + c)a + b + c bc. L équation f(a) = 0 admet au moins une solution car le triangle existe donc le discriminant de f(a) est supérieur ou égal à 0. = î (b + c) ó 4 (b + c bc) = b + bc + c 4b 4c + 4bc = 6bc (b + c ) = Ä b bc + c ä = (b c) Ainsi, 0. Or, on sait que 0 donc = 0, ce qui signifie que b = c. (b + c) Il n y a qu une solution à l équation f(a) = 0 donnée par : = b Finalement, on a a = b = c. Le triangle est donc équilatéral. = b (car b = c). 7

36 Généralité sur les fonctions Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Trouver le domaine de définition A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page Pour chacune des fonctions suivantes, trouver le domaine de définition D. f(x) = x x + f(x) = x x f(x) = x 4 f(x) = 9x 7 x f(x) = x + 6 f(x) = x x + 7 f(x) = x x + 8 f(x) = x x x + 9 f(x) = x 4x + x x + 4 Exercice. Fonctions paires, fonctions impaires A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page Pour chacune des fonctions suivantes, dites si elles sont paires, impaires ou ni l une ni l autre. f (x) = x f (x) = x x + f (x) = x x + 4 f 4 (x) = x x + f (x) = x x Exercice. Lecture de tableaux de variation R (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 6 La fonction f a pour tableau de variation : x f(x) 0 0 a. Combien l équation f(x) = 0 admet-elle de solution(s)? 8

37 b. Quel est le minimum de f? Le maximum? c. Combien l équation f(x) = admet-elle de solution(s)? La fonction g a pour tableau de variation : x g(x) 7 4 a. Quel est le minimum de g? Le maximum? b. Combien l équation g(x) = 0 admet-elle de solution(s)? c. Résoudre l inéquation g(x) 0 sur [ ; 7]. d. Combien l équation g(x) = admet-elle de solution(s)? Exercice 4. Lectures graphiques R (Source : 0-genfonc-04) Corrigé page 6 À partir des courbes suivantes, dresser un tableau de variations des fonctions f et g. g #» j f O #» ı Résoudre graphiquement : a. f(x) 0 b. g(x) c. f(x) = g(x) On donne : f(x) = x + x et g(x) = x 4 x. Résoudre algébriquement l inéquation g(x), puis comparer avec les résultats trouvés à la question b. 9

38 Exercice. Décompositions en fonctions de référence A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 7 À l aide des fonctions de références (x ax + b, x x, x x et x x ), décomposez les fonctions suivantes afin de trouver leur sens de variation sur le ou les intervalles précisé(s). f : x ï ï x sur ; + f : x x + + x f : x sur ] ; + [ x + 4 f 4 : x ( x + 8) sur ] ; 4] f : x sur ] ; + [ (x + ) sur ] ; [ et sur ] ; + [ Exercice 6. Fonctions associées : domaine de définition et variations () A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 8 Pour chacune des fonctions suivantes, donner l ensemble de définition puis les variations sur cet ensemble. f(x) = g(x) =» (x ) 4 ( x) Exercice 7. Fonctions associées : domaine de définition et variations () A (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : Dresser le tableau de variation de f. On pose g(x) =» f(x). f(x) = x 4x. a. Déterminer l ensemble de définition de g. b. En justifiant soigneusement toutes les étapes, dresser le tableau de variation de g. On pose h(x) = f(x). a. Déterminer l ensemble de définition de h. b. Dresser le tableau de variation de h en justifiant. 4 On pose i(x) = f(x). a. Déterminer l ensemble de définition de i. b. Dresser le tableau de variation de i en justifiant. 0

39 Valeurs absolues Exercice 8. Étude d une fonction avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-06) Corrigé page 40 On considère la fonction f définie par : f(x) = x x +. Trouver les expressions de f(x) sans valeurs absolues suivant les valeurs de x. En déduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonction f. Trouver les variations de la fonction g : x f(x). Exercice 9. Valeur absolue d un polynôme de degré A (Source : 0-genfonc-07) Corrigé page 40 On considère la fonction f définie par : f(x) = x x +. Trouver les expressions de f(x) sans valeurs absolues suivant les valeurs de x. En déduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonction f. Résoudre l inéquation f(x) x +. Exercice 0. Calculs avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-08) Corrigé page 4 Effectuer les calculs suivants. On mettra les résultats sous sa forme la plus simplifiée Exercice. Équations avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-09) Corrigé page 4 Résoudre dans R les équations suivantes : x = 6 x + = x + = 4 x = 4x + x = x + 6 x =

40 Exercice. Inéquations avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 4 Résoudre dans R les équations suivantes : x > 8x + 4 x 9 4 x + 0 < Exercice. Ensemble de points R (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 4 Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x y =. Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y =. Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y + x y =. 4 Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y + x + y =.

41 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. f(x) = x x +. f(x) est un trinôme du second degré donc défini pour tout réel x. Ainsi, f(x) = x x. D = R f(x) est un quotient dont le numérateur est défini pour tout réel x (car c est une fonction affine). Son dénominateur ne doit pas être égal à 0. Donc x 0, soit x 0 (). Le dénominateur est une racine carrée donc son radicande (x) doit être supérieur ou égal à 0, donc x 0 (). Les conditions () et () nous donne : D = ]0 ; + [ f(x) = x. f(x) est une racine carrée donc son radicande (x ) doit être supérieur ou égal à 0. x 0 x. Par conséquent, D = î ; + î 4 f(x) = 9x 7. f(x) est un quotient dont le numérateur est toujours défini et dont le dénominateur doit être non nul (différent de 0). D où : 9x 7 0 x 7 9. On en déduit alors : ß 7 D = R \ 9

42 f(x) = x x +. Les deux conditions à remplir ici sont : x 0 x + > 0 (dénominateur non nul) x x > x. D où : 6 f(x) = x x +. Les conditions à remplir ici sont : Pour résoudre l inéquation x x + suivant : D = [ ; + [ x x + 0 x + 0 0, nous devons nous aider du tableau de signes x x x + x x Ainsi, D = ] ; [ [ ; + [ 7 f(x) = x x +. f(x) existe lorsque x x + 0. Le discriminant de x x + est = 9 8 = donc ce trinôme a pour racines α = = et β = + =. On sait qu un trinôme est du signe du coefficient de x à l extérieur de ses racines d où : D = ] ; ] [ ; + [ 8 f(x) = x x x +. f(x) existe quand x 0 et x x + 0. x 0 lorsque x ] ; ] [ ; + [ car les racines (évidentes) de x sont et. De plus, x x + = (x + ) 0 pour tout réel x. On en déduit alors que : D = ] ; ] [ ; + [ 4

43 x 4x + 9 f(x) = x x + 4. Les conditions à remplir ici sont : x 4x + 0 x x Le discriminant de x 4x + est = 6 = 4 donc x 4x + admet deux racines : α = 4 4 = et β = 4 + =. Ainsi, x 4x + 0 pour x ] ; ] [ ; + [. Le discriminant de x x + 4 est = 6 = 9 donc x x + 4 admet deux raines : α = = et β = + = 4. On en déduit alors : D = ] ; [ [ ; 4[ ]4 ; + [ Corrigé de l exercice. f (x) = x. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0. De plus, f ( x) = ( x) = x = f (x). Par conséquent, f est paire. f (x) = x x +. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0. De plus, f ( x) = ( x) ( x) + = x + x +. Donc f ( x) f (x) et f ( x) f (x). Par conséquent, f n est ni paire ni impaire. f (x) = x x +. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0 (car x + 0 pour tout réel x). De plus, f ( x) = ( x)» ( x) + = x x + = f (x). Par conséquent, f est impaire. 4 f 4 (x) = x x +. Le domaine de définition de f 4 est R, donc centré en 0 (car x + 0 pour tout réel x). x De plus, f 4 ( x) = ( x) + = x x + = f 4(x).

44 Par conséquent, f 4 est impaire. f (x) = x x. Le domaine de définition de f est D = R \ {} (car x 0 x ). D n est pas centré en 0 donc f ne peut pas être paire ou impaire. Corrigé de l exercice. a. L équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle ] ; 0[. b. Le minimum de f est, atteint pour x = et son maximum est, atteint pour x = 0. c. L équation f(x) = a solutions ; l une dans ] ; 0[ et l autre dans ]0 ; [. a. Le minimum de g est, atteint pour x = et le maximum est, atteint pour x =. b. L équation g(x) = 0 admet aucune solution car son maximum est strictement inférieur à 0. c. Le minimum de g sur [ ; 7] étant strictement inférieur à 0, l inéquation g(x) 0 a pour solution : S = [ ; 7]. d. L équation g(x) = admet solutions : une sur ] ; [, une autre sur ] ; [ et une autre sur ] ; 7[. Corrigé de l exercice 4. Nous avons : x f(x) x g(x) a. f(x) 0 x [ ; ] ] ; ]. b. La droite d équation y = coupe la courbe représentative de g en points d abscisses respectives : x 0, 9, x = 0 et x = 0, 9. L inéquation g(x) a alors pour ensemble solution : S = [ ; 0, 9] [0 ; 0, 9]. 6

45 N.B. L échelle du graphique ainsi que ses graduations ne nous permettent pas de donner avec précision les abscisses x et x, donc si l élève donne d autres valeurs que celles données ici, le résultat sera correct (dans la mesure où les valeurs sont proches de 0, 9 et 0, 9). c. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On peut alors dire que l ensemble solution est approximativement : S = {0, 4 ;, }. g(x) x 4 x x 4 x 0 Å x x 4ã 0 Les racines de x 4 sont et, d où le tableau de signes suivant : x x x 4 x Ä x 4 ä [ ] [ ] L ensemble solution de l inéquation est donc : S = ; 0 ;, ce qui correspond bien aux résultats trouvés à la question b. car 0, 86. Corrigé de l exercice. f : x x sur ï ; + ï. f : x u u x x. La fonction u : x x est une fonction affine de coefficient directeur négatif donc elle est décroissante ; en prenant la racine carrée de u, on ne change pas les variations donc u est décroissante. ï ï f est donc décroissante sur ; + f : x x + + sur ] ; [ et sur ] ; + [. x Posons : f : x g + h où : g : x u x v= u x w= v w et h : x x +. x x Pour g, u est une fonction affine croissante, donc v = u est aussi croissante et donc w = v est décroissante, ce qui fait que w est aussi décroissante. 7

46 De plus, h est une fonction affine décroissante. Ainsi, f est décroissante comme somme de fonctions décroissantes sur ] ; [ et sur ] ; + [. f : x sur ] ; + [. x + f : x u x + v= u x + w= v x + z=+w x + z x + z x + u est une fonction affine croissante, donc v = u est croissante, donc w = v est décroissante, d où z = + w aussi et z est croissante. Ainsi, z Ainsi, f est décroissante sur ] ; + [. est décroissante. 4 f 4 : x ( x + 8) sur [4 ; + [. f 4 : x u x + 8 v=u ( x + 8). u est une fonction affine décroissante et positive sur ] ; 4] (car x x 8 x 4). La fonction carré étant croissante lorsque sa variable est positive, v = u est croissante lorsque u 0, c est-à-dire sur ] ; 4]. f 4 est donc croissante sur ] ; 4]. f : x sur ] ; + [. (x + ) f : x u x + v=u (x + ) w= v (x + ) w (x + ) u est croissante et u 0 sur ] ; + [, donc v = u est croissante, donc w = v est décroissante, donc w est croissante. f est donc croissante sur ] ; + [. Corrigé de l exercice 6. ò On a : D f = ; ï ò ï ; + et : x x ( x) ( x) ( x) + 8

47 On a : (x ) 4 0 x 4x x(x 4) 0 Donc D g = ] ; 0] [4 ; + [ et : x x 4x x 4x Corrigé de l exercice 7. b = donc le sommet de la parabole (qui représente f) a pour abscisse. a On a donc : x + f(x) a. Le discriminant de f est : donc f(x) a deux racines : = ( 4) 4 ( ) = = 6 x = 4 6 Donc D g = ] ; ] [ ; + [. = et x = b. étant entre les racines de f, f est décroissante sur ] ; ], puis croissante sur [ ; + [. Or, prendre la racine carrée d une fonction ne change pas ses variations donc : =. x + g a. D h = R car nous pouvons calculer la valeur absolue de n importe quel nombre réel f(x). b. On sait que f(x) < 0 sur ] ; [ ; or, prendre la valeur absolue d une fonction négative inverse les variations alors que prendre la valeur absolue d une fonction positive ne les change pas. On a donc : x + h 9

48 4 a. D i = ] ; [ ] ; [ ] ; + [. b. Prendre l inverse d une fonction inverse ses variations donc : x f(x) i(x) + Corrigé de l exercice 8. On sait que x > 0 pour x > ; donc pour x <, x = (x ) = x ; On sait que x + > 0 pour x > ; donc pour x <, x + = (x + ) = x. On a donc : x + x = x x 0 x x + = x 0 x + x + f(x) = x ( x ) = x (x + ) = x x (x+) = Ainsi, De la question précédente, on déduit : pour x ] ; ] f(x) = x pour x [ ; ] pour x [ ; + [ x f(x) + x > 0 x < d où : x f(x) + 0 Corrigé de l exercice 9. f(x) = x x +. Le polynôme x x + admet une racine évidente : α =. Donc la seconde racine est β = c aα =. On a alors le tableau suivant : x x x + f(x) x x + 0 x + x 0 x x + 40

49 On déduit de la question précédente le tableau suivant : x + f(x) 0 0 L inéquation f(x) x + équivaut à : x x x x x + x + 0 x + x x + 0 x x + x + Sur [ ; ], on a : x + x 0. Le discriminant de x + x est : = 4 4 ( ) ( ) = 6 < 0 donc x + x est toujours du signe de, donc toujours négatif. Ainsi, [ ; ] est inclus dans l ensemble solution. Sur ] ; ] et sur [ ; + [, on a : x 4x 0. Le discriminant de x 4x est : = = 0. Il y a donc deux racines : α = 4 0 = < et β = + >. Donc α et β sont dans les intervalles ] ; ] et sur [ ; + [. Ainsi, x 4x 0 sur [α ; ] et sur [ ; β]. Par conséquent, l ensemble solution de l inéquation f(x) x + est : S = î ; + ó. Corrigé de l exercice = = = = 7 7 = 7 6 = > donc >, soit > 0 ; ainsi, =. < donc <, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä = =. Ainsi, + = + = < 9 donc < 9, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä =. 4

50 < donc <, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä = =. Ainsi, = Ä ä = + = + 4. Corrigé de l exercice. x = 6 x = 6 ou x = 6 x = 7 ou x = L ensemble solution est donc S = { ; 7}. x + =. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle donc l ensemble solution est : S =. x + = x + = ou x + = x = ou x = 8 x = ou x = 4 L ensemble solution est donc S = { 4 ; }. 4 x = 4x + x = 4x + ou x = (4x + ) = 4x x ou 7x = x = ou x = 7 ß L ensemble solution est donc S = ;. 7 x = x + x = x + ou x = x x = 4 ou 7x = x = 4 ou x = 7 ß L ensemble solution est donc S = 7 ; 4. 6 x = x = ou x = x = 4 ou x = x = ou x = ou x = ou x = L ensemble solution est donc S = ; ; ;. Corrigé de l exercice. x > x > ou x < x > 7 ou x < x > 7 ou x < L ensemble solution de l inéquation x > est donc S = ò ; ï ò 7 ï ; + 4

51 8x + 4 8x x 4 x 4 L ensemble solution de l inéquation 8x + 4 est donc S = ï ò 4 ; 4 x 9 x 9 ou x 9 x 4 ou x 4 x 4 ou x 4 L ensemble solution de l inéquation x 9 est donc S = 4 x + 0 < < x + 0 < < x < < x < L ensemble solution de l inéquation x + 0 < est donc S = ] ; [ ò ; 4 ò ï 4 ï ; + Corrigé de l exercice. Nous allons faire une disjonction de cas sur x y afin d enlever les valeurs absolues. Si x y > 0 (c est-à-dire si y < x), alors x y = x y = y = x. La condition de départ sur y (qui est y < x) est bien remplie car x < x pour tout x. Donc l ensemble des points cherché est la droite D d équation y = x. Si x y < 0 (c est-à-dire si y > x), x y = (x y) = y = x +. La condition de départ sur y (qui est y > x) est bien remplie car x + < x pour tout x. Donc l ensemble des points cherché est la droite D d équation y = x +. Au final, l ensemble des points est donc la réunion de ces deux ensembles : S = D D. Il est ici nécessaire de faite une disjonction de cas sur x et y. Si x > 0 : Si y > 0, alors x + y = x + y = y = x +. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x > 0 et y > 0 (représentée en bleu ci-dessous). Si y < 0, alors x + y = x y = y = x. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x > 0 et y < 0 (représentée en rouge ci-dessous). Si x < 0 : Si y > 0, alors x + y = x + y = y = x +. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x < 0 et y > 0 (représentée en violet ci-dessous). 4

52 Si y < 0, alors x + y = x y = y = x. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d 4 ) où x < 0 et y < 0 (représentée en vert ci-dessous). L ensemble solution est donc l ensemble des points représenté ci-dessous : (d ) (d ) O (d 4 ) (d ) x + y + x y =. Si x + y > 0 (donc si y > x) : Si x y > 0 (donc si y < x), x + y + x y = x + y + x y = x =. Si x y < 0 (donc si y > x), x + y + x y = x + y x + y = y =. Si x + y < 0 (donc si y < x) : Si x y > 0 (donc si y < x), x + y + x y = x y + x y = y =. Si x y < 0 (donc si y > x), x + y + x y = x y x + y = x =. L ensemble des points M(x ; y) vérifiant x+y + x y = est donc l ensemble représenté ci-dessous : y = x 4 O 4 y = x 44

53 4 x + y + x + y =. Si x + y > 0 (soit si y < x), on se trouve sous la droite d équation y = x. Si x+y > 0 (soit si y < x), on se trouve sous la droite d équation y = x donc en combinant les conditions y < x et y < x, on se trouve dans la partie colorée suivante : y = x O Si x + y > 0 et x + y > 0, y = x alors x + y + x + y = x + 4y = y = 4 x +. L ensemble solution est donc la partie de la droite d équation y = 4 x + comprise dans cette partie colorée du plan : y = x O y = x 4

54 Si x + y < 0 (soit si y > x), on se trouve au-dessus de la droite d équation y = x donc en combinant les conditions y < x et y > x, on se trouve dans la partie colorée suivante : y = x O y = x Si x + y > 0 et x + y < 0, alors x + y + x + y = 7x + y = y = 7 x +. L ensemble solution est donc la partie de la droite d équation y = 7 x + comprise dans cette partie colorée du plan : y = x O y = x 46

55 Si x + y < 0 (soit si y > x), on se trouve au-dessus de la droite d équation y = x. Si x+y > 0 (soit si y < x), on se trouve sous la droite d équation y = x donc en combinant les conditions y > x et y < x, on se trouve dans la partie colorée suivante : y = x O y = x Si x + y < 0 et x + y > 0, alors x + y + x + y = 7x y = y = 7 x. L ensemble solution est donc la partie de la droite d équation y = 7 x comprise dans cette partie colorée du plan : y = x O y = x 47

56 Si x + y < 0 (soit si y > x), on se trouve au-dessus de la droite d équation y = x donc en combinant les conditions y > x et y > x, on se trouve dans la partie colorée suivante : y = x O Si x + y < 0 et x + y < 0, y = x alors x + y + x + y = x 4y = y = 4 x. L ensemble solution est donc la partie de la droite d équation y = 4 x comprise dans cette partie colorée du plan : y = x O y = x 48

57 Finalement, l ensemble des points M(x ; y) vérifiant l équation x + y + x + y = est l ensemble représenté en rouge ci-dessous, constitué de quatre demi-droites : y = x O y = x 49

58 Suites Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Généralités sur les suites Exercice. Sens de variation A (Source : 0-suites-) Corrigé page 60 Étudier le sens de variation des suites (u n ) définies ci-dessous : u n = n u n = n + n u n = n + 4 u 0 = et u n+ = u n Exercice. Sens de variation, majorant et minorant A (Source : 0-suites-) Corrigé page 6 On définit la suite (u n ) par la relation : Montrer que (u n ) est croissante. Montrer que (u n ) est majorée par. Montrer que (u n ) est minorée. n N, u n = n + n + Exercice. Sens de variation d une suite définie par récurrence A (Source : 0-suites-) Corrigé page 6 Montrer que la suite (u n ) définie par : u 0 = u n+ =» u n +, est croissante. n N Exercice 4. Sens de variation d une suite avec racines carrées R (Source : 0-suites-4) Corrigé page 6 On définit la suite (u n ) par la relation : n N, u n = n + n. 0

59 Montrer que pour tout entier naturel n, u n = n + + n. Montrer alors que u n+ < u n et en déduire les variations de (u n ). Montrer que (u n ) est majorée et minorée. Suites arithmétiques & géométriques Exercice. Reconnaître une suite arithmétique et géométrique A (Source : 0-suites-0) Corrigé page 6 Pour chacune des questions suivantes, la suite (u n ) n 0 est définie de façon explicite. Dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l une ni l autre en justifiant. Si elle est arithmétique ou géométrique, préciser son premier terme et sa raison. u n = + 4n u n = 8 n u n = n 4 u n = n 6 u n = n(n + ) n(n ) 7 u n = n + n + 8 u n = + n 9 u n = n + u n = n 0 u n = n n Exercice 6. Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, le retour A (Source : 0-suites-0) Corrigé page 6 Pour chacune des questions suivantes, la suite (u n ) n 0 est définie à l aide d une relation de récurrence. Dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l une ni l autre en justifiant. Si elle est arithmétique ou géométrique, préciser son premier terme et sa raison. u n+ = u n, u 0 = u n+ =, u 0 = u n u n = u n, u 0 = 4 u n+ = u n π, u 0 = π u n+ = (u n ) (u n + ), u 0 = 6 u n = u n, u 0 = 7 u n+ = u n, u 0 = 8 u n+ = u n, u 0 = Exercice 7. Trouver un terme ou la raison dans une suite arithmétique A (Source : 0-suites-0) Corrigé page 66 On considère une suite (u n ) arithmétique de raison r. u 0 = et u 8 = 7. Calculer r. u = et u =. Calculer r.

60 u 0 = et r =. Calculer u 9. 4 u = 6 et r =. Calculer u 0. u 7 = et u = 7. Calculer r. Exercice 8. Trouver un terme ou la raison d une suite géométrique A (Source : 0-suites-04) Corrigé page 67 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. u 0 = et u =. Calculer q. u 0 = et q =. Calculer u 9. u = 8 et q =. Calculer u 8. 4 u 0 = et q =. Calculer u 0. u = et q =. Calculer u 7. Exercice 9. Établir une relation de récurrence R (Source : 0-suites-0) Corrigé page 68 Dans chacun des cas suivants, donner la relation de récurrence entre u n+ et u n. Indiquez alors si (u n ) est arithmétique, géométrique ou ni l une ni l autre. Chaque jour, ma vue baisse de 0, 00 %. u n désigne ma note aux yeux au jour n. Ma mère me donne 0 e, puis me dit : «chaque mois, je te donnerai 0 e». u n représente la somme que j ai reçu en n mois, pour n. Je remplis d eau une bouteille d un litre à moitié. Chaque minute, ce qui restait la minute précédente est rempli à moitié. u n représente la proportion de la bouteille qui est remplie la n e minute, n. 4 Je place 000 e sur un compte qui me rapporte 0, 7 % chaque année. u n représente le solde de ce compte (si je ne prélève rien) à l année n, n 0, avec u 0 = 000. Paul et Pierre sont à 0 mètres l un de l autre, Pierre étant derrière Paul. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. u n représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la n e étape, n 0, avec u 0 = 0 (on suppose que les pas de Pierre et de Paul sont de même longueur). 6 Paul et Pierre sont à 0 mètres l un de l autre, Paul étant derrière Pierre. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. u n représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la n e étape, n 0, avec u 0 = 0 (on suppose que les pas de Pierre et de Paul sont de même longueur).

61 Exercice 0. Somme des premiers termes d une suite arithmétique A (Source : 0-suites-06) Corrigé page 70 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Si u 0 = et r =, calculer u 0 + u + + u 00. Si u 0 = et u 0 = 60, calculer u 0 + u + + u 0. Si u = 60 et r =, calculer u + u + + u Si u = 0 et u 0 =, calculer u + u + + u 0. Exercice. Somme des premiers termes d une suite géométrique A (Source : 0-suites-07) Corrigé page 70 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. Si u 0 = et q =, calculer u 0 + u + + u 00. Si u 0 = et q =, calculer u 0 + u + + u 0. Si u = 60 et q =, calculer u + u + + u Si u = 0 et q = 0, calculer u + u + + u 0. Exercice. Le super-héros R (Source : 0-suites-08) Corrigé page 7 Destructo a la capacité de détruire les murs en fonçant dessus. Malheureusement, après chaque destruction, il perd % de sa force. Dès potron-minet, sa force est de 000 Newton. Un jour, le méchant Massono a mis une bombe dans un bâtiment carré qui demande à Destructo de passer à travers 0 murs.. Destructo. Sachant qu il faut à Destructo au moins 00 Newton pour détruire un mur, arrivera-t-il jusqu à la bombe?

62 Suites arithmético-géométriques Exercice. Étude d une suite arithmético-géométrique avec algorithme R (Source : 0-suites-09) Corrigé page 7 On considère la suite (u n ) n 0 définie par la relation de récurrence : u 0 = u n+ = u n + n N Calculer u et u. (u n ) n 0 est-elle une suite arithmétique? Une suite géométrique? On considère la suite (v n ) n 0 définie pour tout entier naturel n par : v n = u n 9. Montrer que (v n ) n 0 est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 4 En déduire une expression de v n en fonction de n, puis une expression de u n en fonction de n. On donne l algorithme suivant : Algorithme Initialisation Affecter à U la valeur Affecter à i la valeur 0 Saisir la valeur de N Traitement Tant que i<n Affecter à i la valeur i+ Affecter à U la valeur U/+ Fin du Tant que Sortie Afficher U a. À l aide d un tableau (par exemple), exécuter cet algorithme pour N =. b. Que permet de faire cet algorithme? c. À l aide de votre calculatrice, donner la valeur qu affiche cet algorithme pour N=0, N=0 et N=0. Que peut-on conjecturer? 4

63 Exercice 4. Le débit de l eau, le débit de lait R (Source : 0-suites-6) Corrigé page 7 Léonard achète deux bidons de 00 litres : un dans lequel il met de l eau, l autre dans lequel il met du lait. Chaque jour, il consomme 0 % de la quantité de lait et 0 % de la quantité d eau qu il y avait le jour précédent. Tous les soir avant de se coucher, il ajoute 0 litres de lait dans le bidon de lait et 0 litres d eau dans le bidon d eau après. On note e n la quantité d eau et l n la quantité de lait (en litres) au n-ième jour après les ajouts d eau et de lait. On a ainsi e 0 = 00 et l 0 = 00. Calculer e et l. Déterminer les relations de récurrence des suites (e n ) et (l n ). On pose u n = e n 40. a. Montrer que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. En déduire le terme général de (u n ) en fonction de n, puis celui de (e n ). 4 On pose v n = l n 00. a. Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. En déduire le terme général de (v n ) en fonction de n, puis celui de (l n ). Calculer alors e 6 et l 6 d une part, e 70 et l 70. Que peut-on remarquer et alors conjecturer? Exercice. Somme des premiers termes d une suite arithmético-géométrique (Source : 0-suites-8) Corrigé page 74 On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = u n+ = 7 u n + 6 A Calculer u et u. Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n 4. a. Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b. En déduire une expression de v n en fonction de n, puis de u n en fonction de n. a. Calculer S = 0 k=0 b. En déduire S = v k = v 0 + v + + v 0. 0 k=0 u k = u 0 + u + + u 0.

64 Suites homographiques Exercice 6. Suite homographique et suite géométrique, avec un algorithme R (Source : 0-suites-0) Corrigé page 7 On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = u n+ = On considère alors l algorithme suivant : Algorithme Initialisation Affecter à U la valeur Affecter à i la valeur 0 Saisir la valeur de N Traitement u n + Tant que i<n Affecter à i la valeur i+ Affecter à U la valeur /(*U+) Fin du Tant que Sortie Afficher U n N À l aide d un tableau, exécuter cet algorithme pour N = 4. Qu affiche alors cet algorithme? On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n u n +. Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. En déduire une expression de v n en fonction de n, puis une expression de u n en fonction de n. Exercice 7. Suite homographique et suite arithmétique R (Source : 0-suites-7) Corrigé page 77 On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 = et par la relation de récurrence suivante : n N, u n+ = 4u n. On pose alors pour tout entier naturel n, v n = u n 0,. 6

65 Montrer que (v n ) est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme. En déduire le terme général de (v n ) puis celui de (u n ) en fonction de n. À l aide d un tableur, de votre calculatrice ou tout simplement de votre cerveau, vers quel nombre se rapproche u n lorsque n augmente de plus en plus? Exercice 8. Compilation d exercices R (Source : 0-suites-) Corrigé page 77 On considère une suite arithmétique (u n ) n 0 telle que : u = 8 ; u 0 =. Donner l expression du terme général de cette suite sous la forme u n = a + bn. On considère une suite arithmétique (u n ) n 0 telle que : u 0 = 6 ; u 8 = 0. Donner l expression du terme général de cette suite sous la forme u n = a + bn. Trouver toutes les suites géométriques (u n ) n 0 telles que : u 0 = 90 ; u = 0. 4 On construit une pyramide en allumettes comme sur le schéma suivant : u = u = 7 u = On note u n le nombre d allumettes nécessaires pour le n-ième étage de cette pyramide, n. Combien faut-il d allumettes pour faire 0 étages? Dans chacun des cas suivants, dire si les termes sont ceux d une suite géométrique, d une suite arithmétique ou d une autre suite. S ils définissent une suite arithmétique ou géométrique, donner les paramètres de la suite (raison et er terme). a. u 0 = et u n+ = u n u n. b. u 0 = et u n+ = u n 0. c. u n = + 4(n ). d. u 0 = et u n+ = u n +. e. u n+ = u n. 7

66 6 On construit une figure étape par étape comme suit : Étape Étape Étape À chaque étape, on ajoute un disque dont le rayon est la moitié de celui qui a été ajouté à l étape précédente. Sachant que le premier disque a un rayon égal à cm, quelle sera la valeur approchée à l unité de l aire totale des disques à l étape 0? Suites imbriquées Exercice 9. Suites imbriquées R (Source : 0-suites-9) Corrigé page 79 On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u0 = u n+ = 0, u n + 0, 6v n v0 = 0 v n+ = 0, 8u n + 0, 4v n Pour tout entier naturel n, on pose t n = u n + v n. Montrer que (t n ) est une suite constante. Exprimer alors t n pour tout entier naturel n. Pour tout entier naturel n, on pose w n = v n 4u n. Montrer que (w n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison t le premier terme. Exprimer alors w n en fonction de n. Exprimer alors u n et v n en fonction de n. Exercice 0. Suites imbriquées R (Source : 0-suites-0) Corrigé page 8 On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u0 = u n+ = 0, u n + 0, v n v0 = 0 v n+ = 0, 4u n + 0, 6v n Soient deux nombres réels non nuls a et b tels que la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par w n = au n + bv n soit géométrique de raison notée q. a. Montrer que l on a : 0, a + 0, 4b = qa 0, a + 0, 6b = bq b. En déduire que a = q 0, 6 q 0, b et b = 0, 0, 4 b. 8

67 c. Montrer alors que q est solution de l équation q, q + 0, = 0. d. Trouver alors les deux valeurs de q possibles, notées q et q, avec q < q, puis les valeurs possibles de a et b pour chacune de ces deux valeurs de q. On pose alors c n = u n + v n et g n = 9u n 7v n. a. Montrer que ces deux suites vérifient les conditions de la suite (w n ). b. En déduire une expression de c n et g n en fonction de n. c. En déduire une expression de u n et de v n en fonction de n. 9

68 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. u n = n. u n+ u n = n+ n = n+ n = n n = n ( ) = n u n+ u n > 0 Ainsi, (u n ) est croissante. u n = n + n. u n+ u n = (n + ) + (n + ) ( n + n ) = (n + n + ) + n + + n n + = n n + n + + n n + = n + 4 n + 4 > 0 n > 4 n < donc u n+ u n < 0 pour n. La suite (u n )est donc décroissante à partir du rang. u n = n +. u n+ u n =» (n + ) + n + = n + n + 4 n + Or, n + 4 > n + donc n + n + 4 > n + (car n 0), donc u n+ u n > 0. Ainsi, la suite (u n ) est croissante. 4 u 0 = et u n+ = u n. u n+ u n = u n u n = < 0 donc (u n ) est décroissante. 60

69 Corrigé de l exercice. On calcule pour tout entier naturel n : (n + ) + u n+ u n = (n + ) + n + n + = n + n + n + n + = = (n + )(n + ) (n + )(n + ) (n + )(n + ) n + > 0 et n + > 0 car n N donc u n+ u n > 0. La suite (u n ) est donc croissante. (n + )(n + ) (n + )(n + ) Si la suite (u n ) est majorée par, alors u n < donc u n < 0 pour tout n N. u n = n + n + = n + (n + ) n + n + n + n 0 = n + = n 9 n + n 9 < 0 car n 0 donc u n < 0, soit u n <. Donc la suite est majorée par. Quand on ne précise pas le minorant (ou le majorant), c est qu il doit être facile à trouver. Ici, n + > 0 et n + > 0 donc u n > 0 pour tout n N. La suite est donc minorée par 0. Corrigé de l exercice. On calcule u n+ u n pour tout entier naturel n : u n+ u n =» u n + u n Ä» ää» ä u n + u n u n + + u n =» u n + + u n = u n + u n» u n + + u n =» u n + + u n u n > 0 car chaque terme est défini comme étant égal à une racine carrée ; de plus,» u n + > 0 donc u n+ u n > 0. La suite est donc croissante. 6

70 Corrigé de l exercice 4. u n = n + n Ä ää ä n + n n + + n = n + + n (on multiplie par l expression conjuguée) u n = = n + n n + + n n + n u n+ = n + + n +. Or, n + > n donc n + > n et donc, en ajoutant n + aux deux membres de cette dernière inégalité, on a n + + n + > n + + n. En inversant, on obtient : d inverser le signe de l inégalité). n + + n + < n + + n (attention à ne pas oublier Ceci nous dit alors que u n+ < u n, et donc que (u n ) est décroissante. n + n > 0 donc u n > 0. (u n )est donc minorée par 0. De plus, n + n (car n + et n 0) donc (u n ) est donc majorée par. n + n, soit u n. Corrigé de l exercice. u n = + 4n. On calcule pour tout entier naturel n : u n+ u n = + 4(n + ) ( + 4n) = + 4n + 4 4n = 4. u n+ u n = 4 est une constante (un nombre qui ne dépend pas de n) donc (u n ) n 0 est une suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u 0 = =. Remarque : j ai remarqué que u n était de la forme u 0 + nr donc j ai commencé par calculer u n+ u n car je savais alors que c était une suite arithmétique. u n = 8 n. On calcule pour tout entier naturel n : u n+ u n = 8 n+ 8 n = n n =. 6

71 u n+ u n = est une constante donc (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q = et de premier terme u 0 = 8 0 = 8. Remarque : ici, j ai remarqué que u n était de la forme u 0 q n, d où le calcul de u n+ u n. u n = n. On calcule pour tout entier naturel n : u n+ u n = n n = n n =. Par conséquent, (u n ) n 0 est géométrique de raison q = et de premier terme u 0 = 0 =. 4 u n = n. On calcule pour tout entier naturel n : u n+ n+ = u n n n+ = n = n n =. (u n ) n 0 est donc géométrique de raison q = et de premier terme u 0 = 0 =. u n =. On calcule pour tout entier naturel n : n u n+ = u n n+ n = n n =. (u n ) n 0 est donc géométrique de raison q = et de premier terme u 0 = 0 =. 6 u n = n(n + ) n(n ) = n + n n + n = n. u n est donc de la forme u 0 + nr avec u 0 = 0 et r =. (u n ) n 0 est donc arithmétique de raison r = et de premier terme u 0 = 0. 7 u n = n + n + = (n + ). On calcule pour tout entier naturel n : u n+ u n = (n + ) (n + ) = (n + n )(n + + n + ) = n +. 6

72 u n+ (n + ) = u n (n + ) Å n + ã = n + Å n + = n + + n + Å = + ã. n + Ainsi, u n+ u n et u n+ u n ne sont pas des constantes. La suite (u n ) n 0 n est donc ni arithmétique, ni géométrique. 8 u n = +. On calcule pour tout entier naturel n : n ã u n+ u n = n+ + n = n n = n Å ã = n. u n+ u n = = + n+ + n + n+ n+ + n n = + n+ n+ n + n = + n+ ( + n ). Ainsi, u n+ u n et u n+ u n ne sont pas des constantes. La suite (u n ) n 0 n est donc ni arithmétique, ni géométrique. 9 u n = n +. On calcule : u n+ u n = n+ + n = n n = n ( ) = n. u n+ u n = n+ + n +. 64

73 Ainsi, u n+ u n et u n+ ne sont pas des constantes. La suite (u n ) u n 0 n est donc ni n arithmétique, ni géométrique. 0 u n = n. On calcule pour tout entier naturel n : n u n+ n+ = n u n n+ n n+ = n n n+ = =. Ainsi, (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q = et de premier terme u 0 =. Corrigé de l exercice 6. u n+ = u n, u 0 =. On reconnaît ici une relation de récurrence de la forme u n+ = qu n donc (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q =. u n+ = u n, u 0 =. Pour tout n 0, on a : Donc (u n ) n 0 n est pas arithmétique. u n+ u n = u n u n = u n u n c te. Donc (u n ) n 0 n est pas géométrique. u n+ u n = u n c te. u n = u n, u 0 =. On reconnaît ici une relation de récurrence de la forme u n = qu n donc (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q =. 4 u n+ = u n π, u 0 = π. On reconnaît ici une relation de récurrence de la forme u n+ = u n + r donc (u n ) n 0 est une suite arithmétique de raison r = π. u n+ = (u n ) (u n + ) = u n. On reconnaît ici une relation de récurrence de la forme u n+ = u n + r donc (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison r =. 6 u n = u n = u n. On reconnaît ici une relation de récurrence de la forme u n = qu n donc (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q =. 6

74 7 u n+ = u n, u 0 =. Pour tout entier naturel n, on a : u n+ u n = u n Ä un ä = un Ä un ä c te. Donc (u n ) n 0 n est pas arithmétique. u n+ u n = Donc (u n ) n 0 n est pas géométrique. un u n = un c te. 8 u n+ = u n, u 0 =. La relation de récurrence de cette suite est la même que dans la question précédente. Cependant, le premier terme change. On a ici : u 0 =, u = =, etc. Ainsi, (u n ) est constante. On peut alors dire qu elle est arithmétique (de raison r = 0) et géométrique (de raison q = ). Corrigé de l exercice 7. u 0 = et u 8 = 7. Calculer r. On sait que : u n = u 0 + nr donc u 8 = u 0 + 8r 7 = + 8r 7 = 8r r = 4 8 r = u = et u =. Calculer r. On sait que : u n = u k + (n k)r donc u = u + ( )r = + r = r r = r = u 0 = et r =. Calculer u 9. On sait que : u n = u 0 + nr 66

75 donc u 9 = u 0 + 9r u 9 = 9 u 9 = 0 9 u 9 = 4 u = 6 et r =. Calculer u 0. On sait que : donc u n = u k + (n k)r u 0 = u + (0 )r u 0 = 6 + u 0 = u 0 = 6 u 7 = et u = 7. Calculer r. On sait que : donc u n = u k + (n k)r u 7 = u + (7 )r = 7 + r r = 7 r = 7 Corrigé de l exercice 8. u 0 = et u =. Calculer q. On sait que : donc u n = u 0 q n u = u 0 q = q q = q = ou q = 67

76 u 0 = et q =. Calculer u 9. On sait que : u n = u 0 q n donc u 9 = u 0 q 9 u 9 = 9 u 9 = 6 u = 8 et q =. Calculer u 8. On sait que : u n = u k q n k donc u 8 = u q 8 u 8 = 8 6 u 8 = 4 u 0 = et q =. Calculer u 0. On sait que : u n = u 0 q n donc u 0 = u 0 q 0 u 0 = 0 u 0 = 0 u = et q =. Calculer u 7. On sait que : u n = u k q n k donc u 7 = u q 7 u 7 = u 7 = 4 Corrigé de l exercice 9. Chaque jour, ma vue baisse de 0, 00 %. u n désigne ma note aux yeux au jour n. Alors, u n+ = 99, 999u n. (u n ) est donc une suite géométrique de raison q = 99,

77 Ma mère me donne 0 e, puis me dit : «chaque mois, je te donnerai 0 e». u n représente la somme que j ai reçu en n mois, pour n. Alors, u n+ = u n + 0. (u n ) est donc une suite arithmétique de raison r = 0. Je remplis d eau une bouteille d un litre à moitié. Chaque minute, ce qui restait la minute précédente est rempli à moitié. u n représente la proportion de la bouteille qui est remplie la n e minute, n. Alors, u n+ = u n + (u n ) n est donc ni arithmétique ni géométrique. Ä un ä = u n +. 4 Je place 000 e sur un compte qui me rapporte 0, 7 % chaque année. u n représente le solde de ce compte (si je ne prélève rien) à l année n, n 0, avec u 0 = 000. Alors, u n+ =, 07u n. (u n ) est donc une suite géométrique de raison q =, 07. Paul et Pierre sont à 0 mètres l un de l autre, Pierre étant derrière Paul. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. u n représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la n e étape, n 0, avec u 0 = 0. D une étape à l autre, si Paul avance de deux mètres, la distance qui le sépare de Pierre s agrandit de deux mètres, mais si Pierre avance d un mètre, elle se réduit d un mètre. Au final, elle s agrandit d un mètre. Mais attention! u n est une distance donc : u n+ = un +. Ici, u n + > 0 pour tout n (c est assez intuitif) donc on peut enlever les valeurs absolues. Finalement, on a : u n+ = u n +. (u n ) est donc arithmétique de raison r =. 6 Paul et Pierre sont à 0 mètres l un de l autre, Paul étant derrière Pierre. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. u n représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la n e étape, n 0, avec u 0 = 0. D une étape à l autre, si Paul avance de deux mètres, la distance qui le sépare de Pierre se réduit de deux mètres, mais si Pierre avance d un mètre, elle s agrandit d un mètre. Au final, elle se réduit d un mètre. Mais attention! u n est une distance donc : u n+ = un. On ne peut pas ici enlever les valeurs absolues car u n sera négatif au-delà d un certain rang. Par conséquent, (u n ) n est ni arithmétique ni géométrique. 69

78 Corrigé de l exercice 0. Si u 0 = et r =, calculer u 0 + u + + u 00. (u n ) est une suite arithmétique donc : donc ici : u 0 + u + + u n = u 0 + u n (n + ) + ( + 00 ) u 0 + u + + u 00 = 0 = 0 u 0 + u + + u 00 = 6 Si u 0 = et u 0 = 60, calculer u 0 + u + + u 0. u 0 + u + + u 0 = + 60 = 0 u 0 + u + + u 00 = 606, Si u = 60 et r =, calculer u + u + + u 00. u + u + + u 00 = u + u ( ) = = u + u + + u 00 = Si u = 0 et u 0 =, calculer u + u + + u 0. u + u + + u 0 = u + u u + u + + u 0 =, 0 Corrigé de l exercice. Si u 0 = et q =, calculer u 0 + u + + u 00. (u n ) est une suite géométrique donc : u 0 + u + + u n = u 0 qn+ q. 70

79 Donc ici, u 0 + u + + u 00 = 0 u 0 + u + + u 00 = 0 Si u 0 = et q =, calculer u 0 + u + + u 0. u 0 + u + + u 0 = Å = ã ã Å u 0 + u + + u 0 = 6 Si u = 60 et q =, calculer u + u + + u 00. u + u + + u 00 = u q00 q = Å = 60 ã 00 ã Å u + u + + u 00 = Si u = 0 et q = 0, calculer u + u + + u 0. u + u + + u 0 = u + u + + u = 0 Ä 0 0 ä 9 Corrigé de l exercice. Notons u n la force de Destructo (en Newton) après avoir traversé n murs, avec u 0 = 000. On a : u n+ = 0, 9u n donc (u n ) est une suite géométrique de raison q = 0, 9. Ainsi, u n = u 0 q n = 000 0, 9 n. Avant le 0 e mur, sa force sera : u 49 = 000 0, Par conséquent, Destructo n aura pas assez de force pour détruire le 0 e mur... Le méchant massono a bien calculé son coup! Corrigé de l exercice. 7

80 u = u 0 + = + = 0. u = u + = 0 + = = 7 9. u u 0 = 0 = 7 u u = = 7 9 u u 0 u u 0 = 0 7 = 0 7 = 0 7 u = 7 u 9 0 = 7 0 u u 0 = (u n ) n 0 n est pas arithmétique. = (u n ) n 0 n est pas géométrique. v n+ = u n+ 9 = u n + 9 = u n = Å u n 9 ã v n+ = v n Ainsi, (v n ) n 0 vérifie une relation de récurrence de la forme v n+ = qv n qui est significatif d une suite géométrique de raison q =. Son premier terme est : v 0 = u 0 9 = 9 = 7. 4 De la question précédente, on peut déduire que pour tout entier naturel n : v n = v 0 q n = 7 n et comme v n = u n 9, on a : soit : u n = v n + 9 u n = 7 n + 9 a. On a le tableau suivant : Condition i<n vraie : 0< vraie : < vraie : < fausse Valeurs de i 0 4 Valeurs de U + = = =

81 b. On voit qu à chaque boucle, l algorithme permet d obtenir la valeur de u i. On n entre plus dans la boucle lorsque i = N et la dernière valeur de U calculée est alors u N. Ainsi, cet algorithme permet de calculer u N pour un entier naturel N donné par l utilisateur. c. On obtient u 0 4, , u 0 4, et u 0 4,. On peut alors conjecturer que u n se rapproche de plus en plus de 4, au fur et à mesure que n prend des valeurs de plus en plus grandes. Corrigé de l exercice 4. Au jour, Léonard consomme la moitié d eau ; donc il lui reste 0 litres. Il ajoute ensuite 0 litres d eau donc e = 70. Au jour, il consomme 0 % de lait donc il lui reste 70 litres de lait ; il ajoute ensuite 0 litres de lait donc l = 80. Pour (e n ) : pour passer de e n à e n+, on doit multiplier par (ou diviser par ). On a alors à ce stade : e n+ = e n. Ensuite, on ajoute 0 litres donc finalement, e n+ = e n + 0 Pour (l n ) : pour passer de l n à l n+, on doit multiplier par 0, 7 (car enlever 0 % de la quantité signifie qu il en reste 70 %). On a alors à ce stade : l n+ = 0, 7l n. Ensuite, on ajoute 0 litres donc finalement, l n+ = 0, 7e n + 0 a. u n+ = e n+ 40 = e n = e n 0 = ( e n 0 ) = (e n 40) = u n. Ainsi, pour obtenir u n+, on doit multiplier u n par ; la suite (u n) est donc géométrique de raison. Son premier terme est : u n = e 0 40, soit u 0 = = 60. b. La suite (u n ) étant géométrique, u n = u 0 q n d après le cours. Ainsi, ici, u n = 60 0, n. Or, u n = e n 40 donc e n = u n + 40, soit e n = 60 0, n

82 4 a. v n+ = l n+ 00 = 0, 7l n = 0, 7l n 70 ( ) 70 = 0, 7 l n 0, 7 Å = 0, 7 l n 00 ã = 0, 7v n. Ainsi, pour obtenir v n+, on doit multiplier v n par 0, 7 ; la suite (v n ) est donc géométrique de raison 0, 7. Son premier terme est : v n = l 0 00, soit v 0 = = 00. b. La suite (v n ) étant géométrique, v n = v 0 q n d après le cours. Ainsi, ici, v n = 00 0, 7n. Or, v n = l n 00 donc l n = v n + 00, soit l n = 00 0, 7n e 6 = 60 0, et l 6 = 00 0, ,. e 70 = 60 0, et l 70 = 00 0, ,. On peut alors remarquer que les quantités au bout d un an sont égales à celles obtenues au bout de ans. Tout porte donc à croire qu au bout d un nombre important de jours, la quantité d eau stagne autour de 40 litres et que celle de lait stagne autour de, litres. Corrigé de l exercice. u = 7 u = = = u = 7 u + 6 = = = v n = u n 4. a. v n+ = u n+ 4 = 7 u n = 7 u n = 7 u n = Å u n 7 7 ã = Å u n 4 ã 7 v n+ = 7 v n 74

83 Ainsi, (v n ) est une suite géométrique de raison q = et de premier terme : 7 v 0 = u 0 4 = 4 =. b. On déduit que v n = v 0 q n, soit v n = Å 7 ã n. Or, v n = u n 4 donc u n = v n + 4 ; ainsi, u n = 4 Å 7 a. S est la somme des premiers termes d une suite géométrique donc : b. On a : S = = 0 Å k=0 0 k=0 v k 4 v k 0 k=0 ã 4 S = v 0 q q = Ä 7ä 7 = Ä 7ä 7 = 7 ñ Å ô 7ã S = 4 ñ car u k = v k 4 Å 7ã ô (on a découpé la somme en deux) = S 4 4 car la dernière somme signifie que l on ajoute fois la fraction = 4 ñ Å ô 7ã 46 = Å ã 46 7 = 4 Å ã S = 4 Å ã ã n. Corrigé de l exercice 6. On a le tableau suivant : Condition i<n vraie : 0<4 vraie : <4 vraie : <4 vraie : <4 fausse Valeurs de i 0 4 Valeurs de U + = = 4 6 = = Cet algorithme affiche alors la dernière valeur de U calculée, à savoir 8 9, qui est u 4. 7

84 v n+ = u n+ u n+ + = = u n+ u n+ + 6 (u n+) (u n+) +u n+ u n+ = 6u n + 4 (u n + ) u n + u n + = 6u n + 4 9u n + 9 ä = 6 Ä u n 9(u n + ) = 6 9 v n v n+ = v n Ainsi, (v n ) est une suite géométrique de raison q = et de premier terme : v 0 = u 0 u 0 + = + = 4 v 0 = 4 9 De la question précédente, on déduit : De plus, v n = 4 9 Å ã n. v n = u n u n + v n (u n + ) = u n v n u n u n = v n u n (v n ) = v n u n = v n v n u n = 4 Ä ä n 9 4 Ä ä n 9 76

85 Corrigé de l exercice 7. v n+ = u n+ 0, = 4u n = 4u n 4u n 4u n un 4u n = u n 4u n = 4u n u n 4u n = (u n 0, ) = u n u n 0, v n+ v n = u n u n 0, u n 0, = u n u n 0, = (u n 0, ) u n 0, =. v n+ v n étant égal à une constante, (v n ) est arithmétique de raison r = et de premier terme v 0 = u 0 0, = 0, = = 0, 4. (v n ) étant arithmétique, v n = v 0 + nr, soit v n = 0, 4 + n. Or, v n = Ainsi, u n = u n 0, donc v n = u n 0,, soit u n = v n + 0,. 0, 4 + n + 0, Lorsque n augmente de plus en plus, n + 0, 4 augmente aussi de plus en plus, donc son inverse se rapproche de plus en plus de 0. Finalement, u n se rapproche alors de 0,. Corrigé de l exercice 8. (u n ) n 0 est une suite arithmétique donc, pour tout entier naturel n, u n = u k + (n k)r. Ainsi, u 0 = u + (0 )r, soit = 8 + (0 )r. On obtient alors r = 8 0 = 8. 77

86 On peut alors écrire : u n = u + (n )r u n = 8 (n ) 8 = 8 8 n + 4 u n = n (u n ) n 0 est une suite arithmétique donc, pour tout entier naturel n, u n = u k + (n k)r. Ainsi, u 8 = u 0 + 8r, soit 0 = 6 + 8r. On obtient alors r = =. 8 On peut alors écrire : u n = u 0 + nr u n = 9 + n (u n ) n 0 est géométrique donc u n = u 0 q n, soit u = u 0 q 8. Ainsi, 0 = 90 q, soit q = 9. Par conséquent, q = ou q =. Il existe donc deux suites géométriques, chacune de premier terme u 0 = 90, l une de raison et l autre de raison. 4 On constate que u n = u n + 4, donc (u n ) n est une suite arithmétique de raison r = 4. Ainsi, la somme des 0 premiers termes est : u + u + + u 0 = (nombre de termes dans la somme) er terme + dernier terme = 0 + (u + (0 ) 4) = 0 = 0 78 = ( + 9 4) Le nombre total d allumettes qu il faut pour faire 0 étages correspond à la somme des 0 premiers termes de la suite (u n ) n, donc il faut 780 allumettes. a. u n+ = u n Å u n = ã u n = 8 u n donc u n+ est de la forme qu n donc c est le terme général de la suite géométrique de raison q = 8 et de premier terme u 0 =. b. u n+ = 0 u n donc u n+ est de la forme qu n avec q =. Il définit donc une suite 0 géométrique de raison q = 0 et de premier terme u 0 =. 78

87 c. u n = + 4(n ) = + 4n 4 = + 4n donc u n est de la forme u 0 + nr avec u 0 = et r = 4. C est donc le terme général d une suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u 0 =. d. u n+ = u n + donc c est de la forme u n+ = u n + r. u n est donc le terme général d une suite arithmétique de raison r = et de premier terme u 0 =. e. u n+ = u n n est pas de la forme u n + r ou qu n donc u n n est pas un terme général d une suite arithmétique ou géométrique. 6 Appelons r n le rayon du disque ajouté à l étape n et a n l aire du disque de rayon r n. Alors, r n+ = r n. Donc (r n ) est une suite géométrique de raison q =. L aire du disque ajouté à l étape n est a n = π r n = π n. a n+ a n = π r n+ π r n = r n+ r n = q donc (a n ) est aussi une suite géométrique de raison q. L aire totale des disques (en cm ) à l étape 0 est donc : de termes a + a + + a 0 = ( er qnombre terme) q = π 0 Å = 0π ã Å 0 = 0π ã 04 = 0π 0 04 = 7π 7. L aire totale est donc environ égale à 7 cm. Corrigé de l exercice 9. t n+ = u n+ + v n+ = (0, u n + 0, 6v n ) + (0, 8u n + 0, 4v n ) t n+ = t n = (0, + 0, 8)u n + (0, 6 + 0, 4)v n = u n + v n Ainsi, (t n ) est une suite constante et t n = t 0 = u 0 + v 0. Par conséquent, t n = 79

88 w n+ = v n+ 4u n+ = (0, 8u n + 0, 4v n ) 4(0, u n + 0, 6v n ) =, 4u n +, v n 0, 8u n, 4v n = (, 4 0, 8)u n + (,, 4)v n =, 6u n, v n = 0, 4( 4u n + v n ) ( ) = 0, 4w n. (*) Pour trouver 0, 4, j ai regardé les coefficients que je voulais faire apparaître devant u n et v n. Par exemple, dans l expression w n = v n 4u n, il me faut devant v n. Or, j avais, dans l expression w n+ =, 6u n, v n. J ai donc fait, = 0, 4. Je sais donc ici qu il faut que je factorise mon expression w n+ =, 6u n, v n par 0, 4. Ainsi, (w n ) est une suite géométrique de raison q = 0, 4 et de premier terme w 0 = v 0 4u 0 = 4. On en déduit alors que w n = w 0 q n donc w n = 4 ( 0, 4) n. D après ce qui précède, on peut écrire : tn = u n + v n w n = 4u n + v n = u n + v n 4 ( 0, 4) n = 4u n + v n En multipliant la première ligne par 4, on a : 4 = 4u n + 4v n 4 ( 0, 4) n = 4u n + v n En ajoutant alors les deux lignes, on obtient : 4 4 ( 0, 4) n = 4u n + 4v n 4u n + v n soit : 4 4 ( 0, 4) n = 7v n. En divisant par 7, on arrive alors à : v n = 4 4 ( 0, 4)n 7 et donc, comme u n + v n =, 4 4 ( 0, 4)n u n = v n = 7 = ( 0, 4)n 7 7 = 7 [4 4 ( 0, 4)n ] ( 0, 4)n = ( 0, 4)n u n = 7 80

89 Corrigé de l exercice 0. a. Calculons : w n+ = au n+ + bv n+ = a(0, u n + 0, v n ) + b(0, 4u n + 0, 6v n ) = (0, a + 0, 4b)u n + (0, a + 0, 6b)v n. (w n ) est une suite géométrique de raison q donc w n+ = qw n ; par conséquent, (0, a + 0, 4b)u n + (0, a + 0, 6b)v n = qau n + qbv n, et donc : 0, a + 0, 4b = aq 0, a + 0, 6b = bq b. Du système précédent, on déduit : 0, 4b = qa 0, a 0, a = qb 0, 6b soit q 0, b = 0, 4 a q 0, 6 a = 0, b c. En remplaçant a par b = q 0, 0, 4 q 0, 6 b dans la première équation, on a : 0, q 0, 6 q 0, q 0, 6 b = (b 0) 0, 0, 4 0, 0, 4 0, = (q 0, )(q 0, 6) 0, 7 = q 0, 6q 0, q + 0, 7 q, q + 0, = 0 d. Le discriminant du polynôme q, q + 0, est : = (, ) 4 0, = 0, 64 donc il admet deux racines : q =, 0, 64 = 0, et q =, + 0, 64 Pour q =, le système de la question a. devient : =. 0, a + 0, 4b = a 0, a + 0, 6b = b soit 0, 4a + 0, 4b = 0 0, a 0, b = 0 On en déduit alors que a = b. Pour q = 0,, le système de la question a. devient : 0, a + 0, 4b = 0, a 0, a + 0, 6b = 0, b soit 0, a + 0, 4b = 0 0, a + 0, 4b = 0 On en déduit alors que a = 0, 4 0, b = 9 7 b. 8

90 a. Pour c n, a = b = donc nous sommes dans le cas où q = : (c n ) est donc une suite constante. Pour g n, a = 9 et b = 7, soit a = 9 b donc nous sommes dans le cas où q = 0,. 7 b. On en déduit que c n = c 0 = u 0 + v 0 = (car c est une suite constante) et g n = g 0 q n = (9u 0 7v 0 ) 0, n, soit g n = 9 (0, ) n. c. On a : cn = u n + v n g n = 9u n 7v n soit En multipliant par 7 la première équation, on a : 7 = 7un + 7v n 9(0, ) n = 9u n 7v n = un + v n 9(0, ) n = 9u n 7v n En ajoutant les deux équations membre à membre, on a : 7 + 9(0, ) n = 6u n soit u n = 7 + 9(0, )n 6 De l équation initiale u n + v n =, on déduit alors : v n = u n = 7 + 9(0, )n 6 soit v n = 9 9(0, )n 6 8

91 Dérivation Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Nombre dérivé & équation de tangentes A (Source : 04-derivation-0) Corrigé page 89 Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f (a) puis trouver l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. f(x) = x, a = f(x) = x, a = f(x) = x x +, a = 4 f(x) = x, a = 4 Exercice. Lecture graphique de nombres dérivés A (Source : 04-derivation-04) Corrigé page 9 Pour chacune des questions suivantes, on a la représentation graphique d une fonction f (en rouge) et la tangente à cette représentation au point d abscisse a. Déterminer graphiquement f (a), puis écrire l équation réduite de la tangente tracée. a =. #» j O #» ı a = 0. #» j O #» ı 8

92 a =. #» j O #» ı 4 a =. #» j O #» ı Exercice. Détermination d une fonction par lecture graphique R (Source : 04-derivation-0) Corrigé page 9 A B C f T La courbe ci-dessus représente la fonction f dont l expression est de la forme : f(x) = ax + bx + c. Lire graphiquement les valeurs : f(0) ; f() ; f () ; f(4) ; f (4) Déterminer les valeurs de a, b et c à l aide des valeurs trouvées précédemment. Calculer l abscisse des points A et B. 84

93 Exercice 4. Détermination d une fonction par lecture graphique R (Source : 04-derivation-06) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : où a, b, c et d sont quatre nombres réels. On sait que : le point A ( ; ) appartient à C f ; f(x) = ax + bx + cx + d, la tangente à C f au point A a pour équation : y = x + ; C f coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée ; f (0) = Déterminer les valeurs de a, b, c et d à l aide de ces informations. Exercice. Dérivées de référence A (Source : 04-derivation-0) Corrigé page 9 Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée. f(x) = x f(x) = x + x 4 f(x) = x + x f(x) = x x f(x) = x x + x 6 f(x) = x + x x Exercice 6. Dérivées de fonctions produits et quotient A (Source : 04-derivation-0) Corrigé page 94 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa dérivée. f(x) = x x f(x) = x 4x + x x f(x) = x + 4 f(x) = x x + x f(x) = x x + x Exercice 7. Variations de fonctions produits A (Source : 04-derivation-07) Corrigé page 96 Pour chacune des fonctions suivantes, Trouver son domaine de définition ; Trouver sa dérivée ; Trouver son sens de variation sur son domaine de définition ; Donner le signe de la fonction sur son domaine de définition. 8

94 f(x) = (x + ) Å x g(x) = + xã x Exercice 8. Sens de variation de fonctions quotients A (Source : 04-derivation-08) Corrigé page 98 Pour chacune des fonctions suivantes, Donner son domaine de définition ; Trouver sa dérivée ; En déduire ses variations sur son domaine de définition. f(x) = x 4 x g(x) = x x x h(x) = x + x + x x + Exercice 9. Étude complète de la fonction x x x x + R (Source : 04-derivation-) Corrigé page 00 On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x) = x x x +. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ). Montrer que la dérivée de la fonction f est donnée par : f (x) = x( x ) (x + ). Étudier le signe de f (x) sur ]0 ; + [, puis en déduire les variations de f sur [0 ; + [. Déterminer l équation réduite de la tangente à C au point d abscisse. Exercice 0. Optimisation d une aire dans un triangle rectangle R (Source : 04-derivation-09) Corrigé page 0 On considère la figure suivante (M est un point de [BC]) : C 8 x M Trouver la valeur de x pour laquelle l aire du rectangle hachuré est optimale. A 6 B 86

95 Exercice. Optimisation du volume d une boîte R (Source : 04-derivation-0) Corrigé page 0 On souhaite construire une boîte parallélépipédique à partir d un carton carré de 4 mètres de côté, comme l illustre le schéma suivant : 4 m x x 4 m La partie hachurée correspond à la partie du carton qui va être pliée (aux pointillés) pour obtenir la boîte. Montrer que le volume de la boîte est égal à f(x) = x( x). Étudier les variations de f, puis en déduire la valeur de x (arrondie au centimètre près) pour laquelle le volume de la boîte est optimal. Exercice. Optimisation d une aire dans une parabole R (Source : 04-derivation-) Corrigé page 0 On considère la parabole d équation y = x sur laquelle se trouvent deux points : A( ; 4) et B( ; ). Soit M un point de cette parabole d abscisse a, a. On cherche à optimiser l aire du triangle ABM. A M #» j O #» ı B Calculer AB. Déterminer une équation de la droite (AB). Soit H le pied de la hauteur du triangle ABM issue du sommet M. Déterminer une équation de la droite (MH) en fonction de a. 87

96 4 Déduire des questions et les coordonnées de H en fonction de a. Justifier qu optimiser l aire du triangle ABM revient à optimiser MH, et donc à optimiser la fonction f définie par f(a) = a a +. 6 En déduire alors l abscisse du point M telle que l aire du triangle ABM soit optimale. Exercice. Optimisation du volume d un cône R (Source : 04-derivation-) Corrigé page 04 On considère la figure suivante : S SO = 0 cm. OB = cm. M est un point mobile sur [SB] tel que MB = x cm. On cherche à déterminer la valeur de x pour laquelle le volume du cône de sommet O est optimal. Pour cela, répondre aux questions suivantes : Calculer SB. Déterminer en fonction de x le rayon de la base ainsi que la hauteur OO du cône de sommet O. O M En notant f(x) le volume du cône de sommet O, montrer que f(x) = 0π xä 09 x ä. 4 Conclure. A O B 88

97 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. f(x) = x, a =. Calcul de f (). Le taux d accroissement de f en est : f(a + h) f(a) h = ( + h) h ( + h )( + h + ) = h h(4 + h) = h = 4 + h. Ainsi, le nombre dérivé de f en est : f () = lim h 0 (4 + h) = 4. L équation de la tangente au point d abscisse est alors : y = f (a)(x a) + f(a) y = f ()(x ) + f() y = 4(x ) + 4 y = 4x y = 4x 4 f(x) = x, a =. Calcul de f (). Le taux d accroissement de f en est : 89

98 f(a + h) f(a) h = = = +h h +h +h +h h +h h h h = h( + h) = + h. Ainsi, le nombre dérivé de f en est : Å f () = lim ã =. h 0 + h L équation de la tangente au point d abscisse est alors : f(x) = x x +, a =. y = f (a)(x a) + f(a) y = f ()(x ) + f() y = (x ) + y = x + + y = x + Calcul de f ( ). Le taux d accroissement de f en est : f( + h) f( ) h Ainsi, le nombre dérivé de f en est : = ( + h) ( + h) + Ä ( ) ( ) + ä h = h h + + h + 6 h = h 4h h h(h 4) = h = h 4. f ( ) = lim h 0 (h 4) = 4. L équation de la tangente au point d abscisse est alors : y = f (a)(x a) + f(a) y = f ( )(x + ) + f( ) y = 4(x + ) + 6 y = 4x y = 4x + 90

99 4 f(x) = x, a =. Calcul de f (). Le taux d accroissement de f en 4 est : f(4 + h) f(4) h = 4 + h 4 Ä h ää ä 4 + h 4 + h + = h h 4h = h Ä 4 + h + ä = 4 + h 4 h Ä 4 + h + ä = = h h Ä 4 + h + ä. 4 + h + Ainsi, le nombre dérivé de f en 4 est : Ç å f (4) = lim = h h + 4. L équation de la tangente au point d abscisse 4 est alors : y = f (a)(x a) + f(a) y = f (4)(x 4) + f(4) y = (x 4) + 4 y = 4 x + y = 4 x + Corrigé de l exercice. Dans cet exercice, il faut avoir en tête que le nombre dérivé d une fonction en un point a est le coefficient directeur de la courbe représentative de f au point d abscisse a. Il faut donc, pour chaque question, regarder la tangente à la courbe tracée en rouge au point d abscisse a donné. Ici, la tangente a pour coefficient directeur. Donc f () =. Ainsi, la tangente tracée a pour équation réduite : y = x (N oublions pas que dans l équation d une droite y = mx + p, p désigne l ordonnée du point d intersection de la droite avec l axe des ordonnées). 9

100 Ici, le coefficient directeur de la tangente tracée est. En effet, les points A(0 ; ) et B( ; 0) sont sur la tangente donc : m = y B y A x B x A = 0 0 =. Ainsi, f (0) =. L équation réduite de la tangente sera alors : y = x + Ici, le coefficient directeur de la tangente est, donc f () =. L équation réduite de la tangente sera alors : y = x 4 Ici, la tangente est horizontale donc son coefficient directeur est égal à 0. L équation de la tangente est alors : y = Corrigé de l exercice. f(0) = ; f() = ; f () = 0 car la fonction atteint un maximum pour x = ; f(4) = ; f (4) = (c est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse 4). f(0) = a 0 + b 0 + c = c ; donc c = d après la question précédente ( er point). f (x) = ax + b et f () = 4a + b ; donc 4a + b = 0, soit b = 4a. f() = donc 4a + b =, soit b + b = d après le point précédent. Ainsi, b =. f (4) = 8a + b = donc 8a = 4, soit b =. Finalement, on a : f(x) = x + x. L abscisse des points A et B sont les solutions de l équation f(x) = 0. Ainsi, = 4 Å ã ( ) = 4 =. 9

101 x B = b a x B = x B = + x A = b + a x A = + x A = Corrigé de l exercice 4. A ( ; ) C f donc f() =, soit : a + b + c + d = (IV.) la tangente à C f au point A a pour équation : y = x + donc f () =, soit : a + b + c = (IV.) C f coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée donc f(0) =, d où : d =. f (0) = et f (x) = ax + bx + c donc : c =. Les équations IV. et IV. donnent alors le système suivant : a + b = ( ) = a + b = ( ) = soit : a = b ( b) + b = La seconde équation donne alors : 6 b = soit : b =. La première équation donne alors : a = =. On obtient finalement : f(x) = x + x x +. Corrigé de l exercice. f(x) = x donc f (x) =. f(x) = x + x donc f (x) = 0x +. 9

102 f(x) = x x + x donc f (x) = x 0x +. 4 f(x) = x + x donc f (x) = x + x. f(x) = x x donc f (x) = x + x. 6 f(x) = x + x x donc f (x) = x + 6 x. Corrigé de l exercice 6. f(x) = x x. On pose : u(x) = x u (x) = v(x) = x v (x) = x On a alors : f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = x + x x = x + x x = x + x x x = x + x f (x) = x f(x) = x. On pose : 4x + u(x) = x u (x) = v(x) = 4x + v (x) = 4 On a alors : f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó f (x) = (4x + ) 4(x ) = (4x + ) x + x + 4 = (4x + ) 9 (4x + ) 94

103 x x f(x) =. On pose : x + u(x) = x x u (x) = x v(x) = x + v (x) = x On a alors : f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó = = = = = Ç å x (x + ) ( x x) x Ä x + ä x + x x x x + x Ä x + ä x + x + x x x Ä x + ä x + x + x x x 4x x x x Ä x + ä x x x x + x Ä x + ä f (x) = x x x x + x Ä x + ä 4 f(x) = x x +. On pose : x u(x) = x x + u (x) = x v(x) = x v (x) = On a donc : f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó = (x )(x ) (x x + ) (x ) = x 6x x + 9 x + x (x ) f (x) = x 6x + 8 (x ) 9

104 x f(x) = x +. x On commence par simplifier l écriture de f(x) : On pose alors : x f(x) = x + x = x x x +. u(x) = x x u (x) = x + x x = x + x x x v(x) = x + v (x) = x = x + x = x D où : f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó = = = f (x) = x(x + ) x x x (x + ) x x + x x x (x + ) x x x (x + ) x Ä x ä (x + ) Corrigé de l exercice 7. f(x) = (x + ) x. Le domaine de définition de f est : D f = [0 ; + [. f est de la forme uv avec : u(x) = x + u (x) = v(x) = x v (x) = x 96

105 Donc : f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = x + (x + ) x = x + x + x = x x = x 6x + x + x f (x) = 9x + x + x + x f (x) > 0 9x + > 0 car x > 0 pour tout x ]0 ; + [. Ainsi, f (x) > 0 x >, d où le tableau suivant : 9 x f (x) f(x) g(x) = D après le tableau de variation de f, on peut dire que f(x) 0 sur [0 ; + [. Å + xã x. Le domaine de définition de g est D g = ]0 ; + [. g est de la forme uv avec : u(x) = + x u (x) = x v(x) = x v (x) = x 97

106 Donc : g (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = Å x + + ã x x x x = x + x + x x = x x x x + x + x x = x x + x + x x g (x) = x x g (x) > 0 x > 0 x > car x x > 0 sur D g. On a alors le tableau suivant : x g (x) g(x) D après le tableau de variation de g, on peut dire que g(x) sur ]0 ; + [, donc g(x) > 0 sur ]0 ; + [. Corrigé de l exercice 8. f(x) = x 4 x. D f = R \ ß. f est de la forme u v avec : u(x) = x 4 u (x) = v(x) = x v (x) = Ainsi, f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó f (x) = (x ) (x 4) = (x ) x 6 x + 0 = (x ) 4 (x ) 98

107 f (x) > 0 pour tout réel x D f donc : x f (x) f(x) g(x) = x x x. Une racine évidente de x x est x =. De plus, x x = c a donc x =, soit x =. Ainsi, D g = R \ { ; }. f est de la forme u v avec : u(x) = x u (x) = v(x) = x x v (x) = x Ainsi, g (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó = (x x ) (x )(x ) (x x ) = x x 0 0x + x + 6x + (x x ) g (x) = x + 6x 7 (x x ) g (x) est du signe de x + 6x 7, dont le discriminant est : D où le tableau suivant : = 6 40 = 04 < 0. x g (x) g(x) + h(x) = x + x + x x +. x x + possède α = comme racine évidente, donc la seconde racine est β =. Ainsi, D h = R \ { ; }. f est de la forme u v avec : 99

108 u(x) = x + x + u (x) = x + v(x) = x x + v (x) = x D où : h (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) î v(x) ó = (x + )(x x + ) (x + x + )(x ) (x x + ) = x 6x + 4x + x x + (x x + x x + x ) (x x + ) = x x + x + x + x + x + (x x + ) h (x) = 4x + x + (x x + ) h (x) est du signe de 4x + x +, dont le discriminant est : Ses deux racines sont donc : et x = x = 84 8 On a alors le tableau suivant : = = 84. = + 8 = 8 = 4 = + 4 0, 9 < α, 4 ]α ; β[ = ] ; [. x h (x) h(x) x α = x β = Corrigé de l exercice 9. f est de la forme u v avec u(x) = x x et v(x) = x +. u est une fonction produit gh avec g(x) = x et h(x) = x, donc u = g h + h g. Ainsi, u (x) = x + x x = x + x x = x x + = x 00

109 On a alors : f (x) = u v uv (x) = v x(x + ) x x x) (x + ) = x(x + ) 4x x (x + ) x( x f ) (x) = (x + ) (x + ) > 0 et x 0 sur [0 ; + [. Par conséquent, f (x) est du signe de x, polynôme de degré admettant pour racines et et dont le coefficient de x est négatif, d où le tableau suivant : x f (x) f(x) L équation réduite d une tangente est donnée par la formule y = f (a)(x a) + f(a), avec ici a =. f(a) = et f (a) = donc l équation réduite de la tangente à C au point d abscisse 4 est : y = 4 (x ) + soit y = 4 x + 4 Corrigé de l exercice 0. x désigne a priori la longueur du rectangle hachuré. On voit alors que x [0 ; 6]. Notons h la largeur du rectangle ; d après le théorème de Thalès, donc h = 8(6 x) 6 L aire du rectangle hachuré est alors : 6 x 6 = = h 8 4 4x a(x) = 4 x + 8x = x = 8 4 x. Å8 4 x ã. a est donc un polynôme de degré dont la courbe représentative est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (car le coefficient de x est négatif). 8 Par conséquent, le maximum de a est atteint pour x = Ä 4 ä =. L aire du rectangle hachuré est donc optimale pour x =. 0

110 Corrigé de l exercice. Notons y la largeur d une face de la boîte : y 4 m 4 x x x 4 m Alors, soit : y + x + y + x = 4, y = x. Le volume de la boîte est alors : f(x) = x (4 x) y f(x) = x( x) f(x) = x(4 4x + x ) = x 8x + 8x. Ainsi, f (x) = 6x 6x + 8, dont le discriminant est = = 64. f (x) admet donc deux racines : α = 6 64 = 8 = et β = =. On a alors : x f (x) f Notons que x ne peut pas dépasser la valeur car il faut que 4 x 0, soit x 4, d où x. Le maximum de f est atteint en x = (exprimé en mètre). Le volume de la boîte est optimal pour x = 67 cm. 0

111 Corrigé de l exercice. AB =» (x B x A ) + (y B y A ) =» ( + ) + ( 4) = = 9 = Le coefficient directeur de (AB) est : y B y A = x B x A (AB) est : y = x + p. B (AB) donc y B = x A + p, soit = + p. Donc p =. Ainsi, (AB) : y = x +. =. Ainsi, l équation réduite de (MH) : y = mx + p est perpendiculaire à (AB) donc le produit de m et du coefficient directeur de (AB) doit être égal à, soit m =. Ainsi, (MH) : y = x + p, avec y M = x M + p, soit p = y M x M = a a. Ainsi, (MH) : y = x + a a. 4 H est le point d intersection de (AB) et (MH) donc y H = x H + (car H (AB)) et y H = x H + a a (car H (MH)). Donc x H + = x H + a a, soit x H = a + a ou encore x H = (a a). On en déduit alors que y H = x H + = (a a) + = + (a a). AB MH L aire de ABM est égale à. AB étant constante, optimiser l aire de ABM revient à optimiser MH, et donc MH. MH = (x H x M ) + (y M y H ) ï = (a a) aò + ï + ò (a a) a = ï ï (a + a)ò + ò (a a) + a ï = ò (a + a) Donc optimiser MH revient à optimiser f(a) = (a + a), soit en développant : f(a) = a a +. 6 f est un polynôme du second degré, où le coefficient du terme de degré est négatif ; donc f admet un maximum pour a = Ä ä =. Ainsi, l aire de ABM est optimale lorsque l abscisse de M est. 0

112 Corrigé de l exercice. Dans le triangle BOS rectangle en O, d après le théorème de Pythagore, SB = SO + OB, donc : SB = 09 (O M) // (OB) donc le théorème de Thalès nous permet d écrire : soit : SO 0 = On peut donc dire d une part que : O M = Ä 09 x ä 09 SO SO = SM SB = O M OB, 09 x 09 = O M, (rayon de la base du cône) et d autre part : SO = 0Ä 09 x ä 09 donc la hauteur du cône est : h(x) = 0 0Ä 09 x ä 09 = x 09 h(x) = 0 09 x Le volume d un cône est donné par la formule : V = πr h donc : f(x) = π Ñ Ä 09 x ä 09 é 0 09 x f(x) = 0π xä 09 x ä 4 Optimiser f(x) équivaut à optimiser la fonction g définie par : g(x) = x Ä 09 x ä = = x(09 09x + x ) = x 09x + 09x. 04

113 On a : g (x) = x 4 09x Le discriminant de g (x) est : Donc ses racines sont : et On a alors le tableau suivant : = Ä 4 09 ä 4 09 = 46 = Ä 09 ä. α = β = = 09 = 09. x g (x) g(x) 0 α Ainsi, le volume est optimal lorsque M est au tiers de [SB] en partant de B. 0

114 Trigonométrie Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Mesure principale A (Source : 0-trigo-0) Corrigé page 09 Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants. 7π 8π 9π 4 0π π π π π 9 π π 0 Exercice. Calculs de mesures principales d angles A (Source : 0-trigo-07) Corrigé page 0 Soit un triangle ABC tel que Ä #» AB, #» AC ä = π 6 et Ä #» BA, #» BC ä = π. Déterminer une mesure principale de chacun des angles orientés suivants : a. Ä #» CA, #» CB ä. b. Ä #» BA, #» AC ä. c. Ä #» BC, #» CA ä. Dans la figure suivante, ABCD est un carré, AEB et BFC sont équilatéraux. D // E // // // A // // C B // // F Calculer une mesure des angles : Ä #» ED, EB #» ä Ä #» EB, EF #» ä Ä #» ED, EF #» ä Que conclure que D, E et F? Exercice. Lecture d angles sur le cercle trigonométrique A (Source : 0-trigo-0) Corrigé page Attribuer à chaque point sur le cercle trigonométrique ci-dessous la mesure principale de l angle qui lui est associé. 06

115 F C G A D E B Exercice 4. Résolution d équations trigonométriques A (Source : 0-trigo-0) Corrigé page Résoudre, dans R puis sur ] π ; π], les équations suivantes : cos x = sin x = cos(x) = Å 4 sin x + π ã = Å cos x π ã = 6 Exercice. Transformation d une équation R (Source : 0-trigo-04) Corrigé page Soient a et b deux réels positifs. On considère alors l équation : a cos x = b sin x (E) Montrer que les solutions de (E) sont aussi solutions de l équation : cos x = b a + b (E ) On prend a = et b =. Résoudre (E ). Résoudre alors (E) sur ] π ; π]. Exercice 6. Équations avec changement de variable A (Source : 0-trigo-0) Corrigé page Résoudre dans R les équations suivantes : cos x + cos x = 0 sin x Ä 4 + ä sin x + = 0 07

116 4 cos x + Ä ä cos x = 0 4 sin x cos x + = 0 cos (x) + sin (x) 4 = 0 Exercice 7. À la découverte d un sinus et d un cosinus inconnu R (Source : 0-trigo-06) Corrigé page 6 Résoudre dans R l équation : 6X 0X + = 0. Dans un manuel de trigonométrie avancée, on peut lire la formule suivante : sin(x) = 6 sin x 0 sin x + sin x. En prenant x = π, que donne cette formule? En déduire la valeur de sin π. 4 En déduire la valeur de cos π. a. Montrer que 4 cos π cos π = 0. b. En déduire une écriture plus simple de cos π. 08

117 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. Méthode Dans ce genre d exercice, où il est question de trouver la mesure principale de kπ n à mon avis important de respecter l algorithme suivant :, il est D abord, on «met de côté» le signe quand il y en a un et on ne s occupe que de la fraction avec π ; On calcule k n. Si on trouve un nombre compris entre et, alors on a déjà la mesure principale ; Sinon, on prend l entier PAIR le plus proche du résultat (notons-le p et on écrit k sous la forme k = p n ± r. 7π 8π 9π = (6 )π = ( + )π = ( )π = 6π π donc la mesure principale est π. = 6π π = π π ; la mesure principale est donc π. = 0π π = π π ; la mesure principale est donc π. 4 0π. On commence par calculer 0 6, 8, ce qui est plus proche de 6 6 que de 4 (il nous faut un nombre pair). On écrit alors : 0π 6 (6 6 )π = π ,4 donc on écrit : 9 999π π 9 = ( )π 7 = ( )π 9 = 6π + π 6 ; la mesure principale est donc π 6. = 48π + π 7. Ainsi, la mesure principale est π 7. = 8π 6π 9 = 8π π. La mesure principale est donc π. 09

118 7 89π π 9 π π 0 7π. = (0 9 )π 9 = (8 + )π = (0 + )π = 0π π 9 donc la mesure principale est π 9. = 8π π donc la mesure principale est π. = 0π + π donc la mesure principale est π. ( )π = = 00π 7π donc la mesure principale est Corrigé de l exercice. 0π a.. 7 On calcule : , 8 88 donc 0 = 88 7 d où : 0π 7 = (88 7 )π 7 = 88π π 7 b. 0π 7 = π 7 69π. 9 On a : , 88, donc on écrit : 69 = et donc : 69π 9 = ( )π 9 c. 69π 9 = 88π + π 9 = π 9 00π. 4 On a : 00 4 = 00, = donc : Ä #» ED, EB #» ä = Ä #» ED, EA #» ä + Ä #» EA, EB #» ä Å ã Ä #» ED, #» EB ä = π 4 = π π 6 } {{ } DAE isocèle en A = π + 4π = 9π + π 00π = 00π + π π = π 4 4 0

119 Ä #» EB, EF #» ä = Å π π 6 π ã Ä #» EB, #» EF ä = π 4 Ä #» ED, EF #» ä = Ä #» ED, EB #» ä + Ä #» EB, EF #» ä = π 4 + π Ä 4 #» ED, EF #» ä = π On en conclut que D, E et F sont alignés. (EBF isocèle en B) Corrigé de l exercice. A : π 6 C : π E : π 6 F : π 4 B : π D : π 6 G : π 4 Corrigé de l exercice 4. cos x = cos x = cos π x = π + kπ ou x = π + kπ, k Z Ainsi, ß π sur R, S = + kπ ; π + kπ, k Z ß sur ] π ; π], S = π ; π sin x = sin x = sin π 6 Ainsi, sur R, S = x = π 6 + kπ ou x = π π 6 + kπ = π 6 + kπ, sur ] π ; π], S = ß π 6 + kπ ; π 6 + kπ, k Z ß π 6 ; π 6 k Z cos(x) = Ainsi, cos(x) = cos π 4 x = π 4 + kπ ou x = π 4 + kπ x = π 8 + kπ ou x = π 8 + kπ

120 ß π sur R, S = 8 + kπ ; π 8 + kπ, k Z sur ] π ; π], S = Å 4 sin x + π ã = Ainsi, sur R, S = sur ] π ; π], S = ß π 8 ; π 8 ; π 8 ; π 8 Åx sin + π ã = sin π 4 x + π = π 4 + kπ ou x + π 4 = π π 4 + kπ, k Z x = π 4 π + kπ ou x = π 4 π + kπ, k Z x = π x = π 6 + kπ π 6 + kπ ; + kπ ou x = π + kπ, k Z ou x = π 6 + kπ, k Z π 6 + kπ, k Z ß π 6 ; π 6 ; π 6 ; π 6 ; 9π 6 ; 9π 6 Remarque : pour obtenir ces 6 valeurs, nous avons pris k = 0, k = et k = pour chaque expression dépendant de k. Å cos x π ã = Å 6 cos x π ã = π 6 Ainsi, sur R, S = x π 6 = π + kπ ou x π 6 = π + kπ, k Z x = π + π 6 + kπ ou x = π + π 6 + kπ, k Z x = π 6 + kπ ou x = π 6 + kπ, k Z x = π 6 + kπ π 6 + kπ ou x = π 0 + kπ, k Z ; π 0 + kπ, k Z sur ] π ; π], ß π S = 6 ; 7π 0 ; 9π 0 ; 7π 0 ; 9π 0 ; π 0 ; π 0 ; 7π 0 ; π ; 9π 0

121 Corrigé de l exercice. a cos x = b sin x = Ä a cos x ä = ( b sin x ) = a cos x = b sin x = a cos x = b( cos x) = a cos x = b b cos x = a cos x + b cos x = b = (a + b) cos x = b = cos x = b a + b car a + b 0 Ainsi, les solutions de l équation a cos x = b sin x sont aussi les solutions de l équation cos x = b a + b. a = et b =. Alors, cos x = 4 (E ) cos x = 4 cos x 4 = 0 Å cos x ã Å cos x + ã = 0 cos x = ou cos x = cos x = cos π ou cos x = cos π á à π x = + kπ x = π + kπ ou ou ou x = π + kπ x = π, k Z D après la question, parmi les solutions de (E ) se trouvent les solutions de : cos x = sin x (E) ò On voit alors que cos x et sin x doivent avoir le même signe, donc x π ; π ò ï 0 ; π ò. ò Les seules solutions de (E ) appartenant à π ; π ò ï 0 ; π ò sont π et π donc l ensemble solution de (E) sur ] π ; π] est : ß S = π ; π Corrigé de l exercice 6.

122 cos x + cos x = 0. On pose X = cos x. Le polyôme X + X a pour discriminant : Ses deux racines sont donc : X = 4 = 4 ( ) = 9. = et X = + 4 =. Les solutions x et x de l équation cos x + cos x = 0 vérifient donc : On a alors : cos x = et cos x =. x = π + kπ et x = π + kπ ou x = π + kπ, k Z. L ensemble solution de l équation cos x + cos x = 0 est donc : S = ß π + kπ ; π + kπ ; π + kπ, k Z sin x Ä 4 + ä sin x + = 0. On pose X = sin x. Une racine évidente du polynôme X Ä 4 + ä X + est : X = donc l autre racine est telle que X X = c a =, donc X =. Ainsi, sin x = et sin x = x n existe pas car un sinus ne peut pas être égal à.. sin x = sin π 4 x = π 4 + kπ ou x = π π 4 + kπ, k Z x = π 4 + kπ ou x = π 4 + kπ, k Z L ensemble solution de l équation sin x Ä 4 + ä sin x + = 0 est donc : S = ß π 4 + kπ ; π 4 + kπ, k Z 4 cos x + Ä ä cos x = 0. Posons X = cos x. Le polynôme 4X + Ä ä X ne possédant pas de racine évidente, on calcule son discriminant : = 4 Ä ä 4 4 Ä ä = 4 Ä + ä + 6 =

123 On cherche à mettre sous la forme d un carré ; on veut donc trouver a et b tels que : = Ä a + b ä soit : = a + b + ab. Dans un premier temps, on doit donc avoir : 8 = ab soit : b = 4 a. Dans un second temps, on doit avoir : a + b = 6 donc : ou encore : c est-à-dire : a + 6 a = 6 a = 6a a 4 6a + 6 = 0. a = est une racine évidente, donc b = 4 =. Ainsi, = Ä + ä. Les deux racines du polynôme 4X + Ä ä X sont donc : et X = Ä ä Ä + ä X = Ä ä + Ä + ä 8 8 = Les solutions x et x de l équation 4 cos x + Ä ä cos x = 0 vérifient donc : =. soit : Ainsi, cos x = cos x = cos π et cos x = et cos x = cos π 6. x = π + kπ ou x = π + kπ et x = π 6 + kπ ou x = π 6 + kπ, k Z. L ensemble solution est donc : S = ß π + kπ ; π + kπ ; π 6 + kπ ; π 6 + kπ, k Z

124 4 sin x cos x + = 0. On sait que sin x = cos x donc : sin x cos x + = 0 ( cos x) cos x + = 0 8 cos x + 4 = 0 cos x = 0 Ç cos x å Ç cos x + å = 0 cos x = ou cos x = x = π 4 ou x = π 4 ou x = π 4 ou x = π 4 L ensemble solution est donc : S = ß π 4 + kπ ; π 4 + kπ ; π 4 + kπ ; π 4 + kπ, k Z cos (x) + sin (x) 4 = 0. On remplace sin (x) par cos (x) : cos (x) + sin (x) 4 = 0 cos (x) + Ä cos (x) ä 4 = 0 cos (x) + 4 = 0 cos (x) = 4 cos(x) = ou cos(x) = L ensemble solution est donc : S = x = π 6 ou x = π 6 ou x = π 6 ou x = π 6 x = π π ou x = ou x = π ou x = π ß π + kπ ; π + kπ ; π + kπ ; π + kπ, k Z Corrigé de l exercice 7. Le polynôme 6X 0X + a pour discriminant : = = 80. Ses deux racines sont donc : X = 8 et X =

125 soit, en posant S = sin π : 0 = S(6S 4 0S + ) L équation 6X 0X + = 0 a donc pour ensemble solution : S = { 8 ; + } 8 En prenant x = π, la formule donne : sin π = 6 sin π 0 sin π + sin π. S 0 donc on sait que 6S 4 0S + = 0. Posons s = S ; alors, 6s 0s + = 0. D après la question, s = ou s = On a alors S = 0, ou S = 0, 9 : on exclut les valeurs négatives 8 8 car sin π 8 > 0 vu que π ï 8 0 ; π ò. Or, π < π 4 donc sin π < = sin π 4. Ainsi, 4 À l aide de la relation : on peut écrire : ou encore : Ainsi, sin π = 8 x R, cos x + sin x =, cos π + 8 cos π = 8 a. 4 cos π cos π ( ) = 4 8 = = = = cos π = =

126 Or, ( ) = + 4 = Donc, et donc : = 4 cos π cos π = 0 b. De la question précédente, on déduit que cos π est solution de l équation : 4x x = 0. Le discriminant de 4x x est : = 0. Donc les racines sont : x = 0 8 = 4 et x = +. 4 On sait que cos π > cos π 4 = donc : cos π = + 4 8

127 Géométrie plane Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Vecteurs colinéaires dans un repère A (Source : 06-geoplane-0) Corrigé page Pour chaque question, dire si les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires. ( ) ( ) ( ) ( #» u et #» v. #» u et #» 0 ) v. ( ) ( ) ( ) #» u et #» 7 v. 4 #» u et #» v 7 ( + ). Exercice. Vecteurs avec paramètre A (Source : 06-geoplane-0) Corrigé page ( ) ( ) Soient #» a + u et #» v. a a Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles ces deux vecteurs sont colinéaires. Exercice. Alignement de points R (Source : 06-geoplane-04) Corrigé page D C F H I J A B E G ABCD, CEFD et EGHF sont trois carrés de même côtés. I est le milieu de [AC] et J est le point d intersection de (BC) et (AH). Montrer que E, J et I sont alignés. Exercice 4. Alignement de points A (Source : 06-geoplane-06) Corrigé page Soit ABC un triangle. On considère alors les points E, F et H tels que : #» EC = #» AC ; #» AF = #» AB ; 4 #» CH = 9 #» BC. 7 9

128 Faire une figure. Exprimer EF #» en fonction de AB #» et #» AC. Exprimer le vecteur #» EH en fonction des vecteurs #» AB et #» AC. En déduire que les points E, F et G sont alignés. Exercice. Dans un parallélogramme A (Source : 06-geoplane-07) Corrigé page 4 ABCD est un parallélogramme. Soit I le milieu de [BC] et J celui de [CD]. On définit alors H par l égalité AH #» = #» AB et K par l égalité AK #» = #» AD. Faire une figure. Exprimer #» HI et #» KJ en fonction de #» AB et #» AD. Les droites (HI) et (KJ) sont-elles parallèles? Exercice 6. Équations cartésiennes de droites A (Source : 06-geoplane-0) Corrigé page Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). A( ; ) et B( ; 7). A( ; ) et #» u ( ) est un vecteur directeur de (AB). A( ; 4) et (AB) est parallèle à la droite d équation cartésienne x + y + = 0. 4 A( ; ) et (AB) a pour coefficient directeur. Exercice 7. Équation de droites avec paramètre A (Source : 06-geoplane-0) Corrigé page 6 Dans un repère orthonormé, on considère la droite D m, m R, dont une équation cartésienne est : mx + (m )y + 4 = 0. Pour quelle(s) valeur(s) de m la droite est-elle parallèle à l axe des abscisses? Pour quelle(s) valeur(s) de m la droite est-elle parallèle à l axe des ordonnées? Montrer que quelle que soit la valeur de m, la droite D m passe par un point fixe dont on précisera les coordonnées. 0

129 Exercice 8. Équation de droites & médiatrice A (Source : 06-geoplane-08) Corrigé page 6 Dans un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ), on considère les points A( ; ), B( ; ), C( ; ) et D( 4 ; ). Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Montrer que O appartient à (CD). Soit M(x ; y). Exprimer les distances BM et CM en fonction de x et y. En déduire une équation de la droite, médiatrice de [BC], puis montrer que est la droite (OA). Exercice 9. Un algorithme R (Source : 06-geoplane-09) Corrigé page 7 Dans un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ), on considère trois points A, B et C. On considère alors l algorithme suivant : Algorithme : Tester l alignement de trois points Entrées a, b, c, d, e, f sont des nombres réels d est un nombre Initialisation Saisir la valeur de a, b, c, d, e, f Traitement d prend la valeur... Si d = 0 alors Afficher : «les points A, B et C...» sinon Afficher : «Les points A, B et C...» Fin du Si Que peuvent représenter a, b, c, d, e et f dans cet algorithme? Compléter cet algorithme.

130 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. ( ) ( ) #» u et #» v. Donc #» u et #» v ne sont pas colinéaires. ( ) ( ) #» u et #» 7 v. 7 #» u Donc #» u et #» v ne sont pas colinéaires. ( ) ( et #» 0 ) v. = = ( 7) = = = 0 0 = 0. Donc #» u et #» v sont colinéaires. ( ) 4 #» u et #» v ( + ). Donc #» u et #» v sont colinéaires. Corrigé de l exercice. ( ) #» a + u et #» v a ( ). a Ä ää + ä = = 0. #» u et #» v sont colinéaires (a + )(a ) a = 0 Le discriminant du polynôme a a est : a a = 0 = ( ) 4 ( ) = = 8.

131 Il y a donc deux solutions à l équation : a = 8 = et son conjugué : a = +. Corrigé de l exercice. On considère le repère Ä A ; Dans ce repère, on a : #» AB ; #» AD ä. Å A (0 ; 0) ; B ( ; 0) ; H ( ; ) ; I ; ã ; E ( ; 0). Ainsi, la droite (AH) a pour coefficient directeur et donc, son équation est : (AH) : y = x. Par conséquent, Å J ; ã. Donc, #» EJ ( ) et #» EI ( ). Å ã = + = 0. Par conséquent, EJ #» et EI #» sont colinéaires, ce qui implique que E, I et J sont alignés. Corrigé de l exercice 4. On a la figure suivante : A E C F B H #» EF = EC #» + CA #» + AB #» + BF #» = #» AC AC #» + AB #» #» AB 4 EC #» = #» AC donc CE #» = #» CA (il est plus simple de partir d un point que l" on connaît (ici, le point C) pour construire le point E. CH #» = 9 #» BC donc CH #» = 9 #» CB = CB #» + #» CB #» EF = #» AB #» AC 4

132 #» EH = EC #» + CH #» = #» AC + 9 #» CB 7 = #» AC + 9 ( #» CA + AB #») 7 = #» AC 9 #» AC + 9 #» AB 7 7 #» EH = 9 #» AB 4 #» AC 7 4 Dans le repère Ä A ; #» AB ; Å 4 #» AC ä, on a : #» ) 4 EF( 4 et #» 9 ) 7 EH( 4. ã 9 Å 7 ã = = 0. Ainsi, EF #» et EH #» sont colinéaires ; ils ont un point en commun (E), donc les points E, F et H sont alignés. Corrigé de l exercice. La figure est la suivante : D J C K I A H B #» HI = HB #» + BI #» = #» AB + #» BC #» HI = #» AB + #» AD #» KJ = KD #» + DJ #» = #» AD + #» DC #» KJ = #» AB + #» AD Dans le repère Ä A ; #» AB ; #» AD ä, on a : #» ) HI( et #» ) KJ(. 4

133 = Ainsi, les vecteurs #» HI et #» KJ ne sont pas colinéaires. Les droites (HI) et (KJ) ne sont donc pas parallèles. Corrigé de l exercice 6. A( ; ) et B( ; 7), donc AB #» ( ( ) 7 M (x ; y) (AB) AM #» ( ) x + y ), soit AB #» ( ) (x + ) 4(y ) = 0 9x 4y = 0. Une équation cartésienne de (AB) est donc 9x + 4y + = 0. A( ; ) et #» u ( ) est un vecteur directeur de (AB). M (x ; y) (AB) AM #» ( ) x y + et AB #» ( ) 4 sont colinéaires 9 et #» u (x ) (y + ) = 0 x y 7 = 0. Une équation cartésienne de (AB) est donc x y 7 = 0. ( ) sont colinéaires A( ; 4) et (AB) est parallèle à la droite d équation cartésienne x + y + = 0. ( ) La droite d équation cartésienne x + y + = 0 a pour vecteur directeur #» u et (AB) est parallèle à cette droite, donc #» u est aussi un vecteur directeur de (AB). Donc : M (x ; y) (AB) AM #» ( ) x y + 4 ( ) et #» u sont colinéaires (x ) ( )(y + 4) = 0 x + y = 0. Une équation cartésienne de (AB) est donc x + y = 0. 4 A( ; ) et (AB) a pour coefficient directeur. Une droite d équation cartésienne ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur #» u est le coefficient directeur de la droite. ( ), où m m

134 ( ) Donc un vecteur directeur de (AB) est ici #» u. M (x ; y) (AB) AM #» ( ) ( ) x et #» u y sont colinéaires (x ) (y ) = 0 x y + 7 = 0 x + y 7 = 0. Une équation cartésienne de (AB) est donc x + y 7 = 0. Corrigé de l exercice 7. La( droite ) est parallèle à l axe des abscisses lorsqu un vecteur directeur est de la forme #» k u, k R. Or, on sait que la droite d équation ax+by +c = 0 a pour vecteur directeur 0 ( ) b. a Ainsi, il faut que m = 0 pour que D m soit parallèle à l axe des abscisses. La( droite ) est parallèle à l axe des ordonnées lorsqu un vecteur directeur est de la forme #» 0 u, k R. k D après ce que l on a dit dans la question précédente, il faut donc que m = 0, soit m =. Ainsi, il faut que m = pour que D m soit parallèle à l axe des ordonnées. Posons A(x A ; y A ) le point fixe. Ainsi, A D 0 et A D précédemment trouvées par exemple). (on prend les valeurs de m D 0 : y = 4. Donc y A = 4. D : x = 8. Donc x A = 8. Le point fixe est donc A( 8 ; 4). Corrigé de l exercice 8. AB #» ( ), soit AB #» ( ), et CD #» ( 4 ( ) ), soit CD #» ( ) 6. ( 6) = = 0. Ainsi, #» AB et #» CD sont colinéaires, donc (AB) et (CD) sont parallèles. 6

135 OC #» ( ) et #» ( ) 4 OD. De plus, ( ) ( 4) = 4 4 = 0. Donc, #» OC et #» OD sont colinéaires et par conséquent, O, C et D sont alignés. O appartient donc à la droite (CD). Äx ä Ä ä BM = xb + y yb =» (x ) + (y ) De même, CM =» (x ) + (y + ). est l ensemble des points M(x ; y) tels que BM = CM. BM = CM BM = CM car BM > 0 et CM > 0 (x ) + (y ) = (x ) + (y + ) x x + + y 4y + 4 = x 4x y + y + x 4y + = 4x + y + x 6y = 0 y = x. Un équation de est donc y = x. O car 0 = 0 et A car y A = x A ( = ). Donc est la droite (OA). Corrigé de l exercice 9. Les variables peuvent représenter les coordonnées des points A, B et C. Par exemple, on peut décider de dire que A(a ; b), B(c ; d) et C(e ; f). D après le titre de l algorithme, il sert à tester si A, B et C sont alignés. Or, AB #» ( ) c a et #» ( ) e a AC. Ainsi, les points A, B et C sont alignés si ces deux vecteurs d b f b sont colinéaires, c est-à-dire si : L algorithme complété est donc : (c a)(f b) (d b)(e a) = 0. Algorithme 4: Tester l alignement de trois points (complété) Entrées a, b, c, d, e, f sont des nombres réels d est un nombre 7

136 Initialisation Saisir la valeur de a, b, c, d, e, f Traitement d prend la valeur (c a)(f b) (d b)(e a) Si d = 0 alors Afficher : «les points A, B et C sont alignés» sinon Afficher : «Les points A, B et C ne sont pas alignés» Fin du Si 8

137 Produit scalaire Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Produits scalaires et angles A (Source : 07-prodscal-0) Corrigé page 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer le produit scalaire #» u #» v, puis en déduire l angle Ä #»u, #» v ä. #» v #» u #» v #» u #» v #» u Exercice. Produits scalaires et angles dans un repère orthonormé A (Source : 07-prodscal-0) Corrigé page Dans chacun des cas suivants, déterminer le produit scalaire #» u #» v, puis en déduire l angle Ä #»u, #» v ä. ( ) #» u et #» v ( ). #» u ( ) et #» v 4 ( ). 6 9

138 ( ) ( ) ( ) ( ) #» 0 u et #» v. 4 #» u et #» v. 0 Exercice. Angle dans un carré R (Source : 07-prodscal-07) Corrigé page 6 Soit ABCD un carré. On considère alors I le milieu de [CD] et le point J défini par CJ #» = #» CB. 4 Déterminer une mesure de l angle IAJ au degré prés. Exercice 4. Détermination d un angle dans un cercle R (Source : 07-prodscal-4) Corrigé page 7 Dans le plan muni d un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ), on considère le cercle C de centre A( ; 0) et de rayon et le cercle C de centre B(8 ; 0) et de rayon 4. Soit (d) la droite passant par O et faisant un angle de 0 avec l axe des abscisses ; elle coupe C en deux points I et J, J étant le point le plus éloigné de O. On considère les points E(4 ; 0) et F( ; 0). On s intéresse à la mesure de l angle JEF. Déterminer une équation de la droite (d). Déterminer une équation du cercle C. En déduire les coordonnées de J. 4 Calculer #» EF #» EJ, puis en déduire une mesure de JEF en degrés. Exercice. Dans un rectangle R (Source : 07-prodscal-08) Corrigé page 8 ABCD est un rectangle tel que AB =. R est le milieu de [DA]. On sait que (BR) et (AC) sont perpendiculaires. Quelle est la mesure de AD? Exercice 6. Équation de droites perpendiculaires A (Source : 07-prodscal-0) Corrigé page 8 Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite D. A( ; ), B(4 ; ) et D est la médiatrice de [AB]. D est la droite passant par A( ; ) et perpendiculaire à la droite D d équation x y + = 0. D est la tangente au cercle de centre O et de rayon passant par le point d abscisse. ( ) 4 D a pour vecteur normal le vecteur #» n et passe par le point A( ; ). 0

139 Exercice 7. Équations de cercles A (Source : 07-prodscal-04) Corrigé page 9 Dans chacun des cas suivants, donner l équation cartésienne du cercle C. C a pour centre le point A( ; ) et pour rayon. C est le cercle de diamètre [AB], où A( ; ) et B( ; ). C est le cercle de centre A(4 ; ) tangent au cercle C d équation (x ) + (y ) =. Exercice 8. Trois cercles tangents R (Source : 07-prodscal-0) Corrigé page 40 On considère le cercle C d équation x + y 6x 4y + 9 = 0. Donner son rayon et les coordonnées de son centre A. On considère maintenant le cercle C de centre C, dont le rayon est le double de celui de C et qui est tangent à C au point B( ; ). Donner l équation de C. On souhaite maintenant construire un cercle C dont le diamètre est le triple de celui de C et qui est tangent à C et C. On appelle D le centre de C de sorte que son ordonnée soit positive. Expliquer pourquoi AD = 8 et CD = 0. 4 Calculer alors les coordonnées de D. Donner alors une équation cartésienne de C. On appelle E le point d intersection de C et C, et F celui de C et C. 6 Les droites (AE), (CF) et (DB) sont-elles concourantes? Exercice 9. La formule de Héron R (Source : 07-prodscal-09) Corrigé page 4 Soit un triangle ABC, et H le pied de la hauteur issue du sommet B. On note AB = c, AC = b, BC = a et BH = h. B c h a A A H b C Exprimer h en fonction de c et sin A, puis en déduire que l aire du triangle ABC est : A = bc sin A.

140 À l aide de la formule d Al-Kashi, exprimer sin A en fonction de a, b et c. En notant p = a + b + c, montrer alors que : 4 En déduire alors que : sin A = 4p(p a)(p b)(p c) b c. A =» p(p a)(p b)(p c). Cette dernière formule est appelée la formule de Héron. Application : calculer l aire d un triangle dont les côtés ont pour mesure 7 cm, cm et 9 cm. Exercice 0. Aire d un triangle inscrit dans un cercle R (Source : 07-prodscal-0) Corrigé page 44 On considère un triangle ABC inscrit dans un cercle C de rayon r. On note A = BAC. A B c a O r b C B c a O r A b C Cas Cas Montrer que, dans le cas comme dans le cas, on a : a = r sin A. En déduire que : a sin A = b sin B = c sin ĉ = r. En déduire que l aire du triangle ABC est : A = abc 4r.

141 Exercice. Avec les formules trigonométriques A (Source : 07-prodscal-) Corrigé page 4 À l aide des formules trigonométriques d addition et de duplication, calculer : cos 7π sin π cos π 8 et sin π 8 4 sin π 4 Exercice. Dans un repère : cercle, angle et hauteur R (Source : 07-prodscal-) Corrigé page 46 Dans un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ), on considère les points A(0 ; 4), B( ; 6) et C(6 ; 0). Soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue de B. Déterminer les coordonnées de H. Déterminer une équation cartésienne du cercle C de diamètre [BH]. On appelle E et F les points d intersection de C avec respectivement [AB[ et ]BC]. Le triangle EFH est-il rectangle en H? Dans la négative, donner une mesure approchée au degré près de EHF. Exercice. Dans un rectangle R (Source : 07-prodscal-) Corrigé page 49 ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et AD =. E est le point de [DC] tel que DE =. Les droites (AE) et (BD) se coupent en H et N est le milieu de [AB]. A N B D H E C Décomposer #» AE et #» BD à l aide de la relation de Chasles, puis calculer #» AE #» BD. Que peut-on conclure quant à (AE) et (BD)? En calculant de deux façons différentes #» BA #» BD, trouver BH. Montrer que #» HA + #» HB = #» HN. 4 Calculer HA, puis montrer que #» HN #» HA = 8. Justifier que HN =. 6 Calculer cos AHN et en déduire une valeur approchée de AHN au degré près.

142 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. #» u #» v = 4 6 = 4. On sait de plus que #» u #» v = #» u #» v cos Ä #» u, #» v ä ; ainsi, On a : De plus, #» u = 4, donc : cos Ä #» u, #» v ä = 4 #» u #» v. #» v = 6 + = 40 soit #» v = 0. cos Ä ä #» u, #» 4 v = 8 0 = 0 0 et donc : Ä #»u, #» v ä 8. #» u #» v = ( ) = 9. On sait de plus que #» u #» v = #» u #» v cos Ä #» u, #» v ä ; ainsi, On a : De plus, #» u =, donc : cos Ä #» u, #» v ä = 9 #» u #» v. #» v = + = 0 soit #» v = 0. cos Ä #» u, #» v ä = 9 0 = 0 0 et donc : Ä #»u, #» v ä 6. #» u #» v = 8 ( 6) = 48 (les deux vecteurs sont de sens contraires donc leur produit scalaire est négatif). On sait de plus que #» u #» v = #» u #» v cos Ä #» u, #» v ä ; ainsi, cos Ä #» u, #» v ä = 48 #» u #» v. 4

143 On a : De plus, #» u = 8, donc : #» v = + 6 = 7 soit #» v = 7. cos Ä ä #» u, #» 48 v = 8 7 = et donc : Ä #»u, #» v ä 7. Corrigé de l exercice. ( ) ( ) #» u et #» v. #» u #» v = xx + yy = ( ) + ( ) =. Ainsi, cos Ä #» u, #» v ä = #» u #» v #» u #» v = =, 4 70 soit : Ä #»u, #» v ä 77. #» u ( ) et #» v 4 Ainsi, ( ). 6 #» u #» v = xx + yy = = 9. cos Ä #» u, #» v ä = #» u #» v #» u #» v = 9 6, soit : Ä #»u, #» v ä. #» u ( ) 0 et #» v Ainsi, ( ). cos Ä #» u, #» v ä = #» u #» v = xx + yy = 0. #» u #» v #» u #» v = 0 6, soit : Ä #»u, #» v ä. 4 #» u ( ) et #» v 0 Ainsi, ( ). #» u #» v = xx + yy =. cos Ä #» u, #» v ä = #» u #» v #» u #» v = 6, soit : Ä #»u, #» v ä 0.

144 Corrigé de l exercice. D I C J A B Dans le repère Ä A ; #» AB ; On a alors, d une part : et d autre part : #» AD ä, on a : #» ) AI( et ) #» AJ(. 4 #» AI AJ #» = xx + yy = + 4 = 4 Or, dans le triangle ADI rectangle en D, on a : #» AI AJ #» = AI #» AJ #» cos Ä #» #» AI ; AJ ä. AI = + = 4 et dans le triangle ABJ rectangle en B, on a : soit AI = Donc : Ainsi, on a : soit : AJ = + 4 = 4 #» AI AJ #» = soit AJ =. 4 cos Ä #» AI ; #» AJ ä. cos Ä #» AI ; #» AJ ä = 4 6 Ä #» AI ; #» AJ ä 7 =. N.B. Pour être précis, on trouve un angle de mesure 6, 7, mais donner une approximation décimale pour une mesure d angle est à mon avis une incohérence monumentale car un angle s exprime en base sexagésimale (en base 60) et donc, les décimaux n ont pas leur place ici (comme pour les heures). Il faudrait donc ici donner l approximation : 6 + 0, 7 60 = , 60 =

145 Corrigé de l exercice 4. Le coefficient directeur de (d) est le nombre m = tan 0 = car (d) forme un angle de 0 avec l axe des abscisses. De plus, elle passe par l origine du repère donc c est une droite représentant une fonction linéaire. Ainsi, une équation de (d) est : y = x L équation du C est de la forme (x a) + (y a) = r où (a ; b) sont les coordonnées de son centre et r son rayon. Ainsi, C a pour équation : (x 8) + y = 96 Notons (x ; y) les coordonnées d un point d intersection de (d) avec C ; alors, y = x Ç å et (x 8) + y = 96, donc (x 8) + x = 96, soit 4 x 6x + 8 = 0, ou encore, en multipliant par 4 : x 7x + 96 = 0. Le discriminant du polynôme x 7x + 96 est = ( 7) 4 96 = 4 donc ses deux racines sont : x = 7 4 et x = L abscisse de J est donc (le point le plus éloigné de O). Son ordonnée est donc = ( Ainsi, J ; 7 + ) 0 6 á ë EJ #» et #» EF ( ) 8. 0 Ainsi, EF #» EJ #» = xx + yy = = 4 Ä ä. Or, EF #» EJ #» = EF #» EJ #» cos Ä #» EF, EJ #» ä, donc : cos Ä #» EF, #» EJ ä = On en déduit alors que JEF. 4 Ä ä Ã (9 ) ( ) 7

146 Corrigé de l exercice. Notons x la longueur AD. Dans le repère Ä #» #» A ; AB ; AD ä, on a : Ainsi, x ( ) #» AC x et #» BR ( ). x #» AC BR #» = 0 + x = 0 x = x = x = car x > 0. Ainsi, AD =. Corrigé de l exercice 6. A( ; ), B(4 ; ) et D est la médiatrice de [AB]. On a donc AB #» ( ). Le milieu de [AB] est I Ä ; ä. M (x ; y) D AB #» IM #» = 0 ( ) ( ) x y + = 0 Å x ã Å y + ã = 0 x y 0 = 0 x y + = 0. Une équation cartésienne de D est donc x y + = 0. D est la droite passant par A( ; ) et perpendiculaire à la droite D d équation x y + = 0. ( ) Un vecteur directeur de D est un vecteur normal de D, soit par exemple #» u. Ainsi, une équation de D est de la forme : x y + c = 0, c R. A ( ; ) D + c = 0 c =. Une équation cartésienne de D est donc x + y = 0. 8

147 D est la tangente au cercle de centre O et de rayon passant par le point d abscisse. Dans ce cas, D est perpendiculaire à (OA), où A est le point du cercle d abscisse. Son ordonnée est y = = donc A Ä ; ä. Ainsi, (OM) a pour équation y = x, ou encore x y = 0, dont un vecteur normal ( est #» ) n. D a pour vecteur directeur #» n car elle est perpendiculaire à (OM) donc une équation cartésienne de D est : x y + c = 0, c R. A D + c = 0 c = 9. Une équation cartésienne de D est donc x + y 9 = 0. 4 D a pour vecteur normal le vecteur #» n ( ) et passe par le point A( ; ). M (x ; y) D AM #» #» n = 0 ( ) ( ) x + y = 0 (x + ) (y ) = 0 x y + 4 = 0. Une équation cartésienne de D est donc x y 4 = 0. Corrigé de l exercice 7. C a pour centre le point A( ; ) et pour rayon. M C Ä x ( ä + (y ) = x + x + + y 4y + 4 = 4 x + y + x 4y + = 0. Une équation cartésienne de C est donc x + y + x 4y + = 0. C est le cercle de diamètre [AB], où A( ; ) et B( ; ). M C MA #» MB #» = 0 ( ) ( ) x x + y + y = 0 (x )(x + ) + (y + )(y ) = 0 x 4 + y y + y = 0 x + y y = 0. Une équation cartésienne de C est donc x + y y = 0. 9

148 C est le cercle de centre A(4 ; ) tangent au cercle C d équation (x ) + (y ) =. C a pour centre le point B( ; ) d après son équation. C et C sont tangents donc le rayon de C est r = AB ( étant le rayon de C ). AB = + = 0 donc r = 0. Ainsi, M C (x 4) + (y ) = Ä 0 ä x 8x y 6y + 9 = x + y 8x 6y = 0. Une équation cartésienne de C est donc x + y 8x 6y = 0. Corrigé de l exercice 8. x + y 6x 4y + 9 = 0 (x 6x + 9) + (y 4y) = 0 (x ) + (y ) 4 = 0 (x ) + (y ) =. Ainsi, C a pour rayon r = et pour centre A( ; ). En faisant une figure, on voit que C(9 ; ), donc une équation de C est : (x 9) + (y ) = 4. Une équation de C est alors x + y 8x 4y + 69 = 0. C est tangent à C ; notons T leur point d intersection. Alors, AD = AT + DT = + = 8. De même, CD = = 0. 4 Notons D(x ; y). AD = (x ) + (y ) = x + y 6x 4y + et AD = 8 = 64 donc x + y 6x 4y + = 64, soit x + y 6x 4y = (). CD = (x 9) + (y ) = x + y 8x 4y + 8 et CD = 0 = 00 donc x + y 8x 4y + 8 = 00, soit x + y 8x 4y = (). Ainsi, () () x = 6 x =. Or, AD = 8 donc y = 8 + y A = 8 + = 0. Ainsi, D( ; 0). M C (x ) + (y 0) = 6 x + y 6x 0y + 09 = 6 x + y 6x 0y + 7 = 0 Une équation cartésienne de C est alors x + y 6x 0y + 7 = 0. 40

149 6 C : x + y 8x 4y + 69 = 0 C : x + y 6x 0y + 7 = 0 E (x ; y) C C x + y 8x 4y + 69 = x + y 6x 0y + 7 = 0 x 6y + 4 = 0 x 4y + = 0 y = 4 x + 4 En remplaçant y dans l équation de C (par exemple), on obtient : Å x + y 8x 4y + 69 = 0 x + 4 x + ã Å 8x x = 0 4ã donc l équation admet une unique solution : Ainsi, y = = 6. Å On a alors E ; 6 ã. x x + 8 x + 8x x + 69 = x 6 8 x + 68 = 0 x 0x = 0 = ( 0) = 0. x = 0 0 =. C : x + y 6x 4y + 9 = 0 (E ) C : x + y 6x 0y + 7 = 0 (E ) En faisant (E ) (E ), on obtient : On obtient alors F( ; 4). #» AE ( ) 6, soit #» AE( 8 6 ) F (x ; y) C C 6y = 64 y = 4.. Donc une équation de (AF) est de la forme : 6 x 8 y + c = 0, c R. A (AE) 6x A 8y A + c = c = 0 c =. 4

150 Une équation de (AE) est alors 8x 9y 6 = 0. ( ) #» 6 CF donc une équation de (CF) est de la forme : x + 6y + c = 0, c R. C (CF) donc c = 0, soit c = 0. Une équation de (CF) est alors x + y = 0. ( ) #» DB donc une équation de (DB) est de la forme : 8 8x y + c = 0, c R. B (DB) donc 8 + c = 0, soit c = 44. Une équation de (DB) est alors 4x + y = 0. Le point d intersection Ω (x ; y) de (AE) et (CF) est tel que : 8x 9y 6 = 0 (L ) x + y = 0 (L ) En faisant 8(L ) (L ), on obtient y 6 = 0, soit y = 6, et donc x = y = 49. On remplace ces valeurs dans l équation de (DB) : 4x + y = = 0. Donc (AE), (CF) et (DB) ne sont pas concourantes (malgré ce que l on aurait pu penser à la vue de la figure). 9 D E 4 F A B C

151 Corrigé de l exercice 9. Dans le triangle AHB, rectangle en H, on a : sin A = h c, donc h = c sin A. L aire de ABC est : A = b h soit A = bc sin A. La formule d Al-Kashi est : ce qui donne : ou encore : En élevant au carré, on obtient : a = b + c bc cos A a b c = bc cos A cos A = b + c a. bc cos A = Ä b + c a ä 4b c. Or, cos A + sin A =, donc cos A = sin A, ce qui donne : soit : Ä b sin A + c a ä = 4b c Ä b sin A + c a ä =. 4b c Développons : 4p(p a)(p b)(p c) b c = 4 a+b+c Ä a+b+c a ä Ä a+b+c b ä Ä a+b+c c ä = (a + b + c) Ä b+c a b c äb Äc a b+c ä Ä ä a+b c = (ab + ac a + b + bc ab + bc + c ac)(a + ab ac ab b + bc + ac + bc c ) 4b c = (bc + b + c a )(bc + a b c ) î 4b c bc + (b + c a ) óî bc (b + c a ) ó = 4b c = (bc) Ä b + c a ä 4b c Ä b + c a ä = = sin A. 4b c 4

152 4 De la question, on déduit que : A = 4 b c sin A. En remplaçant alors sin A par l expression trouvée à la question, on obtient : A = 4 b c 4p(p a)(p b)(p c) b c = p(p a)(p b)(p c). A étant un nombre positif, en prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient : A =» p(p a)(p b)(p c) p = = 4 donc : A =» 4(4 7)(4 9)(4 ) = A = 4 cm Corrigé de l exercice 0. Dans le cas, BOC est isocèle en O. considérons alors H le pied de la hauteur issue de O ; H est le milieu de [BC] et HOC est un triangle rectangle en H donc : sin HOC = HC a OC = r = a r. Or, BAC et BOC interceptent le même arc de cercle BC donc BOC = BAC, donc HOC = A. Ainsi, sin A = a r soit a = r sin A. Dans le cas, BAC = π BOC, donc BOC = π BAC. Donc, dans le triangle HOC rectangle en H, sin Ä π BAC ä = a r = sin A. De l égalité précédente, on déduit : a sin A = r. Un raisonnement analogue à celui tenu dans la question nous permettrait de démontrer que : b sin B = r et c sin C = r d où : a sin A = b sin B = c sin ĉ = r. 44

153 L aire du triangle ABC est (voir exercice intitulé «La formule de Héron») : A = bc sin A soit, d après la relation trouvée dans la question, A = bc a r soit A = abc 4r. Corrigé de l exercice. cos 7π Å π = cos 4 + π ã = cos π 4 cos π sin π 4 sin π = 6 = 4 4 cos 7π 6 = 4 sin π Å π = sin π ã 4 = sin π cos π 4 sin π 4 cos π = sin π = 6 4 cos π 4 = cos Å π 8 ã = π sin 8 sin π 8 = sin π 8 = 4» sin π 8 = On en déduit alors : car π 8 [0 ; π] donc sin π 8 > 0. cos π 8 = π sin 8 cos π 8 = 4 cos π 8 = + 4» cos π 8 = + car cos π 8 > 0. 4

154 4 Nous allons ici utiliser le fait que : cos π + sin π = donc cos π = sin π et que : On a : Å cos π ã = sin π 4 4. cos π Å = cos π ã 4 Ã sin π = sin π 4 ( 6 4 ) = sin π = sin π = sin π 6 4» + = sin π Ñ» 4 sin π 4 = +» sin π 4 = + 4 sin π 4 =» + d après la question é car sin π 4 > 0. Corrigé de l exercice. AC #» BH #» ( ) 6 = 0 4 De plus, ( ) xh = 0 y H 6 6(x H ) 4(y H 6) = 0 6x H 4y H + 6 = 0 x H y H + = 0 () #» AH et AC #» sont colinéaires x H 6 y H 4 4 = 0 4x H 6(y H 4) = 0 4x H 6y H + 4 = 0 x H + y H = 0 () 46

155 On a alors : x H y H + = 0 () x H + y H = 0 () 6x H 4y H + 6 = 0 () L 6x H + 9y H 6 = 0 () L Å Ainsi, H ; 4 ã. M (x ; y) C MB #» MH #» = 0 ( ) ( x 6 y ( x) x 4 y ) = y H 4 = 0 L L = y H = 4 x H = 4 = x H = 6 6 = = 0 Å x ã + (6 y) x + y 4 x 0 y + 97 = 0 Å 4 y ã = 0 Une équation cartésienne de C est donc x + y 4 x 0 y + 97 = 0. Déterminons d abord les coordonnées (x ; y) du point E, intersection de C et [AB[. E (x ; y) [AB[ AE #» et AB #» sont colinéaires x y 4 = 0 De plus, E C donc : x y + = 0 x = y 6 () x + y 4 x 0 y + 97 = 0 Å ã y 6 + y 4 Å ã y 6 0 y + 97 = 0 69y 740y = 0 y = 76 ou y = 6 69 Or, E B donc y = et donc x = = Å 7 Ainsi, E 69 ; 76 ã

156 Déterminons ensuite les coordonnées (x ; y) du point F, intersection de C et ]BC]. F (x ; y) ]BC] BF #» et BC #» sont colinéaires x y 6 6 = 0 De plus, F C donc : 6(x ) (y 6) = 0 6x y + 6 = 0 x + y 4 x 0 y + 97 = 0 x + ( x) 4 x 0 6x 48x + 79 = 0 x = ou x = 4 6 y = x ( x) + 97 = 0 Or, F B donc x = 4 4, et donc y = 6 6 = Å 4 Ainsi, F 6 ; 94 ã. 6 Regardons alors si (HE) et (HF) sont perpendiculaires. #» HE HF #» ( 7 = #» HE #» = ( ) ) ( ( 4 ) ) = = HF 0. Par conséquent, le triangle EHF n est pas rectangle en F. #» HE HF #» = HE #» #» = cos Ä #» HE, #» HF ä = Å 0 69 cos Ä #» HE, HF #» ä 0,4 Ä #» HE, HF #» ä 97 Å 0 ã + 69 HF cos Ä #» HE, HF #» ä ã Å 80 ã Å68 ã Å 80 ã Å68 ã Å 84 ã cos Ä #» HE, HF #» ä 6 Å 84 ã 6 48

157 B 4 A E F H C Corrigé de l exercice. #» AE BD #» = Ä #» AD + DE #» ä Ä #» BC + CD #» ä = AD #» BC #» + AD #» CD #» + DE #» BC #» + DE #» CD #» = AD #» AD #» DE #» CD #» = #» AD + #» DE #» CD cos π = 4 4 #» AE BD #» = 0 On en déduit alors que (AE) et (BD) sont perpendiculaires. BA #» BD #» = BH BD = BH 4 + (Théorème de Pythagore dans BAD rectangle en A) = BH De plus, on a aussi : #» BA BD #» = BA BD cos ABD = BA BD AB (en se plaçant dans le triangle rectangle ABD) BD = AB = 6. Finalement, on a donc : BH = 6 soit BH = 8 49

158 #» HA + HB #» = Ä #» HN + NA #» ä + Ä #» HN + NB #» ä = HN #» + Ä #» NA + NB #» ä = HN #» + #» 0 (car N est le milieu de [AB]) #» HA + HB #» = HN #» 4 HA = AB HB (théorème de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H) HA = 6 64 HA = 6 HA = 4 HA = 4 Ainsi, #» HN HA #» = Ä #» HA + AN #» ä HA #» = HA #» + AN #» HA #» = 6 AN #» AH #» = 6 4 #» HN HA #» = 8 = 6 8 = 6 8 = 6 8 AH AB 4 cos HAN 4 (dans le triangle HAB rectangle en H) Dans le triangle BAH rectangle en H, [HN] est la médiane issue du sommet de l angle droit, donc : HN = AB soit HN = 6 HN #» HA #» = HN HA cos AHN 8 = 8 cos AHN (d après la question 4 ) cos AHN = AHN 6 0

159 Statistiques descriptives Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Notes de deux classes A (Source : 08-statdescr-0) Corrigé page Un professeur a en charge deux classes de re S. Il souhaite comparer les résultats de ces deux classes sur le dernier contrôle à l aide des tableaux suivants : Notes de la re S Notes (x i ) Effectifs (n i ) 6 6 Notes de la re S Notes (x i ) Effectifs (n i ) 4 4 Calculer la moyenne des deux classes. Calculer la variance, puis l écart-type, des deux classes. Déterminer la médiane ainsi que l écart inter-quartile. 4 Comparer alors les résultats de ces deux classes. Exercice. Salaires dans deux entreprises A (Source : 08-statdescr-0) Corrigé page 6 Nous avons observé les salaires nets dans deux entreprises concurrentes, et nous les avons réunis dans les tableaux suivants : Entreprise A Classes [ 0 ; 0[ [ 0 ; 0[ [ 0 ; 40[ [ 40 ; 0[ Effectifs Classes [ 0 ; 60[ [ 60 ; 70[ [ 70 ; 80[ [ 80 ; 000] Effectifs Entreprise B Classes [ 900 ; 000[ [ 000 ; 00[ [ 00 ; 00[ [ 00 ; 00[ Effectifs 0 4

160 Classes [ 00 ; 400[ [ 400 ; 00[ [ 00 ; 600[ [ 600 ; 700[ Effectifs Classes [ 700 ; 800[ [ 800 ; 900[ [ 900 ; 000[ [ 000 ; 00] Effectifs Déterminer le couple (x ; σ) pour chacune des deux entreprises. Interpréter ces résultats. Déterminer le couple (m e ; I Q ) (médiane - écart inter-quartile) pour chacune des deux entreprises. (On devra ici trouver une valeur approchée des médianes et des quartiles) Interpréter ces résultats. Exercice. Influence d un ajout dans une série statistique R (Source : 08-statdescr-0) Corrigé page 8 On considère une série statistique de n données x, x,..., x n. On note x sa moyenne et V sa variance. On ajoute une donnée x à cette série, et on note m(x) la nouvelle moyenne et v(x) la nouvelle variance. Montrer que : m(x) = x + nx n +. Quelle valeur de x faut-il prendre pour que m(x) = x? En utilisant le théorème de König-Huygens, montrer que : v(x) = (n + ) Ä nx nxx + n(n + )V + nx ä. 4 En déduire la valeur de x pour laquelle v(x) est minimale. Exercice 4. Un algorithme R (Source : 08-statdescr-04) Corrigé page 9 Voici un algorithme : Algorithme : Un algorithme dont la mission est inconnue Entrées L est une liste de nombres N est un nombre entier i est un nombre entier j est un nombre entier a est un nombre m est un nombre indice est un nombre entier

161 Initialisation Entrer L Traitement N prend la valeur Longueur(L) Pour i allant de à N m prend la valeur L[i] indice prend la valeur i Pour j allant de i+ à N Si L[j]<m alors m prend la valeur L[j] indice prend la valeur j Fin du Si Fin du Pour a prend la valeur L[i] L[i] prend la valeur L[indice] L[indice] prend la valeur a Fin du Pour Sortie Afficher L Qu affiche l algorithme lorsque l on rentre la liste : Quelle est la mission de cet algorithme? L=[,,] Modifier l algorithme afin de déterminer et d afficher la médiane de la série statistique entrée dans L. Exercice. De l algèbre dans les statistiques R (Source : 08-statdescr-0) Corrigé page 60 Hugo a obtenu au e trimestre une moyenne de 8/0 aux premiers contrôles (dont les coefficients respectifs sont 0,, et ). Il ne reste qu un contrôle avant l arrêt des notes (dont le coefficient sera égal à ). Combien faut-il qu il obtienne au minimum pour obtenir 0/0 de moyenne au e trimestre? M. Zébulon enseigne les mathématiques aux classes re S (0 élèves) et re S (6 élèves). Il propose systématiquement les mêmes sujets de devoirs. Sur celui portant sur les statistiques, la re S a obtenu une moyenne de 4,/0. a. Quelle doit être la moyenne de la re S pour que la moyenne de ce contrôle (sur les deux classes) soit supérieure à /0? b. Lors des précédents devoirs, la moyenne de la re S était inférieure à celle de la re S de 0 %. Peut-il espérer atteindre /0 de moyenne à ce contrôle sur les deux classes?

162 Mme Zébulon enseigne aussi les mathématiques dans le même lycée que son mari. Elle a la re S dans laquelle se trouve Kevin Zépadbol à qui elle propose, avec un sourire narquois, l énigme suivante : «Tu as eu /0 (coefficient ) et 8/0 (coefficient ) aux deux premiers devoirs, et tu attends ta note pour le dernier devoir coefficient. Sur ces trois devoirs, l écart-type de tes notes est à peu près égal à,64. Si tu arrives à trouver la note que tu as obtenue au dernier contrôle, je la triple.» Saurez-vous trouver la note de Kevin? 4

163 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. Moyenne de la re S : x = = x 9, 7 Moyenne de la re S : x = = 86 x 8, 7 Pour la re S, la variance est : V = 7 0, 8. 6 Ainsi, son écart-type est : σ = 7 V =, Pour la re S, la variance est : V =, 6. Ainsi, son écart-type est : σ = 04 V =,. Complétons les deux tableaux avec la ligne des effectifs cumulés croissants : Notes de la re S Notes (x i ) Effectifs (n i ) 6 6 E.c.c Notes de la re S Notes (x i ) Effectifs (n i ) 4 4 E.c.c

164 On voit alors que ma médiane de la re S est 9 (car c est la première note pour laquelle les e.c.c. sont supérieurs ou égaux à la moitié de l effectif total, soit = 6). Donc m = 9. De plus, Q = 7 et Q = donc l écart inter-quartile est e = 7 = 6. On voit aussi que la médiane de la re S est m = 8. De plus, Q = 6 et Q = 0, donc l écart inter-quartile est e = 0 6 = 4. 4 Le couples (m ; e ) = (9 ; 6) et (m ; e ) = (8 ; 4) nous permettent de dire que la dispersion des notes autour des médianes est plus étroite dans la re S que dans la re S, en ayant à peu près la même médiane (à point près). Les couples (x ; σ ) = (9, 7 ;, 9) et (x ; σ ) = (8, 7 ;, ) nous permet de dire que la concentration des notes autour des moyennes est quasiment identique, en ayant une moyenne plus forte dans la re S que dans la re S. On peut donc voir que la re S est légèrement plus performante que la re S. Corrigé de l exercice. Pour l entreprise A : x A = = 4 x A 09 V A = 8( 09 00) + 7( 09 00) + + 8( 09 9) 4 V A 67 Pour l entreprise B : σ A =» V A σ A x B = = 99 x B 46 V B = 0(90 46) + ( 00 46) + + 4( 00 46) 99 V B

165 σ B =» V B σ B 49 Ainsi, des couples (x A ; σ A ) = ( 09 ; 8) et (x B ; σ B ) = ( 46 ; 49), on peut déduire qu en moyenne, on gagne plus dans l entreprise A que dans la B, mais que l écart à ce salaire moyen est plus important dans l entreprise B quand dans la A. Pour l entreprise A, l effectif total est 4, et la moitié de cet effectif (à savoir 7) est atteint pour la classe [ 40 ; 0[. Pour déterminer la médiane m A (qui appartient à ce dernier intervalle), considérons les points A( 40 ; 97) («97» étant l effectif cumulé croissant correspondant à la classe avant la classe médiane, 8+7+ = 97), et B( 0 ; 4) («4» étant égal à ). Le coefficient de la droite (AB) est : 4 97 = 0, L équation de (AB) est de la forme y = 0, 48x + p. Ainsi, y A = 0, 48x A + p, soit p = 97 0, = 99. Ainsi, (AB) a pour équation réduite : y = 0, 48x 99. La médiane m A est la valeur de x pour laquelle y = 7 (la moitié de l effectif total), donc : 7 = 0, 48 m A 99 soit m A 49 Le er quartile est dans l intervalle [ 0 ; 40[ car le quart de l effectif total (8,) est atteint dans cet intervalle. Posons A( 0 ; 4) et B( 40 ; ). Le coefficient directeur de (AB) est 0, donc la droite (AB) a pour équation réduite y = 0, x+p, avec y B = 0, x B + p, soit p = 0, 40 = 70. Ainsi, (AB) : y = 0, x 70. Q est le valeur de x pour laquelle y = 8, donc : Q = 8, , soit Q = 46, Le e quartile est atteint dans [ 0 ; 60[ (car les trois quarts de l effectif total, à savoir 7,, est atteint dans cet intervalle). Posons A( 0 ; 4) et B( 60 ; 8). Le coefficient directeur de (AB) est : y B y A x B x A = = 0, 6. Donc, l équation réduite de (AB) est : y = 0, 6x + p. Comme A (AB), y A = 0, 6x A + p, donc p = 4 0, 6 0 = 4. Ainsi, (AB) : y = 0, 6x 4. Q est la valeur de x pour laquelle y = 7, donc : Q = 7, + 4 0, 6 soit Q 6 On a alors : I Q 6 46, soit I Q 7 7

166 Pour l entreprise B, l effectif total est 99 donc la médiane est atteinte dans l intervalle pour lequel l e.c.c. est 0, donc [ 400 ; 00[. Sur cet intervalle, le segment a pour équation y = 0, 4x + p, avec p = 9 0, = 469. Donc y = 0, 4x 469. La médiane m B est la valeur de x pour laquelle y = 49, (la moitié de l effectif total), donc : m B = 49, , 4 soit m B 47 Le er quartile est atteint dans [ 00 ; 00[. L équation du segment sur cet intervalle est y = 0, 4x + p avec p = 47 0, 4 00 = 6. Donc, y = 0, 4x 6. Q est la valeur de x pour laquelle y = 74, 7 (le quart de l effectif total) donc : Q = 74, , 4 soit Q 8 Le e quartile est atteint dans [60 ; 700[. L équation du segment sur cet intervalle est y = 0, 0x + p avec p = 9 0, 600 = 6. Donc y = 0, x 6. Q est la valeur de x pour laquelle y = 4, (les trois quarts de l effectif total) donc : Q = 4, + 6 0, Ainsi, l intervalle inter-quartile est : soit Q = 67, I Q = 67, 8 soit I Q, Des couples (m A ; I Q ) = ( 49 ; 7) et Ä m B ; I Qä = ( 47 ;, ), on peut observer que les médianes sont presque égales tout en ayant un écart inter-quartile plus grand dans l entreprise B que dans l entreprise A. La répartition des salaires autour de la médiane est plus vaste dans l entreprise B que dans la A, ce qui signifie que dans l entreprise A, 0 % des salaires sont assez concentrés autour de la médiane (avec un écart de plus ou moins 7 e) alors que dans l entreprise B, 0 % des salaires se trouvent certes autour de la médiane, mais avec plus ou moins, e. Corrigé de l exercice. Posons x n+ = x. Par définition, on a : On a alors : x = n i=n i= i=n x i donc nx = x i. m(x) = i=n+ n + = n + x i i= ( i=n i= x i + x = (nx + x) n + m(x) = x + nx n + i= ) 8

167 m(x) = x x + nx n + = x x + nx = (n + )x x = x. Il faut ainsi choisir d ajouter à la série une valeur égale à la moyenne de la série pour que la moyenne de la nouvelle série soit la même que la série initiale. Par définition, d après le théorème de König-Huygens, on a : On a alors : V = n i=n i= v(x) = i=n+ x i î m(x) ó n + = n + i= ( i=n i= i=n x i x donc nv = x i nx. x i + x ) Å x + nx ã n + = Ä nv + nx + x ä x + nxx + n x n + (n + ) = ÇnV + nx + x x + nxx n x å n + n + = Ç n(n + )V + n(n + )x + (n + )x x nxx n x å n + n + Ä = nx nxx + n(n + )V + nx ä (n + ) 4 v(x) est un polynôme du second degré donc le coefficient de x est positif. Par conséquent, l extremum est un minimum, et il est atteint pour : x = b a = nx n = x. La nouvelle variance est donc minimale si on ajoute à la série une valeur égale à sa moyenne. i= Corrigé de l exercice 4. L algorithme affiche la liste : [,,] Il semble donc trier dans l ordre croissant les données de la liste entrée. 9

168 Un algorithme possible est : Algorithme 6: L algorithme complété Entrées L est une liste de nombres N est un nombre entier i et j sont des nombres entiers a, m, P, M sont des nombres indice est un nombre entier Initialisation Entrer L Traitement N prend la valeur Longueur(L) Pour i allant de à N m prend la valeur L[i] indice prend la valeur i Pour j allant de i+ à N Si L[j]<m alors m prend la valeur L[j] indice prend la valeur j Fin du Si Fin du Pour a prend la valeur L[i] L[i] prend la valeur L[indice] L[indice] prend la valeur a Fin du Pour P prend la valeur N Tant que P>= P prend la valeur P- Fin du Tant que Si P= alors M prend la valeur L[(n+)/] sinon M prend la valeur (L[N/]+L[N/+])/ Fin du Si Sortie Afficher L et M Corrigé de l exercice. Notons x la note au devoir coefficient. Il faut : (0, + + ) 8 + x 0, soit : 8 + x 0,. 60

169 On a alors : ou encore : x 8 x,. Il faut donc que Hugo obtienne une note supérieure ou égale à,/0 lors du prochain contrôle. a. Notons x = 4, la moyenne de la re S et x celle de la re S. Il faut : 0 4, + 6 x x x 6 x 9,. Il faut donc que la moyenne de la re S soit supérieure ou égale à 9,. b. Lors des précédents devoirs, x = 0, 8x. Ici, 0, 8x = 0, 8 4, =, 6. M. Zébulon peut donc se rassurer : il est fort probable que la moyenne de ses deux classes soit supérieure à /0. La variance des notes de Kevin est :, 64, 7. Notons n sa note au dernier devoir, x sa moyenne sur ses trois contrôles et V la variance. Alors : x = n V = Ä x ä Ä ä Ä ä + 8 x + n x On obtient : x = 8 + n V = î x (6 + 4n)x n ó En remplaçant dans la deuxième égalité x par son expression en fonction de n, on a : V = (8 + n) (6 + 4n) (8 + n) + } {{ } (4 + n ) =(8+n) = (8 + n) + (70 + 0n ) = (0n n 4n ) = (n 6n + ). 6

170 Ainsi, V =, 7 (n 6n + ) = 7 0 n 6n + = 7 0 n 6n + = 4 n 6n + 4 = 0 n 44n + 7 = 0. Le discriminant du polynôme 9n 44n est : = ( 44) 4 7 = 600 = 60. Ainsi, l équation admet deux solutions : n = =, et n = = 8,. Il y a donc deux notes possibles :, ou 8,. Mais le fait que l enseignante puisse tripler la note suggère que cette notte ne peut pas être 8, (sans quoi la note triplée serait supérieure à 0). Kevin a donc eu,/0. 6

171 Probabilités Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Différents ordinateurs A (Source : 09-proba-04) Corrigé page 69 Un couple décide d équiper leur foyer avec un nouvel outil informatique. Il vont alors sur un site Internet qui propose des appareils informatiques selon leur type, leur marque et leur puissance. Le couple hésite entre : pour le type : un ordinateur de bureau (B), un ordinateur portable (P) et une tablette (T) ; pour la marque : la marque M et la marque M ; la puissance : W et W. Combien de configurations sont possibles? (vous pouvez vous aider d un arbre) Si le couple choisit au hasard une configuration, quelle est la probabilité pour que l outil informatique choisi soit : a. une tablette? b. un ordinateur portable d une puissance W? c. un ordinateur de bureau de marque M? Exercice. 49 boules dans un urne A (Source : 09-proba-0) Corrigé page 69 Une urne contient 49 boules indiscernables au toucher, numérotées de à 49. On tire au hasard une boule de cette urne. On note : A l événement : «le numéro de la boule choisie est un nombre pair» ; B l événement : «le numéro de la boule choisie est un multiple de». Calculer P(A), P(B), P(A B) et P(A B). 6

172 Exercice. Deux urnes A (Source : 09-proba-0) Corrigé page 70 On considère un jeu où deux urnes U et U sont remplies de boules. Dans U, il y a 8 boules rouges, boules blanches et boule noire. Dans U, il y a boule rouge, 8 boules blanches et boules noires. Le joueur tire au hasard une boule dans U, puis une autre dans U. On note : R l événement : «la boule tirée est rouge» ; B l événement : «la boule tirée est blanche» ; N l événement : «la boule tirée est noire». Si les deux boules tirées sont de la même couleur, le joueur gagne 0 e ; sinon, il ne gagne rien. Pour jouer, on doit s acquitter d une somme de e. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Compléter l arbre de probabilités suivant : U U R B N R B N R B N R B N Déterminer la loi de probabilités de X. Calculer l espérance mathématique de X, puis interpréter ce résultat. 4 Calculer la variance puis l écart-type de X. Exercice 4. Avec deux dés A (Source : 09-proba-0) Corrigé page 7 On dispose d un dé cubique, dont les faces sont numérotées de à 6, et d un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de à 4). Ces dés sont parfaitement équilibrés. On lance ces deux dés et on s intéresse à la somme des deux chiffres obtenus. Soit X la variable aléatoire représentant l ensemble des sommes possibles. Donner la loi de probabilité de X. Calculer l espérance mathématique de X. 64

173 Calculer l écart-type de X. Exercice. Avec une pièce de monnaie A (Source : 09-proba-06) Corrigé page 7 On jette trois fois de suite une pièce de monnaie. Si on obtient trois fois «pile» ou trois fois «face», on gagne 00 e. Sinon, on perd 0 e (ce qui correspond à un gain de 0 e). Déterminer l espérance et l écart-type de la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu. On ajoute e aux gains. Quelle est alors l espérance et quel est l écart-type de la nouvelle variable aléatoire représentant le gain algébrique du jeu? On multiplie par les gains du jeu initial. Calculer alors l espérance et l écart-type de la nouvelle variable aléatoire représentant le gain algébrique du jeu. Exercice 6. Lancer de pièces A (Source : 09-proba-) Corrigé page 7 On lance pièces bien équilibrées valant respectivement e, e et e. On veut étudier la variable aléatoire X qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur «Pile». Représenter l expérience par un arbre pondéré. Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X? Donner la loi de probabilité de X. Quelle est la probabilité d obtenir un résultat supérieur ou égal à e? Exercice 7. Nombre variable de boules R (Source : 09-proba-0) Corrigé page 7 On dispose de deux urnes U et U. Dans U, il y a n boules noires et 0 boules blanches. Dans U, il y a 0 boules noires et n + boules blanches. On tire au hasard une boule dans chaque urne. Exprimer en fonction de n la probabilité de tirer deux boules de même couleur. Pour quelle valeur de n cette probabilité est maximale? Exercice 8. Recherche d une mise de départ R (Source : 09-proba-) Corrigé page 7 On dispose d une urne contenant boule noire, boule rouge, boules jaunes et boules bleues. Un jeu consiste à effectuer deux tirages successifs sans remise dans cette urne. 6

174 quand on tire une boule noire au er ou nd tirage, on ne gagne rien ; quand on tire une boule bleue au nd tirage, on gagne e ; quand on tire une boule jaune au nd tirage, on gagne e ; quand on tire une boule rouge au nd tirage, on gagne 0 e. Pour avoir le droit de participer, un joueur doit miser e. On appelle X la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu. Construire un arbre pondéré représentant la situation. Donner la loi de probabilité de X. Calculer l espérance mathématique de X. Quelle conclusion peut-on alors faire? 4 À la vue de la dernière conclusion, déterminer la mise de départ afin que le jeu soit équitable. La mise de départ trouvée à la question précédente ne satisfaisant pas à l organisateur du jeu, celui-ci souhaite modifier les règles du jeu. Il se demande s il peut trouver une mise de départ pour laquelle le jeu serait équitable s il multiplie tous les gains absolus (donc sans tenir compte de la mise de départ) par un entier a non nul. On pose Y la variable aléatoire représentant les gains algébriques de ce jeu avec les nouvelles règles. On note m la mise de départ. a. Expliquer pourquoi Y = ax + a m. b. Donner alors une réponse à la question de l organisateur. Loi binomiale Exercice 9. Avec une urne A (Source : 09-proba-07) Corrigé page 7 Une urne contient boules bleues et 7 boules vertes. On tire successivement au hasard et de façon indépendante boules de cette urne en les remettant dans l urne après avoir regardé leur couleur. On note X le variable aléatoire représentant le nombre de boules bleues tirées à la fin de cette expérience. Décrire X (donner la valeurs possibles de X). Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Calculer alors : a. P (X = 0) b. P (X = ) c. P (X ) 66

175 Exercice 0. Dans une usine de composants électroniques A (Source : 09-proba-08) Corrigé page 7 Le responsable de fabrication de l usine ELECTOP est chargé de contrôler une chaîne de production fabriquant un composant électronique. Sur composants pris au hasard, il constate que 7 sont défectueux. Il suppose donc que la probabilité d avoir un composant défectueux fabriqué par cette chaîne de production est égale à 0, Le mois suivant, il choisit au hasard sur cette chaîne de production 0 composants. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Calculer P (X ). Exercice. Au lycée à vélo A (Source : 09-proba-09) Corrigé page 76 Un élève se rend à vélo au lycée distant de km de son domicile à une vitesse supposée constante de km/h. Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu il soit au vert est. Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l élève sur son parcours et T la variable aléatoire égale au temps (en minute) mis par l élève pour aller au lycée. Déterminer la loi de probabilités de X. Exprimer T en fonction de X. Déterminer l espérance mathématique E (T) de T et interpréter ce résultat. 4 L élève part 7 minutes avant le début des cours. Calculer la probabilité que l élève soit en retard au lycée. Exercice. Au tennis A (Source : 09-proba-0) Corrigé page 76 Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu Alain gagne une rencontre est 0,6. Ils décident de jouer trois matches dans l année (les résultats des matches sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s offrir un repas en fin d année. À la fin de chaque match, le perdant versera 0 e. Benjamin s interroge sur sa dépense éventuelle en fin d année. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de matches gagnés par Benjamin et D la variable aléatoire correspondant à la dépense de Benjamin. Quelles sont les valeurs possibles de X? Exprimer 0 en fonction de D et en déduire les valeurs possibles de D. Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense 40 e est 0,4. Calculer l espérance de dépense en fin d année de Benjamin. 67

176 Exercice. Le jeu des petits chevaux R (Source : 09-proba-) Corrigé page 77 Le jeu des petits chevaux nécessite un dé. Dans ce jeu, un joueur doit faire un «6» pour sortir de son enclos et commencer la partie. Tans qu il n a pas fait de «6», il continue de lancer le dé (à tour de rôle avec les autres joueurs) jusqu à ce qu il en obtienne un. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de lancers de dé jusqu à obtention d un «6». Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne un «6» au premier lancer. En déduire P (X = ). Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne un «6» au second lancer. En déduire P (X = ). Å ã k Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel k, P (X = k) = On pose u n = P (X = n). et S n = n P (X = k). k= a. Montrer que (u n ) n est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. b. En déduire une expression simplifiée de S n. c. Montrer que lim n + S n =. On admet que l espérance mathématique de X est E (X) = 6 lim On pose alors f k (x) = x k, où k N, et F n (x) = n f k (x). k= a. Calculer f k(x), la dérivée de f k (x), en fonction de k. n n + k= b. En déduire que F n(x) = x (n + )xn + nx n+ pour tout x. ( x) Å ã n On admettra que lim n = 0. n + 6 c. En déduire E (X). Å ã k k. 6 68

177 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. Nous avons l arbre suivant : T B P M M M M M M W W W W W W W W W W W W Il y a donc configurations possibles. a. La probabilité de choisir une tablette est. b. La probabilité de choisir un portable d une puissance W est = 6. c. La probabilité de choisir un ordinateur de bureau de marque M est = 6. Corrigé de l exercice. P (A) = 4 49 car il y a 4 nombres pairs entre et 49. P (B) = 9 49 car B = { ;0 ; ;0 ; ;0 ; ;40 ;4}. P (A B) = 4 49 car A B = {0; 0; 0; 40}. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = =

178 Corrigé de l exercice. L arbre de probabilités complété est le suivant : U U R R B 4 B 4 4 N R B N R N B 4 N La probabilité d avoir deux boules rouges est : = 8. La probabilité d avoir deux boules blanches est : 4 = 6. La probabilité d avoir deux boules noires est : 4 = 48. Ainsi, la probabilité d avoir deux boules de la même couleur est : = 44. Par conséquent, la probabilité d avoir deux boules de couleurs différentes est : 44 = Le gain algébrique du joueur peut être e (s il paie e pour jouer et s il ne gagne pas) ou e (s il paie e et qu il gagne 0 e). On a alors : X 09 P(X) L espérance mathématique de X est : E (X) = E (X) = 8, 7 7 Cela signifie que si l on participe un grand nombre de fois à ce jeu, on peut «espérer» perdre en moyenne,7 e. 70

179 ï Å 4 La variance de X est : V (X) = V (X) = ãò 09 ï Å , ãò 44 Ainsi, σ (X) =» V (X) 0, 0 σ (X) 7, 07 L écart-type représentant l écart moyen à l espérance, le joueur peut espérer avoir un gain algébrique entre E (X) σ (X) 9, 64 e et E (X) + σ (X) 4, e. Corrigé de l exercice 4. L ensemble des sommes possibles est donné par le tableau suivant : On a alors : Dé Dé X P(X) E (X) = E (X) = 6 La variance de X est : V (X) = 6 donc son écart-type est σ (X) = 6. Corrigé de l exercice. La loi de probabilité de la v.a. X représentant le gain algébrique du jeu est : L espérance de X est donc : X 0 00 P(X) 4 Å ã = 4 E (X) = = 7,. Sa variance est : V (X) = 4 ( 0 7, ) + 4 (00 7, ) = 68,7 Son écart-type est alors : σ (X) = 68,7 47, 6. 7

180 On sait que E (X+a) = E (X) + a donc ici, E (X ) = 7, + =,. De plus, V (X+a) = V (X) et σ (X+a) = σ (X) donc la variance et l écart-type ne changent pas. E (ax) = ae (X) donc ici, E (X ) = 7, =. De plus, σ (ax) = aσ (X) donc σ (X ) = 47, 6 = 9, 6. Corrigé de l exercice 6. L arbre est le suivant : Ω P ( e) F (0 e) P ( e) F (0 e) P ( e) F (0 e) P ( e) F (0 e) P ( e) F (0 e) P ( e) F (0 e) P ( e) F (0 e) X = + + = X = = X = = X = = X = = 4 X = = X = = X = = 0 On a : X = {0 ; ; ; ; 4 ; } d après l arbre précédent, d où la loi de probabilité suivante : x i 0 4 P(X= x i ) = = P (X ) = P (X = ) + P (X = 4) + P (X = ) =. Corrigé de l exercice 7. La probabilité de tirer deux boules noires est : n n n + = La probabilité de tirer deux boules blanches est : 0n (n + 0)(n + ). 0 n + 0 n + n + = 0(n + ) (n + 0)(n + ). La probabilité de tirer deux boules de même couleur est la somme de ces deux probabilités donc : 0(n + ) (n + 0)(n + ) 7

181 Posons f(x) = Alors, 0(x + ) (x + 0)(x + ) = 0x + 0 x + x + 0. f (x) = 0(x + x + 0) (0x + 0)(x + ) (x + x + 0) = 0x + 40x x 40x 0x 0 (x + x + 0) = 0x 0x (x + x + 0) = 0( x x + 99) (x + x + 0) Le discriminant du polynôme x x + 9 est : Il a donc deux racines : et = = 96. x = 96 4 x = On a alors le tableau suivant : = + 99 = 99 > 0 < 0. x f (x) f 0 x On voit alors que f(x) atteint son maximum pour x = + 99 Ainsi, pour n = 9, la probabilité d obtenir deux boules de même couleur est maximale. 9. 7

182 Corrigé de l exercice 8. L arbre est le suivant : R 6 J B N = e = e 0 = e 7 7 J J B R = e = e 0 = 7 e N 0 = e 7 7 B 6 6 J B R = e = e 0 = 7 e N 0 = e N 0 = e D après l arbre précédent, P (X = ) = = 7 P (X = ) = = 4 P (X = ) = = P (X = 7) = = 4 La loi de probabilité de X est alors : x i 7 P (X = x i ) E (X) = ( ) 7 + ( ) = 4. Ainsi, le jeu est plutôt défavorable au joueur. 74

183 4 E (X) = donc il faut ajouter à la mise de départ e, soit à peu près 0,6 e. 4 4 La mise de départ doit donc être égale à 0, 6 =, 74 e. a. Les gains absolus du jeu initial sont donnés par X + (on ne considère pas ici la mise de départ de e). Si on multiplie tous les gains absolus par a, les nouveaux gains sont donnés par la variable aléatoire a(x + ) = ax + a. En tenant compte de la mise souhaitée m, on arrive à la variable aléatoire Y = ax + a m. b. E (Y) = E (ax+a m) = ae (X) + a m par linéarité de l espérance. Ainsi, E (Y) = a + a m. 4 Si le jeu est équitable, il faut que E (Y) = 0, donc m = a a, soit m = Å ã a = < 0. Or, la mise de départ doit être positive. 4 4 Par conséquent, l organisateur ne peut pas trouver de mise pour que le jeu soit équitable avec ces nouvelles règles. Corrigé de l exercice 9. X = {0 ; ; ; ; 4 ; }. En effet, sur tirages successifs avec remise de la boule tirée, on peut n avoir aucune boule bleue comme en avoir,,, 4 ou. L expérience consistant à choisir au hasard une boule de l urne est une épreuve de Bernoulli dont le succès est S : «avoir une boule bleue», dont la probabilité est p = = 0,. 0 Ainsi, si l on répète de façon indépendante fois cette expérience, cela constitue un schéma de Bernoulli ; ainsi, la variable aléatoire représentant le nombre de succès obtenus à l issue de ce schéma suit la loi binomiale B ( ; 0, ). X B ( ; 0, ) donc P (X = k) = ( ) n p k ( p) n k, avec p = 0,. Ainsi : k ( ) a. P (X = 0) = 0, 0 ( 0, ) 0 = 0, 7 = 0, ( ) b. P (X = ) = 0, 0, 7 = 0,. c. P (X ) = P (X < ) = P (X = 0) = 0,68 07 = 0,8 9. Corrigé de l exercice 0. L expérience consistant à choisir au hasard un composant électronique est une épreuve de Bernoulli dont le succès est : «le composant est défectueux» et donc la probabilité est p = 0, Ainsi, répéter 0 fois de façon indépendante cette expérience constitue un schéma de Bernoulli et le nombre de succès obtenus est représenté par une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (0 ; 0,000 7). 7

184 P (X ) = P (X ) = Ä P (X = 0) + P (X = ) ä [( ) 0 = 0, ( 0,000 7) (0, , ) 0, ( ) ] 0 0,000 7 ( 0,000 7) 9 Corrigé de l exercice. Å X suit la loi binomiale B 6 ; ã. En effet, l expérience consistant à arriver à un feu tricolore et à regarder sa couleur est une épreuve de Bernoulli dont le succès est ici S : «le feu est vert» et dont la probabilité est égale à d après l énoncé. Sans feu tricolore, le temps nécessaire pour parcourir km avec une vitesse de km/h est 60 = minutes (en effet, si on fait km en 60 minutes, km seront faits en de 60 minutes). À ces minutes, il faut ajouter, minute par feu rouge ou orange. La variable aléatoire représentant le nombre de feux rouges ou oranges est (6 X) donc : T = +, (6 X) soit : T =, X. D après une propriété du cours, exp T = E (,X) =, E (X). Or, E (X) = 6 = 4. Ainsi, E (T) =, 4, soit E (T) =. L élève peut donc s attendre arriver au lycée minutes en moyenne après son départ. 4 On cherche P (T > 7). P (T > 7) = P (, X > 7) = P (, X > 7 ) = P (, X > 4) Ç = P X < 4 å, Å = P X < 8 ã = P (X ) car X est un nombre entier = P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) = 7 0,. 79 Corrigé de l exercice. X = {0 ; ; ; }. D = 0( X) donc D = {0 ; 0 ; 40 ; 60}. 76

185 P (D = 40) = P (60 0X = 40) = P ( 0X = 0) = P (X = ) ( ) = 0, 4 0, 6 = 0, 4. E (D) = E (60-0X) = 60 0E (X) = 60 0 ( 0, 4) = 6. Benjamin peut donc s attendre à dépenser en moyenne 6 e par an. Corrigé de l exercice. La probabilité d obtenir un «6» au premier lancer est 6 équilibré). (en supposant que le dé est Donc P (X = ) = 6. Obtenir un «6» au second lancer sous-entend que l on a obtenu une autre face que «6» au premier lancer, de probabilité 6 = 6. La probabilité d obtenir un «6» au second lancer est donc égale à 6 6 = 6. Ainsi, P (X = ) = 6. Obtenir un «6» au k-ième lancer signifie avoir obtenu (k ) autres faces que «6» Å ã k avant, dont la probabilité est égale à. 6 Å ã k Ainsi, P (X = k) = 6 6. Å ã n 4 a. u n = 6 6. Ainsi, u n+ u n = Ä ä n 6 6 ã n 6 Å 6 = 6. Donc (u n ) n est une suite géométrique de raison q = 6 et de premier terme u = 6. 77

186 b. D après le cours, la somme des n premiers termes d une suite géométrique est égale de termes dans la somme à : er raisonnombre terme. S n représente la somme des n raison premiers termes de (u n ) n donc : S n = 6 Ä ä n 6 6 = 6 Ä ä n 6 S n = 6 Å n 6ã c. 0 < Å ã n < donc lim = 0. 6 n + 6 Ainsi, lim S n =. n + a. f k (x) = x k donc f k(x) = kx k. b. F n (x) = f (x) + f (x) + + f n (x) = x + x + x + + x n = x Ä + x + x + + x n ä = x xn x = x xn+ x Ç x x n+ å Donc F n(x) =. x F n (x) est de la forme u v donc F n = u v uv avec : v u(x) = x x n+ donc u (x) = (n + )x n ; v(x) = x donc v (x) =. On a alors : F n(x) = î (n + )x n ó ( x) ( ) Ä x x n+ä ( x) = (n + )xn x + (n + )x n+ + x x n+ ( x) F n(x) = x (n + )xn + nx n+ ( x) c. F n(x) = f (x) + f (x) + + f n(x) = + x + x + + nx n n = kx k. k= 78

187 Donc : Or, Å n Å k F n 6ã = k k= 6ã ä n+ = (n + ) Ä n Ä 6 6ä + n 6 ( (d après la question précédente) 6 ) = 6 (n + ) Ä Å ã n lim = 0 donc n + 6 Donc E (X) = 6 lim n n + k= 6ä n + n Ä 6 6 ä n+ Å ã lim F n + n = = 6. Å ã k k = =. 79

188 Fluctuation et échantillonnage Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Pièce défectueuse A (Source : 0-fluct-0) Corrigé page 8 Dans une usine de fabrication de composants électroniques, une chaîne de montage est destinée à la fabrication d une carte mère. Des études précédentes, on peut admettre que si l on choisit au hasard une carte mère fabriquée par cette chaîne de montage, la probabilité qu elle soit défectueuse est égale à p = 0,0. Le contremaître vérifie un échantillon de 000 cartes mères à la sortie de cette chaîne. Il constate que 8 pièces sont défectueuses. Déterminer l intervalle de fluctuation au seuil de 9 % du nombre de pièces défectueuses fabriquées par cette chaîne de montage. Peut-on considérer que cette chaîne de montage doit être de nouveau réglée? Exercice. Un dé peut-être truqué A (Source : 0-fluct-0) Corrigé page 8 Mathieu propose à Mathilde de jouer avec un dé qu il a fabriqué lui-même. Mathilde, suspicieuse, souhaite vérifier si le dé de Mathieu est bien équilibré. Pour cela, elle le lance 0 fois et obtient fois la face. Quelle est la proportion théorique du nombre de faces que l on doit obtenir si le dé est équilibré? Justifier que la loi binomiale peut être utilisée dans ce cas pour déterminer, au seuil de 9 %, l intervalle de fluctuation du nombre de lancers. Préciser alors les paramètres de cette loi binomiale. Déterminer l intervalle de fluctuation au seuil de 9 % du nombre de faces obtenues. Peut-on alors considérer que le dé de Mathieu est équilibré? Exercice. Le médecin de campagne A (Source : 0-fluct-0) Corrigé page 8 Un médecin, habitué à changer de commune rurale régulièrement, estime qu au mois de janvier de n importe quelle année, il y a 0 % de la population qui chope cette maudite grippe. 80

189 Cette année, en fin du mois de janvier, il constate que % de la commune où il vient de s installer ont été touchés par la grippe. On peut compter 489 habitants dans cette commune. Est-ce que ce médecin peut s inquiéter de ce pourcentage? Exercice 4. Les OVNIS A (Source : 0-fluct-04) Corrigé page 8 Aux États-Unis d Amérique, on admet que la fréquence mensuelle à laquelle on enregistre des déclarations d habitants ayant vu des OVNIS (Objets Volants Non Identifiés) est égal à f = 0,000 0 ( habitants sur ). Dans la ville d Albuquerque (Nouveau-Mexique), peuplé de 6 49 habitants (d après le recensement de 0), 0 personnes ont déclaré avoir vu des OVNIS. Est-il raisonnable de penser que ce nombre est trop grand pour l ignorer? Exercice. Coup de fatigue au centre d appels A (Source : 0-fluct-0) Corrigé page 8 Dans un centre d appels, on arrive à répondre en moyenne à 8 appels sur 0. Un jour, le responsable s aperçoit à la fin de la journée que sur 7 80 appels, seulement 6 00 ont été traités. Le responsable doit-il envisager des sanctions envers ses subordonnés? 8

190 Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. On peut assimiler le fait de choisir au hasard parmi des 000 pièces de notre échantillon l un d elles à un tirage avec remise. Ainsi, si X désigne le nombre de pièces défectueuses, X suit la loi binomiale B ( 000 ; 0,0 ). On a alors le tableau suivant : k P (X k) L intervalle de fluctuation au seuil de 9 % est alors : [6 ; 0]. Il y a eu 8 pièces défectueuses et 8 [6 ; 0] donc la machine est conforme aux réglages attendus. Il n y a donc pas lieu de la réglée à nouveau. Corrigé de l exercice. La proportion théorique de obtenus est 6 si le dé est équilibré. Les 0 lancers du dé constituent 0 répétitions de la même expérience et ce, de façons indépendantes. Ainsi, la loi binomiale peut être utilisée et X (représentant le nombre de obtenus) suit la loi B Ä 0 ; 6ä. 8

191 On a le tableau suivant : k P (X k) L intervalle de fluctuation au seuil de 9 % est donc [6 ; 4]. Mathilde a obtenu fois la face ; or, / [6 ; 4]. On peut donc supposer, au risque de % (de se tromper) que le dé n est pas équilibré. Corrigé de l exercice. Pour répondre à cette question, déterminons l intervalle de fluctuation au seuil de 9 % du pourcentage d habitants atteints par la grippe. On peut utiliser la loi binomiale B ( 489 ; 0, ) (le 0, correspond à 0 %, qui est le pourcentage «théorique» de malades de la grippe en janvier). k P (X k) L intervalle de fluctuation est donc (termes exprimés en pourcentages). ï ; 7 ò, soit approximativement [8, 78 ;, 08] 489 Le taux de malades de la grippe en janvier étant de % et % n étant pas compris dans l intervalle de fluctuation au seuil de 9 %, il peut envisager, au risque d erreur de %, que la situation n est pas normale. 8

192 Corrigé de l exercice 4. Aidons-nous de la loi binomiale B (6 49 ; 0,000 0) : k P (X k) Il n est donc pas anormal qu il y ait entre 9 et personnes par mois qui déclarent avoir vu des OVNIS. Ainsi, il n est pas utile de s inquiéter dans le cas présent : au risque d erreur de %, avoir 0 personnes déclarant avoir vu des OVNIS est «normal»... Corrigé de l exercice. Aidons-nous de la loi binomiale B (7 80 ; 0, 8) : k P (X k) L intervalle de fluctuation des fréquences d acceptation des appels est donc approximativement [0, 79 ; 0, 808]. Ici, la fréquence d acceptation des appels est égale à ï ; 6 ò, soit , 79 [0, 79 ; 0, 808]. Par conséquent, au risque d erreur de %, on peut considérer que cette fréquence d acceptations des appels est normal (dans la moyenne basse). Le responsable n a donc pas à réprimander ses subordonnés. 84