C l a u d e T h i é b e r t 4 60 DEVOIRS CORRIGES

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1 Claude Thiébert 460 DEVOIRS CORRIGES

2 DEVOIR NUMERO NOTIONS DE BASE EXERCICE Effectuer les calculs suivants :. X = ( a+ b+ c) + ( a+ b c) + ( a b+ c) + ( b+ c a). Y = ( a + b )( c + d ) ( ac + bd ) ( ad bc) Factoriser Z = 4b c ( b + c a ) EXERCICE 4 Simplifier les nombres A, B et A B. ( ) ; ( ) A = ab a b B = a b a b a b. EXERCICE Simplifier le nombre C = EXERCICE 4 Simplifier l expression après avoir réduit au même dénominateur : a+ + a D = + + a a. EXERCICE 5 Les réels a,b et c sont trois nombres strictement positifs. ab a + b. Montrer que :. a+ b 4 ab bc ca a + b + c. En déduire que + +. a+ b b+ c c+ a EXERCICE 6 Résoudre l équation : x + = 0. x x x ( + )

3 REPONSES EXERCICE ( ) ( )( )( )( ) X = 4 a + b + c ; Y = 0; Z = a b+ c a+ b+ c a+ b+ c b+ c a EXERCICE = ; = ; =. A a b B a b C a b EXERCICE C = 6 5 EXERCICE 4 ( ) ( a + a + ) a + a + a + D = = = x 6 6 ( ) a a a EXERCICE 5 ( a b) ( ) ab a + b = a+ b 4 4 a+ b d où l inégalité à prouver. EXERCICE 6 L équation est équivalente à x + x x ( + ) = 0. Cette équation a une solution x =

4 EXERCICE Simplifier l'écriture suivante: EXERCICE DEVOIR NUMERO :NOTIONS DE BASE 6 4 5: x 0 Simplifier l'écriture suivante : : x 4x5 EXERCICE a. Ecrire sans radicaux au dénominateur : + + b. Montrer que = 0 EXERCICE 4 a. Résoudre les équations suivantes: +x - = - x x+ - x (x - 8)- (x - 4) - (x - ) = 0 b. Résoudre l'inéquation suivante. (x -) - (x +5) x -6 0 EXERCICE 5 Simplifier l'écriture de l'expression x x x + x(x ) + x+

5 DEVOIR NUMERO NOTIONS DE BASE EXERCICE 4a Soit a un réel. Montrer que. a + EXERCICE Soit a et b deux réels positifs. Montrer que ( ) EXERCICE Soit a et b deux réels positifs tels que a b. 8 + a + b ab a b Soit X = a+ a b + a a b. Montrer que le nombre X existe. Calculer X. En déduire une expression simple de X. EXERCICE 4 Soit la fonction f définie par f(x) = x + + x -. Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue.. Représenter graphiquement la fonction f.. Résoudre par le calcul : a. f(x)= 8 b. f(x) 0 c. Vérifier les résultats graphiquement. EXERCICE 5 x 4. Résoudre = x x+ 9x x x+. Résoudre x x+ EXERCICE 6 Un bateau assure la navette entre deux villes A et B distantes de d et situées sur le bord d un fleuve. La vitesse du bateau est v B La vitesse du courant est v c.. Exprimer la durée t du trajet aller-retour en fonction de d et de v B, en l absence de courant. Montrer que la durée T du trajet aller-retour, en présence de courant est : d d T = + v + v v v B c B c.. Etudier le signe de T - t. Le courant est-il favorable?

6 EXERCICE SOLUTIONS 4a Démontrons que pour a réel.. a + Puisque a + > 0, démontrer Or 4a ( a + ) 0 ( a ) 4a a + La dernière inégalité est vraie donc la première aussi. équivaut à démontrer que 4a ( a ) +. EXERCICE Démontrons que pour a et b strictement positifs. ( ) 8 +. a + b ab a b Il y a deux inégalités à démontrer. Ce calcul a donc deux parties. 8 a + b ab o Montrons que : ( ) Les éléments de l inégalité à démontrer sont positifs donc montrer que : 8 ab ( a + b) équivaut à montrer que : 4 ab ( a + b ). Or 4 ab ( a b ) 0 ( a b ) +. La dernière inégalité est vraie donc la première aussi. o Montrons que : ab a + b. Les éléments de l inégalité à démontrer sont positifs donc montrer que: a+ b équivaut à montrer que : soit encore ab a + b ab ab Or ( ) ab a + b 0 a b. ab a + b La dernière inégalité est vraie donc la première aussi.

7 EXERCICE Soit a et b deux réels positifs tels que a b. Soit X = a+ a b + a a b. o Montrons que le nombre X existe. X existe, si les nombres qui figurent sous le signe sont positifs. Puisque a b 0 alors a - b 0 donc a b existe. Puisque a 0 et que a b existe, alors a+ a b 0 donc a+ a b existe. Il est évident que a a - b 0 donc a a b donc a a b donc a a b 0 donc a a b existe o Calcul de X. X est une expression de la forme X= x + y avec x= a+ a b et y = a a b Par suite X = (x+y) = x +y +xy. Ce qui donne : X = a+ a b + a a b = a+ a b + a a b + a+ a b a a b ( )( ) = a+ a b + a a b + a+ a b a a b = a+ b o Expression simple de X. Puisque a et b sont positifs, X = ( a+ b) implique X = ( a+ b)

8 EXERCICE 4 Soit la fonction f définie par f(x) = x + + x -. Ecriture de f(x) sans les barres de valeur absolue. x - x+ -x- x+ x+ x - -x+ -x+ x- f(x) -x- 5 x+. Représenter graphiquement la fonction f.. Résolutions : a. f(x)= 8 f(x)=8 équivaut à x = 8 et x x+ = 8 et x ce qui donne x = --4,5 ou x =,5 x 0 et x b. f(x) 0 équivaut à 5 0 et x ce qui donne -5,5 x 4,5 x + 0 et x c. Vérification des résultats graphiquement. Les solutions de a. sont les abscisses des points de la courbe représentative de f d ordonnées égales à 8 Les solutions de b. sont les abscisses des points de la courbe représentative de f d ordonnées inférieures ou égales à 0.

9 EXERCICE 5 x 4. Résolution de : = x x+ 9x L équation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : 9x 9x = 0. Cette équation n a pas de solution car la valeur qui annule le numérateur annule aussi le dénominateur. x x+. Résoudre x x+ L inéquation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : x + 0 ( x )( x+ ) 0. Un tableau de signe donne pour solution l ensemble S=[ ; [ ] ;5[ EXERCICE 6. Expression la durée t du trajet aller-retour en fonction de d et de v B, en l absence de courant. d Si on utilise la relation Distance= Vitesse x Temps, on trouve que : t =. V. Calcul de la durée T du trajet aller-retour, en présence de courant: Durée T du trajet dans le sens du courant. Dans ce cas la vitesse du bateau est V B +V C. On a donc d = (V B +V C )xt. Par suite T = V B d + V C Durée T du trajet contre le courant. Dans ce cas la vitesse du bateau est V B -V C. On a donc d = (V B -V C )xt. Par suite T = V B d V C. Nota : on suppose que le bateau va plus vite que le courant. Le temps du trajet est T= T +T. Ce qui donne : T. Etudier le signe de T - t. Le courant est-il favorable? d d = + v + v v v B c B c d d d dvc T t = + = d + = V + V V V V V + V V V V V V V V + V. B ( )( ) B C B C B B C B C B B B C B C Le nombre T t est positif donc le courant n est pas favorable.

10 DEVOIR NUMERO 4: NOTIONS DE BASE EXERCICE Soit deux réels a et b tels que a<b et deux réels x et y strictement positifs. ax + by Montrer que a < < b x+ y EXERCICE Soit trois réels x, y et z non nuls. Comparer les nombres 9 x(y z) + y(z x) + z(x y) + + et x y z x + y + z xyz(x + y + z) EXERCICE Soit x un réel quelconque. Montrer que si x alors x EXERCICE 4 Soit f(x) l'expression : f(x)= x+ + x-5 Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue Résoudre f(x) = Résoudre f(x) EXERCICE 5 Soit 4 réels x, y, z et t non nuls. Montrer que: x y z t y z t x (xz yt)(t y)(x z) = y z t x x y z t xyzt EXERCICE 6. Le prix initial d un article est p Il augmente de 5 %. Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au nouveau prix pour retrouver le prix initial p? Justifier la réponse.. Un article augmente de 0% par an pendant 4 ans. Calculer le pourcentage global d augmentation sur les quatre années. Justifier la réponse. Pas de solution à ce devoir

11 DEVOIRS NUMERO 05 NOTIONS DE BASE EXERCICE Ecrire simplement les nombres A et B. ( ) ( ) 4 A = ab a b ab ; EXERCICE B = ( ab c ) 4 a ( b c ) a. On note a et b deux réels strictement positifs et distincts 4 Simplifier l écriture de b a - a b A= b- a b. Soit B = Calculer B. En déduire la valeur exacte de B. c. Soit b le nombre : b= Montrer que: + 4 b =0b -. d. Soit c le nombre égal à : + 5 c=. Montrer que c= - + c EXERCICE Résoudre les équations et inéquations suivantes +x a. - = - x x+ - x b. (x - 8)- (x - 4)- (x - ) = 0 Nota: a -b = (a - b)(a + ab + b ) (x -) -(x +5) c. 0 x -6 EXERCICE 4 a, b sont deux réels strictement positifs. 8 Démontrer que. ( a+ b) ab

12 EXERCICE SOLUTIONS SUCCINCTES 05 A=a - b 4 B=a - b 0 c -8. EXERCICE a. A = b a a b b + a b ab a ab x = = b a b + a b a ab B = = = 4 b. ( ) ( ) ( ) 4 c. b= - ; b =5-6 ; b = b -= = On a bien l égalité demandée. d = = = = = =c c

13 EXERCICE a. L équation +x - = - x x+ - x x - 4 est équivalente à - x =0. Cette équation a une solution : 4 x=. b. (x - 8) - (x - 4) - (x - ) = 0 s écrit : (x-)(x +x+4)-(x-)(x+)-(x-)=0 soit encore : (x-)(x +x)=0 soit x(x-)(x+) = 0 Cette équation a comme ensemble des solutions : S= ;0;- (x -) -(x +5) (-x - 6)(5x + 4) c. 0 0 x -6 (x - 4)(x + 4) Dressons un tableau de signe. x /5 4 x x x x (-x - 6)(5x + 4) (x - 4)(x + 4) Cette inéquation a comme ensemble des solutions : ]- ;-6] ]-4;- ] ]4; + [ EXERCICE 4 Démontrer que ( a+ b) ab 8 Or cette inégalité est vraie car : D abord on a :( a- b) 0 et : ( ) 8 est équivalent à démontrer que ( a+ b) ab, c est-à-dire à prouver que :( a+ b) 4 ab a- b 0 ( a+ b) -4 ab 0 ( a+ b) 4 ab. 4 5

14 EXERCICE DEVOIRS NUMERO 06 NOTIONS DE BASE Soit a un réel donné plus grand que. a a + Lequel des nombres et est plus près de. a + a EXERCICE Démontrer que pour tout réel a, b, c et d on a : ab+ cd a + c b + d ( )( ) EXERCICE Soit la fonction f définie par f(x) = x+ + x+5. Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue.. Représenter graphiquement la fonction f.. Résoudre par le calcul : a. f(x)= b. f(x) c. Vérifier les résultats graphiquement. EXERCICE 4 Résoudre a. x 4 = x x+ 9x b. x x x x+ EXERCICE 5 J'ai trois l'age que vous aviez quand j'avais l'age que vous avez. Quand vous aurez l'age que j'ai, nous aurons 40 ans à nous deux Trouvez mon age? EXERCICE 6 Depuis 0 ans, les prix ont augmenté de %. Le salaire de Pierre a augmenté de %. De combien a augmenté son pouvoir d achat. Aide : On appelle pouvoir d achat le rapport R= salaire prix. Si on appelle R 0 le pouvoir d achat il y a 0 ans et R le pouvoir d achat d aujourd hui. L augmentation de pouvoir d achat est égale au pourcentage d augmentation de R 0 à R

15 EXERCICE SOLUTIONS SUCCINCTES 06 Notons x = a a+ et y = a +. a Pour déterminer lequel de ces deux nombres est le plus près de, calculons x- et y- x = ; a + EXERCICE y =. Or : a < a+ a donc x est plus près de que y. L'idée est d'élever au carré chaque membre de l'inégalité à démontrer. Mais on sait que cette opération nécessite des précautions quand les deux membres de l'inégalité ne sont pas du même signe. Dans l'inégalité qu'il faut démontrer, l'un des membres ( (a + c )(b + d ) ) est toujours positif mais l'autre (ad + cd) non.. c'est pourquoi, il est nécessaire d'envisager deux cas. Cas : (ad + cd) < 0 l'inégalité est vraie de manière évidente car (a + c )(b + d ) est positif Cas : ad + cd 0 Dans ce cas, il est équivalent de démontrer : ad + cd (a + c )(b + d ) ou (ad + cd) (a + c )(b + d ) or : (ad + cd) (a + c )(b + d ) (ad + cd) - (a + c )(b + d ) -(ad - bc ) 0. La dernière inégalité est vraie donc ad + cd (a + c )(b + d ) aussi. EXERCICE. Ecriture de f(x) sans barre de valeurs absolues. x x+ -x- -x- x+ x+5 -x-5 x+5 x+5 f(x) -x-7 x+7. Représentation de f.

16 . Résolution des équations. a. f(x) = f(x)= (-x-7= et x -5 ) ou (= et -5 x -) ou (x+7= et x -). L'ensemble des solutions est [-5 ; -]. b. f(x) f(x) (-x-7 et x -5 ) ou ( et -5 x -) ou (x+7 et x -) (-9 x et x -5 ) ou (-5 x -) ou (x et x -) L'ensemble des solutions est [-9 ; ]. c. Vérification graphique. Notons C la représentation graphique de f. Les solutions de f(x)= sont les abscisses des points de C d'ordonnée Les solutions de f(x) sont les abscisses des points de C dont l'ordonnée est inférieure à. EXERCICE 4 9x a. L'équation donnée est équivalente à l'équation: = 0 (x )(x + ) Cette équation n'a pas de solution. ( x + 5) b..cette inéquation est équivalente à (x )(x + ) 0 soit (x + ) = 0 Un tableau de signe montre que l'ensemble des solutions est :]- ; - [ U ] ; 5 ] EXERCICE 5 Notons A et B les deux personnes, a et b leur âge. Supposons que A soit plus âgé que B. La différence d'âge entre les deux est a - b Quand A avait l'âge de B, B avait b - d années donc l'âge de A est a = (b - d) = (b - a). Cette relation se simplifie et s'écrit: 4a = 6b. Quand B aura l'âge de A, A aura a + d années c'est à dire a + (a - b) = a - b. On sait qu'alors la somme de leurs âges est 40 donc a+ (a - b) = 40 soit a - b =40 4a = 6b Les nombres a et b sont solutions du système a b = 40 On obtient a = 60 et b = 40.

17 EXERCICE 5 Notations R 0 l'ancien pouvoir d'achat.r le pouvoir d'achat actuel..s 0 le salaire ancien.p 0 les prix anciens. S le salaire actuel. P les prix actuels. S0 On a : R 0 = P ; R S = P ; S = S P = P S0 S Donc R = = = R 0 P P Le taux d'augmentation du pouvoir d'achat est alors + 00 R 0 R0 + + R R = = = 8,9% R 0 R0 + 00

18 DEVOIRS NUMERO 07 VECTEURS ET EQUATIONS EXERCICE Soit un triangle (ABC).. Construire les points M, N et L tels que : 4 AL + BA = O ; CB + BM = O ; 5NC + CA = O. Exprimer LN et LM en fonction de AB et AC. En déduire que les points L,M et N sont alignés. EXERCICE On note A le point de coordonnées ( ; ), B le point de coordonnées (4 ; ), C le point de coordonnées ( ; 6). I est le milieu de [BC], J est le point tel que ACJI est un parallélogramme, K le point tel que ACKB est un parallélogramme, et L le point tel que AILB est un parallélogramme. Prouvez que J, K et L sont alignés. EXERCICE Dans le plan rapporté au repère( Oi ;; j), on considère les points A( ;0) B(- ;) C( ;). Calculer l équation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle (ABC).. Calculer l équation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle (ABC).. En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle (ABC).

19 SOLUTIONS 07 EXERCICE. Construction des points M, N et L. On a : AL = AB ; BM = BC ; CN = CA Expression de LN et LM en fonction de AB et AC. L,M et N sont alignés. LN = LA + AC + CN = AB + AC LM = LA + AB + BM = AB + AC 4 Doù ' : LM= 5LN

20 EXERCICE. Coordonnées de J. Le point I a comme coordonnée ( ; 4) Notons (x ; y) les coordonnées de J. ACJI est un parallélogramme, équivaut à écrire que: CJ = AI. x Les coordonnées de CJ sont : y 6 Les coordonnées de AI sont Donc AC = AI équivaut à x = 4 et y = 8 Ce qui donne J (4,8). Coordonnées de K. Puisque ACKB est un parallélogramme, on a : CK = AB. En utilisant la même méthode que précédemment on trouve que : K (5,6). Coordonnées de L Puisque AIKL est un parallélogramme, on a : AI = BL. En utilisant la même méthode que précédemment on trouve que : L (6,4) 4. J, K, L alignés. Il est facile de vérifier que K est le milieu de [JL]

21 EXERCICE. Equation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle (ABC). Soit A le milieu de [AB]. On a : A ( ; ) 0 Cette médiane est la droite passant par A et admettant le vecteur AA' vecteur directeur. Son équation cartésienne est : x =. comme. Equation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle (ABC). Soit B le milieu de [AC]. On a : B ( ; 0,5) Cette médiane est la droite passant par B et admettant le vecteur BB ' vecteur directeur. comme Son équation cartésienne est de la forme - x - y + k = 0. Comme cette médiane passe par B donc les coordonnées de B vérifient l équation - x - y + k = 0. Ce qui donne k = - 4,5 L équation cartésienne de la médiane issue de B est donc x+y - 4,5=0 Cette équation peut s écrire encore x + y - =0. Coordonnées du centre de gravité du triangle (ABC). Le centre de gravité du triangle (ABC) est le point d intersection G des deux médianes (AA ) et (BB ). Autrement dit c est le point G dont les coordonnées (x ;y) vérifient à la fois l équation de (AA ) et celle de (BB ) Il est facile de trouver G (, )

22 DEVOIR NUMERO 08 VECTEURS ET FONCTIONS EXERCICE ABC est un triangle Les points D et E sont symétriques de A par rapport respectivement à C et à B. F et G sont les milieux respectifs des segments [BD] et [ED]. Prouver que F est le milieu de [C G]. EXERCICE ABCD est un parallélogramme. Les points E,F,G et H sont définis par: AE =. AD ; BF =.BC ; CG =.CB ; CH =.CD 8 4 Prouver que les droites (EF) et (GH) sont parallèles. EXERCICE Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition.. g(x) = x x. x x l(x) = x +. x v(x) = x 4x 4. w(x) = x x EXERCICE 4 Les fonctions f et g sont-elles égales? x x f : x! g : x! x + x +

23 SOLUTIONS 08 EXERCICE! G est le milieu de [ED], B est le milieu de [AE] donc la droite (GB) est parallèle à la droite (CD).! B est le milieu de [AE], C est le milieu de [AD] donc la droite (BC) est parallèle à la droite (GD).! En conséquence, le quadrilatère BCDG est un parallélogramme car ses cotés sont parallèles deux à deux. Il en résulte que ses diagonales [BD] et [CG] se coupent en leur milieu. F le milieu de [BD] est donc aussi milieu de [GC]. EXERCICE " " """# """# """# """# """# """# """# """"# """# EF = EA + AB + BF =.AD + AB +.AD =.AD + AB 8 8 """# """# """# """# """# """# """# """# """# """# HG= HC + CG =.CD +.CB =.AB.AD =.AD + AB =.EF """# """# Les vecteurs HG et EF sont colinéaires donc les droites (HG) et (EF) sont parallèles.

24 EXERCICE. g(x) = x Le domaine est! - {0} x. l(x) = x x + x Le domaine est!. x. v(x) = x 4x Le domaine est!- { 0 ; 4} 4. w(x) = x x Le domaine est l'ensemble des nombres x tels que -x >0 c'est à dire: ]- ; [ EXERCICE 4 x - f(x) existe x + 0 et 0 x + x ] -,-[ [, + [ g(x) existe D D D f g f = ], [ [, + [ = [, + [ D g x - 0 et x + > 0 x et x > - x [, + [ donc les fonctions f et g ne sont pas égales

25 EXERCICE DEVOIRS NUMERO 09 VECTEURS ET FONCTIONS Soit f la fonction définie par f(x) = x + x. On note C sa représentation graphique dans le repère orthonormal{ O;i;j}.. Etude de f. a. Soit O' le point de coordonnées (- ; - ). Déterminer la fonction F dont la. En déduire la représentation graphique est C dans le repère { O' ; i ;j } construction de C. b. Déterminer la valeur minimum de F(x). En déduire la valeur minimum de f(x).. Soit g la fonction définie par g(x)= + x+. On note Γ sa représentation graphique dans le repère orthonormal { O ; i; j}. a. Donner le domaine D g de g. b. Quel est le sens de variation de g sur D g. c. Déterminer la fonction G dont la représentation graphique est C dans le repère. En déduire la construction de Γ. { O';i;j}. Composées gof et fog. a. Montrer que domaine D gof de gof est. Calculer gof(x). b. Quelle est le domaine D fog de fog? Calculer fog(x). c. Résoudre gof(x) = fog(x). 4. Soit α avec α -. On note β = f(α) Le but de la question est de comparer les courbes C et Γ sur l'intervalle [- ; + [. a. Soit M un point de C d'abscisse α. Calculer son ordonnée. b. Montrer qu'il existe un point N de Γ d'abscisse β. Calculer son ordonnée. Comment sont les points M et N par rapport à la droite d'équation y = x. En déduire que sur l'intervalle [- ; + [ les courbes C et Γ sont symétriques par rapport à la droite. EXERCICE. ABCD est un parallélogramme. k k et k 0. E et G sont les points tels que AE= kab et AG = ( k)ad. On mène par E la parallèle à (AD) quoi coupe (CD) en H, et par G la parallèle à (AB) qui coupe (BC) en F. Démontrez que les droites (EF), (AC) et (GH) sont parallèles. On pourra se placer dans le repère{ A;AB. AC}.

26 EXERCICE. Etude de f. a. Fonction F. Construction de C. SOLUTIONS 09 Soit M un point de C. Notons (x;y) ses coordonnées dans { O;i;j} coordonnées dans { O' ; i ;j } et (X;Y) ses On a entre ces nombres les relations : x = X - et y = Y -. Un point M est sur C si seulement si ses coordonnées (x;y) vérifient y = x + x c'est à dire si et seulement si Y- = (X-) + (X-) soit encore si et seulement si Y = X Donc un point M de coordonnées (X;Y) est sur C si et seulement si Y=X. la représentation de la fonction F En conclusion, C est dans le repère { O' ; i ;j } définie par : F(X) = X. La construction de C est facile à déduire. (voir figure en fin de solution). b. Déterminer la valeur minimum de F(x). En déduire la valeur minimum de f(x). F(X) = X donc F(X) 0. La valeur minimum de F est 0 obtenue pour X=0. Or si X=0 alors x = - et f(-) = -. La valeur minimum de f(x) est -. Autrement dit f(x) -.. Fonction définie par g(x)= + x +. a. Domaine D g de g. D g = [- ; + [. b. Sens de variation de g sur D g. Sur D g = [- ; + [, g est croissante car si x y alors g(x) g(y) (facile à prouver). c. Fonction G. Construction de Γ. Soit M un point de Γ. Notons (x;y) ses coordonnées dans { O;i;j} coordonnées dans { O' ; i ;j } On a entre ces nombres les relations : x = X - et y = Y -. et (X;Y) ses Un point M est sur C si seulement si ses coordonnées (x;y) vérifient y = + x+ c'est à dire si et seulement si Y- = + (X ) + soit encore si et seulement si Y= X. Donc un point M de coordonnées (X;Y) est sur C si et seulement si Y= X.. la représentation de la fonction G En conclusion, C est dans le repère { O' ; i ;j } définie par : G(X) = X.. La construction de Γ est facile à déduire (voir figure en fin de solution).

27 . Composées gof et fog. a. D gof de gof est. Calcul de gof(x). Un réel x D gof si et seulement si x D f et f(x) D g. Or pour tout x, f(x) existe et pour tout x, f(x) - donc f(x) D g. gof(x) = - + x+. b. Domaine D fog de fog, Calcul de fog(x). Un réel x D fog si et seulement si x D g et g(x) D f. Or f(x) existe pour x -, et pour tout x, g(x) D f car D f =. Donc D fog =[- ; + [. fog(x)=x c. Résolution de gof(x) = fog(x). gof(x)=fog(x) pour x Soit α avec α -. On note β = f(α) Soit M un point de C d'abscisse α. Calculer son ordonnée. L'ordonnée de M est f(α) soit β. a. Point N de Γ d abscisse β. Existence de N. Le point N existe à la condition que β -. Or β = f(α) et on a vu que pour tout nombre réel x, f(x) - donc β -. Son ordonnée est g(β) = gof(α) = - + α +. Or α - donc α+ = α +. Donc l'ordonnée de N est α. Position de M et N par rapport à la droite d'équation y = x. On a M(α,β) et N (β;α). Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite. A tout point M de C, on peut associer un point N de Γ tel que M et N soient symétriques par rapport à et inversement. Les courbes C et Γ sont donc symétriques par rapport à lorsque x -.

28 EXERCICE Dans le repère { A;AB. AD}, Les points A,B,C,D,E,F,G et H ont comme coordonnées: A(0;0), B(;0), C( ; ), D(0;), E(k ; 0), F( ; - k), G(0 ; - k) et H(k ; ). k k On déduit les coordonnées des vecteurs AC,EFet GH : AC, EF et GH. k k En utilisant la condition de colinéarité de deux vecteurs, il est facile de prouver que les vecteurs: AC,EFet GH sont colinéaires donc que les droites (EF), (AC) et (GH) sont paralléles.

29 DEVOIR NUMERO 0: VECTEURS ET FONCTIONS EXERCICE : équations de droites On considère 4 droites telles que trois soient sécantes deux à deux. La quatrième étant quelconque. (voir figure) On appelle I le milieu de [CF], J celui de [ED] et K celui de [AB]. Montrer que les points I,J et K sont alignés. AIDE!!!"!!!" Se placer dans le repère { AABAC,, } On notera d l'abscisse de D et e l'ordonnée de E. Calculer les coordonnées de I, J et K!!"!!!" Montrer que les vecteurs KI et KJ sont colinéaires. EXERCICE : Changement de repère. Soit f la fonction définie par : x +x+ f(x) = Soit C sa courbe représentative. x+ a. Déterminer l ensemble de définition de f : b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec les axes. c. Donner l'équation de C dans le repère de centre A(- ;-) En déduire que A est centre de symétrie pour la courbe C.

30 EXERCICE : Calcul simplifier d'impôts Lire d'abord le mode de calcul ci-dessous avant de répondre aux questions. Mode d'emploi. Le ministère des finances fournit le mode d'emploi ci -dessous pour calculer les impôts. (modèle fourni en 00)

31 QUESTIONS. En utilisant les fonctions E, min, max, donner une formule calculant la déduction de O% en fonction du salaire.. En utilisant les fonctions E, min, max, donner une formule calculant l'abattement de 0% en fonction du salaire.. En utilisant les fonctions E, min, max, donner une formule calculant le revenu imposable en fonction du salaire. 4. Calculer l'impôt en francs et en Euros dans les cas suivants: Salaire de vous: francs salaire du conjoint: 0 Nombre d'enfants: Salaire de vous: francs salaire du conjoint: Nombre d'enfants: Salaire de vous: francs célibataire sans enfant. Salaire de vous: francs salaire du conjoint :0 enfant. Salaire de vous: francs Salaire du conjoint: Nombre d'enfants

32 EXERCICE SOLUTIONS 0

33

34 EXERCICE (réponses seulement) a. Le domaine est!-{-}. b. Les points d'intersection avec les axes sont B(0, ), C( 5, 0 ) et D( c. Notons C la courbe représentative de la fonction f. Dans le repère ( A,i, j ) C a comme équation Y X X " " " " =. Cela veut dire que dans le repère ( A,i, j ) + 5, 0 )., la courbe, la courbe C est la représentation de la fonction g définie par g(x) = X X La fonction g est impaire dons le point A est centre de symétrie de C. EXERCICE (réponses seulement). Notons A le salaire déclaré. La déduction de 0% est alors égale à B = E(Max(Min( A/0; 78950), 50). Suite à cette déduction, il reste: D = A - B. L'abattement de 0% est H = E(Min(D/0; 44400)).. Le revenu imposable est alors I = D - H. 4. cas Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts Quotient familial 6000 Valeur de l'impôt 7

35 cas Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts 4 Quotient familial Valeur de l'impôt 760 Cas Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts Quotient familial Valeur de l'impôt 58

36 Cas 4 Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts,5 Quotient familial 400 Valeur de l'impôt 44 Cas 5 Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net 4000 Revenu net imposable 4000 Nombre de parts 4 Quotient familial Valeur de l'impôt 69

37 EXERCICE DEVOIR NUMERO EQUATIONS ET FONCTIONS Etudier la parité des fonctions suivantes : f(x)= x+ + x ; g(x) = x x + ; h(x) = x. x 5 EXERCICE a. Soit b. Soit f(x) = x + x - g(x) = x + déterminer f o g. x - f(x) = x - et g(x) = x+ Déterminer g o f EXERCICE Soit f la fonction définie sur R par : f est périodique de période. f est paire. Sur [0, ] f(x)= -x Sur [,] f(x)= 0. Tracer la représentation graphique de f sur [-,]. EXERCICE 4 x + Soit f la fonction définie sur! par f(x) = x + En utilisant la représentation graphique de f, montrer que f est bornée sur R :

38 EXERCICE 5 Résoudre les équations suivantes: a. x ( + ) x+ = 0 (Aide développer ( ) b. x 4 + 5x - 6 = 0. ) c. + + = 0 x+ x 4 EXERCICE 6 Soit f(x)= x 7x+ 8x 4x 5 + a. Déterminer l'ensemble de définition de f. b. Simplifier f(x). EXERCICE 7 Résoudre les inéquations suivantes: a. x + 5x 5> 0 b. -x +5x +! 0 c. x + 5x x + x 4

39 EXERCICE SOLUTIONS f: paire ; g: impaire ; h : ni paire, ni impaire. EXERCICE fog(x) =(x+) +(x+) - = x +7x + 4. (x ) 7 9x 7 gof(x) = = x + x EXERCICE EXERCICE 4 Le graphique montre que : f(x). Vérifions ceci par le calcul.! Montrons que f(x) Pour cela calculons f(x)-: f(x) = x x + x +. Le nombre x + est positif. Le nombre x -x + est toujours positif. En effet, l'équation x -x +=0 n'ayant pas de racine, l'expression x -x + est toujours du signe de. Donc f(x) -! 0.! Montrons que f(x) Pour cela calculons f(x) +. f(x) + = + + x 4x 8 (x + ) x +4x +8 est toujours positif. En effet, l'équation x +4x +8=0 n'ayant pas de racine, l'expression x +4x + 8 est toujours du signe de.

40 EXERCICE 5 a. Le discriminant de l'équation est "= ( ) On a donc racines x ' = ; x" = b. L'équation X + 5X - 6 = 0 a deux racines X' = 4 et X" = -9. Par suite l'équation x 4 +5x - 6 = 0 a deux racines x'= et x"= -. c. x + 5x + = + + = 0 = 0 x+ x 4 4(x+ )(x ) x et x x 5x 0 L'équation x + 5x -=0 a deux racines x' = et x" = ("=89=7 ) Ces deux racines vérifient la condition x#- et x#. L'équation x" =. + + = 0 x+ x 4 a donc deux racines x' = et EXERCICE 6 a. Domaine. Le domaine est l'ensemble D des réels x tels que 8x -4x +5 #0 Or 8x -4x +5= 0 pour x'= 5 4 et x" = ("=6) Donc D=! - { 5 4 ; } b. Simplification. De la question précédente on déduit que: 8x -4x +5= 5 8 x x 4 x x L'équation x -7x + = 0 a deux racines x'= et x"= donc x -7x + = ( ) Par suite: ( x ) x x x 4 x 7x x = = 8x 4x 5 5 4x 5.

41 EXERCICE 7 a. Le discriminant de l'équation "<0 donc l'expression L'inéquation x + 5x 5= 0 est = 5 5. x + 5x 5 a un signe constant qui est celui de -. x + 5x 5> 0 n'a donc pas de solution. b. Le discriminant de l'équation -x +5x + = 0 est "= 49. Cette équation a donc deux racines et. En appliquant la règle sur le signe du trinôme, on trouve que l' ensemble des solutions est ; [ ; + [. c. x + 5x x + 6 x x 4 x x Effectuons un tableau de signe. x x X +x x+ 6 + x x L'ensemble des solutions est E= ]-$ ; -4 [U] ; 6]

42 DEVOIR NUMERO Equations EXERCICE A l'occasion d'une tombola, une somme de F doit être répartie également entre les gagnants. Deux de ces derniers ne se manifestant pas, la part de chacun est alors augmentée de 850 F. Combien avait-on prévu de gagnants et combien chacun devait-il recevoir? EXERCICE + = x y 0 Résoudre le système 4 + = x y 400 EXERCICE Soit l'équation x +(m-)x + 4 = 0 Donner selon la valeur du paramètre m, le nombre de solution de cette équation. On ne demande pas le calcul des racines. EXERCICE 4 Résoudre l'équation x + = x+

43 EXERCICE SOLUTIONS

44 EXERCICE Posons X= x et Y = X+ Y = y Le système s'écrit: 0 4 X + Y = 400 X+ Y = X+ Y = X Y () = X Y + = X + X = X + X = () () implique: X X = 0 Cette équation a deux racines 0 0 Ce qui donne comme solution x = 4, y = -5 ou x = -5, y = 4. X' = ou X" = 4 5 EXERCICE!= m - 6m - 7! est un trinôme du second degré en m. Ce trinôme a deux racines m = - et m = 7 Par suite son signe est : Si m < - ou m>7 alors! > 0 donc l'équation x +(m-)x + 4 = 0 a deux racines Si -<m <7 alors! < 0 donc l'équation x +(m-)x + 4 = 0 n'a pas de racines. Si m= - ou m=7 alors! = 0 donc l'équation x +(m-)x + 4 = 0 a une racine. EXERCICE 4 ( ) x+ = x+ x + x+ = 0 x + = x+ x+ 0 x+ 0 L'équation x +x+ = 0 a deux racines x' = et x" = La racine x' ne vérifie pas la condition x+"0. L'équation a une seule solution + 5 x" =

45 EXERCICE DEVOIR NUMERO GENERALITES SUR LES FONCTIONS Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : x + f(x) = x 4x ; g(x)= x x + ; h(x)= x x +. Les fonctions g et h sont-elles égales? Justifier votre réponse. EXERCICE Etudier la parité des fonctions suivantes : EXERCICE f(x)= x+ + x ; g(x) = x x + ; h(x) = x x +.. Déterminer fog et gof avec :f(x)= x et g(x)= x x+.. Ecrire h sous la forme h=gof sachant que : h(x)= x + EXERCICE 4 Soit f la fonction définie par : f(x)= x - + x + 4. Tracer la représentation graphique de la fonction f. EXERCICE 5 Soit f la fonction définie par :,5 f(x)= ( x ) x + En utilisant la représentation graphique de f conjecturer l existence d un majorant et d un minorant de f. puis démontrer cette conjecture algébriquement. -0-0,5 0,5 0-0, ,5 EXERCICE 6 Pierre est parti en vacances dans un club. La plage, les buffets bien garnis lui ont fait prendre quelques kilos. Les kilos en plus pris par Pierre représentent 0% de son poids initial. Après les vacances, Pierre décide de retrouver son poids d avant les vacances. Quel pourcentage de poids doit-il perdre?

46 SOLUTIONS EXERCICE Domaines de définition des fonctions. D f = - {0 ; 4} ; D g = [ ; + [ ; D h = ]- ; - [ [ ; + [. Les fonctions g et h ne sont pas égales car leur domaine ne sont pas les mêmes. EXERCICE Etudier la parité des fonctions suivantes : x f(x)= x+ + x. f est paire ; g(x) = x + g est impaire ; h(x) = x + h est ni paire ni impaire. x EXERCICE. Calcul de fog et gof avec :f(x)= x et g(x)= x x+. fog x = ; = + x x+ x x ( ) gof ( x) 4. Ecriture de h sous la forme h=gof sachant que : h(x)= x + ( ) ; ( ) f x = x+ g x = x EXERCICE 4 Représentation graphique de la fonction f définie par : f(x)= x - + x + 4. x -4 x+4 -x-4 x+4 x+4 x - -x+ -x+ x- f(x) -x- 6 x+

47 EXERCICE 5 Encadrement de la fonction f telle que : f(x)= ( x ) x + La représentation graphique permet de conjecturer que 0 f(x). o Montrons que 0 f(x). Les expressions ( x ) et o Montrons que f(x). Pour cela calculons f(x) -. ( ) f x = x ( x + ) + x + sont positives donc le quotient ( ). Cette différence est négative donc f(x). x l est aussi. x + EXERCICE 6 Pierre est parti en vacances dans un club. La plage, les buffets bien garnis lui ont fait prendre quelques kilos. Les kilos en plus pris par Pierre représentent 0% de son poids initial. Après les vacances, Pierre décide de retrouver son poids d avant les vacances. Quel pourcentage de poids doit-il perdre? Notons : x le poids avant les vacances. y le poids après les vacances. p le pourcentage de perte de poids de Pierre après les vacances. x Après les vacances Pierre pèse x + =,x 0 y x,x x 0, p est le pourcentage de variation de y à x. Donc p = = = = = 0,0909. y,x, Pierre doit donc perdre 9,09% de poids pour retrouver la ligne.

48 DEVOIR NUMERO 4 GENERALITES SUR LES FONCTIONS EXERCICE. Les fonctions f et g sont-elles égales? f : x x x + g : x x x +. Soit v et u définies sur R par v ( x) = x + x x + et u ( x) = x. Etudier la position relative des courbes représentatives de v et u. x +. Soit h définie sur R par h ( x) =. x + Montrer que h ( x) sur R. EXERCICE Pour chacune des fonctions suivantes, trouver le domaine de définition et étudier la parité : gx ( ) = x x lx ( ) = x x x + vx ( ) = x x 4x wx ( ) = x x EXERCICE Soit f la fonction définie par x + f ( x) = et C sa courbe représentative. x + x. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Déterminer les coordonnées du point d intersection I de C avec l axe des abscisses.. Montrer que I est centre de symétrie de C.

49 EXERCICE 4. Soit les fonctions f et g définies sur par Calculer ( gof )( x) et ( fog )( x). f : x x x g x x +. 4 et :. Soit la fonction l définie sur ],[ ], + [ par ( x) + l( x) =. 6 x Ecrirel sous la forme l = l ol où l et l sont deux fonctions à déterminer.. Soit la fonction h définie sur 0, [ Ecrire h sous la forme [ + par ( x) = ( x + ) h. h = uov où u et v sont deux fonctions à déterminer. Rappeler le sens de variation de v sur [ 0, + [ et de u sur ],0]. En déduire le sens de variation de h sur [ 0, + [.

50 SOLUTIONS 4 EXERCICE :. f(x) existe g(x) existe D D D f g f = ], [ [, + [ = [, + [ D g x - x + 0 et 0 x + x ] -,-[ [, + [ x - 0 et x + > 0 x et x > - x [, + [ donc les fonctions f et g ne sont pas égales. pour tout x R v(x) u(x) = x + x x + x = x x + = 4 = < 0 pour tout x R x x + > 0 d'où v(x) u(x) > 0 v(x) > u(x) Donc la courbe représentativede v est au dessusdecellede u.. pour tout x R donc h(x) h(x) = < 0 x + x h(x) = 0 x +

51 EXERCICE a. g( x) existe existe x x R {} 0 pour tout x D, x D g( x) = x + g( x) x gx ( ) g n' est ni paire, ni impaire g g b. x l x existe pour tout x R + > 0, ( ) pour tout x R x R x + x l( x) = = l( x) x + l est impaire c. vx existe x x ( ) 4 0 x ( x 4) 0 x 0 et x 4 pour x = 4 D x = 4 D v n ' est ni paire, ni impaire. v v d. wx existe x > ( ) 0 ( x) ( + x) > 0 x ],[ pour tout x D, x D x w( x) = = w( x) x w est impaire w w

52 EXERCICE : f (x)existe x doncd donc x = I(,0) pour tout h f (x + )(x ) 0 x = R R + x 0 R {, } {, } L'abscisse x deivérifief (x) = 0 x + = 0 {,}, + h D on a alors h et h donc h D f f h h f ( + h) = f ( h) = h 4 h 4 f ( + h) + f ( h) = 0 donciest centredesymétrie de la courbe représentativede f EXERCICE 4.. pour tout x R gof (x) = = fog(x) = 4 (4x x ) + x 4 x 8x + 6x + x + pour tout x ],[ ], + [ x l( x) = + ( x) lx ( ) = lol ( x) où x l( x) = x et l( x) = + x ],[ ], + [ R {} 0 R x x x + ( x)

53 . [, [ ( ) ( ) ( ) ( ) pour tout x h x uov x où v x x et u x x + = = + = x + v 0 x 0 u 0 x + h 0

54 DEVOIR NUMERO 5 VECTEURS ANGLES EXERCICE On fixe une ficelle de longueur L cm entre les points A et B distants de d cm. On cherche les positions du point M telles qu avec la ficelle tendue, AMB soit un triangle rectangle en M. On pose AM = x. A d B M. Expliquer par une figure, pourquoi dès qu on a trouvé une position possible, il y a trois autres positions.. On suppose L = 89 cm et d = 65 cm. Montrer qu il existe des solutions et les préciser.. On suppose L = 00 cm et d = 50 cm. Existe-t-il des solutions? 4. Trouver une condition sur L et d pour qu il existe des solutions. EXERCICE Soit ABC un triangle. Construire les points D et E tels que : AD = AB AC et AE = CB + CA 6 FAIRE LA CONSTRUCTION SUR LA FEUILLE.. Démontrer que les points A, D et E sont alignés.. On définit le point F par BF = xab + AC où x est un nombre réel. Pour quelle valeur de x, les points A, D et F sont-ils alignés? EXERCICE Soit ABC un triangle. Les points M et N sont tels que La droite (MN) coupe la droite (BC) en K. AABAC ; ; On se place dans le repère ( ) 4 AM = AB et AN = AC. 4. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN). Calculer les coordonnées de K.. Déterminer le nombre k tel que : BK = kbc.

55 EXERCICE 4 Soit ABCDE la ligne brisée représentée ci-dessous où AB et DE sont colinéaires. Déterminer une mesure de l angle orienté ( DC; DE ) EXERCICE 5 Soit la figure ci-dessous ABCD est un parallélogramme tel que : ( AB; AD) ADE est un triangle équilatéral CMNP est un parallélogramme tel que ( CD; CM ) π = 6 = π Montrer que les vecteurs AE ET NP sont colinéaires.

56 SOLUTIONS 5 EXERCICE. Si une solution existe, les trois autres solutions sont indiquées sur la figure ci-dessous AMB est rectangle si et seulement si AM +BM = AB Soit si et seulement si : x +(L - x) = d. c est à dire si et seulement si x -Lx+L -d = 0. Le problème a des solutions si et seulement si l équation x -Lx+L -d = 0 a des racines.. L = 89 cm et d = 65 cm. L équation s écrit : x 78x = 0. Cette équation a deux racines x = 56 ou x=. ( = 6 = 46 ).. L = 00 cm et d = 50 cm.. L équation s écrit : x 00 x = 0. Cette équation n a pas de solution car = Condition sur L et d pour qu il existe des solutions. Le problème a des solutions si et seulement si l équation x -Lx+L -d = 0 a des racines. Cette équation a des racines si et seulement si son discriminant est positif ou nul, c est à dire si et seulement si 4L 8(L - d ) 0. Ce qui donne : -L + d 0. Comme L et d sont des nombres positifs, la condition précédente équivaut à L d.

57 EXERCICE. Construction. Les points F, G et H sont tels que : AF = CA, AG = CA, AH = CB 6. Démontrer que les points A, D et E sont alignés. AD = AC+ CB AC = AC+ CB = CB+ CA= AE. Valeur de x pour laquelle les points A, D et F sont alignés. On se place dans la base ( AB, AC). Cherchons dans cette base les coordonnées de AF et de AD. + x AF = AB + BF = ( + x) AB + AC donc les coordonnées de AF sont. AD = AB AC donc les coordonnées de AD sont. / D après la condition de colinéarité de deux vecteurs, les points A,D et F sont alignés si, et seulement si 7 ( + x) = ce qui donne x =

58 EXERCICE. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN). Dans le repère ( AABAC ; ; ) les coordonnées des points B,C,M et N sont : B( ; 0) C (0 ;) M( 4 ;0) N(0 ; 4 ). La droite (BC) a comme équation : x + y = La droite (MN) a comme équation :6x + 9y -= 0.. Calcul des coordonnées de K. Le point K est l intersection des deux droites (BC) et (MN) donc les coordonnées de K sont x+ y = les solutions du système :. Ce système a une solution : 6x+ 9y = 0. Calcul du nombre k tel que BK = kbc. 4 x = ; y = 7 7 On a 4 7 BK et BC ce qui donne k=

59 EXERCICE 4. Calculons l angle ( AE; NP ) ( AE ; NP ) = ( AE ; AD ) + ( AD ; DC ) + ( DC ; CM ) + ( CM ; NP ) π π π ( AE; NP ) = + + 0= 0( π ) 6 AE; NP = 0 π Puisque ( ) ( ) EXERCICE 5 ( DC; DE ) ( DC; BC) ( BC; BA) ( BA; DE ) les vecteurs AE ET NP sont colinéaires. π π 5π = + + = + π = 6

60 EXERCICE Vecteurs DEVOIR NUMERO 6 VECTEURS ANGLES TRIGO Soit un parallélogramme ABCD de centre O et x un réel différent de 0 et de.. Soit M et N tels que AM = xab et CN = xcd. Démontrer que le milieu de [MN] ne dépend pas de la valeur de x.. Soit P et Q tels que BP = xbc et DQ = DC. x Démontrer que la droite (PQ) passe par A quel que soit la valeur de x. Quelle valeur doit-on donner à x pour avoir EXERCICE Angles. Soit A et B avec AB = 4. AP = 4 AQ.. Construire les points C et D tel que BC = 4, CD =, ( AB, BC) π = et ( CB, CD) π = 4. Construire le point E tel que : ( DC, DE ) mesure de l angle ( EA, ED). π = et ( AB, AE ) π =. Déterminer une 4, puis une mesure de l angle géométrique AED.. Quelle est la somme des mesures des angles géométriques du pentagone? EXERCICE Trigo.. Exprimer Cosx en fonction de cosx et Sinx en fonction de sinx.. Simplifier les expressions après avoir précisé leur ensemble de définition. sin x cos sin cos, x, x x. sin x cos x sin x cos x. Factoriser les expressions : + cosx + cosx et + sinx cosx. 4. Exprimer en fonction de cosx : cos x + 4sin x. + 6 π 5. Sachant que cos x =, 0 < x <.Calculer cosx puis en déduire x Exprimer en fonction de sin x l expression : cos x cos x. π π cos + sin 7. Démontrer que 8 8 = + π π cos sin 8 8

61 EXERCICE Vecteurs SOLUTIONS 6 Soit un parallélogramme ABCD de centre O et x un réel différent de 0 et de.. Le milieu de [MN] ne dépend pas de la valeur de x. OM + ON = OA + AM + OC + CN = 0 car OA + OC = 0 et AM + CN = x ( AB + CD) = 0. La droite (PQ) passe par A quel que soit la valeur de x. Montrons que les vecteurs AP et AQ sont colinéaires. AP = AB + BP = AB + xbc = AB + xad AQ = AD + DQ = AD + DC = AB + AD = ( AB + xad) = AP x x x x D après ce qui précède, AP = xaq on a donc AP = AQ pour x = 4 4 EXERCICE Angles.. Construction des points A, B, C, D, E π π π π π = = + = 4 4. ( EA, ED) ( EA, AB) ( AB, BC) ( BC, CD) ( CD, ED). La somme des mesures des angles géométriques du pentagone est π.

62 EXERCICE Trigo.. Cosx = cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx =(cos x - )cosx - sin xcosx. =cos x cosx (-cos x) cosx = 4cos x - cosx Sinx = sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx =sinxcos x + (-sin x)sinx. = sinx(-sin x) + (-sin x)sinx = sinx - 4sin x. sinx sinx 4sin x = = 4sin x = 4cos x. Domaine -{ kπ } ( k Œ ) sin x sin x cos 4cos cos x x x cos x cos x 4cos sin = x = x Domaine - π k + π sinx cosx sinx cos x cosx sin x sin x = = =. Domaine - sin x cos x sin xcos x sin xcos x k π On aurait pu aussi utiliser les formules précédentes.. Factoriser les expressions : ( ) + cos + cos = + cos + cos = cos + x x x x x cosx ( ) sin cos sin sin sin sin + x x = + x + x = x + x. + cosx cos x + 4sin x = cos x+ 4 cos x = 4 cos x = 4 = cosx. 4. ( ) π cos x =, 0 < x <.Calcul de cosx puis en déduire x cosx = cos x = = 4 π 6 π. On déduit que x = ( π ) donc x = ( π ) Mais la condition imposée sur x donne comme seule valeur possible x = ( π ) π

63 6. ( ) ( ) 7. 4 cos x cos x = sin x sin x = 4 sin x sin x. π π π π π π cos sin cos sin π π π = = 8 8 = 4 cos sin π π cos sin cos sin sin cos + sin cos sin cos π π π π π Autre méthode π π π π π π π π cos + sin cos + sin cos cos + sin sin 8 8 = 8 8 = π π cos sin π π π π π π cos sin cos cos sin sin π π π π + cos + cos cos = = = = π π π cos cos π cos = = = +

64 DEVOIR NUMERO 7 ANGLES TRIGO. EXERCICE On considère un rectangle MNPQ dont les dimensions sont a et b (a < b). On dessine à l intérieur un parallélogramme ABCD comme indiqué sur la figure.. Quelles sont les valeurs de x possibles?. Déterminer en fonction de a de b et de x l'aire A(x) du parallélogramme ABCD.. Déterminer x en fonction de a et de b pour que l'aire du parallélogramme soit égale à la moitié de l'aire du rectangle. EXERCICE Résoudre l inéquation suivante: x + 5x x + x 4 EXERCICE. Dans la figure ci-contre, le triangle ABC est équilatéral et ACD est rectangle et isocèle. Donner en justifiant les réponses la mesure principale de chacun des angles orientés AB; AC ; AH; AC ; AD; AH ; CD; CB. Montrer que pour tout réel x :. Calculer cos x dans les deux cas suivants : 4. a. b. cos x = sin x = 4 BH; BC ; BH; HA. π 4π cos x+ cos x+ + cos x+ = 0 a. Placer l image du réel 5 π sur le cercle trigonométrique 8 5π b. Calculer cos et 5π sin 8 8 En déduire 5 cos 8 π et 5 sin 8 π

65 EXERCICE 4 Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( Oi,, j). Dans le repère ( Oi, ) unités cm. les points A et B sont donnés par leurs coordonnées polaires. π A ; et 5π B ; 6. a. Construire les points A et B à la règle et au compas. b. Déterminer une mesure de l angle ( OA, OB). En déduire la nature du triangle AOB.. Calculer les coordonnées cartésiennes de A et B puis le produit scalaire OA. OB. Que retrouve-t-on ainsi?. Le point C a comme coordonnées cartésiennes : ; a. Déterminer les coordonnées polaires de C dans le repère ( Oi, ). b. Montrer que les points B, O, C sont alignés. EXERCICE 5 ABC est un triangle rectangle en A. A est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. On appelle I et J les projections orthogonales de H respectivement sur (AB) et (AC).. Faire une figure.. Exprimer le vecteur AA' en fonction des vecteurs AB et AC.. Montrer alors que les droites (AA ) et (IJ) sont perpendiculaires.

66 SOLUTIONS 7 EXERCICE. valeurs de x possibles. Le réel x vérifie l inégalité : 0 x a. Aire A(x) du parallélogramme ABCD. Aire(ABCD)=Aire(MNPQ) - Aire(ANB) -- Aire(AMD) - Aire(BPC) - Aire(CQD) On remarque que : Aire(ANB) = Aire(CQD) et Aire(BPC) = Aire(AMD) D où Aire(ABCD) = ab x(a - x) x(b x) = x (a+b)x +ab. Aire(x)= x (a+b)x +ab.. Calcul de x tel que l aire du parallélogramme soit égale à la moitié de l'aire du rectangle. ab Les nombres x cherchés sont les solutions de l équation : Ax ( ) = avec 0 x a. soit : x -(a+b)x +ab = et 0 x a ou encore : ( ) ab Résolution de ( ) 4x x a+ b ab = 0. 4x x a+ b ab = 0 et 0 x a = 4( a+ b) 6ab = 4( a b) a b. L équation a deux racines : x ' = et x " = Conclusion : a b a Si b a alors il y a valeurs de x : x ' = et x " = sinon il n y a qu une valeur x ' =. EXERCICE x + 5x x + 6 x x 4 x x Effectuons un tableau de signe. x x X +x x+ 6 x + x L'ensemble des solutions est E=]- ; -4 [U] ; 6]

67 EXERCICE. Calculs d angles. o Calcul de AB; AC. π = = = Le triangle ABC étant équilatéral direct on a ( AB, AC) ( BC, BA) ( CA, CB) o Calcul de AH; AC. Le triangle direct ACD étant rectangle et isocèle en C on a ( CD, CA) π = et π ( DA, DC) = ( AC, AD) = 4 (AH) étant la hauteur du triangle issue de A du triangle équilatéral ABC, (AH) est aussi la bissectrice de l angle BAC. On obtient donc ( AH, AC) o Calcul de AD; AH. π π 5π AD; AH = AD; AC + AC; AH = = 4 6 o Calcul de CD; CB. π π 5π = + = + = 6 ( CD, CB) ( CD, CA) ( CA, CB) o Calcul de BH; BC. BH; BC = 0 o Calcul de ; BH; HA. π = 6 BH; HA = HC; HA = π

68 π 4π. Montrer que pour tout réel x : cos x+ cos x+ + cos x+ = 0 π 4π π π 4π 4π cosx +cos(x + )+cos(x + ) = cosx + cos x cos - sinx sin +cos x cos - sinx sin. Calcul de cos x. = cos x - cosx - sinx - cosx + sinx = 0 4. a. cos x = -/ donc b. sin x =/4 donc 7 cosx = cos x = = 9 cosx = sin x = 4 = 8 a. Image 5 π sur le cercle trigonométrique. 8 π 4 5π 8 b. Calcul de cosinus et sinus de 5 π. 8 5π π π cos = cos π cos = = 4 5π 5π cos = = = ; cos 8 4 5π 5π cos = = = sin 8 4 comme π 5π < < π on a 8 5π 5π cos < 0 et sin > On obtient donc 5π cos = et 8 5π + sin = 8

69 EXERCICE 4. a. Construction. b. Mesure de l angle ( OA, OB). Nature du triangle AOB. π 5π π ( OA, OB) = ( OA, i ) + ( i, OB) = + = ( π ) 6 Le triangle OAB est donc rectangle en O. Coordonnées cartésiennes de A et B et produit scalaire OA. OB.. A ( ; ), B ;. OA. OB = On retrouve la propriété : le triangle OAB est rectangle en O a. Coordonnées polaires de C. 9 OC = + = 9 4 donc OC=. L angle θ = ( i, OC π ) est défini par cosθ = = et sinθ = =. D où θ = x x 6 b. Les points B, O, C sont alignés. 5π π ( OB, OC) = ( OB, i ) + ( i, OC) = =π ( π ). 6 6 OB, OC vaut π alors les points O, B, C sont alignés. Puisque l angle ( )

70 EXERCICE 5. Figure. I B H A A J C. Expression du vecteur AA' AA' = ( AB+ AC).. Les droites (AA ) et (IJ) sont perpendiculaires. Calculons le produit scalaire AA'. IJ. AA'. IJ = AB + AC. IA + AJ = AB. IA + AB. AJ + AC. IA + AC. AJ ( ) ( ) ( ) Le produit AC. IA est nul car les droites (AI) et (AC) sont perpendiculaires. Le produit AB. AJ est nul car les droites (AJ) et (AB) sont perpendiculaires.. Or AC. AJ = AC. AH et AB. AI = AB. AH D où : AA'. IJ = ( AC. AJ + AB. IA) AA'. IJ = AB. AH + ACHA. = AH. AB AC = AHCB. Donc ( ) ( ) La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC) donc AH. CB = 0 Par suite AA'. IJ = 0 Le produit scalaire AA'. IJ est nul, donc les droites (AA ) et (IJ) sont perpendiculaires.

71 DEVOIRS NUMERO 8 ANGLES ET TRIGO EXERCICE Soit un cercle C de centre O et trois points sur le cercle A,B et M. On appelle I le milieu de [AM] et J le milieu de [BM]. a. Exprimer la mesure de l angle ( OI, OM ) de la mesure de l angle ( OA, OM ) b. Exprimer la mesure de l angle ( OM, OJ ) de la mesure de l angle ( OM, OB) en fonction en fonction c. En déduire la mesure de l angle ( OI, OJ ) en fonction de la mesure de l angle ( OA, OB). d. Donner une mesure de chacun des angles ( OI, MA) et ( OJ, MB) OI, OJ MA, MB ( π ). e. Déduire de la question précédente que : ( ) = ( ) MA, MB OA, OB ( π ) f. Montrer que ( ) = ( ) Ce résultat est connu sous le nom de théorème de l angle inscrit. L angle ( MA, MB) même à, π près, quel que soit la position de M sur le cercle est le EXERCICE Les droites (AB) et (CD) sont paralléles. OB, OC = OD, OA ( π ) Démontrer que ( ) ( ) On pourra introduire le milieu I de [AB] et le milieu J de [CD]. EXERCICE. Calculer (a+b). En déduire que : sin 6 x + cos 6 x +cos xsin x = 4 π 4 π 4 5π 4 7π. Montrer que cos + cos + cos + cos = Démontrer que sinasin(b- c) + sinbsin(c - a) + sincsin(a - b) = 0 Démontrer que cosasin(b - c) + cosbsin(c- a) + coscsin(a - b) = 0

72 EXERCICE OI, OM a. Angle ( ) SOLUTIONS SUCCINCTES 8. en fonction de la mesure de l angle ( OA, OM ) OI, OM OA, OM ( π ) ( ) = ( ). b. Angle ( OM, OJ ) en fonction de la mesure de l angle ( OM, OB) OM, OJ OM, OB ( π ) ( ) = ( ) c. Angle ( OI, OJ ) en fonction de la mesure de l angle ( OA, OB),, ( OI OJ ) = ( OA OB) ( π ) d. Angles ( OI, MA) ( OI, MA) e. ( ) = ( ) (). et( OJ, MB). π π = et( OJ, MB) = OI, OJ MA, MB ( π ). Les nombres π π et OI, OJ MA, MB ( π ) sont égaux à π près, donc ( ) = ( ) () MA, MB OA, OB ( π ) f. ( ) = ( ) Cette égalité se déduit aisément des égalités () et (). EXERCICE ( OB, OC ) ( OB, OI ) ( OI, OJ = + ) + ( OJ, OC ) (π) J OD, OA OD, OJ OJ, OI OI, OA ( π ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( OB, OI ) = ( OI, OA ) ; ( OJ, OC ) = ( OD, OJ ) Or ( OI, OJ ) = ( OJ, OI ) = π ( π) I OB, OC OD, OA ( π ) Donc ( ) = ( )