C l a u d e T h i é b e r t 4 60 DEVOIRS CORRIGES

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1 Claude Thiébert 460 DEVOIRS CORRIGES

2 DEVOIR NUMERO NOTIONS DE BASE EXERCICE Effectuer les calculs suivants :. X = ( a+ b+ c) + ( a+ b c) + ( a b+ c) + ( b+ c a). Y = ( a + b )( c + d ) ( ac + bd ) ( ad bc) Factoriser Z = 4b c ( b + c a ) EXERCICE 4 Simplifier les nombres A, B et A B. ( ) ; ( ) A = ab a b B = a b a b a b. EXERCICE Simplifier le nombre C = EXERCICE 4 Simplifier l expression après avoir réduit au même dénominateur : a+ + a D = + + a a. EXERCICE 5 Les réels a,b et c sont trois nombres strictement positifs. ab a + b. Montrer que :. a+ b 4 ab bc ca a + b + c. En déduire que + +. a+ b b+ c c+ a EXERCICE 6 Résoudre l équation : x + = 0. x x x ( + )

3 REPONSES EXERCICE ( ) ( )( )( )( ) X = 4 a + b + c ; Y = 0; Z = a b+ c a+ b+ c a+ b+ c b+ c a EXERCICE = ; = ; =. A a b B a b C a b EXERCICE C = 6 5 EXERCICE 4 ( ) ( a + a + ) a + a + a + D = = = x 6 6 ( ) a a a EXERCICE 5 ( a b) ( ) ab a + b = a+ b 4 4 a+ b d où l inégalité à prouver. EXERCICE 6 L équation est équivalente à x + x x ( + ) = 0. Cette équation a une solution x =

4 EXERCICE Simplifier l'écriture suivante: EXERCICE DEVOIR NUMERO :NOTIONS DE BASE 6 4 5: x 0 Simplifier l'écriture suivante : : x 4x5 EXERCICE a. Ecrire sans radicaux au dénominateur : + + b. Montrer que = 0 EXERCICE 4 a. Résoudre les équations suivantes: +x - = - x x+ - x (x - 8)- (x - 4) - (x - ) = 0 b. Résoudre l'inéquation suivante. (x -) - (x +5) x -6 0 EXERCICE 5 Simplifier l'écriture de l'expression x x x + x(x ) + x+

5 DEVOIR NUMERO NOTIONS DE BASE EXERCICE 4a Soit a un réel. Montrer que. a + EXERCICE Soit a et b deux réels positifs. Montrer que ( ) EXERCICE Soit a et b deux réels positifs tels que a b. 8 + a + b ab a b Soit X = a+ a b + a a b. Montrer que le nombre X existe. Calculer X. En déduire une expression simple de X. EXERCICE 4 Soit la fonction f définie par f(x) = x + + x -. Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue.. Représenter graphiquement la fonction f.. Résoudre par le calcul : a. f(x)= 8 b. f(x) 0 c. Vérifier les résultats graphiquement. EXERCICE 5 x 4. Résoudre = x x+ 9x x x+. Résoudre x x+ EXERCICE 6 Un bateau assure la navette entre deux villes A et B distantes de d et situées sur le bord d un fleuve. La vitesse du bateau est v B La vitesse du courant est v c.. Exprimer la durée t du trajet aller-retour en fonction de d et de v B, en l absence de courant. Montrer que la durée T du trajet aller-retour, en présence de courant est : d d T = + v + v v v B c B c.. Etudier le signe de T - t. Le courant est-il favorable?

6 EXERCICE SOLUTIONS 4a Démontrons que pour a réel.. a + Puisque a + > 0, démontrer Or 4a ( a + ) 0 ( a ) 4a a + La dernière inégalité est vraie donc la première aussi. équivaut à démontrer que 4a ( a ) +. EXERCICE Démontrons que pour a et b strictement positifs. ( ) 8 +. a + b ab a b Il y a deux inégalités à démontrer. Ce calcul a donc deux parties. 8 a + b ab o Montrons que : ( ) Les éléments de l inégalité à démontrer sont positifs donc montrer que : 8 ab ( a + b) équivaut à montrer que : 4 ab ( a + b ). Or 4 ab ( a b ) 0 ( a b ) +. La dernière inégalité est vraie donc la première aussi. o Montrons que : ab a + b. Les éléments de l inégalité à démontrer sont positifs donc montrer que: a+ b équivaut à montrer que : soit encore ab a + b ab ab Or ( ) ab a + b 0 a b. ab a + b La dernière inégalité est vraie donc la première aussi.

7 EXERCICE Soit a et b deux réels positifs tels que a b. Soit X = a+ a b + a a b. o Montrons que le nombre X existe. X existe, si les nombres qui figurent sous le signe sont positifs. Puisque a b 0 alors a - b 0 donc a b existe. Puisque a 0 et que a b existe, alors a+ a b 0 donc a+ a b existe. Il est évident que a a - b 0 donc a a b donc a a b donc a a b 0 donc a a b existe o Calcul de X. X est une expression de la forme X= x + y avec x= a+ a b et y = a a b Par suite X = (x+y) = x +y +xy. Ce qui donne : X = a+ a b + a a b = a+ a b + a a b + a+ a b a a b ( )( ) = a+ a b + a a b + a+ a b a a b = a+ b o Expression simple de X. Puisque a et b sont positifs, X = ( a+ b) implique X = ( a+ b)

8 EXERCICE 4 Soit la fonction f définie par f(x) = x + + x -. Ecriture de f(x) sans les barres de valeur absolue. x - x+ -x- x+ x+ x - -x+ -x+ x- f(x) -x- 5 x+. Représenter graphiquement la fonction f.. Résolutions : a. f(x)= 8 f(x)=8 équivaut à x = 8 et x x+ = 8 et x ce qui donne x = --4,5 ou x =,5 x 0 et x b. f(x) 0 équivaut à 5 0 et x ce qui donne -5,5 x 4,5 x + 0 et x c. Vérification des résultats graphiquement. Les solutions de a. sont les abscisses des points de la courbe représentative de f d ordonnées égales à 8 Les solutions de b. sont les abscisses des points de la courbe représentative de f d ordonnées inférieures ou égales à 0.

9 EXERCICE 5 x 4. Résolution de : = x x+ 9x L équation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : 9x 9x = 0. Cette équation n a pas de solution car la valeur qui annule le numérateur annule aussi le dénominateur. x x+. Résoudre x x+ L inéquation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : x + 0 ( x )( x+ ) 0. Un tableau de signe donne pour solution l ensemble S=[ ; [ ] ;5[ EXERCICE 6. Expression la durée t du trajet aller-retour en fonction de d et de v B, en l absence de courant. d Si on utilise la relation Distance= Vitesse x Temps, on trouve que : t =. V. Calcul de la durée T du trajet aller-retour, en présence de courant: Durée T du trajet dans le sens du courant. Dans ce cas la vitesse du bateau est V B +V C. On a donc d = (V B +V C )xt. Par suite T = V B d + V C Durée T du trajet contre le courant. Dans ce cas la vitesse du bateau est V B -V C. On a donc d = (V B -V C )xt. Par suite T = V B d V C. Nota : on suppose que le bateau va plus vite que le courant. Le temps du trajet est T= T +T. Ce qui donne : T. Etudier le signe de T - t. Le courant est-il favorable? d d = + v + v v v B c B c d d d dvc T t = + = d + = V + V V V V V + V V V V V V V V + V. B ( )( ) B C B C B B C B C B B B C B C Le nombre T t est positif donc le courant n est pas favorable.

10 DEVOIR NUMERO 4: NOTIONS DE BASE EXERCICE Soit deux réels a et b tels que a<b et deux réels x et y strictement positifs. ax + by Montrer que a < < b x+ y EXERCICE Soit trois réels x, y et z non nuls. Comparer les nombres 9 x(y z) + y(z x) + z(x y) + + et x y z x + y + z xyz(x + y + z) EXERCICE Soit x un réel quelconque. Montrer que si x alors x EXERCICE 4 Soit f(x) l'expression : f(x)= x+ + x-5 Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue Résoudre f(x) = Résoudre f(x) EXERCICE 5 Soit 4 réels x, y, z et t non nuls. Montrer que: x y z t y z t x (xz yt)(t y)(x z) = y z t x x y z t xyzt EXERCICE 6. Le prix initial d un article est p Il augmente de 5 %. Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au nouveau prix pour retrouver le prix initial p? Justifier la réponse.. Un article augmente de 0% par an pendant 4 ans. Calculer le pourcentage global d augmentation sur les quatre années. Justifier la réponse. Pas de solution à ce devoir

11 DEVOIRS NUMERO 05 NOTIONS DE BASE EXERCICE Ecrire simplement les nombres A et B. ( ) ( ) 4 A = ab a b ab ; EXERCICE B = ( ab c ) 4 a ( b c ) a. On note a et b deux réels strictement positifs et distincts 4 Simplifier l écriture de b a - a b A= b- a b. Soit B = Calculer B. En déduire la valeur exacte de B. c. Soit b le nombre : b= Montrer que: + 4 b =0b -. d. Soit c le nombre égal à : + 5 c=. Montrer que c= - + c EXERCICE Résoudre les équations et inéquations suivantes +x a. - = - x x+ - x b. (x - 8)- (x - 4)- (x - ) = 0 Nota: a -b = (a - b)(a + ab + b ) (x -) -(x +5) c. 0 x -6 EXERCICE 4 a, b sont deux réels strictement positifs. 8 Démontrer que. ( a+ b) ab

12 EXERCICE SOLUTIONS SUCCINCTES 05 A=a - b 4 B=a - b 0 c -8. EXERCICE a. A = b a a b b + a b ab a ab x = = b a b + a b a ab B = = = 4 b. ( ) ( ) ( ) 4 c. b= - ; b =5-6 ; b = b -= = On a bien l égalité demandée. d = = = = = =c c

13 EXERCICE a. L équation +x - = - x x+ - x x - 4 est équivalente à - x =0. Cette équation a une solution : 4 x=. b. (x - 8) - (x - 4) - (x - ) = 0 s écrit : (x-)(x +x+4)-(x-)(x+)-(x-)=0 soit encore : (x-)(x +x)=0 soit x(x-)(x+) = 0 Cette équation a comme ensemble des solutions : S= ;0;- (x -) -(x +5) (-x - 6)(5x + 4) c. 0 0 x -6 (x - 4)(x + 4) Dressons un tableau de signe. x /5 4 x x x x (-x - 6)(5x + 4) (x - 4)(x + 4) Cette inéquation a comme ensemble des solutions : ]- ;-6] ]-4;- ] ]4; + [ EXERCICE 4 Démontrer que ( a+ b) ab 8 Or cette inégalité est vraie car : D abord on a :( a- b) 0 et : ( ) 8 est équivalent à démontrer que ( a+ b) ab, c est-à-dire à prouver que :( a+ b) 4 ab a- b 0 ( a+ b) -4 ab 0 ( a+ b) 4 ab. 4 5

14 EXERCICE DEVOIRS NUMERO 06 NOTIONS DE BASE Soit a un réel donné plus grand que. a a + Lequel des nombres et est plus près de. a + a EXERCICE Démontrer que pour tout réel a, b, c et d on a : ab+ cd a + c b + d ( )( ) EXERCICE Soit la fonction f définie par f(x) = x+ + x+5. Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue.. Représenter graphiquement la fonction f.. Résoudre par le calcul : a. f(x)= b. f(x) c. Vérifier les résultats graphiquement. EXERCICE 4 Résoudre a. x 4 = x x+ 9x b. x x x x+ EXERCICE 5 J'ai trois l'age que vous aviez quand j'avais l'age que vous avez. Quand vous aurez l'age que j'ai, nous aurons 40 ans à nous deux Trouvez mon age? EXERCICE 6 Depuis 0 ans, les prix ont augmenté de %. Le salaire de Pierre a augmenté de %. De combien a augmenté son pouvoir d achat. Aide : On appelle pouvoir d achat le rapport R= salaire prix. Si on appelle R 0 le pouvoir d achat il y a 0 ans et R le pouvoir d achat d aujourd hui. L augmentation de pouvoir d achat est égale au pourcentage d augmentation de R 0 à R

15 EXERCICE SOLUTIONS SUCCINCTES 06 Notons x = a a+ et y = a +. a Pour déterminer lequel de ces deux nombres est le plus près de, calculons x- et y- x = ; a + EXERCICE y =. Or : a < a+ a donc x est plus près de que y. L'idée est d'élever au carré chaque membre de l'inégalité à démontrer. Mais on sait que cette opération nécessite des précautions quand les deux membres de l'inégalité ne sont pas du même signe. Dans l'inégalité qu'il faut démontrer, l'un des membres ( (a + c )(b + d ) ) est toujours positif mais l'autre (ad + cd) non.. c'est pourquoi, il est nécessaire d'envisager deux cas. Cas : (ad + cd) < 0 l'inégalité est vraie de manière évidente car (a + c )(b + d ) est positif Cas : ad + cd 0 Dans ce cas, il est équivalent de démontrer : ad + cd (a + c )(b + d ) ou (ad + cd) (a + c )(b + d ) or : (ad + cd) (a + c )(b + d ) (ad + cd) - (a + c )(b + d ) -(ad - bc ) 0. La dernière inégalité est vraie donc ad + cd (a + c )(b + d ) aussi. EXERCICE. Ecriture de f(x) sans barre de valeurs absolues. x x+ -x- -x- x+ x+5 -x-5 x+5 x+5 f(x) -x-7 x+7. Représentation de f.

16 . Résolution des équations. a. f(x) = f(x)= (-x-7= et x -5 ) ou (= et -5 x -) ou (x+7= et x -). L'ensemble des solutions est [-5 ; -]. b. f(x) f(x) (-x-7 et x -5 ) ou ( et -5 x -) ou (x+7 et x -) (-9 x et x -5 ) ou (-5 x -) ou (x et x -) L'ensemble des solutions est [-9 ; ]. c. Vérification graphique. Notons C la représentation graphique de f. Les solutions de f(x)= sont les abscisses des points de C d'ordonnée Les solutions de f(x) sont les abscisses des points de C dont l'ordonnée est inférieure à. EXERCICE 4 9x a. L'équation donnée est équivalente à l'équation: = 0 (x )(x + ) Cette équation n'a pas de solution. ( x + 5) b..cette inéquation est équivalente à (x )(x + ) 0 soit (x + ) = 0 Un tableau de signe montre que l'ensemble des solutions est :]- ; - [ U ] ; 5 ] EXERCICE 5 Notons A et B les deux personnes, a et b leur âge. Supposons que A soit plus âgé que B. La différence d'âge entre les deux est a - b Quand A avait l'âge de B, B avait b - d années donc l'âge de A est a = (b - d) = (b - a). Cette relation se simplifie et s'écrit: 4a = 6b. Quand B aura l'âge de A, A aura a + d années c'est à dire a + (a - b) = a - b. On sait qu'alors la somme de leurs âges est 40 donc a+ (a - b) = 40 soit a - b =40 4a = 6b Les nombres a et b sont solutions du système a b = 40 On obtient a = 60 et b = 40.

17 EXERCICE 5 Notations R 0 l'ancien pouvoir d'achat.r le pouvoir d'achat actuel..s 0 le salaire ancien.p 0 les prix anciens. S le salaire actuel. P les prix actuels. S0 On a : R 0 = P ; R S = P ; S = S P = P S0 S Donc R = = = R 0 P P Le taux d'augmentation du pouvoir d'achat est alors + 00 R 0 R0 + + R R = = = 8,9% R 0 R0 + 00

18 DEVOIRS NUMERO 07 VECTEURS ET EQUATIONS EXERCICE Soit un triangle (ABC).. Construire les points M, N et L tels que : 4 AL + BA = O ; CB + BM = O ; 5NC + CA = O. Exprimer LN et LM en fonction de AB et AC. En déduire que les points L,M et N sont alignés. EXERCICE On note A le point de coordonnées ( ; ), B le point de coordonnées (4 ; ), C le point de coordonnées ( ; 6). I est le milieu de [BC], J est le point tel que ACJI est un parallélogramme, K le point tel que ACKB est un parallélogramme, et L le point tel que AILB est un parallélogramme. Prouvez que J, K et L sont alignés. EXERCICE Dans le plan rapporté au repère( Oi ;; j), on considère les points A( ;0) B(- ;) C( ;). Calculer l équation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle (ABC).. Calculer l équation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle (ABC).. En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle (ABC).

19 SOLUTIONS 07 EXERCICE. Construction des points M, N et L. On a : AL = AB ; BM = BC ; CN = CA Expression de LN et LM en fonction de AB et AC. L,M et N sont alignés. LN = LA + AC + CN = AB + AC LM = LA + AB + BM = AB + AC 4 Doù ' : LM= 5LN

20 EXERCICE. Coordonnées de J. Le point I a comme coordonnée ( ; 4) Notons (x ; y) les coordonnées de J. ACJI est un parallélogramme, équivaut à écrire que: CJ = AI. x Les coordonnées de CJ sont : y 6 Les coordonnées de AI sont Donc AC = AI équivaut à x = 4 et y = 8 Ce qui donne J (4,8). Coordonnées de K. Puisque ACKB est un parallélogramme, on a : CK = AB. En utilisant la même méthode que précédemment on trouve que : K (5,6). Coordonnées de L Puisque AIKL est un parallélogramme, on a : AI = BL. En utilisant la même méthode que précédemment on trouve que : L (6,4) 4. J, K, L alignés. Il est facile de vérifier que K est le milieu de [JL]

21 EXERCICE. Equation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle (ABC). Soit A le milieu de [AB]. On a : A ( ; ) 0 Cette médiane est la droite passant par A et admettant le vecteur AA' vecteur directeur. Son équation cartésienne est : x =. comme. Equation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle (ABC). Soit B le milieu de [AC]. On a : B ( ; 0,5) Cette médiane est la droite passant par B et admettant le vecteur BB ' vecteur directeur. comme Son équation cartésienne est de la forme - x - y + k = 0. Comme cette médiane passe par B donc les coordonnées de B vérifient l équation - x - y + k = 0. Ce qui donne k = - 4,5 L équation cartésienne de la médiane issue de B est donc x+y - 4,5=0 Cette équation peut s écrire encore x + y - =0. Coordonnées du centre de gravité du triangle (ABC). Le centre de gravité du triangle (ABC) est le point d intersection G des deux médianes (AA ) et (BB ). Autrement dit c est le point G dont les coordonnées (x ;y) vérifient à la fois l équation de (AA ) et celle de (BB ) Il est facile de trouver G (, )

22 DEVOIR NUMERO 08 VECTEURS ET FONCTIONS EXERCICE ABC est un triangle Les points D et E sont symétriques de A par rapport respectivement à C et à B. F et G sont les milieux respectifs des segments [BD] et [ED]. Prouver que F est le milieu de [C G]. EXERCICE ABCD est un parallélogramme. Les points E,F,G et H sont définis par: AE =. AD ; BF =.BC ; CG =.CB ; CH =.CD 8 4 Prouver que les droites (EF) et (GH) sont parallèles. EXERCICE Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition.. g(x) = x x. x x l(x) = x +. x v(x) = x 4x 4. w(x) = x x EXERCICE 4 Les fonctions f et g sont-elles égales? x x f : x! g : x! x + x +

23 SOLUTIONS 08 EXERCICE! G est le milieu de [ED], B est le milieu de [AE] donc la droite (GB) est parallèle à la droite (CD).! B est le milieu de [AE], C est le milieu de [AD] donc la droite (BC) est parallèle à la droite (GD).! En conséquence, le quadrilatère BCDG est un parallélogramme car ses cotés sont parallèles deux à deux. Il en résulte que ses diagonales [BD] et [CG] se coupent en leur milieu. F le milieu de [BD] est donc aussi milieu de [GC]. EXERCICE " " """# """# """# """# """# """# """# """"# """# EF = EA + AB + BF =.AD + AB +.AD =.AD + AB 8 8 """# """# """# """# """# """# """# """# """# """# HG= HC + CG =.CD +.CB =.AB.AD =.AD + AB =.EF """# """# Les vecteurs HG et EF sont colinéaires donc les droites (HG) et (EF) sont parallèles.

24 EXERCICE. g(x) = x Le domaine est! - {0} x. l(x) = x x + x Le domaine est!. x. v(x) = x 4x Le domaine est!- { 0 ; 4} 4. w(x) = x x Le domaine est l'ensemble des nombres x tels que -x >0 c'est à dire: ]- ; [ EXERCICE 4 x - f(x) existe x + 0 et 0 x + x ] -,-[ [, + [ g(x) existe D D D f g f = ], [ [, + [ = [, + [ D g x - 0 et x + > 0 x et x > - x [, + [ donc les fonctions f et g ne sont pas égales

25 EXERCICE DEVOIRS NUMERO 09 VECTEURS ET FONCTIONS Soit f la fonction définie par f(x) = x + x. On note C sa représentation graphique dans le repère orthonormal{ O;i;j}.. Etude de f. a. Soit O' le point de coordonnées (- ; - ). Déterminer la fonction F dont la. En déduire la représentation graphique est C dans le repère { O' ; i ;j } construction de C. b. Déterminer la valeur minimum de F(x). En déduire la valeur minimum de f(x).. Soit g la fonction définie par g(x)= + x+. On note Γ sa représentation graphique dans le repère orthonormal { O ; i; j}. a. Donner le domaine D g de g. b. Quel est le sens de variation de g sur D g. c. Déterminer la fonction G dont la représentation graphique est C dans le repère. En déduire la construction de Γ. { O';i;j}. Composées gof et fog. a. Montrer que domaine D gof de gof est. Calculer gof(x). b. Quelle est le domaine D fog de fog? Calculer fog(x). c. Résoudre gof(x) = fog(x). 4. Soit α avec α -. On note β = f(α) Le but de la question est de comparer les courbes C et Γ sur l'intervalle [- ; + [. a. Soit M un point de C d'abscisse α. Calculer son ordonnée. b. Montrer qu'il existe un point N de Γ d'abscisse β. Calculer son ordonnée. Comment sont les points M et N par rapport à la droite d'équation y = x. En déduire que sur l'intervalle [- ; + [ les courbes C et Γ sont symétriques par rapport à la droite. EXERCICE. ABCD est un parallélogramme. k k et k 0. E et G sont les points tels que AE= kab et AG = ( k)ad. On mène par E la parallèle à (AD) quoi coupe (CD) en H, et par G la parallèle à (AB) qui coupe (BC) en F. Démontrez que les droites (EF), (AC) et (GH) sont parallèles. On pourra se placer dans le repère{ A;AB. AC}.

26 EXERCICE. Etude de f. a. Fonction F. Construction de C. SOLUTIONS 09 Soit M un point de C. Notons (x;y) ses coordonnées dans { O;i;j} coordonnées dans { O' ; i ;j } et (X;Y) ses On a entre ces nombres les relations : x = X - et y = Y -. Un point M est sur C si seulement si ses coordonnées (x;y) vérifient y = x + x c'est à dire si et seulement si Y- = (X-) + (X-) soit encore si et seulement si Y = X Donc un point M de coordonnées (X;Y) est sur C si et seulement si Y=X. la représentation de la fonction F En conclusion, C est dans le repère { O' ; i ;j } définie par : F(X) = X. La construction de C est facile à déduire. (voir figure en fin de solution). b. Déterminer la valeur minimum de F(x). En déduire la valeur minimum de f(x). F(X) = X donc F(X) 0. La valeur minimum de F est 0 obtenue pour X=0. Or si X=0 alors x = - et f(-) = -. La valeur minimum de f(x) est -. Autrement dit f(x) -.. Fonction définie par g(x)= + x +. a. Domaine D g de g. D g = [- ; + [. b. Sens de variation de g sur D g. Sur D g = [- ; + [, g est croissante car si x y alors g(x) g(y) (facile à prouver). c. Fonction G. Construction de Γ. Soit M un point de Γ. Notons (x;y) ses coordonnées dans { O;i;j} coordonnées dans { O' ; i ;j } On a entre ces nombres les relations : x = X - et y = Y -. et (X;Y) ses Un point M est sur C si seulement si ses coordonnées (x;y) vérifient y = + x+ c'est à dire si et seulement si Y- = + (X ) + soit encore si et seulement si Y= X. Donc un point M de coordonnées (X;Y) est sur C si et seulement si Y= X.. la représentation de la fonction G En conclusion, C est dans le repère { O' ; i ;j } définie par : G(X) = X.. La construction de Γ est facile à déduire (voir figure en fin de solution).

27 . Composées gof et fog. a. D gof de gof est. Calcul de gof(x). Un réel x D gof si et seulement si x D f et f(x) D g. Or pour tout x, f(x) existe et pour tout x, f(x) - donc f(x) D g. gof(x) = - + x+. b. Domaine D fog de fog, Calcul de fog(x). Un réel x D fog si et seulement si x D g et g(x) D f. Or f(x) existe pour x -, et pour tout x, g(x) D f car D f =. Donc D fog =[- ; + [. fog(x)=x c. Résolution de gof(x) = fog(x). gof(x)=fog(x) pour x Soit α avec α -. On note β = f(α) Soit M un point de C d'abscisse α. Calculer son ordonnée. L'ordonnée de M est f(α) soit β. a. Point N de Γ d abscisse β. Existence de N. Le point N existe à la condition que β -. Or β = f(α) et on a vu que pour tout nombre réel x, f(x) - donc β -. Son ordonnée est g(β) = gof(α) = - + α +. Or α - donc α+ = α +. Donc l'ordonnée de N est α. Position de M et N par rapport à la droite d'équation y = x. On a M(α,β) et N (β;α). Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite. A tout point M de C, on peut associer un point N de Γ tel que M et N soient symétriques par rapport à et inversement. Les courbes C et Γ sont donc symétriques par rapport à lorsque x -.

28 EXERCICE Dans le repère { A;AB. AD}, Les points A,B,C,D,E,F,G et H ont comme coordonnées: A(0;0), B(;0), C( ; ), D(0;), E(k ; 0), F( ; - k), G(0 ; - k) et H(k ; ). k k On déduit les coordonnées des vecteurs AC,EFet GH : AC, EF et GH. k k En utilisant la condition de colinéarité de deux vecteurs, il est facile de prouver que les vecteurs: AC,EFet GH sont colinéaires donc que les droites (EF), (AC) et (GH) sont paralléles.

29 DEVOIR NUMERO 0: VECTEURS ET FONCTIONS EXERCICE : équations de droites On considère 4 droites telles que trois soient sécantes deux à deux. La quatrième étant quelconque. (voir figure) On appelle I le milieu de [CF], J celui de [ED] et K celui de [AB]. Montrer que les points I,J et K sont alignés. AIDE!!!"!!!" Se placer dans le repère { AABAC,, } On notera d l'abscisse de D et e l'ordonnée de E. Calculer les coordonnées de I, J et K!!"!!!" Montrer que les vecteurs KI et KJ sont colinéaires. EXERCICE : Changement de repère. Soit f la fonction définie par : x +x+ f(x) = Soit C sa courbe représentative. x+ a. Déterminer l ensemble de définition de f : b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec les axes. c. Donner l'équation de C dans le repère de centre A(- ;-) En déduire que A est centre de symétrie pour la courbe C.

30 EXERCICE : Calcul simplifier d'impôts Lire d'abord le mode de calcul ci-dessous avant de répondre aux questions. Mode d'emploi. Le ministère des finances fournit le mode d'emploi ci -dessous pour calculer les impôts. (modèle fourni en 00)

31 QUESTIONS. En utilisant les fonctions E, min, max, donner une formule calculant la déduction de O% en fonction du salaire.. En utilisant les fonctions E, min, max, donner une formule calculant l'abattement de 0% en fonction du salaire.. En utilisant les fonctions E, min, max, donner une formule calculant le revenu imposable en fonction du salaire. 4. Calculer l'impôt en francs et en Euros dans les cas suivants: Salaire de vous: francs salaire du conjoint: 0 Nombre d'enfants: Salaire de vous: francs salaire du conjoint: Nombre d'enfants: Salaire de vous: francs célibataire sans enfant. Salaire de vous: francs salaire du conjoint :0 enfant. Salaire de vous: francs Salaire du conjoint: Nombre d'enfants

32 EXERCICE SOLUTIONS 0

33

34 EXERCICE (réponses seulement) a. Le domaine est!-{-}. b. Les points d'intersection avec les axes sont B(0, ), C( 5, 0 ) et D( c. Notons C la courbe représentative de la fonction f. Dans le repère ( A,i, j ) C a comme équation Y X X " " " " =. Cela veut dire que dans le repère ( A,i, j ) + 5, 0 )., la courbe, la courbe C est la représentation de la fonction g définie par g(x) = X X La fonction g est impaire dons le point A est centre de symétrie de C. EXERCICE (réponses seulement). Notons A le salaire déclaré. La déduction de 0% est alors égale à B = E(Max(Min( A/0; 78950), 50). Suite à cette déduction, il reste: D = A - B. L'abattement de 0% est H = E(Min(D/0; 44400)).. Le revenu imposable est alors I = D - H. 4. cas Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts Quotient familial 6000 Valeur de l'impôt 7

35 cas Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts 4 Quotient familial Valeur de l'impôt 760 Cas Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts Quotient familial Valeur de l'impôt 58

36 Cas 4 Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net Revenu net imposable Nombre de parts,5 Quotient familial 400 Valeur de l'impôt 44 Cas 5 Vous Conjoint Total Salaires Déduction 0% Reste Abattement de 0% Reste net 4000 Revenu net imposable 4000 Nombre de parts 4 Quotient familial Valeur de l'impôt 69

37 EXERCICE DEVOIR NUMERO EQUATIONS ET FONCTIONS Etudier la parité des fonctions suivantes : f(x)= x+ + x ; g(x) = x x + ; h(x) = x. x 5 EXERCICE a. Soit b. Soit f(x) = x + x - g(x) = x + déterminer f o g. x - f(x) = x - et g(x) = x+ Déterminer g o f EXERCICE Soit f la fonction définie sur R par : f est périodique de période. f est paire. Sur [0, ] f(x)= -x Sur [,] f(x)= 0. Tracer la représentation graphique de f sur [-,]. EXERCICE 4 x + Soit f la fonction définie sur! par f(x) = x + En utilisant la représentation graphique de f, montrer que f est bornée sur R :

38 EXERCICE 5 Résoudre les équations suivantes: a. x ( + ) x+ = 0 (Aide développer ( ) b. x 4 + 5x - 6 = 0. ) c. + + = 0 x+ x 4 EXERCICE 6 Soit f(x)= x 7x+ 8x 4x 5 + a. Déterminer l'ensemble de définition de f. b. Simplifier f(x). EXERCICE 7 Résoudre les inéquations suivantes: a. x + 5x 5> 0 b. -x +5x +! 0 c. x + 5x x + x 4

39 EXERCICE SOLUTIONS f: paire ; g: impaire ; h : ni paire, ni impaire. EXERCICE fog(x) =(x+) +(x+) - = x +7x + 4. (x ) 7 9x 7 gof(x) = = x + x EXERCICE EXERCICE 4 Le graphique montre que : f(x). Vérifions ceci par le calcul.! Montrons que f(x) Pour cela calculons f(x)-: f(x) = x x + x +. Le nombre x + est positif. Le nombre x -x + est toujours positif. En effet, l'équation x -x +=0 n'ayant pas de racine, l'expression x -x + est toujours du signe de. Donc f(x) -! 0.! Montrons que f(x) Pour cela calculons f(x) +. f(x) + = + + x 4x 8 (x + ) x +4x +8 est toujours positif. En effet, l'équation x +4x +8=0 n'ayant pas de racine, l'expression x +4x + 8 est toujours du signe de.

40 EXERCICE 5 a. Le discriminant de l'équation est "= ( ) On a donc racines x ' = ; x" = b. L'équation X + 5X - 6 = 0 a deux racines X' = 4 et X" = -9. Par suite l'équation x 4 +5x - 6 = 0 a deux racines x'= et x"= -. c. x + 5x + = + + = 0 = 0 x+ x 4 4(x+ )(x ) x et x x 5x 0 L'équation x + 5x -=0 a deux racines x' = et x" = ("=89=7 ) Ces deux racines vérifient la condition x#- et x#. L'équation x" =. + + = 0 x+ x 4 a donc deux racines x' = et EXERCICE 6 a. Domaine. Le domaine est l'ensemble D des réels x tels que 8x -4x +5 #0 Or 8x -4x +5= 0 pour x'= 5 4 et x" = ("=6) Donc D=! - { 5 4 ; } b. Simplification. De la question précédente on déduit que: 8x -4x +5= 5 8 x x 4 x x L'équation x -7x + = 0 a deux racines x'= et x"= donc x -7x + = ( ) Par suite: ( x ) x x x 4 x 7x x = = 8x 4x 5 5 4x 5.

41 EXERCICE 7 a. Le discriminant de l'équation "<0 donc l'expression L'inéquation x + 5x 5= 0 est = 5 5. x + 5x 5 a un signe constant qui est celui de -. x + 5x 5> 0 n'a donc pas de solution. b. Le discriminant de l'équation -x +5x + = 0 est "= 49. Cette équation a donc deux racines et. En appliquant la règle sur le signe du trinôme, on trouve que l' ensemble des solutions est ; [ ; + [. c. x + 5x x + 6 x x 4 x x Effectuons un tableau de signe. x x X +x x+ 6 + x x L'ensemble des solutions est E= ]-$ ; -4 [U] ; 6]

42 DEVOIR NUMERO Equations EXERCICE A l'occasion d'une tombola, une somme de F doit être répartie également entre les gagnants. Deux de ces derniers ne se manifestant pas, la part de chacun est alors augmentée de 850 F. Combien avait-on prévu de gagnants et combien chacun devait-il recevoir? EXERCICE + = x y 0 Résoudre le système 4 + = x y 400 EXERCICE Soit l'équation x +(m-)x + 4 = 0 Donner selon la valeur du paramètre m, le nombre de solution de cette équation. On ne demande pas le calcul des racines. EXERCICE 4 Résoudre l'équation x + = x+

43 EXERCICE SOLUTIONS

44 EXERCICE Posons X= x et Y = X+ Y = y Le système s'écrit: 0 4 X + Y = 400 X+ Y = X+ Y = X Y () = X Y + = X + X = X + X = () () implique: X X = 0 Cette équation a deux racines 0 0 Ce qui donne comme solution x = 4, y = -5 ou x = -5, y = 4. X' = ou X" = 4 5 EXERCICE!= m - 6m - 7! est un trinôme du second degré en m. Ce trinôme a deux racines m = - et m = 7 Par suite son signe est : Si m < - ou m>7 alors! > 0 donc l'équation x +(m-)x + 4 = 0 a deux racines Si -<m <7 alors! < 0 donc l'équation x +(m-)x + 4 = 0 n'a pas de racines. Si m= - ou m=7 alors! = 0 donc l'équation x +(m-)x + 4 = 0 a une racine. EXERCICE 4 ( ) x+ = x+ x + x+ = 0 x + = x+ x+ 0 x+ 0 L'équation x +x+ = 0 a deux racines x' = et x" = La racine x' ne vérifie pas la condition x+"0. L'équation a une seule solution + 5 x" =

45 EXERCICE DEVOIR NUMERO GENERALITES SUR LES FONCTIONS Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : x + f(x) = x 4x ; g(x)= x x + ; h(x)= x x +. Les fonctions g et h sont-elles égales? Justifier votre réponse. EXERCICE Etudier la parité des fonctions suivantes : EXERCICE f(x)= x+ + x ; g(x) = x x + ; h(x) = x x +.. Déterminer fog et gof avec :f(x)= x et g(x)= x x+.. Ecrire h sous la forme h=gof sachant que : h(x)= x + EXERCICE 4 Soit f la fonction définie par : f(x)= x - + x + 4. Tracer la représentation graphique de la fonction f. EXERCICE 5 Soit f la fonction définie par :,5 f(x)= ( x ) x + En utilisant la représentation graphique de f conjecturer l existence d un majorant et d un minorant de f. puis démontrer cette conjecture algébriquement. -0-0,5 0,5 0-0, ,5 EXERCICE 6 Pierre est parti en vacances dans un club. La plage, les buffets bien garnis lui ont fait prendre quelques kilos. Les kilos en plus pris par Pierre représentent 0% de son poids initial. Après les vacances, Pierre décide de retrouver son poids d avant les vacances. Quel pourcentage de poids doit-il perdre?

46 SOLUTIONS EXERCICE Domaines de définition des fonctions. D f = - {0 ; 4} ; D g = [ ; + [ ; D h = ]- ; - [ [ ; + [. Les fonctions g et h ne sont pas égales car leur domaine ne sont pas les mêmes. EXERCICE Etudier la parité des fonctions suivantes : x f(x)= x+ + x. f est paire ; g(x) = x + g est impaire ; h(x) = x + h est ni paire ni impaire. x EXERCICE. Calcul de fog et gof avec :f(x)= x et g(x)= x x+. fog x = ; = + x x+ x x ( ) gof ( x) 4. Ecriture de h sous la forme h=gof sachant que : h(x)= x + ( ) ; ( ) f x = x+ g x = x EXERCICE 4 Représentation graphique de la fonction f définie par : f(x)= x - + x + 4. x -4 x+4 -x-4 x+4 x+4 x - -x+ -x+ x- f(x) -x- 6 x+

47 EXERCICE 5 Encadrement de la fonction f telle que : f(x)= ( x ) x + La représentation graphique permet de conjecturer que 0 f(x). o Montrons que 0 f(x). Les expressions ( x ) et o Montrons que f(x). Pour cela calculons f(x) -. ( ) f x = x ( x + ) + x + sont positives donc le quotient ( ). Cette différence est négative donc f(x). x l est aussi. x + EXERCICE 6 Pierre est parti en vacances dans un club. La plage, les buffets bien garnis lui ont fait prendre quelques kilos. Les kilos en plus pris par Pierre représentent 0% de son poids initial. Après les vacances, Pierre décide de retrouver son poids d avant les vacances. Quel pourcentage de poids doit-il perdre? Notons : x le poids avant les vacances. y le poids après les vacances. p le pourcentage de perte de poids de Pierre après les vacances. x Après les vacances Pierre pèse x + =,x 0 y x,x x 0, p est le pourcentage de variation de y à x. Donc p = = = = = 0,0909. y,x, Pierre doit donc perdre 9,09% de poids pour retrouver la ligne.

48 DEVOIR NUMERO 4 GENERALITES SUR LES FONCTIONS EXERCICE. Les fonctions f et g sont-elles égales? f : x x x + g : x x x +. Soit v et u définies sur R par v ( x) = x + x x + et u ( x) = x. Etudier la position relative des courbes représentatives de v et u. x +. Soit h définie sur R par h ( x) =. x + Montrer que h ( x) sur R. EXERCICE Pour chacune des fonctions suivantes, trouver le domaine de définition et étudier la parité : gx ( ) = x x lx ( ) = x x x + vx ( ) = x x 4x wx ( ) = x x EXERCICE Soit f la fonction définie par x + f ( x) = et C sa courbe représentative. x + x. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Déterminer les coordonnées du point d intersection I de C avec l axe des abscisses.. Montrer que I est centre de symétrie de C.

49 EXERCICE 4. Soit les fonctions f et g définies sur par Calculer ( gof )( x) et ( fog )( x). f : x x x g x x +. 4 et :. Soit la fonction l définie sur ],[ ], + [ par ( x) + l( x) =. 6 x Ecrirel sous la forme l = l ol où l et l sont deux fonctions à déterminer.. Soit la fonction h définie sur 0, [ Ecrire h sous la forme [ + par ( x) = ( x + ) h. h = uov où u et v sont deux fonctions à déterminer. Rappeler le sens de variation de v sur [ 0, + [ et de u sur ],0]. En déduire le sens de variation de h sur [ 0, + [.

50 SOLUTIONS 4 EXERCICE :. f(x) existe g(x) existe D D D f g f = ], [ [, + [ = [, + [ D g x - x + 0 et 0 x + x ] -,-[ [, + [ x - 0 et x + > 0 x et x > - x [, + [ donc les fonctions f et g ne sont pas égales. pour tout x R v(x) u(x) = x + x x + x = x x + = 4 = < 0 pour tout x R x x + > 0 d'où v(x) u(x) > 0 v(x) > u(x) Donc la courbe représentativede v est au dessusdecellede u.. pour tout x R donc h(x) h(x) = < 0 x + x h(x) = 0 x +

51 EXERCICE a. g( x) existe existe x x R {} 0 pour tout x D, x D g( x) = x + g( x) x gx ( ) g n' est ni paire, ni impaire g g b. x l x existe pour tout x R + > 0, ( ) pour tout x R x R x + x l( x) = = l( x) x + l est impaire c. vx existe x x ( ) 4 0 x ( x 4) 0 x 0 et x 4 pour x = 4 D x = 4 D v n ' est ni paire, ni impaire. v v d. wx existe x > ( ) 0 ( x) ( + x) > 0 x ],[ pour tout x D, x D x w( x) = = w( x) x w est impaire w w

52 EXERCICE : f (x)existe x doncd donc x = I(,0) pour tout h f (x + )(x ) 0 x = R R + x 0 R {, } {, } L'abscisse x deivérifief (x) = 0 x + = 0 {,}, + h D on a alors h et h donc h D f f h h f ( + h) = f ( h) = h 4 h 4 f ( + h) + f ( h) = 0 donciest centredesymétrie de la courbe représentativede f EXERCICE 4.. pour tout x R gof (x) = = fog(x) = 4 (4x x ) + x 4 x 8x + 6x + x + pour tout x ],[ ], + [ x l( x) = + ( x) lx ( ) = lol ( x) où x l( x) = x et l( x) = + x ],[ ], + [ R {} 0 R x x x + ( x)

53 . [, [ ( ) ( ) ( ) ( ) pour tout x h x uov x où v x x et u x x + = = + = x + v 0 x 0 u 0 x + h 0

54 DEVOIR NUMERO 5 VECTEURS ANGLES EXERCICE On fixe une ficelle de longueur L cm entre les points A et B distants de d cm. On cherche les positions du point M telles qu avec la ficelle tendue, AMB soit un triangle rectangle en M. On pose AM = x. A d B M. Expliquer par une figure, pourquoi dès qu on a trouvé une position possible, il y a trois autres positions.. On suppose L = 89 cm et d = 65 cm. Montrer qu il existe des solutions et les préciser.. On suppose L = 00 cm et d = 50 cm. Existe-t-il des solutions? 4. Trouver une condition sur L et d pour qu il existe des solutions. EXERCICE Soit ABC un triangle. Construire les points D et E tels que : AD = AB AC et AE = CB + CA 6 FAIRE LA CONSTRUCTION SUR LA FEUILLE.. Démontrer que les points A, D et E sont alignés.. On définit le point F par BF = xab + AC où x est un nombre réel. Pour quelle valeur de x, les points A, D et F sont-ils alignés? EXERCICE Soit ABC un triangle. Les points M et N sont tels que La droite (MN) coupe la droite (BC) en K. AABAC ; ; On se place dans le repère ( ) 4 AM = AB et AN = AC. 4. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN). Calculer les coordonnées de K.. Déterminer le nombre k tel que : BK = kbc.

55 EXERCICE 4 Soit ABCDE la ligne brisée représentée ci-dessous où AB et DE sont colinéaires. Déterminer une mesure de l angle orienté ( DC; DE ) EXERCICE 5 Soit la figure ci-dessous ABCD est un parallélogramme tel que : ( AB; AD) ADE est un triangle équilatéral CMNP est un parallélogramme tel que ( CD; CM ) π = 6 = π Montrer que les vecteurs AE ET NP sont colinéaires.

56 SOLUTIONS 5 EXERCICE. Si une solution existe, les trois autres solutions sont indiquées sur la figure ci-dessous AMB est rectangle si et seulement si AM +BM = AB Soit si et seulement si : x +(L - x) = d. c est à dire si et seulement si x -Lx+L -d = 0. Le problème a des solutions si et seulement si l équation x -Lx+L -d = 0 a des racines.. L = 89 cm et d = 65 cm. L équation s écrit : x 78x = 0. Cette équation a deux racines x = 56 ou x=. ( = 6 = 46 ).. L = 00 cm et d = 50 cm.. L équation s écrit : x 00 x = 0. Cette équation n a pas de solution car = Condition sur L et d pour qu il existe des solutions. Le problème a des solutions si et seulement si l équation x -Lx+L -d = 0 a des racines. Cette équation a des racines si et seulement si son discriminant est positif ou nul, c est à dire si et seulement si 4L 8(L - d ) 0. Ce qui donne : -L + d 0. Comme L et d sont des nombres positifs, la condition précédente équivaut à L d.

57 EXERCICE. Construction. Les points F, G et H sont tels que : AF = CA, AG = CA, AH = CB 6. Démontrer que les points A, D et E sont alignés. AD = AC+ CB AC = AC+ CB = CB+ CA= AE. Valeur de x pour laquelle les points A, D et F sont alignés. On se place dans la base ( AB, AC). Cherchons dans cette base les coordonnées de AF et de AD. + x AF = AB + BF = ( + x) AB + AC donc les coordonnées de AF sont. AD = AB AC donc les coordonnées de AD sont. / D après la condition de colinéarité de deux vecteurs, les points A,D et F sont alignés si, et seulement si 7 ( + x) = ce qui donne x =

58 EXERCICE. Ecrire une équation des droites (BC) et (MN). Dans le repère ( AABAC ; ; ) les coordonnées des points B,C,M et N sont : B( ; 0) C (0 ;) M( 4 ;0) N(0 ; 4 ). La droite (BC) a comme équation : x + y = La droite (MN) a comme équation :6x + 9y -= 0.. Calcul des coordonnées de K. Le point K est l intersection des deux droites (BC) et (MN) donc les coordonnées de K sont x+ y = les solutions du système :. Ce système a une solution : 6x+ 9y = 0. Calcul du nombre k tel que BK = kbc. 4 x = ; y = 7 7 On a 4 7 BK et BC ce qui donne k=

59 EXERCICE 4. Calculons l angle ( AE; NP ) ( AE ; NP ) = ( AE ; AD ) + ( AD ; DC ) + ( DC ; CM ) + ( CM ; NP ) π π π ( AE; NP ) = + + 0= 0( π ) 6 AE; NP = 0 π Puisque ( ) ( ) EXERCICE 5 ( DC; DE ) ( DC; BC) ( BC; BA) ( BA; DE ) les vecteurs AE ET NP sont colinéaires. π π 5π = + + = + π = 6

60 EXERCICE Vecteurs DEVOIR NUMERO 6 VECTEURS ANGLES TRIGO Soit un parallélogramme ABCD de centre O et x un réel différent de 0 et de.. Soit M et N tels que AM = xab et CN = xcd. Démontrer que le milieu de [MN] ne dépend pas de la valeur de x.. Soit P et Q tels que BP = xbc et DQ = DC. x Démontrer que la droite (PQ) passe par A quel que soit la valeur de x. Quelle valeur doit-on donner à x pour avoir EXERCICE Angles. Soit A et B avec AB = 4. AP = 4 AQ.. Construire les points C et D tel que BC = 4, CD =, ( AB, BC) π = et ( CB, CD) π = 4. Construire le point E tel que : ( DC, DE ) mesure de l angle ( EA, ED). π = et ( AB, AE ) π =. Déterminer une 4, puis une mesure de l angle géométrique AED.. Quelle est la somme des mesures des angles géométriques du pentagone? EXERCICE Trigo.. Exprimer Cosx en fonction de cosx et Sinx en fonction de sinx.. Simplifier les expressions après avoir précisé leur ensemble de définition. sin x cos sin cos, x, x x. sin x cos x sin x cos x. Factoriser les expressions : + cosx + cosx et + sinx cosx. 4. Exprimer en fonction de cosx : cos x + 4sin x. + 6 π 5. Sachant que cos x =, 0 < x <.Calculer cosx puis en déduire x Exprimer en fonction de sin x l expression : cos x cos x. π π cos + sin 7. Démontrer que 8 8 = + π π cos sin 8 8

61 EXERCICE Vecteurs SOLUTIONS 6 Soit un parallélogramme ABCD de centre O et x un réel différent de 0 et de.. Le milieu de [MN] ne dépend pas de la valeur de x. OM + ON = OA + AM + OC + CN = 0 car OA + OC = 0 et AM + CN = x ( AB + CD) = 0. La droite (PQ) passe par A quel que soit la valeur de x. Montrons que les vecteurs AP et AQ sont colinéaires. AP = AB + BP = AB + xbc = AB + xad AQ = AD + DQ = AD + DC = AB + AD = ( AB + xad) = AP x x x x D après ce qui précède, AP = xaq on a donc AP = AQ pour x = 4 4 EXERCICE Angles.. Construction des points A, B, C, D, E π π π π π = = + = 4 4. ( EA, ED) ( EA, AB) ( AB, BC) ( BC, CD) ( CD, ED). La somme des mesures des angles géométriques du pentagone est π.

62 EXERCICE Trigo.. Cosx = cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx =(cos x - )cosx - sin xcosx. =cos x cosx (-cos x) cosx = 4cos x - cosx Sinx = sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx =sinxcos x + (-sin x)sinx. = sinx(-sin x) + (-sin x)sinx = sinx - 4sin x. sinx sinx 4sin x = = 4sin x = 4cos x. Domaine -{ kπ } ( k Œ ) sin x sin x cos 4cos cos x x x cos x cos x 4cos sin = x = x Domaine - π k + π sinx cosx sinx cos x cosx sin x sin x = = =. Domaine - sin x cos x sin xcos x sin xcos x k π On aurait pu aussi utiliser les formules précédentes.. Factoriser les expressions : ( ) + cos + cos = + cos + cos = cos + x x x x x cosx ( ) sin cos sin sin sin sin + x x = + x + x = x + x. + cosx cos x + 4sin x = cos x+ 4 cos x = 4 cos x = 4 = cosx. 4. ( ) π cos x =, 0 < x <.Calcul de cosx puis en déduire x cosx = cos x = = 4 π 6 π. On déduit que x = ( π ) donc x = ( π ) Mais la condition imposée sur x donne comme seule valeur possible x = ( π ) π

63 6. ( ) ( ) 7. 4 cos x cos x = sin x sin x = 4 sin x sin x. π π π π π π cos sin cos sin π π π = = 8 8 = 4 cos sin π π cos sin cos sin sin cos + sin cos sin cos π π π π π Autre méthode π π π π π π π π cos + sin cos + sin cos cos + sin sin 8 8 = 8 8 = π π cos sin π π π π π π cos sin cos cos sin sin π π π π + cos + cos cos = = = = π π π cos cos π cos = = = +

64 DEVOIR NUMERO 7 ANGLES TRIGO. EXERCICE On considère un rectangle MNPQ dont les dimensions sont a et b (a < b). On dessine à l intérieur un parallélogramme ABCD comme indiqué sur la figure.. Quelles sont les valeurs de x possibles?. Déterminer en fonction de a de b et de x l'aire A(x) du parallélogramme ABCD.. Déterminer x en fonction de a et de b pour que l'aire du parallélogramme soit égale à la moitié de l'aire du rectangle. EXERCICE Résoudre l inéquation suivante: x + 5x x + x 4 EXERCICE. Dans la figure ci-contre, le triangle ABC est équilatéral et ACD est rectangle et isocèle. Donner en justifiant les réponses la mesure principale de chacun des angles orientés AB; AC ; AH; AC ; AD; AH ; CD; CB. Montrer que pour tout réel x :. Calculer cos x dans les deux cas suivants : 4. a. b. cos x = sin x = 4 BH; BC ; BH; HA. π 4π cos x+ cos x+ + cos x+ = 0 a. Placer l image du réel 5 π sur le cercle trigonométrique 8 5π b. Calculer cos et 5π sin 8 8 En déduire 5 cos 8 π et 5 sin 8 π

65 EXERCICE 4 Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( Oi,, j). Dans le repère ( Oi, ) unités cm. les points A et B sont donnés par leurs coordonnées polaires. π A ; et 5π B ; 6. a. Construire les points A et B à la règle et au compas. b. Déterminer une mesure de l angle ( OA, OB). En déduire la nature du triangle AOB.. Calculer les coordonnées cartésiennes de A et B puis le produit scalaire OA. OB. Que retrouve-t-on ainsi?. Le point C a comme coordonnées cartésiennes : ; a. Déterminer les coordonnées polaires de C dans le repère ( Oi, ). b. Montrer que les points B, O, C sont alignés. EXERCICE 5 ABC est un triangle rectangle en A. A est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. On appelle I et J les projections orthogonales de H respectivement sur (AB) et (AC).. Faire une figure.. Exprimer le vecteur AA' en fonction des vecteurs AB et AC.. Montrer alors que les droites (AA ) et (IJ) sont perpendiculaires.

66 SOLUTIONS 7 EXERCICE. valeurs de x possibles. Le réel x vérifie l inégalité : 0 x a. Aire A(x) du parallélogramme ABCD. Aire(ABCD)=Aire(MNPQ) - Aire(ANB) -- Aire(AMD) - Aire(BPC) - Aire(CQD) On remarque que : Aire(ANB) = Aire(CQD) et Aire(BPC) = Aire(AMD) D où Aire(ABCD) = ab x(a - x) x(b x) = x (a+b)x +ab. Aire(x)= x (a+b)x +ab.. Calcul de x tel que l aire du parallélogramme soit égale à la moitié de l'aire du rectangle. ab Les nombres x cherchés sont les solutions de l équation : Ax ( ) = avec 0 x a. soit : x -(a+b)x +ab = et 0 x a ou encore : ( ) ab Résolution de ( ) 4x x a+ b ab = 0. 4x x a+ b ab = 0 et 0 x a = 4( a+ b) 6ab = 4( a b) a b. L équation a deux racines : x ' = et x " = Conclusion : a b a Si b a alors il y a valeurs de x : x ' = et x " = sinon il n y a qu une valeur x ' =. EXERCICE x + 5x x + 6 x x 4 x x Effectuons un tableau de signe. x x X +x x+ 6 x + x L'ensemble des solutions est E=]- ; -4 [U] ; 6]

67 EXERCICE. Calculs d angles. o Calcul de AB; AC. π = = = Le triangle ABC étant équilatéral direct on a ( AB, AC) ( BC, BA) ( CA, CB) o Calcul de AH; AC. Le triangle direct ACD étant rectangle et isocèle en C on a ( CD, CA) π = et π ( DA, DC) = ( AC, AD) = 4 (AH) étant la hauteur du triangle issue de A du triangle équilatéral ABC, (AH) est aussi la bissectrice de l angle BAC. On obtient donc ( AH, AC) o Calcul de AD; AH. π π 5π AD; AH = AD; AC + AC; AH = = 4 6 o Calcul de CD; CB. π π 5π = + = + = 6 ( CD, CB) ( CD, CA) ( CA, CB) o Calcul de BH; BC. BH; BC = 0 o Calcul de ; BH; HA. π = 6 BH; HA = HC; HA = π

68 π 4π. Montrer que pour tout réel x : cos x+ cos x+ + cos x+ = 0 π 4π π π 4π 4π cosx +cos(x + )+cos(x + ) = cosx + cos x cos - sinx sin +cos x cos - sinx sin. Calcul de cos x. = cos x - cosx - sinx - cosx + sinx = 0 4. a. cos x = -/ donc b. sin x =/4 donc 7 cosx = cos x = = 9 cosx = sin x = 4 = 8 a. Image 5 π sur le cercle trigonométrique. 8 π 4 5π 8 b. Calcul de cosinus et sinus de 5 π. 8 5π π π cos = cos π cos = = 4 5π 5π cos = = = ; cos 8 4 5π 5π cos = = = sin 8 4 comme π 5π < < π on a 8 5π 5π cos < 0 et sin > On obtient donc 5π cos = et 8 5π + sin = 8

69 EXERCICE 4. a. Construction. b. Mesure de l angle ( OA, OB). Nature du triangle AOB. π 5π π ( OA, OB) = ( OA, i ) + ( i, OB) = + = ( π ) 6 Le triangle OAB est donc rectangle en O. Coordonnées cartésiennes de A et B et produit scalaire OA. OB.. A ( ; ), B ;. OA. OB = On retrouve la propriété : le triangle OAB est rectangle en O a. Coordonnées polaires de C. 9 OC = + = 9 4 donc OC=. L angle θ = ( i, OC π ) est défini par cosθ = = et sinθ = =. D où θ = x x 6 b. Les points B, O, C sont alignés. 5π π ( OB, OC) = ( OB, i ) + ( i, OC) = =π ( π ). 6 6 OB, OC vaut π alors les points O, B, C sont alignés. Puisque l angle ( )

70 EXERCICE 5. Figure. I B H A A J C. Expression du vecteur AA' AA' = ( AB+ AC).. Les droites (AA ) et (IJ) sont perpendiculaires. Calculons le produit scalaire AA'. IJ. AA'. IJ = AB + AC. IA + AJ = AB. IA + AB. AJ + AC. IA + AC. AJ ( ) ( ) ( ) Le produit AC. IA est nul car les droites (AI) et (AC) sont perpendiculaires. Le produit AB. AJ est nul car les droites (AJ) et (AB) sont perpendiculaires.. Or AC. AJ = AC. AH et AB. AI = AB. AH D où : AA'. IJ = ( AC. AJ + AB. IA) AA'. IJ = AB. AH + ACHA. = AH. AB AC = AHCB. Donc ( ) ( ) La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC) donc AH. CB = 0 Par suite AA'. IJ = 0 Le produit scalaire AA'. IJ est nul, donc les droites (AA ) et (IJ) sont perpendiculaires.

71 DEVOIRS NUMERO 8 ANGLES ET TRIGO EXERCICE Soit un cercle C de centre O et trois points sur le cercle A,B et M. On appelle I le milieu de [AM] et J le milieu de [BM]. a. Exprimer la mesure de l angle ( OI, OM ) de la mesure de l angle ( OA, OM ) b. Exprimer la mesure de l angle ( OM, OJ ) de la mesure de l angle ( OM, OB) en fonction en fonction c. En déduire la mesure de l angle ( OI, OJ ) en fonction de la mesure de l angle ( OA, OB). d. Donner une mesure de chacun des angles ( OI, MA) et ( OJ, MB) OI, OJ MA, MB ( π ). e. Déduire de la question précédente que : ( ) = ( ) MA, MB OA, OB ( π ) f. Montrer que ( ) = ( ) Ce résultat est connu sous le nom de théorème de l angle inscrit. L angle ( MA, MB) même à, π près, quel que soit la position de M sur le cercle est le EXERCICE Les droites (AB) et (CD) sont paralléles. OB, OC = OD, OA ( π ) Démontrer que ( ) ( ) On pourra introduire le milieu I de [AB] et le milieu J de [CD]. EXERCICE. Calculer (a+b). En déduire que : sin 6 x + cos 6 x +cos xsin x = 4 π 4 π 4 5π 4 7π. Montrer que cos + cos + cos + cos = Démontrer que sinasin(b- c) + sinbsin(c - a) + sincsin(a - b) = 0 Démontrer que cosasin(b - c) + cosbsin(c- a) + coscsin(a - b) = 0

72 EXERCICE OI, OM a. Angle ( ) SOLUTIONS SUCCINCTES 8. en fonction de la mesure de l angle ( OA, OM ) OI, OM OA, OM ( π ) ( ) = ( ). b. Angle ( OM, OJ ) en fonction de la mesure de l angle ( OM, OB) OM, OJ OM, OB ( π ) ( ) = ( ) c. Angle ( OI, OJ ) en fonction de la mesure de l angle ( OA, OB),, ( OI OJ ) = ( OA OB) ( π ) d. Angles ( OI, MA) ( OI, MA) e. ( ) = ( ) (). et( OJ, MB). π π = et( OJ, MB) = OI, OJ MA, MB ( π ). Les nombres π π et OI, OJ MA, MB ( π ) sont égaux à π près, donc ( ) = ( ) () MA, MB OA, OB ( π ) f. ( ) = ( ) Cette égalité se déduit aisément des égalités () et (). EXERCICE ( OB, OC ) ( OB, OI ) ( OI, OJ = + ) + ( OJ, OC ) (π) J OD, OA OD, OJ OJ, OI OI, OA ( π ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( OB, OI ) = ( OI, OA ) ; ( OJ, OC ) = ( OD, OJ ) Or ( OI, OJ ) = ( OJ, OI ) = π ( π) I OB, OC OD, OA ( π ) Donc ( ) = ( )

73 EXERCICE. (a+b) = a +a b+ab +b. Calcul de :sin 6 x + cos 6 x +cos xsin x = ( ) = sin x + cos x = sin x+ sin x cos x+ cos x sin x+ cos x ( ) 6 6 = sin x + sin x cos x sin x+ cos x + cos x 6 6 = sin x+ sin x cos x+ cos x. 4 π 4 π 4 5π 4 7π cos + cos + cos + cos = π 4 π 4 5π 4 7π Notons E= cos + cos + cos + cos E π π π π π π cos cos cos cos π = π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π = cos + sin + sin + cos = cos sin π π π π π π = cos + sin 4 cos sin cos sin 8 8 = π = sin = 4. sinasin(b- c) + sinbsin(c - a) + sincsin(a - b) = 0 cosasin(b - c) + cosbsin(c- a) + coscsin(a - b) = 0. Ces deux formules se démontrent facilement en utilisant les formules d addition.

74 DEVOIR NUMERO 9: Trigo, Angles, Repère polaire. EXERCICE. Placer sur le cercle trigonométrique les images des nombres : 4 π 4π 09 ; ; π 6 4. Donner une valeur exacte de leur sinus et de leur cosinus. Pour les réponses, remplir le tableau ci-dessous. Sinx x 4π 4 4π 4 09π Cosx EXERCICE. Placer sur le cercle trigonométrique les images des nombres suivants: π π π 4π,,, Calculer sans utiliser la calculatrice le nombre: π π π 4π A = cos + cos + cos + cos EXERCICE Calculer ( ) 6 + π 6 Soit un nombre x tel que 0 x et tel que sinx = 4 Calculer cosx. EXERCICE 4 a. Calculer (a-b)(a +ab+b ) cos x sin x cos x + sin x b. Calculer le nombre A= + cos x sinx cos x + sinx

75 EXERCICE 5!!!"!!!" π ABC est un triangle rectangle en A tel que ( BC,BA ) = ( π ). On construit à l'extérieur de ce triangle, les traingles équilatéraux ABE et ACD. Déterminer la mesure principale des angles!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!". ( CB,CA ); ( DA,DC ); ( AE,BC ); ( BA,DC );( EB,AC) EXERCICE 6 Une ficelle est fixée à ses extrémités par deux clous A et B distants de 65cm. Est-il possible de tendre la ficelle de façon que le triangle ACB soit rectangle en C a. La longueur de la ficelle est de 89 cm b. La longueur de la ficelle est de mètre EXERCICE 7 a. Les points suivants sont données par leurs coordonnées polaires. Construire les points et calculer leur coordonnées cartésiennes. π 5π A ; ;B 4; 4 b. Calculer les coordonnées polaires des points suivants donnés par leurs coordonnées cartésiennes. C( ; ); D( ;)

76 EXERCICE SOLUTIONS 9

77 EXERCICE EXERCICE

78 EXERCICE 4 a. Calcul de (a-b)(a +ab+b ) (a-b)(a +ab+b )= a -b. cos x sin x cos x + sin x b. Calcul du nombre A= + cos x sinx cos x + sinx En appliquant la relation du a, on a: cos x - sin x = (cosx - sinx)(cos x + sinxcosx + sin x) cos x + sin x = (cosx + sinx)(cos x - sinxcosx + sin x) (Ici a= cosx et b= -sinx) Pare suite: ( cos x sin x)( cos x + sin xcos x + sin x) cos x sin x = cos x sin x cos x sinx cos x sinxcos x sin x sinx cos x = + + = + + ( cos x + sin x)( cos x sin xcos x + sin x) cos x + sin x = cos x + sin x cos x + sinx D'ou: A= cos x sinxcos x sin x sinx cos x = + = + EXERCICE 5

79 EXERCICE 6 Notons x = AB et y = BC les cotés du triangle. a. Longueur de la ficelle 89cm. ABC rectangle en B implique AC + BC = AB La longueur de la ficelle est de 89cm don AC+BC = 89. En conséquence, le problèmes est possible si et seulement si x et y vérifient: x + y = 65 x+ y = 89 x + y = 89 implique y = 89 - x. En reportant dans la première équation on trouve que x est solution de l'équation x +(89-x) = 65, c'est à dire de x -78x = 0. Cette équation a son! = 6 = 45 Elle a deux racines x' = 56 et x"=. Le problème est donc possible avec AC= 56 et BC = ou l'inverse. b. Longueur de la ficelle 00cm. ABC rectangle en B implique AC + BC = AB La longueur de la ficelle est de 89cm don AC+BC = 00. En conséquence, le problèmes est possible si et seulement si x et y vérifient: x + y = 65 x + y = 00 x + y = 00 implique y = 00 - x. En reportant dans la première équation on trouve que x est solution de: x +(00-x) = 65, c'est à dire de x -00x+5775= 0. Cette équation a son! = -600 Le problème est donc impossible. EXERCICE 7 a. A( ; ) B( ; ) b. π 5π C ; ; D ; 4 6

80 EXERCICE DEVOIR NUMERO 0 Trigonométrie. a. Résoudre l'équation b. Résoudre l'équation cos x = avec x! [6"; 8"] sin x = avec x! [-6"; -4"] c. Résoudre l'équation : sin x - sinx = 0 avec x! [0; "] d. Résoudre l'équation e. Résoudre l'équation cos x avec x! [0; "] sin x avec x! [-"; "] EXERCICE Calculer le sinus et le cosinus de 7 π sans utiliser de calculatrice EXERCICE a. Ecrire cosx + sinx sous la forme acos(cx+d) b. Ecrire cosx - sinx sous la forme asin(cx+d) AIDE : sinx peut s'écrire π sin sin x = 4 sinx π cos 4 EXERCICE 4 a. Exprimer à l'aide de cosx le nombre cosx b. Exprimer à l'aide de sinx le nombre sinx EXERCICE 5 Simplifier les expressions + cos x + cos x sinx ; cos x cos x sinx EXERCICE 6 Ecrire cos x + sin x en fonction de cosx.

81 EXERCICE 7 a. Montrer que cos(b+c)cos(b-c) = cos b - sin c. b. En déduire que : cos(b+c)cos(b-c) + cos(c+a)cos(c-a) + cos(a+b)cos(a-b)= cosa +cosb+ cosc EXERCICE 8 Soit x le nombre réel définit par : 6 + π cosx = et 0 <x <. 4 Montrer que : sinx = 6 4 Calculer sinx. En déduire x. EXERCICE 9 Soit x un réel tel que 5 π sinx = et 0! x! 4 Calculer cos4x en fonction de sinx. Montrer que cos4x = sinx.

82 EXERCICE SOLUTIONS 0 a. cos x = avec x! [6"; 8"] π π Réponse x = + 6π ou x = + 8π b. sin x = avec x! [-6"; -4"] Réponse π π x = 6π ou x = 6π c. sin x - sinx = 0 avec x! [0; "] X = sinx Cette équation est équivalente à: X + X = 0 X + X = 0 a deux racines X = ou X= Les solutions sont donc les solutions de sin x = ou sin x = avec x![0;"] 4π 5π sin x = a deux racines dans [o; π ] : x = ou x = sin x = n'a pas de solution. Conclusion: L'équation sin x + 4π 5π sinx = 0 avec x! [0; "] a deux racines: x= ou x = d. cos x avec x! [0; "] Les solutions sont : π π 0; ;π 6 " 6 e. sin x avec x! [-"; "] π 5π ;0 0; ; π 6 6 Les solutions sont : [ π ]" "

83 EXERCICE sinus et le cosinus de 7 π 7π π π = π π π π π π π + 6 sin = sin sin cos sin cos + 4 = + = π π π π π π π 6 cos = cos cos cos sin sin + 4 = = EXERCICE π π π π sin cos xcos + sinxsin cos x 4 a. cosx + sinx = cos x 4 sin x 4 4 π + = = = cos x π π cos cos π π π π cos cos xsin sin xcos sin x 4 b. cosx - sinx = cos x 4 sin x 4 4 π = = = sin x π π sin cos EXERCICE 4 a. cosx cosx=cos(x+x)=cos(x)cosx-sin(x)sinx=(cos x-)cosx - sinxcosxsinx =(cos x-)cosx - sin xcosx=(cos x-)cosx - (-cos x)cosx cosx=4cos x - cosx b. sinx sinx=sin(x+x)=sin(x)cosx+cos(x)sinx=sinxcosxcosx + (-sin x)sinx =sinxcos x + (-sin x)sinx = sinx(-sin x) + (-sin x)sinx sinx=sinx - 4sin x

84 EXERCICE 5 + cos x cos x cos x = = cosx sin x sin x ( sinx) ( ) cosx cosx + cosx sinx cos x sinxcosx cosx = = = cos x sinx sin x sinxcos x sinx cos x sinx sinx EXERCICE 6 cos x + sin x en fonction de cosx. +cosx -cosx cos x + sin x= +- cosx= EXERCICE 7 a. cos(b+c)cos(b-c) = cos b - sin c. cos(b+c)cos(b-c) = (cosbcosc-sinbsinc)x(cosbcosc+sinbsinc)=(cosbcosc) - (sinbsinc). =cos bcos c - sin bsin c = cos b(- sin c) - (-cos b)sin c = cos b - sin c. b. cos(b+c)cos(b-c) + cos(c+a)cos(c-a) + cos(a+b)cos(a-b)= cosa +cosb+ cosc On utilise la relation du a. cos(b+c)cos(b-c) + cos(c+a)cos(c-a) + cos(a+b)cos(a-b)= (cos b - sin c ) + (cos c - sin a) + ( cos a - sin b)= (cos b - sin b ) + (cos c - sin b) + ( cos a - sin a)= cosb + cosc +cosa (On utilise la formule cos x-sin x = cosx )

85 EXERCICE sin x = cos x = = = π Puisque 0<x<, sinx > 0 donc on déduit que sinx = 6 4 sinx = sinxcosx = Calculons x x 4 4 = Puisque 0 x π alors 0 # x # ". On sait que sinx = Les nombres appartenant à [0 ; "] dont le sinus vaut sont π 5 ou π. 6 6 Donc x = 6 π ou x = 5 π π. Ce qui donne x = 6 ou x = 5 π π Mais on remarque que cosx > sinx donc la seule valeur possible est x = EXERCICE 9 Utilisons la formule cosa = -sin a, en prenant a = x. cos4x = - sin x = - (sinxcosx) = - 8sin xcos x = - 8sin x(-sin x) cos4x = - 8sin x + 8sin 4 x = + = = sinx cos4x = 8 8 ( 5)

86 DEVOIRS NUMERO POLYNOMES EXERCICE (Egalité de polynômes) Soit P(x)= x +x +9x+4 Calculer P. En déduire une factorisation de P(x). EXERCICE (Egalité de polynômes) Soit P(x) = x 4 + 4x - x - x + 9. Montrer que P(x) est le carré d un polynôme Q(x) que l on calculera. Résoudre alors P(x) = 0. EXERCICE (Equations) Résoudre x (+ )x + =0 EXERCICE 4 (Equations) Résoudre l équation x 4 + 8x +5=0 Factoriser x 4 +8x +5. EXERCICE 5 (Inéquations) Résoudre les inéquations suivantes : () (-x x + 6)(-x + x - ) 0 () x + x 4 x EXERCICE 6 4x+ > Soit la fraction : F(x)= Simplifier F(x). x + x - 9 x - x - 4 x + 60 EXERCICE 7 L aire d un rectangle est de 04 m. Si on augmente sa largeur de m et si on diminue sa longueur de 5m, l aire diminue de 4m Quelles sont les dimensions du rectangle.

87 REPONSES EXERCICE (Egalité de polynômes) P = 0 Donc P(x)= x ( ax + bx + c) En utilisant la méthode par identification, on trouve que x +x +9x+4 = (x + x + 4) ( x + ) EXERCICE (Egalité de polynômes) x 4 +4x -x -x + 9 = ( ax + bx + c) En utilisant la méthode par identification, on trouve que : x 4 + 4x - x -x + 9 =(x + x - ) P(x) = 0 x + x = 0 x = ou x = - EXERCICE (Equations) x ( + )x + = 0 =( ) L équation a deux racines : x = et x = EXERCICE 4 Posons y = x, par suite : x 4 + 8x + 5 = y + 8y +5. y + 8y +5= 0 a deux racines y = - et y = -5 Ces deux racines sont négatives donc x 4 + 8x + 5 = 0 n a pas de solution. y + 8y +5= 0 ayant deux racines y = - et y = -5, il en résulte que : y + 8y +5=(y +)(y+5) Par suite : x 4 +8x +5=(x +)(x +5) EXERCICE 5 () (-x -x+6)( -x +x-) 0 a pour solution - x. () x x > x 4x+ + 4 se simplifie en x + 4 > x - Finalement on trouve comme solution : x > avec x.

88 EXERCICE 6 Factorisons d abord le numérateur. L équation x + x 9 = 0 a deux racines x = / ou x = - Par suite, x + x 9 = (x )(x+). Il est facile de vérifier que x= annule le dénominateur. Celui-ci se factorise donc par x. En utilisant la méthode connue, on trouve que : x - x - 4x + 60 = (x - )(x - 4)(x + 5) ( x - )(x + ) (x + ) D où : F(x)= = (x - )(x - 4)(x + 5) (x - 4)(x + 5) Le domaine de F est - EXERCICE 7 ;4; 5 Soit x la longueur et y la largeur. L aire est 04 m donc xy = 04. Si on augmente sa largeur de m et si on diminue sa longueur de 5m, l aire diminue de 4m cela signifie que (x-5)(y+)= xy = 04 () Les deux nombres x et y sont alors solutions du système : ( x 5)( y + ) = 80 () 04 () entraîne y =. En reportant dans () on obtient : (x-5) ( 04 x x +)=80. Cette équation est équivalente à l équation 5x - 9x - 6 = 0 Cette équation a deux solutions x =7 et x =-0. Seule la solution x = 7 convient car x étant une longueur est un nombre positif.

89 EXERCICE DEVOIR NUMERO SECOND DEGRE a. Développer ( ) Résoudre l équation : ( ) x + x + = 0 b. Résoudre l équation : x 4 + 5x - 6 = 0. c. Résoudre l équation : + + = 0. x+ x 4 EXERCICE Soit f(x)= x 7x+ 8x 4x+ 5 a. Factoriser les expressions x 7x + et b. En déduire l'ensemble de définition de f. c. En déduire une écriture simplifiée de f(x). 8x 4x + 5. EXERCICE Résoudre l inéquation suivante: x + 5x x + x 4 EXERCICE 4 Soit le polynôme P défini par : P x x x x ( ) = 8 +. Calculer P(). En déduire une factorisation de P(x).. Résoudre dans l'équation P(x) =0.. Résoudre dans l'inéquation P(x) 0. EXERCICE 5 x( x+ )( x+ )( x+ ) + = x + px+ q Trouver par le calcul deux réels p et q tels que ( )

90 EXERCICE SOLUTIONS On a donc racines x ' = ; x " = a. Le discriminant de l'équation est : = ( ) b. L'équation X + 5X - 6 = 0 a deux racines X' = 4 et X" = -9. Par suite l'équation x 4 +5x - 6 = 0 a deux racines x'= et x"= -. c. x + 5x + = + + = 0 = 0 x+ x 4 4(x+ )(x ) x et x x 5x 0 L'équation x + 5x -=0 a deux racines x' = et x" = Ces deux racines vérifient la condition x - et x. L'équation + + = 0 a donc deux racines x' = et x" = x+ x 4 ( =89=7 ). EXERCICE a. Domaine. Le domaine est l'ensemble D des réels x tels que 8x -4x +5 0 Or 8x -4x +5= 0 pour x'= 5 4 et x" = ( =6) Donc D= - { 5 4 ; } b. Simplification. De la question précédente on déduit que: 8x -4x +5= 5 8 x x 4 x x L'équation x -7x + = 0 a deux racines x'= et x"= donc x -7x + = ( ) Par suite: EXERCICE ( x ) x x 7x+ x = = 8x 4x 5 5 4x x x 4 x + 5x x + 6 x + x 4 x + x 4 0 Effectuons un tableau de signe.. x x X +x x+ 6 x + x L'ensemble des solutions est E=]- ; -4 [U] ; 6]

91 EXERCICE 4 Soit le polynôme P défini par : P ( x) = x x 8x +. P()= =8-4-6+=0 Puisque P() = 0, x = est racine de P donc P(x) est de la forme P(x) = ( x- )( ax + bx+ c ). P(x) = ( x- )( ax + bx+ c ) = ax + ( b- a) x + ( c- b) x- c = x - x - 8 x+ Par identification des coefficients on obtient : a= b- a = - soit c- b = -8 -c = a= b= c=-6 c=-6. Résolution de P(x) = 0. o Résolvons x +x-6=0 on en déduit P(x) = ( x- )( x + x- 6 ) = 4 ( 6) = 5. L équation x + x 6 =0 admet donc deux racines et -. o Par suite P(x)=0 pour x=, x= -.. Résolution de P(x) 0 D après la question P(x) = ( x- )( x + x- 6 ). Tableau de signes x - + Signe de x Signe de x +x Signe de P(x) D après le tableau l ensemble des solutions de l équation ( ) 0 Px est = ] ; ] { } S. EXERCICE 5 4 x(x +)(x + )(x + ) += ( x + x)( x + 5x + 6 ) += x + 6x +x + 6x ( x + px + q ) = x + p x + q + px + qx + pqx = x + px + ( q + p ) x + pqx + q Par identification des coefficients on obtient : p = 6 pq = 6 q = q+p = ce qui nous donne p = et q =.

92 DEVOIRS NUMERO POLYNOMES EXERCICE Résoudre les équations suivantes. a x + x = 6 4 b. - = - x x+ x +x c. Calculer ( + ) Puis résoudre l équation : d. Calculer ( + ) et ( ) x + x = 0. Puis résoudre x 4-0x + =0 EXERCICE Résoudre les inéquations suivantes. a. ( x x )( x ) b x- x+ x+ EXERCICE x 7x+ Soit f(x) = 8x 4x+ 5. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f et simplifier f(x). EXERCICE 4 Trouver par le calcul deux réels p et q tels que x(x+)(x+ )(x+ ) += ( x + px+ q ) EXERCICE 5 Un loueur de skis a décidé d investir 600 dans l achat d un certain nombre de paires de skis vendues toutes au même prix. Le responsable, s aperçoit que le prix de chaque paire est 00 de moins que prévu et il peut en acheter trois paires de plus pour la même dépense. Calculer le prix de chaque paire et le nombre de paires achetées.

93 SOLUTIONS EXERCICE Résolution des équations. a. + 7 = 0 = x' = ; x'' = 4 x x 6 4 b. - = - x x+ x +x On cherche les solutions dans - {0 ;-} 6x+-x-4+x +x L équation ci-dessus équivaut à : =0 x+x x+6x+8 soit à =0 x+x c est à dire à : x + 6x + 8 = 0 avec x Œ - {0 ;-} x + 6x + 8 admet deux racines et 4 ( = 4 ). Comme les solutions sont à prendre dans - {0 ;-}, l équation n a qu une seule solution : - 4. c. ( + ) = + 4 Résolution de l équation : x + x = 0. = 4 + = ( ) + Deux racines x = ; x = d. ( + ) = ( ) = 5-6. Pour résoudre l équation x 4-0x + =0 posons y = x. On est amené à résoudre y 0y + = 0. = 96 ; = 6 Deux racines y = = ( + ) et y = 5-6 =( ) Par suite l équation demandée à 4 racines : x = + ; x = -( + ) ; x = ; x 4 =.

94 EXERCICE Résoudre les inéquations suivantes. a. ( x x )( x ) x -4-5/ 4 x x x Produit L ensemble des solutions est : [-4 ; -5/] U [ ; 4] b. x- x+ x+ L inéquation est définie sur - {- ;-/} x x+ x+ x 0 x+ x+ ( x )( x+ ) x 0 (x+ )( x+ ) x x 5 0 (x + )( x + ) L équation x x 5=0 admet deux racines qui sont 5 et -. ( = 64) Tableau de signes x x x 5 -/ (x + ) (x + ) x x (x + )( x + ) L ensemble des solutions est : ]-/ ; -] U ]- ; 5]

95 EXERCICE x 7x+ f(x) = 8x 4x+ 5. o L ensemble de définition est l ensemble D f des réels x tels que 8x 4x x 4x + 5 = 0 a deux racines : 5 et ( = 6) 4 Donc D f = - 5 ;. 4 De cette résolution on déduit que 8x 4x + 5 = (4x 5) (x-) o x 7x + = 0 a deux racines : et ( = 5) De cette résolution on déduit que x 7x + = (x ) (x-) x 7x+ ( x )(x ) x o Par suite : f(x) = = =. 8x 4x+ 5 (4x )( x ) 4x EXERCICE 4 4 x(x+)(x+ )(x+ ) += ( x + x)( x + 5 x+ 6 ) += x + 6 x +x + 6 x+ 4 4 ( x+px+q ) =x+px+q+px+qx+pqx=x+px+q+p ( ) x+pqx+q Par identification des coefficients on obtient : p = 6 pq= 6 q = q+p = ce qui nous donne p = et q =. Donc x(x+)(x+)(x+)+ = (x +x + )

96 EXERCICE 5 Notons n le nombre de paires de skis et p le prix d une paire de skis prévus au départ. La dépense initialement prévue est np. Donc 600=np.. En fait, le nombre de paires est n+ et le prix d une paire p -00. La dépense est toujours 600 donc 600 =(n+)(p-00). Les nombres n et p vérifient donc les deux équations : np = 600 () 600 = ( n+ )( p 00) () 600 De () on déduit p =. Remplaçons cette expression de p dans (). n On trouve alors l équation en n : n +n -08=0. Cette équation ( =44 = ) a deux racines n= 9 et n= - N= - ne convient pas. Au départ, le loueur pensait acheter 9 paires au prix de 400 en réalité, Le loueur a acheté paires au prix de 00

97 DEVOIRS NUMERO 4 POLYNOMES PROBLEME RACINE D UNE POLYNOME. Un peu de cours à admettre. Définition. On dit que le nombre α est racine du polynôme P si et seulement si P(α)=0 Théorème. Le nombre α est racine de P si et seulement si P(x)=(x-α)Q(x). Exemple. P(x) = x 7x +x + a comme racine et on a bien : P(x) = (x-)(x 5x - ). Exercice Soit h(x) le polynôme: h(x)=x 4 - x - 4x +x +.. Montrer que et - sont racines de h(x).. Ecrire h(x) sous la forme h(x)=(x -)(ax +bx+c) 4x. Soit F(x) la fraction rationnelle F(x)= + 4 h(x) x - 9. Déterminer le domaine de définition de F et résoudre l'équation F(x)=0 Exercice x + 5x+ 6 Soit la fraction rationnelle F(x)=. Cette fraction se simplifie. x 9x 0 Utiliser cette information pour trouver son domaine de définition et sa forme simplifiée. PROBLEME A l'occasion d'une tombola, une somme de F doit être répartie également entre les gagnants. Deux de ces derniers ne se manifestant pas, la part de chacun est alors augmentée de 850 F. Combien avait-on prévu de gagnants et combien chacun devait-il recevoir? PROBLEME Facultatif mais conseillé aux bons élèves Soit P(x)= x + α x + β x.. On chercher à trouver α et β tels que P(x+) - P(x) = x. Notons () cette relation. a. calculer P(0). b. Calculer P(), P(-) en fonction de α et de β. c. Sans calculer α et β, calculer P(), P(-) ( sans α et sans β). d. En déduire α et β.. En utilisant la relation (), Montrer que P(n+) = n. En déduire que n = n(n+)(n+) 6

98 SOLUTIONS 4 PROBLEME RACINE D UNE POLYNOME. Exercice Soit h(x) le polynôme: h(x)=x 4 - x - 4x +x +.. et - sont racines de h(x). On a h( ) = h(- )= 0. Donc et - sont racines de h(x).. Ecriture de h(x) sous la forme h(x)=(x -)(ax +bx+c). En procédant par identification, on trouve que h(x) = (x - )(x - x - ) 4x. F(x)= + 4 h(x) x x x x( x x ) Fx ( ) = + = ( x )( x x ) ( x )( x + ) ( x )( x + )( x x ) 4x x 4x+ = ( x )( x + )( x x ) Le domaine de définition de F est l ensemble des réels x tels que ( x )( x )( x x ) + 0. Donc D= ; ; ; Le numérateur de F(x) = 4x x 4x Les racines de F(x) = 0 sont alors, - ; ¾. + = x (4x ) (4x ) = (4x )( x ) Exercice x + 5x+ 6 F(x)=. x 9x 0 Factorisons le numérateur. Il est facile de trouver que : x + 5x + 6= (x+) (x+) On sait que cette fraction se simplifie, cela signifie que l un au moins des facteurs du numérateur se retrouve dans le dénominateur. Le dénominateur s annule pour x = - et pour x = -. On peut donc en déduire que, le dénominateur se factorise par (x+) et par (x+). Le dénominateur s écrit donc sous la forme : En procédant par identification, on trouve que : x 9x 0 =(x + )(x + )(ax + b) x 9x 0 = (x + )(x + )(x - 5) Il est alors facile de trouver que le domaine est D= -{ - ; - ;5 } et que l expression simplifiée de F(x) est x 5

99 PROBLEME

100 PROBLEME Facultatif mais conseillé aux bons élèves P(x)= x + ax + bx.. On chercher à trouver α et β tels que P(x+) - P(x) = x. Notons () cette relation. a. Calcul de P(0), P(), P(-). P(0) = 0. P() = + α + β P() = + α β b. On sait que P(x+) P(x) = x. Pour x = 0 cette relation donne : P() P(0) = 0. D où P() = 0 Pour x = - cette relation donne : P(0) P(-) =. D où P(-) = - c. En égalisant les expressions du a. et du b, on obtient : + α + β = 0 α = doù ' α + β = β = 6. P(n+) = n. Appliquons la formule P(x+) P(x) = x. à x =,,,...,n. Cela donne : Pour x = : P() P() =. Pour x = : P() P() =. Pour x = : P(4) P() =.. Pour x = n : P(n+) P(n) = n. Ajoutons membre à membre les n égalités précédentes. Cela donne : P(n+) P() = n. Or P() = 0 donc : P(n+) = n n = n(n+)(n+) 6 n(n+)(n+) P(n+) = ( n+ ) + α( n+ ) + β( n+ ) = ( n+ ) ( n+ ) + ( n+ ) = 6 6 P(n+) = n implique la relation demandée.

101 DEVOIR NUMERO 5 POLYNOME ET SECOND DEGRE VECTEURS EXERCICE Soit h(x) le polynôme: h(x)=x 4 - x - 4x +x +.. Montrer que et - sont racines de h(x).. Ecrire h(x) sous la forme h(x)=(x -)(ax +bx+c). Soit F(x) la fraction rationnelle F(x)= de F et résoudre l'équation F(x)=0. EXERCICE a b et c désignent trois réels quelconques.. Résoudre l équation : x ( a b ) x ( a b ) 4x +. Déterminer le domaine de définition h( x ) x = 0.. Montrer que l équation ( ) x a+ b+ c x+ ab+ bc+ ca = 0 a toujours des racines. EXERCICE Calculer les réels a,b,c et d tels que pour tout x réel on ait : EXERCICE 4 x ax + b cx + d = + 4 x + x + x + x+ x x+ Soit points non alignés A, B et C et G le point tel que : AG = BC Placer les points I et J tels que GI = GB et GJ = GA 4 Montrer que les points C, I et J sont alignés. EXERCICE 5 Soit ABCD un parallélogramme M un point de (AC). On note B le symétrique de B par rapport à M. Les parallèles à (BA) et (BC) menées par B coupent (DA) en N et (DC) en P. AAB ; ; AD montrer que les points M, N et P sont alignés. En se plaçant dans le repère ( ) EXERCICE 6 Soit D et D les droites d équations x y + =0 et x y + = 0. Soit A( ;). Déterminer le point B de la droite D et le point C de la droite D tel que A soit le milieu de [BC].

102 EXERCICE. SOLUTIONS 5. h( )=h(- )=0 d'où le résultat.. h(x)= (x - )(x x - ) = (x - )(x + )(x - )(x - ) Une identification donne le résultat. 4x x 4x F(x) = D= R-{(-,,, ) ( x )( x + )( x x ) Le numérateur de F(x)= 4x x 4x + = ( 4x )( x ) d'où les racines:, -, /4. EXERCICE.. Résolution de l équation : x ( a b ) x ( a b ) = 4( a + b ) 4( a b ) = 6( ab) = 0. L équation a deux racines x ' = ( a b) x" = ( a+ b). Montrer que l équation ( ) x a+ b+ c x + ab+ bc+ ca = 0 a toujours des racines. ( ) ( a b c) ( ab ac bc) ( a b) ( b c) ( a c) = = + +. Le discriminant est positif ou nul donc l équation a deux solutions. EXERCICE. Calcul des réels a,b,c et d tels que pour tout x réel on ait : x ax + b cx + d = + 4 x + x + x + x+ x x+ On remarque que x 4 x ( x x )( x x ) Donc + + = x ax + b cx + d = + 4 x x x x x x équivaut à : ( ax + b)( x x + ) ( cx + d )( x + x + ) x = x + x + x + x + x + x + ( )( ) ( )( ) x ax b x x cx d x x = soit encore à ( ) ( ) ( ) x a c x c a b d x a b c d x b d = a+ c = c a + b + d = 0 En identifiant on trouve que :. a b + c + d = 0 b+ d = 0 Ce système a une solution : a = ; b = ; c = ; d = soit encore à

103 EXERCICE 4. 4GI = GB 4GI GJ = GB GA = AB = GC IJ + IC = 0 GJ = GA Donc les points C, I et J sont alignés. EXERCICE 5. Dans le repère ( AAB ; ; AD) la droite (AC) a comme équation y = x. Notons m l abscisse du point m. Les coordonnées des points M, B, B, N et P sont alors: M(m ;m), B( ;0), B (m- ;m), N(0 ;m) et P(m- ;). Il en résulte alors des coordonnées des vecteurs NM et MP : m m NM MP. m m La condition de colinéarité des deux vecteurs est vérifiée. Donc les points M,N et P sont alignés. EXERCICE 6. Notons (b ; b ) les coordonnées de B et (c ; c ) les coordonnées de C. B est sur D donc b - b + = 0. C est sur D donc c-c +=0. b+ c b' + c' Puisque A est le milieu de [BC] alors = ;=. On déduit alors que b=6, b =7, c=-, c =-5

104 DEVOIR NUMERO 6: Trigo, produit scalaire EXERCICE Trigo. ( les questions a. b. c. sont indépendantes) π 4π a. calculer A=cosx+cos(x+ )+cos(x+ ) b. Démontrer que: () sin4x = 4cos x sinx - 4cosx sin x 8 4 () sin x = (cos4x - 4 cosx+) c. Soit x le nombre réel définit par : déduire x. cosx π = et 0 <x <. Calculer cosx. En EXERCICE Produit scalaire ( les questions a. b. c. sont indépendantes) a. Soit un rectangle ABCD avec AB=4cm et BC = cm. I est le milieu de [AD].!!"!!!!" () Calculer le produit scalaire CI.CA () En déduire la valeur de l'angle ICA #. b. Dans un repère orthonormal, soit les points A(5,), B(-,), C(,-) () Déterminer une équation de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. () Montrer que le triangle ABC est rectangle en C. () Calculer l'aire de ce triangle. c. Soit C l'ensemble des point M(x,y) tels que x + y x 6y = 0 () Démonter que C est un cercle dont on précisera le centre et le rayon () Le point A(4,) appartient-il à C () Déterminer une équation de la tangente à C en A (4) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C avec la droite D d équation x + y + = 0.

105 EXERCICE a. Calcul de b. SOLUTIONS 6 π 4π A=cosx+cos(x+ )+cos(x+ ) π 4π π π 4π 4π A = cosx +cos(x + )+cos(x + )= cosx + cos x cos - sinx sin +cos x cos - sinx sin A = cos x - cosx - sinx - cosx + sinx = 0 A=0 () sin4x = 4cos x sinx - 4cosx sin x sin4x = sin(x +x)= sinx cosx = 4sinxcosx(cos x - sin x) = 4cos xsinx - 4cos x sin x 4 () sin x = (cos4x - 4 cosx+) 8 (cos4x - 4cosx +)= 8 8 (- sin x)- 4(- sin x)+) = (8sin x - sin x) = (8sin x - 8sin x cos x) = sin x(- cos x)= sin x c. Calcul de cosx sachant que : cosx + π = et 0 <x <. cosx= cos x - = = Calcul de x. Puisque 0 x π < <, on a 0< x <! cosx = et 0< x <! implique x = π 4 d'où x = π 8

106 EXERCICE a.!!"!!!!" () Calcul du produit scalaire CI.CA. D C I A B ( )!!"!!!!"!!"!!"!!"!!"!!"!!" CI.CA = CI. CI+ IA = CI + CI.IA = 7 + = 8 () Valeur de l'angle ICA #.!!!"!!!!" # CI.CA cos( ICA) = CIxCA En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve: CA = 5 et que CI= 7!!!"!!!!" D'où ( # CI.CA 8 cos ICA) = = Ce qui donne : ICA # " 5. CIxCA 7x5 b.

107 () Equation de la hauteur issue de C dans le triangle ABC.!!!!" 8 Le vecteur AB est un vecteur normal. L'équation est donc de la forme -8x + y + k = 0. La droite passe par C donc : -8x + (-) + k = 0 ce qui donne k = 6. L'équation de la hauteur issue de C est donc -8x + y + 6 = 0 () Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.!!!!"!!!!" Calculons pour cela le produit scalaire AC.BC!!!!"!!!!" 6 AC, BC 4!!!!"!!!!", d'où AC.BC= 0 Par suite les vecteurs!!!!"!!!!" AC et BC sont orthogonaux donc le triangle est rectangle en C. () Calculer l'aire de ce triangle. Puisque le triangle ABC est rectangle en C, son aire est égale à ABxBC En utilisant la formule de calcul des distances, on trouve AC = et BC = 5 Ce qui donne Aire(ABC) =. c. () C est un cercle. L'équation x + y x 6y = 0 s'écrit (x-) + (y-) =. L'ensemble C est le cercle de centre I(;) et de rayon R=. () Le point A(4,) appartient-il à C? Le point A appartient à C car ses coordonnées vérifient. l'équation x + y x 6y = 0. () Déterminer une équation de la tangente à C en A La tangente en A est la droite perpendiculaire à (IA) passant par A.!!" Le vecteur IA est un vecteur normal.

108 L'équation est donc de la forme x - y + k = 0. La droite passe par A donc : 4x -x + k = 0 ce qui donne k = -0. L'équation de la hauteur issue de C est donc x - y -0 = 0 (4) Coordonnées des points d inter. de C avec la droite D d équation x + y + = 0. Un point M(x,y) est à l'intersection de C et de D si et seulement si (x,y) est solution x + y x 6y = 0 ( α) du système: x + y + = 0 ( β ) (#) entraîne x = -y- En reportant cette valeur de x dans ($) on a: ( y ) + y ( y ) 6y = 0 soit encore 0y +6y = 0. Cette équation a deux solutions y = 0 et y = 5 La droite D coupe donc le cercle en deux points E(-;0) et F 4 ; 5 5

109 EXERCICE DEVOIR NUMERO 7 LE PRODUIT SCALAIRE On considère un carré ABCD de côté a. Soit E et F tels que BE = BC. a. Calculer AB.BF et BE.BF en fonction de a. b. En déduire que (AE) et (BF) sont perpendiculaires.. a=. On se place dans le repère vecteurs AE etbf EXERCICE sont orthogonaux. ; CF = CD. A; AB; AD. Montrer analytiquement que les Dans un repère orthonormal, soit les points A( ; 4), B( ; ) C(9 ; 0) a. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur (AH) issue de A b. Calculer l'aire de ABC EXERCICE Dans un repère orthonormal, soit A(;) ; B(7;-) ;C(;-). a. Nature du triangle ABC? b. Trouver une équation du cercle C circonscrit au triangle ABC. c. Montrer que la droite d'équation y=x est tangente (T) à C Trouver le point de contact. EXERCICE 4 Dans un parallélogramme ABCD: AB=50cm, AD=00cm, BAD = 47 a. Calculer AC. b. Calculer CAB c. Calculer l'aire de ABCD. EXERCICE 5 Dans un triangle ABC, H est le pied de la hauteur issue de A et I est le milieu de [BC]. Calculer AH et AI sachant que AB=5, BC=0, AC = 7. EXERCICE 6 ABCD est un carré. Montrer que la médiane issue de A dans AID est hauteur dans ABJ. EXERCICE 7 ABCD est un losange de centre O, de côté a avec ABC=60. Déterminer l'ensemble des points M tels que MA +MC = DA.

110 EXERCICE. a. AB.BF = ABxCF = a SOLUTIONS SUCCCINCTES 7 et BE.BF AB.BF = AB + BE.BF = 0. = BCxBE = a. b. (AE) et (BF) sont perpendiculaires car ( ). AE BF sont orthogonaux car AE.BF = 0 EXERCICE a. Equation cartésienne de la hauteur (AH) issue de A. C'est la droite de vecteur normal 8 BC passant par A. On trouve : 8x - y -6=0. b. Aire de ABC. Utilisons la formule S = ACxABsinA ( ) ( ) AC= = 5 = ( ) ( ) AB= + 4 = BC = AB + AC ABxACcos A 68 = cos A cos A = 6 Par suite 5 5 sina = cos A = = 6 6 D'où S=0. EXERCICE Dans un repère orthonormal, soit A(;) ; B(7;-) ;C(;-). a. ABC est isocèle rectangle en C? b. C est le cercle de diamètre AB. Son équation est (x-5) + (y-) = 8. c. Les points d'intersection entre la droite d'équation y=x et C sont les solutions du + = x 5 y 8. Ce système a une solution x= y=. Donc la droite est y = x système ( ) ( ) tangente à C

111 EXERCICE 4 Dans un parallélogramme ABCD: AB=50cm, AD=00cm, BAD = 47 a. AC. AC = AD + DC ADxDCcos π A =00(65cos47 )=507,9 ( ) b. CAB. sin CAB = BC ( ) sin( ABC ) AC 00sin47 sincab ( ) = 0,88D'oùCAB 67 00( cos 47 ) c. Aire de ABCD. S ABCD +00x50xSin47. EXERCICE 5 BC AB + AC = AI +. AI= AB AC = BCxIH ; IH = ; IH =. AH = AI IH = ; AH = EXERCICE 6 Notons a la longueur du côté. La médiane issue de A admet le vecteur AI+ AD comme vecteur directeur. AI+ AD.BJ= 0 Montrons que ( ) AI + AD.BJ = AI + AD. BA + AJ = AI.BA + AI.AJ + AD.BA + AD.AJ = a a = 0. ( ) ( ) ( ) Remarque: on peut aussi se placer dans un repère. EXERCICE 7 AC a MA + MC = MO + = MO + a a MA + MC = DA MA + MC = a MO = MO = 4 L'ensemble des points M est le cercle de centre O de rayon a Remarque: on peut aussi se placer dans un repère. = OB

112 DEVOIR NUMERO 8:Produit scalaire. EXERCICE EXERCICE

113 EXERCICE SOLUTIONS 8 a b. Appliquons la relation = dans le triangle ABD. Cela donne: sin A! sinb" BD BA = Soit SinBAD # SinBDA # BD c = SinBAD # SinBDA # a b Appliquons la relation = dans le triangle ADC. Cela donne: sin A! sinb" AC CD =. Soit SinCDA # SinDAC # CD b = SinDAC # SinCDA # Déduction Effectuons le rapport des deux inégalités précédentes. Cela donne: BD c SinBAD # # = SinBDA () CD b SinDAC # SinCDA # Les angles BAD # et DAC # sont égaux donc SinBAD # = SinDAC # Les angles BDA # et CDA # sont supplémentaires donc SinBDA # = SinCDA # Par suite, l'égalité () s'écrit: BD = c CD b. Dans le triangle rectangle ABE on a: cosbae # = AE AB Dans le triangle rectangle AFC on a: cosfac # = AF AC Les triangles ABE et AFC ont leurs angles égaux. Ils sont donc semblables Leurs cotés sont donc proportionnels, ce qui donne: AE = AB AF AC Par suite AE = c () AF b Les triangles BED et FDC ont leurs angles égaux. Ils sont donc semblables BE DE BD c Leurs cotés sont donc proportionnels, ce qui donne: = = = () CF CF CD b Des égalités () et () on déduit que : AE = DE soit encore AExDF= AFxDE. AF DF

114 . La relation précédente, AExDF = AFxDE peut encore s'écrire: AEx(DA-AF)= AFx(AE-DA) soit encore AExAF=ADx(AF+AE). Or cette ligne est équivalente à = +. AD AE AF 4. Dans le triangle rectangle ABE on a: cosbae # = AE AB soit A! A! AE = ABcos = cx cos Dans le triangle rectangle AFC on a: cosfac # = AF AC soit A! A! AF = ACcos = bx cos En remplaçant AE et AF dans l'expression : b+ c = + = AD!! A" + A A b c = A" bc cxcos bxcos cos cos D'où le résultat demandé. = +, on trouve: AD AE AF

115 EXERCICE. Calcul des produits scalaires. a. $$$%$$$% BC.BE BCxBEcos ABC # π = = 4 cos = 6 $$$%$$$% EA.EB EAxEBcos AEB # π = = 4 cos = b. BCG équilatéral. Le triangle BCG est équilatéral car BC = BG et l'angle # CBG vaut π $$$%$$$% c. Calcul de AE.EF. $$$%$$$% $$$%$$$% # π π 5π AE.EF = EA.EF = EAxEFcos AEF = 4cos + = 4cos = 6 6 $$$%$$$% d. Calcul de DE.BF et DEG alignés. $$$%$$$%! Calcul de DE.BF $$$%$$$% $$$% $$$% $$$% $$$% $$$%$$$% $$$%$$$% $$$%$$$% $$$%$$$% DE.BF = DA + AE. BE + EF = DA.BE + DA.EF + AE.BE + AE.EF $$$%$$$% DE.BF = 0 ( ) ( ) = + + Le calcul des produits scalaires ci-dessus se fait en utilisant la définition du produit scalaire.! DEG alignés. D'après le calcul précédent, (DE) est perpendiculaire à (BF). Dans le carré EBGF, (EG) est perpendiculaire à (BF). Les droites (EG) et (ED) étant perpendiculaire à la même droite sont donc parallèles, mais comme elles ont un point commun, elles sont confondues. Donc E,D,G sont alignés.

116 . Calcul dans un repère. Dans le repère donné, les points D, E, B, F ont comme coordonnées: D(0,) E ;, B(,0), F ; + +. Par suite on a: $$$% $$$% DE BF + $$$%$$$% D'où: DE.BF = =

117 DEVOIR NUMERO 9 LE PRODUIT SCALAIRE EXERCICE Soient deux vecteurs u et v tels que u= ;v=;u.v=-5 Calculer (u+ v) et (u- v) En déduire u+ v et u- v Calculer (u+ v).(u-v) EXERCICE Soient uetv deux vecteurs orthogonaux et de même norme Démontrer que les vecteurs (u + v) et (u v) sont orthogonaux et de même norme EXERCICE Soit (ABCD) un carré. I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC] Monter que (AJ) et (DI) sont perpendiculaires EXERCICE 4 a. Ecrire une équation du cercle c de centre A( ;-) de rayon r= 5 b. Le point B(5 ;) appartient-il à C. Justifier la réponse c. Ecrire une équation de la tangente en B au cercle C

118 EXERCICE 5 A( ;) B(- ;) M(x ;y) Dans un repère orthonormé. a. Traduire analytiquement l égalité MA +MB = 8 En déduire que l ensemble E des points M(x ;y) du plan qui vérifie MA +MB = 8 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon b. Calculer la distance AB Retrouver géométriquement l ensemble E, en utilisant une relation métrique. EXERCICE 6 ABC est un triangle tel que AB=7 BC= AC=6 A est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A a. Calculer à 0. degré près la mesure de l angle BAC b. Calculer les distances AA et A H c. Calculer l aire du triangle ABC EXERCICE 7 (ABCD) est un rectangle tel que AB= et BC= Soit I le milieu de [DC] et J le milieu de [BC] On appelle θ l'angle IAJ a. Calculer de deux façons le produit scalaire AI.AJ b. En déduire la valeur exacte de cos θ c. Donner une valeur approchée de θ en degrés à 0 - près par défaut

119 SOLUTIONS 9 Exercice u = v = u.v = 5 (u+ v) = (u v) = u+ v = u v = (u + v).(u v) = 4 Exercice (u + v).(u v) = u v u.v Comme u = v et u.v = 0 on a (u + v).(u v) = 0 d'ou (u + v) (u v) (u + v) = 4u + v 4u.v (u v) = u + 4v 4u.v Comme u = v et u.v = 0 on a u + v = u v Exercice AJ.DI = (AB + BJ).(DA + AI) = AB.DA + AB.AI + BJ.DA + BJ.AI AB DA et BJ AI AJ.DI = 0 + AB AD + 0 = 0 Exercice 4 Equation du cercle C(A, r) x + y 6x+ 4y 7 = 0 B(5,) appartient au cercle C car ses coordonnées verifient l équation de C Equation de la tangente T en B à C M(x,y) T BM BA BM.BA = 0 (x 5) 4(y ) = 0 x 4y + 8 = 0 x + y 9 = 0

120 Exercice 5 MA + MB = (x ) + (y ) + (x + ) + (y ) = x + y 8y + 8 M(x; y) E MA + MB = 8 x + y 8y + 8 = 8 x + y 8y 0 = 0 x + y 4y 5 = 0 x + (y ) 4 5 = 0 x + (y ) = 9 IM = 9 IM = avec I(0;) L ensemble E est le cercle de centre I(0 ;) de rayon r= Géométriquement : On applique le premier théorème de la médiane AB = 0 AB MA + MB = MI + avec I milieu de [AB] AB M E MI + = 8 MI = 8 MI = 9 IM = On retrouve le cercle de centre I milieu de [AB] de rayon r= Exercice 6 AB=c=7 ; BC=a= ; CA=b=6 On applique la formule du cosinus b + c a a = b + c bccosa cosa= bc 8 D'ou cos A = A Pour calculer AA on applique le premier théorème de la médiane BC AB + AC = AA ' + AA ' = 4.5 AA ' 6.44 Pour calculer A H on applique le deuxième théorème de la médiane AB AC = BC A 'H Si on choisit comme sens positif le sens de B vers C on a : BC = D 'où A 'H = =.5 d 'où A 'H =.5 4 Pour l aire S on utilise : S = bc sin A d 'où S 5.56

121 Exercice 7 I milieu de [DC] J milieu de [BC] ère façon 7 AI.AJ = AI x AJ cos θ= cos θ 4 èmefaçon AI.AJ = (AD+ DI).(AB+ BJ) = AD.AB+ AD.BJ+ DI.AB+ DI.BJ DI BJ et AB AD 5 AI.AJ = AD.BJ + DI.AB = + = 7 d 'où cos θ=.5 cos θ= θ 0.96

122 EXERCICE DEVOIR NUMERO 0 TRIGO RELATIONS METRIQUES. On appelle tangente du nombre x, le réel noté tan x égal à : Pour quelle valeurs de x peut-on calculer tan x? sin x tan x =. cos x π π π. Donner les valeurs de tanx pour x =,, 6 4 tanx + tany Montrer que l on a : tan(x + y) =. tanx tany En déduire les formules donnant tan(x - y) et tan(x) en fonction de tanx et tany.. On pose X = tan 8 π. Montrer que X est solution de l équation X + X - = 0. π En déduire que a valeur exacte de tan est. 8 EXERCICE Un bassin piscicole, implanté sur une côte, a la forme d un quadrilatère comme l indique la figure ci-dessous. AD + DC + CB = l représente la longueur de filet nécessaire pour clore le bassin.. Calculer AD et DB.. Calculer BC.. Calculer DC. 4. En déduire la longueur l de filet nécessaire pour clore le bassin 5. Calculer en m l aire du bassin.

123 SOLUTION 0. Domaine de la fonction tangente. sin x π tan x = est définie pour x tel que cosx 0 c est à dire pour x + kπ k Œ. cos x. π π π tan,tan,tan 6 = = = 4 a. Formule de tan(x+y). o ( ) ( ) sin x + y sinxcos y + sinycos x tan(x + y) = =. cos x + y cos xcos y siny sinx o sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cosx cosy cosxcosy sin x cos y + sin y cos x = = =. tanx tany sin x sin y cos x cos y sin y sin x x cos xcos y siny sinx cosx cosy cosxcosy b. tanx tany tan(x y) =. Il suffit de remplacer y par y dans la formule précédente. Il est + tanx tany facile de vérifier que tan(-y) = tan(y). tanx tanx =. Il suffit de prendre y = x dans la formule de tan(x+y). tan x. Montrons que X est solution de l équation π π 8 8 X + X - = 0 en calculant π π π π π π sin sin sin sin cos cos π π π cos cos cos tan + tan = + = On sait que cos x- sin x = cos x et sinx=sinx cosx. donc : π π π cos sin = cos = et Il résulte alors que π π + = tan tan π π π sin cos = sin = D après ce qui précède, tan 8 π est solution de x + x =0. Cette équation a deux solutions x = et x " = ( =8). π π tan tan π π Mais tan > 0 donc la valeur exacte de tan est. 8 8

124 EXERCICE. Calcul de AD. Dans le triangle ADB, on a : avec AB = 700, 40 AD AB = sin ABD sin ADB ADB = = 60 ABD = et ( ) AB sin ABD sin 40 D où AD = = 700x 59,56 sin ADB sin60 Calcul de DB BC AB Dans le triangle ADC, on a : = sincab sin ACB avec AB = 700, DAB = 80 et ADB = 60 AB sindab sin80 D où DB = = 700x 796,0 sin ADB sin60. Calcul de BC. Dans le triangle ABC, on a : avec AB = 700, 44 BC sinbac AB = sin ACB BAC = et ( ) ACB = = 5 D où AB sinbac sin 44 BC = = 700x 65,7 sin ACB sin5. Calculer DC. On connaît DB, BC et l angle DBC. La formule qui vient à l esprit pour calculer DC est la formule : DC = DB + BC DBxBC cosdbc. On obtient alors : D où DC 566,6 = 59,5 + 65,7 59,5 65,7cos45 = 0 764,867 DC x x 4. En déduire la longueur l de filet nécessaire pour clore le bassin. La longueur du filet est alors : 7,6. 5. Calculer en m l aire du bassin. S sin sin ABCD = SADB + SDBC = ABxBD ABD + BCxBD DBC SABCD = 700x59,5xsin ,7x59,5sin ,4 m

125 DEVOIR NUMERO CERCLE RELATIONS METRIQUES EXERCICE. Ecrire une équation du cercle C de centre A( ;-) de rayon r = 5. Le point B(5 ;) appartient-il à C. Justifier la réponse. Ecrire une équation de la tangente en B au cercle C. EXERCICE Un champ en forme de triangle a une aire de 600 m. Ce champ à un côté de 0 mètres et un côté de 80 mètres. Calculer au décimètre près, la longueur du troisième côté. NOTA : On appellera A, B et C les sommets du triangle. On supposera que AB=0 et AC=80. EXERCICE

126 EXERCICE Equation du cercle C(A, r) x + y 6x+ 4y 7 = 0 SOLUTIONS B(5,) appartient au cercle C car ses coordonnées vérifient l équation de C Equation de la tangente T en B à C. La tangente au point B au cercle C est la droite orthogonale à AB en B. Cette droite admet le vecteur AB comme vecteur normal. Son équation est donc de la forme : x - 4y + c = 0. 4 Cette droite passe par B ce qui donne c= - 8. L équation de la tangente est donc après simplification : x + y 9 = 0. Autre méthode M(x,y) T BM BA BM.BA = 0 (x 5) 4(y ) = 0 x 4y + 8 = 0 x + y 9 = 0 EXERCICE Appliquons la formule S = bcsin A. Avec b = 0 et c = 80, on trouve que : sin A =. L angle A est un angle dont une mesure appartient à [0 ; π]. sin A = implique A = π ou 5π A = 6 6 Calcul de BC. Appliquons la formule : BC = AB + AC ABxAC cosa. Si A = π alors 6 Si 5π A 6 soit ( ) BC = x0x80x = == BC 4,07 d où BC 56 = alors BC = x0x80x = = 00( ) soit BC 456,9 d où BC 07

127 EXERCICE DEVOIR NUMERO RELATIONS METRIQUES CERCLE ABC est un triangle tel QUE AB=80m, AC=00 m, BC=0m. D est un point de [AB], E est un point de [BC] tels que : o l aire du triangle BDE est la moitié de celle du triangle ABC. o le périmètre du triangle BDE est égal à celui du quadrilatère ADEC. Calculer les trois cotés du triangle BDE. EXERCICE C Deux briques sont disposées comme le montre la figure. A quelle distance du sol se trouve le point C. Les briques mesurent 0x0 cm et la distance AB vaut 8 cm. EXERCICE A B Soient les points A( ;), B(- ;-) et C( ;-). Déterminer l équation du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser le centre et le rayon de ce cercle. EXERCICE 4 Soit C le cercle de centre I(4,) de rayon 5. Soit A(O,-). Montrer que A est extérieur au cercle C.. Quelle est la forme de l'équation de la droite D m de pente m passant par A.. Calculer les coordonnées de la projection H de A sur la droite D m. 4. En déduire les équations des tangentes issues de A à C.

128 SOLUTIONS EXERCICE o Calcul de BD et DE. Aire (ABC) = aire(bde) implique : ABxBCx sinb BDxDEx sinb = soit soit encore : BDxDE = x 80 x 0 = Périmètre(BDE) = Périmètre(ADEC) implique : AD + DE + EC + AC = BD + DE + BE soit AD + EC + AC = BD + BE. Or AD = AB BD ; EC = BC BE. ABxBC = BDxDE L égalité AD + EC + AC = BD + BE s écrit alors : AB BD + BC EB + AC = BD + BE. + = = 50. D où BD + BE = ( AB + BC + AC). Ce qui donne BD DE ( ) En conclusion, BD et DE sont solutions du système : BD + DE = 50 BDxDE = 4800 Posons X = BD. Il est facile de montrer que X est solution de l équation X 50X = 0. On trouve alors BD = ou BD = Si BD = alors DE = Si BD = 75 5 alors DE = o Calcul de l angle B. Appliquons la formule AC = AB + BC xabxbcx cosb. Cela donne : 00 = x80x0xcosb. On obtient 9 cosb =. 6 o Calcul de DE. Appliquons la formule DE = DB + EB xdbxebx cosb. On obtient : ( ) ( ) ( ) ( ) DE = x x 75 5 x = Soit DE = Conclusion : ( ) ( ) BD = BE = 75 5 ED = 50 ou ( ) ( ) BD = 75 5 BE = ED = 50

129 EXERCICE o On note H la projection de C sur (AB). La question demande le calcul de CH. On a sin( CH CAH ) =. AC C E Notons α = HAD et β = EAC. CAH = α + β D où CH = AC x sin( α + β ) β D Pour connaître CH, il faut donc calculer AC et α+β. α o Calcul de AC. A H B Il est facile de trouver à l aide du théorème de Pythagore que AC = 0 5. o Calculons de α+β. Calcul de α. 0 5 tan α = BD AB = 8 = 4. D où α = 5,4 Calcul de β. 0 tan β = CE AE = 0 =. D où β = 6,56. On déduit alors que α + β = 77,90. o Calcul de CH. ( α β) ( ) CH = AC x sin + = 0 5 x sin 77,9 =,86.

130 Autre méthode plus exacte en calcul. La méthode précédente présente un inconvénient, les calculs de α et β sont approchés. Voici une méthode où les calculs sont tous exacts. De 5 tanα = 4 et tan β = on déduit que tan( α β) tanα + tan β 4 + = = tanαtanβ (Voir DM précédent. Démonstration de la formule tan( α β) tanα + tan β + = ). tanα tanβ On sait que sin x cos x + = et que sin x tan x =. cos x De ces deux formules, on déduit assez facilement que sin tan x x =. + tan x En appliquant cette formule, on trouve que sin ( α β) 4 tan ( α + β) 4 + = = = + ( α + β) 4 + tan 05 Puisque α+β est un angle compris entre 0 et 90, son sinus est positif donc de la relation précédente on déduit que sin( α β) Et par suite x ( α β) 4 + = CH = AC sin + = 0 5 x = =,

131 EXERCICE o Equation du cercle On cherche une équation de la forme x y ax by c = 0. Le point A est sur le cercle donc : a + b + c = -. Le point B est sur le cercle donc : a + b - c = --5. Le point C est sur le cercle donc : a b + c = -. En résolvant le système précédent on trouve a =, b = - et c = -6. L équation du cercle est alors : x y x y = 0. o Caractéristiques du cercle. L équation précédente se met facilement sous la forme : 7 x+ y + =. Le cercle admet I ; comme centre et son rayon vaut 7. o Equation de la tangente en C au cercle. Le vecteur / IC est vecteur normal. L équation est x 5y 8 = 0. 5/

132 EXERCICE 4. A est extérieur au cercle C. AI = 4 donc AI > 5 donc A extérieur au cercle.. Forme de l'équation de la droite D m. Elle est de la forme : y = mx -.. Coordonnées de la projection H de A sur la droite D m. (IH) a comme équation :x+my -m - 4=0. Le point H est l intersection de la droite (IH) et de la droite D m. Ses coordonnées sont alors solutions du système : y mx =. x + my = m + 4 On trouve H 4m+ 4 m + 4m ; m + m + 4. Tangentes issues de A à C. La droite D m est tangente au cercle si et seulement si la distance IH est égale à 5 ou encore si et seulement si IH = m m + La distance IH est égale à : IH = ( m + ) IH = 5 6( m) = 5( m + ) 9m + m + 9 = 0 m = ±. 9. Il y a donc deux tangentes issues de A au cercle d équation y = mx - avec m = ±. 9

133 EXERCICE Autres valeurs pour ceux qui ont fait une autre démarche. OA 7, AD 40, OB 9, OC, 0D 09 BD 0.

134 EXERCICE DEVOIR NUMERO :Relations métriques, Dérivées Les distances sont exprimées en centimètres A ABCD est un quadrilatère AB= 6 +, AD=, l angle BÂD=60, l angle AÔD=60 et AC=8. ) Calculer BD. On donnera une valeur exacte. B D ) Calculer la mesure exacte en degrés des angles O!ABD et! ADB. En déduire une valeur exacte de sin(! ADB ) et cos(! ADB ) ) Calculer l'aire exacte du quadrilatère ABCD. C EXERCICE ABC est un triangle tel que AB=7 BC= AC=6 A est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A a. Calculer à 0. degré près la mesure de l angle BAC! b. Calculer les distances AA et A H c. Calculer l aire du triangle ABC

135 EXERCICE Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes en précisant sur quel ensemble elles sont dérivables. a. f(x)= (x+) +5 b. g(x)= (x+) 4 (5-x) c. h(x)= x x x d. k(x)= x x+ 7 e. l(x)= ( x ) + x f. m(x)= + x x EXERCICE 4 x +ax +b Soit f la fonction définie sur! par: f(x)=. x + a. Quelle relation doit vérifier a et b sachant que le point A(0,) appartient à la représentation graphique de la fonction f? b. Quelle relation doit vérifier a et b sachant que la fonction dérivée de f vérifie: f '(0) = 4? c. En déduire a et b pour que la représentation graphique de f admette au point A(0,) une tangente d'équation y = 4x+.

136 EXERCICE SOLUTIONS a. Calcul de BD. BD = AB + AD - AbxAD cos(! BAD ) = D'où BD =. b. Mesure des angles.! Angle! ABD ( ) " sin ABD! sin( A) On a : = d'où! sin( ABD! ) = Soit ABD = π AD BD 4! Angle! ADB!ADB = 75! Sinus et cosinus de ADB! sin! ( ADB) sin( A " ) = d'où sin ADB! AB BD ( ) ( ) + 6 = d'où cos ADB! 4 = 6 4 c. Aire de ABCD. Aire(ABCD) = Aire(COD)+ Aire(BOA)+ Aire(AOB)+ Aire(AOD)= BDxAC=

137 EXERCICE a. Calcul de l'angle  On applique la formule du cosinus " " b +c -a a = b +c - bccos A cos A = bc " 8 D'ou cos A = A" b. Calcul de AA' et A'H " Pour calculer AA on applique le premier théorème de la médiane BC AB + AC = AA' + AA' = 4.5 AA' 6.44 " Pour calculer A H on applique le deuxième théorème de la médiane AB - AC = BC A'H Sion choisit comme sens positif le sens de B vers C on a :BC = D 'où A 'H = =.5 d'où A 'H =.5 4 c. Calcul de l'aire de ABC. Pour l aire S on utilise : S = bc sina" d'où S 5.56

138 EXERCICE Notons D le domaine de dérivabilité. a. f(x)= (x+) +5 f'(x)= 8x+ D=! b. g(x)= (x+) 4 (5-x) g'(x)=(x+) (5-x) - (x+) 4 = (x+) (58-5x) D=! c. h(x)= x x D=]- ; [ h'(x)= + x x d. k(x)= x x+ 7 k'(x)= = (x x + 7) (x x + 7) (x x 7) (x )(x ) x x 9 D=! e. l(x)= ( x ) + x x+ 4 l'(x)= x (x ) D=! - {} f. m(x)= m'(x)= + x x (x ) (x ) = = + x + x + x (x ) x x x D=]- ; -0,5 [U] ; + [

139 EXERCICE 4 a. Relation sachant que le point A(0,) appartient à la courbe de f. A appartient à la courbe de f si et seulement si f(0)= soit b=. b. Relation sachant que la fonction dérivée de f vérifie: f'(0)=4 La fonction dérivée de f est (6x + a)(x + ) (x + ax + b)x ax + (6 b)x + a f'(x)= = (x + ) (x + ) f'(0)=4 donne a=4 c. En déduire a et b pour que la représentation graphique de f admette au point A(0,) une tangente d'équation y=4x+. La condition est remplie si et seulement si f(0)= et f'(0)=4 soit a=4 et b=.

140 DEVOIR NUMERO 4 LIMITES ET DERIVATION EXERCICE Déterminer les limites suivantes et préciser les asymptotes éventuelles.. f x = x + x + en + et en - ( ) x 7. f( x) = en a = -4 x + 4. x + 5x 7 ( x) = f 4x 4 en + ; en a= ; en a = - 4. f4( x) = x + 6 x en a =. EXERCICE Soit la fonction f définie sur I = - {} par f( x) = x + 7x+ x et C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. c. Déterminer trois réels a, b et c tels que f( x) = ax+ b+. x. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Que peuton en déduire pour la courbe C f?. Montrer que la droite d équation y = x+ est asymptote oblique à C f en + et en -. EXERCICE Après avoir précisé leur domaine de définition et de dérivabilité, calculer les dérivées des fonctions suivantes :.. p x x x x x x ( ) = f( x) = x + x. 4. hx ( ) = ( x + x) x x qx ( ) = x + x + x+ 5. rx ( ) = x+ kx ( ) = 5x+ 6. ( ) 4

141 REPONSES 4 EXERCICE. lim ( x x ) lim ( x x ) x + x + + = + + = +. x 7 x 7 lim = lim =+ x+ 4 x+ 4 + x 4 x 4 La droite d'équation x = -4 est asymptote.. x + 5x 7 = xlim + 4 x 4 x + 5x 7 ( x )(x + 7) (x+ 7) 9 lim = lim = lim = 4x 4 4( x ( x + ) 4( x+ ) 8 x x x x + 5x 7 ( x )(x+ 7) (x+ 7) lim = lim = lim = + 4x 4 4( x ( x+ ) 4( x+ ) x x x En - - on trouve - 4. x+ 6 ( x+ 6 )( x+ 6 + ) x lim = lim = lim = lim = x x x ( x )( x+ 6 + ) x ( x )( x+ 6 + ) x ( x+ 6 + ) 6 EXERCICE 40. f( x) = x+ + x. lim f( x) =+ lim f( x) = x + x lim f ( x) =+ lim f( x) = la droite d ' équation x = est asymptote + x x. 40 lim ( f ( x) x ) = lim = 0 d ' où le résultat ± x ± x x

142 EXERCICE DEVOIR NUMERO 5 DERIVATION Durée 45 minutes Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes. f( x) = (x+ ) ( x+ ). f( x) = x+ x. f( x) (x ) ( x ) 4. f5( x) = = + Forme factorisée seulement x x x f x x x 6( ) = + 6. x + f7( x) = x 4 Forme factorisée seulement 7. f8( x) = x + x EXERCICE

143 EXERCICE. ( ) f ' x = 6x + 8. SOLUTION 5. f ( x) ' = x.. f ' ( x) ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x )( x ) ( 5x ) 4. f ' ( x) 5. f ' ( x) = = +. x + x+ 9 4 = 6 = ( x x+ 7) + x x + x 6. x + 7 f '( x) = 4 x ( x ) f ' ( x) 8 = ( x ) x + x

144 EXERCICE

145

146 EXERCICE On note D le domaine de définition et D' celui de dérivabilité 4 4. P'( x) = 0x + x x + x D=D'=. f '( x) = x D=D'= -{0} x. x(x+ ) x + ( x + x) (5x + 9 x) h'( x) = (x+ ) x + ( x + x) = = x x x D= + D'= +* 4. x + x (x+ )( x + x+ ) ( x + x )(x+ ) ( x+ )( x+ 5) q'( x) = = = x + x+ x + x+ x + x+ D=D'= -{} ( ) ( ) 5. r'( x) = x + D= [ ; + [ D'= D= ] ; + [ k'( x) = 0 5x+ D=D'= 6. ( )

147 DEVOIR NUMERO 6 Etude de fonctions Partie A Soit g la fonction définie sur! par g(x) = x - x Etudier les variations de g. (On ne demande pas les limites).. a. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution réelle α sur l intervalle [-5;-]. b. Montrer que l'équation g(x)=0 n a pas d autre solution sur!.. c. Calculer une valeur de α à 0 - près.. Déterminer le signe de g(x). Partie B x + x + x Soit f la fonction définie par f(x) = x On note (C) sa représentation graphique.. Quel est le domaine de f?. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition. gx ( ). Montrer que f'(x)=. x En déduire le signe de f'(x). 4. Dresser le tableau de variation de f. (on prendra α = -,). 5. Démontrer que la courbe (C) admet la droite ( ) d'équation y=x+ comme asymptote. Etudier la position de (C) par rapport à ( ). 6. Calculer l'équation de la tangente (T) à (C) au point I d'abscisse. Etudier la position de (C) par rapport à (T). (Nota: x - 6x + x - 8 = (x-) ) 7. Construire (C), ( ), (T) dans un repère orthonormal d'unités cm.

148 PARTIE A. Etude des variations de g. SOLUTIONS 6 La fonction dérivée de g est g'(x) = x -. De l'étude du signe de g'(x), il est facile de déduire le tableau de variation suivant: x -! - +! g'(x) ! g(x) -!. Résolution de l'équation g(x)=0. a. L'équation a une seule solution sur [-5;-]. Sur [-5;-], g est monotone dérivable. La fonction g est donc une bijection de [-5;-] sur [g(-5); g(-)] c'est à dire sur [-06 ; 6]. Tout élément de [-06 ; 6] a un donc un antécédent unique par g dans [-5; -]. En particulier O a un seul antécédent α unique dans [-5; -]. Ce qui signifie que α est le seul réel de [-5 ; - ] tel que g(α)=0. b. L'équation g(x)=0 n'a pas de solution sur ]-!; -5[ U ] -; +![.! Sur ]-; +![ l'étude montre que g(x) donc g(x) 0.! Sur ]-! ; -5 [ la fonction est croissante et g(-5) = -06 donc g(x) -06 donc g(x) 0.

149 c. Calcul d'une valeur approchée de α. En utilisant la méthode par dichotomie on obtient le tableau de valeurs ci-dessous: Ce tableau donne α" -,96. a+ b a+ b a f(a) b f(b) f -5,000-06,000 -,000 6,000 -,000-4,000 -,000-4,000 -,000 6,000 -,000,000 -,000-4,000 -,000,000 -,500-4,5 -,500-4,5 -,000,000 -,50-0,64 -,50-0,64 -,000,000 -,5 0,779 -,50-0,64 -,5 0,779 -,88 0,095 -,50-0,64 -,88 0,095 -,9-0,66 -,9-0,66 -,88 0,095 -,0-0,084 -,0-0,084 -,88 0,095 -,95 0,006 -,0-0,084 -,95 0,006 -,99-0,09 -,99-0,09 -,95 0,006 -,97-0,07 -,97-0,07 -,95 0,006 -,96-0,005 -,96-0,005 -,95 0,006 -,96 0,000 -,96-0,005 -,96 0,000 -,96-0,00. Signe de g(x). si x De l'étude précédente, on déduit que si x α alors g( x) 0 α alors g( x) 0

150 PARTIE B. Domaine de f. Le domaine de f est! *.. Limites aux bornes du domaine! Limite en +! x + + x x x lim f( x) = lim = lim x x + + = + x x x x + x + x +! Limite en -! On trouverait de même que lim f( x) = x! Limite en 0. Quand x tend vers 0, x +x +x- - et x 0 + donc f(x) -!.. Fonction dérivée de f.! (x + x + ) x ( x + x + x )x x x+ 4 g( x) f '( x) = = = 4 x x x! Signe de f'(x) Effectuons un tableau de signe en utilisant les résultats de la partie A. x -! α 0 +! g(x) x f'(x) Tableau de variation de f. x -! α 0 +! f'(x) f(α) +! f(x) -! -! -! En prenant α " -, on trouve f(α) " -,977 " -.

151 5. La droite ( ) est asymptote.! Calculons lim f( x) ( x+ ) et lim f( x) ( x+ ) x + x x lim f( x) ( x+ ) = lim = 0. On trouverait de même que: lim f( x) ( x+ ) = 0. + x + x x x Par suite la droite ( ) est asymptote à la courbe (C).! Position de (C) par rapport à ( ). Elle est donnée par le signe de f(x) - (x+). si x alors ( C) est au dessus de( ) x f( x) ( x+ ) = par suite, x si x alors ( C) est au dessous de( ) 6. Tangente au point I.! Equation de (T) L'équation de la tangente au point I est de la forme: y - f() = f'()(x - ). Ce qui donne 5 pour équation de (T): y 4 = ( x ) soit y = x + 4 4! Position de (C) par rapport à (T). Elle est donnée par le signe de 5 f( x) x ( x ) x + x + x f( x) x+ 4 = = 4x 4x si x alors ( C) est au dessus de( T ) par suite, si x alors ( C) est au dessous de( T )

152 7. Tracés de (C ), ( ) (T).

153 EXERCICE DEVOIR NUMERO 7 ETUDE DE FONCTIONS Le nombre n désigne un élément de non nul. n x + =. 4x Soit f n la fonction définie sur ]0 ; + [ par fn ( x) On note ( ) n. C sa représentation graphique dans un repère orthonormal ( Oi ;; j) PARTIE A Etude de f et f.. Dresser le tableau de variation de f.. Dresser le tableau de variation de f.. Etudier la position relative des courbes ( C ) et ( C ) 4. Construire ( C ) et ( ) PARTIE B Etude de f C dans le repère( Oi ;; j).. Dresser le tableau de variation de f. (variations et limites) Ecrire f (x) sous la forme : ( ) c f x = ax+ b+ 4x En déduire que la courbe ( C ) admet une droite D comme asymptote au voisinage de +. Etudier la position de D par rapport à ( C ).. Construire ( ). Calculer pour n 4 f n (x). C et D dans le repère( Oi ;; j). EXERCICE Soit f la fonction de + dans définie par ( ). Montrer que f est dérivable sur + et calculer f (0)... f x = 6x x x x. a. Montrer que f est dérivable sur +* mais pas en 0. Calculer f (x) b. Etudier le signe de f et dresser le tableau de variation de f. ' ' c. Calculer les racines α et β de l équation f ( x ) =0 (α β). (Poser y = x ) d. Déterminer le signe de f a. Dresser le tableau de variation de f. b. Construire la courbe représentative de f.

154 EXERCICE PARTIE A Etude de f et f.. Tableau de variation de f. SOLUTIONS SUCCINCTES 7 x 4x La fonction f est dérivable sur +* et f '( x) =. Sur +*, ( ) x 0 + f ' ( x ) - f ( x ) + f x < 0. ' 0 Les limites en 0 et + sont faciles à justifier.. Tableau de variation de f. La fonction f est dérivable sur +* et f '( x) Sur +*, f ' ( x ) < 0. ( ) ( ) x 4x x + 8x = =. 6x x 4 x 0 + f ' ( x ) - + f ( x ) 4. Position relative des courbes ( C ) et ( ) C. Elle est donnée par le signe de f ( x) f ( x). f ( x) f ( x) x =. D où le tableau : 4x x 0 + Position ( C ) en dessus de ( C ) ( C ) au dessous de ( C )

155 4. Construction de ( C ) et ( ) C dans le repère( Oi ;; j). PARTIE B Etude de f. Tableau de variation de f. (variations et limites) f ' ( x) x = 4x x 0 + f '( x ) f ( x ) 4x 0,477. La courbe ( C ) admet une droite D comme asymptote au voisinage de +. x + x 4x 4 4x On a : f ( x) = = +. Par suite : f ( x) x lim lim = =. x + 4x Donc f ( x) x La droite D d équation x 4 y = est asymptote à ( ) x = 4 4x C en +.

156 Position de D par rapport à ( C ). f x 4 4x ( x) =. Donc pour tout x>0, f ( x) >0 donc ( ). Construction de ( ) x 4 C et D dans le repère( Oi ;; j). C est au dessus de D. 4. Calcul de f n (x). La fonction f n est une fonction rationnelle définie sur ]0 ;+ [. Elle est donc dérivable sur cet intervalle et : f ' n ( x) n ( ) n nx 4x x + 8 x n ( n ) x = =. 4 6x 4x

157 EXERCICE f x = 6x x x x. Soit f la fonction de + dans définie par ( ). La fonction f est dérivable sur + et calcul de f (0). o Dérivabilité sur +*. Sur +*, la fonction f est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur +* et ( ) o Dérivabilité en 0. ( ) f ( 0) f ' x = 9 x 6x f x lim = lim 6 x x =. x 0 x x 0 La fonction f est dérivable en 0 et f (0)=-. a. Dérivabilité de ' f. o Sur +*, la fonction f est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur +* et f ( x) ( ) ( ) ( x ) 9 9 x 4 '' = 6 = =. x x x f ' x f ' 0 9 o En 0 lim = lim 6 = +. Donc f n est pas dérivable en 0. x 0 x x 0 x b. Signe de f et tableau de variation de f '' ( x) ( x ) 4 =. x ' f. 9 6 Sur +*, f ''( x) = 0 4 x = 0 x =. ( ) x f '' x > 0 4 x > 0 x <. 6 f' (x) f (x) - -

158 ' c. L équation ( ) f x = 0 a deux racines α et β. Pour résoudre f (x) = 0 posons y = x. ( ) f ' x = 0 9 x 6x = 0 9y 6y = 0 6y 9y + = 0. L équation 6y 9y 0 + = a deux racines : 9 9+ y' = ; y'' = L équation 9 x 6x = 0 a donc deux racines : α = ; β = La calculatrice donne : α 0,07 β,5 d. Signe de f. L étude de f et le calcul précédent permet de déduire le signe de f suivant. x 0 α β + f'(x) a. Tableau de variation de f. Il se déduit facilement des calculs précédents. x 0 α β + f'(x) f(x) 0 f(α) f(β) - b. Courbe représentative de f.

159 DEVOIR NUMERO 8 ETUDES DE FONCTIONS EXERCICE x + 4 Soit f la fonction définie par: f( x ) = et C sa représentation graphique. x. Déterminer le domaine D f de définition de f.. Déterminer le sens de variation de f ainsi que les limites aux bornes de D f.. Montrer que la droite δ, d'équation y = x est asymptote à C. 4. Tracer C et δ et les asymptotes. EXERCICE Un triangle rectangle T a pour périmètre. On note x et y les côtés de l'angle droit. ( x 6 ). Montrer que y=. En déduire que le nombre x vérifie 0 x 6. x. Calculer, en fonction de x, l'aire f(x) du triangle T.. Déterminer la valeur de x telle que l'aire du triangle soit maximum. Quelle est pour cette valeur de x la nature du triangle T.

160 EXERCICE. Domaine D= -{0}. Variation. f ' ( x) = ( 8) x x x 4 SOLUTIONS 8 x f '( x ) f ( x ) Asymptote 4 f ( x) x = ; lim f ( x) x = 0 donc la droite d équation y=x est asymptote. x x ± 4. Tracé EXERCICE

161 ( x 6 ). y=. x vérifie 0 x 6. x o L hypoténuse du triangle est égale à x + y. Le périmètre est : x + y + x + y = ce qui donne : x +y = ( x - y). ( x 6 ) Par suite : 0 = 7 -x -y +xy. D où y=. x o Les nombres x et y sont positifs car ce sont des longueurs. x 0 et y 0 implique x 0 et ( x 6) 0 x [0;6] ]; + [. x Le périmètre du triangle est donc x et y sont inférieurs à. d où 0 x 6.. Aire f(x) du triangle T. L aire du triangle est égale à xy dons f ( x) ( ) 6x x 6 = x. Déterminer la valeur de x telle que l'aire du triangle soit maximum. Pour trouver la valeur de x telle que l aire du triangle soit maximum, étudions la fonction f sur [ 0 ; 6 ]. o f '( x) ( x x+ ) = ( x ) o Le signe de f '( ). x est le même que le signe de x -4x+7. x -4x+7=0 a deux racines 6 et + 6. x f '( x ) f ( x ) o Si x= 6, on trouve que y = 6. L aire de T est maxi quand le triangle est isocèle.

162 DEVOIRS NUMERO 9 ESPACE EXERCICE Dans l espace rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j, k ), on donne 4 points A, B, C et D par leurs coordonnées : A(0 ; - ; 7) ; B( ; - 4 ; 7) ; C( ; - ; 4) et D( ; - ; 5).. Justifier que les points B, C et D déterminent un plan.. Les vecteurs AD, AB et AC sont-ils coplanaires? Justifier.. Montrer que le triangle ACD est rectangle isocèle. 4. Déterminer l équation du cône de révolution d axe (O ; j ), de sommet O et passant par A. Donner alors une valeur approchée en degré de son demi angle au sommet α en arrondissant le résultat à 0 - près. EXERCICE : Soit ABCDEFGH un cube. On définit les points R, S, T et U par : 5 AR = AB ; BS = BC ; ET = EH et GU = GF Placer les points R, S, T et U.. Exprimer RS et TU en fonction des vecteurs AB et BC.. Justifier que ces quatre points sont coplanaires. A EXERCICE : ABCD est tétraèdre. Soit E un point de l arête [AB], F un point de l arête [AC] et G un point de la face ACD. Tracer la section du tétraèdre ABCD par le plan (EFG) en justifiant. B E F G D C EXERCICE 4 : ABCDEFGH est un prisme droit à base trapézoïdale.. Les droites (AH) et (BE) sont-elles sécantes? Justifier.. Les droites (AG) et (HD) sont-elles sécantes? Justifier.

163 SOLUTIONS 9 EXERCICE :. BC(0;; ) et BD( ;; ). Les coordonnées de BC et BD ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs BC et BD ne sont pas colinéaires donc les points B, C et D sont non alignés et déterminent un plan.. AD(; ; ), AB(; ;0) et AC(;0; ). Cherchons l existence de deux réels x et y tels que AD= xab+ yac Soit = x+ y = x = y soit x = et y = mais la première équation n'est pas vérifiée. Donc AD ne s écrit pas comme combinaison linéaire des vecteurs AB et AC. Donc les 4 points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.. AC= 9+ 9 = 8 =, AD= = et CD = =. On remarque que AD = CD donc ACD est isocèle en D. De plus, AD² + CD² = AC² donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, 4. L équation du cône est de la forme x² + z² = ky². Le triangle ACD est rectangle en D. Or la cône passe par A donc 0² +7² = k soit k = 49 donc le cône a pour équation x² + z² = 49y². Le demi angle au sommet α est un angle aigu tel que tan² α =49 et tan α 0 donc tan α =7 soit α 8,9. EXERCICE :. RS = RA + AB + BS = AB + AB + BC = AB + BC TU = TE + EG + GU = EH + EG + GF 4 5 = BC + (AB + BC) BC = AB + BC 4. On remarque que TU = 4RS donc les vecteurs TU et RS sont colinéaires, donc les droites (TU) et (RS) sont parallèles, Donc les 4 points R, S, T et U sont coplanaires.

164 EXERCICE : E [AB] donc E (ABC) et F [AC] donc F (ABC). Les droites (EF) et (BC) sont coplanaires non parallèles donc (EF) et (BC) sont sécantes en un point I. F [AC] donc F (ACD) et G (ACD). Les droites (FG) et (CD) sont coplanaires non parallèles donc (FG) et (CD) sont sécantes en un point N. I (BC) donc I (BCD) et N (CD) donc N (BCD). I (EF) donc I (EFG) et I (FG) donc I (EFG). Donc la droite (IN) est incluse dans les plans (BCD) et (EFG). (IN) et (BD) sont coplanaires non parallèles donc sécantes en un point M. Conclusion : A Le plan (EFG) coupe la face ABC selon [EF], coupe la face ACD selon [FN], coupe la face ABD selon [EM] F et coupe la face BCD selon [MN]. E G I B M N D C EXERCICE 4 :. Considérons les 4 points A, H, B et E, ou plus particulièrement les droites (AB) et (HE) : On sait que (CD) // (HE) car les faces latérales d un prisme droit sont des rectangles donc (HE) est parallèle au plan de base (ABCD). et que, dans le plan (ABCD), les droites (AB) et (CD) sont sécantes comme cotés non parallèles du trapèze de base. Or, si une droite d est parallèle à une droite d un plan, alors d est nécessairement non coplanaire avec toutes les droites sécantes à dans ce plan. Donc les droites (AB) et (HE) ne sont pas coplanaires, Donc les 4 points A, B, H et E ne sont pas coplanaires, donc les droites (AH) et (BE) ne sont pas coplanaires.. Considérons les points A, G, H et D, ou plus particulièrement les droites (AD) et (GH) : ABCDEFGH est un prisme droit à base trapézoïdale, donc les bases ABCD et EFGH sont trapèzes donc les 4 arêtes [AD], [BC], [GH] et [EF] sont parallèles. Les droites (AD) et (GH) sont parallèles donc coplanaires, Donc les 4 points A, G, H et D sont coplanaires. Or le quadrilatère AGHD est un trapèze non rectangle, Donc les droites (AG) et (HD) sont sécantes.

165 DEVOIR NUMERO 40: Espace, Optimisation EXERCICE L'espace est rapporté à un repère orthonormal. Soient les points A( ;; ), B(- ;0 ;5 ), C( ; ; ), D(- ;0 ; ), E( ; ; ).. Montrer que A,B, et C définissent un plan. La droite (DE) est-elle parallèle au plan? EXERCICE Soit ABCD un tétraèdre. Soit M,N,P et Q les points définis par :!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!" AM = AB, AN = AC, DP = DB et CQ = CD 4 5. Faire une figure. Justifier que les droites (MN) et (BC) son sécantes en un point R.!!!"!!!"!!!"!!!"!!!". On pose MR = xmn. Exprimer BR en fonction de x, BC et BA 4. En déduire x.!!!"!!!"!!!"!!!" 5. Exprimer PQ et PR en fonction de BC et BD 6. En déduire que les point P, Q et R sont alignés. EXERCICE!!!"!!!"!!!"!!!" Soit A,B,C,D,E 5 points de l'espace tels que BE = BC et AE = AD.!!!"!!!"!!!" Soit M tel que MC + MD = ME.!!!"!!!"!!!" Montrer que les vecteurs AD, BC et EM sont coplanaires. EXERCICE 4 Un triangle rectangle T a pour périmètre. On note x et y les côtés de l'angle droit.. Calculer y en fonction de x. Montrer que le nombre x vérifie 0 x 6.. Calculer, en fonction de x, l'aire f(x) du triangle T.. Déterminer la valeur de x telle que l'aire du triangle soit maximum.

166 SOLUTIONS 40 EXERCICE. A,B, et C définissent un plan.!!!" AB!!!" ; AC 0. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc A,B et C forment un plan. (DE) est-elle parallèle au plan?!!!"!!!"!!!" (DE) est parallèle au plan ABC si et seulement si les vecteurs DE, AB et AC sont coplanaires. 4!!!" DE, 0!!!" AB!!!" ; AC 0!!!"!!!"!!!" Cherchons s'il existe x et y tels que DE = x.ab + y.ac. 4 = x+ y!!!"!!!"!!!" DE = x.ab + y.ac = x x = ;y = 0 = x y Donc (DE) est parallèle au plan (ABC).

167 EXERCICE. figure.. (MN) et (BC) sécantes. Les droites (MN) et (BC) sont dans le plan ABC et ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.. BR!!!" en fonction de x, BC!!!" et BA!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!" BR = BM + MR = BA + xmn!!!"!!!"!!!"!!!" = BA + x ( MB + BC + CN )!!!"!!!"!!!"!!!" = BA + x AB BC CA + +!!!"!!!"!!!"!!!"!!!" = BA+ x AB+ BC+ ( CB+ BA) 4 x!!!" x!!!" = BA + BC 6 4. Calcul de x!!!"!!!" Les points B,R et C sont alignés donc BR = y.bc!!!" 4 x!!!" x!!!" Par suite y.bc == BA + BC. Les points ABC n'étant pas alignés, cette égalité 6 implique x = 4 et y = 0,5x =!!!"!!!"!!!"!!!" 5. PQ et PR en fonction de BC et BD.!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!" PQ = PD + DQ = BD + DC = BD + ( DB + BC) = BD + BC !!!"!!!"!!!"!!!"!!!" PR = PB + BR =.BD +.BC 4 6. P,Q,R alignés.!!!"!!!" De la question 5, on déduit que PR = 5PQ. D'où le résultat demandé.

168 EXERCICE A partir des trois points A, B et C, construisons la figure des points ABCDE. Cela donne : Cette figure montre que les 5 points sont dans une même plan donc les vecteurs!!!"!!!"!!!" AD, BC et EM sont coplanaires. Autre méthode par le calcul vectoriel!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!"!!!" ME = MC + MD = ME + EC + ME + ED = BC + AD

169 EXERCICE 4

170 DEVOIR NUMERO 4: Etude de fonctions. Etude d'une fonction P Soit P la fonction définie sur! par : P(x) = x - x - a. Etudier les variations de P. Dresser son tableau de variation. b. Tracer la représentation graphique de P. c. Montrer que l'équation P(x) = 0 admet une seule racine! et que! appartient à l'intervalle [,6 ;,7] d. Déterminer le signe de P(x) en fonction de x.. Etude d'une fonction f. x Soit f la fonction définie par : f(x) =. On désigne par (C) sa représentation + x graphique dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité 4cm. a. Donner le domaine de f. b. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. c. Etudier les variations de f (on utilisera les résultats du.) et dresser son tableau de variation. d. Ecrire une équation de la droite (") tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 0. Etudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la droite " dans l'intervalle ]- ; [. e. Quelle est l'équation de la tangente (T) à (C) au point. Montrer que la courbe (C) est située au dessus de(t). f. Tracer (C), (") et (T).

171 . Etude de fonction P SOLUTIONS 4 a. Variations de P. P'(x) = 6x - 6x = 6x(x-). x - 0 +# f'(x) f(x) b. Tracer la représentation graphique de P.

172 c. P(x) = 0 admet a une seule racine!.! Sur ]- ; [ l'étude précédente montre que P(x)<0. L'équation n'a donc pas de solution sur cet intervalle.! Sur ] ; + [, P(x) >0. En effet, sur cet intervalle, P est croissante donc x$ implique P(x) $ P(). Ce qui entraîne P(x) $ donc P(x) % 0.! Sur [ ; ], la fonction P est croissante et dérivable. P est donc une bijection de l'intervalle [ ; ] vers l'intervalle [P() ; P()] c'est à dire vers l'intervalle [- ; ]. Cela signifie que tout élément de [- ; ] à un antécédent par P. Ceci est vrai en particulier pour le nombre 0. Il existe donc un unique réel! appartenant à [ ; ] tel que P(!)=0.! En calculant P(,6) et P(,7) on constate que P(,6) <0 < P(,7) Ce qui implique que,6 <! <,7. d. Déterminer le signe de P(x) en fonction de x. L'étude précédente montre que:! Si x &! alors P(x) & 0! Si x $! alors P(x) $ 0.. Etude de f. a. Domaine de f. Le domaine de f est!-{}.

173 b. Limites de f aux bornes de son domaine de définition.! Limite en + ( - ) x Quand x tend vers + (- ), f(x) = se comporte comme + x x donc tend vers 0.! Limite en - ( par valeurs supérieures). Quand x tend vers - +, -x tend vers et +x tend vers 0 + donc x f(x) = tend vers + + x! Limite en - ( par valeurs inférieures) Quand x tend vers - -, -x tend vers et +x tend vers 0 - donc x f(x) = tend vers -. + x c. Variations de f. x x P(x) f'(x) = = (+ x) (+ x) Le signe de f '(x) est le même que celui de P(x) vu à la question précédente. x - -! +# f'(x) f(x) f(!) 0 d. Equation de la droite (").! L'équation de " est : y - f(0) = f '(0)x. f(0) = ; f'(0) = - d'où (") a comme équation y = -x +.! Position de la courbe (C) par rapport à la droite " dans l'intervalle ]- ; [. Cette position est donnée par le signe de f(x) - (-x+) sur ]- ; [. f(x) ( x + ) = x(x ) + x. Sur ]- ; [, x- < 0, +x x > 0 donc < 0. D'où le résultat: + x! Si x $ 0 alors f(x) - (-x+) & 0 donc (C) est au dessous de (").! Si x $ 0 alors f(x) - (-x+) $ 0 donc (C) est au dessus de (").

174 EXERCICE DEVOIR NUMERO 4 ETUDESDE FONCTIONS EXERCICE

175 EXERCICE SOLUTION 4

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177

178 EXERCICE

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180

181 e. Tangente (T).! L'équation de (T) est y - f() = f '()(x-). f()=0, f '() = -0,5. (T) a donc comme équation : y = (x ).! Pour montrer que (C) est au dessus de (T), étudions le signe de f(x) + (x ). (x )(x ) f(x) + (x ) = (x ) =. + x + x Faisons un tableau pour connaître le signe de cette expression. x - x x x (x )(x ) + x Pour x>-, f(x) + (x ) >0 (C) est au dessus de (T) pour x > - f. Tracés de (C), (") et (T).

182 EXERCICE DEVOIR NUMERO 4 ETUDE DE FONCTION ET ESPACE. Soit la fonction f définie par : f(x) = ( x ) x. On appellera (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j ) d unité cm.. Déterminer son ensemble de définition.. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. b. En donner lorsque cela est possible une interprétation graphique.. a. Déterminer les réels a, b et c pour que si x on a c f(x) = ax + b+. x+ b. En déduire que la droite ( ) d équation y = x - est asymptote oblique à (C)? c. Etudier la position de (C) par rapport à ( ). 4. Montrer que le point I ( ; -) est centre de symétrie de la courbe (C). 5. Calculer la fonction dérivée de f, et en déduire ses variations. 6. Faire le tableau de variations. 7. Déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe (C) au point d abscisse. 8. Dessiner (C), ses asymptotes et ses tangentes remarquables. EXERCICE Soit ABCDEFGH un cube. On définit les points I, J, M et N par les relations vectorielles suivantes : AI = AD, EJ = EF, EM = EH, DN = DC. Montrer que (IJ) est parallèle au plan (DMN).

183 EXERCICE Soit ABCD un tétraèdre. Les points I et J sont respectivement les milieux de [AD] et de [BC]. On désigne par E le point tel que BDCE soit un parallélogramme. Faire une figure () Dessiner l intersection G de la droite (IE) et du plan ABC () Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC. EXERCICE 4 Répondre par VRAI OU FAUX aux questions () () () (4) (5) (6) suivantes. En justifiant la réponse. Les QCM sont fréquemment utilisés actuellement dans les examens. Soit f la fonction définie par : f ( x) = sinxsin x. On désigne par ( ) () f est impaire. C sa courbe représentative. () f est périodique de période π. () Pour construire la courbe( C ), il suffit d étudier f sur l intervalle [ 0;π ]. (4) Le point d abscisse x π = est centre de symétrie de ( ) C. (5) ( ) f ' x = sin xsin4 x. π π (6) Sur l intervalle ; 4 l équation ( ) 0 f x = a une solution unique.

184 EXERCICE SOLUTIONS 4

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187 EXERCICE Méthode : Montrons que les vecteurs :IJ, DM et DN sont coplanaires. Pour cela exprimons chacun de ces trois vecteurs à l aide des vecteurs non o o o coplanaires : AB, AD et AE. IJ = IA + AE + EJ = AD + AE + EF = AD + AE + AB. DM = DH + HM = AE EH = AE AD. DN = DC = AB o On constate que IJ = DM + DN. Cette égalité montre bien que : IJ, DM et DN sont coplanaires. Comme DM et DN ne sont pas colinéaires, ils définissent un plan. Par suite (IJ) est parallèle au plan (DMN).

188 EXERCICE () Dessin de l intersection G de la droite (IE) et du plan ABC L intersection est Le point G. G est l intersection de (AJ) et de (IE). () G est le centre de gravité du triangle ABC. Dans le triangle EDA : o (EI) est la médiane issue de E. o (AJ) est la médiane issue de A. Donc le point G intersection de ces deux médianes est le centre de gravité de ce triangle. Par suite : AG = AJ. Dans le triangle (ABC), la droite (AJ) est la médiane issue de A avec AG = AJ. Donc G est le centre de gravité de ce triangle.

189 EXERCICE 4 () FAUX. f est paire. () FAUX f est de période π. () VRAI.Puisque f est de période π, il suffit d étudier f sur un intervalle de longueur π, par exemple [-π ; π]. Mais comme f est paire, il suffit de limiter l étude à [0 ; π]. (4) FAUX. Le point d abscisse x C est la droite d équation x π = n est pas centre de symétrie de ( ) π π π Pour cela montrons que : f h = f + h C. = qui est axe de symétrie pour la courbe ( ) π π π π π = = = f h sin h sin h sin h sin h coshcos h π π π π π + sin sin sin sin cos cos = + + = + + = f h h h h h h h π π π π π Explication : sin h sin h cosh, sin h sin h sin h cosh = + = + = + = (5) VRAI. ( ) f ' x = sin xsin4 x. ( ) ( ) ( ) f ' x cosx sin x sinx sin x cos x sin x cosx sin x sinx cos x sin x sin 4x = + = + =. Explication : ( cosx sin x sinxcos x) π π (6) VRAI. Sur l intervalle ; 4 π π Sur ; 4 C. + est la formule sin(a+b) avec a = x et b = x. l équation ( ) 0 : ( ) π π Or sur ; 4 f x = a une solution unique. f x = 0 sinx = 0 ou sin x = 0 sinx = 0 ou sin x = 0. π π sinx 0. Donc sur ; 4 : f ( x) = 0 sinx = 0 π π π π Si x ; alors x ; 4 4. Le seul nombre qui annule le sinus sur π π ; 4 est π π Donc sinx = 0 x = π x = Conclusion : la seule valeur qui annule ( ) π π f x sur ; 4 est π x =.

190 Courbe de f avec les axes de symétries π x = et x π = les points A( π ;0) et B ( π;0)

191 DEVOIR NUMERO 44 ETUDES DE FONCTIONS ET VECTEURS DE L ESPACE EXERCICE Soit la fonction f définie sur \ {-} par f(x) = x + x x+. On appellera (C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j ) d unité cm.. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. b. En donner lorsque cela est possible une interprétation graphique.. a. Vérifier que : f ( x) 4x = x. x + b. Peut-on en déduire que la droite (d) d équation y = x est asymptote oblique à (C f )? c. a. Déterminer les réels a, b et c pour que si x - on ait : f(x) = ax + b +. x+ b. Montrer que la droite (D) d équation y = x+ 4 est asymptote oblique à la courbe (C f ). c. Etudier la position de (C f ) par rapport à (D). 4. Etudier les variations de la fonction f. Faire le tableau de variations. 5. Montrer que le point Ω (- ; 5) est centre de symétrie de la courbe (C f ). 6. a. Déterminer les coordonnées des points A et B d intersection de (C f ) avec l axe des abscisses. b. Déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe (C f ) en ces points. 7. Dessiner (C f ), ses asymptotes et ses tangentes remarquables.

192 EXERCICE Soit ABCD un tétraèdre. On définit les points K et G par les relations vectorielles suivantes : AK = AD et GB + GC GD = 0. Soit I le milieu de [GK].. Montrer que. Montrer que AG = AB + AC AD. AI = AB + AC.. Que peut-on en déduire sur la position du point I? EXERCICE Répondre par VRAI ou FAUX aux questions (), (), (), (4), (5) et (6) suivantes. Chaque question rapporte point par réponse exacte et fait perdre point par réponse fausse. Aucune justification demandée. Soit f la fonction définie par : f ( x) = cos4x + sinx. On désigne par ( C ) sa courbe représentative. () f est paire. () f est périodique de période π. () Pour construire la courbe ( C ), il suffit d étudier f sur l intervalle [ 0;π ]. (4) La droite d équation : x π 4 = est axe de symétrie de ( ) C. (5) f ( x) = x( x) ' 4cos sin. (6) Les nombres 5 π et 4 π sont solutions de l équation : ( ) f ' x = 0.

193 SOLUTIONS 44 EXERCICE. a. Calcul des limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Limite en l infini. En l infini, le numérateur de l expression x + x se comporte comme x et le x+ dénominateur comme x. Par suite en l infini la fonction se comporte comme x. Il en résulte donc que : lim f ( x) = et lim f ( x) x + x = +. Limite en - par valeur supérieure. Lorsque x tend vers - avec x > -, x+ >0. Par suite la fonction f tend vers -. x + x tend vers - 4 et x + tend vers 0 avec Limite en - par valeur inférieure. Lorsque x tend vers - avec x < -, x+ <0. Par suite la fonction f tend vers +. b. Interprétation graphique. x + x tend vers -4 et x La droite d équation : x = - est asymptote à la courbe de f.. a. Il est facile de vérifier que : f ( x) 4x = x. x + b. La droite (d) d équation y = x n est pas asymptote oblique à (C f ) car 4x lim ( f ( x) x) = lim 0 ± x ± x + x a. Calcul des réels a, b et c pour que si x - on ait : c f(x) = ax + b +. x+ + tend vers 0 avec ( ) ax a b x b c c f(x) = ax + b + f(x) = x+ x+ ( ) ax a b x b c et. En identifiant les polynômes x + x on déduit que : a, a b, b c 0 = + = + =.

194 Il en résulte alors que les réels a,b et c sont : a =, b = 4, c = 4. On a alors l expression : f ( x) 4 = x+ 4 x + b. La droite (D) d équation y = -x + 4 est asymptote oblique à la courbe (C f ). ( ) Calculons : lim f ( x) ( x+ 4) x ± 4 lim ( f ( x) ( x+ 4) ) = lim = 0. ± x ± x + x ( ) Puisque : f ( x) ( x ) lim + 4 = 0, la droite (D) est asymptote oblique à la courbe (C f ). x ± c. Etudier la position de (C f ) par rapport à (D). La position (C f ) par rapport à (D) est donnée par le signe de : f ( x) ( x 4) ( ) ( x 4) f x =. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous. x + x Signe de ( ) ( x+ 4) f x Position de (C f ) par rapport à (D) ( C f ) en dessus de (D) ( Cf ) au dessous de (D) 4. Variations de la fonction f. Sur -{-}, la fonction f est dérivable et f ( x) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 4 x + x + x ' = + = = x + x + x+. Nota : en calculant f '( x ) à partir de l expression initiale de f on trouve : f '( x) = x x+ ( x + ) Le signe de f '( x) est le même que le signe de :( x)( x) Il est facile de justifier le signe de f '( ) +. x indiqué dans le tableau de variation ci-dessous.

195 x f '( x ) f ( x ) Le point Ω (- ; 5) est centre de symétrie de la courbe (C f ). Méthode. Soit h Œ. Montrons que ( ) f( + h) + f h = 5 4 f h h h ( + ) = 5, ( ) 4 f h = 5+ h+ D où h ( ) f( + h) + f h = 5 Méthode. Cherchons la fonction g dont la représentation est (C f ) dans le repère :( ; i ; j) Soit M un point de coordonnées (x, y) dans le repère ( O ; i ; j) Ω. et de coordonnées (X, Y) dans le repère : ( ; i ; j) Ω. On a entre x, y, X et Y les relations : x = X. y = Y + 5 Soit M un point du plan. M Œ (C f ) y f ( x) = y = x+ 4 Y + 5 = X Y = X. x + X + X ( ) Donc un point du plan est sur (C f ) si et seulement si ses coordonnées dans le repère ( ; i ; j) Ω 4 vérifient la relation : Y = X. Ceci signifie que la fonction g dont la X représentation est (C f ) dans le repère ( ; i ; j) Ω. est définie par : ( ) Cette fonction est impaire, donc le point Ω est bien centre de symétrie. 4 g X = X. X

196 6. a. Déterminer les coordonnées des points A et B d intersection de (C f ) avec l axe des abscisses. Les abscisses des points d intersection de (C f ) avec l axe (xx ) sont les racines de l équation f ( x ) = 0. Cette équation a deux racines x = 0 et x =. Les points A et B cherchés sont A(0, 0) et B ( ; 0) b. Déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe (C f ) en ces points. Tangente en A Son équation est de la forme : y f(0) = f (0)(x - 0) ce qui donne y = x. Tangente en B = ou encore 4 Son équation est de la forme : y f() = f ()(x - ) ce qui donne y ( x ) 9 y = x Courbe (C f ) avec ses asymptotes et ses tangentes remarquables. y 8 C 4 A -5 o B 5 0 x -4

197 EXERCICE. Le point G est défini par la relation : GB + GC GD = 0 soit GA + AB + GA + AC GA AD = 0 soit GA + AB + AC AD = 0. AI = AK + KI AI= AD+ KG d où AG = AB AC AD AI = AD + (KA + AG) AI = AD + KA + ( AB AC AD) AI = AD AD + AB+ AC AD 6 6 donc AI = AB + AC. AI s écrit comme combinaison linéaire des vecteurs AB et AC donc les points A, B, C et I sont coplanaires donc le point I est dans le plan (ABC). C est son centre de gravité. remarque : les coefficients de la combinaison étant positifs, on peut même préciser que le point I est sur la face ABC du tétraèdre.

198 EXERCICE REPONSES F F V V V V π () FAUX. La fonction f n est ni paire ni impaire. Par exemple f = 4 π π π π π π () FAUX. f + = 4 et f = 4 donc f + f 4 4 π et f = 4 En réalité, la fonction f est périodique de période π. En effet : π la fonction x cos 4x est de période car ( ) π cos4 x = cos 4 x+ π = cos4 x + la fonction x sinx est de période π car sinx = sin( x + π ) = sin( x + π ). () VRAI. Puisque la période de f est π, pour construire la courbe ( C ), il suffit d étudier f sur l intervalle [ 0;π ]. (4) VRAI. π Car f h 4 et π f + h 4 sont deux nombres sont égaux. En effet : f π h cos 4 π h sin π h cos 4h sin π + h 4 = = o ( π ) π π cos( π + α ) = -cosα et sin + α = cosα. Donc f + h = cos4h+ cosh 4 f π h cos 4 π h sin π h cos 4h sin π h cos 4h cos h 4 = + = + = o ( π ) (5) VRAI ( ) = + = + = ( ) f ' x 4sin4x 4cosx 8sinxcosx 4cosx 4cosx sin x. ( ) ( ) Formules utilisées: cos ( ax + b) ' = asin ax + b, ( ) sina = sinacosa. (6) VRAI. Les nombres 5 π et 4 ( sin ax b )' acos( ax b) π sont solutions de l équation : ( ) + = +, et f ' x = 0. 5π 5π 5π 5π 5π π π f ' 4 cos x sin x 4cos sin 4cos sin 0 4 = 4 4 = = = π π π π π f ' 4cos x sin x 4cos sin 4 X 0 = = = = 6 6.

199 DEVOIR NUMERO 45: Espace Barycentre EXERCICE Soit un tétraèdre ABCD et M un point de la face ABC. On appelle P le plan passant par M et parallèle à la face ACD. Dessiner l'intersection de P avec les faces du tétraèdre. EXERCICE!!! L'espace est rapporté à un repère ( O,i, j,k) 5 "! "! ""! Soit les vecteurs u, v et w 0 et les points A( ; ; -) et B (- ; ; -4) "! "! ""!. Montrer que les vecteurs u, v et w sont coplanaires. "! "!. Montrer que B appartient au plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v. EXERCICE On considère dans le plan un triangle ABC. Soient G le barycentre du système {(A,),(B,),(C,)}, Q le barycentre de {(A,),(C,)} et R le barycentre de {(A,),(B,)}.. Construire les points R, Q et G. Démontrer que les droites (BQ) et (CR) passent par G.. Soit P le milieu de [BC]. Démontrer que les points A, P et G sont alignés. Exprimer PG en fonction de PA.

200 EXERCICE 4 Soit un triangle ABC. B' le milieu de [AC], C' le milieu de [AB] et I le milieu de [BB']. On désigne par G le point d'intersection de (IA) et de (B'C').. Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABB'.. Déterminer deux nombres β et γ tels que G soit le barycentre du système {(B',β) (C',γ }.. Déterminer trois nombres a, b et c tels que G soit le barycentre du système {(A,a),(B,b),(C,c)}. EXERCICE 5 Soit ABCD un carré.. Montrer que le barycentre du système {(A,) (C,) (D,-)} est B.. Montrer que le vecteur V =. MB MA MC a une valeur constante indépendante de la position du point M. Exprimer V à l'aide de points de la figure.. Déterminer l'ensemble E des points M tels que: MA + MC MD = MB MA MC

201 EXERCICE SOLUTIONS 45 EXERCICE "! "! ""!. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires. "!!! "! "! ""! On a w = u v donc les vecteurs u, v et w sont coplanaires. "! "!. B appartient au plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v. """! "! """! "! "! On a AB = w donc d'après la question précédente, les vecteurs AB, u et v sont coplanaires donc Le point B appartient au plan passant par A et de vecteurs directeurs "! "! u et v EXERCICE. Construction des points R, G, Q. a. Construction de R. R est le barycentre de {(A,),(B,)} donc d'après la formule de Leibniz, Quel que soit M: 4.MR =.MA + MB Si on place M en A, on obtient: b. Construction de Q. 4.AR = AB. Q est la barycentre de {(A,),(C,)} donc d'après la formule de Leibniz, Quel que soit M: 4.MQ =.MA + MC Si on place M en A, on obtient: 4.AQ = AC. c. Construction de G.

202 ! G est le barycentre du système {(A,),(B,),(C,)}. Le barycentre de {(A,),(B,)} est R. En vertu de la propriété d'associativité du barycentre, G est le barycentre du système {(R,4),(C,)}.! d'après la formule de Leibniz, Quel que soit M: 5.MG = 4.MR + MC Si on place M en R, on obtient: 5.RG = RC.. (BQ) et (CR) passent par G.! G est le barycentre du système {(R,4),(C,)} donc G est sur la droite (RC).! G est le barycentre du système {(A,),(B,),(C,)}. Le barycentre de {(A,),(C,)} est Q. En vertu de la propriété d'associativité du barycentre, G est le barycentre du système {(Q,4),(B,)}. Donc G est sur la droite (QB).. Points A,P et G.! G est le barycentre du système {(A,),(B,),(C,)}. Le barycentre de {(B,),(C,)} est P. En vertu de la propriété d'associativité du barycentre, G est le barycentre du système {(A,),(P,)}.! d'après la formule de Leibniz, Quel que soit M: 5.MG =.MA +. MP Si on place M en P, on obtient: 5.PG =. PA.

203 EXERCICE 4. G centre de gravité de ABB'. Dans le triangle AB'B, les droites (AI) et (B'C') sont deux médianes. Leur point d'intersection G est donc le centre de gravité du triangle.. Calcul de β et γ. Sur chaque médiane, G est situé au à partir du sommet. Il en résulte que B ' G =.B' C'. Soit encore C ' G =.C' B' C ' G =.C' B' implique :.C' G = C' B' C'est à dire.c' G = C' G + GB' soit encore : GB ' +.GC' = 0. L'égalité précédente signifie que G est le barycentre de {(B',) (C',)}.. Calcul de a, b, c. Le point C' est le barycentre de {(A,) (B,)} car C' est le milieu de [AB]. Le point B' est le barycentre de {(A,) (C,)} car B' est le milieu de [AC]. G est le barycentre de {(B',) (C',)} donc aussi de {(B',) (C',4)} De la propriété d'associativité du barycentre, on déduit que : G est le barycentre de { (A,) (C,) (A,) (B,) } c'est à dire de { (A,) (B,) (C,) }

204 EXERCICE 5. Le barycentre du système {(A,) (C,) (D,-)} est B. On a: BD = BA + BC soit encore BA + BC BD = 0. Cette égalité signifie que le barycentre du système {(A,) (C,) (D,-)} est B. "!. Le vecteur V =. MB MA MC a une valeur constante. Appliquons la relation de Chasles. Le vecteur V =. MB MA MC s'écrit alors: V =. MB MB + BA MB + BC = BA + BC = DB. L'expression de V trouvée est bien indépendante de M.. Ensemble E des points M tels que:! Le barycentre du système {(A,) (C,) (D,-)} est B. Donc d'après la formule de Leibniz MA + MC MD = MB! On a vu à la question. que :. MB MA MC = DB A partir des deux résultats précédents, on peut donc écrire que: MA + MC MD = MB MA MC MB = DB MB = DB. L'ensemble des points M est donc l'ensemble des points M tels que MB=DB. Cet ensemble est le cercle de centre B de rayon DB.

205 EXERCICE DEVOIRS NUMERO 46 SUITES ET BARYCENTRE Déterminer le sens de variation des suites (U n ) suivantes: a. b. U, 5 = n n n n n n 0 U = U U + + ; U = EXERCICE Déterminer les limites des suites suivantes en justifiant les résultats: a. b. Un = n 5n. U n = n + n n+ 4 c. n n 0 U = U + 5,U = U = + U,U = d. n n 0 Un c. U = n+,u 0 + U =. n Un Montrer d'abord que pour tout n>0, 0 < Un+ < Puis que, pour tout n>0 on a: 0 < Un <. n En déduire ensuite la limite. EXERCICE a. Calculer S = b. Calculer S =

206 EXERCICE 4 Soit (U n ) la suite définie par U 0 = et Un+ = Un+ 4 pour n a. Calculer les 5 premiers termes de cette suite. b. Donner une interprétation géométrique de (U n ). Quelles conclusions peut-on déduire?. c. On pose V n = U n -. Montrer que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. d. Calculer V n en fonction de n. En déduire U n en fonction de n. La suite (U n ) a-t-elle une limite? Si oui laquelle. e. Calculer en fonction de n : S n = U 0 + U +.+ U n EXERCICE 5 Soit la suite (U n ) définie pour n par : Un = n n a. Etudier le sens de variation de cette suite. b. Montrer que pour tout n,. n n n n c. En déduire que la suite (U n ) est majorée. (Admettre b. si vous n'avez su le faire) EXERCICE 6 a. Soit la suite (U n ) arithmétique telle que: U n = -8, U 0 =5 et U 0 +.+U n =-8 Calculer n et la raison r b. Soit la suite (U n ) géométrique telle que: U n = 7 ; raison q=, et U 0 +.+U n =548 Calculer n et U.

207 EXERCICE 7 On considère un tétraèdre ABCD. Soit E tel que: A CE = CB + CD. C B D. Placer le barycentre G des points B,C,D affectés des coefficients, -, et. le barycentre H des points A,C,D affectés des coefficients,, -. a) Déterminer l'ensemble des points M tels que: ( MA + MC MD ). ( MB MC + MD ) = 0 b) Déterminer l'ensemble des points M tels que: MA + MC MD = MB MC + MD c) Déterminer l'ensemble des points M tels que: MB + MD ME = MB MC + MD Nota: u = v u = v ( u v ).( u + v ) = 0

208 EXERCICE Sens de variation des suites (U n ). SOLUTIONS SUCCINCTES 46 a. U, 5 = n n n Un+ Cette suite est à termes positifs. Comparons à. U n Un+,5n = U n+ n Résolvons, 5n n+, 5n, 5n,5n n n 4 n +. La suite est croissante. + n+ b. n n n 0 U U U ; U + = + = ( ) n+ n n n n U U = U U + = U. La suite est croissante. EXERCICE Limites des suites. a. b. Un n 5n. U n = tend vers + = n + n n+ 4 e. n n 0 tend vers + U = U + 5,U = tend vers + car c'est une suite arithmétique. U = U,U = tend vers 0 car c'est une suite géométrique de raison dans ]- ; [. f. n+ n 0 Un c. U = n+,u 0 + U =. n 0 < U n + La formule montre que si U n est positif, le terme U n+ l'est aussi. Comme U 0 est positif, tous les U n sont positifs. U < n+ Un U > 0 donc U + > donc 0 < < U + n n n Puisque U n >0, on peut multiplier Un Un chaque membre de l'inégalité précédente par U n ce qui donne 0 < < U + n donc U < n+ Un

209 Pour tout n>0 on a: 0 < Un <. n Ecrivons l'inégalité précédente de n à ceci donne: Un 0 < Un+ < U 0 < Un <. n U 0 < U < U0 0 < U < En multipliant membre à membre ces inégalités, on obtient le résultat demandé. On peut faire cette opération car tous les termes sont strictement positifs. NOTA: pour bien comprendre, écrire toutes les inégalités ci-dessus en prenant par exemple n=5. Limite. Lorsque n tend vers l'infini, tend vers 0 donc d'après le théorème des n gendarmes, la suite (U n ) aussi. EXERCICE a. Calcul de S= S est la somme des 4 premiers termes d'une suite arithmétique (U n ) de raison 07 de premier terme n(n ) x4 D'où S = nu + r = 4x x07 = 7500 b. Calculer S = S est la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique (U n ) de raison de premier terme U = S= = = = 0, Nota: On peut estimer que 6 0 Ce qui simplifie le calcul.

210 EXERCICE 4 (U n ) définie par U 0 = et Un+ = Un+ 4 pour n a. Calcul des 5 premiers termes de cette suite. U0 = ;U = 4 ;U = ;U = ;U 4 = ;U5 = b. Donner une interprétation géométrique de (U n ). On remarque que la suite converge vers et qu'elle est croissante c. V n = U n -. (V n ) est une suite géométrique. Vn = Vn V0 = Raison= d. V n en fonction de n. U n en fonction de n. n Vn = x ; Un= x La suite (U n ) a comme limite. n e. Calculer en fonction de n : S n = U 0 + U +.+ U n n+ Sn = V0 + + V Vn + = V 0 + (n + ) = n + n+

211 EXERCICE 5 (U n ) définie pour n par : Un = n n a. Sens de variation de cette suite. U U. Ce nombre est positif donc la suite croît. (n ) n = n+ n + + b. Pour tout n,. n n n n On a n n donc n n Or : n n n + n n+ n n n+ n On a donc a la fois n n n n+ n n ( n )( n + n ) soit encore n n n n n n n n n n n n n n n n n n En multipliant membre à membre on a: n n n n ( )( + ) c. En déduire que la suite (U n ) est majorée. ( )( + ) Mais: L'inégalité équivaut à : n n n n n n n n Ecrivons cette dernière inégalité pour n, n-,,,. Cela donne: n n n n n n (n ) n n n (n ) n.. Ajoutons membre à membre ces inégalités. On trouve alors que: On trouve que: Soit que Un n n n n Donc U n vérifie : Un soit Un n

212 EXERCICE 6 c. U n = -8, U 0 =5 et U 0 +.+U n =-8 Calcul de n et de la raison r Réponses: n= et r=- d. U n = 7 ; raison q=, U 0=5 et U 0 +.+U n =548 Calcul de n et U. Réponses: n=6 et U =70.

213 EXERCICE 7

214 EXERCICE Soit ( ) n. DEVOIR NUMERO 47 SUITES ET BARYCENTRE + U n U la suite définie par : Un+ = 4 4 U a. Calculer les termes : U ; U. n et U 0 =. b. Dans un repère orthonormal (unité 4 cm) tracer la droite D d équation y=x et la courbe P représentative de la fonction : f + x : x 4 4 x sur l intervalle : [ 4;]. c. Montrer que la droite D est tangente à la courbe P en un point dont on déterminera les coordonnées. d. Utiliser les tracés précédents pour construire sur l axe des abscisses les points A, A, A d abscisses respectives : U; U ; U. e. D après le tracé précédent, quel est le signe de : U n? On admettra ce résultat dans la suite du problème. f. Du tracé précédent, que peut-on conjecturer sur la convergence de ( U n )?. Montrer que la suite ( U n ) est majorée par -.. Donner le sens de variation de : ( U n ). 4. Soit ( V n ) la suite définie par : V n = U +. n a. Montrer que ( V n ) est une suite arithmétique dont on donnera la raison. b. En déduire l expression de U n à l aide de n. c. En déduire la limite de la suite

215 EXERCICE ABCD est un tétraèdre, I et K sont les milieux de [AB] et [CD], J et L sont tels que : AL = AD et CJ = CB. G est le milieu de [JL].. Placer les points I, J, K et L sur la figure ci-jointe.. a. Montrer que J est le barycentre des points B et C affectés de coefficients à calculer. b. Montrer que L est le barycentre des points A et D affectés de coefficients à calculer. c. Montrer que G est le barycentre des points A, B, C et D affectés de coefficients à calculer. Montrer que G, I et K sont alignés et préciser la position de G sur la droite (IK).

216 EXERCICE. a. U ; U. SOLUTIONS 47 b. c. La droite D est tangente à la courbe P. Cherchons les points d intersection des deux courbes. Les abscisses des points d intersection des deux courbes sont les racines de l équation f(x)=x. ( ) f x = x x + 4x+ 4 x =. La droite D coupe la courbe P en un seul point I ( ; ). Il est facile de vérifier que la tangente à P en ce point est la droite D.

217 d. Construction sur l axe des abscisses les points A, A, A d abscisses respectives : U; U ; U. e. Signe de : U n. Le tracé permet de conjecturer que U n < 0 f. Du tracé précédent, on peut conjecturer que la suite ( U n ) tend vers -.. La suite ( U n ) est majorée par -. Calculons : U n + +. U n+ = ( + U ) + U 6 n = 4 U 4 U Puisque Un 0 alors 4 U n > 0 n n donc le signe de U n + + est le même que le signe de : U n +. n. En réitérant la propriété précédente, on déduit que le signe de U n + + est le même que le signe de : U 0 + c est à dire négatif. Donc U + + < 0 n

218 . Donner le sens de variation de ( U n ). CalculonsUn U n +. ( ) + + Un Un + 4Un + 4 n n+ n = 4 n = = 4 Un 4 Un 4 Un U U U U. Puisque Un alors 4 U n > 0 donc : U n U > + n 0. La suite est donc croissante. 4. Etude de la suite définie par : V n = U +. n Pour vérifier que ( ) n V n+ V est une suite arithmétique, montrons que Vn+ Vn est une constante. ( Un ) ( ) 4 U + n Vn = = = = = U 6 n n ( U + + U + + n ) Un + 6( Un + ) Un + 6 Un U La suite ( V n ) est donc une suite arithmétique de raison Expression de U n à l aide de n. n et de premier terme V 0 = 6 V n = Un U + = + V n n. Puisque ( V n ) est une suite arithmétique de raison et de 6 6 premier terme V 0 = alors : Vn = + n = n 6. 6 Il en résulte donc que : U n = n 8. n + 6 De cette expression de U on déduit que limu =. n n

219 EXERCICE. figure. Certains écrivent : B,, C,. C est juste mais mieux vaut écrire comme dans la solution. a. J est le barycentre des points B et C. CJ = CB CJ CB = 0. { } Ceci signifie par définition que J est le barycentre de ( B, )( C,) b. L est le barycentre des points A et D. AL = AD AL AD = 0. { } Ceci signifie par définition que L est le barycentre de (,)(,) A D. c. G est le barycentre des points A, B, C et D. { } G est le milieu de [JL] donc G est le barycentre de (,)(,) { } J L. { } Or J est le barycentre de ( B, )( C,) et L est le barycentre de (,)(,) A D donc, en utilisant la propriété d associativité du barycentre, on en déduit que G est le { } barycentre de ( B, )( C, )( A, )( D,) d. Montrer que G, I et K sont alignés. { } I est le milieu de [AB] donc I est le barycentre de : (,)(,) A B. { } K est le milieu de [CD] donc K est le barycentre de ( C, )( D,) { } G est le barycentre de : (,)(,)(,)(,) B C A D. En vertu de la propriété d associativité du barycentre on déduit que G est le { } barycentre de : (,4)(,) I K. { } Puisque G est le barycentre de (,4)(,) I K alors GI + GK = 0 ou encore IG = IK

220 EXERCICE DEVOIRS NUMERO 48 SUITES Déterminer le sens de variation des suites (U n ) suivantes: a. b. U, 5 = n n n n n n 0 U = U U + + ; U = EXERCICE Déterminer les limites des suites suivantes en justifiant les résultats: a. b. Un = n 5n. U n = n + n n+ 4 c. n n 0 U = U + 5,U = U = + U,U = d. n n 0 Un c. U = n+,u 0 + U =. n Un Montrer d'abord que pour tout n>0, 0 < Un+ < Puis que, pour tout n>0 on a: 0 < Un <. n En déduire ensuite la limite. EXERCICE a. Calculer S = b. Calculer S =

221 EXERCICE 4 Soit (U n ) la suite définie par U 0 = et Un+ = Un+ 4 pour n a. Calculer les 5 premiers termes de cette suite. b. Donner une interprétation géométrique de (U n ). Quelles conclusions peut-on déduire?. c. On pose V n = U n -. Montrer que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. d. Calculer V n en fonction de n. En déduire U n en fonction de n. La suite (U n ) a-t-elle une limite? Si oui laquelle. e. Calculer en fonction de n : S n = U 0 + U +.+ U n EXERCICE 5 Soit la suite (U n ) définie pour n par : Un = n n a. Etudier le sens de variation de cette suite. b. Montrer que pour tout n,. n n n n c. En déduire que la suite (U n ) est majorée. (Admettre b. si vous n'avez su le faire) EXERCICE 6 a. Soit la suite (U n ) arithmétique telle que: U n = -8, U 0 =5 et U 0 +.+U n =-8 Calculer n et la raison r b. Soit la suite (U n ) géométrique telle que: U n = 7 ; raison q=, et U 0 +.+U n =548 Calculer n et U.

222 EXERCICE Sens de variation des suites (U n ). SOLUTIONS SUCCINCTES 48 a. U, 5 = n n n Un+ Cette suite est à termes positifs. Comparons à. U n Un+,5n = U n+ n Résolvons, 5n n+, 5n, 5n,5n n n 4 n +. La suite est croissante. + n+ b. n n n 0 U U U ; U + = + = ( ) n+ n n n n U U = U U + = U. La suite est croissante. EXERCICE Limites des suites. a. b. Un n 5n. U n = tend vers + = n + n n+ 4 e. n n 0 tend vers + U = U + 5,U = tend vers + car c'est une suite arithmétique. U = U,U = tend vers 0 car c'est une suite géométrique de raison dans ]- ; [. f. n+ n 0 Un c. U = n+,u 0 + U =. n 0 < U n + La formule montre que si U n est positif, le terme U n+ l'est aussi. Comme U 0 est positif, tous les U n sont positifs. U < n+ Un U > 0 donc U + > donc 0 < < U + n n n Puisque U n >0, on peut multiplier Un Un chaque membre de l'inégalité précédente par U n ce qui donne 0 < < U + n donc U < n+ Un

223 Pour tout n>0 on a: 0 < Un <. n Ecrivons l'inégalité précédente de n à ceci donne: Un 0 < Un+ < U 0 < Un <. n U 0 < U < U0 0 < U < En multipliant membre à membre ces inégalités, on obtient le résultat demandé. On peut faire cette opération car tous les termes sont strictement positifs. NOTA: pour bien comprendre, écrire toutes les inégalités ci-dessus en prenant par exemple n=5. Limite. Lorsque n tend vers l'infini, tend vers 0 donc d'après le théorème des n gendarmes, la suite (U n ) aussi. EXERCICE a. Calcul de S= S est la somme des 4 premiers termes d'une suite arithmétique (U n ) de raison 07 de premier terme n(n ) x4 D'où S = nu + r = 4x x07 = 7500 b. Calculer S = S est la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique (U n ) de raison de premier terme U = S= = = = 0, Nota: On peut estimer que 6 0 Ce qui simplifie le calcul.

224 EXERCICE 4 (U n ) définie par U 0 = et Un+ = Un+ 4 pour n a. Calcul des 5 premiers termes de cette suite. U0 = ;U = 4 ;U = ;U = ;U 4 = ;U5 = b. Donner une interprétation géométrique de (U n ). On remarque que la suite converge vers et qu'elle est croissante c. V n = U n -. (V n ) est une suite géométrique. Vn = Vn V0 = Raison= d. V n en fonction de n. U n en fonction de n. n Vn = x ; Un= x La suite (U n ) a comme limite. n e. Calculer en fonction de n : S n = U 0 + U +.+ U n n+ Sn = V0 + + V Vn + = V 0 + (n + ) = n + n+

225 EXERCICE 5 (U n ) définie pour n par : Un = n n a. Sens de variation de cette suite. U U. Ce nombre est positif donc la suite croît. (n ) n = n+ n + + b. Pour tout n,. n n n n On a n n donc n n Or : n n n + n n+ n n n+ n On a donc a la fois n n n n+ n n ( n )( n + n ) soit encore n n n n n n n n n n n n n n n n n n En multipliant membre à membre on a: n n n n ( )( + ) c. En déduire que la suite (U n ) est majorée. ( )( + ) Mais: L'inégalité équivaut à : n n n n n n n n Ecrivons cette dernière inégalité pour n, n-,,,. Cela donne: n n n n n n (n ) n n n (n ) n.. Ajoutons membre à membre ces inégalités. On trouve alors que: On trouve que: Soit que Un n n n n Donc U n vérifie : Un soit Un n

226 EXERCICE 6 c. U n = -8, U 0 =5 et U 0 +.+U n =-8 Calcul de n et de la raison r Réponses: n= et r=- d. U n = 7 ; raison q=, U 0=5 et U 0 +.+U n =548 Calcul de n et U. Réponses: n=6 et U =70.

227 EXERCICE DEVOIR NUMERO 49: Suites Les suites suivantes sont elles arithmétiques ou géométriques ou quelconques?justifier la réponse. U n =-4n+ V n = n + EXERCICE W n n = n+ La suite suivante est géométrique de raison q positive. U 8 6 = ; U 5 = ; U n Calculer q et n = EXERCICE Calculer les sommes suivantes S = = EXERCICE 4 Soit la suite U n définie par U 0 = 5 et U n+ = U n On considère la suite V n définie par V = U 5 n a. Montrer que la suite V n est géométrique. Donner son terme initial V 0 et sa raison q. n b. Exprimer V n puis U n en fonction de n. c. Calculer la limite de V n et U n quand n tend vers +. d. S = V0 + V + V Vn et S ' = u 0 + u + u u n Calculer S et S en fonction de n.

228 EXERCICE SOLUTIONS 49 u = 4n+ n u u = 4(n+ ) + 4n = 4 n+ n La suite u n est arithmétique de raison r=4 u 0 = v n = ;v0 = ;v = ;v = ; n + 5 v v v v 0 v v v v 0 La suite v n n est pas arithmétique ni géométrique n+ w x w ; n n+ 4 n+ n+ n+ n = = = = n+ n n+ 4 n w n x n+ La suite w n est géométrique de raison 9 et w 0 = 8 EXERCICE u5 = uq = q q = = q = (q> 0) = = = = = = n n n 7 un uq ( ) ( ) ( ) n 7 n 8 EXERCICE S est arithmétique de raison r=7 et de premier terme u =96.de dernier terme u n =7 On calcule n avec un = u + (n )r 7 = (n ) (n ) =. D ou n=4 u + u = = = n S n ; S Σ est géométrique de raison 0.5 de premier terme n n n On calcule n : un = uq = ( ) q = n = n ( ) 8 8 q 64 Σ= u = = x = 8 q u = et de dernier terme un =

229 EXERCICE 4 vn+ = un+ 5= un+ 4 5= un = (un 5) = vn et v0= u0 5= La suite v n est géométrique de raison q= q = et v0 = 0 5 n n vn = 0( ) et un = 5 0( ) ; lim vn = 0 et lim un = n n n+ q 50 n+ 5 n+ S= v 0 = [ ( ) ] = [ ( ) ] ets' = S+ 5(n+ ) q 4 5 5

230 DEVOIR NUMERO 50 : Suites Les fractales

231 SOLUTION 50

232 DEVOIR NUMERO 5 SUITES,ESPACE ET STATISTIQUES EXERCICE. A,B,C, et D sont des points tels que: AB + 5 AC = 4 AD Trouver a, b, et c tels que D soit le barycentre de (A,a), (B,b), (C,c).. A,B,C, D est un carré. a. Construire les barycentres I de {(A,), (B,-), (C,) } et J de {(A,), (B,), (C,-)} b. Déterminer et représenter l'ensemble E des points M du plan tels que: EXERCICE MA MB+ MC = AB c. Déterminer et représenter l'ensemble G des points M du plan tels que: MA MB + MC = MA + MB MC Les suites suivantes sont-elles arithmétiques, géométriques ou quelconque. n 5 n 7 4n+ 5 U n = ; V n = ; W n n =. 4 + n+ 6 EXERCICE n Préciser le sens de variation des suites suivantes: U n = ; V n n+ = Vn n + EXERCICE 4 Calculer les limites des suites suivantes: 5n 4 U = ; V + = V ; W + = W W n n n n n n n EXERCICE 5 Calculer les sommes S et Σ suivantes: S = Σ = EXERCICE 6 Soit (U n ) la suite définie par U 0 =9 et Un+ = Un pour n a. Donner une interprétation géométrique de (U n ). Quelles conclusions peut-on déduire? b. On pose V n = U n +6. Montrer que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. c. Calculer V n en fonction de n. En déduire U n en fonction de n. La suite (U n ) a-t-elle une limite? Si oui laquelle.. d. Calculer en fonction de n : S n = U 0 + U +.+ U n

233 EXERCICE 7 Dans une entreprise, la grille des salaires mensuels en milliers d euros est la suivante. Salaires Effectif masculin Effectif féminin [,0, [ 8 [,,5 [ [,5,8 [ 7 [,8,0 [ 0 4 [,0, [ 4 [,,5 [ [,5,8 [ 0 [,8,0 [ 0 De ce tableau, il est facile de déduire le tableau des salaires de l entreprise ci-dessous : Salaires Effectifs Effectifs cumulés Fréq. cumulées en % [,0, [ 0 0,08 [,,5 [ ,5 [,5,8 [ , [,8,0 [ ,00 [,0, [ 6 94,6 [,,5 [ ,69 [,5,8 [ 9 99, [,8,0 [ 0 00,00 On trace le diagramme des effectifs cumulés selon les salaires et on obtient : Effectifs cumulés ,,,,4,5,6,7,8,9,,,,4,5,6,7,8,9 Salaires a. D après le graphique ci-dessus, donner une valeur de la médiane des salaires. b. Le comptable a calculé les moyennes et les écart-types des salaires. Il trouve : moyenne des hommes :,6 milliers d euros, écart-type : 0,4. moyenne des femmes :,4 milliers d euros, écart-type : 0,. Quelle transformation sur le salaire des femmes peut-on faire pour que les femmes aient même moyenne de salaires et même répartition de salaires que les hommes? Après cet ajustement, que va gagner alors une femme qui a un salaire de 000.

234 EXERCICE. Calcul de a,b et c. SOLUTIONS 5. AB + 5 AC = 4 AD s écrit : DA + DB + 5 DC = 0. { } Donc D est le barycentre de ( A; );( B ; );( C;5). a. Construction des barycentres I de {(A,), (B,-), (C,) } et J de {(A,), (B,), (C,-)} o Construction de I. En appliquant Leibniz, on trouve que : MI = MA MB + MC Si M = B alors : BJ = CA. o Construction de J. En appliquant Leibniz, on trouve que : MJ = MA + MB MC Si M = A alors : AI = BC. b. Ensemble E des points M du plan tels que: MA MB+ MC = AB D après ce qui précède, MI = MA MB + MC. AB Donc MA MB+ MC = AB équivaut à MI = AB c est à dire MI =. L ensemble cherché est l ensemble des points M tels que : MI = AB.Cet ensemble est le cercle de centre I et de rayon AB c est à dire le cercle de diamètre AD. c. Ensemble G des points M du plan tels que: MA MB + MC = MA + MB MC D après ce qui précède, MI = MA MB + MC et MJ = MA + MB MC. Donc MA MB + MC = MA + MB MC équivaut à :MI = MJ. L ensemble cherché est la médiatrice du segment [ IJ ].

235 EXERCICE La suite (U n ) est arithmétique de raison -,5 et de premier terme 5/4 En effet, U n est de la forme U n = U 0 + nr. La suite (V n) est une suite géométrique de raison 7 4 et de premier terme En effet V 7 n 7 n n x n = = + 9 donc de la forme V n =q n V 0. La suite (W n ) est quelconque. EXERCICE Variation de (U n ). Un+ La suite (U n ) est une suite à termes strictement positifs. Calculons U Un+ n+ Un =. Pour n, + U n U < donc la suite est décroissante. n n Variation de (V n ). Vn = Vn V n Vn= V n Vn< 0 Donc la suite est décroissante + n + + n + + EXERCICE 4 n La suite (U n ) tend vers 5 5x car la limite de la fonction x + 5 est 5 quand x tend vers l'infini. La suite (V n ) tend vers - car c'est une suite arithmétique de raison négative. La suite (W n ) tend vers 0 car c'est une suite géométrique dont la raison =. est un nombre dans ]- ; [ EXERCICE 5 S est la somme des termes U 0,..., 8 U de la suite géométrique ( ) U n de raison et de premier terme U 0 = : 8 7 S = = = 0, Σ = est la somme U 0 + +U 9 des 0 premiers termes d'une suite arithmétique (U n ) de raison et de premier terme U 0 =. Appliquons la formule U 0 + +U n = (n+) U 0 + n(n + ) r, ce qui donne Σ=0+45x = 40.

236 EXERCICE 6 a. Interprétation géométrique de (U n ). et déductions. On constate que la suite décroît et qu'elle converge vers -6 b. Suite (V n ). Il est facile de vérifier que V = n+ Vn. La suite (V n ) est donc une suite géométrique de raison et de premier terme V 0= 5. c. V n en fonction de n. U n en fonction de n. n Vn = 5 ; donc Un = 5 6. La suite (U n ) tend vers -6 car (V n ) tend vers 0. n d. Calcul de S n = U 0 + U +.+ U n. S n = (V 0-6)+ (V -6)+ + (V n -6)= V 0 + +V n -6 (n+) (V n ) est une suite géométrique de raison n+ n + donc V 0 + +V n = V 0 0 x = V n+ Par suite S n = 0 6( n + ).

237 EXERCICE 7 a. Valeur de la médiane. Effectifs cumulés La médiane est l abscisse du point de la courbe d ordonnée 65. Le graphique donne pour médiane,5 milliers d euros ,,,,4,5,6,7,8,9,,,,4,5,6,7,8,9 Salaires b. Il faut faire subir aux salaires x des femmes une transformation affine de la forme x ax + b., 6 =, 4a+ b 4 0,8 Le valeurs de a et b sont telles que :. On trouve alors a =, b = 0,4 = 0,a Après cet ajustement, une femme qui a un salaire de 000. va gagner : 4 0,8 x000 = 666 euros.

238 DEVOIR NUMERO 5: PROBABILITE Une urne contient quinze boules indiscernable ai toucher. 5 noires, 5 blanches et 9 rouges. On tire au hasard successivement trois boules de l'urne.. Calculer les probabilités des évènements A, B, C et D suivants: a. A: Parmi les trois boules, il n'y a aucune blanche. b. B: parmi les trois boules, il n'y a qu'une blanche. c. C: les trois boules sont blanches. d. D: parmi les trois boules, il y a deux blanches.. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches figurant dans le tirage. a. Donner la loi de probabilité de X b. Calculer L'espérance de X et la variance de X. Calculer la probabilité de l'évènement F : le tirage est tricolore. SOLUTION 5 METHODE GENERALE UTILISEE POUR LES CALCULS. Tous les calculs des situations possibles ci-dessous utilise les arbres. ENSEMBLE DES RESULTATS POSSIBLES. L'ensemble des résultats possibles Ω est l'ensemble des triplets (b,b,b ) où b,b,b sont trois boules distinctes. Le nombre d'éléments de Ω est 5x4x.. Probabilités des évènements A, B, C et D: a. A: Parmi les trois boules, il n'y a aucune blanche. L'événement A est le sous ensemble des triplets (b,b,b ) où b,b,b sont trois boules non blanches. A contient 0x9x8 éléments. Nombred'élémentsde A 0x9x8 4 4 Donc P(A)= = = = Nombred'élémentsdeΩ 5x4x 7x 9

239 b. B: parmi les trois boules, il n'y a qu'une blanche. La boule blanche peut-être tirée soit en er, soit en ième, soit en ième.donc l'événement B est égal à B U B U B où B est l'événement : la ere boule est blanche, B est l'événement : la ième boule est blanche., B est l'événement : la ième boule est blanche. La probabilité de B est P(B)= P(B )+ P(B )+ P(B ).! Calcul de P(B ). Si on construit un arbre des cas possibles, il est facile de trouver qu'il y a 5x0x9 cas possibles de triplets (b,b,b ) où la première boule est blanche et les deux autres non blanches. Nombred'élémentsdeB 5x0x9 5 Donc P(B )= = = Nombred'élémentsdeΩ 5x4x 9! Calcul de P(B ) et de P(B ). En raisonnant de la même manière, on trouverait que : P(B )=P(B )=.P(B ).! Calcul de P(B) D'après ce qui précède: P(B)= P(B )+ P(B )+ P(B )= x = 9 9 c. C: les trois boules sont blanches. L'événement C est le sous ensemble des triplets (b,b,b ) où b,b,b sont trois boules blanches. C contient 5x4x éléments. Nombred'élémentsdeC 5x4x Donc P(C)= = =. Nombred'élémentsdeΩ 5x4x 9 d. D: parmi les trois boules, il y a deux blanches. La réunion des ensembles A, B, C et D est égale à Ω. Ω= AUBUCUD. Comme A,B,C et D sont disjoints deux à deux, alors P(Ω)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D). D'où P(D) = P(Ω) - P(A) - P(B) - P(C). Donc P(D) = =

240 . Loi de X, Espérance de X et variance de X. a. Loi de X L'image de Ω par X est {0,,,}. Il faut calculer les probabilités des évènements (X=0), (X=), (X=) et (X=). Or (X=0) = A, (X=) = B ; (X=) = D et (X=) = C. La loi de probabilité de X est donc résumée par le tableau ci-dessous. X 0 P(X=x) b. Espérance et variance de X E(X)= 0x + x + x + x = V(X)= x + 0 x + x + x = Calcul de P(F). Notons R pour rouge, N pour noire, B pour blanc. L'ordre possible des couleurs est RBN ou BRN ou RNB ou NRB ou BNR ou NBR. Il y a donc 6 ordres possibles pour les trois couleurs. Pour chaque ordre indiqué ci-dessus, il y a 5x9x cas possibles car Il y a boule noire, 5 blanches et 9 rouges Donc F contient 6x5x9x éléments Par suite P(F)= 6x5x9x = 9 5x4x 9

241 DEVOIRS NUMERO 5 PROBABILITES Un parieur joue numéros au hasard dans une course de 0 partants. Quelle probabilité a-t-il de gagner le tiercé dans l'ordre? Réponses Ω est l ensemble des triplets de chevaux. CardΩ = 0x9x8 Soit A l événement écrire le tiercé dans l ordre. Card A= car il y a un seul tiercé gagnant. Donc P( A) = 0x9x8 Une urne contient boules noires et boules blanches. On tire successivement boules sans remise. a. Quelle est la probabilité d'avoir boules blanches? b. au moins une boule blanche? c. Mêmes questions, les boules sont tirées avec remise. Réponses Ω est l ensemble des triplets de boules. CardΩ = 4xx a. Soit A l événement «avoir deux boules blanches». Il y a façons de tirer les boules blanches. Il y a façons de tirer une boule noire. Mais la boule noire peut-être tirée soit en er, soit en ième soit en ième, donc Card A=xx Donc P( A) = xx 4xx. b. Soit B l évènement «au moins une boule blanche» Calculons la probabilité deb. B est l événement «aucune boule blanche», c est à dire «boules noires». L événement B a xx0 éléments donc P( B) = xx0 4xx. c. Ω est l ensemble des triplets de boules. CardΩ = 4x4x4 CardA = xxx. ( ere blanche cas, ième blanche cas, la noire cas, mais positions pour la noire) CardB =xx

242 Dans un sac se trouvent cinq jetons verts numérotés de à 5 et quatre jetons rouges numérotés de à 4. On tire au hasard, sans remise successivement deux jetons dans le sac. Calculer la probabilité des événements: a. Tous les jetons sont verts? b. Les jetons sont de couleurs différentes? c. Il y a exactement un jeton vert, et un jeton numéroté? Réponses Ω est l ensemble des couples de jetons CardΩ=9x8 a. Soit A «tous les jetons sont verts». Card A= 5x4. Donc P( A) 5x4 = 9x8 b. B est l ensemble des couples (rouge,vert) ou (vert,rouge). B a x5x4 éléments donc P( B) x5x4 = 9x8 c. Soit C «Il y a exactement un jeton vert, et un jeton numéroté». Les cas possibles sont : (vert sans et rouge avec ) ou (vert avec et rouge sans ). Ce qui donne (4x+x) (On multiplie par car il y a (rouge, vert) ou (vert, rouge). Donc P( C) 4 = 9x8

243 Jean possède, dans le tiroir de son armoire, 5 paires de chaussettes noires, paires de chaussettes vertes et paires de chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont mélangées dans le plus grand désordre et indiscernables au toucher. Lorsque Jean cherche des chaussettes, une panne d'électricité survient. Il tire alors au hasard deux chaussettes. a. Calculer la probabilité de tirer deux chaussettes noires. b. Calculer la probabilité de tirer deux chaussettes de même couleur. Réponses Ω est l ensemble des couples de chaussettes sans ordre. CardΩ= 0 x 9 = 90 (On divise par deux car l ordre ne joue pas). a. Soit A «deux chaussettes noires». CardA= x =. Donc ( ) 0 P A =. 90 b. Soit B «deux chaussettes de même couleur». B= «noires» ou «vertes» ou «rouges» B a 5 x 4 x x = 4 éléments. Donc P( B ) = 90 Dans une certaine ville il y a médecins. Quatre habitants sont malades le même jour et appellent un médecin au téléphone après avoir choisi au hasard l'un des médecins dans l'annuaire. Quelle est la probabilité pour que les 4 malades appellent le même médecin? Réponses Ω est l ensemble des listes (α,β,γ,δ) de 4 noms de médecins. α est le médecin qui visite le er malade, β est le médecin qui visite le ième malade, γ est le médecin qui visite le ième malade, δ est le médecin qui visite le 4 ième malade. Ω a donc xxx éléments. (Nota : un médécin peut visiter plusieurs malades) Soit A «les 4 malades appellent le même médecin». A à éléments puisqu il y a médecins. Donc P( A) = =. xxx 7

244 DEVOIR NUMERO 54 PROBABILITES EXERCICE Tous les résultats de cet exercice seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Une pisciculture dispose d un bassin qui contient 7 truites et carpes. On pêche successivement poissons de ce bassin.. Calculer la probabilité de pêcher au moins une truite.. Calculer la probabilité de pêcher une seule truite. EXERCICE A l entrée de la mairie de Pontarlier, se trouve un digicode comportant 0 touches marquées avec les chiffres : 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 5 touches marquées A, B, C, D, E. Pour entrer dans la mairie, il faut taper un code de chiffres et une lettre (Exemple B).. Pierre a oublié le code et tape chiffres et une lettre au hasard. Quelle est la probabilité de taper le bon code?. Pierre n arrive pas à ouvrir la porte. Il se rappelle alors que le code comprend au moins deux chiffres et se termine par E. Il tape trois chiffres dont deux fois le chiffre et la lettre E. Quelle est alors la probabilité d ouvrir la porte?

245 EXERCICE SOLUTIONS 54 Notons E, l'ensemble des poissons. L'ensemble Ω des résultats possibles est l'ensemble des couples (x,y) x y où x et y sont des éléments de E. Ω contient 0x9 éléments.. Probabilité de pêcher au moins une truite. Soit A l'événement " pêcher au moins une truite" A est l'événement " pêcher aucune truite". A est l'ensemble des couples (x,y) x y où x et y sont des carpes. A contient x éléments P( A ) = x = Par suite P(A) = 4 0x Probabilité de pêcher une seule truite Soit B l'événement "pêcher une truite". B est l'ensemble des couples (x,y) où x est une truite et y une carpe ou x est une carpe et y une truite. EXERCICE B contient x7x = 4 éléments. Donc P(B)= x7x = 7. 0x9 5. Probabilité de taper le bon code. Ω a 0 x5 éléments. Le nombre de cas possibles est Le nombre de cas favorable est car il n y a qu un seul code bon La probabilité de taper le bon code est Probabilité d ouvrir la porte en tapant deux chiffres et le E. Dans ce cas le nombre de cas favorables est toujours. Cherchons le nombre de cas possibles. Il manque un chiffre soit 0 possibilités. Mais il y a trois positions pour le chiffre inconnu. Le nombre de cas. possibles est donc de x0. La probabilité d ouvrir la porte est 0.

246 DEVOIR NUMERO 55: PROBABILITES ET STATISTIQUES VALIDITE D'UNE ESTIMATION PROBLEME On considère un événement A d'un phénomène aléatoire ϕ dont on ne connaît pas la probabilité p. On souhaite expérimentalement déterminer un encadrement de la valeur de p. Pour cela, on répète n fois une épreuve aléatoire liée au phénomène ϕ dans les mêmes conditions. On appelle f n la fréquence d'apparition de A. Pour mémoire, nombred'apparitionde A rappelons que: f n = n EXEMPLE. On possède un dé et on cherche un encadrement de la probabilité p d'apparition de la face 6. Pour cela, on lance le dé 000 fois. Le numéro 6 est apparu 0 fois On a donc dans cet exemple:! A = "obtenir 6"! n=000! n f = THEOREME! Pour tout n, Il y a 90% de chances pour que f n appartienne à l'intervalle p ;p+ n n. Soit encore p! f n ;fn + n n! Pour n > 5, Il y a 9% de chances pour que f n (A) appartienne à l'intervalle p ;p+ n n. Soit encore p! f n ;fn + n n! Pour n > 50, Il y a 95% de chances pour que f n (A) appartienne à l'intervalle p ;p+ n n. Soit encore p! f n ;fn + n n L'intervalle f n ;fn + s'appelle l'intervalle de confiance pour p. n n

247 APPLICATION A L'EXEMPLE Pour un dé régulier, p =. Or cette valeur n'est pas dans l'intervalle ; Donc le dé n'est pas régulier. 000 Une bonne valeur pour p serait 0,. EXERCICE : VERIFICATION DU THEOREME. a. Lancer d'un dé. Lancer le programme ci-joint en cliquant sur le bouton ci dessus. Lancer exercice 7. Répéter 0 fois 000 lancers de dés. Noter les 0 fréquence d'apparition du 5. On sait que la probabilité de 5 est 6 Montrer que 90% de ces 0 fréquences sont bien dans l'intervalle b. Lancer de boules. ; Lancer le programme ci-joint en cliquant sur le bouton ci dessus. Lancer exercice 8. Répéter 0 fois 000 lancers de boules. Noter les 0 fréquence d'apparition de la boule verte. On sait que la probabilité de "verte" est 5 Montrer que 90% de ces 0 fréquences sont bien dans l'intervalle ; EXERCICE : VOS CHANCES AU BAC. En 00, au lycée Xavier Marmier, élèves ont passé le bac général. 8 ont obtenu le diplôme. Déterminer un encadrement de la probabilité p d'avoir son bac au lycée Xavier Marmier en précisant quel est la chance pour que cette valeur soit exacte.

248 EXERCICE : LES SONDAGES. On interroge 000 personnes dans la population en leur demandant si elles possèdent un ordinateur. 668 personnes donnent une réponse positive. a. Montrer qu'il y a 95% de chance pour que la proportion p de personnes possédant un ordinateur dans la population totale soit comprise entre 6% et 70%. b. Combien devrait-on interroger de personnes pour obtenir une estimation de p à % avec un degré de confiance de 95%. EXERCICE 4: LES ELECTIONS MUNICIPALES 00 Voici les résultats des élections municipales de 00 à Pontarlier. On souhaite donner une estimation des résultats à partir des résultats des 5 premiers bureaux. Donner un encadrement des probabilités de chacune des listes avec un degré de confiance de 95% après les résultats des 5 premiers bureaux. suffrages BUREAUX LISTE A LISTE B exprimés MAIRIE CORDIER (AH) DE GAULLE PERGAUD VAUTHIER (AH) VAUTHIER (IZ) JOLIOT CURIE CORDIER (IZ) ETRACHES PEGUY FAIVRE TOTAUX % 74,80% 5,0% 00%

249 REPONSES 55 EXERCICE : VERIFICATION DU THEOREME. Voici le résultat de 0 fois 000 lancers de dés. N de lancers Fréquence 6,6 5, 9, 6,5 5,7 4,8 5,6 7,6 6, 5,8 ; = [,5% ; 9,8%] 000 On constate que toutes lés fréquences sont dans la fourchette [,5% ; 9,8%] Idem pour la question b. EXERCICE : VOS CHANCES AU BAC. La fréquence de l'événement "succès" est : 8 =0,86 D'après le théorème ci-dessus, il y a 9% de chance pour que la probabilité de réussite soit dans 8 8 l'intervalle ; + soit dans [79% ; 9%]. EXERCICE : LES SONDAGES. a. Question. D'après le théorème ci-dessus, il y a 95% de chance pour que la probabilité de réussite soit dans l'intervalle b. Question ; soit dans [6% ; 70%]. 000 On sait d'après le théorème ci-dessus que f n p f n + n n où f n est la fréquence des personnes qui ont un ordinateur. La valeur de p est à % si la différence entre les deux valeurs de l'encadrement est inférieure à %. Ceci implique On obtient n" soit n 00 n 00 EXERCICE 4: LES ELECTIONS MUNICIPALES 00 Après cinq bureaux, la liste A obtient 68 voix sur un total de voix de 0 et la liste B voix 765. D'après le théorème ci-dessus, il y a 95% de chance pour que le pourcentage final de la liste A soit dans l'intervalle ; + ; soit dans [7,9% ; 76,5%]. 0 On remarque que le résultat final est bien dans cette fourchette.

250 DEVOIR NUMERO 56: Transformations EXERCICE On considère la figure suivante où ( ) et (D) sont deux droites parallèles et A un point situé entre les deux droites et n'appartenant à aucune d'entre elles. On se propose de construire un triangle équilatéral ABC direct tel que B et C appartiennent respectivement aux droites (D) et ( ). Donner une solution géométrique du problème. EXERCICE Soit (C) le cercle de centre 0 et de rayon R et Soient A et B deux points diamétralement opposés sur (C). Pour tout point M de (C), distincts de A et de B. on construit le point Q tel que MABQ soit un parallélogramme.. Déterminer ensemble décrit par le milieu I du segment [MQ], puis l'ensemble décrit par le centre de gravité G du triangle BQM lorsque M décrit (C) privé des points A et B. Construire ces ensembles sur deux figures séparées.. On note N le symétrique de A par rapport à M et P le point d'intersection des droites (ON) et (BM). Quel rôle joue le point P relativement au triangle ANB? En déduire l'ensemble décrit par le point P lorsque M décrit (C) privé des points A et B. Construire cet ensemble sur une figure séparée.

251 EXERCICE SOLUTIONS 56 π Soit R la rotation de centre A et d'angle On a C= R(B). Le point B est sur (D) donc C = R(B) est sur D' = R(D). Or C est sur! donc C est à l'intersection des droites! et D'. D et! sont parallèles, D' coupe D donc D' coupe! donc le point C existe. Le point B s'obtient en utilisant l'égalité B= R - (C). EXERCICE. Ensemble des points I et ensemble des points G. a. Ensemble des points I. Le point I est l'image de M dans la translation T de vecteur AO. Soit (C ) l'image de (C) par la translation T. (C ) est le cercle de centre B de rayon R. L'ensemble des points I est le cercle (C ) sauf O=T(A) et B'=T(B).

252 b. Ensemble des points G. Le point G est l'image de I dans l'homothétie H de centre B de rapport. Soit (C ) l'image de (C ) par l'homothétie H. ( C ) est le cercle de centre B de rayon R. L'ensemble des points G est donc le cercle (C ), sauf O'=H(O) et B" = H(B').. Ensemble des points P. P est le centre de gravité du triangle ANB. P est l'image de M par l'homothétie H vue à la question précédente. Le point M décrit le cercle (C) - {A,B} donc P décrit l'image de C - {A,B} par cette homothétie. C'est à dire le cercle (C ) sauf A'=H(A) et B=H(B)