Eléments de dynamique des structures Illustrations à l aide de CAST3M

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1 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Eléme de dyamqe de ce Illao à l ade de CAS3. Combece Sepembe 6

2 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 able de maèe. Iodco...6. Syème à degé de lbeé appel de l éqao de la dyamqe...8 oveme lbe o amo...8 oveme lbe amo Ede da le domae éqeel... Ca gééal... Noo de oco de ae... écompoo de évolo empoelle da le domae éqeel Noo de pece d ocllae...3 époe à céea...3 époe à e mplo de dée e...4 époe à éme Syème à degé de lbeé appel le yème co...8 éhode de mode pope...8 héoe de ode Ece de éqao Noo de mode pope... éo... Calcl...4 éhode mplée de aylegh...4 Gééalao de la méhode éave...5 Iéao de o-epace Calcl pa ecombao modale...7 Pojeco mode pope...7 ecombao modale...8 Cobo aqe de mode églgé...9 éhode de o-cao...33 éhode de Cag e Bampo...34 Ulao d e bae de mode pope «lbe»...35 Illao e poe e aco-compeo...36 Commeae l ee comme...38 Applcao a ce mlppoée Algohme d égao empoelle...45 Algohme d Ele...45 Algohme de Newmak...47 éece ceée...47 Accéléao moyee :...48 Aalye de la ablé :...48 Emao de l ee...5 éhode-α de Hlbe Hghe e aylo (HH) Calcl da le domae éqeel...53 Applcao a calcl d vea vbaoe d e mache oae appel méhodologqe e dyamqe de ce...55 Calcl empoel...55 Calcl peca...55 Calcl da le domae éqeel...55 Paclaé de oce vee...56 Pe e compe d chageme al Amoeme de ce Amoeme vqe...6

3 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Amoeme de aylegh Amoeme hyééqe Amoeme pa oeme ec Amoeme de adao éemao epémeale de l amoeme Syème o léae appel le choc ee olde gde Choc ee olde élaqe...69 éhode de péalao...69 Noo de ade de choc...69 Applcao à l éde d oeeme d e yaee...7 Ulao de mlplcae de agage...73 Ede de ebod d e bae élaqe...74 Solo aalyqe...74 odélao bae modale avec algohme eplce (opéae YNE)...76 odélao bae phyqe avec algohme mplce (pocéde PASAPAS) Choc ee ce o léae...8 Ca d pojecle me gde...8 Ca d pojecle a éace mécaqe Coclo ééece Aee: Opéae e Pocéde CAS3 le e dyamqe...85 Céao de mace e obje...85 Opéae ASS...85 Opéae AO...85 Opéae IPE...85 Opéae SUPEEEEN...85 Opéae II...85 Opéae JONC...85 Opéae ES...85 Opéae CS...86 Opéae BASE...86 Opéae PSO...86 Opéae SOS...86 Opéae CHA...86 Opéae PJBA...86 Opéae CINIO...86 éolo (veo d yème calcl de mode pope)...86 Opéae ESO...86 Opéae VIB...86 Opéae VIBC...87 Opéae SYNHESE...87 Opéae SISSIB...87 Calcl empoel...87 Pocéde YNAIC...87 Pocéde PASAPAS...87 Pocéde YNAOE...87 Opéae YNE...87 Aalye de éla d calcl bae modale...88 Opéae ECO...88 Opéae EVO opo ECO e SOU...88 Opéae ENEO...88 Aalye e gééao de ga empoel...88 Opéae F

4 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Opéae SP...88 Opéae SPO e SPON...88 Opéae ONE e de ca e Gbae e dyamqe...9 Fomao de mace e calcl d e bae modale...9 Calcl de la époe empoelle appel le calcl e mode de Foe...94 ecpo de la géomée e de la cémaqe...95 Calcl de déomao po le éléme CEC e ma...97 Calcl de déomao po l éléme de coqe COQ...99 ace de ade élaqe de éléme CEC e ma...99 ace de ade élaqe de l éléme COQ... ace de mae... ace de ade de pécoae... 4

5 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Nomeclae K [ K ]: ade o mace de ade [ ]: ae o mace de mae C [ C ] : Amoeme o mace d amoeme { } : éplaceme champ de déplaceme o vece déplaceme v { }: Vee champ de vee o vece vee a { } : Accéléao champ d accéléao o vece accéléao F : Foce champ de oce o vece oce ω : Plao d chageme ω : Plao pope de la ce : ode pope : ème mode pope j : ème mode pope de la j ème o-ce Ω : Plao pope d ème mode j : ode aqe [ ] : Bae de mode pope ξ : Amoeme éd F G : Pod calae F G : Pod vecoel ( ( A B) C B C A ) 5

6 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6. Iodco a dyamqe de ce e domae de la mécaqe de ce aa de poblème è vaé e aa doc appel à de méhode méqe déee. Sa êe eha o pe ce : - le compoeme de ce ome à de choc (cah aomoble che d emballage de apo mpac d avo) - le moveme caé pa éme o e eploo - le vbao de pa écoleme (po om a ve ya d cc del o écoleme ee ) e mache oae (be éace ) o coac (coac oe-chaée oeme de e à dqe ) o ce poblème o e comm d e pa chageme q vae a co d emp (ma cec e le ca po de poblème aqe el qe la age o le lage) e d ae pa l mpoace de oce d ee (mae de la ce) da le poblème. oq o eae de clae le calcl dyamqe pa ode coa de compleé o pe e amee e a à de yème à qelqe degé de lbeé. e calcl aqe peve êe codéé le pl mple e de b de méhode de calcl lée da le bea d éde e de e amee à chageme aqe. Cec e paclèeme le ca l a cmle le() chageme() dyamqe() a ae ca de chage dmeoa q o aqe. e ca d yème dyamqe à degé de lbeé e odameal po be compede le compoeme dyamqe d e ce. e oo de bae e dyamqe el qe la éoace le vbao lbe le ôle de l amoeme o le pece de époe peve êe eplqée ce ype de yème. e modèle de calcl compoe ojo ple (e ove gad ombe) degé de lbeé. e paage a yème à degé de lbeé écee eo pplémeae. a le domae léae élaqe la oo de mode pope peme de e amee à yème à degé de lbeé. Il a alo ecombe le époe de l eemble de mode. Pao loqe le vee d chageme o è élevée l lao de la héoe de ode peme de me compede le phéomèe dyamqe. E le oce de o léaé el qe la placé e o le choc complee le poblème. e pla d pée docme e bae le dée pécédee. e yème à degé de lbeé e o d abod péeé. e yème à ple degé de lbeé o ee déc (oo de mace de mae e de mode pope méhode de calcl empoelle o éqeelle ) e eaya de mee e évdece l éê de e amee à de yème à qelqe (voe ) degé de lbeé. e de dee chape cocee l amoeme e le yème o léae (choc e pacle) q ee de je de la dyamqe de ce aa l obje de echeche. e oo o péeée ommaeme le lece aya acq lo de co gééa le oo de bae (mécaqe de mle co popagao d ode ). e ava paqe de ce co appya le code éléme CAS3 le cocep péeé o aaché loqe c e poble à de opéae e pocéde de ce code de calcl. Ue le o ehave de opéae e pocéde CAS3 le e dyamqe a qe le ca e aocé o doé e aee. Ue oème aee cocee le calcl e mode de Foe applcable a ce aya e ymée de évolo ma ome à de chageme qelcoqe. Cee opo de calcl mo coee qe le calcl 3 pe avée è le e dyamqe. Il e a ppoé qe le lece a qelqe oo élémeae l pemea de géée de mallage e de éale de calcl léae à l ade d code de calcl CAS3. 6

7 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Foeeme d e yaee o peo Impac poea méallqe Saqe yamqe ddl K K F F yamqe ddl yamqe o léae K K F K F Cc Kc K Fg. : Ce q e dcle e dyamqe 7

8 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6. Syème à degé de lbeé a coaace d yème à degé de lbeé (o ocllae à ddl) e odameale e dyamqe de ce. Ue boe lao de popéé de bae de ce ocllae peme ove de mple le poblème e de me compede le phéomèe obevé epémealeme o de calcl éléme complee. e cocep pcpa o déc da ce chape... appel de l éqao de la dyamqe a déomée d e ce ome à de eo aqe e calclée e écva l éqlbe ee le eo ee e le eo eee : K F eéee e champ de déplaceme a qe le eo calclé dove vée le codo a lme (ecaeme app bod lbe ). Qad le oce vae e oco d emp e le ee d ee (mae) peve mode la époe cee éqao deve : C K Feéee () A l éqao d éqlbe aqe ajoe le oce d ee ( ) le oce vqee ( C ) a qe le chageme dyamqe. éqao d moveme e pe êe éole complèeme q e mpoa de codo ale de ype déplaceme al e vee ale. oveme lbe o amo oq ace oce eéee e applqe à la mae e qe la vcoé e églgée l éqao éc : K K So : ω e poa ω ω e appelée plao pope d yème (e ad/). a éqece pope d yème e K pa déo (e H) e la péode pope (e ). π a olo de l éqao déeelle éc o la ome (Fg.): A( ω ) B co( ω ) e coae d égao A e B o déemée à l ade de codo ale la vee ( ) e le déplaceme ( ): A e B ω 8

9 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 5 éplaceme (m) emp () Fg.. Ocllae lbe o amo oveme lbe amo oq o e compe d amoeme vqe l éqao éc : C K So : ξω ω e oda le coece d amoeme ξ. No o éeo c qeme a yème o-cqe po leqel le coece d amoeme ee ée à. a olo de l éqao déeelle éc maea : ξω ( A( ω ) B co( ω ) e avec ω ω ξ ξω e coae d égao vale : A e B. ω e yème amo oclle doc à e plao légèeme éee à la plao d yème o amo (Fg.). S l amoeme e po (ce q e pao pa le ca po de yème able) l amplde d moveme décoî da le emp de aço epoeelle (e aega e amplde lle ma po emp ). 5 éplaceme (m) emp () Fg.. Ocllae lbe amo 9

10 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6.. Ede da le domae éqeel Ca gééal Codéo maea chageme empoel mooéqeel à la éqece ω: C K p( ) p( ) p ξω ω co( ω) a olo de cee éqao déeelle e la omme d e olo paclèe -appelée égme pemae o océ- e d e combao léae de olo de l éqao a ecod membe le égme aoe-. e égme pemae poède e éqece égale à la éqece d ecao (égme océ) alo qe le égme aoe e e ocllao à la éqece pope d yème q déped de codo ale (a déb d chageme). E péece d amoeme (po) le égme aoe dpaaî apè qelqe péode d ocllao. p co( ω ) ξω ( A( ω) B co( ω ) e ω ω ξ ω ω Noo de oco de ae Néglgeo maea la pae aoe. Il e alo è paqe de avalle e complee : l ecao e me o la ω ω ome p() pe e o cheche de olo d ype ( ) ( ω) e. O e amèe alo à yème léae complee do le peme membe e appelé mpédace o ade dyamqe. p ( ω ωξω ω ) ( ω ) a olo phyqe obevable epémealeme e la pae éelle de la olo d yème complee : p ρ ( ω) ( ω ωξω ω ) ( ω ωξω ω ) a vee e l accéléao peve êe calclé pa mple mlplcao d déplaceme epecveme pa ω e ω. O dé le oco de ae doa le appo ee le déplaceme la vee o l accéléao e l ecao : ρ Foco de ae e déplaceme : H ( ω ) ω ωξω ω Foco de ae e vee : ( ω ) H v Foco de ae e accéléao : ( ω) H a ( ) ωρ ( ω ωξω ω ) ω ρ ( ω ωξω ω )

11 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 amplde de la époe (doée pa le modle de la oco de ae Fg.3) déped d appo ee la plao d ecao ω e la plao pope d yème ω. Cee amplde e mamale loqe ω ω. Il a oe qe la plao de éoace vae légèeme va la gade obevée (déplaceme vee o accéléao). a époe e l ecao o déphaée d agle : ω ξ ω Acg ω ω Ava la éoace ( ω < ω ) le déphaage e poche de : la époe e qa-aqe (da la même deco qe l ecao). Apè la éoace ( ω > ω ) le déphaage deve poche de 8 : le déplaceme e e oppoo de phae pa appo à l ecao. o de la éoace ( ω ω ) le déphaage e eaceme de 9. oqe l amoeme a e vale è able le paage de à 8 eece po e bade de éqece d ecao è éoe. ρ ma ρ ξ Amplcao β ω ω Ecao Ocllae ρ ma π ξ ξ. ξ.5 ξ.5 ρ ββξ π/ éoace β β Féqece Coece d amplcao (odle de la oco de ae) Chageme aqe 3 éphaage Fg.3. Amplde e phae de la oco de ae e déplaceme β

12 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 écompoo de évolo empoelle da le domae éqeel e calcl da le domae éqeel applqe évdemme à o le ga péodqe q peve êe décompoé le hamoqe de la plao odameale π ω ( e la péode d gal Fg.4). ( ω ) b ( ω ) a A ( ω ϕ ) ( ) a a co co avec : a ( ) co( ω ) d b ( )( ) ω ω d c ( ) e d c e ω oqe la oco () e oïdale de plao ω el le coece d dce e o pa l. emp Fg.4. écompoo d gal péodqe oqe le gal e pa péodqe ma poède e dée e l pe êe codéé comme péodqe avec e péode péee à la dée oale. Gééaleme o aage po avo gal aya ombe de po égal à N avec N ee e pemee a le calcl de la aomée de Foe apde (FF). Il e éea de appele le popéé d e oco empoelle paclèe : la oco ac o mplo δ. Cee oco (o dbo) e o lle e el po (o a po e oco empoelle) e o égale e égale à. Cee oco empoelle e doc o lle e dée qa-lle. e pl le pod calae (dé pa l égale l epace de ombe éel) de la oco ac avec e oco qelcoqe g e égal à la vale de cee deèe oco. Soe : δ ( ) d ( ) δ e ( g() dτ g( ) δ. ) Codéo l mplo dée e. a aomée de Foe de cee mplo va : avec : ω a ( ) co( ) d δ ω b () ( ) δ ω d c () e d δ e coece e dépede pa de la éqece. Ue mplo poède doc coe éqeel è che e homogèe. Sa aomée de Foe e la oco coae da l epace de éqece. Cee popéé emaqable e ove lée epémealeme po déeme le oco de ae d yème : e oce mploelle e applqée (pa eemple avec maea de choc) la aomée de Foe de déplaceme vee e accéléao doe deceme le oco de ae ee le po d applcao de la oce e le po de mee.

13 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6.3. Noo de pece d ocllae e pece d ocllae o pece de choc e ol è lé po eme le eo b pa e ce ome à éme o à choc. époe à céea Aalyo o d abod la époe d ocllae à céea : p ( ) τ ξω ω avec p ( ) τ <τ e p τ ( ) F >τ a époe d yème o amo e : F ( ) Aco( ω ϕ) K Po de codo ale de déplaceme e vee lle la olo deve (Fg.5): F ( ) ( coω) K dyamqe F aqe e déplaceme mamal de la mae va ma ma. Cee vale éee K paclèeme l gée po le dmeoeme ca l doe l allogeme mamal d eo. oqe le déplaceme mamal e mlplé pa ω o pe dé e qaé popooelle à e accéléao q e appelée pedoaccéléao : dyamqe a~ ω ma a pedo-accéléao mlplée pa la mae doe l eo q applqé aqeme cod a déplaceme mamal de l ocllae peda le chageme dyamqe. Ce eo de dmeoeme va doc c F e la pedo-accéléao Foce (N) F. 5 F emp () éplaceme (m) 5 F /K emp () 3

14 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Fg.5 : époe d yème à degé de lbeé om à chageme céea époe à e mplo de dée e epeo l éqao d moveme pécédee ma avec chageme de ype mplo (Fg.6): p τ ( ) <τ e >τdτ O pe ace la pedo accéléao e oco de la plao de la ce (Fg.7). oqe la péode de la ce e able deva la dée d chageme o eove le chageme pécéde (céea). S la dée de l mplo e è able deva la péode de vbao d yème le déplaceme va : p( τ ) dτ ξω ( ) ( ω ( τ )) e avec ω ω ω ξ E ee la coevao de la qaé de moveme peda la dée d chageme (e églgea la ade) peme de coaîe l céme de vee d a chageme ( ) p( τ ) dτ. Ue o le chageme emé o e amèe à poblème de vbao lbe à vee ale mpoée. o gal empoel pe êe décompoé e e cceo d mplo. e yème édé éa léae la époe e la pepoo a mplo cceve : p( τ ) ξω ( ) ( ω ( τ )) e dτ ω Cee égale e appelée égale de hamel. Elle peme de calcle méqeme la époe d ocllae léae à chageme empoel. Foce (N) emp () éplaceme (m) emp () Fg.6 : époe d yème à degé de lbeé om à e mplo 4

15 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a Chageme (Foce/ae) a Pedoaccéléao (K. ma /ω ma ) Τ emp π/ Plao ω ω ω ω a ma : éplaceme Fg.7 : époe d yème à degé de lbeé om à e mplo de dée e époe à éme a echqe pécédee e à la bae de méhode de dmeoeme e gée paamqe. E ee loq o avalle da le ééeel ela aaché à la bae de la ce ba le éme le oce mqe o de oce d ee e ova a ecod membe. Ce oce o popooelle à la mae e l éqao d éqlbe e pl oco qe de la plao e de l amoeme : ξω ω aéme () e déplaceme mamm ma d yème à ddl a éé acé e oco de la péode d yème : c e le pece e déplaceme (Fg.9a). Pl gééaleme o ace la pedo-accéléao e oco de la péode (Fg.9b) la pedo accéléao éa dée comme a ~ ω ma. e eo de dmeoeme peve êe déemé e coaa la péode o la éqece de la ce e e mlpla la pedoaccéléao pa la mae de la ce ( a~ Kma ). e ca de chageme mqe pe alo êe aé comme le chageme aqe ce q acle le dmeoeme. Ce pece o aocé à e vale d amoeme péce. e dmeoeme e e a pa avec pece de éme éel ma avec pece églemeae «eveloppe» dé pa e cobe aalyqe q déped de la qalé d ol leqel e ée la ce (Fg. e ablea.). Pa eemple le pece de ègle açae PS9 e doé pa coece d amplcao de l accéléao a ol : Bache AB: e() A (-A)(/B) Bache BC: e() Bache C: e() (C/) Bache E: e()(c/)(/) a e l accéléao omalée doée pa le oage. Po de vale d amoeme déee de 5% o applqe coece mlplca: ρ(5/ξ).4 5

16 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Accéléao (g) Gèce 999 emp () a/ Séme d Ahèe (Gèce 999) Accéléao (g) 4 3 qe emp () b/ Séme d Im (qe 999) Fg.8: Accéléao eegée lo de éme éplaceme (cm) qe 999 Gèce 999 Péode () a/ Spece e déplaceme Pedo accéléao (g) qe 999 Gèce Péode () b/ Spece e pedoaccéléao Fg.9 : Compaao de pece d ocllae de ga eegé e qe e Gèce e 999 6

17 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 7 a 6 Pedo-accéléao (m/ ) B C Spece PS9 - Sol S éplaceme (cm) 4 Spece PS9 - S aa A 6 4 Péode () E B C Péode () Fg.: Spece de dmeoeme mqe de ègle de coco açae PS9 ype de ol B () C () () A S S S S ablea.: éo de coece déa le pece PS9 va le codo de ol 7

18 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 3. Syème à degé de lbeé e modèle éléme compoe ojo ple (e gééaleme gad ombe de) degé de lbeé. Ava d eplce la mace de mae pécqe a calcl dyamqe qelqe appel le mle co o eecé. a oo de mode pope e ee abodée. E le déee echqe de calcl o péeée (calcl empoel pa ecombao modale e éqeel). 3.. appel le yème co appelo le éqao d éqlbe d e poe do o ve déeme o déplaceme aal ( ) e o déplaceme avee y ( ) (Fg 3.). éqlbe aal e la lo de compoeme coepodae doe : N ρ S ES éqlbe avee e alao e oao a qe la lo de compoeme e leo doe (po de poe de Beoll a déomée de calleme) : 4 y y ρ S EI 4 e y e y e y e Fg 3. : éomée d e poe egado je le moveme aal d e poe a oce eéee q e ég pa l éqao a dévée paelle a ecod membe : ρ S ES Cee éqao pe êe éole avec méhode déee : l e baée la épaao de vaable (mode pope) e l ae la héoe de ode. éhode de mode pope Cee éqao à vaable e aome e éqao e vaable o cheche de olo o la ome : ( ) ( ) g( ). ρ g k E g e peme membe e déped qe de e le ecod qe de l o doc éga à e coae k. a oco de l epace e de la ome : ( ) ( k ϕ ) Celle e emp : g( ) g ( ω ϕ ) ω E avec k e c. c ρ ϕ e déemé avec le codo ale ϕ e k o déemé à l ade de codo a lme. 8

19 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Pa eemple po e poe de loge app (déplaceme aa E π bloqé) : ϕ k π e ω. a déomée modale e doc de la ome ρ π ( ) (Fg 3.). oqe l éqao d éqlbe e pojeée le mode o pe aoce à cee déomée e mae gééalée e e ade gééalée : m ρs ρ S ( ) d ( ) ( ) ES k ES d ES ( ) d ( π ) a cee deèe éqao le eme a oèe d domae d égao povea de l égao pa pae dpaae e ao de codo a lme (de ype déplaceme l o eo l) Fg 3. : éplaceme aal de 3 peme mode pope d e bae e acocompeo héoe de ode O pe a cheche de olo o la ome ( ) ( k ω). éqao a dévée paelle deve alo ( ω k c ) ω O vo qe mpoe qelle oco e olo k. E ao de la ome pe la c oco epéee e ode e popagea à la céléé c. E ee loqe école e ω dée la épao paale d déplaceme e eove décalée de ± c k (Fg 3.3). E c e doc la céléé de ode de aco-compeo. ρ k e appelé vece d ode ca l doe la deco de popagao de ode (popagao da la deco de > k> e de < k<). ω e la plao de vbao obevée e po doé. 9

20 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a céléé de ode de aco-compeo (a qe de ode de calleme) e déped pa de la plao ω : le mle e pa dpe. Cec e pa le ca po le ode de leo. emaqo qe e a olo de l éqao a dévée paelle. Cee amlle de olo coepod a moveme de cop gde e alao ome. Ode ( k ω) Ode ( k ω ) Fg 3.3 : Popagao d e ode 3.. Ece de éqao appelo comme pe êe calclée la mace de ade e aqe. Noo { } le vece déplaceme q egope le degé de lbeé (déplaceme e oao) leqel e dcéé le moveme de la ce. éege poeelle de déomao d e ce élaqe éc : V { }[ K ] { } e héoème de Caglao q e éqvale a pcpe de pace velle (q e pl gééal ca l e a valable po de lo de compoeme o léae) peme de calcle : - le déplaceme à pa d poeel epmé e oco de eo : V F - le eo à pa d poeel epmé e oco de déplaceme : V F Cec peme de calcle epecveme la mace de oplee e la mace de gdé. e la même aço e dyamqe o pe calcle l éege céqe d yème e oco de vee (e pao de déplaceme) : ({ }{ }) { }[ ]{ } avec { } le vece vee. e éqao de agage q o e gééalao de Caglao pemee d obe le éqao d éqlbe véée pa le degé de lbeé cho : V Q a le ca gééal le peme eme o à l oge de la mace de mae e de mace de pedo-ade e de pedo-amoeme loqe l éege céqe déped a de déplaceme (pa eemple loqe le epèe lé e pa gallée) [ ] { } [ ] { } [ ] { } G K egado le ca d éléme de bae Se degé de lbeé o le déplaceme de eémé : U { } { y y } e vee e mpoe qel po de l éléme écve e oco de vee a eémé e de oco de ome choe c léae.

21 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 () () ) ( e () () ) ( y y y avec ) ( e ) ( éege céqe éc doc pa égao la loge de l éléme : () () { }[ ]{ } y d S ρ a mace de mae a doc comme compoae : () () j j d S m ρ So : [ ] [ ] ( ) y y j S S S S S S S S m ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Cee mace e pa dagoale e ao de eme coé () () j j d S m ρ. Cec pe êe péala loqe la mace de mae do êe veée de ombee o (ca de calcl eplce avec pe pa de emp). O péèe alo le de mace de mae coceée (lmpé) e amea le eme o dagoa la dagoale. Il e alo éea de emaqe qe cec e éqvale à cocee la mae le eémé. [ ] ( ) y y ρ ρ ρ ρ e y e O P P e ey O P P a/ ae épae b/ ae coceée Fg 3.4 : Eléme de bae à œd a le ca le pl mple (abece d amoeme e epèe gallée) l éqao d éqlbe dyamqe éc doc o la ome macelle: [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } Q K

22 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Noo de mode pope éo Ava d aalye l ee d chageme dyamqe la ce l e coa de éode l éqao a ecod membe : [ ]{ } [ K ]{ } e aço abae o pe ppoe qe le olo e emp e e epace o épaée : { } { ( X )} ( ) Comme po le yème à ddl péeé da le chape pécéde cec cod à éqao coplée pa l emédae d e coae. a pemèe e e éqao déeelle e emp e la ecode yème e epace : () ω () éqao déeelle e emp adme po olo e oco d ype : ( ) ( A( ω ) B co( ω )) où A e B o de coae dépeda de codo ale. e yème léae a pa de ecod membe e a éolo eve à poblème a vale pope. ω ( X ) K ( X ) [ ]{ } [ ]{ } ω o appelée plao pope e { (X )} le vece pope. eemble coe le mode pope o amo. e vece pope o ohogoa ee e po le pod calae dé pa la mace de ade e la mace de mae : ( X ) K ( X ) ( X ) j j ( X ) oqe le mace o yméqe ce mode pope o oblgaoeme éel. Cec e pa va loqe le mace de ade e/o de mae e o pa yméqe o e péece d amoeme: le mode (vece pope e plao pope) peve alo êe complee.

23 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ aqee de bâme à m poe (aboaoe ama CEA Saclay) b/ Po d Gad (mode odameal à.67h) Fg 3.5 : Eemple de mode pope 3

24 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Calcl e calcl de mode pope pe avée è coûe va le méhode lée e le ombe de mode calclé. Il e doc éceae d avo e dée de méhode méqe lée. éhode mplée de aylegh Cee méhode mplée -q e cle da cea ègleme de dmeoeme comme le ègle de coco de bâme PS9- peme de be compede de méhode pl complee q e ove da le code de calcl. Elle peme de calcle de aço appochée le mode odameal. Po yème à degé de lbeé e vbao lbe le déplaceme e la vee écve epecveme : ( ω) e ω co( ω). éege céqe e mamale loqe le déplaceme e l : E c ma m ma m ω éege élaqe e mamale qad la vee e lle: E éla ma k a coevao de l éege o d qe ce éege o égale d où apè mplcao pa : ω k m O pe gééale cela a yème à mae épae o e e e déomée ( X ) e champ de déplaceme e de vee vale epecveme : U ( X ) Ψ X ω ( ) ( ) U ( X ) ω Ψ( X ) co( ω) où le éege céqe e élaqe mamale : l Ecma m ω Ψ X dx ω ( ) m Ψ ( X ) l ( X ) Ψ( X ) l U E élama EI dx EI dx X X Comme pécédemme l égalé de ce éege ( E E ) cod à : ω l l Ψ EI X m Ψ ( X ) ( X ) oqe la déomée ( X ) dx dx l dx éla ma c ma Ψ. Ψ e pa le vece pope odameal o pe moe qe la plao calclée e ojo majoa de la plao odameale. e pcpal poblème e doc la déemao de la déomée. S o ve déeme la plao pope odameale l a doc aage po obe e déomée pope d mode. Po de ce ae églèe o pe cheche la déomée o chageme aqe applqé da la deco d mode cheché : U ( X ) K d. Faqe K λ m I λ ψ ( X ) 4

25 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 e éege céqe e élaqe vale : l Ecma λ ω m Ψ ( X ) dx E éla l ma Faqe U d ( X ) dx λ m I Ψ( X ) dx éla ma cma E E doe ω l l m I l Ψ m Ψ ( X ) dx ( X ) O vée qe la plao ovée e déped pa de l amplde d chageme λ. dx Faqe Ud(X) Fg 3.6 : éemao de la déomée po la méhode de aylegh Gééalao de la méhode éave a méhode mplée pécédee pe êe gééalée po abo a poce va : () Cho d vece al () éolo de K (3) e de la covegece - < (() o covegece) K (4) ϕ e ω e vece al () q e qelcoqe e p comme chageme po calcle le vece déplaceme de l éao vae (). Ce poce covege ve le mode pope odameal. E ee loq o e place da la bae de mode pope le vece à l éape va : α. k k k α k A l éape vae o a l égalé : α k ωk o de éao le coece coepoda a mode le pl élevé ede ve d aa pl apdeme qe la plao e élevée. e mode odameal deve alo pédoma e le poce covege doc ve le mode de pl bae plao. 5

26 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 oq o dée déeme le mode le pl poche d e plao ϖ l de mode la ~ ade pa : K K ϖ. e poce covege alo ve le mode de plao ~ ω ω ϖ. e méo d mode pe êe déemé e décompoa la mace de ade : ~ K où e e mace dagoale. e ombe de vale égave de doe le ombe de mode el qe ω <ϖ e le ombe de vale pove doe le ombe de mode el qe ω >ϖ. Iéao de o-epace a méhode pécédee pe êe éede e pea ple vece a e e e plaça da le o epace dé pa ce vece. e plao pope dove alo êe calclée à chaqe éao e calcla o le mode pope d yème éd a o-epace édé. - Cho de p vece a X [... ] p - éolo de K X X 3- Pojeco de mace K e le o-epace K X K X e X X 4- Calcl de o le mode pope da le o-epace K Q Ω Q (méhode de Jacob Q ) 5- eo à l epace comple X X Q 6- e de covegece ( o covegece) 6

27 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Calcl pa ecombao modale oq e bae de mode pope a éé calclée (de aço eace o appochée avec la méhode de aylegh) l éqao de la dyamqe pe êe éole e pojea cee bae éde. Po cela o cheche e olo o ome d e combao de mode pope e o pojee la bae de mode pope. Cec peme de éde codéableme le ombe de degé de lbeé. Pojeco mode pope Codéo o d abod e bae avec el mode pope : U U C KU F( ) U ( X ) ( ) Noo () le coece mlplca de la oce (ce q e poble loqe la épao paale d chageme e vae pa a co d emp) : F F ( () ) éqao pe êe dvée pa q e appelé la mae gééalée d mode: () C () K ( ) F ( ) F () ξ () ( ) ( ) ω ω Noo ~ ( ) la oco calae olo de l éqao vae : ~ ~ () ξ () ~ ( ) ( ) ω ω e champ de déplaceme olo de l éqao d éqlbe pojeé le mode e doc : F U ( ) ~ ( ) a doée le po le dmeoeme e la vale mamale d déplaceme le mode d où la déomée eême le mode : U ~ ma F ma ~ ma O pe calcle aéme le chageme aqe éqvale coepoda à ce champ de déplaceme. Pa déo c e le chageme q applqé aqeme cod a même déplaceme e o po. So : ma ma F ~ ma F KU ω ( X ) egado le ca d chageme mqe. a le ééeel ela le oce mqe o popooelle à la mae e o dgée da la deco d éme applqé (po éme éel o deva cmle le 3 deco de chageme O Oy e O). So le vece oce : F() I a() I e champ de vece é doa la deco d chageme ppoée c hooale (accéléao é). a ce ca d chageme mqe ~ ( ) ( ) a ) : vée (ca ( ) 7

28 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 ~ ~ () ξ () ~ ( ) a( ) ω ω Ce champ de vece pe êe élé po calcle l eo acha à la bae de la ce (q e égale à la élae de eo q applqe la ce : ma F I I ). Ce eo acha e le pod de la pedo accéléao e d e gade homogèe à e mae q e appelée mae modale eecve: ~ma ma ω ~ ma I ω : pedo-accéléao q déped de la plao d mode m~ I : mae modale eecve a mae modale eecve poède popéé éeae : - Elle e déped pa de la omalao choe po le mode - a omme de mae modale de o le mode e égale à la mae oale de la ce Il a emaqe qe la mae gééalée d mode m omalao de mode. I epéee la pojeco d chageme mqe é le mode. / m e appelé coece de pacpao. Il déped a de la omalao d mode e de la deco d chageme. el q l e dé c l e e gade pécqe a chageme mqe. a mae oale de la ce va I I. ecombao modale Codéo maea ple mode pope: U U C KU F( ) U ( ) ( X ) Ue éce pl codeée la de mace ecaglae do le coloe o omée de vece pope e de vece aembla le déplaceme gééalé pe êe lée : U ( X ) () S le coe éqeel d chageme F() e el qe el le P mode de pl bae éqece o ecé o pe alo éce : P P ~ F U ( ) ( ) ( X ) ( ) ( X ) e déplaceme d e ce peve doc êe calclé à chaqe a e pojea le chageme chac de mode e e calcla la époe de P yème à ddl (le mode pope). e évolo empoelle de déomao e eo ee peve a êe déemée e calcla le gade (paa) éceae e le le lo de compoeme maéelle éceae. e doée le a dmeoeme o gééaleme le vale eême (de eo ee coae o déplaceme). e pl le pece d ocllae lé e éme doe le vale eême (e déplaceme pa eemple) o le eo aqe 8

29 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 coepoda. E péece de ple mode l a doc cmle le ee de chac de mode. Ple ègle de cml ee (SSS CQC ). Ue de pl mple e le cml qadaqe mple (Sqae oo o he Sm o he Sqae) lable loqe le mode o de éqece amme dce. e vale eême o calclée e aa e moyee qadaqe. Pa eemple po le déplaceme: P ma ma ( ( )) ~ F U X ( ) X e même ègle dove êe lée po le déomao le coae e le eo ee (l a o éve de calcle de gade pa e. le déomao- champ de vale eême -pa e. le déplaceme-). Cee ègle de cml qadaqe e odée l hypohèe qe le époe modale o de poce décoélé. a ce ca la moyee e l éca-ype d poce omme de l eemble de poce élémeae de moyee m e d éca-ype vée: m m e E vbao de ce le moyee de gade peve êe ppoée lle (moveme ao de la poo d éqlbe aqe) e l amplde d moveme e deceme lée à l éca-ype d poce. Cee ègle q doe le déplaceme (o le coae) mamm pemea le dmeoeme de la ce e valable qeme le mode o amme dc e l amoeme e a po le cople. S ce hypohèe e o pa véée cml qadaqe do êe comple [Pecke 6]. Cobo aqe de mode églgé Iéeo-o maea à l ee comme pa la ocae modale. Po cela ao le ca d e poe ecaée à a bae e ome à e oce pocelle. Ue bae modale calclée e ppoa l eémé péee de la poe lbe e peme pa de eove la dcoé d eo acha lée à la chage pocelle loqe F e aqe (Fg 3.7a). E ee même la déomée d mode odameal odameal (Fg 3.7b) e poche de la olo aalyqe aqe l eo acha e le mome lécha o co e e peve doc pa epode la dcoé d eo (olo able). a le ca aqe l e doc pééable d le le mode aqe aqe à la place d e bae modale. oqe F e dyamqe (pa eemple hamoqe de plao Ω) la époe de la ce e déee d ca aqe e déped oeme d coe éqeel de l ecao : le chageme pe mee e éoace de mode de la ce (Fg 3.8a e b) e cea mode peve épode de aço aqe loqe la plao d chageme Ω e pee deva la plao d mode (Fg 3.7a). Il e alo éea d le e bae modale po éde le ombe de degé de lbeé. oeo l eo acha e ojo dco e ao de la oce pocelle. S cee omao e mpoae la bae modale pe êe compléée pa mode appelé mode aqe o pedo-mode calclé à pa de la déomée aqe ma ohogoalé pa appo à la bae modale lée. Ecvo cela po modèle éléme poéda N degé de lbeé e dga le mode époda dyamqeme e aqeme à la ollcao. U chageme de bae (de la bae phyqe ve la bae de mode pope) cod à: P ~ N F ~ F U ( X ) ( ) ( X ) ( ) ( X ) P e déplaceme ~ ( ) pe êe calclé acleme po le mode à hae éqece (>P). E ee po ce mode le chageme e è le e pe doc êe codéé 9

30 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 3 comme aqe. ) ( ~ vée l éqao de la dyamqe da laqelle le peme eme de mae e d amoeme peve êe églgé: ) ( ) ( ~ ω a époe de mode à hae éqece e doc peme aqe (ma avec de vaao empoelle). où : ) ( ) ( ) ( ) ( ~ ) ( N P P X F X F U ω e ecod eme coepod doc à la cobo aqe de mode églgé (aya e plao pl élevée qe le plao d ecao e/o qe le plao de phéomèe édé). Il pe êe calclé à pa de la ade aqe e de P peme mode. E ee la mace de ade vée (paage da le epèe de la bae de mode pope): N N N F F K F F K ω ω où : F S F eg N P ω avec P P eg K K K S ω ( ) P P eg K F F K F K F K F S Cee deèe égalé e paclèeme le qad o e ve calcle q ombe ee de mode a oeo églge la cobo aqe de mode églgé (e o calclé). F S eg e appelé le pedo-mode aocé a chageme F e à la bae modale lée. e pedo-mode aocé a chageme pocel pécéde (Fg 3.7) e à e bae modale omée d el mode odameal e doé Fg 3.9. a dbo d eo acha Fg 3.9b me be e évdece le a qe le pedo-mode e calclé e ohogoala le mode aqe (Fg 3.7a) pa appo a mode odameal (Fg 3.9a) : la épao d eo acha e mlae à celle d mode odameal a a po d applcao de la oce. Il a emaqe qe l éqao pécédee e pa valable po de plao lle (mode de cop gde) ma l égalé pe êe modée e décala la plao d mode de cop gde de ω ~ : ( ) P eg K S ~ ) ~ ( ω ω ω où la ade aqe de mode églgé : ( ) N P N P ~ ω ω ω po ~ ω ω >>

31 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 F F a/ Solo eace b/ Solo e la le mode odameal Fg 3.7 : Poe ome à eo pocel aqe F(Ω) F(Ω) a/ époe le mode odameal b/ époe le ecod mode (Ω poche de ω ) (Ω poche de ω ) Fg 3.8 : Poe ome à eo dyamqe (hamoqe) pocel 3

32 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ode odameal b/ Pedo mode Fg 3.9 : ode odameal e pedo mode aocé à chageme pocel 3

33 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 éhode de o-cao oqe le volme de modèle de calcl deve mpoa e/o qe l o dée aemble de modèle de compoa développé de e dée po éde le compoeme d eemble de la ce ale (ca de l aéoaqe Fg 3.) l e coa d le de méhode de o-cao (o de yhèe modale loqe de bae de mode pope o lée). egado le pcpe de ce méhode. a ce e dvée e P o-ce do le mode eo calclé épaéme. e déplaceme de la ce dove vée l éqao d éqlbe : K e Noo : j m [ ] : le coodoée gééalée coepoda a m mode pope de la o-ce j m [ ] : le déplaceme de po déa la lme ee le odomae (déplaceme de la lao). O décde de cho ce déplaceme comme degé de lbeé leqel ea codeée l éqao d moveme. Il a maea calcle le vece déplaceme aocé à chace de coodoée. Ple méhode ee. egado o d abod celle lao e bae de mode pope avec de codo a lme bloqée (mode pope d «bloqé»). Fg 3. : Aalye d compoeme dyamqe d e ale d avo pa yhèe modale [Fache 3] 33

34 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 34 éhode de Cag e Bampo Po chaqe o-ce le mode pope peve êe calclé e mpoa le degé de lbeé de l eace. Noo l eemble de ce vece (mace ecaglae [ ] m j ). Il o olo de l éqao a mode pope locale : ( ) Ω K où K e o le mace de ade e de mae de la o-ce do le œd de l eace o bloqé. Noo K la mace de ade globale de la ce complèe (œd de l eace o bloqé). e vece (o mode) coepoda a oed de l eace peve êe calclé acleme à l ade de calcl aqe pe coûe (pa appo a calcl de mode pope de la ce complèe) e mpoa cceveme de déplaceme é à chac de degé de lbeé de l eace. Cec écee aa de calcl aqe qe de degé de lbeé de la oèe. Noo [ ] m j l eemble de ce vece appelé mode aqe (aocé a lao). e déplaceme de la ce complèe peve êe maea développé cee bae compoa de mode pope bloqé a œd de la oèe e de mode aqe le œd de la oèe. éqao d éqlbe de la ce complèe éc : e K K Pojeo le mode pope de chace de o-ce : e K e codo a lme bloqée pemee de ae dpaaîe le eme e. E ee K ca K (oce odale aocée a mode aqe) e compoe de eme o l qeme à l eace (mode déemé e mpoa de déplaceme qeme e ce po) où le déplaceme de mode o l. Pojeo le mode aqe : e K e eme e dpaaî a ca ( ) K K. e yème éc doc o ome macelle : e e K K e mace o be yméqe (ca ( ) ). O ecoaî le ade e mae gééalée de mode pope de o-ce ( K e ). Ce o-mace o doc dagoale. U eme de coplage ee le mode aqe e le mode pope appaaî ca ce mode e o pa ohogoa pa appo à la mace de mae. O vo be qe le mode pope de o-ce e le mode aqe o coplé qeme pa l emédae de mace de mae e pace qe le mode aqe o de déplaceme o l à l ée de o-ce. e pl le o-ce e o alo coplée qe pa le mode aqe.

35 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 35 Ulao d e bae de mode pope «lbe» e cho d e bae de mode pope bloqée e pa oblgaoe. O pe pa eemple décde de déce le moveme de l eace à l ade d e vaable d eo epéea le eo de lao. e champ de déplaceme éc alo : avec déemé e applqa de eo é a œd de l eace (e o pl de déplaceme é Fg 3.). éqao d éqlbe de la ce complèe éc : e K K oqe l éqao d éqlbe e pojeée la bae de mode pope p le degé de lbeé de l eace le eme de ade coée e e e ale pa comme pécédemme e ao de codo a lme lbe. E ee K (oce odale aocée a mode aqe) compoe de eme o l (e a éga à l é degé de lbeé de lao) à l eace où le déplaceme de mode o o l. a mace K e doc e mace ecaglae coea le déplaceme moda le degé de lbeé de lao. Pa eemple da le ca d mode pope e de de mode aqe aocé a œd de coodoée e cee mace éc : ( ) ( ) [ ] K. e même la ade aocée a mode aqe e dagoale e coe le déplaceme de mode aqe a œd de la lao : ( ) ( ) K. éqao d éqlbe globale éc alo : e e I K K K K e lao ee o-ce o aée pa l éqlbe local de eo. Comme o le vea da l eemple va cee codo e éqvalee à la coé de déplaceme. a/ Aemblage de o-ce «qadlaèe» b/ ode aocé à ddl e déplaceme c/ ode aocé à dll e oce Fg 3. : Eemple de mode aqe

36 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Illao e poe e aco-compeo Po lle le méhode de calcl pa yhèe modale calclo le éqece pope d e bae e aco-compeo de loge de modle E e de eco S. a bae e dvée e o-ce de loge oée epecveme AI e I B. e déplaceme de po A e B o bloqé da o le ca. Ulo o d abod de bae de mode pope bloqée. Noo : () e () le déplaceme moda de chace de ce () e () le coodoée gééalée de mode aqe (q o c déplaceme de po I e I ). a bae de mode pe e omée de mode pope bloqé e de mode aqe : π - ( ) e ( ) po la o-ce AI (<<) (Fg 3.a e c) π - ( ) e ( ) po la o-ce I B (< <) O vée qe la mace de ade globale e compoe qe de eme dagoa : ( ) ES π K ES d ( ) K ES d ES ( ) ( ) ES ( ) ( ( ) ( )) K ES K ES d d Pa coe la mace de mae compoe de eme de coplage ee mode aqe e mode pope : ρs ρ S( ( ) ) d ( ( ) ) ρs ρ S d 3 ρ S ρs π ρs ( ) ( ) d d ( ) π E ajoa la codo de coé d déplaceme à l eace l éqao d moveme éc le degé de lbeé () ( ) e λ ( ) le mlplcae de agage aocé à la lao: ρs ρs ES π ( ) π ρs ρs ( ) ES π π ρs ρs ( ) ES π 3 ρs π 3 O pe emaqe qe le mlplcae de agage λ epéee l eo de lao. ( ) ρs λ ES λ 36

37 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 37 Ulo maea de bae de mode pope lbe. e degé de lbeé d yème o le déplaceme gééalé de mode pope () e le eo ( ) po le mode aqe. e mode pope e aqe o epecveme de la ome : ( ) ( ) π e ( ) ES φ Be qe le mode aqe o c deqe (à e coae pé) a mode aqe pécéde l a be le déece : loqe le mode aqe o aocé à de déplaceme l o calclé e mpoa cceveme de déplaceme é à chaqe degé de lbeé de la lao (e mpoa de vale lle a ae déplaceme de la lao) alo qe po de mode aqe aocé à de eo le déomée o deée e mpoa de eo é (Fg 3.). Comme pécédemme le mode pope e le mode aqe o coplé pa l emédae de la mace de mae. U eme de coplage appaaî a la ade : ( ) ( ) ( ) ( ) d ES ES d ES K ( ) ( ) ( ) ( ) d ES ES d ES K e o-ce peve êe lé pa l éqlbe local ( ) ( ) (q pe a éce () () ). éqao d éqlbe éc doc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ π π λ ρ π ρ ρ π ρ π ρ ρ π ρ ρ ES ES ES ES S E E S E E E S E S O emaqe c qe le mlplcae de agage λ doe le déplaceme de la lao e qe la codo d «éqlbe local» de la lao (3 ème e 4 ème lge d yème) e éqvalee e l abece de oce d ee à la codo de coé de déplaceme de la lao: ES λ. oqe de mode pope lbe o lé la mace de ade pe êe calclée e mpoa mpleme la coé de déplaceme à la lao. e yème éc alo o églge la mae e la ade de mode aqe: ( ) ( ) 8 8 λ π π λ ρ ρ ES ES S S

38 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 38 U mélage de bae de mode pope lbe e bloqé pe a êe lé. Cec pe êe le qad le modèle d e o-ce écee de codo de ymée cyclqe (pa eemple modélao d éevo cyldqe e mode de Foe poble qeme le degé de lbeé de lao o lbe) alo q l e pééable de calcle le mode pope de ae o-ce (pa eemple de yaee lée a éevo) e bloqa le degé de lbeé de lao. e moveme de l eace ea alo doé pa : - () () ( ) () ( ) po la o-ce do le moveme de l eace e déce pa déplaceme (mode pope bloqé : ( ) ). - () () ( ) () ( ) po la o-ce do le moveme de l eace e déce pa eo (mode pope lbe) e éqao d moveme de chaqe o-ce écve epecveme : ( ) ( ) 3 ES ES S S S S π ρ π ρ π ρ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ES ES S E E E S π ρ π ρ π ρ ρ Aya eplcé le vaable de déplaceme e d eo po la lao le elao ee le o-ce dove alo êe mpoée e écva l éqlbe local de la lao e la coé de déplaceme (le éqao o éceae po povo éode complèeme le yème ca le lao o déce pa le vaable de déplaceme e d eo ). Commeae l ee comme Il e éea d eme l ee comme po le déee méhode de ocao. e ablea 3. e la Fg 3.3 doe le plao pope de peme mode a qe le déomée modale po l eemple pécéde. U el mode pope a éé p po chace de o-ce (Fg 3.) a po le 3 ème ca ( mode pa o-ce a mode aqe). appelo qe le plao d e mode bloqé e d e mode lbe d e bae de loge vale epecveme E bloqé ρ e 4 E lbe ρ

39 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 S bloqée S bloqée S lbe S lbe avec mode aqe S lbe S lbe a mode aqe ( mode/-c) S lbe S bloqée Ca de ééece ode ode ode ablea 3.: Féqece pope po ple méhode de o-cao E ( k ) ρ Il a o d abod emaqe qe le éqece doée pa le méhode de ocao o ojo emée pa appo a éqece éelle (comme pa la méhode de aylegh qad la déomée pe e déee de la déomée modale éelle). Elle doe le vale eace qad le déomée modale de chaqe o-ce pemee de eove eaceme le déomée de la ce complèe. e cho de codo a lme de o-ce écee doc e pa d o de la pa de l gée. Po même coû de calcl (ombe de mode lé) le éla al ea d aa melle qe l gée aa eme le déomée modale de la ce aemblée. e ca eême (bloqé e lbe) o pao op coaga e l e alo coellé d le de codo emédae e a po le calcl de mode pope de o-ce de mae e/o de eo à e eace [Gbe 988] [Gad 3]. 39

40 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ode aqe b/ ode avec eace I lbe c/ ode avec eace I bloqée Fg 3. : Bae de mode pope e aqe de la o-ce S a/ ode pope bloqé e mode aqe b/ ode pope lbe e mode aqe ( mode pope pa o-ce) c/ ode pope lbe a mode aqe d/ ode pope bloqé (S) e lbe (S) ( mode pope pa o-ce) avec mode aqe Fg 3.3 : éomée modale (déplaceme aal) de 3 peme mode doée pa déee méhode de o-cao (e : déomée eace) 4

41 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Applcao a ce mlppoée e ce ome à de moveme déeel d app (ove appelée ce mlppoée) coe ca pacle de o-cao. eemple de la Fg 3.4 e poqe app aya de moveme mpoé dée. oqe la ce e léae le moveme de la ce pe êe décompoé e moveme aqe cla le déplaceme déeel e moveme dyamqe. Comme le moveme de app e co (chageme applqé) le déplaceme aqe o co e o oé : j m le m app de la ce [ ] aqe à l ée de la ce e champ de déplaceme oal à l ée de la ce e la pepoo de déplaceme aqe e de déplaceme dyamqe ( le mode pope «bloqé»). : oqe l eemble de app a moveme deqe (moveme de alao ome) le déplaceme coepod a déplaceme abol e le déplaceme a déplaceme ela pa appo a ppo. éqao d éqlbe de la ce complèe pojeée le mode pope éc e codéa le déplaceme d app comme chageme eée : K e Il e éea de vale le chageme eée (Fg 3.6) aocé a mode aqe de l eemple Fg 3.4 e 3.5. a omme de chageme aocé a mode aqe de chac de app e chageme homogèe égal à I (Fg 3.6c). Po lle cela le moveme d poqe om a moveme d app hooal va : () e ( τ ) avec la oco dée Fg 3.7a. a éqece d mode odameal de ce poqe va.7 H. e déplaceme de app d e amplde de.4 mm e applqé e m o e accéléao mamale de m/. e déphaage empoel ee le app a éé p égal à τ m. e évolo empoelle d déplaceme déeel ee la êe e le ped d poea (lèche - Fg 3.7b) o éé calclée pa 3 méhode : - éhode : calcl modal e codéa le moveme de app comme chageme dyamqe avec el mode pope e le mode aqe d app - éhode : calcl bae phyqe e codéa le moveme de app comme chageme dyamqe e le mode aqe d app - éhode 3 : calcl dec e applqa éelleme le déplaceme d app. e 3 méhode doe be de éla cohée (déplaceme cood Fg 3.7b). a décompoo e déplaceme aqe e dyamqe (méhode e ) peme de mee e évdece ple phéomèe : - a déb d chageme le déplaceme dyamqe compee le déplaceme aqe q o «aaé» : l ee d poqe eade l a aqel le omme d poqe commece à boge - le vbao apè applcao d chageme o de à la compoae dyamqe d chageme. 4

42 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 4 m H3 m E3 Pa ρ4 kg/m 3 ab.5m gache do Fg 3.4 : Poqe om à déplaceme déeel de app a/ ode pope odameal (.7 H) b/ ode aqe aocé a e app c/ ode aqe aocé a ème app d/ ode aqe aocé à moveme mlaé de app Fg 3.5 : ode pope e mode aqe d poqe mlppoé 4

43 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ode aqe aocé a e app b/ ode aqe aocé a ème app c/ ode aqe aocé à moveme mlaé de app Fg 3.6 : Chageme eée aocé a dée mode aqe 43

44 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 5 éplaceme (mm) 4 App gache 3 App do emp () Accéléao (m/) 5 App gache App do emp () a/ Foco déa le moveme de app éplaceme (mm) 8 6 éplaceme oal 4 éplaceme aqe - -4 éplaceme dyamqe emp () b/ Flèche d poea gache (a co : déplaceme ela e: décompoo de la époe e compoae aqe e dyamqe po le méhode e ) Fg 3.7 : oveme d poqe om à déplaceme déeel 44

45 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Algohme d égao empoelle e b de ce chape e de doe qelqe oo le algohme d égao empoelle. Po cela egado l ocllae à degé de lbeé o amo : ω aya le codo ale () e (). a ablé d algohme d égao éde e mea l éqao déeelle d ode o ome d yème d ode : ω ω {} Y [ A] {} Y avec [ A ] égao méqe de ce yème d éqao déeelle écee e dcéao e emp. e algohme e déece pa la méhode de calcl de l éape à pa de l éape. Algohme d Ele egado le algohme de la amlle d Ele (Fg 3.8). éa (déplaceme e vee) à l éape pe êe calclé à pa de : - la dévée à l éape : { Y } { Y } { Y} (Ele Fowad) - la dévée à l éape : { Y } { Y} { Y } (Ele Backwad) - la moyee de dévée à l éape e :{ } { Y} { Y } { Y } de apèe) Y Y (ègle Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Fg 3.8 : éhode d égao d Ele ω Po Ele Fowad : { Y } { Y } e vale pope de cee mace vale λ ± ω e modle de vale pope e ojo pée à e l algohme e ojo able. 45

46 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 ω Y Y e vale pope vale λ ± ω. Po Ele Backwad : { } { } e modle de vale pope e ée à. algohme e doc able ma dpa. ω ω Po la ègle de apèe : { Y } { Y } e modle de vale pope va. algohme e doc able e coeva. e déee popéé de algohme d Ele o véée Fg 3.9 yème à ddl de éqece pope H avec pa de emp de.. 8 éplaceme 4-4 emp () a- Ele Fowad éplaceme b- Ele backwad emp () c- ègle de apèe Fg 3.9 : époe d ocllae à ddl o amo 46

47 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Algohme de Newmak Ue amlle d algohme è lé e celle de Newmak. e déplaceme e la vee o calclé à pa de accéléao a éape e : v ( β ) a β a v v ( γ ) a γ a O ppoe qe l éqao d éqlbe e véée à l éape a Cv K Po yème léae élaqe l accéléao à l éape e calcle doc e vea le yème : β γ C K a ( v ) éece ceée algohme de déece ceée (Fg 3.) e le ca pacle β e γ/. v a v v γ a γ a ( ) C a Cv a K a mace C pe êe calclée aéme la mace e la mace C o dagoale d où l éê d le e mace de mae coceée (o lmpée) e de pede e mace d amoeme popooelle à la mae (pa eemple da le code de calcl eplce EUOPEXUS). oqe le degé de lbeé o le déplaceme moda amoeme e copla pa le mode ee e (mace d amoeme dagoale) cove. Comme la mace de ade K -q e jama dagoale- e jama veée l algohme e d eplce. e om de déece ceée pove de l égalé : Ce algohme e lé pa l opéae YNE de CAS3. a v v. a v v a v Fg 3.: Algohme de déece ceée 47

48 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 48 Accéléao moyee : algohme de l accéléao moyee (Fg 3.) coepod a ca β/ e γ/ ( ) * 4 4 a a a v ( ) * a v a a v v e qaé * d e * v o calclée deceme e oco de gade à l éape. accéléao à l éape e doée pa : * * 4 K Cv a K C e om d accéléao moyee eplqe pa le a q o ège l accéléao ee e e pea a vale moyee l evalle. ( ) ( ) a a d a v v τ τ ( ) ( ) 4 a a v d a v τ τ τ Fg 3.:Algohme de l accéléao moyee Aalye de la ablé : Aalyo la ablé de algohme de Newmak va le vale de α e β. ) ( a a v β β ) ( a a v v γ γ K Cv a eo ce yème o la ome d e mace de ae ee l éa à l éape ( v ) e l éape ( v ). ( ) ( ) v K C K C v K C K C β β γ γ β β γ γ eo le yème o ome admeoée po q l coepode à : v a ω ξω So : ( ) ( ) v v ω β ξω β ω γ ξω γ ω β ξω β ω γ γ ξω v v

49 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 49 egado le ca a amoeme : ( ) v v ω β ω γ ω β ω γ éqao caacéqe q doe le vale pope de la oco de ae éc : βω ω γ βω ω γ λ λ Po qe λ o complee l égalé vae do êe véée : 4 4 ω β γ S λ e éel le yème e pa oclla e e peme doc pa de eove la ome de la olo aalyqe. Ecvo le vale pope complee (q o cojgée) o la ome modle e phae : ϕ ρ λ e ± e modle va : βω ω γ ρ e modle doe l amplcao de la époe ee l éape e. Cee amplcao va po le ca aalyqe. S l e ceme ée à l algohme poède de l amoeme méqe. S l e ceme pée à l algohme e able. a codo de ablé éc doc : γ. a phae va : 4 Acg βω ω γ βω ω γ βω ω ϕ Po le déece ceée (β e γ/) la codo de ablé 4 4 ω β γ éc : ω. a le pla (γβ) o pe dge 3 oe coepoda à de codo de ablé déee (Fg 3.). Fg 3. : Sablé de algohme de Newmak va le vale de γ e β (ocllae o amo) γ 4β γ β 4 3 : Iable : Codoelleme able 3: Icodoelleme able éece ceée Accéléao moyee

50 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Po lle la oo de ablé le vbao lbe d yème à ddl amo o éé calclée à l ade de algohme de déece ceée (Fg 3.3a) e de l accéléao moyee (Fg 3.3b). po pa de emp e epeca pa la codo de ablé de déece ceée (po le ecod mode ω > ). e ocllao coae appaae be le ecod mode da le ca de déece ceée alo qe le yème e paaeme amo po l accéléao moyee. K K.5 éplaceme a/ éece ceée emp () éplaceme emp () b/ Accéléao moyee Fg 3.3 : Vbao lbe d yème à ddl amo ( ω ) Emao de l ee egado le ee comme l amplde e la phae de la époe : S S γ β 4 ( ) ω ρ γ O γ ω βω ω ϕ 3 β ω O( ) ϕ l ee comme l amplde de la époe e e ω. celle comme la péode d ocllao e a e ω. > 5

51 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 O d qe l algohme e d ode. e éla obe avec le méhode de déece ceée e de l accéléao moyee o éé compaé à la olo aalyqe po yème à ddl o amo Fg 3.4. e algohme o be o-dpa. e pl la péode pope e epecveme emée e o-emée da le ca de l accéléao moyee (Fg 3.4b) e de déece ceée (Fg 3.4a). Cec e e accod avec le vale d ablea 3.. Algohme γ β éece ceée Fo&Goodw Accéléao léae Accéléao moyee Accéléao moyee modée me de ablé ω Ee d amplcao ρ ( ) α α α ω 4 Ee la péode / ω 4 3 O.45 ( ) ω 4 ω ω ablea 3. : Qelqe algohme de la amlle de Newmak éplaceme emp () a/ éece ceée éplaceme b/ Accéléao moyee emp () Fg 3.4 : bao lbe d yème à ddl o amo ( H d.) compaée à la olo aalyqe (e) 5

52 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 éhode-α de Hlbe Hghe e aylo (HH) algohme de la méhode α HH e doé à e dca. e déplaceme e vee o calclé comme pécédemme : v ( β ) a β a v v ( γ ) a γ a éqao d éqlbe e pl véée à l éape ma e «décalée» gâce a coece α. a ( α )( Cv K ) α( Cv K ) ( α ) α Ce ype d algohme e d ecod ode e péee amoeme méqe le hae éqece qeme (coaeme à l algohme de l accéléao moyee modée q amo a le bae éqece) loqe le codo vae o véée : α γ α β ( α ) 3 4 Cee popéé de lage de hae éqece e lée pa eemple po lme la popagao de ee epémeale da la méhode d ea pedodyamqe (Fg 3.5) q cople ea e laboaoe po le calcl de la lo de compoeme (déemao epémeale d eme Kd ) e méhode méqe po l égao empoelle. Cee méhode e paclèeme adapée a ea de ce de gée cvl à gade échelle do le compoeme de maéa e ableme dépeda de vee de déomao. Fg 3.5 : éhode d ea pedodyamqe (JC Ipa Iale) 5

53 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Calcl da le domae éqeel e calcl empoel pa à pa e le calcl de mode pope peve avée è lod le modèle compoe de ombe degé de lbeé. a cea domae comme cel de vbao l gée pe éee o a égme éabl de la époe d e ce ome à chageme de dée è loge (pa eemple po éde l e d e ce vba o l ee d écoleme). Po cela l e pa éceae de calcle le mode pope ma l a avo e decpo éqeelle d chageme applqé. O pale a de époe hamoqe. e chageme e décompoé e e combao de ga hamoqe d ype : ω ( ω) co ω F ( ω) ω ( F F ) e ) ω U ( ω) co ω U ( ω) ω ( U U ) e ) F F e Po e éqece doée la olo chechée ea doc de la ome : U époe e éqao de la dyamqe pe alo e mee o la ome d yème à coe e coece éel : K ω ωc U F ωc K ω U F Ce yème compoe doc o pl d coe éelle qe de degé de lbeé d yème phyqe ma la éolo de l éqao dyamqe e amèe à la éolo d poblème aqe do la mace de ade e pa yméqe. a éolo d poblème e doc paclèeme mple loqe le code de calcl lé poède olve éel o yméqe (ca de CAS3 q e poède pa de olve complee). Applcao a calcl d vea vbaoe d e mache oae egado le ca d e mache oae ome à e oce de balod de à éqlbage mpaa. e balod e gééaleme caacéé pa a mae m e o eceeme e pa appo à l ae de oao. e oce de balod o oae à la plao de oao de la mache e l amplde e popooelle à Ω (pl eaceme Fme Ω ). a le ca édé le balod e placé le dqe ceal. évolo de l amplde de la époe (déplaceme d po où e e le balod) d e mache oae e oco de la vee de oao de la mache e doée la Fge 3.6. a mache e modélée pa de éléme de poe avec coplage gyocopqe. Cee ge me be e évdece le pc où la époe e mamale. Il y a éoace loqe la éqece de oao (e doc de l ecao) e égale à l e de éqece de la ce. 53

54 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ache oae édée (valao 3 d modèle de poe) b/ éplaceme avee d dqe ceal e oco de la vee de oao Fg 3.6 : époe d e mache oae à e oce de balod 54

55 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe appel méhodologqe e dyamqe de ce e compoeme dyamqe d e ce pe êe aalyé avec déee méhode chace éa pl o mo be adapée a poblème édé. a decpo d chageme déped de la méhode de calcl lée. Cea chageme peve a écee de modcao pplémeae de l éqao d éqlbe (ca de oce vee e de coae ale). Calcl empoel e calcl empoel ve à epode ce q l e paea da la éalé e o doc le pl gééa. e calcl empoel peve êe éalé bae phyqe (opéae YNAIC e PASAPAS Fg 3.) o bae modale (opéae YNE e YNAOE Fg 3.) avec de modèle léae (YNAIC YNAOE) o o léae (PASAPAS YNE). e cho d pa de emp a e mpoace majee : - oq algohme d égao empoelle mplce e lé (PASAPAS) le cho d pa de emp e dcé pa le phéomèe phyqe qe l o ve déce (gééaleme lé à la péode de mode pope pova êe ecé e a coe éqeel d chageme) - oq algohme eplce e lé (opéae YNE o le code de dyamqe apde comme EUOPEXUS) le cho d pa de emp e dcé pa de codo de ablé de l algohme (ω < po le déece ceée). E péece de o léaé l e coellé d adope de mage pa appo a cèe doé po de yème élaqe. oq e méhode d égao empoelle dece e lée le chageme pe êe : - de codo ale mpoée (vee ale d pojecle pa eemple) - de oce pocelle e épae vaa a co d emp - de déplaceme mpoé vaa a co d emp. A le chageme aocé à éme pe êe déc o comme de oce épae popooelle à la mae le calcl e éalé da le epèe aaché à la bae d bâme (epèe ela o gallée) o comme déplaceme mpoé loqe le calcl e éalé da le epèe abol. e chageme de ype oce e déplaceme mpoé vaa e oco d emp o dé da CAS3 pa l opéae CHA. Noo qe le chage moble (véhcle paa ovage d a avo e pe ) o éqvalee à de oce épae vaa e oco d emp. opéae CHA peme de dé le chageme po le pocéde de calcl empoel bae phyqe o bae. a cea ca la coaace complèe d chageme e pa éceae a dmeoeme. C e le ca de calcl peca e de calcl da le domae éqeel. Calcl peca e calcl peca o paclèeme lé po le dmeoeme élaqe de ce ome à éme o à chageme aoe caacéé pa pece d ocllae. Ce calcl e écee qe la coaace d pece d ocllae pao appelé pece de choc (q e da le ca de CAS3 e mple évolo) e de mode de la ce (Fg 3.). Sele le vale eême o oe pa le calcl ma ce doée o ae po le dmeoeme. Calcl da le domae éqeel a époe océe à chageme hamoqe e l eemple le pl mple de calcl da le domae éqeel. Il e eqe qe le vece oce complee (pae éelle e magae) e le mpédace de ade mae e amoeme (calclée avec 55

56 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 l opéae IPE). a le ca léae le calcl hamoqe e amèe à calcl aqe (opéae ESO). a le ca de chageme pl complee le chageme e le mpédace dove êe éacalé po chace de éqece de calcl (Fg 3.3). e paage ee domae éqeel e empoel e a à l ade de aomée de Foe. Paclaé de oce vee e gade caégoe de chageme pécédee (vaao empoelle de oce o pece d ocllae) ppoe qe le chageme pe êe oaleme déc pa vece oce é a ecod membe de l éqao d éqlbe. Cec e pa ojo poble : e ee le a qe le oce applqe ojo la cogao déomée écee la pe e compe de eme pplémeae a peme membe. A le oce de peo q applqe lde e pao chage avec la ace e l oeao de l éléme epoé a lde ( la ace de l éléme agmee le oce de peo agmee e veeme). Ce oce écee de ecalcle le oce de à la peo d lde e oco d champ de la déomée. a le ca de pe déplaceme l céme de oce e popooel a déplaceme po lde a epo (e a vee po lde e moveme). Cec pe êe p e compe pa e mace de ade pplémeae appelée KP da CAS3. oqe le déplaceme devee op mpoa (calcl e gad déplaceme) cec écee de vée l éqlbe avec chageme emé la cogao déomée. e oce cege (calcl da epèe oa) o ae eemple de oce vee écea e mace de ade de cege (o p oeg). Il a oe qe le calcl dyamqe da le epèe oa écee a la mace de Cool. Pe e compe d chageme al e chageme al pe avo e mpoace majee la époe dyamqe d yème. Sa pe e compe e pacle da le calcl de mode pope e mo évdee qe da le calcl cémea da leqel le chageme aqe e dyamqe peve êe cmlé. E ee le mode pope coepode à de vbao ao d éa d éqlbe po leqel le coae peve êe élevée : vbao d e code de gae ede de la membae d ballo golé d e ce compoa de lao boloée a léaao ao de ce éa e complèe q e ea compe de la ade de pécoae (appelé KSIGA da CAS3). 56

57 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Céao d modèle allage aéa ace de ade de mae e d amoeme Codo a lme Applcao d chageme aqe ecpo d chageme dyamqe épao paale Evolo empoelle (coe éqeel?) Codo ale Calcl de mode pope o amo Qel o le mode pova êe ecé? (éqece déomée) Calcl dyamqe empoel Algohme mplce o eplce? Cho d pa de emp phéomèe phyqe o ablé Po-aeme d calcl Compéheo de la époe de la ce Vale eême le po le dmeoeme Fg 3. : Calcl empoel pa à pa bae phyqe 57

58 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Céao d modèle allage aéa ace de ade de mae e d amoeme Codo a lme ecpo d chageme épao paale Evolo empoelle (coe éqeel?) Codo ale Calcl de la bae modale ode pope d modèle comple Cho de la ocae modale ode pope de N o-ce ode lbe o bloqé ode aqe a lao Ajo de la cobo aqe de mode églgé Aemblage Pojeco la bae modale édco de la alle d poblème Calcl dyamqe empoel Algohme eplce Cho d pa de emp ablé ecombao de époe modale Obeo de éla da la bae phyqe Po-aeme de éla Compéheo de la époe de la ce Vale eême le po le dmeoeme Fg 3. : Calcl empoel pa à pa bae modale 58

59 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Céao d modèle allage aéa ace de ade de mae e d amoeme Codo a lme ecpo d chageme épao paale Spece d ocllae Coe éqeel Calcl de la bae modale ode pope d modèle comple Cho de la ocae modale ode pope de N o-ce ode lbe o bloqé ode aqe a lao Ajo de la cobo aqe de mode églgé Aemblage Pojeco la bae modale édco de la alle d poblème (chageme mace ) Ulao d pece d ocllae époe eême chaqe mode (déplaceme moda déplaceme phyqe coae ) ecombao de époe modale e de chageme Po-aeme de éla Compéheo de la époe de la ce Vale eême le po le dmeoeme Fg 3. : Calcl peca 59

60 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Céao d modèle allage aéa ace de ade de mae e d amoeme Codo a lme ecpo d chageme épao paale Spece de pace (SP) o Amplde e phae e oco de la éqece Cho d domae éqeel édé Calcl de la bae modale Pojeco la bae modale Calcl de la oco de ae o de l mpédace de la ce Calcl de la époe à chaqe éqece SP o Amplde e Phae Bocle le éqece eo da le domae empoel Po-aeme de éla Compéheo de la époe de la ce Vale eême le po le dmeoeme Fg 3.3 : Calcl hamoqe o éqeel 6

61 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 4. Amoeme de ce Avec la mae de la ce l amoeme a e lece majee la époe de la ce. oeo ce eme e eêmeme pe co ca l pe avo ple oce (dpao d maéa lao ee le o-ce amoeme pa adao ). Po cee ao a modélao e gééaleme è mplée e poche de amoeme doé da le églemeao). Sele qelqe dée gééale o doée da ce chape. 4.. Amoeme vqe e modèle d amoeme le pl épad e l amoe vqe. a ce modèle le oce q oppoe a moveme o popooelle a vee elave : F vqe C oqe le calcl o eecé da le domae éqeel l amoeme e doc e mpédace magae : ωc F vqe oqe l amoe e le eo o moé e paallèle (modèle de Kelv-Vog) le oce vqee e le oce élaqe ajoe. éqao de la dyamqe éc doc: ( ω ωc K ) Feée ( ω) oqe le maéa e vqe la coae e popooelle à la vee de déomao E µ où E e le modle d Yog e µ e la vcoé d maéa. a mace d amoeme pe êe calclée de la même aço qe la mace de ade. Po ce modèle mplé la mace d amoeme e doc popooelle à la mace de ade : C µ K. E O pe compae l éqao d moveme à celle d yème à ddl de plao ω e d amoeme éd ξ: ξω ω µ K K E µk µ O a ξω d où ξ E E ω. Qad la mace d amoeme e popooelle à la ade l amoeme éd e doc popooel à la plao d mode. Po de yème à ple degé de lbeé cela ge q avec el amoeme e mace doa amoeme éd ξ mode de éqece doea amoeme éd vala ξ.ξ po le mode de éqece. emaqe : a cea modèle le eo e amoe e o pa moé e paallèle ma e ée (modèle de awell awell gééalé e Zee). O e epoea a chape 7 da [Hemè 999]. 6

62 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 emaqe : Cea yème phyqe comme le amoe vqe peve avo de lo de compoeme pl complee q e o pl léae pa appo à la vee. Pa eemple : α Famoe C e calcl à eece devee alo o léae. 4.. Amoeme de aylegh Avec modèle peme vqe le mode de pl bae éqece o gééaleme op pe amo. Cec a cod à l lao è éqee d modèle d amoeme mélagea amoeme vqe (popooel à la ade) e amoeme popooel à la mae. Ce modèle e appelé amoeme de aylegh. C α βk amoeme éd e oco de la plao (Fg 4.): α βω ξ ω e bae éqece peve êe oeme amo. E paqe o aage po qe l amoeme ee paqeme coa la gamme de éqece mpoae po l éde. Il d avo l amoeme éd po éqece po déeme le coece. S o ppoe ce amoeme éd deqe a éqece ( ξ ξ ξ ) o a : ξωω ξ α e β ω ω ω ω Cee mace d amoeme péee l avaage d êe dagoale da la bae de mode j pope o amo (comme oe le mace de la ome C α K ). Cec ge q l y a ac coplage ee mode éel pa l emédae de l amoeme e qe le yème à degé de lbeé pe doc e amee à yème à degé de lbeé amo. Be qe le vale pope d yème oe complee (e ao de l amoeme q géèe e plao complee) le vece pope ee éel. Il a oe qe loqe le calcl o eecé deceme bae modale le a d amoeme pe êe é dépedamme po chaqe mode. j j ξ Amo. pop. à la ade (α) ξ ξ Amo. pop. à la mae (β) ω ω ω Fg 4. : Evolo de l amoeme éd e oco de la éqece po le modèle d amoeme de aylegh 6

63 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Amoeme hyééqe Po éve la oe dépedace de l amoeme éd e oco de la plao o pe adope amoeme hyééqe q pe êe éc o la ome d e ade magae o d amoeme dépeda de la éqece : K K élaqe K hyééqe K hyééqe C ω Ce éce o valable da le domae éqeel. Ce amoeme coepod phyqeme à e dpao d éege o chageme cyclqe q e mamale loqe le déplaceme e poche de (e qe la vee mamale) e mmale loqe le déplaceme e mamal e vale abole. éege dpée e déped pa de la éqece de cycle ma qeme de le amplde. Cee dpao pe doc êe meée pa de ea aqe cyclqe. F d Fg 4. : Amoeme hyééqe 4.4. Amoeme pa oeme ec Phyqeme e pae de l amoeme pove de la co (pa eemple a vea de lao d e ce méallqe o de e da le béo). a lo de oeme ec éc : F co µ N g ( ) E oa g( ). g( ) a oce ee da yème élaqe compoa d oeme e doée Fg 4.3. Coaeme à l amoeme hyééqe le oce dpave e dépede pa léaeme de la vee (ma eleme d ge de la vee). Ce yème e doc o léae. F d Fg 4. : Amoeme pa oeme ec 63

64 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Avec el modèle coaeme a modèle vqe do le vbao dme epoeelleme le amplde d moveme e vbao lbe dme léaeme e devee lle apè emp (Fg 4.4). Fg 4.4 : écoace léae de vbao lbe po ocllae avec oeme ec 4.5. Amoeme de adao e amoe vqe o pao lé po améloe la modélao de mle em- comme le ol é o bâme (pa eemple po l éde de l eaco ol-ce e gée paamqe). Ce amoeme e appelé amoeme de adao e do êe placé a oèe d modèle éléme (o pale ove de oèe abobae). a le modèle éléme- ce amoe dpe be de l éege ma epéee e a ae de l éege ve le mle em- o epéeé da le modèle éléme. Eplqo le pcpe de ce amoe e aa l eemple d e bae em e de eco S de modle d Yog E e de mae volmqe ρ. Il a vée qe cee bae em-e pe be êe emplacée pa amoe. Cec e pa è ael ca da modèle éléme comple la bae e poède a po q e ade e e mae. éqao locale d moveme éc : ρ S ES. Ue oce vaable e oco d emp e applqé a vea de l eace. Calclo la elao ee la oce e le déplaceme (o la vee a dévée pa appo a emp). ( ) éqlbe de l eace ppoée a mae éc : ES F ( ) e olo coepoda à de ode e popagea ve l o oblgaoeme de ( kω ) ω la ome : ( ) e avec k e le déplaceme de l eace. c ( ) E a oce éc doc : F ( ) ES ESk ω S ρes (). c a vee de l eace e doc popooelle à la oce applqée qelqe o la plao ω. a bae em- pe doc êe emplacée (d po de ve de l eace) pa mple amoe lable da calcl empoel. e oèe abobae dpoble da le code de calcl o baé ce pcpe e pemee la adao ve l de ode de compeo e de calleme aya e cdece omale à la oèe. Gééaleme le ae ype d ode o mo be abobé e de éleo peve êe obevée. e oèe abobae dpoble da CAS3 o éé lée da le ca d e bae hooale da laqelle e popage e ode de calleme (Fg 4.5a). ode e gééée e mpoa déplaceme à l eémé gache (Fg 4.5b). e déplaceme e la 64

65 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 vee a même po o acé Fg 4.5c. a compaao de calcl avec e a oèe abobae moe qe l ode de calleme e be abobée pa la oèe abobae. () a/ éomée loqe l ode e popage da la bae b/ éplaceme mpoé () c/ éplaceme a /3 de la bae (a ple : avec oèe abobae e : a oèe abobae) Fg 4.5 : Ulao d e oèe abobae 65

66 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe éemao epémeale de l amoeme amoeme pe êe déemé epémealeme e aalya la oco de ae (Fg.3) o la décoace de vbao e égme lbe. e méhode d decao lée o gééaleme ééece a modèle d amoeme vqe. oqe le vea d ecao e co (ce q e pa océme le ca comme qad o mee la époe d e ce a b de od evoa) l amplcao dyamqe e veeme popooelle à l amoeme : ρ ρma ξ S l amoeme e è able l amplcao pe êe è mpoae e le ee le pc à la éoace op gade. O pe a mee la lage d pc de éoace po e amplde o éee à l amplde mamale. Cee lage de pc e popooelle à l amoeme. ω ω β β ξ ω ω oqe le compoeme de la ce e domé pa mode qe l amoeme pe êe emé à pa de la dmo d amplde de vbao lbe. E ao de la décoace epoeelle loq o ace le logahme de la gade obevé o pe obeve e décoace léae. lao de cee méhode appelée méhode de la décoace logahmqe deve pl complee e péece de ple éqece pope. Il e a pa oble qe le modèle d amoeme vqe ee la bae de ce echqe mplée a qe le méhode d decao modale e qe ce modèle pe êe è élogé de mécame phyqe éel. 66

67 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 5. Syème o léae e o léaé peve pove de dée phéomèe : No léaé d maéa: placé da le maéa méallqe ao d béo Choc e mpac a eace de ce: cah aomoble emboage ûeé de allao delle (mpac de mle o che gavae) vbao avec mpac e oeme épéé Gad déplaceme: ce pécoae (câble le) lambeme de ce élacée Foce vee: oce lde-élaqe (eaco lde-ce) oce cege No o éeeo c qeme a o léaé de coac. Cec cocee le choc «vole» a qe le domae de vbao o léae où le coac e gleme o épéé (e o écoleme ceme de dqe ). 5.. appel le choc ee olde gde egado le ca élémeae de mae pocelle mpaca. a e ce éelle le mae o pae d e ce (Fg 5.a). a egado le ca où le mae o olée e poède de vee ale v e v (Fg 5.b). Be qe phyqeme le emp de choc peda leqel le mae ee e coac e (e ao d emp d alle-eo de ode da le mle oma chaqe mae) le choc pe êe ppoé de dée lle e modèle e alo éceae po calcle le vee apè le choc v e v. Gééaleme o dge modèle de choc mple : le choc élaqe e le choc mo. Po ce modèle l y a coevao de la qaé de moveme a co d choc e ao d héoème de la qaé de moveme applqé a yème omé de mae. coe dove êe déemée e e ecode éqao e éceae. Po le choc élaqe o ppoe la coevao de l éege céqe peda le choc alo qe po le choc mo le vee de mae o égale apè le choc. a ce dee ca l éege céqe e pa coevée e le choc «coomme» de l éege. Epémealeme le choc obevé e vée eaceme ac de modèle e l e éceae d ode coece de eo comp ee e q e déemé epémealeme: v -v (v -v ) S le choc e élaqe. S le choc e mo. v v b- Ava le choc v v v v v v c-choc élaqe Ava le choc Apè le choc a- Impac e ce v v d-choc mo Fg 5. : Impac ee mae 67

68 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Po de mae do o e codèe qe l éege céqe e alao (Fg 5.a) le éqao pécédee o ae ma l e pao éceae de e compe de l éege céqe de a moveme de oao de la mae (ca de bole de bllad o de balle de e lée). O pe eede a moveme da le pla d dqe de ayo a e de mae m hea pla me gde. Noo ω e ω la vee de oao ava e apè le choc. e héoème de coevao de la qaé de moveme (o héoème de la élae dyamqe) e cocee qe le degé de lbeé de alao e do êe compléé d héoème d mome céqe. Noo X e Y le chageme d mplo (epecveme hooale e vecale) de la mae peda le choc a la deco vecale la coevao de la qaé de moveme éc : m( v y v y ) Y U coece de eo peme d éce e ecode éqao : v y v y a la deco hooale la coevao de la qaé de moveme doe : m( v v ) X a coevao d mome céqe éc : ma ( ω ω ) ax 5 3 coe dove êe déemée ( ω v e X ). Ue lo de ype oeme la le mplo omale e agee e doc éceae. E ca de gleme X µ Y E l abece de gleme ( X < µ Y ) v aω. e modèle péeé c be qe è mple doe e dée de la compleé de elle appoche. decao d «coece de oeme» µ e pa val ca l déped oeme de phéomèe loca a vea de l eace (goé ade locale ). m v m ω ω v v v a/ alao b/ oao Fg 5. : Coece de eo d e mae mpaca pla gde e lo de choc péeée c o lée po de aalye mplée ma o a à la bae de code de calcl lé e phyqe de mle galae [a 999]. hypohèe de choc mo éce localeme peme égaleme de éode cea poblème d ocllao méqe da cea code de dyamqe apde comme Eople. 68

69 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Choc ee olde élaqe Comme e aqe le coac ee ple olde déomable élaqe pe êe aé avec de gade amlle de méhode : le méhode pa péalao e le mlplcae de agage. egado le péccé de calcl dyamqe. éhode de péalao E aqe l e poble d mpoe e elao degé de lbeé o ee degé de lbeé e la la echqe de péalao. e pcpe e de ae appaaîe de oce popooelle à la elao léae q o ve mpoe. e coece de popooalé e homogèe à e ade e e appelé ade de péalao. Cec e éqvale à ajoe poeel élaqe aya cee ade. oqe q o ve mpoe de déplaceme deqe e po o éc doc : Fpéalao K péalao ( ) o U K ( ) péalao Pl la ade de péalao e élevée pl l égalé e epecée (ma le codoeme de mace à vee e dégade ). E dyamqe cee echqe q applqe a déplaceme pe êe éede a vee e a accéléao. [ ]{ } [ C]{ } [ K ]{ } { } oq o ve mpoe e elao de la ome j où j e la vale d déplaceme ela mpoé o pe doc éce comme e aqe : F K péalao ( j) Ce oce de péalao mode doc la mace de ade e le vece oce pée a ecod membe : K [ K ] [ ] e { } [ ] { } K péalao péalao { X } e le vece coea le vale de déplaceme mpoé. E dyamqe la elao pe a êe mpoée le vee o le accéléao de po. Il a alo mode la mace d amoeme o de mae. [ C ] [ C péalao ] e { } [ C péalao ] { } [ ] [ péalao ] e { } [ péalao ] { } Noo de ade de choc e coac ee ce q e e égalé de la ome > j où j e le je ee le ce pe êe géé e la la echqe de péalao. a ade de péalao e alo appelée ade de choc. Aalyo ce q e pae phyqeme lo d mpac ee e mae e e ce omée d e mae d e ade globale K e d e ade de choc élaqe K c (Fg 5.3) : la ade de choc e compme p e déed e evoe la mae da la deco oppoée e amea e pae de l éege céqe à la mae. S la mae e ppoée è gade e le déplaceme l (Fg 5.4a). a oce mamale da le eo e la dée d choc pe êe calclée acleme. a coevao de l éege ee le déb d choc (ac eo da le eo) e l a où la mae a pl de vee éc : Feo ( v ) K c a oce mamale da le eo a qe l eoceme mamal vale doc : 69

70 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Feo K c v e ma v K c a dée d choc e calcle e éga l éqao d moveme peda le choc : d d K c avec ( ) vma d d So le déplaceme e oco d emp e la dée d choc : K () c ma K choc π c a dée de choc e d aa pl élevée qe la ade de choc e able (e qe la oce de choc e able). Elle e deceme lée à la dem-péode d yème mae-eo e K c. v v v K c K v Foce da le eo choc éplaceme vecal emp Fg 5.3 : Ulao d e ade de choc v v K c K c C c a/ ade de choc b/ ade e amoe de choc Fg 5.4 : ade e amoe de choc po modéle coac avec e ace me gde 7

71 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 U amoe pe êe m e paallèle (Fg 5.4b). e choc dpe alo de l éege. éqao d moveme éc alo : d d d K c C c avec ( ) Vma d d d So : d d ξω ω d d e a d amoeme de ce yème à ddl éc doc : Cc ξ Kc S o cho amoeme égal à l amoeme cqe ( ξ % e Cc Kc ) le moveme e ea pl oclla e le eo e epaea doc pl e aco : la mae va ee «colle» à la ade de choc e le choc ea doc mo. Cec e valable po yème mae-eo be péc. S la mae mpacae chage l amoeme do êe modé po avo a d amoeme de %. Applcao à l éde d oeeme d e yaee a echqe pécédee a éé lée po ae l mpac ee e yaee o peo e poea méallqe. a yaee e me e moveme e à e pe q lae échappe le lde à gade vee. e chageme q applqe le lde la yaee pe êe epéeé pa e oce coceée d amplde coae applqa da l ae de la poe (Fg 5.5). e calcl empoel o éé éalé bae modale avec de éléme de poe e codéa la o léaé de coac comme e oce eéee (opéae YNE de CAS3). bae modale (avec o mode pope) a qe ple hypohèe po le choc o éé lée. e calcl avec e ade de choc élaqe o péeé Fg 5.6. O vo qe la yaee ve mpace la ce p ebod ava d mpace e ecode o la ce. e hypohèe de coac o véée de aço appochée la déece éa lée à la ade o oplee- de choc. aalye de oce de choc moe be qe cee oce vae à e éqece déee de la éqece de la yaee e de la ce mpacée : comme aed le ocllao de la oce de choc o deceme lée à la ade de choc. oq amoe e m e paallèle à la ade de choc le ocllao de oce de choc dpaae. O obeve pc d eo a déb d choc apè leqel le vee de ce o eaceme le même moveme jq à la pe d coac. e choc e doc be mo gâce à l ajo de l amoe. a déemao de la ade de choc a e lece majee le moveme de la ce e o le oce de choc e le dée de choc. oq elle epéee e oplee maéelle locale (c l ovalao d ya) cee ade pe êe déemée à l ade d calcl aqe (Fg 5.7). 7

72 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Choc élaqe Sce F éplaceme Po de la yaee K c K Foce de choc ( o mode) Fg 5.5 : éla de calcl avec e ade de choc élaqe Choc élaqe avec amoe Sce F éplaceme Po de la yaee Kc Cc K Foce de choc Fg 5.6 : éla de calcl avec e ade e amoe de choc.< β p <.6 βp.klocal Flm Klocal ade de choc élaqe K c K local ade de choc éelle (placao de la yaee) Fg 5.7 : Calcl de la ade de choc 7

73 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Fg 5.8 : Impac d e yaee pla gde (modèle éléme EUOPEXUS) Ulao de mlplcae de agage Comme e aqe le mlplcae de agage peve êe lé e dyamqe E aqe e codo de coac e mpoée e ajoa de mlplcae de agage da la ocoelle do déve le éqao d éqlbe: Ε K K λ ( j) o ve mpoe la elao < j λ e oblgaoeme po ( l égalé e pa véée) o l ( < j ). Cec cod a éqao d éqlbe K λ F λ K O v be ce ca qe le mlplcae de agage epéee be e oce de coac o de lao. a le ca gééal le elao à mpoe écve o la ome : [ G ]{ } { } e éqao d éqlbe écve alo : [ K ]{ } [ ]{} { G λ } e mlplcae de agage pemee de vée eaceme le elao mpoée. E dyamqe le coac pe géée ype de codo : - le déplaceme: j - le vee : e éqao à vée da le ca gééal o doc : [ ]{ } [ ]{ } [ ]{} { K G λ } [ ]{ } { G } e/o [ G ]{ } { } 73

74 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Comme o le vea da l eemple va l lao de mlplcae de agage e dyamqe mplce pe poe de poblème pplémeae e ao de la vécao de codo mlaée le déplaceme e le vee. e lao avec de algohme d égao empoelle eplce e pl mple. a Fg 5.8 moe calcl d mpac de yaee pla gde à l ade d code de dyamqe apde eplce la de mlplcae de agage po gée le coac (EUOPEXUS). Ede de ebod d e bae élaqe No allo modéle e bae mpaca avec e vee ale pla me gde (Fg 5.9). appelo la olo aalyqe ava de compae le de ype d algohme d égao empoelle (eplce e mplce). e b de ce eemple e d lle l mpoace de algohme d égao e de la modélao de codo de coac la époe d yème. Solo aalyqe éqao d éqlbe locale éc : ( ) E ( ) ( ) ρ ρ C e e éqao d ode de compeo. Ava l mpac le champ de déplaceme e de vee écve : ( ) V ( mpac) v ( ) V Peda l mpac o va cheche de olo o ome odlaoe. a oco coepod à e ode e popagea ve le ha de la bae alo qe la oco epéee e ode e popagea ve le ba (Fg 5.9). Cee deème ode e éceae loqe la pemèe ae la ace péee q e lbe. e coae aocée a ode e compee alo po vée cee codo a lme. ( ) ( c( )) ( c( )) v ( ) c ( c( )) c ( c( )) e codo a lme écve : v ( mpac ) ( mpac ) e pl v ( mpac) V où l ode e pa ecoe avée (le po de la bae e ave pa ecoe qe le choc a e le). a la pemèe phae d choc o cheche e olo (e vee) de la ome : v ( ) c( c( mpac )) e éqao pécédee à l a de l mpac o pemee de coaîe paaeme la oco. E ee e poa c ) o pe éce : ( ) ( ) ( mpac c ( mpac ) c : la vee e lle a po q o déjà v pae l ode c ( mpac ) V c : la vee e égale à la vee ale alle. e o d ode e doc caacéé pa e dcoé de vee (Fg 5.). égao de l éqao d éqlbe ee le ace d o d ode doe : ( ) ( ) c V cv ρ où la coae aale à l eace lo d coac q e poche de eo da eo élaqe K mpacé pa e mae à la vee V : ( ) ρcv Eρ V K V 74

75 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Il e emaqable qe cee coae e dépede qe de popéé locale d maéa (e pa pa eemple de la mae globale d pojecle). e o d ode e a caacéé pa e dcoé de coae (coae lle d coé ρcv de l ae). oqe l ode ave la ace lbe e ecode ode e éceae po vée la codo de ace lbe q éc : ( ( c( )) ( ( ))) mpac c eleo eleo e l a aqel l ode e éléch la ace lbe ( eleo ). c O poe c( mpac ) e c( eleo ) d où: ( ) ( ) où e éga e o e e ea compe de la vee de la ace lbe je ava qe l ode ave : ( ) ( ) Cee égalé ge qe l ode e mlae à l ode cdee ma avec a de vee de ge oppoé (Fg 5.). e po q o v pae le ode o e vee égale à V (pepoo de ode e ) : ce po epae da la deco oppoée à la vee ale. oqe l ode ave l eace éee e coac avec l obacle la bae epa avec e vee oppoée à la vee ale. e choc e doc paaeme élaqe. a dée d choc e égale à la dée de popagao de l ode da la bae (alle e eo) : choc c V V c E ρ V V V Fg 5.9: Impac d e bae élaqe e pao gde ( ) ( ) Fg 5. : Foco d ode lée 75

76 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 odélao bae modale avec algohme eplce (opéae YNE) Ue bae ome à la gavé e cha d e hae H pla gde a éé modélé à l ade de l opéae YNE (calcl bae modale). e coac e géé pa e ade choc K choc (Fg 5.). Cee ade epéee ple phéomèe (phyqe e méqe). a le ca de la yaee elle epéea e oplee locale o epéeée pa le éléme lé (ovalao d ya po de éléme de poe). a le ca pée cee ade pe êe amlée à la ade de la cble. Elle pe a êe ve comme la ade aqe de mode églgé : P K ω K S O pe mage qe ce déee ade oe e ée : Kchoc Klocal K S O emaqe alo qe la ade la pl able mpoe a vale à la ade de choc. Cec e le ca qad e de ce e è ople o qad la bae modale pe e è pave. o vale de ade o éé pe po ce calcl :.K bae 3K bae e 3K bae. a le peme ca (Fg 5.a) la ade de choc e able deva la ade de la bae. e ebod e peme élaqe e la bae e compoe comme e mae gde. oe le déomao e cocee da le eo. a le ecod e o le oème ca (Fg 5.b e c) la bae e ebod pl à la même hae e la vee péee de ocllao maqée. a ade de choc e «poège» pl la bae q ee e vbao lo d choc. ême la bae e élaqe la o léaé de coac cople le mode de cop gde a mode de déomao de la bae. éege céqe ale de la bae e aome e éege de vbao de la bae e cela cod à coece de eo ée à q poa êe epéé abveme a vea global comme e dpao d éege. e éla de calcl dépede oeme de la ade de choc qe le modélae do doc dee le pl coeceme poble e e baa de codéao o eleme méqe ma a phyqe. m EPa ρ78kg/m 3 K choc Hcm Fg 5. : Ca aé à l ade de l opéae YNE 76

77 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 odélao bae phyqe avec algohme mplce (pocéde PASAPAS) e même eemple e aé avec PASAPAS (Fg 5.3): le coac e géé avec de mlplcae de agage e l égao da le emp e ae à l ade d algohme empoel mplce (accéléao moyee). e calcl éalé moe qe la bae e emoe pa à la même hae e qe la bae e me à vbe (Fg 5.3a). U bla éegéqe come cela (Fg 5.3b). e pl o aalye le vee a vea d coac o emaqe de oe vaao de vee (Fg 5.3a): comme la codo de coac e véée qe le déplaceme le vee e o pa lle lo d coac. Cec e pa poble avec l algohme d égao lé. E ee da l algohme de l accéléao moyee le vee e déplaceme vée : v v ( a a ) e v ( a a ). 4 ( ) où: v v. oq e codo de coac e mpoée le déplaceme le vee vée oblgaoeme l égalé v v. Cec eplqe le ocllao obevée le vee calclée. Ce eemple mple moe be le lmao de l algohme de Newmak po le poblème avec de mpac. 77

78 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ éplaceme e vee d po B po K choc.k bae b/ éplaceme e vee d po B po K choc 3K bae c/ éplaceme e vee d po B po K choc 3K bae Fg 5. : odélao de l mpac d e bae à l ade de l opéae YNE 78

79 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ éplaceme ( oe la dée d moveme) e vee (oom lo d peme mpac) Eege oale Eege céqe Eege élaqe b/ Aalye de éege a co d moveme Fg 5.3 : odélao de l mpac d e bae à l ade de l opéae PASAPAS 79

80 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Choc ee ce o léae E pl de la o léaé de coac édée pécédemme le ce peve êe o léae (o léaé maéelle e/o géoméqe). e eemple mple o péeé po mee e évdece l ee de cea paamèe de ca eême: le peme eemple peme de calcle la poode de pééao d pojecle gde da ma de béo le ecod eemple e la gééao de la oce de choc coepoda à l mpac d avo amlable à gade vee à lde (modèle de ea). Ca d pojecle me gde e peme eemple aé (Fg 5.4) e cel d e cble de mae e de vee ale V mpac q mpace maéa caacéé pa a ade K e a éace F c (ace ee de la cble). v mpac K c F c Fg 5.4: Impac d e mae e ce élaoplaqe S la phae élaqe e églgée (ca d compoeme è oeme o léae) d l éqao d éqlbe de la mae éc : F c d d a codo ale doe ( ) vmpac d Fc où l eoceme d pojecle e oco d emp () vmpac (valable a qe la vee ee pove). e emp d aê d pojecle va doc aê Vmpac Fc e emp d aê e d aa pl co qe la éace e élevée. e aço gééale le emp de choc e doc veeme popooel à la ade e la éace de la ce (cble o pojecle). eoceme mamal pe êe a calclé e aa bla éegéqe ee le déb e la d choc : l éege céqe ale e dpée pa placé. vmpac ma Fc U el modèle mplé a éé lé pa [Foeal 3] po epée de éla d ea de pééao da d béo de pojecle à hae vee (applcao mlae) q éae meé à l ade d accéléomèe (Fg 5.5). e pojecle peae 3kg po e loge de 53mm e damèe de 8mm. e vee d mpac vaae ee 39m/ e 449m/. O vo Fg 5.5 qe la décéléao e coae jq à l aê d 8

81 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 pojecle da le bloc de béo. a coélao modèle/ea e è boe la éace e compeo (coé) e pe po le béo (de l ode de 6 à 36Pa). Fg 5.5: écéléao meée epémealeme (d apè [Foeal 3]) Ca d pojecle a éace mécaqe a le ecod eemple o o popoo de calcle le oce gééée pa l mpac d avo e ce me gde (modèle de ea). a méhode lée da ce eemple pe êe gééalée à e ce aya e mae ma e éace è able voe lle (chageme eecé pa de vage o e avalache pa eemple). mpac d avo a pae de chageme accdeel dmeoa ceae pae de ovage cléae (be ava le évèeme d Sepembe ). mpac d avo e p e compe pa l emédae d e oce vaa e oco d emp. e cobe coepoda a avo p e compe e Face o doée Fg éallo le calcl de cee oce. Po cela déo volme de coôle (Fg 5.7): V moble (pae de l avo ecoe e moveme) e V oal (avo comple). e bla de la qaé de moveme éc : d () ( ρv ) F dω d Ω dv d Po le volme V oal : () () ( ) moble F moble V d d dv Po le volme V moble : lambeme ( ( ) ) moble ( ) d S la oce de lambeme (o d écaeme de l avo) e églgée la pae moble gade e vee coae. Pa coe a mae chage : d moble () µ ( () ) V d µ ( ) : mae léqe de l avo a oce de choc e déped alo qe de la vee ale e d bla de mae : F() µ ( ( ) ) V. e oce de choc pe da le ègleme poède be de pc loqe le pae le pl lode de avo (gééaleme le ale) mpace la cble (Fg 5.8). O emaqe a qe la oce de choc agmee avec le caé de la vee. e ea da le dée d Novea eqe o pem de vée la peece d el modèle mplé. A l hee acelle pe de calcl éléme pédc o éé éalé 8

82 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 ceaeme e ao de o léaé maéelle op mpoae. e calcl le pl éale o ceaeme ce où le pojecle e emplacé pa lde. e el modèle o lé po vée la ee de abe de be de éace d avo lo de l geo d oea ce modèle éa d aa pl able e pédc qe le vee d mpac o élevée (ele la mae de ce mpoe alo). Fg 5.6: Chageme éqvale à l mpac de aéoe (Cea e eaje) F Volme de coôle V oal V ( ) lambeme Volme de coôle V moble ( moble ) aéa aya la vee de la cble (aê) Fg 5.7: éo de volme de coôle po le calcl de la oce d mpac a/ épao de mae b/ Foce de choc Fg 5.8: odèle de ea (d apè [ea 999]) 8

83 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 6. Coclo Ce docme a doé apde apeç de déee éde habelleme eecée e de méhode de calcl lée da le domae de la dyamqe de ce. e code éléme peve epéee de phéomèe ojo pl complee à l ade d lage éveal de méhode méqe. éde de ce éelle ome à de chageme dyamqe écee e maîe de modèle odamea comme l ocllae à ddl o le modèle d amoeme vqe. a boe compéheo de yème mple peme ove de me epée le éla de calcl do la qaé pe avée coagae e dyamqe. e pl l e mpoa de be coaîe le lme e avaage de déee méhode méqe q codoe ove la qalé de éla de calcl. e mava cho de méhode o de paamèe de calcl (comme le pa de emp o le ombe de mode pope da calcl modal) peve avée damaqe po la qalé de éla o de emp de calcl. 83

84 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 7. ééece [Agy 99] J.Agy yamc o ce e o compaoal mechac Noh- Hollad99 [Aa ] F. Aa odélao de yème mécaqe (4 ome) Hemè [Clogh 993].Clogh & J.Pee yamc o ce acgaw Hll 993 [a 999] J. a Sable pode e ga Eyolle Scece 999 [Foeal 3]. Foeal.J. Few J.P. Hckeo.A. ohwe Peeao o cocee age wh deceleao-me meaeme Ieaoal Joal o Impac Egeeg [Géad e al 996].Géad &.e héoe de vbao ao 996 [Gbe 988].J. Gbe Vbao de ce Eyolle 988 [Gad 3] A. Gad N. oy yamqe de ce delle Hemè 3. [ea e al 999] P.ea &.Pa Ovage e eaco Emplo de éléme e gée cvl Hemè 999. [Pecke 6] A. Pecke yamqe de ce e de ovage Co ENPC (hp:// 6 84

85 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 8. Aee: 8.. Opéae e Pocéde CAS3 le e dyamqe Céao de mace e obje Opéae ASS opéae ASS géèe le mace de mae à pa d modèle de maéa (HO : mae volmqe) o de caacéqe de mae (da le ca de mae pocelle) Opéae AO opéae AO calcle le mace d amoeme da o ca : - amoeme modal - amoeme d e oèe abobae - amoeme maéel vqe (VISQ : vcoé d maéa). Pocéde FONABS a pocéde FONABS calcle la mace damoeme de oèe abobae de ype WHIE o YSE po de modélao (ayméqe déomao plae e Foe). Opéae IPE opéae IPEANCE géèe le mace d mpédace de o ype ASSE AIEU o AOISSEEN à pa de mace de ASSE AIEU o AOISSEEN a qe de la plao ω. e vaable pmale e dale lée e empoel (UX UY UZ FX FY FZ ) o dédoblée e la le vaable magae (IUX IUY IUZ IFX IFY IFZ ). Opéae SUPEEEEN opéae SUPE e le po de paage oblgé po oe le opéao cocea pe-éléme : édco d e mace de ade de degé de lbeé maîe (codeao aqe) pojeco d chageme le degé de lbeé maîe calcl de déplaceme le degé de lbeé eclave e édco d e mace de mae. Opéae II opéae II éabl la able AB (ype ABE) de o-ype IAISONS_SAIQUES. A pa de elao doée II acle la me e place de aalye pa ocao. Opéae JONC opéae JONC abqe obje de ype AACHE décva la lao ee ple éléme de ce. Opéae CHOC opéae CHOC abqe obje de ype AACHE q coe la decpo d e lao de ype choc. Opéae ES opéae ES cée obje de ype EESU qe lo le po éce de lao ee o-ce. 85

86 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Opéae CS opéae CS cée obje BS (ype BOQSU) qe lo le po éce de lao ee o-ce. Opéae BASE a e aalye bae modale e ce e epéeée pa eemble de mode e de olo aqe. a péccao de lao q eece éveelleme la ce a qe la péccao de leemble de mode e de olo aqe dée le poblème à éode. opéae BASE peme de coe obje (ype BASEOA) q aemble ce dvee omao. opéae BASE pe a eece e opéao géoméqe de alao (PUS) o de oao (OA) obje coea le mode e le pedo-mode de ce. Opéae PSO opéae PSO peme de calcle lo d calcl pa ecombao modale la cobo de mode églgé o p e compe da la bae modale. Ce mode o ppoé avo e époe qa-aqe. Opéae SOS opéae SOS abqe de olo aqe U po leemble de lao pemaee q applqe la ce SU Opéae CHA opéae CHA co obje CHA de ype CHAGEEN de o-ype FOCE coea la decpo paale e empoelle d chageme. Opéae PJBA opéae PJBA pojee de oce e de mace e bae modale élémeae o complee. Opéae CINIO Cee pocéde e à calcle le CHPOIN de coodoée gééalée (déplaceme o vee) q coepode à CHPOIN de coodoée (déplaceme o vee) odale. éolo (veo d yème calcl de mode pope) Opéae ESO opéae ESO co e olo elle ee d yème léae : IG CHPO CHPO3. e mace de gdé peve êe de mpédace e ESO peme doc de calcle la époe océe d yème om à e ecao hamoqe. Opéae VIB opéae VIBAION echeche le vale e le mode pope d yème phyqe epéeé pa a gdé e a mae. Ple algohme de echeche de mode pope o dpoble (POCHE q e ecommadé e péece de mode doble INEVAE o SIUANE). 86

87 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Opéae VIBC opéae VIBC echeche le vale e le vece pope complee olo de leqao odameale de la dyamqe : X C X K X où le gdé ASSE IGIIE e éveelleme AOISSEEN o éé péalableme pojeée e bae de mode pope éel. algohme QZ e lé. Opéae SYNHESE opéae SYNHESE e lé e o-cao. Il cée obje SOUION coea le mode de la ce à pa de mode de o-ce e de champ de cobo modale ce mode. Opéae SISSIB Ce opéae peme de éale de calcl mqe peca bae modale. Pocéde ANSFE Cee pocéde calcle la oco de ae de ce e déplaceme vee o accéléao. Ce la époe (amplde complee) à e oce localée o à e accéléao deemble. e calcl e eecé pa ecombao modale. Pocéde SPPANC a pocéde SPPANC peme le calcl de pece de plache pa e appoche aalyqe. Opéae FIE Ce opéae peme de calcle de le pae_ha pae_ba pae_bade ec Calcl empoel Pocéde YNAIC Cee pocéde peme deece calcl dyamqe léae pa à pa bae phyqe. Elle le lalgohme de Newmak ceé. Pocéde PASAPAS opo YNAIQUE de cee pocéde peme deece calcl o léae cémeal dyamqe. a pocéde géèe la mace de mae à pa d maéa. Ue mace de mae o cle da le maéa (ASSE_CONSANE) a q e mace d amoeme peve a êe pécée. a o léaé pe pove d maéa (placé) e/o de gad déplaceme. Pocéde YNAOE Cee pocéde calcle la époe dyamqe de ce elo le chéma va : - pojeco la bae modale. - égao eplce e emp. - ecombao modale de la époe. Opéae YNE opéae YNE peme de calcle bae modale la époe dyamqe de yème o léae à lade de de algohme eplce (déece ceée o F - de Vogelaee). e ombee lao o dpoble. 87

88 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Aalye de éla d calcl bae modale Opéae ECO opéae ECO ecombe à pa de cobo modale le mode e le olo aqe coe da e bae modale. e bae peve êe de obje de ype BASE_OAE (pedo-mode cl) ENSEBE_E_BASES e/o IAISONS_SAIQUES. e gade dée la bae modale peve êe de CHPO o éla de l opéae YNE. Opéae EVO opo ECO e SOU e opo ECO e SOU pemee de calcle l évolo d e gade dée da la bae phyqe (déplaceme vee d po pa eemple) à pa de éla de calcl bae modale. Opéae ENEO Cee pocéde peme de ace le évolo empoelle d aval de oce eéee de oce éee e de oce dee a qe lévolo empoelle d bla éegéqe po calcl eplce eecé bae modale avec lopéae YNE. Aalye e gééao de ga empoel a calcle le moyee éca ype e coece de égeo léae de le de éel. Opéae OSCI : opéae OSCI peme de calcle la époe X() d ocllae caacéé pa a plao W e o amoeme FO à gal GAA() olo de léqao : X *FO*W*X W*W*X GAA() Opéae F e opéae F e FI coe epecveme la aomée de Foe apde e la aomée de Foe vee d gal. e aomée de Foe o déce e décompoa pae éelle e pae magae (opo EI) o modle e phae (opo OPH). Opéae SP opéae SP co la cobe de deé pecale de pace d gal. Opéae SPO e SPON Ce opéae pemee le calcl de pece d ocllae léae e o léae. Opéae PSS e ESPOWSP Opéae pemea le paage ee pece d ocllae e pece de pace. Opéae PNS e ESPOWNS Opéae pemea le paage ee pece d ocllae e pece de pace e ea compe de oco de modlao. Opéae SIA (SIGNAUX Acel) 88

89 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 opéae SIA gééé eemble de ga o aoae (e accéléao e/o vee e/o déplaceme elo la yae dqée) coepoda à pece de pace aoae e à N oco de modlao. Pocéde SIGNSYN a pocéde SIGNSYN cée de ga yhéqe pa ecombao de oïde à phae aléaoe. e gal gééé pe coepode à b blac o à pece de époe pécé pa l lae. Opéae BUI Selo le doée lopéae BUI co ISEE CHAPOIN o e EVOUION do le vale o aléaoe. a épao pe êe gaee ome o epoeelle. Sva la dbo l lae pe péce la moyee l éca-ype o l amplde. Opéae AEA opéae AEA peme de géée champ calae paal aléaoe gae aoae (de moyee éca-ype e oco de coélao coae) pa la méhode de bade oae. Ce champ obé à e lo de covaace epoeelle. E dyamqe ce opéae pe êe lé po géée champ de peo lca (pa eemple champ de peo ble). Pocéde ECONV a pocéde ECONV calcle la époe mqe d champ lbe pa la méhode de la décovolo e od cee époe comme e oce decao da le modèle d calcl comple de leaco ol-ce. Opéae ONE opéae ONE co la aomée e odelee coe d gal aya N po. Pocéde ANAYSE ENICHIS UIEC ECOPO ECOPOS Pocéde pemea de avalle le aomée e odelee de ga empoel 89

90 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe e de ca e Gbae e dyamqe aeme d gal e calcl de pece d ocllae : Calcl de ocllao e de pece élaqe e aélaqe po e mplo Fomao de mace e calcl d e bae modale Opéae ASS PJBA IPE VIB VIBCPJBA VIB: Vbao adale ome d e phèe épae (ode ayméqe). VIB3: Vbao da le pla d e poe de eco vaable (ode pla). VIB4: Vbao d e plaqe épae e ome de loage (ode ayméqe). VIB5: Vbao d cylde lbe e ayméqe. VIB6 : ode pope complee d abe om à écoleme eée aal pemae. VIB7 : Calcl de mode pope complee d abe om à écoleme eée avee pemae. VIB8 : Calcl de mode pope complee d abe om à e oce vee. VIB9 Calcl de mode pope complee de ce ome à e oce vee. a ce e compoée de de bae elée pa de eo pa. VIB e VIB : Calcl de la époe hamoqe (VIBC opo BAOU) CASES_SE_IU : Calcl de mode pope d ya empl de lde (O opo FUIE) FOU e FOU: Calcl de la pemèe éqece d cylde om à e peo eee (aalye e mode de Foe) e COQ (Fo) e ASSIF (Fo) YNA5 : e de o-cao pa 3 méhode (bae lbe e bloqée) po poe. ISU : So-cao e la deceme ESO po 3 poe. YNA3 e YNA4 : Ulao de méhode de o-cao po aemblage de plaqe. YNA6 e YNA8: Calcl de mode de leo d e poe ecaée-lbe avec le opo INEVAE POCHE e SIUANEE (méhode de aco) YNA7 : Calcl de mode de balloeme de lame mce de lde da epace alae e mode de Foe e 3. O ppoe la cavé déomable. ee de la gavé e p e compe (O opo SUF). YNA9 : Calcl de éqece pope d e plaqe coole YNA : Calcl de mode pope d e plaqe cclae à ymée cyclqe 9

91 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 OO OO OO 3 e OO4: Calcl de éqece pope dagamme de Campbell e époe a balod de mache oae modélée à l ade d éléme poe KP_ES : Flambage de poe ecaée-lbe o pod pope da champ de peo hydoaqe. e poblème e éqvale a lambage de poe o pod pope ma avec e mae volmqe (HOce - HOlqde) KES_UP_K : e de lopéae UP po le éléme K3 FA : Calcl de mode de lambage d be o peo eee modélé à l ade COQ3 e COQ4. FA3 : Calcl de mode de lambage d be o peo ee modélé à l ade COQ3 e COQ4. FSIC4 : e de valdao de l éléme de accod lde ce IC4. Calcl d mode 3 m d yème de coqe coceqe. a coqe eéee e ppoée ecaée la coqe éee e lbe. Calcl e mode Foe 3. FSI e FSI : Calcl de éqece d e cavé lde cyldqe avec e a ace lbe FSI3 : Calcl de éqece d éevo coea de l ea FSI4 : Calcl de éqece de coqe coceqe coplée pa d lde FSI5 : Calcl de éqece de coqe coceqe coplée pa d lde avec ace lbe. FSI6 : Calcl de éqece de balloeme (lohg) d éevo ecaglae avec ace lbe AC_3 : acé de déomée 3 d calcl Foe Calcl pecal SISSI : Ulao de la pocéde SISSI Calcl de la époe empoelle Opéae YNAIC e PASAPAS bae phyqe YNA : époe aoe à e peo ee YNA : époe aoe d e ée pa méhode dece (oveme de cop gdevbao de la ée). YNA5 : Poea ecaé e ped om à chageme coceé (chape 3.4). Calcl empoel bae phyqe e bae modale. YNA6 : Poqe om à déplaceme déeel de app. éolo dece (déplaceme mpoé) e e la le mode aqe d app (chape 3.4). Compaao avec YNE. 9

92 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 OO5 : Calcl de la époe aoe d abe oa e à e pee d abe (compaao de YNAIC e de YNE). YNA_N e YNA_N: Ca e e dyamqe o léae géoméqe (Opéae PASAPAS opo YNAIQUE K-SIGA e GANE OAION) Ocllao lbe e époe océe d ocllae de ype g YNA_N3 : e de la peo vee e dyamqe (Opéae PASAPAS opo YNAIQUE e GANS EPACEENS CHA opo PSUI). Floeme d e poe ecaée-lbe. YNA_N4 : Impac d e bae élaqe e oèe gde avec PASAPAS (chape 5.). FONABS : e de oèe abobae po le olde e le lde. FONABS : Compaao de la époe de lge e dea ome à e mplo avec la époe de lge deqe ma pl coe avec de oèe abobae. FONABS3 : Ulao de oèe abobae po e ode de calleme (chape 4.5). Opéae YNAOE e YNE bae modale. YNE : Opéae YNE avec IAISON POYNOIAE YNE : Impac d e bae élaqe e oèe gde avec YNE (chape 5.) YNE3 : Impac d e yaee coe poea vecal avec YNE (chape 5.) Y_EVO3 : U cople e applqé à e oe de damèe mèe bloqée pa pla. O applqe à la oe. (e de lao CECE_PAN_FOEEN de lopéae YNE opo E_VOGEAEE) Y_EVO4 : e POFI_POFI_EXEIEU avec de caé. Compaao avec la lao POIN_PAN (e de lopéae YNE opo E_VOGEAEE). Y_EVO5 : époe aoe d e poe pa méhode modale. Y_EVO6 : e de la lao POIN_PAN avec placao d eo de choc. e de la epe de calcl. Y_EVO7: Poe o chage moble Y_EVO8 : Compaao de lao POIN_CECE_OBIE e POIN_IGNE de l opéae YNE. Impac d e bée cecle moble. Y_EVO9 : e de valdao de la lao IGNE_IGNE de l opéae YNE. U dqe che le ol o laco de la peae. Compaao de vee apè le choc avec la olo aalyqe d olde gde e ppoa le codo de oleme a gleme. Y_EV : Ca-e de la lao pale de lopéae YNE. Abe gde m pale cyldqe. Chageme aqe de pale F N. 9

93 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Y_EV : Ca-e de la lao pale de lopéae YNE. Abe gde m pale a 3 lobe. Chageme dyamqe de pale Amp 3 N / Feq. H. 93

94 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe appel le calcl e mode de Foe e calcl dyamqe o paclèeme gomad e emp de calcl. e calcl e mode de Foe peve avée è le voe dpeable loqe la ce édée poède e géomée ayméqe. appelo le pcpe de ce ype de calcl. a géomée de la ce e déce pa mallage bdmeoel. a poo d po e alo doée pa a dace à l ae de oao o alde pa appo a cee d epèe a qe o agle pa appo a pla da leqel e déce la géomée. oqe le chageme e a yméqe pa oao ao de l ae de ymée O o ppoe qe la olo e a dépedae de l agle. Pa coe loqe le chageme e poède pl de ymée o développe le chageme le déplaceme e le coae le mode de Foe. a olo e alo la pepoo de époe chac de mode de Foe (e l abece de oléaé). epéao de éla d calcl e mode de Foe e pao pe évde e le ol de valao 3 o gééaleme éceae. A e oce pocelle applqa aea (Fg 8.) poède de compoae deqe chac de mode de Foe. e même le moveme de cop gde d aea q éc UX da epèe caée e caacéé pa déplaceme adal e déplaceme ohoadal (Fg 8.). N N N3 Fg 8. : Cobo d e oce pocelle l eemble de mode de Foe UX U U 94

95 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Fg 8. : écompoo d moveme de alao e moveme adal e ohoadal (mode de Foe ) appelo la omlao de mace de ade élaqe de ade de pécoae d amoeme e de mae. e omlao de l éléme d aea CEC q poède œd qe e de l éléme de coqe à œd COQ o appelée. e mace de éléme léae (I3 QUA4) e qadaqe (I6 QUA8) peve êe déde de l éléme CEC pa égao méqe la ace de l éléme. ecpo de la géomée e de la cémaqe Soe le coe pmale (déplaceme) e dale (eo): e F F F. e éléme de coqe (COQ da CAS3) écee l odco d e oao e d mome ao de l ae e : e. Noo : - E e ν: le coece élaqe. - ρ : la mae volmqe - S : la eco d éléme d aea (éléme CEC da CAS3) e e : le ède dec déa le epèe global - ( e ) - ( e e ) e : le ède dec déa le epèe local de la coqe (Fg ) - e : le ayo de œd e de la coqe - () ( ) : la dace ee l ae ( O e ) e le po de la coqe d abce. - e : l épae de la coqe - α : l clao de l ae local de la coqe pa appo a vece e S le mode de Foe le champ de déplaceme e ppoé de la ome vae : ( ) ( ) co ( ) ( ( ) e ) avec e e e : déplaceme adal : déplaceme ohoadal : déplaceme aal Gééaleme o paoe ce champ epecveme e : - mode yméqe : ( ) ( ) co ( ) ( ) co ( ) ( ) ( ) ( ) co (po l éléme de coqe COQ qeme) - mode ayméqe : ( ) ( ) ( ) ( ) co ( ) ( ) ( ) ( ) (po l éléme de coqe COQ qeme) a CAS3 le mode yméqe coepode a vale pove de alo qe le mode ayméqe coepode a vale égave. 95

96 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 e ca de l éléme de coqe COQ e légèeme pl complee e ao de la éceé de pae d epèe local de la coqe a epèe global. le déplaceme a le epèe local de la coqe oo epecveme ( ) e ( ) aal e avee e po d abce. e degé de lbeé () e () deqe da le epèe local e le epèe global. F ( ) F ( ) F ( ) e () eo aocé da le epèe local ( ) global. F F ( ) F ( ) e ( ) o o le ce da le epèe e e Epae Eceeme> α π/α e e e e e a/ éo de la géomée de l éléme COQ e b/ éo de l eceeme po éléme mlcoche e e F F F F F F e e e c/ éplaceme oda e d/ Eo oda Fg 8.3 : Eléme de coqe à œd COQ e déplaceme e oao d po de la coqe é à l abce écve e oco de déplaceme e oao a oed : () () () 96

97 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 97 () () So o e ome pl compace : [ ] N e paage ee le epèe local de la coqe e le epèe global éc : - po le déplaceme d po de la coqe : [ ] α α α α α π α π α π α π co co co co po le déplaceme a œd de l éléme : [ ] 8 8 co co co co α α α α α α α α - po le eo d po de la coqe : [ ] α α α α F F F F F F F F F co co 4 4 Calcl de déomao po le éléme CEC e ma Noo le déomao O e ee o d abod a mode yméqe.

98 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 98 co co co co co où la mace B aocé a œd d éléme qelcoqe aya de degé de lbeé e alao: ( ) ( ) ( ) U B co co co co co co avec la oco de ome aocée a œd. So po l éléme à œd CEC po leqel le dévée pa appo à e o lle: co ( ) B co co Po le mode ayméqe le ee de déomao de l éléme CEC pe êe déd de cel de mode yméqe e emplaça pa : co C e la ao po laqelle da CAS3 le mode ayméqe coepode a mode de Foe aya e vale égave.

99 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 99 Calcl de déomao po l éléme de coqe COQ Noo B la mace pemea le calcl de déomao à pa de déplaceme da le epèe local de l éléme. a mace B peme de calcle le oce odale (da le epèe local de l éléme) à pa de coae gééalée. [ ] κ κ κ B e [ ] N N N B F F F F F F e oa : ( ) κ κ κ : le déomao gééalée (déomao membaae a vea de la be moyee de la coqe e cobe) ( ) N N N : le coae gééalée (eo membaae e mome pa appo à la be moyee de la coqe). Po éléme de coqe le coae gééalée o calclée e éga l épae le coae de déee coche oma la coqe. Po chaqe coche o ppoe qe l éa de coae e pla. e déomao membaae o calclée à pa de déomao gééalée e adopa po l éléme COQ le hypohèe de eco doe (abece de déomao de calleme). Soe po e coche ée ee y e y (e doc d épae y -y e d eceeme.5.(y y )) : k k y y j j dy N e k k y y j j dy y avec e j o ( ) y y κ avec e κ ( ) κ y y avec φ φ co e φ κ co (avec π α φ ) ( ) y φ ace de ade élaqe de éléme CEC e ma Po l éléme d aea CEC la mace de Hooke e vale : E. a déomao aale da l aea va : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) co éege élaqe va ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ES k ES k E aal π π. e mode yméqe e ayméqe o doc oaleme décoplé.

100 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a mace de ade éc doc po le mode yméqe: π ES k F F F avec k e k > Po le mode ayméqe: π ES k F F F Cee deèe mace pe e déde de la mace de mode yméqe e y emplaça pa. Po le éléme pla (I3 QUA4 ) la mace de ade de éléme e calclée pa égao méqe de mace de Hooke locale : [ ] () [ ] [ ] () [ ] S local d B H B K Po maéa élaqe oope la mace de Hooke éc: ( )( ) E ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν a mace de oplee e pao lée : G G G E E E E E E E E E ν ν ν ν ν ν Po maéa ohoope la mace de oplee éc da le ae d ohoope:

101 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe ν ν ν ν ν ν G G G E E E E E E E E E E mode de Foe la deco ohoadale doée pa le vece e e ojo ae d ohoope. Sel le ae da le pla ( e e ) peve êe cho pa l lae. ace de ade élaqe de l éléme COQ a mace de ade e calclée e la la mace de Hooke d e coche po laqelle l hypohèe de coae plae e adopée. Comme la mace de Hooke e coe da le epèe local de la coqe de oao o éceae po pae d epèe local a epèe global : [ ] [ ] () [ ] [ ] () [ ] [ ] local d B H B K ) ( Po maéa oope la mace de Hooke éc : ν ν ν ν E Po maéa ohoope la mace de Hooke éc : ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν G E E E E avec E E ν ν Po l éléme coqe COQ e mode de Foe de CAS3 le oao vae o adopée : YG : modle méde E YG : modle ccoéeel E NU : coece de Poo ν G : modle de calleme G. ace de mae a mace de mae e calcle à pa de l éege céqe. Peo l eemple de l éléme CEC q poède e mace de mae è mple.

102 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Po le mode yméqe l éege céqe éc : ( ) ( ) ( ) π π π π ρ ρ co co d d d S d S E c e éege de mode yméqe e ayméqe o deqe a po. où la mace de mae po dée de : [ ] ( ) πρ S Comme po le ae mace le ca de coqe e légèeme pl complee e ao de la éceé de pae d epèe local de la coqe a epèe global. oqe l ee de oao de la coqe e églgée la mace de mae locale d egme de coqe de loge d (égée ) éc: [ ] () ( ) πρ elem d e k avec k o va le mode de Foe a mace de mae de l éléme pe e calcle e éga la mace élémeae la loge de l éléme. e mace de mae o deqe po le mode yméqe e ayméqe e écve : [ ] [ ] () [ ] [ ] [ ] [ ] () [ ] [ ] [ ] () [ ] [ ] () [ ] [ ] elem elem d N N d N N ) ( ) ( ace de ade de pécoae a CAS3 e mode de Foe la ade de pécoae e calclée qeme po de coae ale le mode. E ee l éa de coae poède de compoae le ae mode de Foe la ade de pécoae cople le mode de Foe d ode dée. Noo j le coae ale le mode de Foe. Eplco le poeel ( ) π d BU B U S pemea de calcle la ade de pécoae : Ce poeel pove de la pae o léae d ee de déomao : BU B U p p N. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) co co co Sym BU B U S le champ de coae al e qeme le mode le poeel éc doc : - po le mode yméqe :

103 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 3 ( ) k k d BU B U S 4 ) ( ) ( π π π - po le mode ayméqe : ( ) k k d BU B U S π π π 4 ) ( ) ( a ade de pécoae e déd d poeel e le déva pa appo a degé de lbeé e éc doc : [ ] ( ) π S k K e mode yméqe e ayméqe coepode epecveme à > e <. e ade de pécoae de éléme pla o calclée e aembla (bocle le éléme e mlplcao pa le jacobe de l éléme e le ace kπ) le ade élémeae de la ome : [ ] ( ) A A A A A K j j j j j A j j j j j A j j j j j A A 33 j A 3 S o codèe qeme la coae (ca de l éléme CEC) o eove : [ ] S k K π