Eléments de dynamique des structures Illustrations à l aide de CAST3M

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1 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Eléme de dyamqe de ce Illao à l ade de CAS3. Combece Sepembe 6

2 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 able de maèe. Iodco...6. Syème à degé de lbeé appel de l éqao de la dyamqe...8 oveme lbe o amo...8 oveme lbe amo Ede da le domae éqeel... Ca gééal... Noo de oco de ae... écompoo de évolo empoelle da le domae éqeel Noo de pece d ocllae...3 époe à céea...3 époe à e mplo de dée e...4 époe à éme Syème à degé de lbeé appel le yème co...8 éhode de mode pope...8 héoe de ode Ece de éqao Noo de mode pope... éo... Calcl...4 éhode mplée de aylegh...4 Gééalao de la méhode éave...5 Iéao de o-epace Calcl pa ecombao modale...7 Pojeco mode pope...7 ecombao modale...8 Cobo aqe de mode églgé...9 éhode de o-cao...33 éhode de Cag e Bampo...34 Ulao d e bae de mode pope «lbe»...35 Illao e poe e aco-compeo...36 Commeae l ee comme...38 Applcao a ce mlppoée Algohme d égao empoelle...45 Algohme d Ele...45 Algohme de Newmak...47 éece ceée...47 Accéléao moyee :...48 Aalye de la ablé :...48 Emao de l ee...5 éhode-α de Hlbe Hghe e aylo (HH) Calcl da le domae éqeel...53 Applcao a calcl d vea vbaoe d e mache oae appel méhodologqe e dyamqe de ce...55 Calcl empoel...55 Calcl peca...55 Calcl da le domae éqeel...55 Paclaé de oce vee...56 Pe e compe d chageme al Amoeme de ce Amoeme vqe...6

3 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Amoeme de aylegh Amoeme hyééqe Amoeme pa oeme ec Amoeme de adao éemao epémeale de l amoeme Syème o léae appel le choc ee olde gde Choc ee olde élaqe...69 éhode de péalao...69 Noo de ade de choc...69 Applcao à l éde d oeeme d e yaee...7 Ulao de mlplcae de agage...73 Ede de ebod d e bae élaqe...74 Solo aalyqe...74 odélao bae modale avec algohme eplce (opéae YNE)...76 odélao bae phyqe avec algohme mplce (pocéde PASAPAS) Choc ee ce o léae...8 Ca d pojecle me gde...8 Ca d pojecle a éace mécaqe Coclo ééece Aee: Opéae e Pocéde CAS3 le e dyamqe...85 Céao de mace e obje...85 Opéae ASS...85 Opéae AO...85 Opéae IPE...85 Opéae SUPEEEEN...85 Opéae II...85 Opéae JONC...85 Opéae ES...85 Opéae CS...86 Opéae BASE...86 Opéae PSO...86 Opéae SOS...86 Opéae CHA...86 Opéae PJBA...86 Opéae CINIO...86 éolo (veo d yème calcl de mode pope)...86 Opéae ESO...86 Opéae VIB...86 Opéae VIBC...87 Opéae SYNHESE...87 Opéae SISSIB...87 Calcl empoel...87 Pocéde YNAIC...87 Pocéde PASAPAS...87 Pocéde YNAOE...87 Opéae YNE...87 Aalye de éla d calcl bae modale...88 Opéae ECO...88 Opéae EVO opo ECO e SOU...88 Opéae ENEO...88 Aalye e gééao de ga empoel...88 Opéae F

4 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Opéae SP...88 Opéae SPO e SPON...88 Opéae ONE e de ca e Gbae e dyamqe...9 Fomao de mace e calcl d e bae modale...9 Calcl de la époe empoelle appel le calcl e mode de Foe...94 ecpo de la géomée e de la cémaqe...95 Calcl de déomao po le éléme CEC e ma...97 Calcl de déomao po l éléme de coqe COQ...99 ace de ade élaqe de éléme CEC e ma...99 ace de ade élaqe de l éléme COQ... ace de mae... ace de ade de pécoae... 4

5 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Nomeclae K [ K ]: ade o mace de ade [ ]: ae o mace de mae C [ C ] : Amoeme o mace d amoeme { } : éplaceme champ de déplaceme o vece déplaceme v { }: Vee champ de vee o vece vee a { } : Accéléao champ d accéléao o vece accéléao F : Foce champ de oce o vece oce ω : Plao d chageme ω : Plao pope de la ce : ode pope : ème mode pope j : ème mode pope de la j ème o-ce Ω : Plao pope d ème mode j : ode aqe [ ] : Bae de mode pope ξ : Amoeme éd F G : Pod calae F G : Pod vecoel ( ( A B) C B C A ) 5

6 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6. Iodco a dyamqe de ce e domae de la mécaqe de ce aa de poblème è vaé e aa doc appel à de méhode méqe déee. Sa êe eha o pe ce : - le compoeme de ce ome à de choc (cah aomoble che d emballage de apo mpac d avo) - le moveme caé pa éme o e eploo - le vbao de pa écoleme (po om a ve ya d cc del o écoleme ee ) e mache oae (be éace ) o coac (coac oe-chaée oeme de e à dqe ) o ce poblème o e comm d e pa chageme q vae a co d emp (ma cec e le ca po de poblème aqe el qe la age o le lage) e d ae pa l mpoace de oce d ee (mae de la ce) da le poblème. oq o eae de clae le calcl dyamqe pa ode coa de compleé o pe e amee e a à de yème à qelqe degé de lbeé. e calcl aqe peve êe codéé le pl mple e de b de méhode de calcl lée da le bea d éde e de e amee à chageme aqe. Cec e paclèeme le ca l a cmle le() chageme() dyamqe() a ae ca de chage dmeoa q o aqe. e ca d yème dyamqe à degé de lbeé e odameal po be compede le compoeme dyamqe d e ce. e oo de bae e dyamqe el qe la éoace le vbao lbe le ôle de l amoeme o le pece de époe peve êe eplqée ce ype de yème. e modèle de calcl compoe ojo ple (e ove gad ombe) degé de lbeé. e paage a yème à degé de lbeé écee eo pplémeae. a le domae léae élaqe la oo de mode pope peme de e amee à yème à degé de lbeé. Il a alo ecombe le époe de l eemble de mode. Pao loqe le vee d chageme o è élevée l lao de la héoe de ode peme de me compede le phéomèe dyamqe. E le oce de o léaé el qe la placé e o le choc complee le poblème. e pla d pée docme e bae le dée pécédee. e yème à degé de lbeé e o d abod péeé. e yème à ple degé de lbeé o ee déc (oo de mace de mae e de mode pope méhode de calcl empoelle o éqeelle ) e eaya de mee e évdece l éê de e amee à de yème à qelqe (voe ) degé de lbeé. e de dee chape cocee l amoeme e le yème o léae (choc e pacle) q ee de je de la dyamqe de ce aa l obje de echeche. e oo o péeée ommaeme le lece aya acq lo de co gééa le oo de bae (mécaqe de mle co popagao d ode ). e ava paqe de ce co appya le code éléme CAS3 le cocep péeé o aaché loqe c e poble à de opéae e pocéde de ce code de calcl. Ue le o ehave de opéae e pocéde CAS3 le e dyamqe a qe le ca e aocé o doé e aee. Ue oème aee cocee le calcl e mode de Foe applcable a ce aya e ymée de évolo ma ome à de chageme qelcoqe. Cee opo de calcl mo coee qe le calcl 3 pe avée è le e dyamqe. Il e a ppoé qe le lece a qelqe oo élémeae l pemea de géée de mallage e de éale de calcl léae à l ade d code de calcl CAS3. 6

7 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Foeeme d e yaee o peo Impac poea méallqe Saqe yamqe ddl K K F F yamqe ddl yamqe o léae K K F K F Cc Kc K Fg. : Ce q e dcle e dyamqe 7

8 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6. Syème à degé de lbeé a coaace d yème à degé de lbeé (o ocllae à ddl) e odameale e dyamqe de ce. Ue boe lao de popéé de bae de ce ocllae peme ove de mple le poblème e de me compede le phéomèe obevé epémealeme o de calcl éléme complee. e cocep pcpa o déc da ce chape... appel de l éqao de la dyamqe a déomée d e ce ome à de eo aqe e calclée e écva l éqlbe ee le eo ee e le eo eee : K F eéee e champ de déplaceme a qe le eo calclé dove vée le codo a lme (ecaeme app bod lbe ). Qad le oce vae e oco d emp e le ee d ee (mae) peve mode la époe cee éqao deve : C K Feéee () A l éqao d éqlbe aqe ajoe le oce d ee ( ) le oce vqee ( C ) a qe le chageme dyamqe. éqao d moveme e pe êe éole complèeme q e mpoa de codo ale de ype déplaceme al e vee ale. oveme lbe o amo oq ace oce eéee e applqe à la mae e qe la vcoé e églgée l éqao éc : K K So : ω e poa ω ω e appelée plao pope d yème (e ad/). a éqece pope d yème e K pa déo (e H) e la péode pope (e ). π a olo de l éqao déeelle éc o la ome (Fg.): A( ω ) B co( ω ) e coae d égao A e B o déemée à l ade de codo ale la vee ( ) e le déplaceme ( ): A e B ω 8

9 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 5 éplaceme (m) emp () Fg.. Ocllae lbe o amo oveme lbe amo oq o e compe d amoeme vqe l éqao éc : C K So : ξω ω e oda le coece d amoeme ξ. No o éeo c qeme a yème o-cqe po leqel le coece d amoeme ee ée à. a olo de l éqao déeelle éc maea : ξω ( A( ω ) B co( ω ) e avec ω ω ξ ξω e coae d égao vale : A e B. ω e yème amo oclle doc à e plao légèeme éee à la plao d yème o amo (Fg.). S l amoeme e po (ce q e pao pa le ca po de yème able) l amplde d moveme décoî da le emp de aço epoeelle (e aega e amplde lle ma po emp ). 5 éplaceme (m) emp () Fg.. Ocllae lbe amo 9

10 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6.. Ede da le domae éqeel Ca gééal Codéo maea chageme empoel mooéqeel à la éqece ω: C K p( ) p( ) p ξω ω co( ω) a olo de cee éqao déeelle e la omme d e olo paclèe -appelée égme pemae o océ- e d e combao léae de olo de l éqao a ecod membe le égme aoe-. e égme pemae poède e éqece égale à la éqece d ecao (égme océ) alo qe le égme aoe e e ocllao à la éqece pope d yème q déped de codo ale (a déb d chageme). E péece d amoeme (po) le égme aoe dpaaî apè qelqe péode d ocllao. p co( ω ) ξω ( A( ω) B co( ω ) e ω ω ξ ω ω Noo de oco de ae Néglgeo maea la pae aoe. Il e alo è paqe de avalle e complee : l ecao e me o la ω ω ome p() pe e o cheche de olo d ype ( ) ( ω) e. O e amèe alo à yème léae complee do le peme membe e appelé mpédace o ade dyamqe. p ( ω ωξω ω ) ( ω ) a olo phyqe obevable epémealeme e la pae éelle de la olo d yème complee : p ρ ( ω) ( ω ωξω ω ) ( ω ωξω ω ) a vee e l accéléao peve êe calclé pa mple mlplcao d déplaceme epecveme pa ω e ω. O dé le oco de ae doa le appo ee le déplaceme la vee o l accéléao e l ecao : ρ Foco de ae e déplaceme : H ( ω ) ω ωξω ω Foco de ae e vee : ( ω ) H v Foco de ae e accéléao : ( ω) H a ( ) ωρ ( ω ωξω ω ) ω ρ ( ω ωξω ω )

11 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 amplde de la époe (doée pa le modle de la oco de ae Fg.3) déped d appo ee la plao d ecao ω e la plao pope d yème ω. Cee amplde e mamale loqe ω ω. Il a oe qe la plao de éoace vae légèeme va la gade obevée (déplaceme vee o accéléao). a époe e l ecao o déphaée d agle : ω ξ ω Acg ω ω Ava la éoace ( ω < ω ) le déphaage e poche de : la époe e qa-aqe (da la même deco qe l ecao). Apè la éoace ( ω > ω ) le déphaage deve poche de 8 : le déplaceme e e oppoo de phae pa appo à l ecao. o de la éoace ( ω ω ) le déphaage e eaceme de 9. oqe l amoeme a e vale è able le paage de à 8 eece po e bade de éqece d ecao è éoe. ρ ma ρ ξ Amplcao β ω ω Ecao Ocllae ρ ma π ξ ξ. ξ.5 ξ.5 ρ ββξ π/ éoace β β Féqece Coece d amplcao (odle de la oco de ae) Chageme aqe 3 éphaage Fg.3. Amplde e phae de la oco de ae e déplaceme β

12 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 écompoo de évolo empoelle da le domae éqeel e calcl da le domae éqeel applqe évdemme à o le ga péodqe q peve êe décompoé le hamoqe de la plao odameale π ω ( e la péode d gal Fg.4). ( ω ) b ( ω ) a A ( ω ϕ ) ( ) a a co co avec : a ( ) co( ω ) d b ( )( ) ω ω d c ( ) e d c e ω oqe la oco () e oïdale de plao ω el le coece d dce e o pa l. emp Fg.4. écompoo d gal péodqe oqe le gal e pa péodqe ma poède e dée e l pe êe codéé comme péodqe avec e péode péee à la dée oale. Gééaleme o aage po avo gal aya ombe de po égal à N avec N ee e pemee a le calcl de la aomée de Foe apde (FF). Il e éea de appele le popéé d e oco empoelle paclèe : la oco ac o mplo δ. Cee oco (o dbo) e o lle e el po (o a po e oco empoelle) e o égale e égale à. Cee oco empoelle e doc o lle e dée qa-lle. e pl le pod calae (dé pa l égale l epace de ombe éel) de la oco ac avec e oco qelcoqe g e égal à la vale de cee deèe oco. Soe : δ ( ) d ( ) δ e ( g() dτ g( ) δ. ) Codéo l mplo dée e. a aomée de Foe de cee mplo va : avec : ω a ( ) co( ) d δ ω b () ( ) δ ω d c () e d δ e coece e dépede pa de la éqece. Ue mplo poède doc coe éqeel è che e homogèe. Sa aomée de Foe e la oco coae da l epace de éqece. Cee popéé emaqable e ove lée epémealeme po déeme le oco de ae d yème : e oce mploelle e applqée (pa eemple avec maea de choc) la aomée de Foe de déplaceme vee e accéléao doe deceme le oco de ae ee le po d applcao de la oce e le po de mee.

13 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6.3. Noo de pece d ocllae e pece d ocllae o pece de choc e ol è lé po eme le eo b pa e ce ome à éme o à choc. époe à céea Aalyo o d abod la époe d ocllae à céea : p ( ) τ ξω ω avec p ( ) τ <τ e p τ ( ) F >τ a époe d yème o amo e : F ( ) Aco( ω ϕ) K Po de codo ale de déplaceme e vee lle la olo deve (Fg.5): F ( ) ( coω) K dyamqe F aqe e déplaceme mamal de la mae va ma ma. Cee vale éee K paclèeme l gée po le dmeoeme ca l doe l allogeme mamal d eo. oqe le déplaceme mamal e mlplé pa ω o pe dé e qaé popooelle à e accéléao q e appelée pedoaccéléao : dyamqe a~ ω ma a pedo-accéléao mlplée pa la mae doe l eo q applqé aqeme cod a déplaceme mamal de l ocllae peda le chageme dyamqe. Ce eo de dmeoeme va doc c F e la pedo-accéléao Foce (N) F. 5 F emp () éplaceme (m) 5 F /K emp () 3

14 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Fg.5 : époe d yème à degé de lbeé om à chageme céea époe à e mplo de dée e epeo l éqao d moveme pécédee ma avec chageme de ype mplo (Fg.6): p τ ( ) <τ e >τdτ O pe ace la pedo accéléao e oco de la plao de la ce (Fg.7). oqe la péode de la ce e able deva la dée d chageme o eove le chageme pécéde (céea). S la dée de l mplo e è able deva la péode de vbao d yème le déplaceme va : p( τ ) dτ ξω ( ) ( ω ( τ )) e avec ω ω ω ξ E ee la coevao de la qaé de moveme peda la dée d chageme (e églgea la ade) peme de coaîe l céme de vee d a chageme ( ) p( τ ) dτ. Ue o le chageme emé o e amèe à poblème de vbao lbe à vee ale mpoée. o gal empoel pe êe décompoé e e cceo d mplo. e yème édé éa léae la époe e la pepoo a mplo cceve : p( τ ) ξω ( ) ( ω ( τ )) e dτ ω Cee égale e appelée égale de hamel. Elle peme de calcle méqeme la époe d ocllae léae à chageme empoel. Foce (N) emp () éplaceme (m) emp () Fg.6 : époe d yème à degé de lbeé om à e mplo 4

15 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a Chageme (Foce/ae) a Pedoaccéléao (K. ma /ω ma ) Τ emp π/ Plao ω ω ω ω a ma : éplaceme Fg.7 : époe d yème à degé de lbeé om à e mplo de dée e époe à éme a echqe pécédee e à la bae de méhode de dmeoeme e gée paamqe. E ee loq o avalle da le ééeel ela aaché à la bae de la ce ba le éme le oce mqe o de oce d ee e ova a ecod membe. Ce oce o popooelle à la mae e l éqao d éqlbe e pl oco qe de la plao e de l amoeme : ξω ω aéme () e déplaceme mamm ma d yème à ddl a éé acé e oco de la péode d yème : c e le pece e déplaceme (Fg.9a). Pl gééaleme o ace la pedo-accéléao e oco de la péode (Fg.9b) la pedo accéléao éa dée comme a ~ ω ma. e eo de dmeoeme peve êe déemé e coaa la péode o la éqece de la ce e e mlpla la pedoaccéléao pa la mae de la ce ( a~ Kma ). e ca de chageme mqe pe alo êe aé comme le chageme aqe ce q acle le dmeoeme. Ce pece o aocé à e vale d amoeme péce. e dmeoeme e e a pa avec pece de éme éel ma avec pece églemeae «eveloppe» dé pa e cobe aalyqe q déped de la qalé d ol leqel e ée la ce (Fg. e ablea.). Pa eemple le pece de ègle açae PS9 e doé pa coece d amplcao de l accéléao a ol : Bache AB: e() A (-A)(/B) Bache BC: e() Bache C: e() (C/) Bache E: e()(c/)(/) a e l accéléao omalée doée pa le oage. Po de vale d amoeme déee de 5% o applqe coece mlplca: ρ(5/ξ).4 5

16 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Accéléao (g) Gèce 999 emp () a/ Séme d Ahèe (Gèce 999) Accéléao (g) 4 3 qe emp () b/ Séme d Im (qe 999) Fg.8: Accéléao eegée lo de éme éplaceme (cm) qe 999 Gèce 999 Péode () a/ Spece e déplaceme Pedo accéléao (g) qe 999 Gèce Péode () b/ Spece e pedoaccéléao Fg.9 : Compaao de pece d ocllae de ga eegé e qe e Gèce e 999 6

17 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 7 a 6 Pedo-accéléao (m/ ) B C Spece PS9 - Sol S éplaceme (cm) 4 Spece PS9 - S aa A 6 4 Péode () E B C Péode () Fg.: Spece de dmeoeme mqe de ègle de coco açae PS9 ype de ol B () C () () A S S S S ablea.: éo de coece déa le pece PS9 va le codo de ol 7

18 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 3. Syème à degé de lbeé e modèle éléme compoe ojo ple (e gééaleme gad ombe de) degé de lbeé. Ava d eplce la mace de mae pécqe a calcl dyamqe qelqe appel le mle co o eecé. a oo de mode pope e ee abodée. E le déee echqe de calcl o péeée (calcl empoel pa ecombao modale e éqeel). 3.. appel le yème co appelo le éqao d éqlbe d e poe do o ve déeme o déplaceme aal ( ) e o déplaceme avee y ( ) (Fg 3.). éqlbe aal e la lo de compoeme coepodae doe : N ρ S ES éqlbe avee e alao e oao a qe la lo de compoeme e leo doe (po de poe de Beoll a déomée de calleme) : 4 y y ρ S EI 4 e y e y e y e Fg 3. : éomée d e poe egado je le moveme aal d e poe a oce eéee q e ég pa l éqao a dévée paelle a ecod membe : ρ S ES Cee éqao pe êe éole avec méhode déee : l e baée la épaao de vaable (mode pope) e l ae la héoe de ode. éhode de mode pope Cee éqao à vaable e aome e éqao e vaable o cheche de olo o la ome : ( ) ( ) g( ). ρ g k E g e peme membe e déped qe de e le ecod qe de l o doc éga à e coae k. a oco de l epace e de la ome : ( ) ( k ϕ ) Celle e emp : g( ) g ( ω ϕ ) ω E avec k e c. c ρ ϕ e déemé avec le codo ale ϕ e k o déemé à l ade de codo a lme. 8

19 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Pa eemple po e poe de loge app (déplaceme aa E π bloqé) : ϕ k π e ω. a déomée modale e doc de la ome ρ π ( ) (Fg 3.). oqe l éqao d éqlbe e pojeée le mode o pe aoce à cee déomée e mae gééalée e e ade gééalée : m ρs ρ S ( ) d ( ) ( ) ES k ES d ES ( ) d ( π ) a cee deèe éqao le eme a oèe d domae d égao povea de l égao pa pae dpaae e ao de codo a lme (de ype déplaceme l o eo l) Fg 3. : éplaceme aal de 3 peme mode pope d e bae e acocompeo héoe de ode O pe a cheche de olo o la ome ( ) ( k ω). éqao a dévée paelle deve alo ( ω k c ) ω O vo qe mpoe qelle oco e olo k. E ao de la ome pe la c oco epéee e ode e popagea à la céléé c. E ee loqe école e ω dée la épao paale d déplaceme e eove décalée de ± c k (Fg 3.3). E c e doc la céléé de ode de aco-compeo. ρ k e appelé vece d ode ca l doe la deco de popagao de ode (popagao da la deco de > k> e de < k<). ω e la plao de vbao obevée e po doé. 9

20 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a céléé de ode de aco-compeo (a qe de ode de calleme) e déped pa de la plao ω : le mle e pa dpe. Cec e pa le ca po le ode de leo. emaqo qe e a olo de l éqao a dévée paelle. Cee amlle de olo coepod a moveme de cop gde e alao ome. Ode ( k ω) Ode ( k ω ) Fg 3.3 : Popagao d e ode 3.. Ece de éqao appelo comme pe êe calclée la mace de ade e aqe. Noo { } le vece déplaceme q egope le degé de lbeé (déplaceme e oao) leqel e dcéé le moveme de la ce. éege poeelle de déomao d e ce élaqe éc : V { }[ K ] { } e héoème de Caglao q e éqvale a pcpe de pace velle (q e pl gééal ca l e a valable po de lo de compoeme o léae) peme de calcle : - le déplaceme à pa d poeel epmé e oco de eo : V F - le eo à pa d poeel epmé e oco de déplaceme : V F Cec peme de calcle epecveme la mace de oplee e la mace de gdé. e la même aço e dyamqe o pe calcle l éege céqe d yème e oco de vee (e pao de déplaceme) : ({ }{ }) { }[ ]{ } avec { } le vece vee. e éqao de agage q o e gééalao de Caglao pemee d obe le éqao d éqlbe véée pa le degé de lbeé cho : V Q a le ca gééal le peme eme o à l oge de la mace de mae e de mace de pedo-ade e de pedo-amoeme loqe l éege céqe déped a de déplaceme (pa eemple loqe le epèe lé e pa gallée) [ ] { } [ ] { } [ ] { } G K egado le ca d éléme de bae Se degé de lbeé o le déplaceme de eémé : U { } { y y } e vee e mpoe qel po de l éléme écve e oco de vee a eémé e de oco de ome choe c léae.

21 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 () () ) ( e () () ) ( y y y avec ) ( e ) ( éege céqe éc doc pa égao la loge de l éléme : () () { }[ ]{ } y d S ρ a mace de mae a doc comme compoae : () () j j d S m ρ So : [ ] [ ] ( ) y y j S S S S S S S S m ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Cee mace e pa dagoale e ao de eme coé () () j j d S m ρ. Cec pe êe péala loqe la mace de mae do êe veée de ombee o (ca de calcl eplce avec pe pa de emp). O péèe alo le de mace de mae coceée (lmpé) e amea le eme o dagoa la dagoale. Il e alo éea de emaqe qe cec e éqvale à cocee la mae le eémé. [ ] ( ) y y ρ ρ ρ ρ e y e O P P e ey O P P a/ ae épae b/ ae coceée Fg 3.4 : Eléme de bae à œd a le ca le pl mple (abece d amoeme e epèe gallée) l éqao d éqlbe dyamqe éc doc o la ome macelle: [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } Q K

22 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Noo de mode pope éo Ava d aalye l ee d chageme dyamqe la ce l e coa de éode l éqao a ecod membe : [ ]{ } [ K ]{ } e aço abae o pe ppoe qe le olo e emp e e epace o épaée : { } { ( X )} ( ) Comme po le yème à ddl péeé da le chape pécéde cec cod à éqao coplée pa l emédae d e coae. a pemèe e e éqao déeelle e emp e la ecode yème e epace : () ω () éqao déeelle e emp adme po olo e oco d ype : ( ) ( A( ω ) B co( ω )) où A e B o de coae dépeda de codo ale. e yème léae a pa de ecod membe e a éolo eve à poblème a vale pope. ω ( X ) K ( X ) [ ]{ } [ ]{ } ω o appelée plao pope e { (X )} le vece pope. eemble coe le mode pope o amo. e vece pope o ohogoa ee e po le pod calae dé pa la mace de ade e la mace de mae : ( X ) K ( X ) ( X ) j j ( X ) oqe le mace o yméqe ce mode pope o oblgaoeme éel. Cec e pa va loqe le mace de ade e/o de mae e o pa yméqe o e péece d amoeme: le mode (vece pope e plao pope) peve alo êe complee.

23 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ aqee de bâme à m poe (aboaoe ama CEA Saclay) b/ Po d Gad (mode odameal à.67h) Fg 3.5 : Eemple de mode pope 3

24 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Calcl e calcl de mode pope pe avée è coûe va le méhode lée e le ombe de mode calclé. Il e doc éceae d avo e dée de méhode méqe lée. éhode mplée de aylegh Cee méhode mplée -q e cle da cea ègleme de dmeoeme comme le ègle de coco de bâme PS9- peme de be compede de méhode pl complee q e ove da le code de calcl. Elle peme de calcle de aço appochée le mode odameal. Po yème à degé de lbeé e vbao lbe le déplaceme e la vee écve epecveme : ( ω) e ω co( ω). éege céqe e mamale loqe le déplaceme e l : E c ma m ma m ω éege élaqe e mamale qad la vee e lle: E éla ma k a coevao de l éege o d qe ce éege o égale d où apè mplcao pa : ω k m O pe gééale cela a yème à mae épae o e e e déomée ( X ) e champ de déplaceme e de vee vale epecveme : U ( X ) Ψ X ω ( ) ( ) U ( X ) ω Ψ( X ) co( ω) où le éege céqe e élaqe mamale : l Ecma m ω Ψ X dx ω ( ) m Ψ ( X ) l ( X ) Ψ( X ) l U E élama EI dx EI dx X X Comme pécédemme l égalé de ce éege ( E E ) cod à : ω l l Ψ EI X m Ψ ( X ) ( X ) oqe la déomée ( X ) dx dx l dx éla ma c ma Ψ. Ψ e pa le vece pope odameal o pe moe qe la plao calclée e ojo majoa de la plao odameale. e pcpal poblème e doc la déemao de la déomée. S o ve déeme la plao pope odameale l a doc aage po obe e déomée pope d mode. Po de ce ae églèe o pe cheche la déomée o chageme aqe applqé da la deco d mode cheché : U ( X ) K d. Faqe K λ m I λ ψ ( X ) 4

25 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 e éege céqe e élaqe vale : l Ecma λ ω m Ψ ( X ) dx E éla l ma Faqe U d ( X ) dx λ m I Ψ( X ) dx éla ma cma E E doe ω l l m I l Ψ m Ψ ( X ) dx ( X ) O vée qe la plao ovée e déped pa de l amplde d chageme λ. dx Faqe Ud(X) Fg 3.6 : éemao de la déomée po la méhode de aylegh Gééalao de la méhode éave a méhode mplée pécédee pe êe gééalée po abo a poce va : () Cho d vece al () éolo de K (3) e de la covegece - < (() o covegece) K (4) ϕ e ω e vece al () q e qelcoqe e p comme chageme po calcle le vece déplaceme de l éao vae (). Ce poce covege ve le mode pope odameal. E ee loq o e place da la bae de mode pope le vece à l éape va : α. k k k α k A l éape vae o a l égalé : α k ωk o de éao le coece coepoda a mode le pl élevé ede ve d aa pl apdeme qe la plao e élevée. e mode odameal deve alo pédoma e le poce covege doc ve le mode de pl bae plao. 5

26 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 oq o dée déeme le mode le pl poche d e plao ϖ l de mode la ~ ade pa : K K ϖ. e poce covege alo ve le mode de plao ~ ω ω ϖ. e méo d mode pe êe déemé e décompoa la mace de ade : ~ K où e e mace dagoale. e ombe de vale égave de doe le ombe de mode el qe ω <ϖ e le ombe de vale pove doe le ombe de mode el qe ω >ϖ. Iéao de o-epace a méhode pécédee pe êe éede e pea ple vece a e e e plaça da le o epace dé pa ce vece. e plao pope dove alo êe calclée à chaqe éao e calcla o le mode pope d yème éd a o-epace édé. - Cho de p vece a X [... ] p - éolo de K X X 3- Pojeco de mace K e le o-epace K X K X e X X 4- Calcl de o le mode pope da le o-epace K Q Ω Q (méhode de Jacob Q ) 5- eo à l epace comple X X Q 6- e de covegece ( o covegece) 6

27 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Calcl pa ecombao modale oq e bae de mode pope a éé calclée (de aço eace o appochée avec la méhode de aylegh) l éqao de la dyamqe pe êe éole e pojea cee bae éde. Po cela o cheche e olo o ome d e combao de mode pope e o pojee la bae de mode pope. Cec peme de éde codéableme le ombe de degé de lbeé. Pojeco mode pope Codéo o d abod e bae avec el mode pope : U U C KU F( ) U ( X ) ( ) Noo () le coece mlplca de la oce (ce q e poble loqe la épao paale d chageme e vae pa a co d emp) : F F ( () ) éqao pe êe dvée pa q e appelé la mae gééalée d mode: () C () K ( ) F ( ) F () ξ () ( ) ( ) ω ω Noo ~ ( ) la oco calae olo de l éqao vae : ~ ~ () ξ () ~ ( ) ( ) ω ω e champ de déplaceme olo de l éqao d éqlbe pojeé le mode e doc : F U ( ) ~ ( ) a doée le po le dmeoeme e la vale mamale d déplaceme le mode d où la déomée eême le mode : U ~ ma F ma ~ ma O pe calcle aéme le chageme aqe éqvale coepoda à ce champ de déplaceme. Pa déo c e le chageme q applqé aqeme cod a même déplaceme e o po. So : ma ma F ~ ma F KU ω ( X ) egado le ca d chageme mqe. a le ééeel ela le oce mqe o popooelle à la mae e o dgée da la deco d éme applqé (po éme éel o deva cmle le 3 deco de chageme O Oy e O). So le vece oce : F() I a() I e champ de vece é doa la deco d chageme ppoée c hooale (accéléao é). a ce ca d chageme mqe ~ ( ) ( ) a ) : vée (ca ( ) 7

28 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 ~ ~ () ξ () ~ ( ) a( ) ω ω Ce champ de vece pe êe élé po calcle l eo acha à la bae de la ce (q e égale à la élae de eo q applqe la ce : ma F I I ). Ce eo acha e le pod de la pedo accéléao e d e gade homogèe à e mae q e appelée mae modale eecve: ~ma ma ω ~ ma I ω : pedo-accéléao q déped de la plao d mode m~ I : mae modale eecve a mae modale eecve poède popéé éeae : - Elle e déped pa de la omalao choe po le mode - a omme de mae modale de o le mode e égale à la mae oale de la ce Il a emaqe qe la mae gééalée d mode m omalao de mode. I epéee la pojeco d chageme mqe é le mode. / m e appelé coece de pacpao. Il déped a de la omalao d mode e de la deco d chageme. el q l e dé c l e e gade pécqe a chageme mqe. a mae oale de la ce va I I. ecombao modale Codéo maea ple mode pope: U U C KU F( ) U ( ) ( X ) Ue éce pl codeée la de mace ecaglae do le coloe o omée de vece pope e de vece aembla le déplaceme gééalé pe êe lée : U ( X ) () S le coe éqeel d chageme F() e el qe el le P mode de pl bae éqece o ecé o pe alo éce : P P ~ F U ( ) ( ) ( X ) ( ) ( X ) e déplaceme d e ce peve doc êe calclé à chaqe a e pojea le chageme chac de mode e e calcla la époe de P yème à ddl (le mode pope). e évolo empoelle de déomao e eo ee peve a êe déemée e calcla le gade (paa) éceae e le le lo de compoeme maéelle éceae. e doée le a dmeoeme o gééaleme le vale eême (de eo ee coae o déplaceme). e pl le pece d ocllae lé e éme doe le vale eême (e déplaceme pa eemple) o le eo aqe 8

29 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 coepoda. E péece de ple mode l a doc cmle le ee de chac de mode. Ple ègle de cml ee (SSS CQC ). Ue de pl mple e le cml qadaqe mple (Sqae oo o he Sm o he Sqae) lable loqe le mode o de éqece amme dce. e vale eême o calclée e aa e moyee qadaqe. Pa eemple po le déplaceme: P ma ma ( ( )) ~ F U X ( ) X e même ègle dove êe lée po le déomao le coae e le eo ee (l a o éve de calcle de gade pa e. le déomao- champ de vale eême -pa e. le déplaceme-). Cee ègle de cml qadaqe e odée l hypohèe qe le époe modale o de poce décoélé. a ce ca la moyee e l éca-ype d poce omme de l eemble de poce élémeae de moyee m e d éca-ype vée: m m e E vbao de ce le moyee de gade peve êe ppoée lle (moveme ao de la poo d éqlbe aqe) e l amplde d moveme e deceme lée à l éca-ype d poce. Cee ègle q doe le déplaceme (o le coae) mamm pemea le dmeoeme de la ce e valable qeme le mode o amme dc e l amoeme e a po le cople. S ce hypohèe e o pa véée cml qadaqe do êe comple [Pecke 6]. Cobo aqe de mode églgé Iéeo-o maea à l ee comme pa la ocae modale. Po cela ao le ca d e poe ecaée à a bae e ome à e oce pocelle. Ue bae modale calclée e ppoa l eémé péee de la poe lbe e peme pa de eove la dcoé d eo acha lée à la chage pocelle loqe F e aqe (Fg 3.7a). E ee même la déomée d mode odameal odameal (Fg 3.7b) e poche de la olo aalyqe aqe l eo acha e le mome lécha o co e e peve doc pa epode la dcoé d eo (olo able). a le ca aqe l e doc pééable d le le mode aqe aqe à la place d e bae modale. oqe F e dyamqe (pa eemple hamoqe de plao Ω) la époe de la ce e déee d ca aqe e déped oeme d coe éqeel de l ecao : le chageme pe mee e éoace de mode de la ce (Fg 3.8a e b) e cea mode peve épode de aço aqe loqe la plao d chageme Ω e pee deva la plao d mode (Fg 3.7a). Il e alo éea d le e bae modale po éde le ombe de degé de lbeé. oeo l eo acha e ojo dco e ao de la oce pocelle. S cee omao e mpoae la bae modale pe êe compléée pa mode appelé mode aqe o pedo-mode calclé à pa de la déomée aqe ma ohogoalé pa appo à la bae modale lée. Ecvo cela po modèle éléme poéda N degé de lbeé e dga le mode époda dyamqeme e aqeme à la ollcao. U chageme de bae (de la bae phyqe ve la bae de mode pope) cod à: P ~ N F ~ F U ( X ) ( ) ( X ) ( ) ( X ) P e déplaceme ~ ( ) pe êe calclé acleme po le mode à hae éqece (>P). E ee po ce mode le chageme e è le e pe doc êe codéé 9

30 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 3 comme aqe. ) ( ~ vée l éqao de la dyamqe da laqelle le peme eme de mae e d amoeme peve êe églgé: ) ( ) ( ~ ω a époe de mode à hae éqece e doc peme aqe (ma avec de vaao empoelle). où : ) ( ) ( ) ( ) ( ~ ) ( N P P X F X F U ω e ecod eme coepod doc à la cobo aqe de mode églgé (aya e plao pl élevée qe le plao d ecao e/o qe le plao de phéomèe édé). Il pe êe calclé à pa de la ade aqe e de P peme mode. E ee la mace de ade vée (paage da le epèe de la bae de mode pope): N N N F F K F F K ω ω où : F S F eg N P ω avec P P eg K K K S ω ( ) P P eg K F F K F K F K F S Cee deèe égalé e paclèeme le qad o e ve calcle q ombe ee de mode a oeo églge la cobo aqe de mode églgé (e o calclé). F S eg e appelé le pedo-mode aocé a chageme F e à la bae modale lée. e pedo-mode aocé a chageme pocel pécéde (Fg 3.7) e à e bae modale omée d el mode odameal e doé Fg 3.9. a dbo d eo acha Fg 3.9b me be e évdece le a qe le pedo-mode e calclé e ohogoala le mode aqe (Fg 3.7a) pa appo a mode odameal (Fg 3.9a) : la épao d eo acha e mlae à celle d mode odameal a a po d applcao de la oce. Il a emaqe qe l éqao pécédee e pa valable po de plao lle (mode de cop gde) ma l égalé pe êe modée e décala la plao d mode de cop gde de ω ~ : ( ) P eg K S ~ ) ~ ( ω ω ω où la ade aqe de mode églgé : ( ) N P N P ~ ω ω ω po ~ ω ω >>

31 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 F F a/ Solo eace b/ Solo e la le mode odameal Fg 3.7 : Poe ome à eo pocel aqe F(Ω) F(Ω) a/ époe le mode odameal b/ époe le ecod mode (Ω poche de ω ) (Ω poche de ω ) Fg 3.8 : Poe ome à eo dyamqe (hamoqe) pocel 3

32 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ode odameal b/ Pedo mode Fg 3.9 : ode odameal e pedo mode aocé à chageme pocel 3

33 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 éhode de o-cao oqe le volme de modèle de calcl deve mpoa e/o qe l o dée aemble de modèle de compoa développé de e dée po éde le compoeme d eemble de la ce ale (ca de l aéoaqe Fg 3.) l e coa d le de méhode de o-cao (o de yhèe modale loqe de bae de mode pope o lée). egado le pcpe de ce méhode. a ce e dvée e P o-ce do le mode eo calclé épaéme. e déplaceme de la ce dove vée l éqao d éqlbe : K e Noo : j m [ ] : le coodoée gééalée coepoda a m mode pope de la o-ce j m [ ] : le déplaceme de po déa la lme ee le odomae (déplaceme de la lao). O décde de cho ce déplaceme comme degé de lbeé leqel ea codeée l éqao d moveme. Il a maea calcle le vece déplaceme aocé à chace de coodoée. Ple méhode ee. egado o d abod celle lao e bae de mode pope avec de codo a lme bloqée (mode pope d «bloqé»). Fg 3. : Aalye d compoeme dyamqe d e ale d avo pa yhèe modale [Fache 3] 33

34 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 34 éhode de Cag e Bampo Po chaqe o-ce le mode pope peve êe calclé e mpoa le degé de lbeé de l eace. Noo l eemble de ce vece (mace ecaglae [ ] m j ). Il o olo de l éqao a mode pope locale : ( ) Ω K où K e o le mace de ade e de mae de la o-ce do le œd de l eace o bloqé. Noo K la mace de ade globale de la ce complèe (œd de l eace o bloqé). e vece (o mode) coepoda a oed de l eace peve êe calclé acleme à l ade de calcl aqe pe coûe (pa appo a calcl de mode pope de la ce complèe) e mpoa cceveme de déplaceme é à chac de degé de lbeé de l eace. Cec écee aa de calcl aqe qe de degé de lbeé de la oèe. Noo [ ] m j l eemble de ce vece appelé mode aqe (aocé a lao). e déplaceme de la ce complèe peve êe maea développé cee bae compoa de mode pope bloqé a œd de la oèe e de mode aqe le œd de la oèe. éqao d éqlbe de la ce complèe éc : e K K Pojeo le mode pope de chace de o-ce : e K e codo a lme bloqée pemee de ae dpaaîe le eme e. E ee K ca K (oce odale aocée a mode aqe) e compoe de eme o l qeme à l eace (mode déemé e mpoa de déplaceme qeme e ce po) où le déplaceme de mode o l. Pojeo le mode aqe : e K e eme e dpaaî a ca ( ) K K. e yème éc doc o ome macelle : e e K K e mace o be yméqe (ca ( ) ). O ecoaî le ade e mae gééalée de mode pope de o-ce ( K e ). Ce o-mace o doc dagoale. U eme de coplage ee le mode aqe e le mode pope appaaî ca ce mode e o pa ohogoa pa appo à la mace de mae. O vo be qe le mode pope de o-ce e le mode aqe o coplé qeme pa l emédae de mace de mae e pace qe le mode aqe o de déplaceme o l à l ée de o-ce. e pl le o-ce e o alo coplée qe pa le mode aqe.

35 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 35 Ulao d e bae de mode pope «lbe» e cho d e bae de mode pope bloqée e pa oblgaoe. O pe pa eemple décde de déce le moveme de l eace à l ade d e vaable d eo epéea le eo de lao. e champ de déplaceme éc alo : avec déemé e applqa de eo é a œd de l eace (e o pl de déplaceme é Fg 3.). éqao d éqlbe de la ce complèe éc : e K K oqe l éqao d éqlbe e pojeée la bae de mode pope p le degé de lbeé de l eace le eme de ade coée e e e ale pa comme pécédemme e ao de codo a lme lbe. E ee K (oce odale aocée a mode aqe) compoe de eme o l (e a éga à l é degé de lbeé de lao) à l eace où le déplaceme de mode o o l. a mace K e doc e mace ecaglae coea le déplaceme moda le degé de lbeé de lao. Pa eemple da le ca d mode pope e de de mode aqe aocé a œd de coodoée e cee mace éc : ( ) ( ) [ ] K. e même la ade aocée a mode aqe e dagoale e coe le déplaceme de mode aqe a œd de la lao : ( ) ( ) K. éqao d éqlbe globale éc alo : e e I K K K K e lao ee o-ce o aée pa l éqlbe local de eo. Comme o le vea da l eemple va cee codo e éqvalee à la coé de déplaceme. a/ Aemblage de o-ce «qadlaèe» b/ ode aocé à ddl e déplaceme c/ ode aocé à dll e oce Fg 3. : Eemple de mode aqe

36 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Illao e poe e aco-compeo Po lle le méhode de calcl pa yhèe modale calclo le éqece pope d e bae e aco-compeo de loge de modle E e de eco S. a bae e dvée e o-ce de loge oée epecveme AI e I B. e déplaceme de po A e B o bloqé da o le ca. Ulo o d abod de bae de mode pope bloqée. Noo : () e () le déplaceme moda de chace de ce () e () le coodoée gééalée de mode aqe (q o c déplaceme de po I e I ). a bae de mode pe e omée de mode pope bloqé e de mode aqe : π - ( ) e ( ) po la o-ce AI (<<) (Fg 3.a e c) π - ( ) e ( ) po la o-ce I B (< <) O vée qe la mace de ade globale e compoe qe de eme dagoa : ( ) ES π K ES d ( ) K ES d ES ( ) ( ) ES ( ) ( ( ) ( )) K ES K ES d d Pa coe la mace de mae compoe de eme de coplage ee mode aqe e mode pope : ρs ρ S( ( ) ) d ( ( ) ) ρs ρ S d 3 ρ S ρs π ρs ( ) ( ) d d ( ) π E ajoa la codo de coé d déplaceme à l eace l éqao d moveme éc le degé de lbeé () ( ) e λ ( ) le mlplcae de agage aocé à la lao: ρs ρs ES π ( ) π ρs ρs ( ) ES π π ρs ρs ( ) ES π 3 ρs π 3 O pe emaqe qe le mlplcae de agage λ epéee l eo de lao. ( ) ρs λ ES λ 36

37 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 37 Ulo maea de bae de mode pope lbe. e degé de lbeé d yème o le déplaceme gééalé de mode pope () e le eo ( ) po le mode aqe. e mode pope e aqe o epecveme de la ome : ( ) ( ) π e ( ) ES φ Be qe le mode aqe o c deqe (à e coae pé) a mode aqe pécéde l a be le déece : loqe le mode aqe o aocé à de déplaceme l o calclé e mpoa cceveme de déplaceme é à chaqe degé de lbeé de la lao (e mpoa de vale lle a ae déplaceme de la lao) alo qe po de mode aqe aocé à de eo le déomée o deée e mpoa de eo é (Fg 3.). Comme pécédemme le mode pope e le mode aqe o coplé pa l emédae de la mace de mae. U eme de coplage appaaî a la ade : ( ) ( ) ( ) ( ) d ES ES d ES K ( ) ( ) ( ) ( ) d ES ES d ES K e o-ce peve êe lé pa l éqlbe local ( ) ( ) (q pe a éce () () ). éqao d éqlbe éc doc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ π π λ ρ π ρ ρ π ρ π ρ ρ π ρ ρ ES ES ES ES S E E S E E E S E S O emaqe c qe le mlplcae de agage λ doe le déplaceme de la lao e qe la codo d «éqlbe local» de la lao (3 ème e 4 ème lge d yème) e éqvalee e l abece de oce d ee à la codo de coé de déplaceme de la lao: ES λ. oqe de mode pope lbe o lé la mace de ade pe êe calclée e mpoa mpleme la coé de déplaceme à la lao. e yème éc alo o églge la mae e la ade de mode aqe: ( ) ( ) 8 8 λ π π λ ρ ρ ES ES S S

38 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 38 U mélage de bae de mode pope lbe e bloqé pe a êe lé. Cec pe êe le qad le modèle d e o-ce écee de codo de ymée cyclqe (pa eemple modélao d éevo cyldqe e mode de Foe poble qeme le degé de lbeé de lao o lbe) alo q l e pééable de calcle le mode pope de ae o-ce (pa eemple de yaee lée a éevo) e bloqa le degé de lbeé de lao. e moveme de l eace ea alo doé pa : - () () ( ) () ( ) po la o-ce do le moveme de l eace e déce pa déplaceme (mode pope bloqé : ( ) ). - () () ( ) () ( ) po la o-ce do le moveme de l eace e déce pa eo (mode pope lbe) e éqao d moveme de chaqe o-ce écve epecveme : ( ) ( ) 3 ES ES S S S S π ρ π ρ π ρ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ES ES S E E E S π ρ π ρ π ρ ρ Aya eplcé le vaable de déplaceme e d eo po la lao le elao ee le o-ce dove alo êe mpoée e écva l éqlbe local de la lao e la coé de déplaceme (le éqao o éceae po povo éode complèeme le yème ca le lao o déce pa le vaable de déplaceme e d eo ). Commeae l ee comme Il e éea d eme l ee comme po le déee méhode de ocao. e ablea 3. e la Fg 3.3 doe le plao pope de peme mode a qe le déomée modale po l eemple pécéde. U el mode pope a éé p po chace de o-ce (Fg 3.) a po le 3 ème ca ( mode pa o-ce a mode aqe). appelo qe le plao d e mode bloqé e d e mode lbe d e bae de loge vale epecveme E bloqé ρ e 4 E lbe ρ

39 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 S bloqée S bloqée S lbe S lbe avec mode aqe S lbe S lbe a mode aqe ( mode/-c) S lbe S bloqée Ca de ééece ode ode ode ablea 3.: Féqece pope po ple méhode de o-cao E ( k ) ρ Il a o d abod emaqe qe le éqece doée pa le méhode de ocao o ojo emée pa appo a éqece éelle (comme pa la méhode de aylegh qad la déomée pe e déee de la déomée modale éelle). Elle doe le vale eace qad le déomée modale de chaqe o-ce pemee de eove eaceme le déomée de la ce complèe. e cho de codo a lme de o-ce écee doc e pa d o de la pa de l gée. Po même coû de calcl (ombe de mode lé) le éla al ea d aa melle qe l gée aa eme le déomée modale de la ce aemblée. e ca eême (bloqé e lbe) o pao op coaga e l e alo coellé d le de codo emédae e a po le calcl de mode pope de o-ce de mae e/o de eo à e eace [Gbe 988] [Gad 3]. 39

40 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ode aqe b/ ode avec eace I lbe c/ ode avec eace I bloqée Fg 3. : Bae de mode pope e aqe de la o-ce S a/ ode pope bloqé e mode aqe b/ ode pope lbe e mode aqe ( mode pope pa o-ce) c/ ode pope lbe a mode aqe d/ ode pope bloqé (S) e lbe (S) ( mode pope pa o-ce) avec mode aqe Fg 3.3 : éomée modale (déplaceme aal) de 3 peme mode doée pa déee méhode de o-cao (e : déomée eace) 4

41 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Applcao a ce mlppoée e ce ome à de moveme déeel d app (ove appelée ce mlppoée) coe ca pacle de o-cao. eemple de la Fg 3.4 e poqe app aya de moveme mpoé dée. oqe la ce e léae le moveme de la ce pe êe décompoé e moveme aqe cla le déplaceme déeel e moveme dyamqe. Comme le moveme de app e co (chageme applqé) le déplaceme aqe o co e o oé : j m le m app de la ce [ ] aqe à l ée de la ce e champ de déplaceme oal à l ée de la ce e la pepoo de déplaceme aqe e de déplaceme dyamqe ( le mode pope «bloqé»). : oqe l eemble de app a moveme deqe (moveme de alao ome) le déplaceme coepod a déplaceme abol e le déplaceme a déplaceme ela pa appo a ppo. éqao d éqlbe de la ce complèe pojeée le mode pope éc e codéa le déplaceme d app comme chageme eée : K e Il e éea de vale le chageme eée (Fg 3.6) aocé a mode aqe de l eemple Fg 3.4 e 3.5. a omme de chageme aocé a mode aqe de chac de app e chageme homogèe égal à I (Fg 3.6c). Po lle cela le moveme d poqe om a moveme d app hooal va : () e ( τ ) avec la oco dée Fg 3.7a. a éqece d mode odameal de ce poqe va.7 H. e déplaceme de app d e amplde de.4 mm e applqé e m o e accéléao mamale de m/. e déphaage empoel ee le app a éé p égal à τ m. e évolo empoelle d déplaceme déeel ee la êe e le ped d poea (lèche - Fg 3.7b) o éé calclée pa 3 méhode : - éhode : calcl modal e codéa le moveme de app comme chageme dyamqe avec el mode pope e le mode aqe d app - éhode : calcl bae phyqe e codéa le moveme de app comme chageme dyamqe e le mode aqe d app - éhode 3 : calcl dec e applqa éelleme le déplaceme d app. e 3 méhode doe be de éla cohée (déplaceme cood Fg 3.7b). a décompoo e déplaceme aqe e dyamqe (méhode e ) peme de mee e évdece ple phéomèe : - a déb d chageme le déplaceme dyamqe compee le déplaceme aqe q o «aaé» : l ee d poqe eade l a aqel le omme d poqe commece à boge - le vbao apè applcao d chageme o de à la compoae dyamqe d chageme. 4

42 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 4 m H3 m E3 Pa ρ4 kg/m 3 ab.5m gache do Fg 3.4 : Poqe om à déplaceme déeel de app a/ ode pope odameal (.7 H) b/ ode aqe aocé a e app c/ ode aqe aocé a ème app d/ ode aqe aocé à moveme mlaé de app Fg 3.5 : ode pope e mode aqe d poqe mlppoé 4

43 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 a/ ode aqe aocé a e app b/ ode aqe aocé a ème app c/ ode aqe aocé à moveme mlaé de app Fg 3.6 : Chageme eée aocé a dée mode aqe 43

44 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 5 éplaceme (mm) 4 App gache 3 App do emp () Accéléao (m/) 5 App gache App do emp () a/ Foco déa le moveme de app éplaceme (mm) 8 6 éplaceme oal 4 éplaceme aqe - -4 éplaceme dyamqe emp () b/ Flèche d poea gache (a co : déplaceme ela e: décompoo de la époe e compoae aqe e dyamqe po le méhode e ) Fg 3.7 : oveme d poqe om à déplaceme déeel 44

45 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Algohme d égao empoelle e b de ce chape e de doe qelqe oo le algohme d égao empoelle. Po cela egado l ocllae à degé de lbeé o amo : ω aya le codo ale () e (). a ablé d algohme d égao éde e mea l éqao déeelle d ode o ome d yème d ode : ω ω {} Y [ A] {} Y avec [ A ] égao méqe de ce yème d éqao déeelle écee e dcéao e emp. e algohme e déece pa la méhode de calcl de l éape à pa de l éape. Algohme d Ele egado le algohme de la amlle d Ele (Fg 3.8). éa (déplaceme e vee) à l éape pe êe calclé à pa de : - la dévée à l éape : { Y } { Y } { Y} (Ele Fowad) - la dévée à l éape : { Y } { Y} { Y } (Ele Backwad) - la moyee de dévée à l éape e :{ } { Y} { Y } { Y } de apèe) Y Y (ègle Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Fg 3.8 : éhode d égao d Ele ω Po Ele Fowad : { Y } { Y } e vale pope de cee mace vale λ ± ω e modle de vale pope e ojo pée à e l algohme e ojo able. 45

46 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 ω Y Y e vale pope vale λ ± ω. Po Ele Backwad : { } { } e modle de vale pope e ée à. algohme e doc able ma dpa. ω ω Po la ègle de apèe : { Y } { Y } e modle de vale pope va. algohme e doc able e coeva. e déee popéé de algohme d Ele o véée Fg 3.9 yème à ddl de éqece pope H avec pa de emp de.. 8 éplaceme 4-4 emp () a- Ele Fowad éplaceme b- Ele backwad emp () c- ègle de apèe Fg 3.9 : époe d ocllae à ddl o amo 46

47 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Algohme de Newmak Ue amlle d algohme è lé e celle de Newmak. e déplaceme e la vee o calclé à pa de accéléao a éape e : v ( β ) a β a v v ( γ ) a γ a O ppoe qe l éqao d éqlbe e véée à l éape a Cv K Po yème léae élaqe l accéléao à l éape e calcle doc e vea le yème : β γ C K a ( v ) éece ceée algohme de déece ceée (Fg 3.) e le ca pacle β e γ/. v a v v γ a γ a ( ) C a Cv a K a mace C pe êe calclée aéme la mace e la mace C o dagoale d où l éê d le e mace de mae coceée (o lmpée) e de pede e mace d amoeme popooelle à la mae (pa eemple da le code de calcl eplce EUOPEXUS). oqe le degé de lbeé o le déplaceme moda amoeme e copla pa le mode ee e (mace d amoeme dagoale) cove. Comme la mace de ade K -q e jama dagoale- e jama veée l algohme e d eplce. e om de déece ceée pove de l égalé : Ce algohme e lé pa l opéae YNE de CAS3. a v v. a v v a v Fg 3.: Algohme de déece ceée 47

48 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 48 Accéléao moyee : algohme de l accéléao moyee (Fg 3.) coepod a ca β/ e γ/ ( ) * 4 4 a a a v ( ) * a v a a v v e qaé * d e * v o calclée deceme e oco de gade à l éape. accéléao à l éape e doée pa : * * 4 K Cv a K C e om d accéléao moyee eplqe pa le a q o ège l accéléao ee e e pea a vale moyee l evalle. ( ) ( ) a a d a v v τ τ ( ) ( ) 4 a a v d a v τ τ τ Fg 3.:Algohme de l accéléao moyee Aalye de la ablé : Aalyo la ablé de algohme de Newmak va le vale de α e β. ) ( a a v β β ) ( a a v v γ γ K Cv a eo ce yème o la ome d e mace de ae ee l éa à l éape ( v ) e l éape ( v ). ( ) ( ) v K C K C v K C K C β β γ γ β β γ γ eo le yème o ome admeoée po q l coepode à : v a ω ξω So : ( ) ( ) v v ω β ξω β ω γ ξω γ ω β ξω β ω γ γ ξω v v

49 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 49 egado le ca a amoeme : ( ) v v ω β ω γ ω β ω γ éqao caacéqe q doe le vale pope de la oco de ae éc : βω ω γ βω ω γ λ λ Po qe λ o complee l égalé vae do êe véée : 4 4 ω β γ S λ e éel le yème e pa oclla e e peme doc pa de eove la ome de la olo aalyqe. Ecvo le vale pope complee (q o cojgée) o la ome modle e phae : ϕ ρ λ e ± e modle va : βω ω γ ρ e modle doe l amplcao de la époe ee l éape e. Cee amplcao va po le ca aalyqe. S l e ceme ée à l algohme poède de l amoeme méqe. S l e ceme pée à l algohme e able. a codo de ablé éc doc : γ. a phae va : 4 Acg βω ω γ βω ω γ βω ω ϕ Po le déece ceée (β e γ/) la codo de ablé 4 4 ω β γ éc : ω. a le pla (γβ) o pe dge 3 oe coepoda à de codo de ablé déee (Fg 3.). Fg 3. : Sablé de algohme de Newmak va le vale de γ e β (ocllae o amo) γ 4β γ β 4 3 : Iable : Codoelleme able 3: Icodoelleme able éece ceée Accéléao moyee

50 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 Po lle la oo de ablé le vbao lbe d yème à ddl amo o éé calclée à l ade de algohme de déece ceée (Fg 3.3a) e de l accéléao moyee (Fg 3.3b). po pa de emp e epeca pa la codo de ablé de déece ceée (po le ecod mode ω > ). e ocllao coae appaae be le ecod mode da le ca de déece ceée alo qe le yème e paaeme amo po l accéléao moyee. K K.5 éplaceme a/ éece ceée emp () éplaceme emp () b/ Accéléao moyee Fg 3.3 : Vbao lbe d yème à ddl amo ( ω ) Emao de l ee egado le ee comme l amplde e la phae de la époe : S S γ β 4 ( ) ω ρ γ O γ ω βω ω ϕ 3 β ω O( ) ϕ l ee comme l amplde de la époe e e ω. celle comme la péode d ocllao e a e ω. > 5

51 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 O d qe l algohme e d ode. e éla obe avec le méhode de déece ceée e de l accéléao moyee o éé compaé à la olo aalyqe po yème à ddl o amo Fg 3.4. e algohme o be o-dpa. e pl la péode pope e epecveme emée e o-emée da le ca de l accéléao moyee (Fg 3.4b) e de déece ceée (Fg 3.4a). Cec e e accod avec le vale d ablea 3.. Algohme γ β éece ceée Fo&Goodw Accéléao léae Accéléao moyee Accéléao moyee modée me de ablé ω Ee d amplcao ρ ( ) α α α ω 4 Ee la péode / ω 4 3 O.45 ( ) ω 4 ω ω ablea 3. : Qelqe algohme de la amlle de Newmak éplaceme emp () a/ éece ceée éplaceme b/ Accéléao moyee emp () Fg 3.4 : bao lbe d yème à ddl o amo ( H d.) compaée à la olo aalyqe (e) 5

52 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe 6 éhode-α de Hlbe Hghe e aylo (HH) algohme de la méhode α HH e doé à e dca. e déplaceme e vee o calclé comme pécédemme : v ( β ) a β a v v ( γ ) a γ a éqao d éqlbe e pl véée à l éape ma e «décalée» gâce a coece α. a ( α )( Cv K ) α( Cv K ) ( α ) α Ce ype d algohme e d ecod ode e péee amoeme méqe le hae éqece qeme (coaeme à l algohme de l accéléao moyee modée q amo a le bae éqece) loqe le codo vae o véée : α γ α β ( α ) 3 4 Cee popéé de lage de hae éqece e lée pa eemple po lme la popagao de ee epémeale da la méhode d ea pedodyamqe (Fg 3.5) q cople ea e laboaoe po le calcl de la lo de compoeme (déemao epémeale d eme Kd ) e méhode méqe po l égao empoelle. Cee méhode e paclèeme adapée a ea de ce de gée cvl à gade échelle do le compoeme de maéa e ableme dépeda de vee de déomao. Fg 3.5 : éhode d ea pedodyamqe (JC Ipa Iale) 5

53 Eléme de dyamqe de ce. Combece Sepembe Calcl da le domae éqeel e calcl empoel pa à pa e le calcl de mode pope peve avée è lod le modèle compoe de ombe degé de lbeé. a cea domae comme cel de vbao l gée pe éee o a égme éabl de la époe d e ce ome à chageme de dée è loge (pa eemple po éde l e d e ce vba o l ee d écoleme). Po cela l e pa éceae de calcle le mode pope ma l a avo e decpo éqeelle d chageme applqé. O pale a de époe hamoqe. e chageme e décompoé e e combao de ga hamoqe d ype : ω ( ω) co ω F ( ω) ω ( F F ) e ) ω U ( ω) co ω U ( ω) ω ( U U ) e ) F F e Po e éqece doée la olo chechée ea doc de la ome : U époe e éqao de la dyamqe pe alo e mee o la ome d yème à coe e coece éel : K ω ωc U F ωc K ω U F Ce yème compoe doc o pl d coe éelle qe de degé de lbeé d yème phyqe ma la éolo de l éqao dyamqe e amèe à la éolo d poblème aqe do la mace de ade e pa yméqe. a éolo d poblème e doc paclèeme mple loqe le code de calcl lé poède olve éel o yméqe (ca de CAS3 q e poède pa de olve complee). Applcao a calcl d vea vbaoe d e mache oae egado le ca d e mache oae ome à e oce de balod de à éqlbage mpaa. e balod e gééaleme caacéé pa a mae m e o eceeme e pa appo à l ae de oao. e oce de balod o oae à la plao de oao de la mache e l amplde e popooelle à Ω (pl eaceme Fme Ω ). a le ca édé le balod e placé le dqe ceal. évolo de l amplde de la époe (déplaceme d po où e e le balod) d e mache oae e oco de la vee de oao de la mache e doée la Fge 3.6. a mache e modélée pa de éléme de poe avec coplage gyocopqe. Cee ge me be e évdece le pc où la époe e mamale. Il y a éoace loqe la éqece de oao (e doc de l ecao) e égale à l e de éqece de la ce. 53

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