APPROCHE PLS : UNE HIERARCHIE DES STRATEGIES POUR LA

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1 APPROCHE PLS : UE HIERARCHIE DES STRATEGIES POUR LA DETERMIATIO DES VARIABLES LATETES Mohamed HAAFI EITIAA / IRA, Unité de Sensométrie et Chimiométrie. Rue de a Géraudière, 4407 antes cedex 03, France. Résumé Dans e cadre de a modéisation des reations structurees par approche PLS (Wod, 198), a phase de détermination des variabes atentes constitue un point centra du dispositif d estimation du modèe structure. L existence de six stratégies différentes pour a détermination des variabes atentes constitue une difficuté maeure ors de a mise en oeuvre de cette approche. L utiisateur ne dispose d aucune information a priori ui permettant de mesurer es conséquences du choix d une stratégie putôt qu une autre sur estimation du modèe structure en reation avec obectif qu i poursuit. La présente communication vise à étabir une hiérarchie des six stratégies qui sont à a base de approche PLS et étudier es conséquences du choix d une stratégie putôt qu une autre sur estimation du modèe structure. Une première propriété montre que e mode B pour a détermination des variabes atentes peut être considéré comme un cas particuier du mode A, simpement par une transformation expicite des données initiaes. La seconde propriété étabit, sur des bases mathématiques, a différence entre es trois variantes proposées dans approche PLS (centroïde, factoriee et structuree). Sur a base d exempes, a hiérarchie dégagée est iustrée et es conséquences de chacune des six stratégies sur estimation du modèe structure sont mises en évidence. Cet ensembe ouvre aors de nouvees perspectives. mots-cés : reations structurees, approche PLS abstract In PLS Path Modeing (Wod, 198), the fact that there are six different strategies for the computation of atent variabes is a drabac from the practioner s point of vie as non hints are given as to hich strategies shoud chosen and to the impact of each strategy on the estimation of the parameters of the structura mode. In this presentation, e set up a hierarchy of the six strategies and highight the consequences of the choice of a strategy on the mode. A first property estabishes that mode B is as a matter of fact a particuar case of mode A by considering a transformation of the data. A second property highight the differences among the three schemes proposed by PLS Path Modeing (centroide, factoria and path). We provide iustrations of the genera approach and discuss ho these ne properties give more insight into PLS Path Modeing. eys ords : Structura Equations Modeing, PLS Path Modeing 1. DOEES ET OTATIOS Les données se présentent sous a forme de groupes de variabes ( = 1,,..., ). Les variabes des différents groupes sont mesurées sur es mêmes individus. Chaque groupe de variabes est constitué de p variabes dites variabes manifestes. A ce groupe on associe une variabe atente ξ. On suppose que on dispose parmi es variabes atentes ξ ( = 1,,..., ) de J variabes atentes ξ ( = 1,,..., J ) endogènes, cest-à-dire des variabes atentes qui sont

2 expiquées par d autres variabes atentes. Seon obectif poursuivi par utiisateur, es spécifications reatives aux reations structurees entre es variabes atentes conduisent cassiquement à une représentation conceptuee (ou schéma féché) des données et du modèe. Deux matrices binaires, chacune de dimension (, ), suffisent pour prendre en compte cette = = et eurs ééments sont définis de représentation conceptuee. Ees sont notées C [ ] et D [ ] a manière suivante : c = 1 si ξ sont reiées entre ees. c = 0 ξ ne sont pas reiées ou si = d = 1 si ξ est expiquée par ξ d = 0 si ξ n est pas expiquée par ξ ou si = c d. LES DIFFERETES STRATEGIES DE DETERMIATIO DES VARIABLES LATETES DAS L APPROCHE PLS. L approche PLS (Herman Wod (198), Tenenhaus 1999) a pour obectif a modéisation des reations structurees entre groupes de variabes ( = 1,,..., ). Ee stipue que es reations entre es groupes de variabes ( = 1,,..., ) sont véhicuées par es variabes atentes ξ ( = 1,,..., ). La modéisation des reations entre es groupes de variabes passe par a modéisation des iaisons entre : chacune des variabes atentes ξ et es variabes manifestes qui ui sont associées. Une variabe atente soit ee expique es variabes manifestes qui ui sont associées, soit ee est expiquée par cees-ci. Ces deux types de ien entre a variabe atente ξ et ses variabes manifestes sont modéisés par un des deux modèes : x = π + π ξ +, = 1,,..., p et = 1,,..., (1.1),, ε, p ξ = µ + µ x + δ = 1,,..., (1.) = 1,, es variabes atentes ξ ( = 1,,..., ). La modéisation des reations entre es variabes atentes concerne seuement es variabes atentes endogènes ξ ( = 1,,..., J ) qui sont modéisées de a manière suivante : ξ = β 0 + c β ξ + θ = 1,,..., J () Les hypothèses usuees sont assumées pour es modèes ci-dessus. Pour e modèe (1.1) par E et = 1,,...,. Autrement exempe, nous supposons que : ( ) x, / ξ = π + π, ξ, = 1,,..., p dit, es résidus ε, ont des moyennes nues, et es corréations entre esε, et a variabe atente ξ sont égaement nues. La détermination des paramètres des modèes exprimés par es équations (1.1 ou 1.) et () cidessus s effectue par agorithme PLS proposé par Wod (198). Cet agorithme est constitué de trois phases. Dans a première phase, chaque variabe atente est déterminée à un signe près à partir des données expérimentaes par une combinaison inéaire z = ( = 1,,..., ) centrée et réduite des variabes manifestes. Le signe de a variabe atente z est ensuite choisi comme positif si es signes des corréations entre a variabe atente en question et ses variabes manifestes sont maoritairement positifs. Dans e cas contraire, e signe est choisi négatif. ξ

3 Une fois es variabes atentes déterminées z = ( = 1,,..., ) et eurs signes spécifiés, es deux phases suivantes de agorithme PLS consistent simpement à estimer par régression es paramètres des modèes exprimés par es équations (1.1 ou 1.) et (). La détermination des variabes atentes z ( = 1,,..., ) passe par a recherche des vecteurs ( = 1,,..., ) soutions de un des deux systèmes : λ = cθ = 1, (système A) = 1,,..., = 1 1 λ = cθ (système B) = 1, = 1,,..., = 1 Les deux systèmes (système A, système B) représentent es deux modes de détermination des variabes atentes connus sous es noms : mode A et mode B. Pour chacun des deux modes A ou B, trois variantes sont proposées (centroide, factoriee et structuree), ees correspondent à trois définitions différentes des ééments θ qui apparaissent dans es deux systèmes A et B. Dans a variante centroide, on considère es ééments θ = signe, = 1,,...,. Dans a variante factoriee, on considère es ééments θ =, = 1,,...,. La variante structuree considère es ééments θ = si ξ est expiquée par ξ. Lorsque ξ est expique ξ, θ est a composante du vecteur de a régression mutipe, associée à ξ, de ξ sur es variabes atente iées à ξ. Finaement, θ = 0 orsque ξ ne sont pas iées dans e modèe. Les deux modes A et B et es trois variantes proposées pour chacun des modes conduisent à six stratégies de détermination des variabes atentes dans approche PLS. Pour chacune des six stratégies, e cacu effectif des vecteurs soution de chacun des systèmes A et B présentés cidessus s effectue par a procédure itérative proposée par Wod. Une présentation détaiée de cette procédure se trouve dans Lohmöer (1989, page 9). La question reative à absence d une preuve théorique concernant a convergence de cette procédure ne sera pas abordée ici. Une discussion détaiée autour de cette question et queques soutions aternatives sont présentées par Hanafi et Qannari (004). 3. PROBLEMATIQUE ET RESULTATS OBTEUS Dans approche PLS, a phase de détermination des variabes atentes constitue un point centra du dispositif d estimation du modèe structure, du fait que estimation des paramètres du modèe dépendent fortement des variabes atentes obtenues. L existence de six stratégies pour détermination des variabes atentes peut constituer une difficuté ors de a mise en œuvre de approche PLS car utiisateur ne dispose d aucune information suppémentaire ui permettant de priviégier une stratégie putôt qu une autre en reation avec son obectif. Actueement, peu de résutats existent en ce qui concerne es iens entre ces six stratégies. La démarche qui consiste à utiiser systématiquement ensembe des six stratégies pour résoudre e probème est possibe. Cette

4 démarche génère une panopie de résutats et peut constituer une source suppémentaire de difficutés ors de interprétation des résutats surtout si e nombre de groupes est reativement grand. La présente communication vise à étabir une hiérarchie des six stratégies qui sont à a base de a détermination des variabes atentes dans approche PLS et d étudier es conséquences du choix d une stratégies estimation du modèe structure exprimé par es équations (1) et (). De manière concrète, nous présentons de nouvees propriétés qui, d une part caractérisent a spécificité de chacune des six stratégies, d autre part, étabissent des iens qui existent entre es six stratégies LIE ETRE LES DEU MODES A ET B : OUVELLES PROPRIETES Propriété 1. Dans e mode B, es variabes atentes obtenues à partir des données initiaes cees obtenues à partir des matrices P = sont identiques. Propriété. Les deux modes A et B coïncident si es données initiaes P =. Propriété 3. Le mode B est un cas particuier du mode A. et sont transformés en Queque soit a variante choisie, a propriété 3 étabit un ien très intéressant entre es deux modes A et B. Les deux premières propriétés carifient a différence entre es deux modes A et B. Cette différence réside dans a différence entre es structures interne des deux matrices P et. La structure interne de a matrice P = est radicaement différente de cee de effet tout en préservant e même espace généré (pouvoir expicatif) par e groupe de variabes matrices P éimine a variabiité interne de. Les coonnes de P sont standardisées et eurs covariances sont nues. La différence entre es deux modes A et B pour a détermination de variabes atentes correspond à un choix ors de a détermination des variabes atentes : doit-on prendre en compte a structure interne des données (mode A) ou pas (mode B)? La part de variance expiquée par chacune des variabes atentes reativement aux variabes manifestes qui ui sont associées est pus faibe dans e mode B que dans e mode A. Comme conséquence directe sur estimation du modèe structure, e mode B priviégie a iaison entre es variabes atentes au détriment de a iaison entre chacune des variabes atentes et es variabes manifestes qui ui sont associées. Cette dernière iaison est putôt priviégiée par e mode A. 3. DIFFERECES ETRE LES VARIATES CETROIDE, FACTORIELLE ET STRUCTURELLE : OUVELLES PROPRIETES Propriété 4. Dans e mode B, orsque a variante centroide est choisie, es variabes atentes sont optimaes, ees sont es soutions de a maximisation du critère c ρ (, ) coefficient de corréation., = 1,. En, a, où ρ est e

5 Propriété 5. Dans e mode B, orsque a variante factoriee est choisie, es variabes atentes sont ( ) optimaes et ees sont soutions de a maximisation du critère c ρ,., = 1, Propriété 6. Les deux variantes (centroide et factoriee) traitent ensembe des variabes atentes (exogènes et endogènes) d une manière symétrique, contrairement à a variante structuree qui distinguent es variabes atentes endogènes des variabes atentes exogènes. Paradoxaement, a propriété 6 montre que a détermination des variabes atentes par es deux variantes centroide et factoriee ne distinguent pas es variabes atentes exogènes (expicatives) des variabes atentes endogènes (expiquées). Pour ces deux variantes, a détermination des variabes atentes ne tient pas compte de aspect expicatif issue du modèe structure () modéisant es iaisons entre es variabes atentes. La variante structuree apparaît natureement a pus adaptée car ee intègre, dans a détermination des variabes atentes, a distinction entre variabes atentes endogènes et exogènes. Les propriétés 4 et 5 montre cairement grâce aux deux critères introduits que a différence entre es deux variantes symétriques centroide et factoriee réside dans e degré de prise en compte de a iaison entre es variabes atentes. 4. APPLICATIOS Sur a base d exempes, a hiérarchie dégagée par es propriétés introduites dans a section précédentes sera iustrée. Les conséquences du choix d une stratégie putôt qu une autre sur estimation du modèe structure seront mises en évidence. Ces nouvees propriétés ouvrent des perspectives nouvees tant sur e pan théorique que sur e pan pratique, ees seront égaement discutées. Bibiographie [1] Hanafi M. Qannari E.M (004). An aternative agorithm to the PLS B probem. Computationna Statistics and Data Anaysis. (sous presse) [] Lohmöer J B (1989). Latent variabes path modeing ith partia east squares. Physica-Verag, Heideberg. [3] Tenenhaus M (1999). L approche PLS. Revue de Statistique Appiquée. Vo 47, n, pp -55. [4] Wod H (198).Soft modeing: the basic design and some extensions. In: Joresog,.G, Wod, H. (Eds). Systeme under indirect observation. Vo. orth-hoand. Amsterdam, pp [5] Wod H (1985). Partia Least Squares. In: otz, S., Johnson,.L (Eds), Encycopaedia of statistica sciences, vo 6. Wiey, e Yor,pp