II. Fonctions cyclométriques.

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1 II. Fonctions cclométriques.. Introduction Etant donné une onction : A R (), connaissant (), peut-on retrouver? C'est la onction réciproque qui nous le permettra. () Pour que la réciproque d'une onction soit une onction, il aut que la onction initiale soit injective (c'est à dire qu'un réel ne peut être image de plusieurs points). En eet, si ce n'était pas le cas, un point aurait plusieurs images par la onction réciproque comme le montre le schéma ci-contre, et il ne s agirait plus alors d une onction. Le graphe cartésien d'une onction nous permet acilement de dire si cette onction est injective ou pas : il suit d'observer si ce graphe comporte plusieurs points de même ordonnée b Fonction injective Fonction non injective Tout est image d'au plus une valeur de. b est image de points :,, et Remarque : : A B est injective ssi tout élément de B est image par d'au plus un élément de A : A B est surjective ssi tout élément de B est image par d'au moins un élément de A : A B est bijective ssi tout élément de B est image par d'un et un seul élément de A. La onction réciproque : déinition Si : A R : () est une onction injective Soit (A), l'ensemble des réels images par d'au moins une valeur de. alors : : (A) A : () avec () () Remarque : de nombreu manuels utilisent le signe - pour dénoter la onction réciproque, mais nous préérerons ain de ne pas conondre avec la onction ( ()) - () Nous avons donc ( ()) ainsi que (()) X () () 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. II -

2 . Une onction et sa réciproque : lien entre leurs graphes. Considérons la onction : R R : () Cette onction n'étant pas injective, ain de pouvoir parler de réciproque, on considèrera sa restriction à R + c'est à dire : g : R + R + g() et g : R + R + g () Le graphique ci-contre reprend le graphe de g() (trait plein), celui de g () (tirets) ainsi que celui de la onction h() Nous observons : (a,b) G g b a a b (b,a) G réciproque Graphiquement, nous constatons que ces points sont smétriques par rapport à la droite (première bissectrice des aes de coordonnées) 0 On peut reaire le même travail pour les onctions () et () Il semblerait donc que les graphes de deu onctions réciproques l'une de l'autre soient smétriques par rapport à la droite. Démontrons-le. Hpothèse : Soient points A(a,b) G et B(b,a) G (considérons le cas où A et B er quadrant, la démonstration étant semblable pour les autres cas) Thèse : A et B sont smétriques par rapport à la droite d Démonstration : Les côtés des angles droits des rectangles OAD et OEB sont respectivement égau ( OE OD a et EB AD b) ces triangles sont isométriques a) leurs hpoténuses sont égales : OB OA le OAB est isocèle. b) leurs angles correspondants sont égau : , d est bissectrice du triangle 0AB Comme le OAB est isocèle : d est aussi hauteur et médiatrice du OAB BC sont smétriques par rapport à d. CA et AB d A et B Conclusion : les graphes d'une onction et de sa réciproque sont images l'un de l'autre par une smétrie orthogonale d'ae : bissectrice principale des aes de coordonnées. E O B(b,a) C D d A(a,b) Asmptotes. Si le graphe d'une onction admet une asmptote verticale a, alors le graphe de sa réciproque admet une asmptote horizontale a et inversement. Le graphique ci-contre illustre le cas de la onction () et de sa réciproque g() + () admet pour AV la droite d et pour AH la droite d 0 ' g() admet pour AV la droite d 0 et pour AH la droite d Eercices Déterminer la onction réciproque de chacune des onctions suivantes et en déduire le graphe de cette onction.. (). () Nous allons maintenant considérer les onctions réciproques des onctions trigonométriques appelées onctions cclométriques et étudier leur comportement à partir des onctions de base II - CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. 4/0/04

3 4. La onction arccos Nous savons que la onction cosinus est une onction R R : () cos Cette onction n'étant pas injective, considérons sa restriction à [0,] ain de pouvoir déinir sa réciproque, appelée arccos 4. Déinition : arccos : [-, ] [0,] arccos est l'application qui est déinie de manière telle que [-, ] et arccos cos et [0,] Remarque : Nous avons : [- ; ] : cos (arccos ) Et de même : [0, ] : arccos (cos ) Eemples: arccos 0 arccos arccos (- ) 5 6 A partir des observations que nous avons aites sur les graphes des onctions réciproques, nous pouvons aisément obtenir celui d'arccos Sur un même graphique, traçons () cos [0,] (tirets) () arccos [-,] (trait plein) et enin d, bissectrice principale. Nous obtenons alors les graphes ci-contre. La onction arccos est donc une onction décroissante entre - et. Sa racine :. (0) / 4. Application. si arccos 0, eprimer sin, cos et tan en onction de. Nous avons directement cos cos (arccos ) et sin (arccos ) cos (arccos ) et comme 0 arccos sin (arccos ) tan (arccos ) 4. Dérivée : arccos cos (cos )' ' - sin. ' ' sin Généralisation : dérivée de la onction réciproque : Nous savons : ( ) () ' ( ()). ( ())' Dans notre cas nous obtenons : (arccos ) ' ( ()) ' ( ()) cos(arccos ) sin(arccos - ) A partir des règles de dérivation de la composée de onctions nous obtenons (arccos ()) ' conclusion: (arccos ) ' (arccos ()) ' Eercices : Déterminer le domaine des onctions suivantes et calculer leur dérivée :. (arccos(-)) '. (arccos ) ' - ( ) ( ( )) 0 ( ) ( ( )) 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. II -

4 5. La onction arcsin De même, la onction arcsin est la réciproque de la restriction de la onction sinus R R () sin. à l intervalle, (pour que cette restriction soit injective). 5. Déinition : arcsin : [-, ] [-, ] arcsin est l'application qui est déinie de manière telle que [-, ] et arcsin sin et [-, ] Remarque : Nous avons : [- ; ] : sin (arcsin ) Et de même :, : arcos ( cos ) Eemple : arcsin arcsin arcsin (-) - 6 Comme dans le cas d'arccos, nous trouvons le graphe d'arcsin à partir de celui de sin Sur le graphique ci-contre, nous reprenons les graphes des onctions suivantes : () sin, (tirets) () arcsin [-, ] (trait plein) 0 et la droite d (bissectrice principale) la onction arcsin est donc une onction croissante entre - et, qui admet une racine en 0 5. Application. si arcsin - -, eprimer sin, cos et tan en onction de. Nous obtenons directement sin or cos sin et comme - alors cos sin tan 0-5. Dérivée : arc sin sin (sin )' ' cos. ' ' cos A partir des règles de dérivation de la composée de onctions nous obtenons (arcsin ()) ' conclusion : (arcsin ) ' (arcsin ()) ' ( ) ( ( )) Eercices : Déterminer le domaine des onctions suivantes et calculer leur dérivée :. (arcsin ) '. (arcsin 5 ) '. (arcsin ) ' ( ) ( ( )) II - 4 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. 4/0/04

5 5.4 Remarque : arccos - arcsin en eet : arccos cos et [0, ] Pour vériier l'égalité, il aut donc montrer que cos ( - arcsin ) et que - arcsin [0, ] or : cos ( - arcsin ) sin (arcsin ) (angles complémentaires) et - arcsin - arcsin - - arcsin 0 (cqd) 6. La onction arctan Nous savons que la onction tan est une onction de R/{ + k } R : () tan. La onction arctan est la réciproque de la restriction de cette onction à l intervalle, 6. Déinition : arctan : R ]-, [ arctan est l'application qui est déinie de manière telle que R et arctan tan et ]-, [ Eemple : arctan 4 arctan 6 arctan - Comme précédemment, à partir des observations sur les graphes des onctions réciproques, nous trouvons le graphe d'arctan 4 d Le graphique ci-contre reprend les onctions () tan, (tirets) () arctan R (trait plein) - 0 d ainsi que les droites d (bissectrice principale) - d 4 d -, d graphe de tan ) (Asmptotes verticales du d d et enin, les droites :d 4 - et d 5 (Asmptotes horizontales du graphe d'arctan ) Remarquons que les droites d 4 et d 5 sont respectivement smétriques de d et d par rapport à la droite La onction arctan est donc une onction constamment croissante. Elle admet pour racine 0, et admet les limites suivantes : lim arctan et lim arctan - 6. Application. si arctan avec - < <, eprimer tan, sin, cos et cot en onction de 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. II - 5

6 6. Dérivée : arc tan tan (tan )' ' ( + tan ). ' ' tan ( ) A partir des règles de dérivation de la composée de onctions nous obtenons (arctan ()) ' ( ( )) conclusion : ( ) (arctan ) ' (arctan ()) ' ( ( )) Eercices : Déterminer le domaine des onctions suivantes et calculer leur dérivée :. (arctan ) '. (arctan ) ' 7. La onction arccot La onction cotangente est une onction R R : () cot La onction arccot est la réciproque de la restriction de cette onction à l intervalle ]0,[ 7. Déinition : arccot : R ]0,[ arccot est l'application qui est déinie de manière telle que R et arccot cot et ]0,[ Eemple : arccot 0 arccot (-) - arccot 4... A nouveau, nous obtenons le graphe de la onction arccot à partir de celui de cot : Le graphique ci-contre reprend les onctions () cot ]0,[ (tirets) g() arcot R (trait plein) ainsi que les droites d (bissectrice principale) d et d 0 (asmptotes du graphe de cot ) et enin les droites : d 4 et d 5 0 (asmptotes du graphe d'arccot ) Ces deu dernières sont respectivement smétriques des deu précédentes par rapport à la bissectrice principale. La onction arccot est donc une onction constamment décroissante. Elle n'admet pas de racine, (0) admet les limites suivantes : lim arccot 0 et lim arccot d d 4 6 d d 5 d 4 Application. si arccot 0 < <, eprimer sin, cos, tan et cot en onction de. 7. Propriété : Comme dans le cas d'arcsin et arccos, on peut montrer : arccot - arctan en eet : arccot cot et ]0, [ Pour vériier l'égalité, il aut donc montrer que cot ( - arctan ) et que - arctan ]0, [ or : cot ( - arctan ) tan (arctan ) (angles complémentaires) II - 6 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. 4/0/04

7 et - < arctan < > - arctan > - > - arctan > 0 (cqd) 7. Dérivée : arccot cot (cot )' ' - (+ cot ). ' ' cot ( ) A partir des règles de dérivation de la composée de onctions nous obtenons (arccot ()) ' ( ( )) conclusion : ( ) (arccot ) ' (arccot ()) ' ( ( )) Eercices : Déterminer le domaine des onctions suivantes et calculer leur dérivée :. (arccot (-)) '. (arccot ) ' 8. Eercices générau. 8. Vériier les identités suivantes :. ]-, [ : tan(arcsin ). R : sin (arctan ). [-, ] : cot (arcsin ) 4. R 0 : arctan arccot cos(arctan ) a 5. a [, + [ : arcsin a arccos a a 8. Déterminer les domaines et calculer les dérivées des onctions suivantes :. arccos ( - ) arcsin( ). arccos( ) 8. Déterminer z en onction de et si :. arctan + arctan arctan z. arc sin + arc sin arc sin z. arcsin + arccos arctan z. arctan 4. arctan 8.4 Vériier (sans utiliser la calculatrice) :. arctan + arctan 4. arctan + arctan + arctan arccot - arctan arccot 4. arctan 7 + arccot 4 5. arcsin 5 + arctan arccot 5 6. arcsin 5 + arcsin 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. II - 7

8 8.5 Résoudre les équations suivantes. arccos + arctan. arctan + arctan 4. arccos arctan 4 4. arctan - arccot 5 8 arctan 8 5. arctan ( ) + arctan arctan 8.6 Calculer les limites suivantes :... lim 0 arctan arcsin arctan lim 0 arcsin arctan lim 0 arcsin Solutions : ) ) ) 4) 4. limarctan 5. limarccot lim () 5) lim () et lim () Etudier les variations des onctions suivantes : 8.7. A partir des propriétés des onctions déduites (et préciser leur domaine et leurs racines). () arccos. () - arcsin ( + ). () arcsin( - ) 4. () arcsin 5. () + arccos 6. () - arctan 7. () arctan 8. () arctan ( - ) arctan 9. () 8.7. *Par une étude complète :. () arcsin. () arctan ( - ). () arccos 4. () arcsin (sin ) 8.8 Problèmes. Dans le schéma suivant, où aut-il situer le point P (sur la droite AB) pour que l'angle soit maimum? 5 cm cm A cm P B. Un panneau publicitaire de 6 m de haut est placé sur le toit d'un building et son bord inérieur est ainsi 8 m plus haut que les eu d'un observateur. A quelle distance doit se mettre cet observateur juste en dessous de l'enseigne pour que son angle de vue entre le bord inérieur et le bord supérieur de l'enseigne soit le plus grand possible? (A cet angle correspond la meilleure vue du panneau). sol : d 0,78 m. Un tableau de hauteur h est eposé dans une galerie d'art et le bord inérieur du cadre est à une hauteur a au-dessus du niveau de l'oeil du visiteur (voir igure). A quelle distance le visiteur doit-il se tenir pour avoir la meilleure vue? (Autre ormulation : où doit-il se mettre pour que l'angle d'ouverture soit le plus grand possible?) h a II - 8 CNDP Erpent - Fonctions cclométriques. 4/0/04

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