I) Série trigonométrique et série de Fourier

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1 BTS électrotechnique Série de Fourier /3/3 Lycée Don Bosco -3 I) Série trigonométrique et série de Fourier Définition : Soient (a n ) et (b n ) suites de nombres réels ou complexes. On appelle série trigonométrique toute série dont le terme général est de la forme U n (x) = a n cos(nx) + b n sin(nx) A) Cas des fonctions de période Considérons la série S N (x) = converge vers f(x). N n= a n cos(nx) + b n sin(nx). On suppose que cette série On peut alors écrire, pour les valeurs de x pour lesquelles la série converge vers f(x) : f(x) = a + (a n cos(nx) + b n sin(nx) n= appelé développement en série de Fourier de f Théorème : Pour une fonction f de période, a = f(x)dx a n = f(x)cos (nx)dx et b n = f(x)sin(nx)dx Remarque : a est la valeur moyenne du signal sur une période. a n et b n sont les amplitudes des différentes harmoniques. On peut aussi écrire les intégrales sur n importe quel intervalle d amplitude B) Cas d une fonction de période T Définition : Soient f une fonction de période T. On appelle pulsation la valeur ω = T Sous réserve que la série S N (x) = N n= a n cos(nx) + b n sin(nx) converge vers f on écrit alors f(x) = a + n= a n cos(nωx) + b n sin(nωx) appelé développement en série de Fourier de f Théorème : Pour une fonction f :R R, continue, de période T : a = T a n = T f(x)cos (nωx)dx et b n = T f(x)sin(nωx)dx f(x)dx, Remarque On peut aussi écrire les intégrales sur des intervalles [, T], [a, a + T],

2 BTS électrotechnique Série de Fourier /3/3 Lycée Don Bosco -3 C) Cas particulier. f est une fonction paire : Si f est T-périodique et paire (signal symétrique par rapport à (Oy)) alors n N b n = et a n = 4 T f(x) cos(nωx) dx, a T o = T T f(x)dx. On dit que f est développable en une série de cosinus. f est une fonction impaire : Si f est T périodique et impaire, (signal symétrique par rapport à O), alors n N a n = et T n N b n = 4 f(t) sin(nωt) dt. T On va maintenant voir à quelles conditions la série n= (a n cos(nx) + b n sin(nx)) converge et le lien entre sa limite et la fonction f. II) Conditions de Dirichlet Formule de Parseval Propriété : Soit f une fonction T-périodique. Elle est développable en série de Fourier (la série associée à f convege) si : - f est continue et dérivable (sauf en un nombre fini de points par période). - f est continue (sauf en un nombre fini de points par période) - f et f admettent des limites à gauche et à droite aux points de discontinuité éventuels Définition : Une fonction vérifiant les conditions de Dirichlet est dite C par morceaux sur chaque période. Théorème de Dirichlet : Soit f T-périodique satisfaisant les conditions ci-dessus. Alors en tout point x où f est C, la série de Fourrier associée à f converge vers f(x ). En tout point x où f n est pas continue, la série de Fourrier associée à f converge vers [f(x + ) + f(x )] ou f(x + ) = lim x x + f(x) et f(x ) = lim x x f(x). Théorème (Formule de Parseval) : Soit f T-périodique satisfaisant aux conditions de Dirichlet et dont le développement en série de Fourier est : a + n= (a n cos(nωt) + b n sin(nωt)) ; ω =. T Alors T α+t α f (t)dt = a ² + (a n= n + b n ).

3 BTS électrotechnique Série de Fourier /3/3 Lycée Don Bosco -3 Définition : Cette expression est le carré de la valeur efficace de f sur une période. Elle se note f eff ou V eff Remarque : On peut intégrer sur tout intervalle de longueur. Utile car permet de calculer la somme de certaines séries numériques dont on pouvait prévoir la convergence. En physique, on note souvent A n = a n + b n. On peut alors écrire a n cos(nωx) + b n sin(nωx) = A n a n a n +b n cos(nωx) + b n a n +b n sin(nωx) on a a n cos(nωx) + b n sin(nωx) = A n cos(φ n nωx) Le développement en série de Fourier peut s écrire a + n= (a n cos(nωx) + b n sin(nωx)) = a + A n cos(φ n nωx) n= La formule de Parseval s écrit : T α+t α f (t)dt = a + A n= n. III) Développement en série de Fourier sous forme complexe. Définition : Soit f : R R -périodique, continue par morceaux. On définit les coefficients de Fourier complexes par : n Z c n = f(t)e int dt. Théorème : Lien entre les deux types de coefficient : i) n N a n = c n + c n et n N b n = i(c n c n ) ii) c = a et n N c n = (a n + ib n ) Conséquence : La série de Fourier de f peut s écrire : x R S(x) = n Z c n e inx Définition : Soit f: R R, T-périodique, continue par morceaux. On définit les coefficients de Fourier complexes par n Z c n = T T f(t)einωt dt. Remarque : On a les mêmes relations que le théorème précédent. Conséquence : La série de Fourier de f peut s écrire : x R S(x) = e inωx n Z c n. 3

4 BTS électrotechnique Série de Fourier /3/3 Lycée Don Bosco -3 IV) Exerices. Exercice : Soit f -périodique définie par si t [, [ f(t) = si t [, [. Calculer les coefficients de Fourier de f et donner son développement en série de Fourier avec 3,5 puis 7 harmoniques. Exercice : On considère la fonction f de oeriode définie par f(t) = t sur [ ; [. Déterminer les coefficients de Fourrier et la série de Fourrier de la fonction f. Tracer les premiers harmoniques de la fonction. Exercice 3 : Calculer les coefficients de Fourrier trigonométrique du signal, -périodique, définie sur [ ; ] par : si t = f(t) = t si t ], [. si t = Exercice 4 : Soit la fonction f de période et f(t) = t sur [, [.. Montrer que f satisfait aux conditions de Dirichlet et appliquer la théorème pour x = et x =. 4. Calculer la valeur efficace en utilisant la formule de Parseval. 3. Calculer la valeur efficace à l aide d un intégrale. 4. En déduire la valeur exacte de n=. n Exercice 5 : Soit f de période définie par f(x) = x( x) x [, ] ) Calculer les coefficient de Fourier complexes de f. ) Donner son développement en série de Fourier sous forme complexe 3) Comment retrouver la fonction f? Exercice 6 : Soit f paire et de période 4 une fonction définie sur R par : f(t) = pour t < f(t) = t pout t. ) Représenter f sur [,] ) Calculer les coefficient de Fourier de f. 4

5 BTS électrotechnique Série de Fourier /3/3 Lycée Don Bosco -3 3) On appelle φ la fonction définie par φ(t) = a + n= (a n cos(nωt) + b n sin(nωt)) Représenter φ sur [,]. Exercice 7 : f fonction -périodique définie par f(t) = t sur [, ]. ) Tracer le graphe de f sur [, ]. Calculer les coefficient de Fourier de f. ) Quelle est la nature de cette série sur [, ]? 3) Montrer que la série de terme général ( )n converge et déterminer sa somme. 4) Montrer que la série n converge et calculer sa somme en utilisant Parseval. Exercice 8 : On considère u définie sur R par u(t) = sin t n 4 ) Montrer que u est -périodique et paire. Représenter u pour t [, ] ) Calculer les coefficients de Fourier de f. 3) Calculer u eff = u (t)dt 4) Parseval donne u eff = a + (a n= n + b n ). Comparer avec le résultat obtenu à la question 3). n 5