DROITES. ( )( y B ( ) = 0. D vérifie une équation de la forme x = c avec c = x A. I. Equation de droites. 1. Caractérisation analytique d une droite
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- Éloïse Brosseau
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1 1 sur 10 ROITES I. Equation de droites 1. Caractérisation analytique d une droite Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit une droite du plan. y - Si est parallèle à l axe des ordonnées : alors l équation de est de la forme x = c, où c est un nombre réel. - Si n est pas parallèle à l axe des ordonnées : alors l équation de est de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels. c x y b 1 a x Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite. b est appelé l ordonnée à l origine de la droite. émonstration : Soit A x A et B x B y A y B ire qu un point M de coordonnées x x dire que les vecteurs AM A y y A deux points distincts d une droite. x y et AB appartient à la droite revient à x B x A y B y A sont colinéaires. après la condition de colinéarité :( x x A )( y B y A ) ( x B x A ) y y A ( ) = 0. - Si est parallèle à l axe des ordonnées, alors x A = x B. La condition de colinéarité peut s écrire : x x A ( )( y B y A ) = 0 Ce qui équivaut à x = x A car y A y B, les points A et B étant distincts. vérifie une équation de la forme x = c avec c = x A.
2 2 sur 10 - Si n est pas parallèle à l axe des ordonnées, alors x A x B. La condition de colinéarité peut s écrire : y y A = y B y A x B x A ( x x A ) vérifie une équation de la forme y = ax + b avec a = y B y A x B x A b = y A y y B A x B x A x A. et Exercice : onner le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de chacune des droites d équations : a) y = 2x + 3 b) y = 5 c) 4x + 2y = 1 a) Coefficient directeur : -2 b) Coefficient directeur : 0 Ordonnée à l origine : 3 Ordonnée à l origine : 5 b) L équation peut s écrire : y = 2x Coefficient directeur : -2 Ordonnée à l origine : 1 2 Exemples : La droite a pour équation x = 3 La droite a pour équation y = 3x + 2. Son ordonnée à l origine est 2 et son coefficient directeur est O i 3 Ex 1, 2 (page 10) p201 n 1 à 4 p208 n 65 p207 n 62 p200 n 1 à 4 p211 n 101 p206 n 61 p200 n Activité conseillée p184 n 1 : Équations de droites Activité conseillée p184 n 1 : Équations de droites
3 3 sur 10 Méthode : Représenter graphiquement une droite d équation donnée Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. ans ce repère, tracer les droites d 1, d 2 et d 3 d équations respectives : y = 2x + 3, y = 4, x = 3. - La droite d 1 d équation y = 2x + 3 a pour ordonnée à l origine 3. onc le point 0 A de coordonnée 3 appartient à la droite d 1. Soit B le point d abscisse -2 appartenant à la droite d 1. Les coordonnées de B vérifient l équation de d 1, donc : y B = 2x(-2) + 3 = Le point B de coordonnées 1 appartient à la droite d 1. On peut ainsi tracer la droite d 1 passant par A et B. - La droite d 2 d équation y = 4 est l ensemble des points dont l ordonnée est égale à 4. La droite d 2 est donc la droite parallèle à l axe des abscisses coupant 0 l axe des ordonnées au point de coordonnées 4. Pour tracer la droite d 2, on aurait également pu remarquer que son coefficient directeur est nul. - La droite d 3 d équation x = 3 est l ensemble des points dont l abscisse est égale à 3. La droite d 3 est donc la droite parallèle à l axe des ordonnées coupant l axe des abscisses au point de coordonnées d 2 A 3 0. d 1 B d 3
4 4 sur 10 p201 n 5 à 7 p202 n 8, 10* p207 n 61 p208 n 66* Ex 3 (page 10) p200 n 7 à 11 p206 n 61 p208 n 81, 82 p200 n 6 TP conseillé TP TICE 1 p194 : Un réseau de droites TP Algo 1 p197 : Rechercher une équation de droite TP conseillé p194 TP2 : Un réseau de droites p194 TP1 : Rechercher une équation de droite 2. Conséquence : Propriété : Si A x A y A et B x B y B sont deux points distincts d une droite tel que x x A B alors la droite a pour coefficient directeur a = y B y A x B x A Méthode : éterminer une équation de droite dont on connaît deux points Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit A 4 1 et B 3 5 deux points d une droite d. éterminer une équation de la droite d. Les points A et B sont d abscisses différentes donc la droite d n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Elle est donc de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels. Le coefficient directeur de d est a = y B y A x B x A = 5 ( 1 ) 3 4 = 6 1 = 6
5 5 sur 10 Comme A 4 1 appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l équation de d soit : -1 = -6 x 4 + b. où b = x 4 = 23 Une équation de d est donc : y = 6x p202 n 18, 19, 20, 22* p202 n 17 p201 n 19, 21 p206 n 63 p201 n Propriété réciproque : Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan et a, b, c trois nombres réels, a étant non nul. L ensemble des points M du plan dont les coordonnées y = ax + b ou x = c, est une droite. x y sont tels que : Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d équation donnée Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. Les points A 6,4 42 y = 7x 3? 346 et B 2419 appartiennent-ils à la droite d d équation - ire que le point A 6,4 42 appartient à la droite d d équation y = 7x 3 revient à dire que les coordonnées de A vérifient l équation de la droite d. Ce qui n est pas le cas, puisque 42 7 x 6,4 3 = 41,8. Le point A n appartient donc pas à la droite d.
6 6 sur 10 - Les coordonnées de B vérifient l équation de la droite d. En effet : 2419 = 7 x donc le point B appartient à la droite d. Ex 4 (page 10) p202 n 11, 12, 13, 14, 15 Ex 5 (page 10) p200 n 13 à 17 p206 n 65 p200 n 12 II. Position relative de deux droites Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit et deux droites non parallèles à l axe des ordonnées. ire que et sont parallèles entre-elles équivaut à dire qu elles ont le même coefficient directeur. émonstration : La droite admet une équation du type y = ax + b. La droite admet une équation du type y = a x + b. Soit A et B deux points distincts de d abscisses respectives 0 et 1 alors A et B ont pour coordonnées 0 b et 1 a + b. e même, A et B deux points de, ont pour coordonnées 0 b' et 1 a'+ b'. ire que les droites et sont parallèles équivaut à dire que les vecteurs AB 1 a et A' B' 1 a' sont colinéaires, c'est-à-dire 1 x a 1 x a = 0, soit a = a.
7 7 sur 10 Tableau récapitulatif : Equation de x = c y = ax + b y = ax + b Equation de x = c x = c y = a x + b Si Position de a = a Si a a // et sont et sécantes // et sont sécantes Représentation c c' b c' b' b b' b Vidéo Exemples : ans un repère du plan, d 1, d 2 et d 3 admettent pour équations respectives : y = 3x + 4, y = 3x + 9, x = 8 Les droites d 1 et d 2 sont parallèles car elles ont un coefficient directeur égal à 3. Les droites d 1 et d 3 sont sécantes. Ex 6 à 8 (page 10) p203 n 28, 29, 27 Ex 9 (page 10) p202 n 26, 28 à 30 p204 n 54 p206 n 68, 67 p207 n 70, 71 p202 n 27 p206 n 69 III. Vecteur directeur d une droite éfinition : est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite. u
8 8 sur 10 Méthode : éterminer graphiquement un vecteur directeur d une droite Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. onner des vecteurs directeurs des droites d 1, d 2, d 3 et d 4. Pour d 1 : a 1 2, b 2 4 ou encore c 1 2. Pour d 2 : d 6 0 Pour d 3 : u 1 1 Pour d 4 : v 0 2 ou encore w" 0 8. Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan. - Si est parallèle à l axe des ordonnées alors est un vecteur directeur de. - Si n est pas parallèle à l axe des ordonnées, 1 alors le vecteur u a est un vecteur directeur O i u 1 a de, où y = ax + b est une équation de la droite. émonstration : 0 La droite d équation y = ax + b passe par les points A b et B 1 a + b. 1 0 Les points A et B étant distincts, le vecteur AB de coordonnées a + b b soit 1 a est un vecteur directeur de la droite.
9 Exemple : 1 La droite d équation y = -2x + 3 admet le vecteur u 2 directeur. 2 Le vecteur v 4 est également un vecteur directeur de car u colinéaires. pour vecteur et v sont 9 sur 10 Méthode : éterminer une équation de droite dont on connaît un point et un vecteur directeur Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit A 3 4 un point d une droite d admettant u 2 1 éterminer une équation de la droite d. comme vecteur directeur. On considère un point M x y de la droite d. x + 3 Les vecteurs AM y 4 et u 2 1 sont colinéaires. En effet, AM également un vecteur directeur de d. après le critère de colinéarité : -(x + 3) 2(y 4) = 0 Soit : -x 3 2y + 8 = 0 Soit encore : -2y = x 5 Une équation de d est : y = -0,5x + 2,5. est p202 n 23 p203 n 24, 26, 30, 32, 25 p206 n 52 à 55 p203 n 31 p201 n 22 à 24 p204 n 53 p207 n 72, 73 p201 n 25 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
10 Exercice 1 onner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine des droites suivantes : d 1 : y = 2x+1 d 2 : y = 5x-3 d 3 : y = -2x-7 d 4 : y = 7x d 5 : y = -5 Exercice 2 Même exercice : d 1 : y + 3 = 5x d 2 : 3y = 9x-6 d 3 : x = -2y+1 d 4 : y = 7(x+5) Exercice 3 Représenter dans un repère les droites suivantes : d 1 : y = -3x+5 d 2 : y = 4x-2 d 2 : y = 5 Exercice 4 Soit d la droite d'équation y = 9x-11. Les points A(12 ; 97) et B(-6 ; 65) appartiennent-ils à la droite d? Justifier. Exercice 5 Soit d et d' les droites d'équation respective y = -3 et x = 3. Parmi les points A(3 ; -3), B(3 ; 3), C(-3 ; 3) et (-3 ; -3) lesquels appartiennent à la droite d? à la droite d'? Exercice 6 ans chaque cas, dire si les droites d 1 et d 2 sont parallèles. a) d 1 : y = 3x+5 et d 2 : y = 3x-2 b) d 1 : y = -3x+7 et d 2 : y = 3x+8 c) d 1 : y = 4x+1 et d 2 : y = 4x d) d 1 : y = 5 et d 2 : y = 5x Exercice 7 Même exercice : a) d 1 : y = 2x+3 et d 2 : y = 3x+2 b) d 1 : y = 5x+1 et d 2 : y = 1+5x c) d 1 : y = 5 et d 2 : y = 7 d) d 1 : x = 3 et d 2 : x = -1 Exercice 8 Pour chacune des affirmations indiquer si elle est vraie ou fausse. 1) La droite d'équation y = 2 est parallèle à l'axe des ordonnées. 2) La droite d'équation y = x est parallèle à l'axe des abscisses. 3) Les droites d'équations y = x et y = -x sont parallèles. 4) Les droites d'équation y = 3 et x = 2 sont sécantes. 10 sur 10 Exercice 9 1) onner l'équation de la droite d 1 passant par le point A(0 ; 2) et parallèle à la droite d 2 d'équation y = -2x+5. 2) onner l'équation de la droite d 3 passant par le point A(0 ; -1) et parallèle à l'axe des abscisses. 3) onner l'équation de la droite d 4 passant par le point A(3 ; 2) et parallèle à l'axe des ordonnées. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
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