CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L ESPACE

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1 CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L ESPACE I) Rappels : - Droites orthogonales : Droites sécantes et orthogonales = perpendiclaires Dex droites sont parallèles, si ne droite à l ne est à l atre Attention : Dans l espace : dex droites à ne même troisième ne sont pas forcement parallèles. Droite à n plan (P) est orthogonale à tote droite contene dans (P) Dex droites à n même plan sont parallèles - Plan médiater : Plan médiater à AB = à AB et passant par I = AB 2 Ensemble de points éqidistants de A et B. - Vecters de l espace : Si A est confond en B : AB = 0 AB et CD égax même sens, même longer et même direction. AB + BC = AC Soit et dex ecters et λ R : Si = 0 o λ = 0 alors λ. = 0 et colinéaire = λ. = AB ; = AC ; w = AD.,, w sont coplanaires si A,B,C et D sont coplanaires.,, w sont coplanaires = α. + β. w Soit ( i ; j ; k ) ne base de l espace : x ; y ; z = x. i + y. j + z. k + (x + x ; y + y ; z + z ) α. (αx ; αy ; αz) Base (i ; j ; k ) orthonormale, si i = j = k = 1 et i j k = x² + y² + z² ; AB = x B x A 2 + y A y B 2 + z A + z B 2 - Droites et plans : A, B et C sont alignées AB = k. AC ; Aec k R. (D) de ecter directer passant par A. M D AM = k. ; Aec k R. Soit (, ) base d plan (P) : Si (α, β) R² tels qe : w = α. + β. alors w (P) Si (d) : de ecter directer w tel qe (d) à P alors,, w sont coplanaires. Si (d) : w tel qe (d) (P) alors w (; )

2 Dex plans dans l espace sel (E) peent être : Confonds, parallèles o sécant selon ne droite de E Une droite de E est donnée par : 2 points A et B : D = M AM = λ. AB 1 point A et n ecter directer () : D = M x = x A + λ. x Eqation paramétriqe y = y A + λ. y z = z A + λ. z AM = λ. AB Intersection de 2 plans : D = M x; y; z ax + by + cz + d = 0 a x + by + cz + d = 0 - Eqation d ensemble de points : Soit (D) : ( b, a) passant par A : Eqation cartésienne : ax + by + c = O c = ax A by A Vecter normal : (a, b) Soit l éqation de la droite y = m. x + p, le ecter directer de la droite (1; m) Soit (C) de centre Ω et de rayon R = AB 2 : M C : ΩM² = R² M C : MA. MB = 0 Soit (O ; i ; j ; k ) orthonormal : Eqation cartésienne d ne sphère de centre Ω (α, β, γ) et de rayon R : x α 2 + y β 2 + z γ 2 = R² Eqation cartésienne d n cylindre de réoltion d axe (O; k) : x² + y² = R² Eqation cartésienne d n cône de sommet O et de réoltion d axe (O; k) : x² + y² + β². z² = 0 ; Aec β = tan (α) II) Géométrie dans l espace (E) : Soit (P) n plan de ecter normale n (a, b, c) passant par A : Eqation cartésienne : ax + by + cz + d = 0 aec d = (a. x A + b. y A + c. z A ) - Combinaisons linéaires, ecters libres et liés : Dans l espace sel : il existe des familles libres de 3 ecters (admis) Totes familles de 4 ecters, o pls est liées, c-à-d q a moins n des ecters de cette famille pet s écrire en fonction des atres. Ainsi 3, le nombre maximal de ecters libre, est la dimension.

3 - Conséqence : Totes familles de 3 ecters libres est ne Base de E. Et tot ecter de E s écrit de façon niqe, comme combinaison linéaire de ces 3. Soit (e 1 ; e 2 ; e 3 ) Base de E il existe 3 réel (x; y; z) tels qe : = x. e 1 + y. e 2 + z. e 3 Et (x; y; z) sont les composantes (= coordonnées) d ecter dans la Base (e 1 ; e 2 ; e 3 ). Si e 1 = e 2 = e 3 = 1 : Base normée Si, en pls, ces ecters sont dex à dex : Base orthonormée - Orientation : (; ; w) trièdre est dit direct si : Et indirect si : w w - Repère : Fixons ne origine 0 à partir de laqelle on représente les ecters : pt M tel qe OM = Ainsi (0 ; e 1 ; e 2 ; e 3 ) est n repère de l espace (E) Alors M de E, nos faisons correspondre (x; y; z) ses coordonnées tels qe : OM = x. e 1 + y. e 2 + z. e 3 Et si le repère est orthonormé ( N) alors : OM² = x² + y² + z² - Prodits scalaires : 1.. =.. cos (, ) 2.. = = xx + yy + zz, ne marche qe si (O ; i ; j ; k ) orthonormal 4.. =. 5.. = ² = ² 6. ( + ). w =. w +. w 7. ( + ). = ² ² 8. ( + )² = ² + ² = 0 Por ne base ( N) : Prodit scalaire i j k i j k Donc :. = x. i + y. j + z. k. x. i + y. j + z. k. = x. x + y. y + z. z Conséqence :. cos ; =.

4 III) Prodit ectoriel (dans l espace) : Soit = w : w a plan ( ; ) ( ; ; w) forme n trièdre direct. w =.. sin ( ; ) - Propriétés : Si = 0 o = 0 alors = 0 Si est colinéaire à alors = 0 Il est anticommtatif : Il est bilinéaire : a + bw = a. + b. ( w) Il n est pas associatif : w ( ) w - Interprétation : : h Donc :. sin ; = h et = b = base d parallélogramme (P) D où :. sin ; = b. h = aire de (P) - Expression analytiqe (aec base N) : i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0 Donc : = x. i + y. j + z. k x. i + y. j + z. k = y. z y. z. i + z. x z. x. j + x. y x. y. k y. z y. z Par site : z. x z. x x. y x. y Techniqe : + + x y z x y z = y. z y. z z. x z. x x. y x. y IV) Prodit mixte : Le prodit mixte de ; et w (dans cet ordre!!) at :. w = w. ( ) - Interprétation : Le prodit mixte permet de donner le olme d parallélépipède constrit sr, et w. Signe + si direct et signe si indirect

5 V) Système de coordonnées sel : - Coordonnées polaires : y r ϴ 0 - Dans l espace : M x Cartésiennes : M(x; y) aec x R et y R Polaires : M r; Θ aec r 0 et Θ π; π Por l origine : r = 0 et Θ = indéfinie La transition entre polaire et cartésienne et la même qe por les complexes. Soit E mni de (0 ; i; j; k) N et n point M tel qe : Coordonnées cartésiennes (x; y; z) : OM = x. i + y. j + z. k Coordonnées cylindriqes r; Θ; z : r = Om ; Aec m le projeté orthogonal de M sr le plan (0 ; i; j) Θ = (i; Om) et z = OM. k = hater Donc x = r. cos Θ ; y = r. sin Θ ; z = z Coordonnées sphériqes :(r; θ; φ) : Θ : angle (i; Om) et φ : angle (k, OM) et r = OM Donc : x = r. cos Θ. sin φ ; y = r. sin φ. sin Θ ; z = r. cos Θ - Démonstration : Plan (P) passant par A(x 0 ; y 0 ) et dex ecters non-colinéaires et représentant l ensemble des points M tels qe : AM = λ. + μ. Aec (λ, μ) R². Dans n repère : x x 0 y y 0 z z 0 x = λ. y z x + μ. y z Soit x = x 0 + λ. y + μ. x y = y 0 + λ. y + μ. y z = z 0 + λ. z + μ. z N.B : x = x(λ; μ) y = y(λ; μ) z = z(λ; μ) Fonction des paramètres λ et μ Atre caractérisation : M P AM AM n AM. n = 0 Donc : x x 0 y y 0 z z 0. n x n y n z = 0 x x 0. n x + y y 0. n y + z z 0. n z = 0 M P M(x; y; z) Vérifiant ne éqation d type : ax + by + cz + d = 0 Aec d = (x 0. n x + y 0. n y + z 0. n z ) et a = n x, b = n y, c = n z

6 VI) Fonction ectorielles (d ne ariable R) : - Définition : Une fonction ectorielle fait correspondre à n R (x, t, ect) n ecter : x E(x) Ex : temps position t OM(t) - Tradction analytiqe (dans n repère) : x t t x(t) t E t = y t est définie par 3 fonctions nmériqes : t y(t) z t t z(t) - Dériée : Définition classiqe : Soit (t 0 ) ne aler, h n accroissement : Considérons : E t 0 +h E t 0 t 0 +h t 0 = 1 h. (E t 0 + h E t 0 ) C est n ecter dépendant de h : Si lim h 0 1 h. (E t 0 + h E t 0 ) existe, on la note : E (t 0 ) o dx (E) t t 0 Donc : (h) w qand h 0 signifie : lim h 0 ( h w ) = 0 La fonction ectorielle : t E (t) est la dériée de la fonction : t E(t) Or E t = x t ; y t ; z t Donc E t = x t ; y t ; z t - Formles : d. = d. + d. d = d + d