Le second degré dans R

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1 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Livre pages à 9 Le second degré dans R Fonctions polynômes du second degré Définition P est une fonction polynôme à coefficients réels de degré n n N) si et seulement si P est une fonction définie sur R pouvant, pour tout réel x, s écrire sous la forme : Px) = a n x n +a n x n + +a x+a 0 où a n, a n,, a et a 0 sont des réels, avec a n 0. Les nombres a i, pour i [0;n] N sont les coefficients réels) de P. Pour tout entier naturel p [0;n], le terme a p x p est le monôme de degré p. Le degré de P est noté n = degp). Exemples :. La fonction P définie sur R par Px) = x 5 +x x+ est une fonction polynôme de degré 5. Le monôme de degré est x et celui de degré est 0.. Les fonctions affines : x ax+b avec a R et b R) sont des fonctions polynômes de degré.. Les fonctions constantes : x k avec k R ) sont des fonctions polynômes de degré 0.. La fonction Q définie par Qx) = x x + n est pas une fonction polynôme. x 5. Si tous les coefficients a i sont nuls, alors P est la fonction polynôme nulle. Une telle fonction n a pas de degré. Par convention, on dit qu elle est de degré. Le cas particulier du degré :Danslecasparticulierd unefonctionpolynômededegré,onnoteengénéralpx) = ax +bx+c avec a;b;c) R et a 0). L expression ax +bx+c est appelée trinôme trois monômes) du second degré. Exemples :. Si Px) = x +x+5 alors a =, b = et c = 5.. Si Px) = x alors a =, b = 0 et c =.. Si Px) = 5x alors a = 5 et b = c = 0.. Si Px) = x+)x+) alors P peut s écrire sous la forme Px) = x +x+ et par conséquent a =, b = et c =. Exercices :. Soient f et g deux fonctions trinômes du second degré définies par fx) = x x+ et gx) = x +x 5. Les fonctions f +g, f g et fg sont-elles des fonctions trinômes du second degré?. Plus généralement, vrai ou faux? : a) La somme de deux fonctions trinômes du second degré est une fonction trinôme du second degré. b) La différence de deux fonctions trinômes du second degré est une fonction trinôme du second degré. c) Le produit de deux fonctions trinômes du second degré est une fonction trinôme du second degré. d) Le quotient de deux fonctions trinômes du second degré est une fonction trinôme du second degré. Définition Soit P une fonction polynôme. On appelle racine réelle de P tout nombre réel α tel que Pα) = 0. Autrement dit, une racine de P est une solution de l équation Px) = 0. Exemples :. Les racines réelles) d un trinôme du second degré sont les solutions réelles) de l équation ax +bx+c = 0.. ) +5 ) = 0 donc est une racine de x +5x.. Déterminer un polynôme du second degré admettant et comme racines.. Le polynôme x n admet pas de racine réelle. En effet, pour tout réel x, x 0 et par conséquent, x < Déterminer les racines du trinôme x 5. Il faut donc résoudre l équation x 5 = 0. Sur R, on factorise et on obtient : x 5 = 0 x 5)x + 5) = 0 x = 5 ou x = 5. Donc S = { 5; 5}. Pour trouver les racines d un trinôme du second degré ax +bx+c, il existe des formules qui permettent de conclure d une manière générale. Isabelle Morel

2 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Propriété Deux fonctions polynômes du second degré sont égales sur R si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux. Démonstration ROC) : Cette propriété étant une équivalence, il faut montrer le sens direct et la réciproque. SoientP etqlesdeuxfonctionspolynômesdedegré.onpeutdoncécrire:px) = ax +bx+cetqx) = a x +b x+c, où a, a, b, b, c, c sont des réels tels que a 0 et a 0.. Supposons que a = a, b = b et c = c. Alors, pour tout réel x, Px) = Qx) et par conséquent, P = Q.. Réciproquement, supposons que P = Q. On a alors : P0) = Q0), c est-à-dire c = c. P) = Q), c est-à-dire a+b = a +b. P ) = Q ), c est-à-dire a b = a b. En additionnant les deux dernières égalités, on obtient =, c est-à-dire a = a. En les soustrayant, on obtient b = b, c est-à-dire b = b. Par conséquent, les coefficients des termes de même degré de P et de Q sont égaux. Forme canonique du trinôme du second degré Voir TP forme canonique). Nous avons vu en seconde qu une fonction polynôme de degré deux peut s écrire sous trois formes : la forme développée, la forme factorisée, la forme canonique. Sur des cas particuliers, nous avons su passer de la forme développée à la forme canonique. Exemple : Donner les trois formes d écriture de la fonction polynôme du second degré f définie par fx) = x x 5. Pour cela, considérons x x comme le début d une identité remarquable. En effet, x ) = x x+. Par conséquent, pour tout réel x, x x = x ). En reportant dans f, il vient : x R, fx) = x ) 5 La forme canonique de f est donc : fx) = x ) 6. Nouspouvonsendéduireaisémentlaformefactoriséeàl aided uneidentitéremarquable:fx) = [x ) ] [x )+], soitfx) = x 5)x+).Nouspouvonsendéduire,parexemple,lesracinesdef,sontableaudesignes,résoudrel inéquation fx) > 0 etc La forme canonique nous a donc permis de déterminer la forme factorisée de la fonction f et de résoudre l équation fx) = 0. Nous allons à présent généraliser ces résultats. De la forme développée à la forme canonique ROC) : Soit f une fonction polynôme du second degré définie par fx) = ax +bx+c, où a R, et b;c) R. Factorisons f par a possible car a 0) : ax +bx+c = a x + b a x+ c ) a Or x + b a x est le début du développement d une identité remarquable : x+ b ). Il faut cependant corriger la constante qui apparaît alors en trop : x + b a x = x+ b ) b a Nous obtenons alors : a x + b a x+ c ) [ = a x+ b ) ] [ b a a + c = a x+ b ) ] b ac a a Afin de simplifier l écriture, posons = b ac. Par conséquent : [ ax +bx+c = a x+ b ) ] a Isabelle Morel

3 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Définition : L écriture de la fonction f sous la forme fx) = ax+α) +β s appelle la forme canonique du trinôme du second degré. Le nombre = b ac est le discriminant du trinôme. Exemple : Mettre sous forme canonique le trinôme 5x x+6. On obtient : 5 x ) = 5 x ) Cette forme canonique est utile pour savoir si un trinôme possède ou non des racines réelles, et par conséquent pour factoriser ce trinôme lorsque cela sera possible. Nous l utiliserons aussi pour déterminer le signe et le sens de varaiation de la fonction f définie par fx) = ax + bx+c. Dans les faits, une fois les résultats du cours démontrés grâce à la forme canonique, nous aurons à notre disposition des outils nous permettant de limiter l utilisation de cette forme. Représentation graphique d une fonction polynôme du second degré Soit la fonction f définie sur R par fc) = ax +bx+c a 0). Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O ; i, ) j. Nous avons vu en seconde que C est une parabole. Pour le plaisir, voici une démonstration de ce résultat : L idée est de procéder à un changement de repère afin de se ramener à une expression du type fx) = ax, écriture bien connue. En posant X = x+ b, l écriture canonique de f devient : ce que l on peut écrire sous la forme : y = a [ x+ b ) ] a = a X ) a y + a = ax En posant Y = y + a, on obtient alors : Y = ax qui est l équation d une parabole. L étude du sens de la parabole est aussi un résultat de seconde : Soient x et x deux réels tels que x < x b. Alors : x b < x b 0 La fonction carrée étant strictement décroissante sur ] ; 0], x b ) > x b ) 0. Deux cas se présentent alors :. Si a > 0, alors a x b ) > a x b ). Par conséquent, [x < x fx ) > fx )]. La fonction f est donc strictement décroissante sur ] ; b ].. Si a < 0, alors a x b ) < a x b ). Par conséquent, [x < x fx ) < fx )]. La fonction f est donc strictement croissante sur ] ; b ]. On montre de même que si a > 0 alors f est strictement croissante sur [ b ;+ [ et si a < 0 alors f est strictement décroissante sur [ b ;+ [. Par conséquent : La représentation graphique d une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Isabelle Morel

4 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Afin de pouvoir tracer précisément C, il faut déterminer les coordonnées du sommet de la parabole. Cela revient à déterminer les coordonnées de l extremum de f. Pour cela, écrivons f sous forme canonique : [ fx) = a x+ b ) ] a Pour tout réel x, x+ b ) 0 par conséquent, x+ b ) a a. [. Si a > 0, alors pour tout réel x, a x+ b ) ] a a a, soit fx) a. f est donc minorée par a. De plus, f b ) = a. Donc f admet un minimum en x min = b de valeur min = a.. Si a < 0, alors pour tout réel x, a De plus, f b ) Nous avons donc montré le théorème suivant : [ x+ b ) ] a a a, soit fx) a. f est donc majorée par a. = a. Donc f admet un maximum en x max = b de valeur max = a. La courbe représentative de la fonction f définie par fx) = ax +bx+c est une parabole de sommet S b ) ;. a Si a > 0 Si a < 0 La parabole est tournée vers le haut. La parabole est tournée vers le bas. x b x b + + Variations de f ց ր a a Variations de f ր ց Étude du trinôme du second degré ax +bx+c. Forme factorisée et résolution de l équation du second degré ax +bx+c = 0 En utilisant la forme canonique, résoudre l équation ax +bx+c = 0 revient à résoudre l équation : [ a x+ b ) ] a = 0 soit, puisque a 0 : x+ b ) = a E) Dans cette équation, tout est positif, sauf dont on ne connait pas le signe. Trois cas se présentent alors : Isabelle Morel

5 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0. Si < 0 : un carré étant toujours positif dans R, l équation E) n a pas de solution dans R et le polynôme de degré deux n est pas factorisable dans R. La parabole obtenue ne coupe pas l axe des abscisses :. Si = 0 : alors E) x+ b ) = 0 x = b { } b L équation E) admet donc une unique solution : S =. De plus, le trinôme du second degré peut alors se factoriser sous la forme : ax +bx+c = a x+ b ) 5 Le sommet de la parabole est sur l axe des abscisses.. Si > 0 : l équation E) correspond alors à l égalité de deux carrés. Elle peut donc se factoriser sous la forme : E) [ x+ b ) Par conséquent, E) admet deux racines distinctes : 5 ][ x+ b ) ] = 0 soit : x = b S = { b et x = b+ ; b+ } De plus, la factorisation du trinôme s obtient en multipliant la factorisation de l équation E) par a, soit : ax +bx+c = ax x )x x ), où x et x sont les racines du trinôme La parabole obtenue coupe l axe des abscisses en deux points distincts : Isabelle Morel 5

6 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Nous avons donc montré les deux théorèmes suivants ROC) : Théorème sur la résolution de ax +bx+c = 0 Si < 0 : l équation n a pas de solution réelle. Si = 0 : l équation admet une unique solution x 0 = b. On dit que x 0 est une racine double. Si > 0 : l équation admet deux solutions réelles distinctes : x = b et x = b+ Théorème sur la factorisation de ax +bx+c Si < 0 : le trinôme ne se factorise pas dans R. Si = 0 : le trinôme se factorise sous la forme : ax +bx+c = a x+ b ). Si > 0 : le trinôme se factorise sous la forme ax +bx+c = ax x )x x ), où x et x sont les racines du polynôme. Remarque : Les formules obtenues pour > 0 peuvent s étendre au cas = 0. Dans ce cas, on trouve x = x = b. Ce qui justifie la dénomination : racine double. Exemples :. fx) = x 5x+. C est un polynôme du second degré à coefficients réels, on peut donc calculer le discriminant : = 5) = 9 > 0. f admet donc deux racines réelles : x = 5 = et x = 5+ =. f se factorise alors sous la forme : fx) = x )x ).. gx) = x x +. On ne calcule pas ici le discrimimant puisque l on reconnait une identité remarquable : gx) = x ). Cela signifie donc que = 0 et que g admet une racine double : x 0 =.. hx) = x +x+6. C est un polynôme du second degré à coefficients réels, on peut donc calculer le discriminant : = 6 = 68 < 0. h n admet donc donc pas de racine réelle.. Soit k la fonction définie sur R par kx) = x +8x +x. Déterminer les racines réelles de k. est racine évidente de k : k) = = 0 afin de trouver les éventuelles racines évidentes, ne pas hésiter à utiliser la calculatrice). Cherchons alors s il existe des coefficients réels a, b et c tels que kx) = x )ax +bx+c) ). Sur R, x )ax +bx+c) = ax +b a)x +c b)x c. Or, deux polynômes sont égaux dans R si et seulement si leurs coefficients sont égaux généralisation admise de la propriété montrée dans le cas des polynômes de degré deux). Par conséquent, sur R : ) a = b a = 8 c b = c = c est-à-dire ) a = b = 0 c = Nous en concluons que pour tout réel x, kx) = x )x +0x+) = x )x +5x+6). Le polynômex +5x+6est unpolynômeduseconddegréàcoefficientsréels.nouspouvonsdonccalculersondiscriminant : = 5 6 =. > 0, ce polynôme admet donc deux racines réelles distinctes : x = 5 = et x = 5+ =.Parconséquent,k admettroisracinesréelles:; ; et,surr,kx) = x )x+)x+). D une manière générale, nous admettrons que si un polynôme admet pour racine le nombre x 0 alors ce polynôme est factorisable par x x 0 ) théorème de d Alembert-Gauss).. Produit et somme des racines Lorque le trinôme du second degré admet deux racines réelles ou une racine double), on peut écrire, pour tout réel x : ax +bx+c = ax x )x x ) = ax x +x )x+x x ) = ax ax +x )x+ax x Par identification des coefficients, on obtient : x x = c a et x +x = b a Ces formules sont intéressantes pour résoudre des équations du type : déterminer u et v tels que : { uv = 6 u+v = 5 Isabelle Morel 6

7 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Cette équation est équivalente à u et v sont les solutions de l équation : x 5x+6 = 0. C est une équation du second degré à coefficients réels. On peut donc calculer son discriminant : = 5 =. Cette équation admet donc deux racines réelles distinctes x = et x =. Par conséquent u;v) = ;) ou u;v) = ;). Ces formules sont aussi utiles dans la résolution des équations de degré dont on connait déjà une racine. Par exemple l équation x +x = 0 qui admet pour racine évidente. L autre racine réelle est donc telle +x = et x =, soit x =.. Étude du signe du trinôme ax +bx+c Afin d étudier le signe de fx) = ax +bx+c, considérons les différents cas suivants :. Si > 0, alors, en appelant x et x les deux racines de f avec x < x par exemple), on obtient le tableau de signes suivant : x x x + Signe de x x Signe de x x 0 + Signe de x x )x x ) Signe de fx) = x x )x x ) signe de a 0 opposé de a 0 signe de a Ce tableau de signes est cohérent avec la représentation graphique de la fonction f : a > 0 : fx) est positive puis négative et encore positive.. Si 0, on met alors f sous forme canonique fx) = a [ x+ b ) ] a a < 0 : fx) est négative puis positive et encore négative. On sait que 0, par conséquent, x+ b ) 0. Le signe de fx) est donc le même que celui de a. a Dans le cas particulier où < 0, comme f ne s annule pas sur R, fx) est non nul et du signe de a sur R. On a donc montré le théorème suivant : Théorème sur le signe du trinôme Le trinôme du second degré a + bx + c est toujours du signe de a, sauf entre les racines x et x lorsqu elles existent. Exemple : Résoudre l inéquation x +x 6 0. C est un polynôme du second degré à coefficients réels, on peut donc calculer le discriminant : = 8 > 0. Le trinôme x +x 6 admet donc deux racines réelles : x = 7 et + 7. Le coefficient de x étant positif, on en déduit que x +x 6 est positif sauf entre ses deux racines. Donc S =] ; 7] [ + 7;+ [. 5 Quelques exemples Résoudre une équation du second degré. Si l équation est incomplète b = 0 ou c = 0) : il est alors inutile de calculer le discriminant il n est pas faux de le calculer mais cela fait perdre du temps). Exemples : Résoudre les équations suivantes dans R : a) x x = 0. b) x 5 = 0. Isabelle Morel 7

8 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0. Dans la plupart des autres cas, on calcule le discriminant et on utilise les formules du cours pour donner les racines. Exemples : Résoudre les équations suivantes dans R : Solutions : a) x +x+ = 0. b) x +x = 0.. a) Résolvons sur R, x x = 0 a) a) xx ) = 0 a) x = 0 ou x = 0 a) x = 0 ou x = Donc S = {0 ; } b) Résolvons sur R, x 5 = 0 b) b) x 5)x+5) = 0 b) x 5 = 0 ou x+5 = 0 b) x = 5 ou x = 5 Donc S = { 5 ; 5 }. a) Résolvons dans R l équation x +x+ = 0 c). c) est une équation du second degré à coefficients réels, avec a = b = c =. Nous pouvons donc cacluler son discriminant : = b ac = =. < 0 donc c) n admet pas de racine réelle. S = b) Résolvons dans R l équation x +x = 0 d). d) est une équation du second degré à coefficients réels, avec a =, b = et c =. Nous pouvons donc cacluler son discriminant : = b ac = ) = 7. > 0, donc d) admet deux racines distinctes : x = b = 7 et x = b+ = + 7 Donc S = { 7 ; + 7 } Résoudre une inéquation du second degré Pour résoudre une inéquation du second degré :. On détermine les éventuelles racines;. Trois méthodes sont alors possibles : a) on factorise l inéquation et on fait un tableau de signes; b) on applique la règle du cours : un trinôme du second degré est du signe de a sauf entre ses éventuelles racines; c) on utilise une esquisse de la parabole. Exemples : Résoudre les inéquaitons suivantes dans R :. x +7x 0. x +x 7 < 0. Solutions :. Soit e) l inéquation x +7x 0. e) est une inéquation du second degré à coefficients réels, avec a =, b = 7 et c =. On peut donc calculer son discriminant : = b ac = 7 ) ) = 5. > 0 donc e) admet deux racines réelles distinctes : x = b = = et x = b+ = = Terminons la résolution avec les différentes méthodes : a) Méthode : on factorise l inéquation et on fait un tableau de signes : e) x )x 0 e) x ) x+) 0 Isabelle Morel 8

9 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 x / + Justification des signes Signe de x signe de à droite du zéro Signe de x signe de à droite du zéro Signe du produit Donc S = ] ; ] [ ; + [. b) Méthode : on applique la règle du cours : Un trinôme du second degré est du signe de a sauf entre ses éventuelles racines. Dans notre cas, a =, par conséquent, le trinôme est négatif sauf entre ses racines ] ] et. Donc S = ; [ ; + [. c) Méthode : on utilise une esquisse de la parabole. x +7x est un polynôme du second degré, donc sa représentation graphique est une parabole. De plus, a =, donc la parabole est tournée vers le bas Donc S = ] ; ] [ ; + [.. Soit f) l inéquation x +x 7 < 0. f) est une inéquation du second degré à coefficients réels, avec a =, b = et c = 7. On peut donc calculer son discriminant : = b ac = ) 7) = 7. < 0 donc le polynôme n admet pas de raccine réelle. Or, un polynôme du second degré est du signe de a = sauf entre ses éventuelles racines. Donc x +x 7 est négatif sur R. Par conséquent S = R. Quant on se ramène à du second degré Résoudre dans R :. x x = 0. x + x =. x x+ = 0. x = 9 x Solutions :. Soit g) l équation x x = 0. Posons X = x. Alors : g) X = x et X X = 0 X X = 0 est une équation du second degré à coefficients réels, avec a =, b = et c =. On peut donc calculer son discriminant : = b ac = 9. > 0, donc X X admet deux racines réelles distinctes : x = b = = et x = b+ = + Par conséquent : g) X = x et X = ou X = g) x = ou x =. Or, x = n a pas de solution dans R, donc g) x = ou x = Donc S = { ; }.. Soit h) l équation x + x =. h) est définie si et seulement si x 0 et x 0. Donc h) est définie sur R\{0 ; }. Pour tout x R\{0 ; } : h) x xx ) + h) x +x+xx ) xx ) x xx ) = xx ) xx ) = 0 on réduit au même dénominateur) = Isabelle Morel 9

10 S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 h) x xx ) = 0 h) x )x +) = 0 on factorise) xx ) h) x = = ou x = = Ces deux solutions sont dans R\{0 ; }, donc S = { ; }. Soit i) l équation x x+ = 0. i) est définie si et seulement si x 0. Donc i) est définie sur [0 ; + [. Pour tout x [0 ; + [ : i) X = x et X X + = 0 i) X = x et X ) = 0 i) X = x et X = i) x = i) x = La solution trouvée est bien positive, donc S = {}.. Soit j) l équation x = 9 x. j) est définie si et seulement si 9 x 0 et x 0, c est-à-dire x 9 et x. Donc j) est définie que [ ; 9]. Sur [ ; 9] : j) x ) = 9 x j) x 5x = 0 j) xx 5) = 0 j) x = 0 ou x = 5 Or, 0 / [ ; 9] et 5 [ ; 9], donc S = {5}. Isabelle Morel 0