Seconde Chapitre III : Fonctions affines Année scolaire 2012/2013

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1 Seconde Chapitre III : Fonctions affines Année scolaire 2012/2013 I) Généralités sur les fonctions affines : 1) Définition : Une fonction f définie sur R est dite affine si il existe deux nombres réels a et b tels que : Pour tout x R, f(x) = ax + b Exemples : a) Soit f définie sur R par f(x) = 2x 2 3x + 4 2(x 2 + 7x 1) f est affine. En effet, f(x) = 2x 2 3x + 4-2x 2 14x + 2 = - 17x + 6 (avec a = -17 et b = 6) b) Soit x > 0. On considère un rectangle de longueur x cm et de largeur 6 cm. Son périmètre P est donné par P(x) = 2x + 2x6 = 2x P est une fonction affine de la longueur. Cas particuliers : a) Si b = 0, f est dite linéaire Exemple : Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur d'un côté est une fonction linéaire. (si on note x la longueur d'un côté, alors P(x) = 4x) b) Si a = 0, f est constante. 2) Représentation graphique : Propriété : Toute fonction affine se représente graphiquement dans un repère par une droite. Si f est définie par f(x) = ax + b pour tout x R, alors : - a est le coefficient directeur de la droite représentée - b est l'ordonnée à l'origine Pratiquement : Si on souhaite représenter une fonction affine dont on a l'expression en fonction de x, il suffit de calculer les coordonnées de deux de ses points. Exemple : Représenter dans un repère orthogonal la fonction f définie par : f(x) = 3x 1 On calcule les coordonnées de deux points : On choisit des valeurs de x et on calcule les y à l'aide de la formule de f : x 0 2 f(x) -1 5 En effet : f(0) = 3x0 1 = - 1 et f(2) = 3x2 1 = 5 Donc les points A(0;-1) et B(2;5) sont sur la droite à tracer :

2 Remarque : On dit que la droite (AB) a pour équation réduite : y = 3x - 1 3) Proportionnalité des accroissements : Exemple : On considère une fonction affine f définie par : f(x) = 7x 2 a) Calculons les images de 1 et 2 par f : f(1) = 7 2 = 5 et f(2) = 14 2 = 12 f (2) f (1) Calculons le rapport suivant : 2 1 = 12 5 = 7 b) Calculons les images de 5 et -2 par f : f(5) = 35-2 = 33 et f(-2) = = - 16 f (5) f ( 2) Calculons le rapport suivant : = 33 ( 16) 5 ( 2) 7 = 49 7 = 7 A chaque fois, on trouve a. (ici 7) Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b Soient u et v, deux réels tels que u v, alors : f (u ) f (v ) = a u v Démonstration : Soit f une fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b Soient u et v, deux réels tels que u v, alors f(u) = au + b et f(v) = av + b D'où : f(u) f(v) = au + b av b = a (u v) f (u ) f (v ) a (u v ) Donc : = = a u v u v Application : Détermination d'une fonction affine connaissant les images de deux points.

3 Exemple : On considère une fonction affine f telle que : f(3) = 8 et f(-1) = 5 Déterminer f. On souhaite avoir l'expression de f en fonction de x Comme f est affine, f a une expression de la forme f(x) = ax + b Calcul de a : a = f (3) f ( 1) 3 ( 1) = A ce stade, on sait que f(x) = 3 4 x + b Calcul de b : f(3) = x3 + b = 8 = 3 4 Par conséquent : b = = = 23 4 f(x) = 3 4 x II) Variations des fonctions affines : Exemple : Soient f définie par f(x) = 3x 5 et g définie par g(x) = - 2x + 3 On représente f et g dans un même repère orthogonal (O,I,J) du plan : Pour bien observer les changements de variations selon le signe de a, voir l'expérimentation Geogebra suivante :

4 Théorème : Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b. - Si a = 0, alors f est constante et f(x) = b, pour tout x réel - Si a < 0, alors f est décroissante pour tout x réel - Si a > 0, alors f est croissante pour tout x réel D'où les tableaux de variations suivants : - Si a >0, alors : x - + Variations de f - Si a < 0, alors : x - + Variations de f Démonstration pour a > 0 : Soient u et v deux réels tels que u < v f(u) = au+b et f(v) = av + b D'où : f(u) f(v) = au + b av - b = a(u v) Or,comme u < v alors u-v < 0 et a > 0 D'où : f(u) f(v) < 0 C'est-à-dire : f(u) < f(v) Par conséquent : pour a > 0, f est strictement croissante III) Étude de signes : 1) Signe d'une expression ax + b C'est une conséquence des variations étudiées dans le II) Si on note f la fonction affine définie par f(x) = ax + b - Si a < 0, alors f est décroissante : Si on note x 0 l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses alors : - Pour x < x 0, alors f(x) > 0 - Pour x > x 0, alors f(x) < 0

5 - Si a > 0, alors f est croissante : Si on note x 0 l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses alors : - Pour x < x 0, alors f(x) < 0 - Pour x > x 0, alors f(x) > 0 On peut résumer les deux cas à l'aide des tableaux de signes suivants : Si a < 0 : x - x 0 + Signe de ax + b Si a > 0 : x - x 0 + Signe de ax + b ) Signe d'un produit ( Inéquations-produits) : On souhaite étudier le signe de produits du type (a x + b)(c x + d) où a,b,c et d sont quatre nombres tels que a et c sont différents de 0. Exemple : A) On souhaite étudier le signe de l'expression suivante : (3 x + 2)(5 x 1) Méthode : 1) On résout les inéquations 3 x et 5 x 1 0 (en fait, on pouvait résoudre 3 x + 2 < 0 et 5 x 1 < 0) On a : 3 x x 1 D'où : x - 2 x ) On remplit un tableau de signes en utilisant les résultats trouvés précédemment : x x x (3 x + 2)(5 x 1) + - +

6 Pour remplir le tableau : - On fait figurer dans la première ligne les deux valeurs trouvées lors de la résolution des inéquations en faisant très attention de les placer correctement l'une par rapport à l'autre. - Ensuite, on place les zéros. - Chaque expression dans la deuxième et la troisième ligne est celle d'une fonction affine. D'après les études de signes faites précédemment, on peut remplir les signes de chaque ligne : - Si le coefficient devant x est positif, on met les jusqu'à atteindre le zéro, puis ensuite on écrit les + - Si le coefficient devant x est négatif, on met les + jusqu'à atteindre le zéro, puis ensuite on écrit les - - Pour les signes de la dernière ligne, on applique la règle des signes de la multiplication. 3) Enfin, on écrit les intervalles ou les réunions d'intervalles correspondants : Ici : (3 x + 2)(5 x 1) 0 pour : x ] - ; ] U [ 1 5 ;+ [ (3 x + 2)(5 x 1) 0 pour : x [- 2 3 ; 1 5 ] B) On souhaite résoudre l'inéquation suivante : (7x 8)(-3x + 1) 0 7x 8 0 ATTENTION à la résolution de l'inéquation : -3x x 8 En effet, le coefficient devant x est négatif : x 8 7-3x -1 x 1 (il faut changer le sens de l'inégalité car on la 3 divise à gauche et à droite par un négatif) D'où : x 1 3 x x x (7 x - 8)(-3 x + 1) D'où les solutions de l'inéquation : S = [ 1 3 ; 8 7 ]