Vecteurs et repères du plan

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1 Vecteurs et repères du plan Lycée Jean Perrin 2 nde 13 Guillaume Connan Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

2 Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

3 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Nous ne pouvons pas, à notre niveau, donner une définition rigoureuse d un vecteur du plan. Disons que concrètement, un vecteur est un déplacement : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

4 Qu est-ce qu un vecteur du plan? À Á Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

5 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Le déplacement de A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle ce déplacement un VECTEUR défini par une direction : celle de la droite (AB); un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

6 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Le déplacement de A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle ce déplacement un VECTEUR défini par une direction : celle de la droite (AB); un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

7 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Le déplacement de A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle ce déplacement un VECTEUR défini par une direction : celle de la droite (AB); un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

8 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Attention! il ne faut pas confondre sens et direction : par exemple et IH AB ont la même direction (car les droites (AB) et (IH) sont parallèles) mais n ont pas le même sens. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

9 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Les vecteurs AB, DE et HI sont donc les représentants d un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce par un nom unique, par exemple d. La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de d, on utilise d. On a d AB DE HI Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

10 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Les vecteurs AB, DE et HI sont donc les représentants d un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce par un nom unique, par exemple d. La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de d, on utilise d. On a d AB DE HI Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

11 AB Remarque CD u si Qu est-ce qu un vecteur du plan? Ù et seulement si ABDC est un parallélogramme Ù Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

12 AB Remarque CD u si Qu est-ce qu un vecteur du plan? Ù et seulement si ABDC est un parallélogramme Ù Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

13 AB Remarque CD u si Qu est-ce qu un vecteur du plan? Ù et seulement si ABDC est un parallélogramme Ù Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

14 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Remarque Dans mon jeune temps, on disait que deux vecteurs et AB CD étaient égaux a si et seulement si les segments [A; D] et [B ; C] avaient le même milieu : pourquoi? a En fait, on disait que les bipoints (A,B) et (C,D) étaient équipollents... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

15 Somme de vecteurs Ù Le secret : je me déplace de A vers Ù Ú Ú B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

16 Somme de vecteurs Ù Le secret : je me déplace de A vers Ù Ú Ú B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

17 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

18 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

19 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

20 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

21 Somme de vecteurs Ù Il suffit de prendre des représentants de u et v bien Ù Ù Ú Ú Ú choisis : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

22 Somme de vecteurs Ù Il suffit de prendre des représentants de u et v bien Ù Ù Ú Ú Ú choisis : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

23 Somme de vecteurs Ú Ù Ú Ù On peut aussi «penser parallélogramme» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

24 Somme de vecteurs Ú Ù Ú Ù On peut aussi «penser parallélogramme» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

25 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

26 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

27 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

28 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

29 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

30 Vecteur nul - Opposé d un vecteur On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note 0. Plus généralement si on considère un vecteur u, on peut toujours trouver un vecteur de même direction, de même norme et de sens opposé : quand on l ajoute à u, on obtient le vecteur nul. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

31 Vecteur nul - Opposé d un vecteur On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note 0. Plus généralement si on considère un vecteur u, on peut toujours trouver un vecteur de même direction, de même norme et de sens opposé : quand on l ajoute à u, on obtient le vecteur nul. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

32 Vecteur nul - Opposé d un vecteur Ù Ù On l appelle le vecteur opposé de u et on le note bien sûr u Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

33 Vecteur nul - Opposé d un vecteur Ù Ù On l appelle le vecteur opposé de u et on le note bien sûr u Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

34 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l opposé du vecteur u qu on note u, c est à dire ( 1) u. Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3 u est en fait égal à u u u, et les additions de vecteurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que 3 u, c est ( u ) ( u ) ( u ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

35 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l opposé du vecteur u qu on note u, c est à dire ( 1) u. Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3 u est en fait égal à u u u, et les additions de vecteurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que 3 u, c est ( u ) ( u ) ( u ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

36 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l opposé du vecteur u qu on note u, c est à dire ( 1) u. Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3 u est en fait égal à u u u, et les additions de vecteurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que 3 u, c est ( u ) ( u ) ( u ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

37 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

38 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

39 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

40 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

41 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Ù ¼µ Ù Ù ¼µ Ce petit dessin résume les différents cas de figure. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

42 Vecteurs colinéaires Définition Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

43 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

44 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

45 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

46 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

47 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

48 Vecteurs colinéaires Définition Vecteurs colinéaires Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire : Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Remarque Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vecteurs COlinéaires partagent la même ligne... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

49 Vecteurs colinéaires Définition Vecteurs colinéaires Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire : Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Remarque Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vecteurs COlinéaires partagent la même ligne... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

50 Vecteurs colinéaires Définition Vecteurs colinéaires Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire : Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Remarque Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vecteurs COlinéaires partagent la même ligne... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

51 Vecteurs colinéaires Définition Ù Ú Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

52 Vecteurs colinéaires Définition Notre observation précédente va donc nous permettre d énoncer le théorème primordial suivant : Théorème Deux vecteurs u et v sont k tel que v k u colinéaires si, et seulement si, il existe un réel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

53 Vecteurs colinéaires Définition Attention! Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires et non pas de vecteurs parallèles! Deux droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun point en commun. On ne peut pas dire la même chose des vecteurs car les vecteurs...n ont pas de points! Ce sont des déplacements, pas des ensembles de points comme les droites. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

54 Vecteurs colinéaires Conséquences Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

55 Vecteurs colinéaires Conséquences Si on arrive à montrer que deux AB Si on arrive à montrer que deux vecteurs et AB CD sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. AC sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or, comme vous l avez remarqué, les droites (AB) et (AC) ont le point A en commun. Que pensez-vous de 2 droites parallèles ayant un point en commun? Elles sont bien sûr... 1 Et donc les points A, B et C appartiennent à une même droite : ils sont alignés. 1 D après un des axiomes d Euclide qui est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : «par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

56 Vecteurs colinéaires Conséquences Si on arrive à montrer que deux AB Si on arrive à montrer que deux vecteurs et AB CD sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. AC sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or, comme vous l avez remarqué, les droites (AB) et (AC) ont le point A en commun. Que pensez-vous de 2 droites parallèles ayant un point en commun? Elles sont bien sûr... 1 Et donc les points A, B et C appartiennent à une même droite : ils sont alignés. 1 D après un des axiomes d Euclide qui est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : «par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

57 À retenir Vecteurs colinéaires Conséquences Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. Le problème va être d arriver à prouver que deux vecteurs sont colinéaires : il suffira de «penser BASE»... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

58 À retenir Vecteurs colinéaires Conséquences Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. Le problème va être d arriver à prouver que deux vecteurs sont colinéaires : il suffira de «penser BASE»... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

59 Base du plan vectoriel Euh.. le plan vectoriel, c est quoi? Disons que c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors que Définition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

60 Base du plan vectoriel Euh.. le plan vectoriel, c est quoi? Disons que c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors que Définition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

61 Base du plan vectoriel Euh.. le plan vectoriel, c est quoi? Disons que c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors que Définition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

62 Base du plan vectoriel Et on admettra le résultat primordial suivant : Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

63 Base du plan vectoriel Et on admettra le résultat primordial suivant : Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

64 Base du plan vectoriel Le secret tient dans le Ç dessin suivant : Ü Ø Ý Nous n irons pas plus loin pour l instant, mais nous retiendrons qu il sera utile d exprimer chaque vecteur d un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

65 Des exercices...basiques. Nous allons étudier toutes sortes d exercices qui nous fourniront autant d outils pour résoudre nos enigmes mathématiques... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

66 Des exercices...basiques. Ç «Voir»des égalités vectorielles Considérez avec la plus grande attention un parallèlogramme ABCD de centre O : donnez un maximum d égalités vectorielles. En particulier, trouvez des égalités vectorielles qui permettront de caractériser 2 le milieu d un segment. 2 C est à dire qui permettent de conclure que le point étudié est à coup sûr le milieu du segment étudié. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

67 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

68 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

69 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

70 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

71 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

72 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

73 È É Des exercices...basiques. Ç Æ Å Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

74 Des exercices...basiques. Construction de point 3 MA Exercice A et B sont deux points distincts du plan. On définit le point M par la relation vectorielle : MB 0. Exprimez de AM en fonction AB. Placez M. M «apparaît»deux fois dans l égalité : pour pouvoir le construire, il faudrait «partir»d un point connu et «suivre la flèche»jusqu en M grâce à des «indications»utilisant des mouvements entre points connus... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

75 Des exercices...basiques. Construction de point 3 MA Exercice A et B sont deux points distincts du plan. On définit le point M par la relation vectorielle : MB 0. Exprimez de AM en fonction AB. Placez M. M «apparaît»deux fois dans l égalité : pour pouvoir le construire, il faudrait «partir»d un point connu et «suivre la flèche»jusqu en M grâce à des «indications»utilisant des mouvements entre points connus... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

76 Des exercices...basiques. Construction de point 3 MA Exercice A et B sont deux points distincts du plan. On définit le point M par la relation vectorielle : MB 0. Exprimez de AM en fonction AB. Placez M. M «apparaît»deux fois dans l égalité : pour pouvoir le construire, il faudrait «partir»d un point connu et «suivre la flèche»jusqu en M grâce à des «indications»utilisant des mouvements entre points connus... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

77 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... Exercice ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AB]. E est le point tel que DE 2 3 DI. Compléter la figure suivante. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

78 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... Exercice ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AB]. E est le point tel que DE 2 3 DI. Compléter la figure suivante. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

79 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... et Exercice Il semble que A, E et C soient alignés. Nous voudrions le prouver. Pour cela, nous allons essayer de montrer que les vecteurs et AE AC sont colinéaires. Oui, mais comment? Pensons base! Il est assez naturel dans un parallélogramme de choisir AB AC comme vecteurs de base : ils sont bien connus et «représentent»les directions privilégiées du parallélogramme. Le problème, c est que E est «au milieu»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de Chasles et des données du texte, exprimez AE en n utilisant que des points «sur les bords»du parallélogramme. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

80 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... et Exercice Il semble que A, E et C soient alignés. Nous voudrions le prouver. Pour cela, nous allons essayer de montrer que les vecteurs et AE AC sont colinéaires. Oui, mais comment? Pensons base! Il est assez naturel dans un parallélogramme de choisir AB AC comme vecteurs de base : ils sont bien connus et «représentent»les directions privilégiées du parallélogramme. Le problème, c est que E est «au milieu»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de Chasles et des données du texte, exprimez AE en n utilisant que des points «sur les bords»du parallélogramme. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

81 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... et Exercice Il semble que A, E et C soient alignés. Nous voudrions le prouver. Pour cela, nous allons essayer de montrer que les vecteurs et AE AC sont colinéaires. Oui, mais comment? Pensons base! Il est assez naturel dans un parallélogramme de choisir AB AC comme vecteurs de base : ils sont bien connus et «représentent»les directions privilégiées du parallélogramme. Le problème, c est que E est «au milieu»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de Chasles et des données du texte, exprimez AE en n utilisant que des points «sur les bords»du parallélogramme. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

82 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

83 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

84 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

85 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

86 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

87 Des exercices...basiques. Á Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

88 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

89 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

90 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

91 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

92 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

93 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

94 Des exercices...basiques. Á Ç È Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

95 Dessin BF BE BG AC Des exercices...basiques. AC. AC. BA. Placer le point E tel Placer le point F tel que que Placer le point G tel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

96 Dessin BF BE BG AC Des exercices...basiques. AC. AC. BA. Placer le point E tel Placer le point F tel que que Placer le point G tel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

97 Dessin BF BE BG AC Des exercices...basiques. AC. AC. BA. Placer le point E tel Placer le point F tel que que Placer le point G tel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

98 AC BD 2 Des exercices...basiques. AE BCº 2 AF 3 ACº Calcul vectoriel dans un parallélogramme. Soit ABCD un parallélogramme. Soit E le milieu de [BC] et F le milieu de [DC]. Montrer Montrer que Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

99 AC BD 2 Des exercices...basiques. AE BCº 2 AF 3 ACº Calcul vectoriel dans un parallélogramme. Soit ABCD un parallélogramme. Soit E le milieu de [BC] et F le milieu de [DC]. Montrer Montrer que Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

100 Des exercices...basiques. Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs et AB CD sont CAº Calcul «en aveugle» AC 2 7 CB 9 AB 3 DC CA 7 CB 5 colinéaires : BDº AD 0º AD 2 Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

101 Des exercices...basiques. Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs et AB CD sont CAº Calcul «en aveugle» AC 2 7 CB 9 AB 3 DC CA 7 CB 5 colinéaires : BDº AD 0º AD 2 Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

102 Des exercices...basiques. Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs et AB CD sont CAº Calcul «en aveugle» AC 2 7 CB 9 AB 3 DC CA 7 CB 5 colinéaires : BDº AD 0º AD 2 Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

103 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

104 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

105 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

106 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

107 Des exercices...basiques. Å ÆÈ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

108 Des exercices...basiques. È Être ou ne pas être alignés... Les points P, Q et R sont-ils alignés? Ê É Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

109 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

110 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

111 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

112 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

113 Vecteurs et repères du plan Repère Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

114 Vecteurs et repères du plan Repère Nous avons vu précédemment qu une base (formée de deux vecteurs non colinéaires) permettait d exprimer n importe quel vecteur en fonction des 2 vecteurs de base. Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

115 Vecteurs et repères du plan Repère Nous avons vu précédemment qu une base (formée de deux vecteurs non colinéaires) permettait d exprimer n importe quel vecteur en fonction des 2 vecteurs de base. Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

116 Vecteurs et repères du plan Repère Maintenant, pour repérer un point, on choisira une origine fixe et deux vecteurs de base. La clé du chapitre tient dans le dessin suivant : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

117 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

118 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

119 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

120 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

121 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

122 Vecteurs et repères du plan Repère Ý Å Ü Ýµ ÇÅ Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

123 Vecteurs et repères du plan Repère coordonnées d un point dans un repère Théorème Dire que le point M a pour coordonnées (x y) dans le repère (O; ) signifie que OM x i y j On appelle x l abscisse de M et y son ordonnée Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

124 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Nous travaillons dans un repère (O i j ) et deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x A y A ) et (x B y B ). Comment traduire vectoriellement ces renseignements? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

125 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Nous travaillons dans un repère (O i j ) et deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x A y A ) et (x B y B ). Comment traduire vectoriellement ces renseignements? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

126 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

127 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

128 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

129 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

130 Vecteurs et repères du plan Repère AB x AB i y Nous voudrions à présent obtenir les coordonnées x AB y ABðqui vérifient, d après notre définition AB j Coordonnées du vecteur AB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

131 Vecteurs et repères du plan Repère AB x AB i y Nous voudrions à présent obtenir les coordonnées x AB y ABðqui vérifient, d après notre définition AB j Coordonnées du vecteur AB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

132 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Le problème, c est de faire le lien entre et et AB OA OB. Mais oui! Bien sûr! Utilisons notre bonne vieille relation de Chasles! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

133 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Le problème, c est de faire le lien entre et et AB OA OB. Mais oui! Bien sûr! Utilisons notre bonne vieille relation de Chasles! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

134 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Le problème, c est de faire le lien entre et et AB OA OB. Mais oui! Bien sûr! Utilisons notre bonne vieille relation de Chasles! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

135 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

136 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

137 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

138 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

139 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

140 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

141 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

142 Vecteurs et repères du plan Repère Coordonnées du vecteur AB Théorème Le vecteur AB a pour Ç Ý Ý coordonnées (x B x A y B y A ) Ü Ü µ Ý Ý µ Ü Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

143 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

144 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

145 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

146 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

147 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

148 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

149 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

150 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

151 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

152 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

153 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

154 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

155 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs ax u bx w ay u by wð Théorème Nous retiendrons donc que le vecteur a u b w a pour coordonnées Au fait, que veut dire combinaison linéaire à votre avis? Les coordonnées d une combinaison de vecteurs sont égales aux combinaisons des coordonnées... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

156 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs ax u bx w ay u by wð Théorème Nous retiendrons donc que le vecteur a u b w a pour coordonnées Au fait, que veut dire combinaison linéaire à votre avis? Les coordonnées d une combinaison de vecteurs sont égales aux combinaisons des coordonnées... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

157 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs ax u bx w ay u by wð Théorème Nous retiendrons donc que le vecteur a u b w a pour coordonnées Au fait, que veut dire combinaison linéaire à votre avis? Les coordonnées d une combinaison de vecteurs sont égales aux combinaisons des coordonnées... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

158 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs ax u bx w ay u by wð Théorème Nous retiendrons donc que le vecteur a u b w a pour coordonnées Au fait, que veut dire combinaison linéaire à votre avis? Les coordonnées d une combinaison de vecteurs sont égales aux combinaisons des coordonnées... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

159 Vecteurs et repères du plan Repère Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O i j ) dit coordonnées de OI dans la base ( i j ). Il faudrait donc essayer de relier OI avec et OA OB... Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

160 Vecteurs et repères du plan Repère Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O i j ) dit coordonnées de OI dans la base ( i j ). Il faudrait donc essayer de relier OI avec et OA OB... Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

161 Vecteurs et repères du plan Repère Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O i j ) dit coordonnées de OI dans la base ( i j ). Il faudrait donc essayer de relier OI avec et OA OB... Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

162 Vecteurs et repères du plan Repère Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O i j ) dit coordonnées de OI dans la base ( i j ). Il faudrait donc essayer de relier OI avec et OA OB... Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

163 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

164 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

165 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

166 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

167 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

168 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

169 Vecteurs et repères du plan Repère OI AO OI OI OI IO AO 2 OI OA OB OB Coordonnées du milieu d un segment Par exemple AI IB Il nous manque O...comment faire? La relation de Chasles of course... IO OB OA OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

170 Vecteurs et repères du plan Repère 2 OA OI 1 Coordonnées du milieu d un segment et donc Théorème OB Le milieu I de [A; B] a pour coordonnées x A x B 2 y A y B 2 ð Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

171 Vecteurs et repères du plan Repère 2 OA OI 1 Coordonnées du milieu d un segment et donc Théorème OB Le milieu I de [A; B] a pour coordonnées x A x B 2 y A y B 2 ð Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

172 Vecteurs et repères du plan Colinéarité et conséquences Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

173 y et u¼x¼ Vecteurs et repères du plan Colinéarité conséquences Rappelez-vous : si deux vecteurs ux veut dire qu il existe un réel k tel que... ººº u¼ k u Point de vue coordonnées, ça donne x¼ kx et y¼ ky Que pensez-vous de x¼y y¼x? Et oui, c est... y¼ sont colinéaires, cela Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

174 y et u¼x¼ Vecteurs et repères du plan Colinéarité conséquences Rappelez-vous : si deux vecteurs ux veut dire qu il existe un réel k tel que... ººº u¼ k u Point de vue coordonnées, ça donne x¼ kx et y¼ ky Que pensez-vous de x¼y y¼x? Et oui, c est... y¼ sont colinéaires, cela Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

175 y et u¼x¼ Vecteurs et repères du plan Colinéarité conséquences Rappelez-vous : si deux vecteurs ux veut dire qu il existe un réel k tel que... ººº u¼ k u Point de vue coordonnées, ça donne x¼ kx et y¼ ky Que pensez-vous de x¼y y¼x? Et oui, c est... y¼ sont colinéaires, cela Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

176 y et u¼x¼ Vecteurs et repères du plan Colinéarité conséquences Rappelez-vous : si deux vecteurs ux veut dire qu il existe un réel k tel que... ººº u¼ k u Point de vue coordonnées, ça donne x¼ kx et y¼ ky Que pensez-vous de x¼y y¼x? Et oui, c est... y¼ sont colinéaires, cela Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

177 y et u¼x¼ Vecteurs et repères du plan Colinéarité conséquences Rappelez-vous : si deux vecteurs ux veut dire qu il existe un réel k tel que... ººº u¼ k u Point de vue coordonnées, ça donne x¼ kx et y¼ ky Que pensez-vous de x¼y y¼x? Et oui, c est... y¼ sont colinéaires, cela Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

178 y et u¼x¼ Vecteurs et repères du plan Colinéarité conséquences Rappelez-vous : si deux vecteurs ux veut dire qu il existe un réel k tel que... ººº u¼ k u Point de vue coordonnées, ça donne x¼ kx et y¼ ky Que pensez-vous de x¼y y¼x? Et oui, c est... y¼ sont colinéaires, cela Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

179 Théorème de Némo y et u¼x¼...nul Théorème ux Vecteurs et repères du plan Colinéarité et conséquences y¼ sont colinéaires si, et seulement si, x¼y yx¼ 0 Pourquoi l ai-je appelé Némo? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

180 Théorème de Némo y et u¼x¼...nul Théorème ux Vecteurs et repères du plan Colinéarité et conséquences y¼ sont colinéaires si, et seulement si, x¼y yx¼ 0 Pourquoi l ai-je appelé Némo? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

181 Théorème de Némo y et u¼x¼...nul Théorème ux Vecteurs et repères du plan Colinéarité et conséquences y¼ sont colinéaires si, et seulement si, x¼y yx¼ 0 Pourquoi l ai-je appelé Némo? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

182 Théorème de Némo y et u¼x¼...nul Théorème ux Vecteurs et repères du plan Colinéarité et conséquences y¼ sont colinéaires si, et seulement si, x¼y yx¼ 0 Pourquoi l ai-je appelé Némo? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

183 Vecteurs et repères du plan Montrer que 3 points sont alignés Colinéarité et conséquences Est-ce que les points A(2; 3), B(5; 7) et C( 6; 8) sont alignés? Le théorème Némo devrait vous aider à trouver... Regardez et AB AC... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

184 Vecteurs et repères du plan Montrer que 3 points sont alignés Colinéarité et conséquences Est-ce que les points A(2; 3), B(5; 7) et C( 6; 8) sont alignés? Le théorème Némo devrait vous aider à trouver... Regardez et AB AC... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

185 Vecteurs et repères du plan Montrer que 3 points sont alignés Colinéarité et conséquences Est-ce que les points A(2; 3), B(5; 7) et C( 6; 8) sont alignés? Le théorème Némo devrait vous aider à trouver... Regardez et AB AC... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

186 Vecteurs et repères du plan Colinéarité et conséquences Est-ce que des droites sont parallèles? A( 4; 1), B(4; 5), C(3; 2) et D(7; 1). Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont paralèles? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

187 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

188 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AM AB? Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Pas d idée? Que pensez-vous des vecteurs Bien joué! Ils sont colinéaires! Comment en déduire une équation de (AB), c est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)? Le théorème de Némo bien sûr! Vous n êtes pas convaincu(e)? Voyons un exemple. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

189 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AM AB? Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Pas d idée? Que pensez-vous des vecteurs Bien joué! Ils sont colinéaires! Comment en déduire une équation de (AB), c est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)? Le théorème de Némo bien sûr! Vous n êtes pas convaincu(e)? Voyons un exemple. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

190 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AM AB? Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Pas d idée? Que pensez-vous des vecteurs Bien joué! Ils sont colinéaires! Comment en déduire une équation de (AB), c est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)? Le théorème de Némo bien sûr! Vous n êtes pas convaincu(e)? Voyons un exemple. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

191 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AM AB? Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Pas d idée? Que pensez-vous des vecteurs Bien joué! Ils sont colinéaires! Comment en déduire une équation de (AB), c est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)? Le théorème de Némo bien sûr! Vous n êtes pas convaincu(e)? Voyons un exemple. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

192 Vecteurs et repères du plan Détermination y 3 et d une équation de droite AMx 2... si, et seulement si, 2(x 2) ( 3)(y 3) 0 Équations de droites et colinéarité Prenons A(2; 3) et B( 1; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... AB 3 colinéaires, c est à dire... 2 sont ce qui donne, après calculs 2x 3y Un petit remaniement nous permet de retrouver une écriture habituelle... y 2 x Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

193 Vecteurs et repères du plan Détermination y 3 et d une équation de droite AMx 2... si, et seulement si, 2(x 2) ( 3)(y 3) 0 Équations de droites et colinéarité Prenons A(2; 3) et B( 1; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... AB 3 colinéaires, c est à dire... 2 sont ce qui donne, après calculs 2x 3y Un petit remaniement nous permet de retrouver une écriture habituelle... y 2 x Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

194 Vecteurs et repères du plan Détermination y 3 et d une équation de droite AMx 2... si, et seulement si, 2(x 2) ( 3)(y 3) 0 Équations de droites et colinéarité Prenons A(2; 3) et B( 1; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... AB 3 colinéaires, c est à dire... 2 sont ce qui donne, après calculs 2x 3y Un petit remaniement nous permet de retrouver une écriture habituelle... y 2 x Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

195 Vecteurs et repères du plan Détermination y 3 et d une équation de droite AMx 2... si, et seulement si, 2(x 2) ( 3)(y 3) 0 Équations de droites et colinéarité Prenons A(2; 3) et B( 1; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... AB 3 colinéaires, c est à dire... 2 sont ce qui donne, après calculs 2x 3y Un petit remaniement nous permet de retrouver une écriture habituelle... y 2 x Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

196 Vecteurs et repères du plan Détermination y 3 et d une équation de droite AMx 2... si, et seulement si, 2(x 2) ( 3)(y 3) 0 Équations de droites et colinéarité Prenons A(2; 3) et B( 1; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... AB 3 colinéaires, c est à dire... 2 sont ce qui donne, après calculs 2x 3y Un petit remaniement nous permet de retrouver une écriture habituelle... y 2 x Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

197 Vecteur directeur Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c est un vecteur directeur de la droite(ab). Il doit exister un lien entre vecteur directeur et coefficient directeur...trouvez-le! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

198 Vecteur directeur Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c est un vecteur directeur de la droite(ab). Il doit exister un lien entre vecteur directeur et coefficient directeur...trouvez-le! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

199 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AB AA¼et AC. GA Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A¼le milieu de [BC], B¼le milieu de [AC] et C¼le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. On se place dans le repère A de Quelles sont les coordonnées A, B, C, A¼, B¼et C¼? Déterminez des équations des droites (AA¼) et (BB¼). Déduisez-en les coordonnées G. Calculez les coordonnées AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GB GC. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

200 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AB AA¼et AC. GA Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A¼le milieu de [BC], B¼le milieu de [AC] et C¼le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. On se place dans le repère A de Quelles sont les coordonnées A, B, C, A¼, B¼et C¼? Déterminez des équations des droites (AA¼) et (BB¼). Déduisez-en les coordonnées G. Calculez les coordonnées AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GB GC. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

201 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AB AA¼et AC. GA Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A¼le milieu de [BC], B¼le milieu de [AC] et C¼le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. On se place dans le repère A de Quelles sont les coordonnées A, B, C, A¼, B¼et C¼? Déterminez des équations des droites (AA¼) et (BB¼). Déduisez-en les coordonnées G. Calculez les coordonnées AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GB GC. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

202 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AB AA¼et AC. GA Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A¼le milieu de [BC], B¼le milieu de [AC] et C¼le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. On se place dans le repère A de Quelles sont les coordonnées A, B, C, A¼, B¼et C¼? Déterminez des équations des droites (AA¼) et (BB¼). Déduisez-en les coordonnées G. Calculez les coordonnées AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GB GC. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

203 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AB AA¼et AC. GA Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A¼le milieu de [BC], B¼le milieu de [AC] et C¼le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. On se place dans le repère A de Quelles sont les coordonnées A, B, C, A¼, B¼et C¼? Déterminez des équations des droites (AA¼) et (BB¼). Déduisez-en les coordonnées G. Calculez les coordonnées AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GB GC. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

204 Vecteurs et repères du plan Équations de droites et colinéarité AB AA¼et AC. GA Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A¼le milieu de [BC], B¼le milieu de [AC] et C¼le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. On se place dans le repère A de Quelles sont les coordonnées A, B, C, A¼, B¼et C¼? Déterminez des équations des droites (AA¼) et (BB¼). Déduisez-en les coordonnées G. Calculez les coordonnées AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GB GC. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

205 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

206 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Définition Un repère (O i j ) est dit orthogonal lorsque les droites (O i ) et (O j ) sont perpendiculaires. Un repère (O i j ) est dit orthonormal lorsqu il est orthogonal et que les vecteurs i et j sont tous deux de norme 1. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

207 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Définition Un repère (O i j ) est dit orthogonal lorsque les droites (O i ) et (O j ) sont perpendiculaires. Un repère (O i j ) est dit orthonormal lorsqu il est orthogonal et que les vecteurs i et j sont tous deux de norme 1. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

208 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Définition Un repère (O i j ) est dit orthogonal lorsque les droites (O i ) et (O j ) sont perpendiculaires. Un repère (O i j ) est dit orthonormal lorsqu il est orthogonal et que les vecteurs i et j sont tous deux de norme 1. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

209 Ý Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Ç Ý Ü Ü µ Ý Ý µ Ü Ü Distance dans un R.O.N. Observez cette magnifique figure Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

210 Ý Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Ç Ý Ü Ü µ Ý Ý µ Ü Ü Distance dans un R.O.N. Observez cette magnifique figure Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

211 Vecteurs et repères du plan Distance dans un R.O.N. Repère orthonormal Bon sang mais c est bien sûr! Grâce à notre bon vieux théorème de Pythagore! Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n est valable que dans un R.O.N. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

212 Vecteurs et repères du plan Distance dans un R.O.N. Repère orthonormal Bon sang mais c est bien sûr! Grâce à notre bon vieux théorème de Pythagore! Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n est valable que dans un R.O.N. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

213 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Montrer qu un quadrilatère est un rectangle Dans un R.O.N. (O i j ), on considère les quatre points A( 1; 3) B(3;Ô5) C(2; 3) D( 2; Ô5) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

214 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Équation de cercle Le plan est muni d un R.O.N. (O i j ). Les points A( 3; 4), B(1 8; 4 7) et C(1 4; 4 8) sont-ils sur le cercle de centre O et de rayon 5? À quelle condition sur x et y un point M(x ; y) est-il sur? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87

215 Vecteurs et repères du plan Repère orthonormal Équation de cercle Le plan est muni d un R.O.N. (O i j ). Les points A( 3; 4), B(1 8; 4 7) et C(1 4; 4 8) sont-ils sur le cercle de centre O et de rayon 5? À quelle condition sur x et y un point M(x ; y) est-il sur? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87