Vecteurs et repères du plan
|
|
|
- Emmanuel Chaput
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Vecteurs et repères du plan Lycée Jean Perrin 2 nde 13 Guillaume Connan Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
2 Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
3 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Nous ne pouvons pas, à notre niveau, donner une définition rigoureuse d un vecteur du plan. Disons que concrètement, un vecteur est un déplacement : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
4 Qu est-ce qu un vecteur du plan? À Á Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
5 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Le déplacement de A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle ce déplacement un VECTEUR défini par une direction : celle de la droite (AB); un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
6 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Le déplacement de A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle ce déplacement un VECTEUR défini par une direction : celle de la droite (AB); un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
7 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Le déplacement de A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle ce déplacement un VECTEUR défini par une direction : celle de la droite (AB); un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
8 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Attention! il ne faut pas confondre sens et direction : par exemple et IH AB ont la même direction (car les droites (AB) et (IH) sont parallèles) mais n ont pas le même sens. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
9 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Les vecteurs AB, DE et HI sont donc les représentants d un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce par un nom unique, par exemple d. La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de d, on utilise d. On a d AB DE HI Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
10 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Les vecteurs AB, DE et HI sont donc les représentants d un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce par un nom unique, par exemple d. La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de d, on utilise d. On a d AB DE HI Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
11 AB Remarque CD u si Qu est-ce qu un vecteur du plan? Ù et seulement si ABDC est un parallélogramme Ù Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
12 AB Remarque CD u si Qu est-ce qu un vecteur du plan? Ù et seulement si ABDC est un parallélogramme Ù Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
13 AB Remarque CD u si Qu est-ce qu un vecteur du plan? Ù et seulement si ABDC est un parallélogramme Ù Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
14 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Remarque Dans mon jeune temps, on disait que deux vecteurs et AB CD étaient égaux a si et seulement si les segments [A; D] et [B ; C] avaient le même milieu : pourquoi? a En fait, on disait que les bipoints (A,B) et (C,D) étaient équipollents... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
![a si et seulement si les segments [A; D] et [B ; C] avaient le même milieu :](/docs-images/48/21424573/images/page_14.jpg "pourquoi?")
15 Somme de vecteurs Ù Le secret : je me déplace de A vers Ù Ú Ú B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
16 Somme de vecteurs Ù Le secret : je me déplace de A vers Ù Ú Ú B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
17 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
18 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
19 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
20 Somme de vecteurs AB C est en fait la fameuse Relation de Chasles Définition Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? BC AC Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
21 Somme de vecteurs Ù Il suffit de prendre des représentants de u et v bien Ù Ù Ú Ú Ú choisis : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
22 Somme de vecteurs Ù Il suffit de prendre des représentants de u et v bien Ù Ù Ú Ú Ú choisis : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
23 Somme de vecteurs Ú Ù Ú Ù On peut aussi «penser parallélogramme» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
24 Somme de vecteurs Ú Ù Ú Ù On peut aussi «penser parallélogramme» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
25 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
26 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
27 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
28 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
29 Vecteur nul - Opposé d un vecteur AB BA AA Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de Chasles le confirme Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
30 Vecteur nul - Opposé d un vecteur On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note 0. Plus généralement si on considère un vecteur u, on peut toujours trouver un vecteur de même direction, de même norme et de sens opposé : quand on l ajoute à u, on obtient le vecteur nul. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
31 Vecteur nul - Opposé d un vecteur On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note 0. Plus généralement si on considère un vecteur u, on peut toujours trouver un vecteur de même direction, de même norme et de sens opposé : quand on l ajoute à u, on obtient le vecteur nul. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
32 Vecteur nul - Opposé d un vecteur Ù Ù On l appelle le vecteur opposé de u et on le note bien sûr u Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
33 Vecteur nul - Opposé d un vecteur Ù Ù On l appelle le vecteur opposé de u et on le note bien sûr u Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
34 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l opposé du vecteur u qu on note u, c est à dire ( 1) u. Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3 u est en fait égal à u u u, et les additions de vecteurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que 3 u, c est ( u ) ( u ) ( u ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
35 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l opposé du vecteur u qu on note u, c est à dire ( 1) u. Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3 u est en fait égal à u u u, et les additions de vecteurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que 3 u, c est ( u ) ( u ) ( u ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
36 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l opposé du vecteur u qu on note u, c est à dire ( 1) u. Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3 u est en fait égal à u u u, et les additions de vecteurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que 3 u, c est ( u ) ( u ) ( u ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
37 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
38 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
39 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
40 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Produit d un vecteur par un nombre réel Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k 0, le sens contraire sinon; ayant pour norme k u si k 0 et k u sinon. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
41 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Ù ¼µ Ù Ù ¼µ Ce petit dessin résume les différents cas de figure. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
42 Vecteurs colinéaires Définition Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
43 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
44 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
45 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
46 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
47 Vecteurs colinéaires Définition Nous avons remarqué que u et k u avaient la même direction. Inversement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors on peut imaginer qu il existe un réel k tel que v k u. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le vecteur v donc v v u u a le même sens que v (car... la même direction que v (car... la même norme que v (car... u u, ce qui confirme notre supposition. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
48 Vecteurs colinéaires Définition Vecteurs colinéaires Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire : Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Remarque Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vecteurs COlinéaires partagent la même ligne... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
49 Vecteurs colinéaires Définition Vecteurs colinéaires Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire : Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Remarque Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vecteurs COlinéaires partagent la même ligne... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
50 Vecteurs colinéaires Définition Vecteurs colinéaires Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire : Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Remarque Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vecteurs COlinéaires partagent la même ligne... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
51 Vecteurs colinéaires Définition Ù Ú Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
52 Vecteurs colinéaires Définition Notre observation précédente va donc nous permettre d énoncer le théorème primordial suivant : Théorème Deux vecteurs u et v sont k tel que v k u colinéaires si, et seulement si, il existe un réel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
53 Vecteurs colinéaires Définition Attention! Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires et non pas de vecteurs parallèles! Deux droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun point en commun. On ne peut pas dire la même chose des vecteurs car les vecteurs...n ont pas de points! Ce sont des déplacements, pas des ensembles de points comme les droites. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
54 Vecteurs colinéaires Conséquences Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
55 Vecteurs colinéaires Conséquences Si on arrive à montrer que deux AB Si on arrive à montrer que deux vecteurs et AB CD sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. AC sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or, comme vous l avez remarqué, les droites (AB) et (AC) ont le point A en commun. Que pensez-vous de 2 droites parallèles ayant un point en commun? Elles sont bien sûr... 1 Et donc les points A, B et C appartiennent à une même droite : ils sont alignés. 1 D après un des axiomes d Euclide qui est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : «par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
56 Vecteurs colinéaires Conséquences Si on arrive à montrer que deux AB Si on arrive à montrer que deux vecteurs et AB CD sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. AC sont colinéaires, on pourra en déduire que les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or, comme vous l avez remarqué, les droites (AB) et (AC) ont le point A en commun. Que pensez-vous de 2 droites parallèles ayant un point en commun? Elles sont bien sûr... 1 Et donc les points A, B et C appartiennent à une même droite : ils sont alignés. 1 D après un des axiomes d Euclide qui est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : «par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule» Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
57 À retenir Vecteurs colinéaires Conséquences Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. Le problème va être d arriver à prouver que deux vecteurs sont colinéaires : il suffira de «penser BASE»... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
58 À retenir Vecteurs colinéaires Conséquences Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. Le problème va être d arriver à prouver que deux vecteurs sont colinéaires : il suffira de «penser BASE»... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
59 Base du plan vectoriel Euh.. le plan vectoriel, c est quoi? Disons que c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors que Définition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
60 Base du plan vectoriel Euh.. le plan vectoriel, c est quoi? Disons que c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors que Définition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
61 Base du plan vectoriel Euh.. le plan vectoriel, c est quoi? Disons que c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors que Définition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
62 Base du plan vectoriel Et on admettra le résultat primordial suivant : Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
63 Base du plan vectoriel Et on admettra le résultat primordial suivant : Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
64 Base du plan vectoriel Le secret tient dans le Ç dessin suivant : Ü Ø Ý Nous n irons pas plus loin pour l instant, mais nous retiendrons qu il sera utile d exprimer chaque vecteur d un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
65 Des exercices...basiques. Nous allons étudier toutes sortes d exercices qui nous fourniront autant d outils pour résoudre nos enigmes mathématiques... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
66 Des exercices...basiques. Ç «Voir»des égalités vectorielles Considérez avec la plus grande attention un parallèlogramme ABCD de centre O : donnez un maximum d égalités vectorielles. En particulier, trouvez des égalités vectorielles qui permettront de caractériser 2 le milieu d un segment. 2 C est à dire qui permettent de conclure que le point étudié est à coup sûr le milieu du segment étudié. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
67 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
68 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
69 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
70 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
71 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
72 Des exercices...basiques. Parallèlogrammes : et milieux que 2 AB MB 2 tels que AM 3 BN 3 Démontrez DP. BC 2 2 Nous allons ainsi pouvoir résoudre l exercice suivant : Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont CP 3 DQ 3 DA Déduisez-en que O est le milieu de [MP]. CD Démontrez de même que O est milieu de [QN]. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère MNPQ. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
73 È É Des exercices...basiques. Ç Æ Å Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
74 Des exercices...basiques. Construction de point 3 MA Exercice A et B sont deux points distincts du plan. On définit le point M par la relation vectorielle : MB 0. Exprimez de AM en fonction AB. Placez M. M «apparaît»deux fois dans l égalité : pour pouvoir le construire, il faudrait «partir»d un point connu et «suivre la flèche»jusqu en M grâce à des «indications»utilisant des mouvements entre points connus... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
75 Des exercices...basiques. Construction de point 3 MA Exercice A et B sont deux points distincts du plan. On définit le point M par la relation vectorielle : MB 0. Exprimez de AM en fonction AB. Placez M. M «apparaît»deux fois dans l égalité : pour pouvoir le construire, il faudrait «partir»d un point connu et «suivre la flèche»jusqu en M grâce à des «indications»utilisant des mouvements entre points connus... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
76 Des exercices...basiques. Construction de point 3 MA Exercice A et B sont deux points distincts du plan. On définit le point M par la relation vectorielle : MB 0. Exprimez de AM en fonction AB. Placez M. M «apparaît»deux fois dans l égalité : pour pouvoir le construire, il faudrait «partir»d un point connu et «suivre la flèche»jusqu en M grâce à des «indications»utilisant des mouvements entre points connus... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
77 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... Exercice ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AB]. E est le point tel que DE 2 3 DI. Compléter la figure suivante. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
78 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... Exercice ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AB]. E est le point tel que DE 2 3 DI. Compléter la figure suivante. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
79 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... et Exercice Il semble que A, E et C soient alignés. Nous voudrions le prouver. Pour cela, nous allons essayer de montrer que les vecteurs et AE AC sont colinéaires. Oui, mais comment? Pensons base! Il est assez naturel dans un parallélogramme de choisir AB AC comme vecteurs de base : ils sont bien connus et «représentent»les directions privilégiées du parallélogramme. Le problème, c est que E est «au milieu»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de Chasles et des données du texte, exprimez AE en n utilisant que des points «sur les bords»du parallélogramme. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
80 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... et Exercice Il semble que A, E et C soient alignés. Nous voudrions le prouver. Pour cela, nous allons essayer de montrer que les vecteurs et AE AC sont colinéaires. Oui, mais comment? Pensons base! Il est assez naturel dans un parallélogramme de choisir AB AC comme vecteurs de base : ils sont bien connus et «représentent»les directions privilégiées du parallélogramme. Le problème, c est que E est «au milieu»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de Chasles et des données du texte, exprimez AE en n utilisant que des points «sur les bords»du parallélogramme. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
81 Des exercices...basiques. Travailler dans une base pour montrer que des points sont alignés... et Exercice Il semble que A, E et C soient alignés. Nous voudrions le prouver. Pour cela, nous allons essayer de montrer que les vecteurs et AE AC sont colinéaires. Oui, mais comment? Pensons base! Il est assez naturel dans un parallélogramme de choisir AB AC comme vecteurs de base : ils sont bien connus et «représentent»les directions privilégiées du parallélogramme. Le problème, c est que E est «au milieu»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de Chasles et des données du texte, exprimez AE en n utilisant que des points «sur les bords»du parallélogramme. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
82 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
83 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
84 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
85 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
86 Des exercices...basiques. de de Exercice Déduisez-en une expression AE uniquement en fonction AB et AD, nos vecteurs de base. Exprimez également de et AC en fonction AB AD. Vous pouvez maintenant comparer et AE AC en fonction de vecteurs dignes de confiance et conclure... Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
87 Des exercices...basiques. Á Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
88 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
89 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
90 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
91 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
92 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
93 Des exercices...basiques.... et pour montrer que des droites sont parallèles. OP OA OC 2 Exercice ABC est un triangle et I est le milieu du segment [AC]. O est un point quelconque. On se propose de construire le point P tel que : OBº Justifier que OA OC 2 OI. Quelle relation lie alors OP et IB? Construire P. En déduire que (BI) et (OP) sont parallèles. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
94 Des exercices...basiques. Á Ç È Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
95 Dessin BF BE BG AC Des exercices...basiques. AC. AC. BA. Placer le point E tel Placer le point F tel que que Placer le point G tel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
96 Dessin BF BE BG AC Des exercices...basiques. AC. AC. BA. Placer le point E tel Placer le point F tel que que Placer le point G tel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
97 Dessin BF BE BG AC Des exercices...basiques. AC. AC. BA. Placer le point E tel Placer le point F tel que que Placer le point G tel Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
98 AC BD 2 Des exercices...basiques. AE BCº 2 AF 3 ACº Calcul vectoriel dans un parallélogramme. Soit ABCD un parallélogramme. Soit E le milieu de [BC] et F le milieu de [DC]. Montrer Montrer que Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
99 AC BD 2 Des exercices...basiques. AE BCº 2 AF 3 ACº Calcul vectoriel dans un parallélogramme. Soit ABCD un parallélogramme. Soit E le milieu de [BC] et F le milieu de [DC]. Montrer Montrer que Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
100 Des exercices...basiques. Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs et AB CD sont CAº Calcul «en aveugle» AC 2 7 CB 9 AB 3 DC CA 7 CB 5 colinéaires : BDº AD 0º AD 2 Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
101 Des exercices...basiques. Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs et AB CD sont CAº Calcul «en aveugle» AC 2 7 CB 9 AB 3 DC CA 7 CB 5 colinéaires : BDº AD 0º AD 2 Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
102 Des exercices...basiques. Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs et AB CD sont CAº Calcul «en aveugle» AC 2 7 CB 9 AB 3 DC CA 7 CB 5 colinéaires : BDº AD 0º AD 2 Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
103 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
104 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
105 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
106 Avec ou sans 3 vecteurs Soit ABC un triangle. AM 1 AB, Des exercices...basiques. CN 1 CA, NP 3 3 MN 1 AB 2 que 3 Construire les points M, N et P tels que : CP 1 BC. Montrer AC. On détaillera soigneusement les calculs. Montrer que MN. On détaillera soigneusement les calculs. Que peut-on en conclure? Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les propriétés de géométrie plane. Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
107 Des exercices...basiques. Å ÆÈ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
108 Des exercices...basiques. È Être ou ne pas être alignés... Les points P, Q et R sont-ils alignés? Ê É Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
109 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
110 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
111 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
112 Médianes PR Des exercices...basiques. AA¼ PQ en fonction de PI. MA¼ MB¼ MC¼ MA MB BB¼ CC¼. Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez : Exercice : ABC est un triangle quelconque. A¼, B¼et C¼sont les milieux respectifs de [BC], CA] et [AB]. Calculer la somme M est un point quelconque du plan. Montrer que : MCº Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
113 Vecteurs et repères du plan Repère Sommaire 1 Qu est-ce qu un vecteur du plan? 2 Somme de vecteurs 3 Vecteur nul - Opposé d un vecteur 4 Multiplication d un vecteur par un nombre réel 5 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 6 Base du plan vectoriel 7 Des exercices...basiques. 8 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
114 Vecteurs et repères du plan Repère Nous avons vu précédemment qu une base (formée de deux vecteurs non colinéaires) permettait d exprimer n importe quel vecteur en fonction des 2 vecteurs de base. Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
115 Vecteurs et repères du plan Repère Nous avons vu précédemment qu une base (formée de deux vecteurs non colinéaires) permettait d exprimer n importe quel vecteur en fonction des 2 vecteurs de base. Théorème Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur t sous la forme t x u y v avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de t dans la BASE ( u v ) Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
116 Vecteurs et repères du plan Repère Maintenant, pour repérer un point, on choisira une origine fixe et deux vecteurs de base. La clé du chapitre tient dans le dessin suivant : Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
117 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
118 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
119 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
120 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
121 Vecteurs et repères du plan Repère Å Ü Ýµ ÇÅ Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
122 Vecteurs et repères du plan Repère Ý Å Ü Ýµ ÇÅ Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
123 Vecteurs et repères du plan Repère coordonnées d un point dans un repère Théorème Dire que le point M a pour coordonnées (x y) dans le repère (O; ) signifie que OM x i y j On appelle x l abscisse de M et y son ordonnée Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
124 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Nous travaillons dans un repère (O i j ) et deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x A y A ) et (x B y B ). Comment traduire vectoriellement ces renseignements? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
125 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Nous travaillons dans un repère (O i j ) et deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x A y A ) et (x B y B ). Comment traduire vectoriellement ces renseignements? Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
126 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
127 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
128 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
129 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère A a pour coordonnées (x A y A ), donc par définition OA x A i y A j De même, on obtient pour B... OB x B i y B j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
130 Vecteurs et repères du plan Repère AB x AB i y Nous voudrions à présent obtenir les coordonnées x AB y ABðqui vérifient, d après notre définition AB j Coordonnées du vecteur AB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
131 Vecteurs et repères du plan Repère AB x AB i y Nous voudrions à présent obtenir les coordonnées x AB y ABðqui vérifient, d après notre définition AB j Coordonnées du vecteur AB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
132 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Le problème, c est de faire le lien entre et et AB OA OB. Mais oui! Bien sûr! Utilisons notre bonne vieille relation de Chasles! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
133 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Le problème, c est de faire le lien entre et et AB OA OB. Mais oui! Bien sûr! Utilisons notre bonne vieille relation de Chasles! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
134 Vecteurs et repères du plan Coordonnées du vecteur AB Repère Le problème, c est de faire le lien entre et et AB OA OB. Mais oui! Bien sûr! Utilisons notre bonne vieille relation de Chasles! Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
135 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
136 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
137 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
138 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
139 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
140 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
141 Vecteurs et repères du plan Repère En effet, AB AO OA Or AB x AB i y OB x A i y A j x B i y B j x A i y A j x B i y B j (x B x A ) i (y B y A ) j AB j Donc... Coordonnées du vecteur AB OB Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
142 Vecteurs et repères du plan Repère Coordonnées du vecteur AB Théorème Le vecteur AB a pour Ç Ý Ý coordonnées (x B x A y B y A ) Ü Ü µ Ý Ý µ Ü Ü Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
143 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
144 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
145 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
146 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
147 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
148 3 4 Vecteurs et repères du plan Repère u2 w9 Combinaison linéaire de vecteurs Supposons que nous travaillons dans un repère (O i j ) et que nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : On peut se demander quelles sont les coordonnées de 2 u w. Il suffit d utiliser notre base. u 2 i 3 j, donc 2 u 4 6 j w 9 i 4 j, donc w 9 i 4 j Finalement 2 u w 4 i 6 j 9 i 4 j 5 i 2 j On observe donc que, sur cet exemple, x y 2 u w 2x u x w 2 u w 2y u y w Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
149 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
150 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
151 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
152 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
153 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
154 Vecteurs et repères du plan Repère Combinaison linéaire de vecteurs y u y w a u b w a x u i y u jð b x w i y w jð ux u wx w ax u i ay u j bx w i by w j Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel vecteur et n importe quelle combinaison. Quelles sont les coordonnées du vecteur a u b w, avec a et b des nombres réels fixés. ax u bx wð i ay u by wð j Lycée Jean Perrin (2 nde 13) Décembre / 87
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Du Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Vecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même
AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Activités numériques [13 Points]
![Activités numériques [13 Points]](/thumbs/21/1117704.jpg "Activités numériques [13 Points]")
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
INFORMATIONS DIVERSES
Nom de l'adhérent : N d'adhérent :.. INFORMATIONS DIVERSES Rubrique Nom de la personne à contacter AD Date de début exercice N BA Date de fin exercice N BB Date d'arrêté provisoire BC DECLARATION RECTIFICATIVE
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Quelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-
Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Exercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Le seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Chapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Géométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES :
RAPPORT DAVID LANGLOIS-MALLET SOUS LA COORDINATION DE CORINNE RUFET, CONSEILLERE REGIONALE D ILE DE FRANCE L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : PROBLÉMATIQUES INDIVIDUELLES, SOLUTIONS COLLECTIVES? DE L ATELIER-LOGEMENT
Polynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire
Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire Stéphanie Demonchaux To cite this version: Stéphanie Demonchaux. Étude des formes de pratiques de la gymnastique
2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Deux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Limitations of the Playstation 3 for High Performance Cluster Computing
Introduction Plan Limitations of the Playstation 3 for High Performance Cluster Computing July 2007 Introduction Plan Introduction Intérêts de la PS3 : rapide et puissante bon marché L utiliser pour faire
Coefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Chapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Chapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Structures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Représentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..
1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé
CORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1
CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré
a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Exercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Livret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Constructions au compas seul, complément
Constructions au compas seul, complément Jean-Pierre Escofier et Jean-Michel Le Laouénan Nous ajoutons une ramification au chapitre V du livre Théorie de Galois, Jean-Pierre Escofier, Dunod, 2004 : quelques
Fonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008
Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008 Pondichéry avril 2007................................................. 3 Amérique du Nord juin 2007......................................... 7 Antilles
L ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Problème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Peut-on perdre sa dignité?
Peut-on perdre sa dignité? Eric Delassus To cite this version: Eric Delassus. Peut-on perdre sa dignité?. 2013. HAL Id: hal-00796705 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00796705 Submitted
Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
M2 20.00% 6.09 UN 20.00% 13.40 M 20.00% 10.11 M 20.00% 31.69 M 20.00% 21.79 M2 20.00% 95.51 UN 20.00% 222.62 UN 20.00% 292.91 UN 20.00% 444.
ou n identification fiscal pays hors CEE Aménagement de stand l Décoration DS01 Fourniture et pose de moquette type tapis aiguilleté (norme M3) M2 20.00% 6.09 DS02 Pose de tenture murale norme M1 M2 20.00%
Thème 17: Optimisation
OPTIMISATION 45 Thème 17: Optimisation Introduction : Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l aide d une formule contenant une fonction. Il peut s agir
Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
# $!%$!&$'(!(!()! $(! *)#%!"$'!+!%(!**&%',&-#.*!* /!01+'$*2333
!" # $!%$!&$'(!(!()! $(! *)#%!"$'!+!%(!**&%',&-#.*!* #$-*!%-!!*!%!#!+!%#'$ /!1+'$*2333 $!)! $(!*!" /4 5 $." 6 $-*(!% 6 '##$! $ 6 '##$! $ 6,'+%'! $ 6,'+%'! $ +!,'+%'! $ 65 %7- !""!# $ %! & '%! "!# (
SPECIFICATION DES ECHANGES DE DONNEES INFORMATISES (E.D.I.)
SPECIFICATION DES ECHANGES DE DONNEES INFORMATISES (E.D.I.) Dernière mise à jour : octobre 2013 Ce document a pour objectif de décrire ce que l OPCA (OPCA 3+) attend du fichier à transmettre par l adhérent.
Développer, factoriser pour résoudre
Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire
Note de cours. Introduction à Excel 2007
Note de cours Introduction à Excel 2007 par Armande Pinette Cégep du Vieux Montréal Excel 2007 Page: 2 de 47 Table des matières Comment aller chercher un document sur CVMVirtuel?... 8 Souris... 8 Clavier
Sylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure.
Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure Sylvain Meille To cite this version: Sylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa
Les assurances sociales en Suisse
Dimensions et enjeux / facteurs d influences des assurances sociales Introduction : Alain Berset souhaite bien cerner les perspectives et les enjeux actuels et futurs des assurances sociales, notamment
Exercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Sommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Calcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur
29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte
Probabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.