2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

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1 Bibliothèque d eercices Énoncés L Feuille n 4 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Fonctions circulaires inverses Eercice Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p. À quelle distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maimal? Eercice Démontrer les inégalités suivantes : Arcsin a > a a si 0 < a < ; Arctan a > a + a si a > 0. Eercice 3 Écrire sous forme d epression algébrique Eercice 4 Résoudre les équation suivantes : sin(arccos ), cos(arcsin ), sin(3 Arctan ). Arcsin = Arcsin 5 + Arcsin 3 5, Arccos = Arccos 3 4, Arctan = Arctan. Eercice 5 Vérifier Arcsin + Arccos = π, Arctan + Arctan = sgn()π. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses Eercice 6. Montrer qu il n eiste pas de fonction f : [; + [ R vérifiant : R, f(ch ) = e.. Déterminer toutes les fonctions f : R + R telles que : R, f(e ) = ch. Préciser le nombre de solutions. 3. Déterminer toutes les fonctions f : R + R telles que : R, f(e ) = ch. Préciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur R +?

2 Eercice 7 Calculer : lim e (ch 3 sh 3 ) et lim ( ln(ch )). Eercice 8 Les réels et y étant liés par ( ( y = ln tan + π )), 4 calculer ch, sh et th en fonction de y. Eercice 9 Résoudre l équation y = y où et y sont des entiers positifs non nuls.

3 Bibliothèque d eercices Indications L Feuille n 4 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication Faire un dessin. Remarquer que maimiser l angle d observation α revient à maimiser tan α. Puis calculer tan α en fonction de la distance et étudier cette fonction. Indication On pourra étudier les fonctions définies par la différence des deu termes de l inégalité. Indication 3 Il faut utiliser les identités trigonométriques classiques. Indication 4 On compose les équations par la bonne fonction, par eemple sinus pour la première. Indication 5 Faire une étude de fonction. Indication 6. Poser X = e.. Regarder ce qui se passe en deu valeurs opposées et. Indication 9 Montrer que l équation y fonction ln. = y est équivalente à ln = ln y, puis étudier la y

4 Bibliothèque d eercices Corrections L Feuille n 4 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Correction On note la distance de l observateur au pied de la statue. On note α l angle d observation de la statue seule, et β l angle d observation du piedestal seul. Nous avons le deu identités : tan(α + β) = p + s, tan β = p. En utilisante la relation tan(α + β) = tan α+tan β tan α tan β tan α = on obtient s + p(p + s). Maintenant l angle α [0, π [ et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maimiser α s est équivalent à maimiser tan α. Étudions la fonction f() = définie sur [0, + [. +p(p+s) Après calculs f ne s annule qu en 0 = p(p + s) qui donne le maimum de f (en 0 et + l angle est nul). Donc la distance optimiale de vision est 0 = p(p + s). En complément on peut calculer l angle maimum α 0 correspondant : par la relation tan α 0 = f( 0 ) = s, on obtient α 0 = arctan s. p(p+s) p(p+s) Correction. Soit f(a) = Arcsin a a a sur ]0, [, f (a) 0 (faite le calcul!) donc f est strictement croissante et f(0) = 0 donc f(a) > 0 pout tout a ]0, [.. g(a) = Arctan a a alors g (a) = +a = a > 0 Donc g est strictement +a +a (+a ) (+a ) croissante et g(0) = 0 donc g est strictement positive sur ]0, + [. Correction 3. sin y = cos y donc sin y = ± cos y. Donc sin arccos = ± cos arccos = ± et comme arccos 0 on a sin arccos = +.. De la même manière cos arcsin = On utilise + tan = = ce qui permet d avoir cos sin sin =. Ensuite +tan on calcule tan 3y en utilisant deu fois la formule de tan(a + b) on trouve tan 3y = 3 tan y (tan y) 3. Cela permet d avoir 3(tan y) sin(3 arctan ) = 4 ( + ). 3/ + Correction 4. En prenant le sinus de l équation Arcsin = Arcsin +Arcsin 3 on obtient 5 5 = sin(arcsin + Arcsin 3), donc = cos Arcsin cos Arcsin. En utilisant la formule cos arcsin = +. On obtient = = En prenant le cosinus de l équation Arccos = Arccos 3 4 on obtient = cos( Arccos 3 4 ) on utilise la formule cos u = cos u et on arrive à : = ( 3 4 ) = En prenant la tangente et à l aide de tan(a+b) = on obtient : = tan Arctan = 4 3.

5 Correction 5. Soit f la fonction sur [, ] définie par f() = Arcsin + Arccos alors f () = 0 pour ], [ donc f est une fonction constante sur [, ] (car continue au etrémités). Or f(0) = π donc pour tout [, ],f() = π.. Soit g() = Arctan + Arctan, la fonction est définie sur ], 0[ et sur ]0, + [. On a g () = 0 donc g est constante sur chacun des ses intervalle de définition. g() = c sur ], 0[ et g() = c sur ]0, + [. En calculant g() et g( ) on obtient c = π et c = + π. Correction 6. Si f eiste alors pour = on a f(ch ) = e et pour = on f(ch ) = f(ch ) = /e. Une fonction ne peut prendre deu valeurs différentes au même point (ici t = ch ).. Notons X = e, l équation devient f(x) = e + e = (X + X ). Comme la fonction eponentielle est une bijection de R sur ]0, + [, alors l unique façon de définir f sur ]0, + [ est par la formule f(t) = (t + t ). 3. Comme e est toujours non nul, alors f peut prendre n importe quelle valeur en 0. f(0) = c R et f(t) = (t + ) pour t > 0. Il y a une infinité de solutions. Mais aucune de ces t solutions n est continue car la limite de f(t) quand t > 0 et t 0 est +. Correction 7 Réponses :. + ;. ln. Correction 8 Soit = ln ( tan ( y + )) π 4.. ch = e + e = tan ( y + ) π 4 + tan( y + π 4 ) = sin ( y + ) ( π 4 cos y + ) = π 4 sin(y + π) = cos(y).. De même sh = tan y. 3. th = sin y. Correction 9 y = y e y ln = e ln y y ln = ln y ln = ln y y (la fonction eponentielle est bijective). Etudions la fonction f() = ln f () = ln > 0, sur [, + [. donc f est croissante sur [, e] et décroissante sur [e, + [. Donc pour z ]0, f(e) = /e[, l équation f() = z a eactement deu solutions, une dans ], e[ et une dans ]e, + [. Revenons à l équation y = y équivalente à f() = f(y). Prenons y un entier, si y = alors f(y) = z = 0 on doit donc résoude f() = 0 alors = ; si y = alors il faut résoudre l équation f() = ln ]0, /e[. Alors d après l étude précédente, il eiste deu solutions une

6 sur ]0, e[ qui est = (!) et une sur ]e, + [ qui est 4, en effet ln 4 = ln. Soit 4 = et 4 = 4. Si y 3 alors y > e donc il y a une solution de l équation g(y) = g(y) dans ]e, + qui = y, et une solution dans l intervalle ], e[. Mais comme est un entier alors =, cas que nous avons déjà étudié. Conclusion les couples d entiers qui vérifient l équation y = y sont les couples (, y = ) et les couples (, 4) et (4, ). 3