Devoir en temps libre

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1 Commentaires et erreurs fréquentes Deux circuits RLC Devoir en temps libre Si vous échelonnez P, la matrice obtenue n est plus P! Pour utiliser la formule de changement de base, il faut partir de la matrice P originelle Remarque: Si on échelonne au maximum, on arrive à I 4 car P est inversible (car c est la matrice d une base) En physique on peut utiliser l homogénéité pour repérer des erreurs Par exemple il est impossible d avoir R + L dans une case de matrice : R et L ne sont pas de même unité et ne peuvent donc pas être ajoutés Intégrale et prolongement par continuité question : Une fois calculé un développement limité, encore faut-il savoir ce qu on veut en faire! Pour montrer que f est prolongeable en 0, il faut montrer que f admet une limite finie en 0 f est bien définie car f est définie et continue sur [π/, 0] C est bien pourquoi on a fait un prolongement π/ par continuité L hypothèse de continuité est indispensable : par exemple la fonction i : x /x n est pas définie en 0 On /x si x > 0 pourrait la prolonger par n importe quel nombre, mettons 0 en posant ĩ : x Mais alors ĩ 0 si x = 0 n est pas continue, et donc ĩ n existe toujours pas 0 Juste pour vous embêter, l intégrale était prise sur un intervalle négatif Avez-bien pensé à utiliser x ln( x ) et x ln( sin(x) ) comme primitives? Suites à récurrence double Pour montrer qu une famille est base, le plus simple est souvent d écrire sa matrice dans la base canonique et d échelonner celle-ci Mais ( lorsque vous) affirmez que la matrice est échelonnée sans colonne nulle, il faut en être r sûr Par exemple la matrice est échelonnée (en lignes) à condition que r 0 r r r Deux circuits RLC On étudie le circuit électrique suivant Les deux résistances sont identiques, de même que les deux condensateurs On note R la résistance des résistances, C la capacité des condensateurs, et L l inductance de la bobine Pour tout instant t, on note q (t) la charge du premier condensateur, q (t) la charge du second condensateur On note également i (t) et i (t) les intensités indiquées sur le schéma i i À l instant initial (t = 0) le premier condensateur contient la charge q 0 (ie q (0) = q 0 ) L autre est vide (q (0) = 0) et les intensités dans le circuit sont nulles Toute notation supplémentaire devra être clairement définie

2 (pt) Soit t R Exprimer l intensité du courant dans chacune des trois branches à l instant t en fonction de et q (t) (,5pts) Vérifier que : t R +, q (t) + CRq (t) + CLq (t) + CLq (t) = 0 q (t) + CRq (t) + CLq (t) + CLq (t) = 0 R L 0 L /C (0,5pt) On pose A = C Vérifier que pour tout t R 0 L R L +, 0 0 /C 0 q (t) q q (t) (t) q = A (t) q (t) q (t) 4 (pt) On pose B = ( (, 0,, 0), (0,, 0, ), (, 0,, 0), (0,, 0, )) Vérifier qu il s agit d une base de R 4 5 (,5pts) On note P la matrice de passage de la base canonique vers B Calculer P et P 6 (pt) Soit φ L(R 4 ) l endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est A Calculer Mat B (φ) q (t) f (t) 7 (pt) On pose encore f = q + q et g = q q, de sorte que t R +, P q (t) f = (t) Démontrer que : q (t) g(t) g (t) t R +, 8 (0,5pt) Écrire les équation obtenues sur f et g f (t) R L 0 0 f (t) f (t) /C f = C (t) g(t) 0 0 R 0 g (t) g (t) 0 0 /C 0 g (t) 9 (pt) À quelle condition est-ce que l intensité présentera des oscillations? On suppose dans la suite qu on est dans cette situation 8LC R C 0 (pts) Déterminer f et g On pourra poser ω = 4LC (pt) En déduire q et q (,5pts) Vérifier que q (t) t q (t) Interprétation physique? Intégrale et prolongement par continuité On définit la fonction f : x cos(x) sin(x) x (0,5pt) L intégrale f (x)dx est-elle bien définie?

3 (,5pts) Démontrer que f peut être prolongée par continuité en 0 Indication: Mettre au même dénominateur Il est ensuite inutile de développer ce dénominateur : un DL du numérateur peut suffire On notera f la fonction ainsi prolongée 3 (0,5pt) Justifier que On notera I = f (x)dx f (x)dx est maintenant bien définie a 4 (,5pts) Démontrer que I = lim a 0 f (x)dx Indication: Soit F une primitive de f sur [, 0] Justifier que F est continue 5 (pt) Soit a R Calculer a f (x)dx sin(a) 6 (pt) Calculer lim a 0 a 7 (pt) Finalement, calculer I 3 Suites récurrentes doubles : point de vue matriciel On note K = R ou C On fixe (a, b) K, et une suite u K N vérifiant n N, u n+ = au n+ + bu n On rappelle que l équation suivante s appelle l équation caractéristique de u : Enfin, on définit l application f suivante : (Car) : r = ar + b, d inconnue r K f : R R (x, (ax + by, x) Le but est de trouver une formule pour calculer, pour tout n N, u n en fonction de n, u0, et u Ce sujet a déjà été traité en cours d année, et les résultats font partie du cours ; on propose ici de recommencer en utilisant le calcul matriciel Après la première partie ("interprétation matricielle"), on traitera au choix l une des deux parties suivantes ("cas où (Car) admet une racine", ou "cas où (Car) admet deux racines"), sachant que dans la première on donne plus d indications que dans la seconde (,5pts) (cours) Dans le cas où l équation caractéristique admet deux ou une racine(s), rappeler la forme qu aura u n 3 interprétation matricielle (0,5pt) Montrer que f est linéaire (0,5pt) Montrer que n N, (u n+, u n+ ) = f ((u n+, u n )) 3 (pt) Déterminer une matrice A M (K) telle que : n N, un+ = A u n+ un+ u n 3

4 4 (pt) Expliquer pourquoi il suffit de calculer les puissances de A pour obtenir une formule donnant u n en fonction de n Traiter à présent au choix l une des deux parties suivantes 3 ** Cas où l équation caractéristique admet une seule racine Dans cette partie, nous supposons que l équation caractéristique admet une seule racine, que nous notons r 0 a a ) (pt) Vérifier que r 0 = a/ et montrer que A = 4 0 ( ( x x ) (,5pts) Déterminer (x, R tel que (x, (0, 0) et A = r 0 x 3) (,5pts) On conserve (x, de la question précédente Déterminer (x, y ) R tel que (x, y ) (0, 0) et A y r 0 ( x y ) + ( x Dans la suite, on note u = (x, et v = (x, y ) les vecteurs trouvés 4) (pt) Comment se traduisent les égalités des deux question précédentes concernant f ( u) et f ( v)? 5) (0,5pt) Vérifier que ( u, v) est une base de R r0 6) (pt) Vérifier que Mat ( u, v) ( f ) = 0 r 0 n r0 7) (,5pts) Pour tout n N, calculer 0 r 0 On pose maintenant P la matrice de passage de la base canonique vers ( u, v) = 8) (pt) Démontrer que n N : un+ r n = P 0 nr0 n u n 0 r0 n P u u 0 9) (pt) Calculer P et P 0) Exemple : Soit u R N la suite telle que n N, u n+ = u n+ u n, u 0 = 0 et u = a) (0,5pt) Dans cet exemple, que valent a, b, A? b) (0,5pt) vérifier qu on est dans le cas où l équation caractéristique admet une seule solution, et préciser celle-ci c) (pt) Donner P et P, et calculer pour tout n N, u n en fonction de n 33 *** Cas où l équation caractéristique admet deux racines Dans cette partie, on suppose que (Car) admet deux racines distinctes, qu on note r et r ) Soit r K Démontrer : det(a ri ) = 0 r = ar + b ) Démontrer qu il existe ( u, u ) (R ) deux vecteurs non nuls tels que f ( u ) = r u et f ( u ) = r u On fixe de tels ( u, u ) dans la suite 4

5 3) Démontrer que ( u, u ) est une base de R 4) Donner Mat ( u, u )( f ) Dans la suite, on note P la matrice de passage de la base canonique vers la base ( u, u ) 5) Pour tout n N, exprimer A n en fonction de P, r, r et n 6) Exemple : Soit u R N la suite telle que u 0 =, u = et n N, u n+ = u n+ + u n Déterminer pour tout n N, u n en fonction de n 5