Produit scalaire dans l espace-equations de plans et de droites

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1 Mme Morel-TS 1 Produit scalaire dans l espace-equations de plans et de droites 1 Produit scalaire dans l espace 1.1 Définition Définition Dasn l espace, une unité de longueur étant choisie, le produit scalaire des vecteurs u et v est défini par : u. v = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ) Remarque : Cette définition prolonge la dafinition du produit scalaire dans le plan. C est normal, car deux vecteurs sont toujours coplanaires. Donc toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane sont encore valables dans l espace. Conséquences : 1. u = u 2 2. v = v. u 3. pour tout α réel, (α u ). v = α( v ) 4. u + v 2 = u 2 + v v 5. v = { u v cos( u ; v ) 1.2 Formules Théorème 1.1. Expression analytique du produit scalaire Si, dans un repère orthonormal, u et v ont pour coordonnées respectives (x; y; z) et (x ; y ; z ) alors : v = xx + yy + zz Démonstration : On est dans un repère orthonormal, donc : u 2 = x 2 + y 2 + z 2, v 2 = x 2 + y 2 + z 2 et u + v 2 = (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2. Donc, en utilisant la définition : v = Théorème 1.2. Bilinéarité du produit scalaire Quels que soient les vecteurs u, v et w, on a : Démonstration : Utiliser les coordonnées. ( v + w ) = v + w

2 Mme Morel-TS Orthogonalité dans l espace Définition Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire v est nul Attention : l un des deux vecteurs peut être nul, puisque le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs. On déduit alors les propriétés suivantes : Théorème Orthogonalité de deux droites : Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales si et seulement si v = 0 2. Orthogonalité d une droite et d un plan : Soit D une droite de vecteur directeur u et soit P un plan. Les propositions suivantes sont équivalentes : (a) D est orthogonale à P (b) pour tous points M et N de P, MN = 0 (c) pour tout couple ( v ; w ) de vecteurs directeurs de P, on a : v = w = 0 Démonsration : Ce théorème traduit en terme de produit scalaire les propriétés d orthogonalité dans l espace vues en première. Exemple : Soit d une droite contenue dans un plan P. Soit A un point extérieur à P. A se projette orthogonalement en B sur P et B se projette orthogonalement en C sur d. Montrer que (AC) et d sont perpendiculaires. Soit u un vecteur directeur de d. Démontrons que AC. u = 0. AC se projette orthogonalement sur BC sur le plan P, donc :. Donc (AC) et d sont perpendiculaires. AC. u = BC. u = 0 2 Equation d un plan dans l espace 2.1 Vecteur normal Définition Soit P un plan. Dire que le vecteur AB non nul est normal au plan P signifie que la droite (AB) est prependiculaire à P. Un vecteur normal à P est donc un vecteur non nul n dont la direction est orthogonale à P. Théorème Soit A un point et soit n un vecteur non nul. L ensemble des points M de l espace tels que AM. n = 0 est un plan (contenant A). 2. Réciproquement, soit P un plan. Quels que soient les points A de P et le vecteur normal n de P, P est l ensemble des points M tels AM. n = 0. On dit que P est le plan passant par A et de vecteur normal n.

3 Mme Morel-TS 3 Démonstration : Tout repose sur l assertion suivante : n est normal à P revient à dire que P est orthogonal à toute droite de vecteur directeur n. Soit alors d une de ces droites. Alors: AM. n = 0 M = A ou M A et (AM) d M appartient au plan passant par A et orthogonal à d La première propriété est donc montrée. Pour la seconde : soit d est une droite de vecteur directeur n. Alors d est orthogonale à P. Quel que soit le point A de P, P est donc l ensemble des points M tels que la droite (AM) est perpendiculaire à d. Donc AM. n = Premières conséquences 1. Comment traduire vectoriellement l orthogonalité d une droite et d un plan : Si un vecteur directeur u d une droite d est orthogonal à un couple ( v ; w ) de vecteurs non colinéaires d un plan P, alors d est perpendiculaire à P. 2. Déterminer la position relative de deux plans P et Q : Soit n 1 un vecteur normal à P et n 2 un vecteur normal de Q. Si n 1 et n 2 sont colinéaires alors P et Q sont parallèles, sinon ils sont sécants. Si n 1 et n 2 sont orthogonaux alors P et Q sont perpendiculaires et réciproquement. 2.3 Equation cartésienne d un plan Soit un point A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) et soit n (a; b; c) un vecteur non nul. Le plan passant par A et de vecteur normal n est l ensemble des points M(x; y; z) tels que AN. n = 0 c est-à-dire : a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 ou encore ax+by+cz+d = 0 avec d = (ax 0 +by 0 +cz 0 ) et a, b ou c non nul. Réciproquement, étant donnés trois réels a, b et c, dont l un au moins est non nul, on considère l ensemble P des points M(x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0. Soit A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) un point de P. On a alors : ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0. Donc ax + by + cz = 0 a(x x 0 ) + b(y y o ) + c(z z o ) = 0. Donc M(x; y; z) P AM. n = 0. On a donc montré le théorème suivant : Théorème 2.2. Soit n (a; b; c) un vecteur non nul. Les plans orthogonaux à n sont les plans dont une équation cartéienne est de la forme : ax+by+cz+d = 0. Conséquence : Si P a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 alors le vecteur n (a; b; c) est normal à P. Exemple : Le plan (xoy) est le plan passant par O et de vecteur normal équation cartésienne est : z = 0. Conséquences : k (0; 0; 1). Donc son On a vu que deux plans sont perpendiculaires lorsqu un vecteur normal de l un est orthogonal à un vecteur normal de l autre. Donc P : ax+by+cz+d = 0 est orthogonal à Q : a x+b y+c z+d = 0 si et seulement si : aa + bb + cc = 0

4 Mme Morel-TS 4 On a vu que deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normauxsont colinéaires. Donc P : ax + by + cz + d = 0 est parallèle à Q : a x + b y + c z + d = 0 si et seulement si (a, b, c) et (a ; b ; c ) sont proportionnels. Exemples : Dans les trois cas suivants, préciser la position relative des plans considérés. 1. P : x 4y + 7 = 0, Q : x + 2y z + 1 = 0 2. P : x 2y + 3z 1 = 0, Q : 2x 4y + 6z = 0 3. P : 2x + y z + 1 = 0, Q : x + 2y + 4z 5 = 0 1. pas proportionnels donc sécants; pas perpendicualires. 2. parallèles. 3. orthogonaux. 2.4 Distances Théorème 2.3. Dans un repère orthonormal, la distance d un point A(α; β; γ) au plan P d équation aα + bβ + cγ + d AH. n ax + by + cz + d = 0 est = a 2 + b 2 + c 2 avec n vecteur normal à P et H projeté n orthogonal de A sur P. 3 Equations de droites Voir feuille barycentres On peut aussi trouver l équation d une droite en disant que c et l intersection de deux plans (équation cartésienne) : voir après. 4 Intersections Dans tout ce paragraphe, l espace est muni d un repère orthonormal (O, i, j ). 4.1 Intersection de deux plans Soient P 1 et P 2 deux plans d équations : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 et a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. En comparant les vecteurs normaux de P 1 et P 2, on déduit si les plans sont : strictment parallèles confondus sécants (en particulier orthogonaux) Donc l intersection de deux plans est soit l ensemble vide, soit un plan, soit une droite d équation : { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

5 Mme Morel-TS Intersection d un plan et d une droite Soit P le plan d équation ax + by + cz + d = 0 et soit d la droite de vecteur directeur u (α, β, γ) et passant par le point A(x 0 ; y 0 ; z 0 ). Le plan P aa pour vecteur normal n (a; b; c). Si n et u sont orthogonaux alors d est parallèle à P. Si de plus P et d ont un point commun, alors d est incluse dans P ne sont pas orthogonaux alors d et P sont sécants. On peut aussi résoudre ces problèmes d intersection algébriquement : si d coupe P, les coordonnées de leur point d intersection sont les triplet (x; y; z) tel que : Si le système admet : x = αt + x 0 y = βt + y 0 z = γt + z 0 ax + by + cz + d = 0 une infinité de solutions, alors d est incluse dans P : les solutions du système sont représentées par les points de d; aucune solution alors P et d sont parallèles; une unique solution alors P et d sont sécants en un point. 4.3 Intersection de trois plans Soient P 1, P 2 et P 3 trois plans distincts. Pour étudier l intersection de ces trois plans, 1. on commence par étudier P 1 P 2 2. puis on étudie l intersection de P 3 avec P 1 P 2. Il peut donc y avoir : voir feuille dessins On peut aussi étudier cette intersection algébriquement. Les plans ont pour éuqation respective a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + L étude de l intersection de trois plans revient à résoudre le système linéaire de trois équaitons à trois inconnues : Si le système a : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 = 0 aucune solution alors les plans n ont pas de point commun; une unique solution alors les plans ont un unique point commun; une infinité de solutions définies par deux équtions, alors les plans sont sécants selon une droite; uen infinité de solutions définies par une unuique équation, alors les trois plans sont confondus.