ROC (Restitution organisée des connaissances)

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1 TS 2015/2016 Les Suites ROC (Restitution organisée des connaissances) ROC N 1:Théorèmes de comparaison Théorèmes de comparaison Soit trois suites, et. L désigne un nombre réel. Si à partir d un certain rang, on a : et si = + alors = +. et si = - alors = -. Pré-requis : Définition de la limite infinie d une suite Preuve: Seule la preuve du théorème de comparaison en + est exigible. On sait que = +, donc pour tout nombre réel A, il existe un entier tel que si n, alors ]A ; + [. De plus, à partir d un rang p. Notons N le plus grand des deux entiers et p. A partir de l indice N, l intervalle ]A ; + [ contient tous les termes donc à fortiori tous les termes. On a donc bien = +. ROC N 2 : Théorème : Si une suite ( est croissante et non majorée alors elle diverge vers +. Si une suite ( est décroissante et non minorée alors elle diverge vers -. Pré-requis : Définition d une suite non majorée Preuve : Seule la preuve de la première propriété est exigible. Soit donc une suite ( croissante et non majorée. La suite ( n est pas majorée, donc pour tout intervalle ] A ;+ [, il existe un entier naturel N tel que ] A ;+ [. La suite ( est croissante, donc : n > N, >. Par conséquent, n > N, ] A ;+ [. Ainsi, pour tout intervalle ] A ;+ dans l intervalle ]A ;+ [. [, il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite ( ) sont Donc, la suite ( diverge vers +. Page 1 sur 7

2 ROC N 3 : Inégalité de Bernoulli Soit un nombre réel a strictement positif. Pour tout entier naturel n, on a : 1 a n 1 na Preuve : On démontre par récurrence. - Initialisation :La propriété est vraie pour n = 0. En effet, d une part 1 a 0 1 et d autre part 1 0 a 1 - Hérédité : Supposons qu'il existe un entier naturel n quelconque fixé n 0, tel que la propriété soit vraie c est-à-dire tel que: 1 + na (Hypothèse de récurrence). Montrons que la propriété est vraie au rang n +1,c est-à-dire montrons que 1+ (n+1) a. = (1+a) Donc, (1 + na) (1 + a) car d'après l'hypothèse de récurrence 1 + na. Or, (1 + na) (1 + a) = 1 + na + a + n = 1 + (n +1)a + n et, n 0 donc, 1 + (n +1) a + n 1 +(n +1) a Par conséquent, on a bien établi que : 1 + (n+1)a. -Conclusion : La propriété est vraie au rang n = 0 et est héréditaire, donc d après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. L inégalité de Bernoulli est donc établie. ROC N 4 : Limite de ( Théorème : Soit q un nombre réel.on a les limites suivantes : Si q > 1 alors = + Si -1< q < 1 alors = 0 Si q - 1 alors n existe pas et si q = 1 alors = 1. Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en +. Preuve : Seule la preuve de la première limite est exigible q>1 donc il existe a > 0 tel que q=1+a. D après l inégalité de Bernoulli, on a : a > 0, 1 + na Donc on a 1 + na Comme a > 0, on a lim (1 na) n Ainsi, d après le théorème de comparaison on a : lim q Conditionnement et indépendance n n Page 2 sur 7

3 ROC N 5 : Evénements indépendants Propriété : Si A et B sont deux événements indépendants alors et B le sont aussi. Pré-requis : Pour tout évènement A de Ω, A = Ω et A =. On dit que A et forment une partition de l univers Ω. Pour tout évènement B, P(B) = P(B A) + P(B ). Preuve : Pour tout évènement B, B = B Ω ; Or, Ω = A donc B = B (A ) = (B A) (B ) avec (B A) et (B ) deux évènements disjoints. Ainsi, P(B) = P((B A) (B )) = P(B A) + P(B ). Démontrons que P( B) = P( ) P(B) : A et forment une partition de l univers Ω, donc : P(B) = P( B A) + P(B ). Or, A et B sont indépendants, donc : P( B A) = P(B) P(A). On a donc : P(B) = P(B) P(A) + P(B ) P(B ) = P(B) - P(B) P(A) = P(B) (1 P(A)) = P(B) P( ). Donc, A et B sont indépendants. Fonction Exponentielle ROC N 6 : Unicité de la fonction exponentielle Théorème 1 : Il existe une et une seule fonction f définie et dérivable sur R telle que : f = f et f(0) = 1. L existence d une telle fonction est admise. Seule l unicité est à démontrer. Démontrons qu il existe une seule fonction vérifiant ces conditions. Pour cela, on montre d abord qu une telle fonction ne peut pas s annuler. Soit donc f une fonction définie et dérivable sur R telle que f = f et f(0) = 1. On considère la fonction h définie sur R par h(x) = f(x) f(-x). La fonction h est le produit de deux fonctions dérivables sur R donc h est aussi dérivable sur R et, x R on a : h (x) = f (x) f(-x) + f(x) -f (-x) = f (x) f(-x) - f(x) f (-x). Comme f = f, on obtient h (x) = f (x) f(-x) - f(x) f (-x) = 0. La dérivée de la fonction h est nulle pour tout réel x donc la fonction h est une fonction constante sur R. Pour déterminer sa valeur, on utilise la condition f(0) =1, ce qui donne : Pour tout réel x, h(x) = h(0) = f(0) f(-0) = 1, donc x R, h(x) =1. Ainsi, pour tout réel x, le produit f(x) f(-x) est égal à 1 ; il ne s annule pas par conséquent f (x) n est jamais nul. Ainsi la fonction f ne s annule pas sur R. Page 3 sur 7

4 Démontrons l'unicité de la fonction f définie et dérivable sur R telle que f = f et f(0) = 1 : Pour montrer l unicité de la fonction f, nous allons considérer deux fonctions, f et g, vérifiant les conditions fixées, et nous allons montrer que ces deux fonctions sont nécessairement égales. Supposons donc qu'il existe une autre fonction notée g définie et dérivable sur R telle que g' g et g(0) 1. On définit sur R la fonction k en posant k(x) = ; (ce qui est possible puisque la fonction f ne s annule pas.) La fonction k est définie R, de plus k est dérivable sur R comme quotient de deux fonctions dérivables sur R et pour tout réel x : k (x) = = = 0 car f = f et g = g. La dérivée de la fonction k est nulle pour tout réel x donc la fonction k est une fonction constante sur R. Pour tout réel x, k(x) = k(0) = = 1, car g(0) = f(0) =1 donc x R, k(x) =1. Ainsi, pour tout réel x, le produit est égal à 1 Par conséquent, pour tout réel x, f (x) g(x). Les fonctions f et g sont donc égales, ce qui prouve l unicité de la fonction du théorème. ROC N 7 : Limites aux bornes de la fonction exp Propriété : = + et = 0. Preuve ; Pour démontrer que = +, on compare à x sur l intervalle [0 ;+ [: On définit la fonction g en posant g(x) e x x pour tout réel x positif. La fonction g est dérivable sur [0 ;+ [et pour tout réel x positif, g (x)= - 1 = -. Pour tout x de [0 ;+ [, on a car la fonction exponentielle est croissante sur, donc g (x) 0. On en déduit que la fonction g est croissante sur 0;. Ainsi, pour x 0, g(x) g(0) soit g(x) 1 puisque g(0) 1. Pour tout x positif, g(x) 1, donc - x 1, soit e x x +1 x. D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que lim e x car lim x. En -, on raisonne en se ramenant à la limite précédente par composition en remarquant que =. Calculons : La fonction x est la composée des fonctions x -x et X. Or, = + et = + donc = +. Et pr t rs =.= 0. Page 4 sur 7

5 Fonction Ln ROC N 8 : Relation fonctionnelle Propriété : Pour tous réels a, b strictement positifs ln (a b ) = ln a + ln b Preuve : On note A = ln (ab) et B = lna +lnb e A =.=.. et e B = = =... donc e A =.d où..soit... ROC N 9 : Limites aux bornes de la fonction ln Propriété : (1) lim ln x Preuve : (1) Pré requis : = + + et (2) lim x 0 + ln x = - Pour tout réel M> 0, x st ré t q, po r to t ré x, on a f x M. Preuve : Montrons que lim ln x + Pour tout M > 0, ln x > M équivaut à x >. Ainsi, pour tout réel M > 0, il existe A = e M tel que, pour tout réel x > A, on a ln x > M. Ce qui démontre donc que lim ln x +. (2) Pré requis : lim ln x + Preuve : Montrons que lim x 0 + ln x = - Pour x > 0, posons X = 1 x. On a alors ln x = ln ( 1 ) = - ln X. X Or, = + et = - d où par composition lim x 0 + ln x = - ROC N 10 : Limites Page 5 sur 7

6 Propriété : ln(1 x) lim 1 x 0 x Pré requis : f est dérivable en = f (. Preuve : La fonction f= ln est dérivable en 1 et f (1) =.. car f (x) =(lnx) =. Donc, par définition du nombre dérivé de la fonction ln en 1 : =.. ROC N 11 : Limites : Croissances comparées de la fonction ln et des fonctions puissances Propriété : 1) ln x lim 0 et 2) x x lim xln x 0 x 0 1) Pré requis : = +. Preuve: On pose pour x > 0, X= ln x. On a alors x = e X et ln x x = = + D où, par composition = 0. = = 0 2) Pré requis : = 0. Preuve : De manière analogue, on pose pour x > 0, X= ln x. Alors x = e X et x ln x = Xe X. Or, = - et = 0 d où par composition = 0. Page 6 sur 7

7 Géométrie dans l espace ROC N 12 : Le Théorème du toit. Théorème du toit : (d ) et (d ) sont deux droites parallèles, (P) et (Q) sont deux plans distincts (non confondus) tels que (d) est contenue dans (P) et (d ) est contenue dans (Q). Si (P) et (Q) sont sécants, alors la droite d intersection est parallèle à (d) et (d ). Démonstration par l absurde : On note un vecteur directeur de la droite et un vecteur directeur commun aux droites (d) et (d ) ( commun car (d) // (d )). Supposons que la droite n est pas parallèle aux droites (d) // (d ) : Alors les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Ce sont donc deux vecteurs directeurs communs aux plans (P) et (Q). Les deux plans étant dirigés par un même couple de vecteurs directeurs sont donc parallèles, ce qui contredit l hypothèse réalisée dans l énoncé du théorème, c est-à-dire que les deux plans sont non confondus et sécants. Conclusion : La droite est parallèle aux droites (d) // (d ). Trigonométrie ROC N 13 : Calcul de limites Propriétés : = 1 et = 0. Pré requis : f est dérivable en = f (. Preuve :. Page 7 sur 7