Devoir n 10 - Suites - 1S

Transcription

1 Devoir n 0 - Suites - S 2 mai h30 Exercice (3 pts) :. ( ) est une suite géométrique de premier terme et de raison telle que 486 et Déterminer et. On a une suite géométrique de raison et de terme. D après le cours, on a : Ce qui donne : / ou 3 Remarque : On a deux valeurs possibles pour la raison Pour Pour 3, 2 2. Calculer la somme + en justifiant.!! Nous remarquons, qu on a une suite géométrique. Soit ( ), cette suite géométrique de premier terme /3 et de raison /3. D après le cours, on a la somme : #$%&'%$ (%$&% )*+,-./ On va tout d abord déterminer le nombre de terme. Or on sait que : 2&3$% 4% (%$&% '4'5% 4 6$%&'%$ (%$&%+'4'5% 4%$%$ (%$&% + Pour cela, nous cherchons l indice du dernier terme (Rem : on connait le premier terme, donc son indice est 0 ). On sait que 7 8 () On a le dernier terme!! (2) La relation () et (2) nous donne : : 656

2 Donc, on a : 9 3 : : ( 3) 287 ( 3) &3$% 4% (%$&% () () : Exercice 2 (4 pts) : Etudier les variations des suites suivantes :. ( ) définie par > Calculons B : pour N 2 B 2(B) + 2 B (2 2) 2 (+) + B 2 (2 (+)) + B 2 ( ) + Pour N, on a 2 >0, +>0 et 0. Donc B 0 B D où la suite ( ) est croissante pour N. 2 ( ) +

3 2. ( ) définie par pour N. Pour N Posons F() avec F(G)2G 30G +54G F est une fonction définie et dérivable sur [0;+ [, donc on a : F K (G)6G 60G+546(G 0G+9)6(G )(G 9) On obtient le tableau de variation ci-dessous. G F (G) F(G) Exercice 3 (8 pts) : Une association décide d ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le janvier 203 avec 5 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40% des oiseaux présents dans le centre au janvier d une année restent présents le janvier suivant et que 20 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s intéresse au nombre d oiseaux présents dans le centre au janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite ( ) admettant pour premier terme 5, le terme donnant une estimation du nombre d oiseaux l année Calculer et. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats? 5 nombre d oiseaux le 0/0/203 N nombre d oiseaux le 0/0/204 N ,4 86 nombre d oiseaux le 0/0/20( Il faut arrondir, puisqu on parle de nombre d oiseux)

4 2. Les spécialistes déterminent le nombre d oiseaux présents dans le centre au janvier de chaque année à l aide d un algorithme. a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le nombre d oiseaux présents au janvier de l année Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. Algorithme : Q0,6 Q+20 Multiplier Q par 0,6 correspond à prendre 60% des oiseaux. Algorithme 2 : Q0,4 Q+4 Additionner 0,4 Q avec 5 montre qu il faut 5 nouveaux oiseaux chaque année, alors que c est 20. Et en plus, «Affecter 5 à Q» doit être l extérieur de la boucle. algorithme Variables : Q est un nombre réel ' et U sont des nombres entiers algorithme 2 Variables : Q est un nombre réel ' et U sont des nombres entiers algorithme Variables : Q est un nombre réel ' et U sont des nombres entiers Début : Saisir une valeur pour U Affecter 5 à Q Pour ' de à U faire Affecter 0,6 Q+20 à Q Fin Pour Afficher Q Fin Début : Saisir une valeur pour U Pour ' de à U faire Affecter 5 à Q Affecter 0,4 Q+5 à Q Fin Pour Afficher Q Fin b) Donner, pour tout entier naturel, l expression de B en fonction de. Pour tout N, on a : 20 R 2 B 0, Début : Saisir une valeur pour U Affecter 5 à Q Pour ' de à U faire Affecter 0,4 Q+20 à Q Fin Pour Afficher Q Fin 3. On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel par 200. a) Montrer que ( ) est une suite géométrique de raison 0,4. Pour tout N, on a : 200

5 Calculons B. B B 200 B 0, B 0,4 80 B 0,4( 200) B 0,4 B 0,4 Donc ( ) est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme b) Exprimer, pour tout entier naturel, en fonction de. 85 0,4 c) En déduire que pour tout entier naturel, ,4. Pour tout N,on sait que: , d) Déterminer la limite de la suite ( ). On sait que <<, donc Par produit et somme, on La suite ( ) converge vers 200. lim [ 0,4 0 lim 200 [

6 e) La capacité d accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant? Justifier la réponse. Nous allons voir si la suite ( ) est majorée par un réel M. 85 0, On sait 85 0,4 >0 85 0,4 < ,4 <200 <200 D où la capacité de 200 oiseaux est suffisante. f) Comment transformer l algorithme pour qu il affiche le plus petit entier tel que > A l aide de la calculatrice, déterminer cet entier. Variables : Q est un nombre réel ' et U sont des nombres entiers Début : Saisir une valeur pour U Affecter 5 à Q Tant que Q 99,99 faire Affecter 0,4 Q+20 à Q Affecter U+ à U Fin Tant que Afficher U Fin Avec la calculatrice, on obtient : <99,99 et <99,99 Donc 0, correspondant au janvier 2023.

7 4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au janvier. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le janvier 203 et le 3 décembre 208 si l on suppose que l évolution du nombre d oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 208 correpond à 203+5, donc le dernier terme est Nous allons calculer tout d abord le nombre d oiseaux dans le centre en N ,4+94,56+97,82+99,2 058,9 059 Entre le janvier 203 et le 3 décembre 208, il y aura 059 oiseaux présents dans le centre. Le montant total des subventions est : Soit une subvention total de 280 Exercice 4 (5 pts) : Soit () une suite définie sur N par et B ^>. B ^>. Calculer et : la suite ( ) est-elle arithmétique? géométrique? / Nous allons d abord voir si la suite ( ) est arithmétique? , donc ( ) n est pas arithmétique Essayons maintenant de voir si la suite ( ) est géométrique? ^` ^b ^a ^`, donc ( ) n est pas géométrique D où la suite ( ) n est ni arithmétique ni géométrique

8 2. On suppose que pour tout entier, on a 0, et on définit la suite ( ) par a) Montrer que la suite ( ) est arithmétique et préciser sa raison. B B + B B B B B + 3 B + 3 B +3 ^> +. B 9 +:+2 B +2 B 2 D où la suite ( ) est arithmétique de raison $2 et de premier terme ^a + / + 3 b) Donner l expression de en fonction de n, et en déduire l expression de en fonction de n. + $ 3+2 Et, on sait que :

9 3. Etudier la monotonie de la suite ( ). Posons F() avec F(G) +2G F(G) est définie et dérivable sur [0;+ [,425, F K (G) 0 (+2G) 2 (+2G) F K 2 (G) (+2G) Pour tout G [0 ;+ [,, F K (G)<0, alors f est décroissante. D où, pour N, la suite ( ) est décroissante. 4. Montrer que pour tout N, on a 0 <. Pour tout N >0 Donc la suite ( B ) est minorée par 0 On sait que >0 2>0 2+2>2 B < < Donc la suite ( )est majorée par. Or, on sait que >/2, donc D où 0 <. Attention : ici, nous allons changer le sens de l inégalité.