Systèmes dynamiques. Luc Pastur. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

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1 Systèmes dynamiques Luc Pastur Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

2 La découverte du Chaos Edward Lorenz Conférence AAAS, 1972 Predictability: Does the Flap of a Butterfly s Wing in Brazil Set off a Tornado in Texas? Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

3 Un précurseur illustre Henri Poincaré Calcul des Probabilités, 1912 Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

4 La fin du déterminisme? Pierre Simon de Laplace Essai philosophique sur les probabilités, 1820 Nous devons donc envisager l état présent de l univers comme l effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné conna^ıtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des ^etres qui la composent, si d ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l analyse, embrasserait dans la m^eme formule les mouvements des plus grands corps de l univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l avenir comme le passé serait présent à ses yeux. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

5 Systèmes dynamiques Les systèmes qui nous intéressent peuvent se mettre sous la forme Ẋ = f(x; t, ν) X représente l état du système f fonction vectorielle de X, en général non-linéaire f ne dépend, explicitement ou implicitement, que du temps, pas de l espace Les propriétés du système varient avec ν, en général continûment, parfois brutalement Concerne les systèmes conservatifs ou dissipatifs Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

6 Plan du chapitre 1 Description des systèmes dynamiques 2 Points fixes 3 Flot 4 Systèmes dissipatifs 5 Attracteurs 6 Fonction de Lyapunov Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

7 Description Définition d un système dynamique ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x N ; t, ν) ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x N ; t, ν)... ẋ N = f N (x 1, x 2,..., x N ; t, ν) i.e. Ẋ = f(x; t, ν), X U R N ν V R p (1) Un exemple : le pendule simple Mise en équation θ + ω 2 0 sin θ = 0 g O θ l m Mise sous la forme (1) { ẋ = y ẏ = ω0 2 sin x ( x X = y N = 2, ) ( θ θ ν = l ), Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

8 Espace des phases Description y x Quelques remarques L état du système, à un instant t, est représenté par un point (extrémité du vecteur d état X) Au cours du temps, le point décrit une ligne courbe : la trajectoire du système, ou orbite f(x) représente le vecteur vitesse dans l espace des phases ; il est donc tangent en tout point à la trajectoire le déterminisme de la dynamique interdit à la trajectoire de repasser deux fois par le même point Un système décrit par une équation différentielle de degré n peut s écrire comme un système de n équations différentielles de degré 1. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

9 Description Effets des non-linéarités Couplage d oscillateurs harmoniques K k K m m { mẍ1 + Kx 1 + k(x 1 x 2 ) = 0 mẍ 2 + Kx 2 + k(x 2 x 1 ) = 0 Changement de variable X = x 1 + x 2, Y = x 1 x 2 Modes propres d oscillation { mẍ + KX = 0 mÿ + (K + 2k)Y = 0 Régime (quasi) périodique { ω 2 X = K/m ωy 2 = (K + 2k)/m Couplage d oscillateurs non-linéaires Exemples d oscillateurs non-linéaires ẍ + ω 2 0 sin x = 0 ẍ + ω 2 0 ) (x x3 = 0 3 ẍ ɛω 0 (1 x 2 )ẋ + ω 2 0 x = 0 Selon le couplage Synchronisation 1 fréquence Quasi-périodicité 2 fréquences Régime complexe de fréquences Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

10 Description Quelques portraits de phase Dynamique périodique Cas de l oscillateur harmonique Dynamique sur un tore Système de deux oscillateurs harmoniques H = 1 2 (p2 + ω 2 0 q2 ) H = 1 2 (p2 1 + ω2 1 q2 1 ) (p2 2 + ω2 2 q2 2 ) p Formulation angle-action { φ1 = ω 1 φ 2 = ω 2 { J1 = 0 J 2 = 0 O ϕ = ω 0 t q Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

11 Description Dynamique sur le tore T 2 Régime périodique ω 1 ω 2 = p q ω 2 Régime quasi-périodique ω 1 ω 2 p q ω 1 ω2t 2π 0 ω 1 t 2π Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

12 Systèmes autonomes Description Définition Lorsque le champ de vecteur f(x, t), de classe C r, dépend explicitement du temps, le système est dit non-autonome. Sinon il est autonome. Dans un système autonome, l orbite X(X 0, t) ne dépend pas du temps initial t 0 ; elle en dépend dans un système non-autonome. Exemple : le pendule forcé { ẋ = y ẏ = ω0 2 sin x + A cos(ωt) qui s écrit Ẋ = f(x, y; t) Autonomie par plongement dans un espace de plus grande dimension Option 1 ẋ = y ẏ = ω0 2 sin x + A cos(ϕ) ϕ = Ω Option 2 ẋ = y ẏ = ω 2 0 sin x + z 1 ż 1 = Ωz 2 ż 2 = +Ωz 1 qu on écrit Ẋ = f(x) Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

13 Description Formulation dans le cas discret Section de Poincaré Application de premier retour X(τ 2 ) X(τ 1 ) X(τ 0 ) (Π) X(τ k+1 ) X(τ k ) = Au passage dans (Π) τk+1 τ k X k+1 = F(X k ) X(τ k+1 ) X k+1 f(x) dt τk+1 F(X k ) = X k + τ k f(x) dt Systèmes dynamiques continus vs discrets Ẋ = f(x) X k+1 = F(X k ) Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

14 Points fixes Points fixes Il existe des points remarquables de l espace des phases : ceux où la dynamique est réduite à l état de repos. Définition On appelle point fixe, ou stationnaire, ou d équilibre, ou critique, un point X tel que X = 0. Points fixes du pendule simple { 0 = y 0 = ω0 2 sin x Ensemble des points fixes Dynamique autour des points fixes Autour de ( x = 0, ȳ = 0) ( ẋ ẏ ) ( 0 1 = ω0 2 0 valeurs propres ±iω 0, axes propres (1, 0) T, (0, ω 0 ) T Autour de ( x = π, ȳ = 0) ( ẋ ẏ ) ( 0 1 = +ω0 2 0 ) ( x y ) ( x y ) ) ( x = nπ, ȳ = 0), n Z valeurs propres ±ω 0, axes propres (1, ω 0 ) T, (1, ω 0 ) T Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

15 Points fixes Stabilité des points fixes Comment se comporte le système au voisinage de ces points singuliers? Linéarisation de la dynamique Choisissons X = X + x au voisinage de X (x 1). La dynamique de la perturbation s écrit ẋ = ( X f) X x + O(x2 ) les propriétés de la dynamique autour de X sont donc données par les valeurs propres de la matrice jacobienne J = ( X f) X puisque, formellement, les solutions s écrivent x(t) = e tj x(0) Nature des points fixes Toutes les valeurs propres ont une partie réelle négative point fixe asymptotiquement stable Une valeur propre au moins a une partie réelle positive point fixe instable Valeurs propres imaginaires pures (par paires conjuguées) centre ou point elliptique (stable sans l être asymptotiquement) Si pas de valeur propre nulle ou imaginaire pure point hyperbolique Si une partie réelle négative, une autre positive point selle Toutes les valeurs propres sont réelles de même signe nœud. Nœud stable puits, nœud instable source Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

16 Points fixes Points fixes dans un espace de dimension 2 Polynôme caractéristique Dynamique linéarisée autour de X Ẋ = J X X valeurs propres racines de det(j λi ) : polynôme caractéristique λ 2 pλ + q = 0 { p = λ1 + λ 2 q = λ 1 λ 2 Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

17 Flot Flot Définition Soit X(X 0, t), X 0 D, une solution du système avec la condition intiale X(0) = X 0. On appelle flot du système, ou du champ de vecteur f, l application φ t : D R N définie par Propriétés du flot φ t(x 0 ) = X(X 0, t). φ t(x 0 ) est de classe C r si f est de classe C r ; φ 0 (X 0 ) = X 0 ; φ t+s(x 0 ) = φ t(φ s(x 0 )). φ t est un semi-groupe Une variété V est invariante sous l action du flot si φ t(v) = V. Flot d un système linéaire Ẋ = J X la flot est donné par l opérateur φ t = e Jt Cas des rotations : ( 0 1 J = 1 0 correspond au flot ) ( e Jt cos t sin t = sin t cos t ) Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

18 Systèmes dissipatifs Systèmes conservatifs vs dissipatifs On regarde l évolution d un volume élémentaire de conditions initiales dans l espace des phase V(t) = dv dt = = dx 1... dx N V d V dt (dx 1... dx N ) divf dx 1... dx N V selon la définition de la divergence d un champ de vecteur sur une variété munie d une forme ω dx 1... dx N (dérivée de Lie) Théorème de la divergence dv dt = divf dx 1... dx N t=0 V Le système est dissipatif si dv/dt < 0. Dans le cas conservatif, dv/dt = 0, on retrouve le théorème de Liouville. L oscillateur amorti Si alors divf = µ V(t) = V(0)e µt Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

19 Systèmes dissipatifs Systèmes dissipatifs Le pendule amorti θ + µ θ + ω 2 0 sin θ = 0 { ẋ = y ẏ = ω0 2 sin x µy N = 2 div f = µ Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

20 Attracteurs Attracteurs Définition Soit A un ensemble compact, fermé, de l espace des phases. On suppose A ensemble invariant par le flot : φ t(a) = A pour tout t. A est dit stable si pour tout voisinage U de A, il existe un voisinage V de A tel que toute solution X(X 0, t) = φ t(x 0 ) restera dans U si X 0 V. Si de plus φ t(v ) = A t 0 et s il existe une orbite dense dans A, alors A est un attracteur. Bassin d attraction Lorsque A est un attracteur, l ensemble W = t<0 φ t(v ) est appelé bassin d attraction. C est l ensemble des points dont les trajectoires asymptotiques convergent vers A. Attracteur du pendule amorti L origine est point fixe attracteur du système ; son bassin d attraction est l espace des phases tout entier. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

21 Attracteurs Les attracteurs dans un espace de dimension 2 Théorème de Poincaré-Bendixson Si une orbite X(X 0, t) d un système dynamique à deux dimensions reste dans un domaine compact D R 2 pour tout t 0, alors soit X(X 0, t) est une solution périodique (cycle limite) ou tend vers une solution périodique du système, soit X(X 0, t) tend vers un point fixe du système. Critère de Bendixson Si dans un domaine simplement connexe D R 2, div f n est pas identiquement nulle et ne change pas de signe, alors le système dynamique n a pas d orbite périodique contenue dans D. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

22 Cycle limite Attracteurs Système de van der Pol q (ν q 2 ) q + q = 0 (Ex : écrire sous la forme d un système dynamique) ν = 0.01 ν = 4 Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

23 Cycle limite attracteur Attracteurs ν = 4 Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

24 Attracteurs Les attracteurs du chaos Système de Rössler ẋ = y z ẏ = x + ay ż = b + z(x c) L attracteur étrange Propriétés : Volume nul ; Dimension 2 < d < N fractale ; Sensibilité aux conditions initiales. Figure: Attracteur de Rössler pour a = 0.1, b = 0.1, c = 14 (courtoisie de L. Oteski) Conditions nécessaires au Chaos dynamique non-linéaire dimension de l espace des phase 3 Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

25 Attracteurs Sensibilité aux conditions initiales Le système de Lorenz ẋ = σx + σy ẏ = xz + rx y ż = xy bz (Ex : déterminer les points fixes du système de Lorenz et leurs propriétés de stabilité pour le jeu de paramètres utilisé dans l exemple de la figure.) Figure: Attracteur de Lorenz pour σ = 10, r = 8/3, b = 28 (courtoisie de L. Oteski) Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

26 Lyapounov Stabilité et puits de potentiel Énergie et stabilité Systèmes mécaniques : stabilité d un équilibre directement fonction de la façon dont varie l énergie mécanique du système autour de la position d équilibre. Généralisation à tout système, en définissant un potentiel, ou fonction de Lyapunov. L exemple de l oscillateur anharmonique qui se met sous la forme mẍ + k(x + x 3 ) = 0 { ẋ = y ẏ = k m (x + x3 ) Le point d équilibre est l origine (0, 0). L énergie du système, qui vaut E(x, y) = 1 ( x 2 my 2 2 ) + k 2 + x4 4 est une intégrale première du mouvement de/dt = myẏ + k(x + x 3 )ẋ = 0. Au point d équilibre, E(0, 0) = 0 ; au voisinage du point d équilibre, E(x, y) > 0, et le point fixe est stable (puits d énergie).. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

27 Lyapounov Fonction de Lyapunov Thórème de Lyapunov Soit x un point fixe du système. Soit V : W R une fonction diffŕentiable définie sur un voisinage W de x telle que V ( x) = 0 et V (x) > 0 si x x. Si N V V = x j x j=1 j Remarques Il n y a pas de règle générale pour trouver une fct de Lyapunov. Dans des problèmes de mécanique l énergie joue souvent ce rôle. alors Si V 0 dans W { x} alors x est stable (V semi-définie négative) ; Si V < 0 dans W { x} alors x est asymptotiquement stable (V définie négative) ; Si V > 0 dans W { x} alors x est instable (V définie positive). Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

28 Lyapounov Exemples de fonctions de Lyapunov L oscillateur anharmonique mẍ + k(x + x 3 ) = 0 { ẋ = y ẏ = k m (x + x3 ). Point fixe (0, 0). L énergie E(x, y) = 1 ( x 2 my 2 2 ) + k 2 + x4 4 est fct de Lyapunov car E(0, 0) = 0 et E(x, y) > 0 pour (x, y) (0, 0) et Ė = myẏ + k(x + x 3 )ẋ 0 Le point fixe est stable. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28