TP Bobines. bobine mobile. teslamètre (1)

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1 TP obines Note : avant la séance de TP, l énoncé doit avoir été l attentivement, et les eercices de préparation traités. Le compte rend par binôme), sera à rendre à la fin de la séance. L objectif de ce TP est d effecter ne étde epérimentale d champ magnétiqe prodit par n corant circlaire parcorant ne, pis de bobines plates identiqes et coaiales. Le dispositif epérimental est représenté sr le schéma sivant : bobine fie bobine mobile teslamètre carte d'acqisition spport gradé traitement informatiqe Synchronie Les bobines sont composées de N=95 spires, ont n rayon R=65 mm, et ont ne larger L=5 mm. Le corant maimal q elles pissent accepter ne pet pas dépasser I ma =5 A. La mesre d champ magnétiqe se fait à l aide d n teslamètre connecté à ne carte d acqisition, qi elle-même est connectée à n ordinater voir schéma). La visalisation des valers d champ magnétiqe se fait alors sr le logiciel Synchronie. I) Etde d ne bobine : Théorie : Le champ magnétiqe Mawell : créé par n corant stationnaire se calcle à partir des éqations de. = = µ j ) j désignant la densité srfaciqe de corant, et µ la perméabilité d vide, de valer µ =4π. -7 H.m -. Dans le cas présent où les bobines sont plates et où ler épaisser pet être négligée, ces éqations condisent à l epression sivante por le champ créé par ne bobine sr son ae : µ θ + NI 3, θ ) = cosθ + cosθ ) =,4. I cosθ cosθ L où I est la valer algébriqe d corant, l ae, et θ,θ ) les angles représentés sr la figre sivante : ) ) n vecter nitaire orienté sivant la direction de

2 L R ae θ θ I bobine On montre alors qe, dans le cas où la larger de la bobine pet être négligée, l epression d champ se simplifie : soit encore : θ ) µ NI = sin θ = 9,8. I sin θ 3) R 4 9,8. où θ et sont représentés sr la figre sivante : ) = + / R I 3 / ) ) 4) θ O bobine Cette condition est ici vérifiée. Por le voir, on pet par eemple calcler la valer d champ a centre de la bobine en tilisant tantôt la formle générale ), tantôt la formle simplifiée 4) : il sffit de poser θ = θ = arctanr/l) dans ) et = dans 4). On abotit alors à =9,. -4 I avec la formle ) et =9,8. -4 I avec la formle 4), ce qi revient à n écart inférier à %, ordre de grander de la précision des mesres faites avec le teslamètre. Ceci permet ainsi de négliger la larger de la bobine et de considérer qe le champ magnétiqe est donné par la formle 4) o 3)). Travail epérimental : L objet de cette étde consiste à vérifier la relation 4) de manière epérimentale.

3 ranche la bobine mobile, faites vérifier votre montage par l enseignant avant de mettre sos tension. ) Dans cette partie, on fiera ne valer por le corant. a. Mesre le champ magnétiqe en différents points de l ae pis trace sa valer algébriqe en fonction de la position. Qe pove-vos constater? b. Trace alors -/3 en fonction de attention à l origine des ). c. Qelle interprétation pove-vos tirer de cette corbe? Retrove-t-on le résltat attend qalitativement et qantitativement)? Eercice de préparation : qelle est l allre de en fonction de? epérimentalement, il est pls facile de vérifier q ne loi est ne fonction affine pltôt q ne fonction d type formle 4). Comment pet on transformer cette dernière por obtenir l éqation d ne droite? ) On s intéresse maintenant a valers d champ a centre de la bobine. a. Mesre le champ por différentes valers d corant, pis trace en fonction de I. b. Q observe-t-on? Le résltat est-il conforme avec la théorie qalitativement et qantitativement)? II) Coplage de de bobines Théorie : Lorsqe plsiers circits sont traversés par n corant, le champ magnétiqe résltant est la somme des champs magnétiqes créés par chaqe circit : ce résltat, dénommé principe de sperposition, est ne conséqence directe des éqations de Mawell. Dans le cas présent où de bobines identiqes sont disposées de façon coaiale et sont traversées par le même corant, le champ magnétiqe sr l ae pet alors s écrire sos la forme sivante : ) = + 4 9,8. + d R / I 3 / ,8. d R / I 3 / 5) d désigne ici la distance séparant les bobines voir schéma), et est la position par rapport a milie des de bobines. 3

4 d O bobine bobine Por de faibles écarts a centre, on pet effecter n développement limité de a voisinage de = : n calcl à l ordre 3 donne alors + 4 9,8. I 3 d / R) ) + 3 / d / R) ) d / R) ) R 6) + Un cas particlièrement intéressant est celi où d=r.il permet de faire disparaître la dépendance en de la formle 6). Un calcl direct condit alors à : ) 6 4 9,8. I 7) 5 5 et montre qe le champ magnétiqe ne dépend pls de la position. Lorsqe les bobines ont ne telle configration, on dit q elles sont disposées dans les conditions de Helmholt. Travail epérimental : On imposera a corant ne valer fiée. ranche les de bobines en série, faites vérifier votre montage par l enseignant avant de mettre sos tension. - Après avoir fié l écart entre les de bobines d>r, d< R o d=r), mesre en différents points de l ae le champ magnétiqe créé, pis trace sa valer algébriqe en fonction de la position. - Qe constate-vos? Observe-vos bien les résltats attends qalitativement et qantitativement)? 3- On porra traiter les qestions et por les trois cas : d>r, d<r o d=r. Eercice de préparation : en tilisant le théorème de sperposition et l allre de ) dans le cas où ne sele bobine est branchée, représente les 3 types de corbes qe l on pet obtenir lorsqe les de bobines sont branchées dans les cas d>r, d<r o d=r. Dans chaqe cas, calcle, d après la formle 6), la valer de a centre =). 4

5 TP simlations nmériqes en électrostatiqe Note : avant la séance de TP, l énoncé doit avoir été l attentivement, et les eercices de préparation traités. Le compte rend par binôme), sera à rendre à la fin de la séance. Por résodre n problème d électrostatiqe, c est à dire déterminer le champ électriqe et le potentiel créé par ne distribtion de charges, nos tilisons les éqations de Mawell de l électrostatiqe rot E = et divd = ρ = avec E gradv et D = ε ε r E, ) dans n milie linéaire, homogène, isotrope, de permittivité relative εr. Vos ave sans dote déjà constaté qe por des distribtions de charges possédant pe de symétries et invariances, les éqations de Mawell deviennent difficiles à résodre analytiqement, c est à dire «à la main». Il est alors nécessaire de faire appel à des méthodes nmériqes. Le logiciel ELA, avec leqel nos travaillerons en TP, est basé sr la méthode des éléments finis, méthode très tilisée dans divers domaines de la physiqe. Por bien comprendre le fonctionnement d logiciel, et appréhender ses limites, qelqes notions sr la méthode des éléments finis sont nécessaires. C est porqoi nos consacrons la première partie de ce TP à ne brève introdction à la méthode des éléments finis et a logiciel ELA. Dans la seconde partie, nos étdierons n problème conn : le condensater plan. Enfin, dans la troisième partie nos aborderons des systèmes pls complees, correspondant à des applications importantes de l électrostatiqe. Partie : Qelqes mots sr la méthode des éléments finis et le logiciel ELA En combinant les éqations de l électrostatiqe rappelées en introdction, on pet obtenir l éqation de Poisson, ρ ε ε V =. ) r A cette éqation viennent s ajoter des conditions a limites, qi assrent l nicité de la soltion. Les conditions a limites qe l on impose à V, sr la frontière d domaine d étde nécessairement fini, nos le verrons pls loin), pevent être d type - Dirichlet: on impose la valer de V - Nemann: on impose la dérivée de V, V/ n dans ne direction normale à la frontière - Robin: on impose ne relation entre V et V/ n, d type V/ n + c V+c =. C est le problème qe résot le logiciel ELA. La méthode des éléments finis consiste à remplacer l éqation a dérivées partielles avec les conditions a limites, par n système 5

6 d éqations linéaires à coefficients constants. Por pls de clarté, nos allons epliqer la méthode des éléments finis dans le cas mono-dimensionnel, V et ρ ne dépendent qe de la variable, et le domaine d étde est n segment noté [a,b]. Pis nos étendrons la méthode a cas bi-dimensionnel. Introdction des éléments finis et d ne base de fonction Décopons le segment [a,b] en m+ intervalles éga. Notons les points séparant les intervalles. Le décopage d segment est appelé maillage, et les points sont les nœds d maillage. A chacn des nœds, nos associons ne fonction φ ), linéaire par morcea, définie sr [a,b] par voir fig. a)): φ = si [, ] φ ) = = + φ ) +, +,, si [ ]. + si [, ] 3) L ensemble des fonctions {φ i ), i=, m} constite ne base. φ - φ φ Fig.a) : fonctions de base, cas D Fig.b) : maillage en triangle, cas D Projection sr la base, obtention d n système d éqations linéaire La méthode des éléments finis consiste à écrire la fonction inconne V) comme ne combinaison linéaire des fonctions de la base: m = µ φ. 4) V ) ) i i i= Note qe le nombre m de fonctions de base est nécessairement fini passage a nmériqe), et qe la fonction V sera d atant mie représentée qe m sera grand. A partir de l éqation de Poisson, il est alors possible de montrer plsiers étapes sont nécessaires) qe le problème s écrit sos la forme AX= où X est n vecter dont les éléments sont les inconnes µ i, A est ne matrice d éléments A i, et est n vecter d éléments, avec 6

7 A i b d d i = d, et a φ d φ d b = ) φ ) d. 5) a ρ ε ε r Le système d éqation linéaire obten pet être résol nmériqement. Cependant, por obtenir ne bonne précision sr le calcl, le nombre m de fonctions de base, et donc le nombre d inconnes, doit être grand. Por faciliter la résoltion de l éqation AX=, la matrice A doit donc être très crese, c est à dire contenir beacop de éro. Dans le cas des fonctions φ ) définies pls hat, on pet montrer qe A i = dès qe i- >, la matrice A est tri-diagonale. Généralisation a cas bi-dimensionnel Dans le cas d n problème bi-dimensionnel, c est à dire où V et r dépendent de de variables et y, les éléments finis ne sont pls des segments délimités par les, mais des triangles de sommets S. Les fonctions de bases φ,y) sont choisies linéaires, de la forme φ,y)=α+βy+γ, sr les triangles ayant S comme sommet en grisé sr la fig.b)) et nlles φ,y) =, sr les atres triangles. La matrice A obtene n est pls tri-diagonale, mais contient encore beacop de éros. Remarqes L avantage majer de la méthode des éléments finis réside dans sa soplesse, pisq elle permet de traiter des configrations variées. En contrepartie, les algorithmes mettant en œvre cette méthode sont en général longs et difficiles à développer. D point de ve de l tilisater, des précations sont à prendre. La soltion d problème est approchée par sa projection sr des fonctions de base contines par morcea sr les éléments finis. Une errer est donc commise, et elle est d atant pls grande qe le nombre de nœds d maillage est faible. Il appartient à l tilisater de vérifier qe ce nombre est sffisant. D atre part, la définition d problème et des conditions a limites est, elle assi, importante. En particlier, la méthode des éléments finis opère nécessairement sr n domaine limité, et les conditions a limites ne pevent donc être imposées q à ne distance finie d système. Partie : Modélisation d n condensater plan Le condensater plan est de loin le pls important de tos les condensaters car, dans tos les condensaters sels, les armatres sont à ne distance sffisamment faible devant les rayons de corbre por qe l on pisse les assimiler localement à des plans. Dans tote la site, S désigne la srface d ne armatre, e l épaisser d condensater, somis à ne différence de potentiel U. S = cm² e = mm /4πε = 9 9 S.I. e S +V -V Fig.) : schéma d condensater plan 7

8 A. Définition d problème: Le condensater plan à étdier a été représenté dans le fichier condensater.fee fichier à ovrir avec le logiciel «beladraw»). Identifier les éléments représentés à l aide de la figre 3. Conditions a limites permettant de simler n domaine infini Condensater plan Fig.3) : représentation de la sphère condctrice sos ELA Por terminer la définition d problème, il reste à choisir le potentiel de chaqe électrode et le matéria placé à l intérier d condensater. Por affecter n potentiel à chaqe électrode, sélectionne ne électrode elle apparaît en roge), appye sr la barre d espace, et choisisse le potentiel dans le men dérolant qi apparaît. Por choisir le matéria, sélectionne le nœd vert loc Label), appye sr la barre d espace, et choisir le matéria dans la liste proposée. Commencer par remplir le condensater avec de l air.. Résoltion d problème, analyse des résltats Crée le maillage associé a problème, faites la résoltion, et observe le résltat. a) Observer les lignes de champ électriqe et les srfaces éqipotentielles d problème. Décrire vos observations, commenter. b) Relever la charge électriqe portée par chaqe armatre men «view», pis «condctor properties»). En dédire la capacité d condensater plan en présence d air. Compare avec la valer théoriqe. c) En tilisant ne démarche similaire, déterminer nmériqement la capacité d condensater plan en présence d n milie diélectriqe d PVC). Commenter la valer obtene. Conclre. 8

9 Eercice de préparation : Rappeler la forme des lignes de champ et des srfaces éqipotentielles associées à n condensater plan. Eprimer sa capacité en fonction de S et e. Faire les applications nmériqes valer d champ, capacité) por S = cm², e = mm et V + =V, V - =- V. On rappelle qe /4πε = 9 9 S.I. Partie 3 Différentes applications A. Etde de la cage Faraday La cage de Faraday est tilisée dans de nombre cas por avoir n environnement libre de tot champ électriqe. On pet ainsi faire des protections électriqes. Une epérience très impressionnante est faite par eemple a palais de la décoverte à Paris : Une personne placée dans ne cage de Faraday pose ses mains contre la grille reliée à la masse. De l atre côté ne personne maintient ne pointe reliée à ne tension très élevée de l ordre de 5V. Un arc électriqe se crée entre la pointe et la grille mais la personne ne risqe absolment rien à l intérier! Fig.4) : epérience illstrant l intérêt de la cage de Faraday Le fichier Faraday.FEE représente n condensater plan dans leqel ne cage de Faraday a été introdite cette fois, le domaine d étde est limité a condensater). Une plaqe est portée à - V et l atre à V. La cage est, elle, portée a potentiel V. a) Représente le champ électriqe dans le condensater en traçant ne o de copes jdiciesement choisies por déterminer la cope pis por tracer). Epliqe votre choi. b) Change de matéria dans le condensater et renomme le fichier. Cela change-t-il les choses? c) Change la tension appliqée à la cage. Choisisse différentes tensions et compare le champ électriqe à l intérier. d) Redéfinisse ne tension nlle sr la cage et introdise n fil chargé à 5V a milie de la cage. Cela change-t-il le champ à l etérier? A l intérier? Epliqe.. Etde de l effet de pointe 9

10 L effet de pointe est n phénomène très conn et très tilisé dans des applications corantes comme le paratonnerre. Mais cet effet intervient dans bien d atres applications beacop pls complees et permet notamment de créer des sorces d électrons dites ponctelles tilisées por faire de la microscopie électroniqe. Grâce à n effet appelé «effet de champ», des électrons sont émis à partir d ne pointe métalliqe polarisée négativement qi est proche d ne électrode reliée à la masse par eemple. Ces électrons ne pevent être émis q en présence d n champ électriqe intense de l ordre de MV.cm -. Les électrons sont ensite repossés par la polarité négative de la pointe. Dans cet eercice, nos allons simler le champ électriqe obten en bot de pointe por différentes configrations : forme de la pointe, sa position par rapport à la masse, etc Les fichiers décrits ci-dessos permettent de simler le champ électriqe obten a bot d ne pointe dans différentes configrations. Note : les systèmes représentés dans ces fichiers sont d type «ais symmetric», c est à dire à symétrie de révoltion ator d n ae vertical voir l onglet «problem» pis la case «problem type»). Fig. 5) : Image réalisée en microscopie électroniqe en transmission grâce à ne pointe à effet de champ CPM à Marseille on pet voir sr cette image des atomes de Germanim a nivea d n joint de grain) pointe.fee : Une pointe est polarisée à 5 V dans ne «enceinte» grande par rapport à sa taille et portée a potentiel V. La distance pointe - masse est de µm. pointe.fee : Même configration qe précédemment mais avec ne forme de pointe différente. On gardera cette forme par la site. pointe.fee : Une pointe polarisée à 5 V est sitée à µm d ne enceinte portée à V. pointe3.fee : Une pointe polarisée à 5 V rentre dans n diaphragme métalliqe relié à V de. µm de diamètre et avancé de µm par rapport a bot de la pointe. a) MV.cm-? Cela mérite-t-il le terme de champ électriqe intense? On porra comparer avec le champ obten dans n condensater plan. b) Compare qalitativement les champs électriqes en bot de pointe entre les de premiers fichiers. Epliqe la différence. Sachant q on pet simler le bot d ne pointe comme ne sphère et en vos rappelant de la manière dont varie le champ dans le cas d ne sphère, le résltat qe vos trove vos parait-il logiqe? c) Décrive la distribtion d champ électriqe dans les trois derniers fichiers. Est-il nécessaire de placer la contre-électrode face à la pointe? Comment varie approimativement le champ en fonction de la distance à la masse?

11 d) Qelle configration choisirie vos por fabriqer ne sorce d électrons? Porqoi? e) Qe pet-on dire de cette sorce d électrons : est-elle à votre avis étende o ponctelle? Jstifie. f) Ici les tests sont faits dans l air, si vos devie faire ne émission d électrons avec cette pointe resterie-vos à l air? Qe ferie-vos? Cela change-t-il les choses a nivea d champ électriqe?