Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis

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1 Eercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Enoncés Eercice Démonstration du théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ En appliquant le théorème de Rolle à la fonction F : [a, b] R définie par fb) fa) F ) = f) a), montrer qu il eiste c ]a, b[ tel que f c) = fb) fa) Eercice 2 Soit P la fonction polynômiale définie par P ) = Montrer que P s annule au moins une fois sur ]0, [ Eercice 3 Soit f : R R la fonction définie par f) = sin + cos + cos 2 Montrer que, pour tout a R, f s annule au moins une fois sur l intervalle ]a, a + 2π[ Eercice 4 Soient f, g : [a, b] R, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ On suppose que fa) fb) et ga) gb) Montrer qu il eiste c ]a, b[ tel que f c) fa) fb) = g c) ga) gb) On considérera pour cela la fonction F définie sur [a, b] par F ) = [ fa) fb) ] g) [ ga) gb) ] f) Eercice 5 Soient p et q deu réels et n un entier naturel supérieur ou égal à 2 Montrer que la fonction polynômiale P définie par P ) = n + p + q admet au plus trois racines réelles si n est impair et au plus deu racines réelles si n est pair Eercice 6 En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction Arctg, montrer que t > 0, Arctg t > t + t 2 Eercice 7 Soit f : R R la fonction définie par f) = ep/) Montrer que, pour tout > 0, il eiste c ], + [ tel que f) f + ) = ) c 2 ep c Déterminer ) )) lim 2 ep ep +

2 Eercice 8 Soit f : [a, b] R +, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ En utilisant la fonction g := ln f, montrer qu il eiste c ]a, b[ tel que [ fb) f ] fa) = ep c) ) fc) Eercice 9 Soit P la fonction polynômiale réelle définie par P ) = a 0 + a + + a n n On suppose que les coefficients de P satisfont la relation a 0 + a a n n + = 0 En considérant une primitive de P, montrer que P admet au moins une racine dans l intervalle ]0, [ Eercice 0 a) A l aide du théorème des accroissements finis, montrer que > 0, b) En déduire que les fonctions f et g définies sur R + par f) = + < ln + ) ln < + ) et g) = + ) + sont monotones c) Déterminer les limites en l infini de ln f et ln g, puis de f et g Eercice Démonstration de la formule de Leibniz Montrer que, si f et g sont deu fonctions N fois dérivables où N N ), alors fg est au moins N fois dérivable et, pour tout n N, fg) n) = Ck n f k) g n k) k= Eercice 2 En utilisant la formule de Leibniz, calculer la dérivée d ordre n de la fonction f définie sur R + par f) = 2 ln 2 Solutions Solution de l eercice La fonction F est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, de dérivée F ) = f ) fb) fa) De plus, F a) = F b) = fa) Le théorème de Rolle implique alors l eistence d un réel c ]a, b[ tel que F c) = 0, c est-à-dire, f fb) fa) c) Solution de l eercice 2 La fonction P est évidemment continue sur [0, ] et dérivable sur ]0, [ De plus, P 0) = P ) = 2 D après le théorème des accroissements finis, il eiste c ]0, [ tel que P c) = P ) P 0) 0 = 0 2

3 Solution de l eercice 3 La fonction f est 2π-périodique et dérivable sur R Pour tout a R, fa) = fa + 2π) et le théorème de Rolle montre l eistence d un réel c ]a, a + 2π[ tel que f c) = 0 Solution de l eercice 4 La Fonction F est sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, de dérivée F ) = [ fa) fb) ] g ) [ ga) gb) ] f ) De plus, on vérifie facilement que F a) = fa)gb) fb)ga) = F b) On peut donc appliquer le théorème de Rolle : il eiste un réel c ]a, b[ tel que F c) = 0, c est-à-dire, tel que f c) fa) fb) = g c) ga) gb) Solution de l eercice 5 On a P ) = n n + p et P ) = nn ) n 2 En particulier, on voit que P admet eactement une racine, à savoir = 0 Commençons par le cas où n est impair Supposons, en vue d obtenir une contradiction, que P admette quatre racines distinctes a < b < c < d La fonction P est évidemment continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que P a) = P b) Le théorème de Rolle implique alors l eistence de a ]a, b[ tel que P a ) = 0 Le même raisonnement sur les intervalles [b, c] et [c, d] montre l eistence de b ]b, c[ et c ]c, d[ tel que P b ) = 0 et P c ) = 0 Donc P admet trois racines distinctes a < b < c Le même raisonnement montre alors aussi que P admet deu racines a 2 ]a, b [ et b 2 ]b, c [ Ces racines étant nécessairement distinctes, il y a contradiction avec le fait que P admet pour unique racine = 0 Il s ensuit que P admet au plus trois racines réelles distinctes Traitons maintenant le cas où n est pair Supposons, en vue d obtenir une contradiction, que P admette trois racines distinctes a < b < c Comme précédemment, on déduit l eistence de deu racines de P distinctes a ]a, b[ et b ]b, c[, puis l eistence d une racine a 2 ]b, c [ Or on a vu que P admet 0 pour unique racine, de sorte que a 2 = 0 et que a < 0 < b Mais puisque P ) = n n + p, les racines de P satisfont l équation n = p n, et puisque n est impair, les racines sont toutes du signe de p/n On ne peut donc avoir a < 0 < b Il s ensuit que P admet au plus deu racines réelles distinctes Solution de l eercice 6 Le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction Arctg sur l intervalle [0, t] où t est quelconque dans R +), implique l eistence de c ]0, t[ tel que Arctg t Arctg 0 = + c2 t 0 = Arctg t t Puisque la fonction t / + t 2 ) est strictement décroissante sur R +, on en déduit immédiatement que puis l inégalité demandée Arctg t t > + t 2, Solution de l eercice 7 La dérivée de f est donnée sur R par f ) = 2 ep ) Le théorème des accroissements finis montre que, pour tout > 0, il eiste c ], + [ tel que f c) = f + ) f), c est-à-dire, ) ) ) c 2 ep = ep ep c + 3

4 On vérifie facilement que la fonction t t 2 ep/t) est strictement décroissante sur R + On en déduit les inégalités ) + ) 2 ep < ) + c 2 ep < ) c 2 ep, puis les inégalités 2 + ) 2 ep ) < 2 + c 2 ep ) = 2 ep c ) )) ep < ep + ) Les fonctions apparaissant au etrémités tendent toutes deu vers lorsque, et le théorème des gendarmes montre alors que ) )) lim 2 ep ep = + Solution de l eercice 8 En appliquant les théorèmes de composition, on vérifie facilement que la fonction g est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ D après le théorème des accroissements finis, il eiste c ]a, b[ tel que Puisque g) = ln f) on obtient : c est-à-dire, f c) fc) g c) = gb) ga) ln fb) ln fa) =, [ fb) f ] fa) = ep c) ) fc) Solution de l eercice 9 Les primitives de P sont les fonctions polynômiales de la forme Q) = α + a 0 + a a n n + n+, avec α R quelconque On remarque que Q0) = Q) = α Le théorème de Rolle implique alors l eistence de c ]0, [ tel que Q c) = P c) = 0 Solution de l eercice 0 a) Appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction ln ), sur l intervalle [, + ] : il eiste c ], + [ tel que ln + ) ln = = ln + ) ln c + ) L encadrement demandé provient du fait que ] c +, [ Remarquons que cet encadrement peut aussi s écrire > 0, + < ln + ) < ) b) Montrer que f est monotone équivaut à montrer que ln f est monotone Or ln f) ) = f ) f) = ln + ) + 4

5 La première inégalité dans ) montre alors que ln f) ) > 0 pour tout > 0, donc que ln f est strictement croissante sur R + De même, on vérifie facilement que ln g) ) = g ) g) = ln + ) La deuième inégalité dans ) montre alors que ln g) ) < 0 pour tout > 0, donc que ln g est strictement décroissante sur R + c) En multipliant la double inégalité ) par, puis par + on obtient : > 0, + < ln + ) A l aide du théorème des gendarmes, on en déduit que < < + ) ln lim ln f)) = lim ln g)) =, + ) < + puis que lim f) = lim g) = e Solution de l eercice On considère la propriété P n ) fg est au moins n fois dérivable et fg) n) = Ck n f k) g n k) Nous allons montrer que, si P n ) est satisfaite pour n < N, alors P n+ ) est satisfaite Il s agit d une récurrence finie, c est-à-dire d une récurrence qui s interrompt après un nombre fini d incrémentations de n On vérifie aisément que P 0 ) et P ) sont satisfaites Supposons que P n ) soit satisfaite pour n < N La fonction fg) n) est dérivable, puisque chaque fonction f k) g n k) est dérivable, de dérivée f k) g n k)) = f k+) g n k) + f k) g n+ k) Donc fg est au moins n + fois dérivable, et l on a fg) n+) = = = Ck n f k) g n k)) Ck n f k+) g n k) + Ck n f k) g n+ k) n+ Ck f n k) g n+ k) + k= Ck n f k) g n+ k) On a obtenue une somme de termes de la forme α k f k) g n+ k), où α 0 = C n 0 = = C n+ 0, α n+ = C n n = = C n+ n+, et k {,, n}, α k = C n k + C n k = C n+ k d après la propriété foncdamentale du triangle de Pascal Il s ensuit que n+ fg) n+) = C n+ k f k) g n+ k), qui est la formule de Leibniz à l ordre n + On remarque que, par commutativité du produit, on a aussi la formule fg) n) = gf) n) = Ck n g k) f n k) 5

6 Solution de l eercice 2 Calculons, en vue d appliquer la formule de Leibniz, les dérivées successives des fonctions u et v définies par u) = 2 et v) = ln On a u ) = 2, u ) = 2, puis u k) 0 pour tout k 3 On a aussi, pour tout n, v n) ) = ) n n )! n on pourra montrer ceci par rcurrence) D après la formule de Leibniz, on a puis, pour n 3, f ) = C C 2 ln = + 2 ln, f ) = C ) + C 22 + C2 22 ln = 2 ln + 3, f n) ) = C 0 n 2 ) n n )! n) + C n2 ) n 2 n 2)! n+) + C 2 n2 ) n 3 n 3)! n+2) = ) n n )! n+2 + 2n ) n 2 n 2)! n = )n n 2 = )n n )! n 2 ) n )! 2nn 2)! + nn )n 3)! ) 2n n + = )n n )! n 2 2 n )n 2) = 2 )n n 3)! n 2 n n 2 nn ) ) n 3 n 3)! n+2 2 6

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