Fonctions dérivées, cours, première S

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1 Fonctions dérivées, cours, première S F.Gaudon 28 juin 205 Table des matières Fonction dérivée et dérivées de fonctions usuelles 2 2 Opérations sur les fonctions dérivables 4 2. Somme Multiplication par un nombre réel k Produit Quotient

2 Fonction dérivée et dérivées de fonctions usuelles Dénition : Soit f une fonction dénie sur un intervalle I. f est dite dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel a de I. La fonction qui, à tout réel a, associe le nombre dérivé f (a) en a, est appelée fonction dérivée de f et notée f. f(x) f (x) D f k 0 R x R mx + p m R x 2 2x R x n nx n R x x 2 R x 2 x ]0; + [ Preuves : Pour tout a I et tout 0 tel que a + I on a : f(a+) f(a) k k 0 d'où la dérivée de x k est x 0 en tout réel a ; f(a+) f(a) a+ a d'où la dérivée de x x est x en tout réel a ; m(a+)+p (ma+p) m m d'où la dérivée de x mx + p est x m en tout réel a ; (a+)2 a 2 a2 +2a+ 2 a 2 2a + qui tend vers 2a quand tend vers 0 ; (a+)n a n kn k0 ( n k )an k k qui tend vers na n quand tend vers 0 ; pour la fonction inverse, a+ a a a+ a(a+) a(a+) a (a + ) a(a + ) a(a + ) qui tend vers a 2 quand tend vers 0. ttp: // matsfg. net. free. fr 2

3 pour la fonction racine carrée, a + a ( a + a)( a + + a) ( a + + a) a + a ( a + + a) a + + a qui tend vers 2 a quand tend vers 0. Exemples : x 3x 2 a pour fonction dérivée x 3 pour tout réel x. x x 3 a pour fonction dérivée x 3x 2 pour tout réel x. Algoritmique : Algoritme qui trace les tangentes en des points, d'abscisses régulièrement espacées de 0,5 unités sur l'intervalle [ 3; 3], à la courbe d'une fonction f de dérivée f. Données : a Début traitement pour a allant de -3 à 3 par pas de 0,5 faire y prend la valeur f(a) ; m prend la valeur f (a) ; Placer le point A de coordonnées (a, y) ; Tracer la droite passant par A et de coecient directeur m ; n Fin On utilise ici la fonction f : x x 2 de dérivée f (x) 2x. ttp: // matsfg. net. free. fr 3

4 TI : ClrDraw DispGrap For(A, 3,3,0.5) A 2 U 2 A M Pt-On(A,U) Line( 5,U + M ( 5 A),5,U + M (5 A)) End Casio : XCas : tracertangentes():{ local a,f,m,y, A,L,d; f(x):x^2; pour a de -3 jusque 3 pas 0.5 faire y:f(a); m:diff(f,x,a); A:point(a+i*f(a)); d:droite(a,pentem); L:L,A,d; fpour return L; 2 Opérations sur les fonctions dérivables 2. Somme Soient u et v deux fonctions dénies et dérivables sur un intervalle I, alors u+v est dénie et dérivable sur I et : (u + v) u + v (u+v)(a+) (u+v)(a) u(a+) u(a) + v(a+) qui tend vers u (a) + v (a) quand tend vers 0. [Calculer la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables] x x + x4 a pour fonction dérivée x x 2 + 4x 3 pour tout réel x non nul. ttp: // matsfg. net. free. fr 4

5 2.2 Multiplication par un nombre réel k Soient u une fonction dénie et dérivable sur un intervalle I et k un nombre réel, alors ku est dénie et dérivable sur I et : (ku) ku Même démarce que la précédente. [Calculer la fonction dérivée d'une fonction produit d'un réel par une fonction dérivable] x 3x 5 3x a pour fonction dérivée x 3 5x 4 3 2x + 0 c'est à dire x 5x 4 6x pour tout réel x. 2.3 Produit Soient u et v deux fonctions dénies et dérivables sur un intervalle I, alors uv est dérivable sur I et (uv) u v + v u (uv)(a + ) (uv)(a) (u(a + )v(a + ) u(a)v(a + ) + u(a)v(a + ) u(a) (u(a + ) u(a))v(a + ) u(a)(v(a + ) ) + u(a + ) u(a) v(a + ) v(a + ) + u(a) qui tend vers u (a) + u(a)v (a) quand tend vers 0. [Calculer la fonction dérivée du produit de deux fonctions dérivables] On considère f : x (3x 2) x dénie sur R. On pose u(x) 3x 2 et v(x) x. Alors u (x) 3 et v (x) 2 x et f (x) u (x)v(x) + v (x)u(x) 3 x (3x 2) 2 x ttp: // matsfg. net. free. fr 5 pour tout réel x.

6 2.4 Quotient Soient u et v deux fonctions dénies et dérivables sur un intervalle I, avec pour tout x de I, v(x) 0, alors u v est dénie et dérivable sur I et ( u v ) u v v u v 2 En particulier, ( v ) v v 2 u (a + ) u(a) v v u(a+) u(a) v(a+) v(a u(a+) u(a+) v(a+) + u(a+) u(a) u(a + )( ) + (u(a + ) u(a)) v(a+) v(a + ) u(a + ) v(a + ) + u(a + ) u(a) u(a + ) v(a + ) v(a + ) + u(a + ) u(a) qui tend vers u(a)v (a) + u (a) c'est à dire u(a)v (a)+u (a) 2 quand tend vers 0. [Calculer la fonction dérivée d'une fonction quotient de deux fonctions dérivables] dénie pour tout réel x diérent de 4 5. On pose u(x) 3x2 x et On considère f : x 3x2 x 4 5x v(x) 4 5x. Alors u (x) 6x et v (x) 5 d'où f (x) ( u v v u 24x 4 30x+5x+5x 2 5x (4 5x) 2 5x2 6x 4 (4 5x) 2. v 2 )(x) (6x )(4 5x) ( 5)(3x2 x) (4 5x) 2 ttp: // matsfg. net. free. fr 6