Limites de fonctions

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1 Bibliothèque d eercices Énoncés L Feuille n Limites de fonctions Théorie Eercice Démontrer que 0 Soient m, n des entiers positifs + Étudier 0 3 Démontrer que 0 ( + + ) = Eercice = + m m n Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Calculs Eercice 3 Calculer lorsqu elles eistent les ites suivantes a) 0 + b) + c) d) Π sin +cos e) f) g) h) n Eercice 4 Déterminer les ites suivantes, en justifiant vos calculs ln ln( + ) ln e ln(3 + ) ln( + ) 7 ( 3 + ln + 4 ) 8 ( ) +( ) ln( )

2 9 + ( ) ln( 3 8) ( ) ln( + ) ( ln ln( + )) + e e + 3 ( + )ln 0 + ( + ) ( ( e + ) ( ) 7 ln( + ) ln 0 + ( ) 8 + ( ) ( + ) ) + + ln( + ) + e 3 Eercice 5 Calculer, lorsqu elles eistent, les ites suivantes : Eercice 6 Calculer : α + n+ α n+, α n α n tan sin sin (cos cos ), + +, α α α, E 0 (ln( + e )), ( ), e e + 6, 4 + α sin, en fonction de α R 0 + sin, ln(e ) 0 +

3 Eercice 7 Trouver : ln 0 + Eercice 8 Trouver pour (a, b) (R + ) : Eercice 9 Trouver pour (a, b) (R + ) : 0 + ( a + b ( a + b ) ) 3

4 Bibliothèque d eercices Indications L Feuille n Limites de fonctions Indication Utiliser l epression conjuguée Indication Raisonner par l absurde Montrer que la ite est la borne supérieure de l ensemble des valeurs atteintes f(r) Indication 5 Calculer d abord la ite de f() = k α α Utiliser cos = cos et faire un changement de variable u = cos 3 Utiliser l epression conjuguée 4 Diviser numérateur et dénominateur par α puis utiliser l epression conjuguée 5 On a toujours y E(y) y, poser y = / 6 Diviser numérateur et dénominateur par 7 Pour α 4 il n y a pas de ite, pour α < 4 la ite est +

5 Bibliothèque d eercices Corrections L Feuille n Limites de fonctions Correction Généralement pour calculer des ites faisant intervenir des sommes racines carrées, il est utile de faire intervenir l epression conjuguées : a b = ( a b)( a + b) a + b = a b a + b Les racines au numérateur ont disparu en utilisant l identité ( y)( + y) = y Appliquons ceci sur un eemple : + m f() = m n = ( + m m )(( + m + m )) n ( + m + m ) + m ( m ) = n ( + m + m ) m = n ( + m + m ) m n = + m + m Et nous avons 0 + m + m = Donc l étude de la ite de f en 0 est la même que celle de la fonction m n Distinguons plusieurs pour la ite de f en 0 Si m > n alors m n et donc f() tend vers 0 Si m = n alors m n et f() vers Si m < n alors m n = avec k = n m un eposant positif Si k est pair alors les = n m k ites à droite et à gauche de sont + Pour k impair la ite à droite vaut + et la k ite à gauche vaut Conclusion pour k = n m > 0 pair, la ite de f en 0 vaut + et pour k = n m > 0 impair f n a pas de ite en 0 car les ites à droite et à gauche ne sont pas égales Correction Soit p > 0 la période : pour tout R, f( + p) = f() Par une récurrence facile on montre : n N R f( + np) = f() Comme f n est pas constante il eiste a, b R tels que f(a) f(b) Notons n = a+np et y n = b + np Supposons que f a une ite l en + Comme n + alors f( n ) l Mais f( n ) = f(a + np) = f(a), donc l = f(a) De même avec la suite (y n ) : y n + donc f(y n ) l et f(y n ) = f(b + np) = f(b), donc l = f(b) Comme f(a) f(b) nous obtenons une contradiction

6 Soit f : R R une fonction croissante et majorée par M R Notons f = f(r) = {f() R} F est un ensemble (non vide) de R, notons l = sup F Comme M R est un majorant de F, alors l < + Soit ε > 0, par les propriétés du sup il eiste y 0 F tel que l ε y 0 l Comme y 0 F, il eiste 0 R tel que f( 0 ) = y 0 Comme f est croissante alors : 0 f() f( 0 ) = y 0 l ε De plus par la définition de l : Les deu propriétés précédentes s écrivent : R f() l 0 l ε f() l Ce qui eprime bien que la ite de f en + est l Correction 3 ite La ite à droite vaut +, la ite à gauche donc il n y a pas de 7 3 en utilisant que a3 = (a )( + a + a ) pour a = n Correction e e

7 7 e Correction 5 Montrons d abord que la ite de f() = k α α en α est kα k Un calcul montre que f() = k + α k + α k α k, et donc la ite en = α est kα k Une autre méthode consiste à dire que f() est la tau d accroissement de la fonction k, et donc la ite de f en α est eactement la valeur de la dérivée de k en α, soit kα k Ayant fait ceci revenons à la ite de l eercice : comme n+ α n+ = n+ α n+ α n α n α n α n Le premier terme du produit tend vers (n + )α n et le second terme, étant l inverse d un tau d accroissement, tend vers /(nα n ) Donc la ite cherchée est (n + )α n nα n = n + n α cos La fonction s écrit aussi f() = Or cos = cos (cos cos ) cos Posons u = cos, alors u f() = u(u u ) = u( u) 3 Lorsque tend vers 0, u = cos tend vers, et donc f() tend vers = ( + + )( + + ) = + + = Quand + alors 0 et 4 La fonction s écrit f() = , donc la ite recherchée est α α α + α = α α + α Notons g() = α α alors à l aide de l epression conjuguée g() = α ( α)( + α) = α + α Donc g() tend vers 0 quand α + Et maintenant f() = g() +α tend vers α 3

8 5 Pour tout réel y nous avons la double inégalité y E(y) y, donc y y 6 On en déduit que lorsque y tend vers + (ou ) alors E(y) y et en faisant tendre vers 0, alors E( ) = E(y) y tend vers La ite de e e voulue est e 5 e e + 6 = e e + 6 = e e + 3 E(y) y tend En posant y = /, en vaut e (c est la tau d accroissement de la fonction e ), la ite 7 En calculant les valeurs de f en kπ et en kπ + π on prouve que f n a pas de ite en + pour α 4 Reste le cas α < 4 Il eiste β tel que α < β < 4 f() = 4 + α sin = 4 β + α sin β β Le numérateur tend + car 4 β > 0 tend vers 0 ainsi que α sin (car β > α et β β sin est bornée par ) Donc le dénominateur tend vers 0 (par valeur positive) La ite est donc de type + /0 + (qui n est pas indéterminée!) et vaut donc + Correction 6 Réponses :, 0, e e Correction 7 Réponse : Correction 8 Réponse : sup(a, b) Correction 9 Réponse : ab 4