Introduction aux calculs de limites, équivalents et développements limités

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1 Maths PCSI Cours/Eercices Introduction au calculs de limites, équivalents et développements limités Table des matières Un peu de théorie Rappels sur les limites Fausses idées et contre-eemples 3 Notions d équivalent et de négligeabilité 3 4 Comparaison des fonctions usuelles en 0 et Premiers eercices 5 Calculs effectifs de limites, équivalents et DLs 5 Développements limités usuels 5 Quelques idées importantes 5 3 Des limites 6 4 Des équivalents 7

2 Commençons par quelques eercices annodins Eercice Enoncer le théorème de terminale qui parle de lim u n + v n ) Eercice Enoncer précisément le théorème des gendarmes parfois appelé théorème d encadrement) On précisera bien à quelle étape hypothèse ou conclusion) l eistence des limites est requise ou assurée Eercice 3 Avec les outils/techniques de terminale, déterminer lim 3n n) Indication : mettre sous forme eponentielle On sait que DE FORCE un terme de ce type Un peu de théorie Rappels sur les limites ln + ) ; on pourra donc faire apparaitre 0 On traitera en parallèle la question des limites de suites ou de fonctions Dans le premier cas, on a une epression dans laquelle un entier va tendre vers + Dans le second, une variable va tendre sin vers ±, ou vers un réel en lequel l epression n est en général pas définie typiquement, lorsque 0) On pourra noter f) l ou lim f) = l La première se lit f) tend vers l lorsque tend 0 0 vers 0, et la seconde ne se lit PAS la limite de, mais f) possède une limite qui vaut l, lorsque tend vers 0 Il est important de bien comprendre qu une epression ne possède a priori pas de limite On rappelle que si f) l et g) l, alors λf)+g) λl +l, et f)g) l l De même, si f) l, alors e f) e l, sin f) ) sinl), etc Eercice 4 Formaliser le etc en un énoncé court mais précis généralisant les deu résultats précédant concernant sin et ep on ne demande pas de preuve) On rappelle enfin les deu résultats suivants, plus ou moins connus en terminale, mais en général mélangés, et pas vraiment compris : Théorème Gendarmes) Si u n v n w n pour tout n N et u n l et w n alors v n l l, Théorème Passage d inégalités à la limite) Si u n v n pour tout n N et u n l et v n l, alors l l On notera que dans un cas, l eistence d une limite pour la suite v est dans la conclusion, et dans l autre c est une hypothèse Fausses idées et contre-eemples Que dire de f) lorsque f) et g) tendent tous les deu vers 0 ou tous les deu vers + ) en g) 0? Ben pas grand chose

3 Eercice 5 Montrer différents eemples de fractions f) g) lorsque +, avec le rapport f) g) eemple où le rapport f) g) telles que f et g tendent vers + tendant vers 0, +, 0 lorsque +, et même un ne possède pas de limite en + Comment interpréter géométriquement sur le graphe de f) une limite telle que f) 5? + Eercice 6 Prouver ou réfuter à l aide de contre-eemples/dessins les affirmations suivantes : f) f) f) f) f) 5 = f) = f) = f) 5 l R = f) 5 l R {+ } = f) 5 l R {± } + + Chacun sait?) que si α ], [, alors α n 0 Par ailleurs, si β n l R, et K R, alors βn K lk Mais Eercice 7 Déterminer lim n n) 3 Notions d équivalent et de négligeabilité Définition On dit que u n est équivalent à v n lorsque n + et on note u n v n ou bien u n v n ) lorsque u n v n On dit que u n est négligeable devant v n lorsque n + et on note u n = ov n ) ou bien u n = ov n )) lorsque u n 0 v n Les définitions suivantes concernent les mêmes notions, mais pour des fonctions au voisinage d un point : Définition Soit f une fonction définie sur D R, et 0 un point au bord de D typiquement, 0 ou +, si D =]0, + [) avec g ne s annulant pas au voisinage de 0 On dit que f) est équivalent à g) lorsque 0 et on note f) g) ou bien f) 0 g)) lorsque f) g) 0 On dit que f) est négligeable devant g) lorsque 0 et on note f) = o g)) ou bien 0 f) = o g))) lorsque f) g) 0 0 Eemples On a + 3 3, mais

4 De même, sin 0 alors que sin = + o) 3 Si on prend f) = + 3 et g) = + 4, on a f) + g) mais e f) = + o g)) Remarques Dire que f) = o) est équivalent à dire f) 0 De même si l 0, f) l revient à dire 0 0 f) l Mais bien entendu, f) 0 n a aucun sens, donc ne se retrouvera jamais sur vos 0 copies On peut traduire f) g) par f) = λ)g), avec λ) 0 De même, f) = o g) ) pourra se traduire f) = ε)g), avec ε) 0 0 Eercice 8 On suppose f) 5 Montrer : f) ) 50 5) 50 Si K est une constante, a-t-on f) ) K 5) K? et f) ) 5)? Les résultats qui suivent sont de preuve simple, qu il faut absolument faire Ils seront utilisés quinze fois à la seconde Il ne faut donc pas les APPRENDRE mais les COMPRENDRE et s y familiariser Les énoncés équivalents pour les fonctions au voisinage d un point sont également valables Proposition Soient u, v, w, des suites réelles Si u n v n et v n w n alors u n w n Si u n v n et v n = ow n ) alors u n = ow n ) Si u n = ov n ) et v n = ow n ) alors u n = ow n ) Si u n = ov n ) et λ R alors λu n = ov n ) De même, si u n = ov n ) et µ R, alors u n = oµv n ) Si u n v n alors w n u n w n v n et de même si u n = ov n ) alors w n u n = ow n v n ) Par eemple, n o/n 3 ) = o/n) Si u n v n et u n v n alors u nu n v nv n Si u n = ov n ) et u n = v n) alors u n + u n = ov n) Eercice 9 Prouver ces résultats Eercice 0 On suppose que f) + +, et f) g) Montrer : ln f) ) ln g) ) Même chose si f) Eercice Montrer qu au voisinage de 0, on a A quoi de plus simple ces termes sont-ils équivalents? CONCLUSION? Eercice On prend u n = + n, v n = + n, u n = + n et v n = + Vérifier que n u n v n et u n v n Que dire de u n + u n vis-à-vis de v n + v n? CONCLUSION? 4 Comparaison des fonctions usuelles en 0 et + Eercice 3 Calculatrices interdites) Tracer sur un même dessin le graphe des fonctions,, pour [0, ] Même chose avec, et ln pour ]0, ] Eercice 4 Reprendre les 6 fonctions précédentes prendre ln plutôt que ln), mais avec cette fois [, + [ On ne va pas énoncer de théorème ici, mais les résultats qui suivent doivent devenir rapidement intuitifs, si ce n est pas déjà le cas En 0 : = o), 0 = o ), = o/ ), / = o/ 3 ), ln = o/), ln ) 00 = o/) En + : = o ), = o 0 ), / = o), / 3 = o/ ), ln = o), ln ) 00 = o) aheum 4

5 5 Premiers eercices On demande de traiter les eercices suivants en utilisant impérativement le langage des équivalents et développements limités On donne pour cela : ln + ) ; sin, et sin = o3 ) Eercice 5 Déterminer lim 3n n) Eercice 6 Trouver un équivalent simple de sin Eercice 7 Trouver un équivalent simple de sin lorsque tend vers 0 lorsque tend vers 0 Calculs effectifs de limites, équivalents et DLs Développements limités usuels Les résultats suivants sont donnés sans preuve, et sont à connaitre le plus rapidement possible Proposition Lorsque, u, v 0, on a : sin = 3 3! + 5 5! + o5 ) cos =! + 4 4! + o5 ) 3 e = + +! + 3 3! + o3 ) 4 ln + u) = u u + u3 3 + ou3 ) 5 Si α R, + u) α = + αu + 6 v = + v + v + ov ) αα ) u + ou ) 7 Plus accesoirement, tan = o4 ) Eercice 8 Prouver le DL de + u) 5 donné plus haut, puis le DL de + u) Donner enfin une autre preuve du DL de v v à partir de celui de en sommant une suite géométrique Eercice 9 A-ton sin ? et sin ? CONCLUSIONS? Quelques idées importantes Dans une somme ou un quotient, on commence par déterminer les limites des différents termes à vue Si tout le monde est d accord, la limite est trouvée Pour avoir un équivalent, on détermine rapidement les équivalents des différents termes Si l un est plus fort que les autres, on factorise l équivalent en question, et c est gagné 3 Si on cherche le comportement de f) pour proche de 0 R différent de 0, il peut être intéressant de poser = 0 + h, c est-à-dire considérer f 0 + h), avec cette fois h proche de 0 4 Dans les développements limités, il faut TOUJOURS respecter la hiérarchie des termes du plus gros au plus petit) En 0, ça donnera des choses du genre o 5 ) alors qu en +, on écrira o), mais jamais o 3 ) pourquoi?) 5

6 5 Dans une somme f ) g ) ± f ) avec les deu termes tendant vers ±, on détermine une éventuelle g ) limite ou un équivalent en mettant sous même dénominateur On n est pas formellement g )g ) obligé de faire ainsi, mais epérimentalement, c est plus simple comme ça 6 Si on cherche un équivalent de e ϕ), on commence par chercher un équivalent simple ϕ) ψ), puis on écrit ϕ) = ψ) + truc), de sorte que e ϕ) = e ψ) e truc), et on recommence avec truc), qui est plus petit que ϕ) On s arrète quand on a truc) 0 ce qui arrive en une 0 ou deu étapes, en général), et on a alors e truc) donc e truc) 0 7 Pour toute epression de la forme f) ) g), on travaillera sur l écriture e g) lnf)) 3 Des limites Eercice 0 Mise en route) Calculer les limites suivantes : t t lim t t + ln + t) ; ln t lim t t ; 3 lim ) n 5/3 n ; n 4 lim t + t t t + lnt) 5 lim ) ; 6 π ) lim π et lim t t t t + lnt) ; sin lncos ) ; 7 lim 0 tan ) tan) on pourra utiliser l eercice 0) Eercice Moins direct) Il faut un peu plus travailler : lim ln ; lim + ; 3 lim 0 cos ) cotan ; 4 lim π tan )tan) ; 5 lim tan ) tan) on pourra commencer par montrer : tanπ/4+u) = +u+ou) quand u 0) π 4 Eercice Difficile pour des néophytes) Si vous êtes déjà autonomes sur les calculs suivants disons que c est bien parti! lim π/ cos + lnsin ) ; lim 0 sin ) sin tan ) tan ; 3 lim + 3 ) tan π 4 ) ; 4 lim e + )) + Bien entendu, ϕ) ψ) n implique pas e ϕ) e ψ) 6

7 4 Des équivalents Eercice 3 Déterminer des équivalents simples de : lntan ) lorsque 0 + puis lorsque π 4 ; lorsque 0 + puis lorsque + ; 3 tan lorsque 0 ; 4 e / + ) lorsque ; 5 lnn + ) lnn) lorsque n ; ) n lnn + ) 6 lorsque n lnn) Eercice 4 Pareil mais en plus difficile ) ln lorsque ; ln ) e ++ lorsque ; 3 e tan lorsque π ; 4 ln n n ln n 5 sin ) ln n ) lorsque 0 lorsque n ; 7