Mathématiques 3h30 Corrigé du D07S
|
|
- Ghislaine St-Denis
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 BCPST Mathématiques 3h30 Corrigé du D07S 5//0 er problème : re Partie : Un exemple. ) g est déni de R dans R. Montrons que g est linéaire : Soient u = (x, y), v = (x, y ) R. Soit λ R. g(u + λv) = g(x + λx, y + λy ) = (3(x + λx ) + (y + λy ), (x + λx )) = (3x + y, x) + λ(3x + y, x ) = g(u) + λg(v) Ainsi, g est un endomorphisme de R ) Soit u = (x, y) R. Calculons g g(u) : g g(u) = g(3x + y, x) = (3(3x + y) + ( x), (3x + y)) = (7x + 6y, 3x y) Calculons maintenant g g(u) 3g(u) : g g(u) 3g(u) = (7x + 6y, 3x y) 3(3x + y, x) = ( x, y) Ainsi, g g = 3g Id E 3 ) Recherche de Ker(g Id R ) : Soit u = (x, y) R. u Ker(g Id R ) g(x, y) (x, y) = (0, 0) { 3x + y x = 0 x y = 0 x + y = 0 u = x(, ) Ainsi F = Vect((, )). De plus, (, ) est une famille libre (un vecteur non nul) donc c'est une base de F.
2 Recherche de Ker(g Id R ) : Soit u = (x, y) R. Ainsi G = Vect((, )). u Ker(g Id R ) g(x, y) (x, y) = (0, 0) { 3x + y x = 0 x y = 0 x + y = 0 u = y(, ) De plus, (, ) est une famille libre (un vecteur non nul) donc c'est une base de G. La famille ((, ), (, )) est constituée de deux vecteurs non colinéaires : la famille est donc libre. Comme dim(r ) =, on en déduit que cette famille est une base de R. Enn, (, ) est une base de F et (, ) est une base de G. Donc F et G sont supplémentaires dans R.. 4 ) On vient de voir que (u, v) est une base de R. Soit (x, y) R. On cherche x et y tels que (x, y) = x u + y v. (x, y) = x u + y v { x = x y y = x + y { y = (x + y) x = (x + y) 5 ) Comme u Ker(g Id R ), on a g(u) = u puis par récurrence élémentaire g n (u) = u. Comme v Ker(g Id R ), on a g(v) = v puis par récurrence élémentaire g n (v) = n v. On vient de voir que (x, y) = (x + y)u (x + y)v. Par linéarité de g n, on en déduit : g n (x, y) = g n ( (x + y)u (x + y)v) = (x + y)g n (u) (x + y)g n (v) = (x + y)u (x + y) n v = ( (x + y) + (x + y) n+, (x + y) (x + y) n) e Partie : Etude de f ) Il est clair que Id E est solution. ) Soit f une solution de ( ). On a alors : Id E = f Ainsi f est bijective et f = 3 ) Soit λ R et f = λ Id E. ( ) (3 Id E f) f = 3f Id E ( ) ( ) (3 Id E f) = (3 Id E f) f. λ Id E = 3λ Id E Id E λ 3λ + = 0 λ = ou λ = Ainsi Id E et Id E sont les seules solutions de la forme λ Id E.
3 4 ) Ce n'est pas un sous-espace vectoriel de L(E) car l'application nulle n'est pas solution de ( ). 3 e Partie : Etude des puissance de f ) Soit (α, β) R. On suppose αf + β Id E = 0. Si α = 0 alors nécessairement β = 0. Si α 0 alors f = β α Id E, ce qui est exclu par l'énoncé. Ainsi, on a bien α = β = 0 : la famille est libre. ) a) On a : f 3 = f f = (3f Id E ) f = 3f f = 3(3f Id E ) f et = 7f 6 Id E f 4 = f 3 f = (7f 6 Id E ) f = 7f 6f = 7(3f Id E ) 6f = 5f 4 Id E b) Montrons par récurrence sur n la propriété P n : (a n, b n ) R, f n = a n f + b n Id E. La propriété est vraie aux rangs : n = 0 avec a 0 = 0 et b 0 = n = avec a = et b = 0 n = avec a = 3 et b = Remarque : Seule l'initialisation pour n = 0 est nécéssaire, pour la récurrence. Soit n 0. Supposons la propriété établie au rang n. Montrons là au rang n + : f n+ = f n f = (a n f + b n Id E ) f par hypothèse de récurrence = a n f + b n f = a n (3f Id E ) + b n f d'après ( ) = (3a n + b n )f a n Id E En posant a n+ = (3a n + b n ) et b n+ = a n, on a donc montré f n+ = a n+ f + b n+ Id E. Par principe de récurrence, la propriété est donc montrée pour tout n de N. c) L'existence vient d'être montrée. Montrons donc l'unicité. Soit n N. Supposons qu'il existe a n, b n et c n, d n tels que f n = a n f + b n Id E et f n = c n f + d n Id E. On en déduit : (a n c n )f + (b n d n ) Id E = 0. Comme la famille (f, Id E ) est libre, on a a n = c n et b n = d n. On vient de montré l'unicité de a n et b n. { an+ = (3a n + b n ) 3 ) a) On a pour tout n 0 : b n+ = a n Donc, pour n, a n+ = 3a n a n. 3
4 b) Ainsi (a n ) vérie une relation récurrente linéaire d'ordre dont l'équation caractéristique est r = 3r. les solutions sont et. On obtient donc a n = α + β n. Calculons α et β à l'aide de a 0 = 0 et a = : { a0 = 0 a = { α + β = 0 α + β = { α = β = On obtient donc a n = n. c) Soit n, on a b n = a n = n. La formule est encore valable pour n = 0 puisque b 0 =. 4 e Partie : Etude des combinaisons linéaires de f et Id E. On pose p = f Id E et q = Id E f. ) Pour montrer E = F G, nous allons montrer la propriété suivante : x E,!y F,!z G, x = y + z Raisonnons par analyse synthèse : Soit x E, supposons qu'il existe y F et z G tels que x = y + z. On a alors : φ(x) = φ(y) + φ(z) = y car y F et z G. On a donc nécessairement y = φ(x) et z = x φ(x). On a donc unicité sous condition d'existence. Eectuons la synthèse : Soit x E. Posons y = φ(x) et z = x φ(x). On a : x = y + z φ(z) = φ(x) φ φ(x) = 0 puisque φ = φ. Ainsi z G. φ(y) = φ φ(x) = φ(x) = y puisque φ = φ. Ainsi y F. On a montré : x E,!y F,!z G, x = y + z. C'est-à-dire : E = F G. Considérons maintenant la projection φ sur F parallèlement à G : Soit x E. Soit y F et z G tel que x = y + z. On a vu que y = φ(x) et z = x φ(x). Par dénition de p, on a φ (x) = y = φ(x). Ainsi φ est la projection sur F parallèlement à G. ) Calculons donc p p : p p = (f Id E ) (f Id E ) = f f + Id E = 3f Id E f + Id E = f Id E = p Ainsi p p = p et d'après ce qui précède, p est un projecteur. De même, calculons donc q q : q q = ( Id E f) ( Id E f) = f 4f + 4 Id E = 3f Id E 4f + 4 Id E = f + Id E = q 3 Ainsi q q = q et d'après ce qui précède, q est un projecteur. 4
5 3 ) Calculons donc q p : q p = ( Id E f) (f Id E ) = f Id E f + f = 3f Id E f = 0 De même, p q = 0 4 ) On remarque : f = p + q. Comme p q = q p, on utilise le binôme de Newton : f n = (p + q) n ( ) n = (p) k q n k k = n p n + q n car p q = q p = 0 = n p + q car p n = p, q n = q = ( n )f + ( n ) Id E /33 e problème : A) Etude des polynômes ) P = XP P 0 = X P 3 = XP P = 4X 3 3X P 4 = XP 3 P = 8X 4 8X + ) a) En notant pour n 0, Q n :Les coecients de P n sont entiers, il est immédiat que : Q O, Q sont vériées Soit n 0. On suppose que Q n et Q n+ sont vériées, alors Q n+ est vériée. Par principe de récurrence, tous les coecients de P n sont entiers. b) Procédons à nouveau par récurrence, en notant K n la propriété : Q n R[X], P n = n X n + Q n, deg(q n ) n Pour n =, la propriété est vraie en posant Q = 0 puisque P = X Pour n =, la propriété est vraie en posant Q = puisque P = X Soit n. Supposons la propriété vraie aux rangs n et n + : Q n R[X], P n = n X n + Q n, deg(q n ) n Q n+ R[X], P n+ = n X n+ + Q n+, deg(q n+ ) n On a alors : P n+ = XP n+ P n = X( n X n+ + Q n+ ) ( n X n + Q n ) = n+ X n+ + XQ n+ ( n X n + Q n ) 5
6 Posons Q n+ = XQ n+ ( n X n + Q n ), on a : { deg(q n+ ) max(deg(xq n+, deg(x n deg(qn ) n ), deg(q n )) n + car deg(q n+ ) n Ainsi, la propriété est vraie au rang n +. Par principe de récurrence (double), la propriété est vraie pour tout n. On en déduit de façon immédiate : deg(p n ) = n et son coecient dominant est n. c) Nous allons à nouveau procéder par récurrence pour montrer que P n est de la parité de n. Pour cela, posons pour n 0, A n : P n ( X) = ( ) n P n (X), ce qui traduit bien que le fait que P n est de la parité de n. P 0 = donc A 0 est vraie. P = X donc A est vraie. Soit n 0, on suppose A n et A n+. On a alors : P n+ ( X) = ( X)P n+ ( X) P n ( X) = ( X)( ) n+ P n+ (X) ( ) n P n (X) = ( ) n+ (XP n+ (X) P n (X)) = ( ) n+ P n+ (X) Ainsi, A n+ est vériée. Par principe de récurrence, P n est de la parité de n pour tout n. 3 ) a) A nouveau, on procède par récurrence : Notons pour n N, B n, la propriété : θ R, P n (cos θ) = cos(nθ) P 0 = et cos(0θ) = : la propriété est vériée! P = X donc P (cos θ) = cos θ : la proprité est vériée au rang. Soit n 0. Supposons B n et B n+ vériées. Soit θ R P n+ (cos θ) = ( cos θ)p n+ (cos θ) P n (cos θ) = ( cos θ) cos((n + )θ) cos(nθ) par hypothèse de récurrence = cos((n + )θ) + cos(nθ) cos(nθ) d'après les formules de trigonométrie = cos((n + )θ) Par principe de récurrence, la propriété est montrée pour tout n. b) Soit n N. Supposons qu'il existe un autre polynôme R n vériant la propriété. On a alors : θ R, (R n P n )(cos θ) = cos(nθ) cos(nθ) = 0. Ainsi R n P n admet une innité de racines (le segment [, ]) donc ce polynôme est nul, soit R n = P n. On a donc montré l'unicité du polynôme P de R[X] vériant : θ R, P (cos θ) = cos(nθ) c) On a cos(θ) = cos θ. Par unicité du polynôme P vériant la propriété ci-dessus, on retrouve P = X. On a : cos(3θ) = cos θ cos(θ) sin θ sin(θ) = cos(θ)( cos (θ) ) cos θ sin θ = cos 3 θ cos θ cos θ( cos θ) = 4 cos 3 θ 3 cos θ 6
7 d) On a : Par unicité du polynôme P 3 vériant la propriété ci-dessus, on retrouve P 3 = 4X 3 3X. ( ) exp(iθ) + exp( iθ) 3 Remarque : on peut aussi calculer cos 3 (θ) à partir de cos 3 (θ) =. P n () = P n (cos(0)) = cos(n0) = P n ( ) = P n (cos(π)) = cos(nπ) = ( ) n P n (0) = P n (cos( π )) = cos(n π ) = { 0 si n est impair ( ) p si n est pair avec n = p 4 ) a) Soit x [, ]. Nous allons chercher x sous la forme x = cos θ avec θ [0, π]. P n (x) = 0 P n (cos θ) = 0 cos(nθ) = 0 nθ = π + kπ θ = π + kπ n ( ) π + kπ x = cos n avec k Z avec k 0, n car θ [0, π] avec k 0, n On pose, pour k 0, n, x k = cos ( ) π+kπ n. Le calcul précédent montre que les (x k ) 0 k n sont les racines de P n appartenant à [, ]. b) Comme la fonction cos est strictement décroissante sur [0, π], les (x k ) 0 k n sont tous distints. On a ainsi trouvé n racines distinctes de P n. Or P n est de degré n, on a donc toutes les racines. c) On a, en factorisant P n : n P n = n (X x k ) En évaluant en 0, on obtient P n (0) = n n ( x k). On en déduit : π n = ( )n n P n(0) = 0 si n est impair ( ) p n si n est pair avec n = p En développant P n, on obtient : P n = n X n s n X n +... Or P n est de la parité de n, donc le terme de degré n est nul donc s n = 0 5 ) a) On a vu : θ R, P n (cos θ) = cos(nθ). P n et cos sont deux fois dérivables sur R, on en déduit, pour tout θ R : puis : sin θp n(cos θ) = n sin(nθ) cos θp n(cos θ) + sin θp n (cos θ) = n cos(nθ) = n P n (cos θ) b) Soit n N. Considérons R = (X )P n + XP n n P n. D'après la question précédente, pour tout θ R, R(cos θ) = 0. Ce polynôme admet une innité de racines (toutes les valeurs prises par cos θ, soit [, ]), il est donc nul. Donc (X )P n + XP n = n P n 7
8 B) Application à l'étude d'un endomorphisme ) Soit P R n [X]. On a donc deg(p ) n. On a φ(p ) R[X]. De plus, deg((x )P ) n et deg(xp ) n donc deg(φ(p )) n. Donc φ(p ) R n [X]. Montrons maintenant que φ est linéaire : Soient P, Q R n [X] et λ R : φ(p + λq) = (X )(P + λq) + X(P + λq) = (X )P + XP + λ((x )Q + XQ ) = φ(p ) + λφ(q) Ainsi, φ est bien un endomorphisme de R n [X]. ) Montrons tout d'abord que la famille (P k ) 0 k n est libre : Considérons (λ k ) 0 k n R n+ tels que : λ k P k = 0 On a alors λ n P n = n λ kp k. Or : n deg(p k ) = k donc deg( λ k P k ) n deg(p n ) = n n donc nécessairement λ n = 0 et λ k P k = 0. Par récurrence descendante, on montre ainsi : k 0, n, λ k = 0. La famille est libre De plus card((p k ) 0 k n ) = n + = dim R n [X]. C'est donc une base de R n [X]. A l'aide de la partie précédent, on a k 0, n, φ(p k ) = k P k Comme R n [X] = Vect(P k, 0 k n), on en déduit : Im(φ) = Vect(φ(P k ), 0 k n) = Vect(k P k, k n) car φ(p 0 ) = 0. Ainsi la famille (P k ) k n est une famille génératrice de Im(φ). Par ailleurs, cette famille est libre (comme sous famille de (P k ) 0 k n ). C'est donc une base de Im(φ). 3 ) Première démonstration : Avec le théorème du rang. On remarque P 0 Ker(Φ). Comme (P k ) k n est une base de Im(φ), on a dim(im(φ)) = n. D'après le théorème du rang : dim(ker(φ)) = dim(r n [X]) dim(im(φ)) =. Ainsi (P 0 ) est une base de Ker(φ) donc Ker(φ) = Vect(P 0 ) = R 0 [X]. Deuxième démonstration : Soit P R n [X]. Comme (P k ) 0 k n est une base de R n [X], on a :!(λ k ) 0 k n R n+, P = λ k P k 8
9 On a alors : P Ker(Φ) φ(p ) = 0 φ( λ k P k ) = 0 λ k φ(p k ) = 0 λ k k P k = 0 k, n, λ k = 0 car (P,..., P n ) est libre P = λ 0 P 0 Ainsi, on vient de montrer : Ker(φ) = Vect(P 0 ) 4 ) a) On a pour P = 0, φ(p ) = 0 et λp = 0 b) On remarque qu'avec λ k = k et P = P k, on a φ(p k ) = λ k P k. c) Comme (P k ) 0 k n est une base de R n [X], il existe (a k ) 0 k n tel que P = Résolvons alors φ(p ) = λp : a k P k. φ(p ) = λp a k k P k = λ a k P k k 0, n, a k (k λ) = 0 k 0, n, a k = 0 ou λ = k car (P k ) 0 k n est libre d) Ainsi, Soit : i 0, n, λ = i, on a alors φ(p ) = i P k 0, n, k i, a k = 0 P = a i P i D'où Ker(φ i Id Rn[X]) = Vect(P i ) /39 Soit : i 0, n, λ i, on a alors Ker(φ λ Id Rn[X]) = {0} /7 9
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables
MA 2 2011-2012 M2 Algèbre formelle 1 Introduction 1.1 Référence Ideals, varieties and algorithms, D. Cox, J. Little, D. O Shea, Undergraduate texts in Mathematics, Springer 1997. Using algebraic geometry,
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailThéorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles
Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détail