mathématiques - S3 probabilités et statistiques : corrigé département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble dénombrement et probabilités élémentaires

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1 mathématique - S3 probabilité et tatitique : corrigé département Meure Phyique - IUT1 - Grenoble dénombrement et probabilité élémentaire 1. Le reponable de l entretien d un immeuble doit remplacer deux lampe dan un bureau. Il decend au ou-ol chercher deux nouvelle lampe dan une boîte de 4 dont deux ont défectueue, pui il remonte le teter. Quelle et la probabilité qu il doive redecendre? Le reponable devra redecendre i et eulement i il choiit au moin une lampe défectueue. On peut calculer plu facilement la probabilité que le deux lampe choiie fonctionnent : le nombre de choix et ( ) 1 = = 31, alor que le nombre de choix total et ( ) = = 76. La probabilité qu à le reponable de devoir redecendre et donc de = 45 76, oit approximativement Deux empaqueteue fonctionnent indépendemment. Pour une journée donnée, la probabilité que l empaqueteue 1 oit en panne et de 0,05, et de 0,0 pour l empaqueteue. Quelle et la probabilité pour qu aucune ne fonctionne? Pour que le deux fonctionnent imultanément? Soit A l événement "l empaqueteue 1 tombe en panne" et B l événement "l empaqueteue tombe en panne". On ap(a) = 0.05 et p(b) = 0.0. (a) L événement "aucune empaqueteue ne fonctionne" et A B. A et B ont indépendant, donc p(a B) = p(a) p(b) = (b) L événement "le deux empaqueteue fonctionnent imultanément" et Ā B, et donc p(ā B) = p(ā)p( B) = (1 p(a))(1 p(b)) = = Lor d un jeu télévié, on propoe à un candidat troi enveloppe identique ; une eule d entre-elle contient un chèque. Le candidat commence par déigner une de enveloppe, pui le préentateur ouvre alor une autre enveloppe, qui et vide. Le candidat peut alor choiir d ouvrir l enveloppe qu il avait initialement déignée, ou bien ouvrir la troiième enveloppe. Quel et on intérêt? (objet d un jeu télévié américain, ce «problème» avait dan le année 50 paionné le grand public) Initialement, le candidat a une chance ur troi de gagner. Cela rete évidemment le ca il applique comme tratégie de ne rien changer. S il applique la tratégie de changer ytématiquement d enveloppe, il tranforme le gain en perte et le perte en gain, et par conéquent a probabilité de gagner et de /3. Aini, le candidat a intérêt à ouvrir ytématiquement la troiième enveloppe. 4. Dan une boîte il y a 1 pièce : une vi et un écrou de diamètre d 1, une vi et un écrou de diamètred,..., une vi et un écrou de diamètred 6. On choiit deux pièce au haard. Calculer la probabilité : (a) De pouvoir recontituer un boulon. (b) Qu il agie d un vi et d un écrou. (a) Il y a donc ( 1 ) = 66 tirage poible. i. 6 tirage ont contitué de pièce de même diamètre, donc la probabilité et de 6/66 = 1/11. ii. Choiir un tirage contitué d un vi et d un écrou revient ) à( choiir une vi parmi 6 et 6 1) un écrou parmi 6. La probabilité cherchée et aini ( 6 1 ( 1 ) = 6/ Durant un jeu avec paquet de 3 carte, chacun de deux joueur reçoit 5 carte : connue de tou et 3 connue de lui eul. 1) Quelle et la probabilité pour qu un joueur ait un carré d a? ) Vou avez vu que votre adveraire a reçu deux a ; de votre côté vou n en avez aucun. Quelle et la probabilité que votre adveraire ait un carré d a en main? 1) Il y a ( 3 5) main poible. Parmi celle-ci, 8 contiennent un carré d a (8 choix 8 poible pour l unique carte qui n et pa un a). Donc la probabilité et ( 3 = 1/719 5) oit environ 1, oit 0.013%. ) On ne intéree qu aux 3 carte inconnue, à choiir parmi 5 = 3 5 (vo 5 carte et le a connu). Il y a donc ( 5 3) choix poible, et parmi ceux-ci, 3 contiennent le deux a manquant (choix de a et d une eule autre carte parmi le 3 qui ne ont pa de a). La probabilité et donc de ( 3 5 oit exactement 1%. 3) 6. On lance deux foi un dé bien équilibré. (a) Quelle et la probabilité que la omme de point oit trictement upérieure à 10 achant que le premier réultat et 6? Sachant qu un de réultat et 6? (b) Sachant que la omme de point vaut 6 calculer la probabilité pour que l un de dé ait donné un. 1

2 (a) Si l on ait que le premier réultat et 6, on peut prendre pour univer l enemble de tirage dont le premier réultat et un 6, de cardinal 6 (on a ix tirage poible en tout, (6,1),(6,),...,(6,6)). L événement "la omme et trictement upérieure à 10" et contitué de deux iue (6, 5) et(6, 6). Aini, la probabilité cherchée et /6 = 1/3. Si on ait que l un de dé a donné 6, l univer et contitué de tou le tirage comportant au moin un 6, oit (6,1),(6,),...,(6,6),(1,6),...,(5,6), de cardinal 11 (attention, (6, 6) n apparaît qu une eule foi). Le tirage pour lequel la omme et trictement upérieure à 10 ont (6,6), (6,5) et (5,6), et la probabilité et donc 3/11. (b) On note A l événement «l un de dé a donné un» et B l événement «la omme de point fait 6». Il agit de calculer p(a B) = p(a B)/p(B). Mai A B = {(, 4);(4, )} et de cardinal, et B = {(1, 5);(5, 1);(4, );(, 4);(3, 3)} et de cardinal 5, donc la probabilité cherchée et de /5. 7. Deux machinem 1 etm produient quotidiennement repectivement 1000 et 3000 pièce. Le taux de pièce défectueue et de% pourm 1 et de5% pourm. Quelle et la probabilité qu une pièce défectueue provienne de M 1? On tire une pièce au haard : on note D l événement «la pièce et défectueue», et M i l événément «la pièce provient de la machine M i»,i = 1,. p(d) = = ,p(M1) = 1 4,p(M) = 3 4. On ait que p(d M 1) = 0.0, donc p(d M 1) = 0.0 p(m 1) = Et donc p(m 1 D) = variable aléatoire p(d M1) p(d) = %. 8. 5% de interrupteur ortant d une chaîne de production ont défectueux. On en prend deux au haard. Soit X la variable aléatoire «nombre d interrupteur défectueux dan l échantillon prélevé». Donner la loi de probabilité de X, calculere(x) et Var(X). Le troi réultat poible ont : «deux interrupteur défectueux», de probabilité 0.05 = 0.005, «aucun interrupteur défectueux», de probabilité 0.95 = 0.905, «un eul interrupteur défectueux», de probabilité = Alor E(X) = = 0.1, E(X ) = , E(X) = 0.105, et donc Var(X) = E(X ) E(X) = Remarque : on peut aui voir que X uit une loi binomiale de paramètre n = et p = 0.05, donc E(X) = np = 0.1 et Var(X) = np(1 p) = = On donne la ditribution (loi) conjointe de deux variable dicrète : X Y (a) déterminer le ditribution (loi) marginale, pui E(X) et E(Y). (b) Déterminer E(X.Y) et la covariance de X et Y. (c) le deux variable ont-elle indépendante? Pour trouver le p(x = i) on additionne le coefficient p(x = i, Y = j) pour j = 0,1, : p(x = 10) = 0.5, p(x = 1) = 0.5, p(x = 14) = 0.5. De même, p(y = 0) = 0.5, p(y = 1) = 0.5, p(y = ) = 0.5. E(X.Y) = 10p(X = 10,Y = 1)+1p(X = 1,Y = 1)+14p(X = 14,Y = 1)+10p(X = 10,Y = )+1p(X = 1,Y = )+14p(X = 14,Y = ) = = 1. E(X) = 1 ete(y) = 1, et donc E(X.Y) = E(X).E(Y), mai pourtant X et Y ne ont pa indépendante : on voit par exemple que p(x = 10, Y = 0) n et 10. X uit une loi normale de paramètre et 4. Calculerp(X = ),p(x > 3), p( 1 X 4), p( X 6). pa égal àp(x = 10)p(Y = 0). SiZ = X,Z uit une loi normale centrée réduite. p(x = ) = 0 car X et continue. p(x > 3) = p(z > 1/) = 1 p(z < 1/) = = , p( 1 X 4) = p( 3/ Z 1) = p(z 1) p(z 3/) = p(z 1) (1 p(z 3/)) = p(z 1) 1+p(Z 3/) = = Pour p( X 6) on peut refaire un calcul analogue au précédent, ou implement remarquer que c et la probabilité d être dan un intervalle centré ur l epérance et de "rayon" écart-type : la probabilité et donc 95.4%.

3 11. Dix boite ont poée dan une pièce. Un objet et caché dan l une d entre elle, et un joueur ouvre une boîte au haard pour trouver l objet. Il effectue une érie de 3 eai pour le retrouver (à chaque eai, réui ou non, l objet et caché à nouveau hor de la préence du joueur). (a) Quelle et la loi de la variablex «nombre de foi où l objet et trouvé»? (b) Déterminer l epérance et la variance de X. (c) Calculer la probabilité d avoir 0 uccè, 3 uccè, moin de 3 uccè, plu de 10 uccè. (d) À partir de combien de uccè peut-on conidérer le réultat comme extraordinaire (c et-à-dire qu un tel nombre de uccè n et obtenu que pour 1% de joueur)? (a) Il agit d une loi binomiale de paramètre 3 et 0.1 (on répète 3 foi l opération qui conite à choiir au haard une boite, qui a une chance ur 10 de contenir l objet, et on compte le nombre total de uccè). (b) Son epérance et E(X) = np = 3. et a variance Var(X) = np(1 p) =.88. (c) p(x = 0) = 0.034, p(x = 3) = 0.34, p(x 3) = 0.600, p(x 10) = Comme n 30, p 0.1 et np = 3. 5, le condition énoncée dan le cour ont vérifiée, et on utiliera effectivement l approximation par une loi de Poion de paramètre λ = np = 3 car on n a pa la table pour la loi de paramètre 3.. En utiliant l approximation par une loi de Poion de paramètre 3, on trouve donc : p(x = 0) = p(x = 3) = 0.0 p(x 3) = p(x 10) = 1 p(x < 10) = 1 p(x 9) = , p(x 10) = En utiliant la table de la loi de Poion on contate que la probabilité d obtenir moin de 7 eai et 0.988, d obtenir moin de 8 eai et Donc la probabilité d obtenir 9 eai ou plu et inférieure à 1%. 1. Pour e prémunir contre le 10% défection tardive habituellement contatée, une compagnie aérienne pratique la urréervation : elle vend 70 billet pour 50 iège dan un avion. Soit X la variable aléatoire «nombre de peronne ayant réervé qui e préentent pour embarquer». (a) Montrer que X uit une loi binomiale, et que l approximation par une loi normale et jutifiée. (b) Quelle et la probabilité qu exactement 50 peronne e préentent à l embarquement? Quelle et la probabilité que toute peronne ayant réervé et e préentant oit aurée d un iège? (a) La probabilité qu une peronne ayant acheté un billet e préente à l embarquement vaut p = 0.9, puique la compagnie contate 10% de défection. Par conéquent, i on répète 70 foi un "tirage au ort" pour déterminer i un paager e préente (avec une probabilité de 0.9), et l on compte le nombre de paager qui e préentent : X uit bien une loi binomiale de paramètre n = 70 et p = 0.9. Comme n > 50 et et que np(1 p) = 4.3, on peut effectivement approcher la loi de X par une loi normale de paramètre np = 43 etnp(1 p) = 4.3. (b) On ouhaite déterminer p(x = 50) et p(x 50) ; i on utilie l approximation par la loi normale, on calcule en fait p(49.5 X 50.5) et p(x 50.5). Pour cela, on e ramène à une loi normale centrée réduite : p(x 50.5) = p( X ) = p( X ) , de même p(x 49.5) Aini, la probabilité que toute peronne ayant réervé ait un iège et de 93.57%, et la probabilité qu exactement 50 peronne e préentent et0.03. (remarque : un calcul exact donne, avec la loi binomiale, p(x 50) = 94.11% ; par ailleur un calcul de p(x 50) (et non 50.5) avec la loi normale donne une moin bonne approximation, 9.%). etimation de paramètre 13. Dan un grand lot de pièce circulaire, on a prélevé au haard 40 pièce dont on vérifie le diamètre. Le meure (en cm) ont : Etimer par un intervalle de confiance 95% le diamètre moyen. 3

4 On trouve le etimation ponctuelle x = 4.93, = 0.0 et = L effectif de l échantillon étant «grand» (upérieur à 30), on peut conidérer que X µ n uit une loi normale centrée réduite. Par conéquent, l epérance de X era dan 95% de ca dan l intervalle [ x 1.96/ n, x+1.96/ n], oit ici dan l intervalle [4.87, 4.99]. (complément hor programme : etimation par intervalle de confiance de la variance : SiX uit une loi normale, on ait alor que (n 1) /σ uit une loi duχ à n 1 degré de liberté, donc σ et avec une probabilité de 95% dan l intervalle [(n 1) /c 1,(n 1) /c ] pour c et c (lu dan la table duχ à 40 degré de liberté, car le formulaire ne donne pa la table à 39 degré de liberté), oit σ [0.067,0.0648]. Si on ne ait pa que X uit une loi normale, on ne peut rien dire...) 14. De eai en laboratoire ur 0 lampe miniature donnent le durée de vie uivante, en heure : 451, 41, 41, 375, 407, 454, 375, 393, 355, 364, 414, 413, 345, 43, 39, 39, 439, 381, 451, 413. On uppoe la durée de vie ditribuée normalement. Etimer par un intervalle de confiance 95% la durée de vie moyenne. Le etimation ponctuelle de l epéance, de l écart-type et de la variance ont repectivement x = , = et = 197. Alor n X µ uit une loi de Student à 19 degré de liberté, et donc l epérance de X era dan 95% de ca dan l intervalle[ x t(0.95)/ n, x+t(0.95)/ n], et on lit t(0.95) =.093 dan la table de la loi de Student à 19 degré de liberté, donc l intervalle cherché et [383.5, 417.]. (complément hor-programme : etimation de l écart-type par intervalle de confiance :X uit une loi normale, donc (n 1) /σ uit une loi duχ àn 1 degré de liberté, donc σ et avec une probabilité de 95% dan l intervalle[(n 1) /c 1,(n 1) /c ] pour c et c (lu dan la table duχ à 19 degré de liberté), oit σ [750.11,766.86], et donc l écart-type a 95% de chance de vérifier σ [7.39,5.6]. ) 15. (a) Sur un échantillon de 10 pièce fabriquée par une machine, 4 ont défectueue. Trouver un intervalle de confiance à 95% de la proportion réelle de pièce défectueue fabriquée par la machine. (b) Même quetion avec 600 pièce défectueue ur (a) On admet que i la proportion de pièce défectueue dan la population etp, la proportion F de pièce défectueue dan un échantillon d effectif n uit approximativement une loi normale N(p, p(1 p) F p ). Par conéquent, N(0,1), et donc n p(1 p)/n F p dan 95% de ca, p(1 p)/n Si on approche l écart-type p(1 p)/n par on etimation ponctuelle /10, on obtient p [ , ], oit l intervalle [0.18, 0.7]. (b) De même, avec n = 300, on trouve l intervalle de confiance 95% [0.186,0.14]. Logiquement, l augmentation de n aboutit à un encadrement plu préci pour un taux de confiance fixé... tet d hypothèe 16. On veut avoir i la réitance moyenne de compoant produit dan une uine et 400Ω. On conidère que la ditribution de réitance et normale, et on meure pour 16 compoant le valeur 39, 396, 386, 389, 388, 387, 403, 397, 401, 391, 400, 40, 394, 406, 406, 400. Peut-on conidérer, au euil de ignification α = 5%, que le lot repecte la norme de400ω? Même quetion avec un euil deα = 1%. On détermine, à partir de l échantillon, le etimation ponctuelle de epérance, variance et écart-type de la loi : on trouve x = , = 6.74 et = Si l on fait l hypothèe H 0 : "le lot repecte la norme de 400Ω", alor dan 95% de ca la moyenne ur un échantillon d effectif 16 e trouve dan l intervalle [400 t 6.74/4, t 6.74/4], t étant lu dan la table de la loi de Student à 15 degré de liberté : t = Aini l intervalle de confiance 95% pour la réitance et [396.40,403.59], et on peut donc, au rique 5%, rejeter l hypothèe. Au euilα = 1%, on a dan l hypothèe H 0 un intervalle de confiance pour la moyenne [400 t 6.74/4,400+t 6.74/4], avec t = Aini, l intervalle et [395.03,404.97]. Au rique 1%, on ne rejette pa H 0. 4

5 17. Un fabricant e vante de propoer de tube à eai d une durée de vie upérieure à 000h de chauffage. A l aide d un échantillon de 100 tube teté, on etime la durée de vie moyenne à 1975h et l écart-type à 130h. Peut-on affirmer, au rique 5%, que le fabriquant ment? Il agit ici d un tet unilatéral...h 0 et l hypothèe : "la durée de vie moyenne vérifie µ 000". On peut uppoer, l effectif de l échantillon étudié étant grand, que n X µ uit une loi normale centrée réduite. SiH 0 et vérifiée, on cherche t tel que p(µ t/ n X) = 0.95, oit p( t n X µ ) = 0.95, et donc 1 F( t) = F(t) = 0.95 :t = Aini, dan l hypothèe H 0, la durée de vie moyenne d un échantillon d effectif 100 e trouve, dan 95% de ca, dan l intervalle [ /10, + [= [ , + [. La meure de 1975h ur l échantillon n étant pa dan cet intervalle, H 0 doit être rejetée : il et probable que le fabriquant mente. 18. Un fabricant de médicament affirme que le mae d un compoant dan e comprimé ont répartie elon une loi normale d epérance 75 mg. Le meure pour le vérifier étant coûteue, troi eulement ont réaliée, dont le réultat ont 70, 7 et 74 mg. Peut-on, au rique de 5% de e tromper, conteter l affirmation? Noton X la variable aléatoire correpondante et µ = E(X) : il agit donc ici d effectuer un tet bilatéral de l hypothèe H 0 : µ = 75. On obtient ur un échantillon de 3 meure :n = 3, x = 7, σ = 8/3 et = 8/ = 4, donc l etimation ponctuelle de l écart-type et =. On ait que n X µ uit une loi de Student à degré de liberté, donc i α = 0.05, t(α) = Aini, la moyenne de mae du compoant, meurée ur un échantillon d effectif 3 era, dan 95% de ca, dan l intervalle [ / 3, / 3] = [70.03,79.97]. La valeur moyenne 7 meurée ur l échantillon étant bien dan cet intervalle, on n a pa de raion, au vu de ce meure, de rejeterh Un laboratoire pharmaceutique déire étudier le effet econdaire potentiel d un médicament ur le taux de choletérol de patient. Cent volontaire ont donc choii pour teter le médicament. (a) Avant l expérience, leur taux de choletérol moyen et de.0g.l 1, avec un écart-type de0.g.l 1 Le taux de choletérol moyen dan la population étant de g.l 1, vérifier que cet échantillon et repréentatif au rique 5%. (b) Aprè un moi de traitement, eul 97 volontaire reviennent faire un tet. Leur taux moyen de choletérol et paé à.09g.l 1 avec un écart-type d échantillon de0.5g.l 1. La différence et-elle ignificative au rique 5%? Au rique 1%? (a) Soit X 1 la variable aléatoire qui meure le taux de choletérol d un individu ; E(X 1) = µ 1 =. X 1 et le taux moyen meuré ur un échantillon de taillen 1 = 100. Alor n 1 étant plu grand que 30, on peut conidérer que X 1 n 1 uit une loi normale, avec 1 = 0. etimation ponctuelle de l écart-type de X 1. Aini, dan 95% de ca le taux moyen obervé ur un échantillon era compri dan [ /10, /10] = [1.961,.039]. Le taux de choletérol moyen de volontaire étant bien dan cet intervalle, on peut conidérer que cet échantillon et repréentatif. (b) SoitX la variable aléatoire meurant le taux de choletérol d un individu aprè un moi de traitement ; on epérance µ et inconnue. X et le taux moyen d un échantillon de taille n = 97. On fait l hypothèe H 0 : «le taux de choletérol moyen ont le même avant et aprè X 1 X traitement». Alor µ 1 = µ, et on peut conidérer que N(0,1) 1 /n 1 + /n (avec 1 = 0., = 0.5), et par conéquent on détermine l intervalle de confiance au rique 5% de X 1 X : [ /n1 + /n, /n1 + /n] = [ 0.063, 0.063]. Comme la différence entre le taux moyen meuré.0.09 = 0.07 n et pa dan cet intervalle, elle et ignificative, et on rejette H 0 donc on conidère, au rique 5% de e tromper, que le médicament a un effet. En revanche, l intervalle de confiance au rique 1% et [.57 1 /n1 + /n,.57 1 /n1 + /n] = [ 0.083,0.083], intervalle qui contient la valeur.0.09 = 0.07, donc la différence n et pa ignificative au rique 1%. 0. On relève chaque jour pendant 00 jour le nombre d atterriage entre 14h et 15h dan un aéroport : Nb d atterriage Nb de jour (a) Soit X la variable «nombre d atterriage par jour entre 14h et 15h». Donner le etimation ponctuelle de E(X) et Var(X) et etimer E(X) par un intervalle de confiance 95%. Ce réultat ont-il compatible avec une loi de Poion? Quel erait on paramètre? 1 5

6 (b) Teter la validité de ce modèle (tet duχ au rique 5%). (c) Calculez la probabilité d avoir dan cet aéroport, toujour entre 14h et 15h : 0 atterriage un jour donné, 1 ou atterriage un jour donné, atterriage en tout ur 3 jour quelconque. (a) L effectif de l échantillon et n = 00. On détermine l etimation ponctuelle de la moyenne x = 600/00 = 3, et l etimation ponctuelle de la variance = 596/199 =.995, oit = L effectif et uffiant pour aimiler la loi de n X µ a une loi normale centrée réduite : l intervalle de confiance 95% pour la moyenne et donc [ x , x ], oit[.76,3.4]. (hor-programme : On ait que l intervalle de confiance pour la variance et [ 199, 199 ], avec c 1 et c lu dan la table de la loi du χ à 199 degré de liberté. c 1 c En pratique on utilie la table de la loi du χ à 00 degré de liberté et on lit dan le colonne 0.05 = 0.05/ et = / : c 1 = 41.1 et c = Aini l intervalle et [0.85,1.3 ] = [.47,3.66].) L epérance et la variance ont (quaiment) la même etimation ponctuelle, égale à troi : le réultat ont compatible avec le fait que X uive une loi de Poion de paramètre 3. (b) On définit l hypothèe H 0 : «X uit une loi de Poion de paramètre 3». Pour utilier un tet du χ pour accepter ou refuer H 0, on doit avoir de valeur (ou clae) d effectif "théorique" au moin égal à 5. Or ici ce n et pa le ca : le valeur 7, 8, 9, 10 ont de effectifnp(x = 7),np(X = 8),np(X = 9),np(X = 10) inférieur : on doit regrouper en une eule clae le valeur 7, 8, 9, 10. Le probabilité de évènement X = 0, X = 1,..., X = 6, X [7,10] ont déterminée par lecture de la table de la loi de Poion : p(x = 0) = , p(x = 1) = , p(x = ) = 0.4, p(x = 3) = 0.4, p(x = 4) = 0.168, p(x = 5) = ,p(X = 6) = ,p(X 7) = 1 p(x 6) = = On obtient en multipliant ce valeur par l effectif total 00 le effectif «théorique» de chaque clae : Nb d atterriage Effectif meuré Effectif théorique et en en déduit la valeur deχ o = ( ) + (8 9.88) (4 6.7) = Le critère de déciion pour accepter H 0 era χ o c, avec c lu dan la table du χ à 6 degré de liberté (on a 8 clae, et le tet porte ur une loi de Poion : le nombre de d.d.l.à conidérer et donc 8-). On lit dan la table, dan la colonne α = 0.05 et la ligne 5 : c = Aini, on accepte H 0. (c) Si on admet, uite au tet du χ, que X uit une loi de Poion de paramètre 3, on lit directement dan la table le valeur p(x = 0) = 4.98%, p(1 X ) = p(x = 1)+p(X = ) = 37.34%. Si on intéree aux nombre d atteriage entre 14h et 15h ur troi jour ditinct, i on note X 1, X et X 3 le variable donnant le nombre d atteriage chacun de troi jour, on ait que, X 1, X et X 3 étant indépendante, X 1 + X +X 3 uit une loi de Poion de paramètre 9. Par conéquent, p(x 1 +X +X 3 = ) = 0.5%. 6