TD3 Dynamique relativiste

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1 Master de Physique 1ère année Relativité et temps M.-Ch. Angonin, M. Grould et Ch. Le Ponin-Lafitte TD3 Dynamique relativiste 1. Réation de désintégration d un méson Un méson π 0 de masse m se déplae selon l axe des x du laboratoire R à la vitesse β. Il se désintègre en deux photons. Dans le référentiel R où le méson est au repos, es photons sont émis selon une diretion faisant un angle θ ave l axe x (qui est ommun ave l axe x). 1. Justifier que le méson ne puisse pas se désintégrer en un seul photon mais qu il puisse à priori se désintégrer en au moins deux photons.. Déterminer l énergie des photons dans le référentiel du méson. 3. En déduire les énergies et les diretions de propagation des deux photons dans le référentiel du laboratoire en fontion de l angle θ.. Autour de l expériene OPERA (première partie de l examen déembre 011) L expériene OPERA (Osillation Projet with Emulsion-tRaking Apparatus, http ://operaweb.lngs.infn.it/?langen) onsiste en la détetion de neutrinos produits par le LHC au CERN (Suisse) dans le tunnel du Gran Sasso (Italie). Dans l expériene, les neutrinos sont le produit de la désintégration de partiules instables : les pions π +. Ces pions sont réés par la ollision de protons aélérés dans le LHC sur des protons au repos inlus dans une ible de graphite. Ce système a l avantage de permettre de déterminer préisément l orientation du faiseau de partiules. Les protons ont une énergie de masse au repos de E p 938 MeV et l énergie finale des protons aélérés dans le référentiel A du laboratoire est de E A 400 GeV. La ollision inélastique d un proton aéléré ave un proton au repos provoque la réation d un neutron et d un pion π + suivant la réation : p + p p + n + π + L énergie de masse au repos d un neutron est de E n 940 MeV et elle du pion hargé positivement est de E π 140 MeV. Le proton ible dans le graphite est onsidéré au repos dans le référentiel du laboratoire. 1. Exprimer l énergie inétique T A du proton aéléré dans le référentiel A en fontion des données du problème.. Soit q la norme de l impulsion observée du proton aéléré dans A. Déterminer l expression de la pseudo-norme du quadriveteur énergie-impulsion P du proton aéléré dans e référentiel en fontion de q, de T A, de E p et de, puis l exprimer en fontion de E p et de. 3. Déterminer, en fontion des énergies de masse des partiules de la réation, l énergie E min de seuil de la réation, est-à-dire l énergie inétique minimale totale néessaire aux deux protons pour que la réation puisse avoir lieu dans le référentiel du entre de masse I. Appliation numérique.

2 4. En déduire l énergie inétique T min minimale du proton aéléré dans le référentiel du laboratoire A. en fontion de E min et de E p. Appliation numérique. Conlure sur la faisabilité d une telle réation dans le adre de l expériene. 3. Effet Compton Un laser fournit un faiseau de photons monohromatiques de longueur d onde : λ 66 nm. Il est dirigé en ollision frontale ontre un faiseau d életrons de 30 GeV dans le référentiel R du laboratoire. On rappelle que l énergie au repos d un életron vaut environ : 0, 511 MeV. D autre part, on donne la onstante de Plank : h 6, J.s 1 et 3, m.s Caluler l énergie des photons.. Déterminer la vitesse v des életrons dans le référentiel du laboratoire. 3. On pose β v et γ ( 1 β ) 1. Caluler es deux quantités. En partiulier, on donnera l éart entre β et 1. On appelle P e1 et P γ1 les quadriveteurs énergie-impulsion respetivement de l életron et du photon avant le ho dans R. De même, on appelle P e et P γ es quadriveteurs après le ho. On suppose que la diretion des faiseaux de photons et d életrons avant le ho définisse l axe Ox. On appelle θ l angle de diffusion des photons après le ho par rapport à l axe Ox. On appelle R le référentiel où l életron est au repos avant la ollision ave un photon. L axe O x est défini par la position de l életron pour l origine et par la diretion d arrivée du photon pour la diretion. Toutes les quantités définies dans R ont leur équivalent dans R en ajoutant un (prime) à leur appellation. 4. Déterminer (en le démontrant) la longueur d onde du photon après la ollision, ainsi que l énergie assoiée dans R, en fontion de θ et des données du problème Appliation numérique : aluler es quantités dans le as où θ 0, π et π. 5. Déterminer (en le démontrant), l expression de θ en fontion de θ et de β. 6. Caluler, pour θ 0, π et π, les valeurs de θ dans le référentiel du laboratoire. Commenter. Page

3 Master de Physique 1ère année Relativité et temps M.-Ch. Angonin, M. Grould et Ch. Le Ponin-Lafitte TD3 Dynamique relativiste Corretion sommaire 1. Réation de désintégration d un méson 1. Dans le référentiel où le méson est au repos avant la désintégration, l impulsion est nulle. La onservation de l impulsion impose qu elle soit nulle après le ho e qui est impossible ave un seul photon. Il y a don réation d au moins deux photons.. Dans R la onservation du quadriveteur impulsion-énergie avant et après la désintégration : ( ) m 0 hω 1 + hω hω 1 u 1 + hω Don : u 1 u ω 1 ω ω 1 m h 3. On effetue le hangement de référentiel en appliquant une transformation de Lorentz au quadriveteur impulsion-énergie. Pour le premier photon, on a don : hω 1 hω hω 1 γ γβ 0 0 os θ 1 γβ γ 0 0 hω os θ hω sin θ 1 hω sin θ 0 0 Soit : hω 1 γ hω (1 + β os θ ) hω 1 γ 1 m (1 + β os θ ) Et : hω 1 os θ 1 γ hω (os θ + β) D où : os θ 1 os θ + β 1 + β os θ Et pour le photon, les relations deviennent : hω 1 γm (1 β os θ ) os θ os θ + β 1 β os θ u Page 3

4 - OPERA Les protons ont une énergie de masse au repos de E p 938 MeV et l énergie finale des protons aélérés dans le référentiel A du laboratoire est de E A 400 GeV. La ollision inélastique d un proton aéléré ave un proton au repos provoque la réation d un neutron et d un pion π + suivant la réation : p + p p + n + π + L énergie de masse au repos d un neutron est de E n 940 MeV et elle du pion hargé positivement est de E π 140 MeV. Le proton ible dans le graphite est onsidéré au repos dans le référentiel du laboratoire. 1. T A E A E p MeV ( ) ( ) Ep + T ( ) A. P, P q Ep 3. E min E p + E n + E π E p E n + E π E p MeV 4. Lorsque l on se plae au seuil de la réation, l énergie totale du système des deux protons dans le référentiel du laboratoire : E E p + T min l énergie totale du système dans R I s érit : E E p + E min La pseudo-norme du quadriveteur énergie-impulsion ne dépend pas du référentiel hoisi. Comme, par définition, l impulsion totale du système est nulle dans R I, on a : ( ) Ep + T ( min s Ep + E min ) ave s norme de l impulsion orrespondant à T min dans le référentiel du laboratoire. En développant ette relation, on obtient : 4 E pt min + ( Tmin ) s 4 E pe min + ( ) Emin Or, d après la pseudo-norme de la quadri-impulsion du deuxième proton on a : On en déduit que : s E pt min + ( ) Tmin E pt min 4 E pe min + ( ) Emin Dans le référentiel du laboratoire, l énergie inétique minimale néessaire pour obtenir la réation (ou énergie de seuil) vaut : T min E min + E min E p 938 Page 4

5 3. Effet Compton 1. E J ev ( ) et ( ) γ 58, Les életrons vont à la vitesse de la lumière à près. 4. La onservation de l énergie-impulsion donne : ( ) me + 0 On en déduit : ( h m e 4 + p e m e 4 + ) λ h λ h λ h k 1 et : p e ( h k 1 h k On obtient en ombinant es deux égalités : ( ) h ( ) h λ + h ( ) h h λ os θ λ + p e1 + p γ1 p e + p γ ( m e + p e p e ) ( h + m e λ h ) λ ( ) h λ λ λ h h λ λ Après simplifiation, on a don : λ λ λ C (1 os θ ) ave λ C h m e 10 1 m L énergie après le ho s érit : E h λ Par effet Doppler, on a : E 1 + β E 1 β λ λ ) h + λ h k ( h + m e λ h ) λ h λ C (1 os θ ) + λ E 1 λ C λ (1 os θ ) + 1 Appliation numérique : aluler es quantités dans le as où θ 0, π θ 0 ( ) λ λ , m ( ) 1 E E , ev θ π λ λ + λ C, , , m E 1 E 5, λ 5 1, 65 C, ev λ + 1, θ π λ λ + λ C, , , m E 1 E λ 5, , 93 C, ev λ + 1, et π. Page 5

6 5. La démonstration est faite dans le premier exerie et dans le ours : os θ os θ + β sin θ 1 + β os θ et sin θ γ(1 + β os θ ) 6. Comme β 1, os θ 1 pour θ 0 ou π. Les photons sont émis vers l avant après le ho sauf dans le as partiulier où θ π ar alors : os θ 1 + β 1 β 1 Page 6