SUITES USUELLES BCPST 1A 1 SUITE ARITHMÉTIQUE. Cours de Mathématiques

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1 Année SUITES USUELLES 1 SUITE ARITHMÉTIQUE Définition 1.1 Suite arithmétique u n est une suite arithmétique de raison r R si n N, u n+1 u n + r Théorème 1. : Si u n est une suite arithmétique de raison r, alors a n N, u n u 0 + nr b p,n N, u n u p + n pr c a Si r > 0 la suite est strictement croissante de limite +, b Si r < 0 la suite est strictement décroissante de limite, c Si r 0 la suite est constante. a Par récurrence. Initialisation : pour n 0, u 0 u r. La relation est donc vérifiée au rang n 0. Hérédité : on suppose la relation vraie au rang n N fixé, et on montre qu elle est vraie au rang n + 1. u n+1 u n + r u 0 + nr + r par hypothèse de récurrence u 0 + n + 1r Donc la relation est vraie au rang n + 1. Conclusion : par principe de récurrence, n N, u n u 0 + nr b u n u 0 +nr et u p u 0 +pr d après le point précédent. Donc en soustrayant les deux égalités on obtient : u n u p n pr, c est-à-dire u n u p + n pr. c u n u 0 + nr a Si r > 0, alors lim nr +. Donc lim u n +. n + n + b Si r < 0, en exercice. c Si r 0, n N, u n u 0 + n 0 u 0, donc la suite est constante. Propriété 1.3 : Soient m n, deux entiers n m + 1m + n m + m n n m + 1m + n On note aussi cette somme : k Page 1 sur 10

2 Année On pose S m + m n On écrit deux fois la somme, en sens contraire. S m + m m n 1 + n + n + n 1 + n + + m m m + n + m + n + m + n + + m + n + m + n Or dans la somme, il y a n m + 1 termes, donc S n m + 1 m + n. Ainsi n m + 1m + n S Pour se familiariser avec la notation somme, on propose d écrire à nouveau cette preuve en utilisation la notation Σ. C est un peu difficile, surtout lorsqu il faut retourner la somme. On pose S n u k S k k k + k + k + k n + m j changement d indice pour retourner la somme j m n + m j m n + m n m + 1n + m j m j linéarité de la somme Donc k n m + 1 n + m Corollaire 1.4 : Soit n N, nn + 1 k n k1 C est un cas particulier de la propriété 1.3, avec m 1 ou m 0. Ce résultat se généralise avec les suites arithmétiques. Page sur 10

3 Année Théorème 1.5 Somme arithmétique Soit u n une suite arithmétique, Soient m n deux entiers, u k u m + u m u n n m + 1 u n + u m On peut retenir la formule : Cette somme se note u m + u m u n nombre de termes moyenne des termes extrêmes n u k u m + u m u n u 0 + mr + u 0 + m + 1r + + u 0 + nr Si on rassemble les u 0, il y en a autant que de termes dans la somme : n m + 1. Donc u m + u m u n n m + 1u 0 + mr + m + 1r + + nr n m + 1u 0 + m + m nr n m + 1m + n n m + 1u 0 + r n m + 1 u 0 + mr + nr n m + 1 u 0 + mr + u 0 + nr n m + 1 u n + u m En utilisant le signe Σ. On pose S n u k S u k u 0 + kr u 0 + r k n m + 1u 0 + r n m + 1 n + m linéarité de la somme d après : 1.3 n m + 1 u 0 + r n + m factorisation n m + 1 u 0 + r n + u0 + r m n m + 1u n + u m Donc u k n m + 1 u n + u m Page 3 sur 10

4 Année SUITE GÉOMÉTRIQUE Définition.1 Suite géométrique u n est une suite géométrique de raison q R si n N, u n+1 qu n Théorème. : Si u n est une suite géométrique de raison q, alors a n N, u n q n u 0 b p,n N, p n u n q n p u p c si q 0, p,n N, u n q n p u p q 0 car l exposant n p peut être négatif Exercice Propriété.3 : Soit n N, Pour q 1 fixé, On note aussi cette somme : 1 + q + q + q q n n+1 q k n m+1 Si on note la somme S n q 0 + q 1 + q + q q n, alors qs n qq 0 + qq 1 + qq + qq qq n q 1 + q + q 3 + q q n+1 Lorsqu on calcule la différence S n qs n, beaucoup de termes s annulent : S n qs n q 0 + q 1 + q + + q n q 1 + q + + q n + q n+1 q 0 q n+1 Donc en factorisant par S n : S n n+1 Comme q 1, on peut diviser par de chaque côté de l égalité : S n q 0 + q 1 + q + q q n n+1 Même preuve en utilisant la notation Σ. On pose S n q k. Page 4 sur 10

5 Année Or q 1, donc S S qs q k q k+1 q k q k+1 q k n+1 q j changement d indice : j k + 1 k1 j 1 q 0 + q k q j q n+1 k1 j 1 q 0 + q k q k q n+1 q 0 q n+1 k1 changement du nom de l indice : j k dans la ième somme q k n+1 Corollaire.4 : Soient m n, deux entiers, Pour q 1 fixé, q m + q m+1 + q m+ + + q n q m n m+1 On factorise par q m la somme et on retrouve l expression de la propriété.3. Théorème.5 Somme géométrique Soit u n une suite géométrique de raison q 1, Soient m n deux entiers, u m + u m u n u m n m+1 Exercice Remarque : Dans le cas où la raison vaut 1, on additionne simplement n + 1 fois le même terme u 0. 3 SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE On combine les suites arithmétiques et géométriques en une seule : Définition 3.1 Suite arithmético-géométrique Soient a,b R, une suite arithmético-géométrique est une suite de la forme u n+1 au n + b Remarque : Pour a 1, c est une suite arithmétique, et pour b 0, c est une suite géométrique. Page 5 sur 10

6 Année Attention : a et b sont des constantes qui ne dépendent pas de n. Théorème 3. : Soit la suite u n R N définie par une relation de récurrence de la forme u n+1 au n + b avec a,b R et a 1 Alors l équation x ax + b admet une unique solution l et la suite définie pour tout n N par v n u n l est géométrique de raison a. Explications : La recherche de l correspond à la recherche d un point fixe, c est-à-dire une suite constante qui est solution particulière de la relation de récurrence. La suite de terme général v n u n l est alors solution de l équation homogène : v n+1 av n. L équation homogène est l équation dont le second membre b est nul. Nous retrouverons ce vocabulaire dans d autres chapitres cette année. b 1 a. Comme a 1, l équation ax + b x admet une unique solution l Alors v n+1 u n+1 l au n + b l au n + b al + b au n l av n Exemple Soit une suite u n définie par la relation de récurrence : n N, 3u n+1 + u n Donnez l expression de u n en fonction de n et de u 0 pour tout n N. Solution : On met déjà la suite sous la bonne forme : u n+1 3 u n 5 3 On résout l équation x 3 x 5 3 et on trouve le point fixe l 1. On pose pour tout n N, v n u n 1 u n + 1. v n est une suite géométrique de raison 3, donc pour tout n N, on a v n n v 0 3 c est-à-dire u n + 1 n u u n n u Théorème 3.3 limite de la suite u n est une suite arithmético géométrique de raison a et de point fixe l. Si u 0 l, alors la suite est constante égale à l. Si u 0 l, alors si a < 1 alors lim n + u n l si a > 1 alors lim n + u n ± le signe de la limite est celui de u 0 l si a 1, alors u n n admet pas de limite en +. Page 6 sur 10

7 Année En exercice 4 SUITE RÉCURRENTE LINÉAIRE D ORDRE Les suites arithmético-géométriques peuvent être qualifiées de suites récurrentes linéaires d ordre 1. Nous allons voir l ordre. On pourrait ensuite généraliser à un ordre n quelconque, mais cela fait intervenir de l algèbre linéaire que vous ne connaissez pas encore. On s en passera donc. Définition 4.1 Suite récurrente d ordre Une suite récurrente linéaire d ordre à coefficients constants est une suite de la forme au n+ + bu n+1 + cu n 0 avec a,b,c R 3 et a non nul On appelle équation caractéristique l équation ax + bx + c Théorème 4. Solutions de la récurrence d ordre Soit une suite u n comme dans la définition précédente. On note le discriminant de l équation caractéristique : Si > 0, on note r 1,r les deux solutions de l équation caractéristique, Alors λ,µ R, tel que n N, u n λr n 1 + µr n Si 0, on note r la racine double de l équation caractéristique, Alors λ,µ R, tel que n N, u n λr n + µnr n Si < 0, on note r ± ρ e ±iθ les racines complexes conjuguées de l équation caractéristique, Alors λ,µ R, tel que n N, u n ρ n λcosnθ + µsinnθ λ et µ sont déterminés de façon unique par u 0 et u 1. Remarque : si a 0, alors c est une suite récurrente d ordre 1. La méthode fonctionne mais n a aucun intérêt. Théorème admis en classe. Ce théorème semble tomber du ciel, et la preuve qui suit n expliquera pas d où vient ce résultat et pourquoi les solutions sont de cette forme. En réalité, c est un cas particulier d un résultat beaucoup plus général sur les suites récurrentes linéaires de n importe quel ordre. L étude de l algèbre linéaire et des matrices permettrait de justifier et d expliquer le théorème précédent de façon beaucoup plus élégante, mais nous n avons pas encore ces outils. Nous devrons donc nous contenter de cette preuve, qui est juste mathématiquement, bien qu elle n explique rien. Si > 0, soit u n une suite solution, alors on peut trouver A,B deux réels tels que λ u 1 r 1 u 0 r r 1 On résout et on trouve une unique solution : µ u 1 r u 0 r r 1 On montre ensuite par récurrence double, que pour tout n N, u n+ λr1 n + µr n Si 0. { u0 λ + µ u 1 λr 1 + µr On peut supposer que la solution est non nulle. En effet, elle est nulle si b c 0, auquel cas, la suite solution est immédiate u n 0 pour n et la formule donnée par le théorème convient. Page 7 sur 10

8 Année Supposons donc r 0, alors on pose λ u 0, et µ tel que u 1 λr + µr, c est-à-dire µ u 1 r u 0 r. Comme r est l unique racine du polynôme caractéristique, on sait que b ar et c ar. On montre par récurrence double que pour tout n N, u n+ λr n + µnr n Si < 0, alors on peut utiliser une récurrence double avec les formules trigonométriques. Sinon, pour ceux qui aiment s amuser, on peut utiliser une autre méthode : On utilise le résultat pour > 0 dans C pour voir qu il s agit simplement d un cas particulier. En effet, si on se place dans C, alors le raisonnement pour > 0 reste valable et dit que pour tout n N, u n λr1 n +µr n λr n e i nθ +µr n e i nθ r n λ + µ ei nθ i nθ + e + λ µ ei nθ e i nθ r n λ cosnθ + µ sinnθ Montrons que les coefficients trouvés λ et µ sont bien réels. On peut s en assurer en résolvant pour n 0 et n 1, mais comme on aime compliquer les choses et voir que tout est cohérent, on va le vérifier à partir des expression en λ et en µ trouvées pour > 0 D après le cas > 0, on a Donc λ 1 λ + µ i r sinθ µ 1 λ µi r sinθ λ u 1 r e iθ u 0 1 r e iθ r eiθ r µ u 1 r e iθ u 0 r e iθ r e iθ 1 r u 1 r e iθ u 0 i sinθ u 1 r e iθ u 0 i sinθ u 1 + r e iθ u 0 + u 1 r e iθ u 0 u 0 R u 1 + r e iθ u 0 u 1 + r e iθ u 0 sinθ 0 et r 0 car < 0 1 r sinθ u 1 + r u 0 cosθu 1 u 1 r cosθu 0 R r sinθ Exemple Étude de la suite de Fibonacci définie par Solution : La suite est une suite récurrente linéaire d ordre. L équation caractéristique est x x + 1. Les solutions de cette équation sont bien connues : r est appelé le nombre d or. u 0 0 et u 1 1 et n N, u n+ u n+1 + u n r et r Les suites solution de cette relation sont donc les suites de la forme u n λ Ici u 0 0, donc λ + µ 0 donc µ λ et u 1 1, donc λ 1 5 λ λ 5 1 λ n + µ 1+ 5 n. Donc n N, u n 1 n 1 + n 5 1 n 5 5 Page 8 sur 10

9 Année Théorème 4.3 Suite récurrente d ordre avec second membre Soient a,b,c R 3 avec a et c différents de 0, et d n une suite réelle. Soit la suite u n R N définie par la relation de récurrence d ordre E d : au n+ + bu n+1 + cu n d n On appelle relation homogène associée, la relation de récurrence sans le second membre : E 0 : a u n+ + b u n+1 + cũ n 0 On note S d l ensemble des solutions de la relation E d S 0 l ensemble des solutions de la relation homogène E 0 obtenues grâce au théorème 4.. On suppose connue une solution particulière de E d : u d n S d. Alors, la suite u n est solution de E d si et seulement si u n u d n est solution de E 0 : u n S u n u d n S 0 Que l on peut aussi écrire en comprenant bien le sens du signe + : S d S 0 + u d n Explications : C est la même chose qu à l ordre 1. En général, dans les exercices, d est une constante. Ce théorème est en fait un exemple d un résultat beaucoup plus général lié directement à la notion de linéarité. u n S d n N, au n+ + bu n+1 + cu n d n n N, au n+ + bu n+1 + cu n aun+ d + bud n+1 + cud n u n+ un+ d + b u n+1 un+1 d n N, a u n un d S 0 + c u n u c n 0 Exercice Trouver une solution particulière lorsque d n est une suite constante égale à d. Solution : Quitte à tout diviser par a, on peut supposer a 1. Lorsque le second membre est constant, on s inspire des suites arithmético-géométriques et on cherche une suite constante qui soit solution en résolvant x + bx + c 0. Si 1 + b + c 0, on trouve ainsi une suite constante solution. Terminé. Si 1 + b + c 0, alors on ne trouve pas de solution constante pour d 0. u n+ + bu n+1 + cu n d u n+ 1 + cu n+1 + cu n d u n+ u n+1 c u n+1 u n + d v n+1 cv n + d avec v n u n+1 u n Si c 1, alors on peut trouver une solution particulière v n constante n N, v n d 1 c λ R. Alors n N, u n+1 λ + u n. Il existe donc une suite arithmétique qui soit solution particulière. Si c 1, alors v n est une suite arithmétique de la forme λ + nc, On cherche une solution sous la forme αn + βn on a besoin de n pour faire sortir des n dans la relation de récurrence. En remplaçant dans l équation, on trouve une solution particulière avec α d et β λ 3 d. Page 9 sur 10

10 Année La recherche de la solution en n apparaît facilement si on utilise les sommes télescopiques : n N, v n λ + nd n N, v k λ + kd n N, u k+1 u k λn k nn + 1 n N, u n+1 u 0 λn d α,β,γ R 3, n N, u n+1 α + βn + γn On peut se rappeler que lorsque le second membre est constant, on pourra toujours trouver une solution particulière de la forme u d n α + βn + γn. d Page 10 sur 10