Chapitre 11 - Équations de droites

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1 2 nde Chapitre 11 - Équations de droites Chapitre 11 - Équations de droites Dans tout le chapitre, le plan est muni d un repère(o, I, J). I Équations de droites Propriété 1 Une droite d, parallèle à l axe des ordonnées, a pour équation x=k, où k est un réel. Exemple : d J O I K Démonstration : Une droite d parallèle à(oj) coupe l axe(oi) en un point A(k ; 0). Un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si son abscisse x est égale à k, c est-à-dire x=k. I.1 Droite parallèle à l axe des ordonnées TD : Équation d une droite parallèle à l axe des ordonnées 1. (a) Dans le repère(o, I, J) du plan, placer les points A(2 ; 0), B(2 ; 1) et C(2 ; 4). (b) Justifier que les trois points A, B et C sont alignés. La droite(ab) est-elle la représentation d une fonction affine? (c) Soit M un point de coordonnées(x ; y). Quelle relation portant sur les coordonnées de M permet d affirmer que M appartient à la droite(ab)? Réciproquement, si le point M appartient à la droite(ab) cette relation est-elle vérifiée? Justifier. On dit que la relation x=2 est une équation de la droite(ab), y R est sousentendu. 2. (a) Construire dans le repère(o, I, J) les droites d équations : x= 1 ; x=0 ; x= 7 2 (b) Soit k un réel et K le point de coordonnées(k ; 0). Donner une équation de la droite d parallèle à l axe des ordonnées passant par la point K. -1-

2 I.2 Droite non parallèle à l axe des ordonnées TD : Équation d une droite non parallèle à l axe des ordonnées On considère la droite(ab) où A(4 ; 1) et B(0 ; 5). 1. Déterminer la fonction affine f telle que : f(4)= 1 et f(0)=5. Quelle est sa courbe représentative? 2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu un point M(x ; y) appartienne à la droite(ab). Propriété 2 La représentation graphique de la fonction affine f x ax+b est une droite d qui n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Réciproquement, toute droite d non parallèle à l axe des ordonnées représente une fonction affine f x ax+b. Démonstration : Soit d une droite non parallèle à l axe des ordonnées. 1. Justifier qu il existe un point A de d d abscisse 0 et un point B de d d abscisse 1. On note A(0 ; y A ) et B(1 ; y B ). 2. Soit f la fonction affine définie par f(x)=(y B y A )x+y A. Quelle est sa représentation graphique? 3. Déterminer f(0) et f(1). 4. Conclure. Propriété 3 Une droite d, non parallèle à l axe des ordonnées, admet une équation de la forme y= ax+b où a et b sont des réels. Un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si y= ax+b. Exemple : Soit d y= 2x+3 A(2 ; 1) appartient à d si et seulement si y A = 2x A + 3. Or 2x A + 3= 2 2+3= 1=y A. On en déduit que A d. En revanche B( 1 ; 3) n appartient pas à d car 2x B + 3=5 y B. Démonstration : d représente une fonction f x ax+b. Alors M(x ; y) appartient à d si et seulement si y= f(x) soit y= ax+b. Donc y= ax+b est une équation de d. -2-

3 Définition 1 Une équation de la droite d de la forme y= ax+b est appelée l équation réduite de la droite d. a est le coefficient directeur de la droite d et b est son ordonnée à l origine, c est-à-dire que la droite d passe par le point de coordonnées(0 ; b). Propriété 4 Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points tels que x A x B. Le coefficient directeur de la droite(ab) est : a= y B y A différence des ordonnées = x B x A différence des abscisses Exemple : Soit la droite d passant par A(4 ; 0) et B(0 ; 2). La droite d coupe l axe des ordonnées ; d a donc une équation de la forme y= ax+b avec le coefficient directeur a= = 2 = 0, 5. 4 Si x=0, on a y= 2 ; d où l ordonnée à l origine b=2. L équation réduite de d est y= 0, 5x+2. Exercice : Interprétation graphique Soit d une droite d équation y= ax+b. M(x M ; y M ) est un point de d et N(x N ; y N ) est le point de d tel que x N = x M Montrer que y N = y M + a. 2. Comment interpréter graphiquement ce résultat? Soit d une droite de coefficient directeur a. Lorsque l on passe d un point de d à un autre en augmentant l abscisse de 1, l ordonnée varie de a (si a>0 l ordonnée augmente, si a<0 l ordonnée diminue). Exemple : Soit d d équation y= 2x 1. 2 J O 2 I 1 1 Ici a=2 : lorsque l abscisse augmente de 1, l ordonnée augmente de

4 Algorithme : Équation réduite d une droite Variables : x A, y A, x B, y B, a, b sont des nombres réels Initialisation, entrées : Saisir x A Saisir y A Saisir x B Saisir y B Traitement : a prend la valeur y B y A x B x A b prend la valeur y A a x A Sortie : Afficher la valeur de a Afficher la valeur de b II II.1 Positions relatives de deux droites Droites parallèles TP : Avec le logiciel GeoGebra 1. (a) Créer la droite d ayant pour équation y= 2x+1. (b) Créer un point A puis la droite d parallèle à d passant par A. (c) Mettre son équation sous la forme y= ax+b. (d) Qu observe-t-on sur ces équations? (e) Déplacer A. Ces observations restent-elles valables? (f) Énoncer la propriété que l on peut conjecturer sous la forme Si...alors (a) Proposer des équations de deux autres droites qui pourraient être parallèles à d. Entrer chacune de ces équations dans la zone de saisie. (b) Ces droites sont-elles parallèles à d? (c) Énoncer la propriété que l on peut conjecturer sous la forme Si...alors Énoncer les deux propriétés conjecturées en une seule. Propriété 5 (Admise) Deux droites d équations respectives y= ax+b et y= a x+b sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c est-à-dire si et seulement si a=a. Exercice : Soient A( 2 ; 3), B(3 ; 6), C( 3 ; 4) et D(6 ; 11) 1. Les points A, B et C sont-ils alignés? 2. (a) Les points A, B et D sont-ils alignés? (b) Déterminer l équation de la droite parallèle à(ab) passant par D. -4-

5 Algorithme : Alignement de trois points Variables : x A, y A, x B, y B, x C, y C, a, a sont des nombres réels Initialisation, entrées : Saisir x A Saisir y A Saisir x B Saisir y B Saisir x C Saisir y C Traitement : a prend la valeur y B y A x B x A a prend la valeur y C y A x C x A Sortie : Si a=a alors Afficher "Les trois points sont alignés" Sinon Afficher "Les trois points ne sont pas alignés" FinSi II.2 Droites sécantes et intersection TD : Partie A : Dans un repère(o, I, J), on donne les points A( 1 ; 3), B(0 ; 1), C(4 ; 1) et D( 1 ; 6). 1. Les droites(ab) et(cd) sont-elles parallèles? Propriété 6 Soient deux droites d et d d équations respectives y=ax+b et y= a x+b. Les droites d et d sont sécantes si et seulement si a a. Remarque : Cette propriété est la négation de la propriété précédente. 2. (a) Donner les équations réduites des droites(ab) et(cd). (b) Représenter les droites(ab) et(cd) dans le repère ci-dessous. -5-

6 j O ı (c) Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d intersection M. (d) Retrouver les coordonnées de M par le calcul. Propriété 7 Soient deux droites sécantes d et d d équations respectives y= ax+b et y= a x+b. Les coordonnées du point d intersection de d et d est le couple(x ; y) solution du système : y= ax+b y= a x+b Partie B : Dans un repère(o, I, J), on donne les points A( 2 ; 6), B(2 ; 4), C(1 ; E(0 ; 5) et F(6 ; 2). 3 ), D( 2 ; 3), 2 1. (a) Déterminer les équations réduites des droites(ab) et(cd). (b) Quelle est la position relative des droites(ab) et(cd)? (c) Combien y a-t-il de points d intersection entre les droites(ab) et(cd)? y= 0, 5x+5 (d) Le système y= 0, 5 admet-il une unique solution? aucune solution? une infinité x+2 de solutions? 2. (a) Déterminer l équation réduite de la droite(ef). (b) Quelle est la position relative des droites(ab) et(ef)? -6-

7 (c) Combien y a-t-il de points d intersection entre les droites(ab) et(ef)? y= 0, 5x+5 (d) Le système admet-il une unique solution? aucune solution? une infinité y= 0, 5x+5 de solutions? Algorithme : Compléter l algorithme donnant la position relative de deux droites d et d d équations y= ax+b et y= a x+b Variables : a, b, a, b sont des nombres réels Initialisation, entrées : Saisir... Saisir... Saisir... Saisir... Traitement : Si alors Afficher "Droites sécantes" Sinon Si alors Afficher "Droites confondues" Sinon Afficher "Droites strictement parallèles" FinSi FinSi Exercice : Résolution de systèmes d équations linéaires x+2y= 7 Partie A : On considère le système 2x+3y= A quelle type de courbe peut-on associer les équations x+2y= 7 et 2x+3y= 16? 2. Le système admet-il une unique solution? aucune solution? une infinité de solutions? 3. Méthode de résolution 1 : La substitution (a) Exprimer y en fonction de x dans la première équation. (b) Remplacer y par l expression obtenue dans la deuxième équation. (c) Déterminer la valeur de x. (d) Remplacer x par sa valeur dans l une des deux équations de départ et déterminer la valeur de y. 4. Méthode de résolution 2 : La combinaison linéaire (a) Multiplier la première équation par 2. (b) Additionner membre à membre les deux équations. (c) Déterminer la valeur de y. (d) Remplacer y par sa valeur dans l une des deux équations de départ et déterminer la valeur de x. Partie B : Généralisation. ax+by= c Soit un système d équations linéaires : a x+b y= c. 1. Écrire l équation ax+by= c sous sa forme réduite. Faire de même avec l équation a x+b y= c. 2. Quelles doivent être les conditions sur a, b, a et b pour que le système admette : -7-

8 (a) une unique solution? (b) aucune solution ou une infinité de solutions? Propriété 8 ax+by= c Un système d équations linéaires a x+b y= c admet : une unique solution si et seulement si a b a b, c est-à-dire ab a b 0 ; aucune solution ou une infinité de solutions si et seulement si a b = a b, c est-à-dire ab a b=0. -8-