ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N

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1 Lycée Dominique Villars ECE COURS ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (u n ) n N telle qu il existe une fonction réelle f : I R telle que : n N, u n+ = f(u n ) On va voir comment étudier le comportement de (u n ) n N à partir de l étude de la fonction f. Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N Définition - Intervalle stable par f. Soit une fonction f : I R avec I R. Soit J un intervalle telle que J I. On dit que J est stable par f si et seulement si f(j) J ou autrement dit si x J, L intervalle [0,] est stable par f : x x x 2. L intervalle [,] est stable par g : x x 3. L intervalle [0,69] est stable par h : x x+47. f(x) J Méthode : Comment montrer qu un intervalle est stable par une fonction? Afin de montrer qu un intervalle J est stable par une fonction f, il est suffit d étudier les variations de f continue sur J et d en déduire les valeurs minimales et maximales prises par f sur J. / Si J = [m,m] et que minf(x) m max x J f(x) M x J alors J est stable par f. 2/ Si J =],M] et que max x J f(x) M alors J est stable par f. 3/ Si J = [m,+ [ et que min x J f(x) m alors J est stable par f. Intérêt : Existence de tout les termes de la suite (u n ) n N Il est important de bien comprendre qu il existe des suites récurrentes mal définies!! Observons par exemple : la suite (u n ) n N définie par u 0 = 5 et n N, u n+ = u n. 2 la suite (v n ) n N définie par v 0 = 2 et n N, v n+ = v. n Soient donc les fonctions f : x x et g : x x définies respectivement sur D f = [;+ [ et D g = R {} On a n N, u n+ = f(u n ) et v n+ = g(v n ) Calculons les premiers termes de ces deux suites : u = u 0 = 4 = 2 u 2 = u = 2 = u 3 = u 2 = 0 = 0... mais u 4 n existe pas!! v = u 0 = 2 =... mais v 2 n existe pas!! Dans ces deux exemples, on peut observer que D f n est pas stable par f et de même D g n est pas stable par g. Ainsi il est possible d obtenir à partir d un élément x D f (respect. D g ) une image par f (respect. par g), f(x) / D f (respect. g(x) / D g ) ATTENTION ce n est pas parce que D f n est pas stable par f qu une suite (u n ) n N telle que pour tout n N, u n+ = f(u n ), est mal définie!! En effet, ce problème d existence des termes de la suite dépends également de la valeur du premier terme u 0!!!

2 Exemple Modifions la valeur du premier terme de la suite (v n ) n N définie ci-dessus. En définissant la suite (w n ) n N par w 0 = et pour tout n N, w n+ = w n = g(w n) alors : w = = 2 w 2 = 2 = 2 3 w 3 = 2 3 = 3 5 w 4 = 3 5 = etc On peut montrer que tout les termes de cette suite sont bien définies...!!! Méthode : Comment démontrer que tout les termes d une suite récurrente sont bien définis? Supposons que l intervalle J D f soit un intervalle stable de f et que u 0 J. On peut alors montrer par récurrence que n N, u n existe et u n J. Pour le démontrer, posons l hypothèse de récurrence suivante : P n : u n existe et u n J P 0 est vraie. Supposons que P n est vrai. Alors u n existe et u n J. Or J D f est stable par f donc f(u n ) existe et (par stabilité de J par f) f(u n ) f(j) J. Donc u n+ = f(u n ) existe et appartient à J. Ainsi P n+ est vraie. Par conséquent, n N, P n est vraie. Ainsi pour démontrer que tout les termes de la suites (u n ) n N sont bien définis, il suffit de déterminer un intervalle J stable par f contenant la valeur de u 0!!! Exercice : Déterminer un intervalle J stable par g : x x telle que w 0 J. Remarque : Il est également possible de montrer par exemple que u existe puis de déterminer un intervalle J stable par f contenant u!! Exercice 2 : Soit la suite (z n ) n N définie par z 0 = 3 et pour tout n N, z n+ = z n. (i) Calculer z. (ii) Déterminer un intervalle J stable par g : x x telle que z J. Intérêt 2 : Encadrement des termes de la suite (u n ) n N En démontrant que J est stable par f et que u 0 J, le principe de récurrence nous a permis de démontrer que : tout les termes de la suite existent. tout les termes de la suite sont dans l intervalle J. Ce deuxième point assure donc un encadrement (minoration, majoration) concernant u n pour tout n N. Soit la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 et pour tout n N, u n+ = u n + u n. (i) on montre que l intervalle J = [;+ [ est stable par f : x x+ x. (ii) on déduit que pour tout n N, u n. 2 Points fixes de f et limites éventuelles de (u n ) n N Définition - Point fixe d une fonction. Soit une fonction f : D f R. Soit x D f. On dit que x est un point fixe de f si f(x) = x. Attention une fonction f peut admettre plusieurs point fixe (une infinité même cf. f : x x) mais f peut également n admettre aucun point fixe!! Exemple - Exercice : est un point fixe de f : x 3x 2 2 car f() =. La fonction f admet-elle un autre point fixe? Remarque : Point fixe et représentation graphique C f Un point fixe de f correspond à l abscisse d un point d intersection de C f et de la première bissectrice : la droite d équation y = x. Théorème - Localisation de point fixe. Soit f une fonction continue sur I. Supposons que le segment [a,b] est stable par f. Alors f possède un point fixe appartenant dans l intervalle [a, b].

3 Ainsi(àconditionquef soitcontinue) dansunintervallestableparf, ilexistenécéssairement unpointfixedef!! Démonstration : On pose g tel que g(x) = f(x) x. La fonction g est continue sur [a,b] et g(a) = f(a) a 0 et g(b) = f(b) b 0 (car f(a) et f(b) [a,b]). En appliquant, le théorème des valeurs intermédiares à g continue sur [a,b], il existe c [a,b] tel que g(c) = 0 c est à dire f(c) = c. RAPPEL - Théorème : Soit f une fonction continue en un point l (ou sur un intervalle contenant l) et u = (u n ) n N une suite convergeant vers l. Alors la suite (f(u n )) n N converge vers f(l). Supposons maintenant que la suite récurrente (u n ) n N (telle que u n+ = f(u n )) converge vers une limite finie l : (i) le rappel ci-dessous assure que lim n + u n+ = lim n + f(u n ) = f(l). (ii) d autre part, lim n + u n+ = lim n + u n = l. Ainsi par unicité de la limite d une suite, on obtient que l = f(l) = l est donc un point fixe de f!! Théorème du POINT FIXE - Limite éventuelle de la suite (u n ) n N Soit (u n ) n N une suite récurrente du type u n+ = f(u n ). Si la suite converge vers l et si la fonction f est continue en l, alors l est un point fixe de f : f(l) = l Remarque : Si f n admet aucun point fixe, alors toute suite récurrente (u n ) n N du type u n+ = f(u n ) n est pas convergente!! (u n ) n N définie par u 0 R et u n+ = u n + u n n est pas convergente!! Remarque 2 : En général, la fonction f possède non pas un mais plusieurs points fixes. Pour déterminer la limite éventuelle de (u n ) n N, on utilise le résultat classique sur les suites : si n N, u n [a,b] et si la suite (u n ) n N converge vers l alors l [a,b] 3 Représentation Graphique d une suite récurrente En utilisant la courbe C f associée à f, on peut représenter la suite u définie par u n+ = f(u n ) sur l axe des abscisses du repère orthonormé dans lequel on a tracé C f. La droite d équation y = x permet de rapporter les points de l axe des ordonnées à l axe des abscisses et met en évidence l éventuelle limite de la suite qui est l abscisse d un point d intersection de cette droite avec C f. Ci-dessous, représentation des premiers termes de la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 u n+ = u n +4 u n 5 +2

4 4 Monotonie des suites u 0 = 0,2 alors u = 0,2 > u 0 u 0 =,9 alors u =,9 < u 0 4. Etude du signe de u n+ u n Supposons que J soit un intervalle stable tel que u 0 J. On déduit alors que n N, u n J. On cherche à connaitre la monotonie de la suite (u n ) n N. De manière générale on étudie pour cela le signe de u n+ u n = f(u n ) u n. Quand est-ce-que ce critère permet de conclure? Réponse : quand le signe de f(x) x est constant sur J!! Supposons que f est continue sur un intervalle J stable par f et contenant u 0. Si pour tout x J, f(x) x 0 alors la suite (u n ) n N est croissante. Si pour tout x J, f(x) x 0 alors la suite (u n ) n N est décroissante. En effet, supposons que tout x J, f(x) x 0. Sachant que n N, u n existe et u n J alors : 4.2 Cas f croissante. n N, u n+ u n = f(u n ) u n 0 Supposons que f est continue sur un intervalle J stable par f et contenant u 0. Si de plus f est croissante sur J alors la suite (u n ) n N est monotone. Plus précisément : ❶ Si u u 0 alors (u n ) n N est croissante. ❷ Si u u 0 alors (u n ) n N est décroissante. Démonstration : On calcule explicitement u = f(u 0 ) et on distingue les deux cas suivants : Cas : u 0 u On va montrer par récurrence que la suite u est croissante. Posons ainsi, P n : u n u n+ P 0 est trivialement vraie (c est la condition du cas!!!) Supposons que P n soit vraie donc u n u n+. Or f est croissante sur J et u n,u n+ J donc : f(u n ) f(u n+ ) u n+ u n+2. Ainsi P n+ est vraie. Par conséquent n N, P n est vraie et la suite u est croissante. Cas 2 : u 0 u On pose alors pour n N P n : u n u n+ P 0 est trivialement vraie. Si P n est vraie c.a.d. u n u n+, et comme f est croissante sur J et u n,u n+ J alors : f(u n ) f(u n+ ) u n+ u n+2. Ainsi P n+ est vraie. Par conséquent n N, P n est vraie et la suite u est décroissante. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite (u n ) n N définie par la relation n N, u n+ = u n.

5 4.3 Cas f décroissante. Supposons que f est continue sur un intervalle J stable par f et contenant u 0. Si f est décroissante sur l intervalle I alors les suites (u 2n ) n N et (u 2n+ ) n N sont monotones de sens contraires (l une croissante l autre décroissante!!) Introduisons les deux suites auxiliaires a et b définies pour tout n N par : Alors on a : a n = u 2n et b n = u 2n+ a n+ = u 2(n+) = u 2n+2 = f(u 2n+ ) = f(f(u 2n )) = (f f)(a n ) Donc la suite a vérifie une relation de récurrence donnée par : n N, a n+ = (f f)(a n ) Par définition n N, a n = u 2n J et la fonction f f est croissante sur J. On est donc ramené au cas d une fonction croissante étudié ci-dessus. Ainsi (a n ) n N est : croissante si a a 0 c est à dire u 2 u 0. décroissante si a a 0 c est à dire u 2 u 0. On vérifie de même que la suite (b n ) n N est définie par la relation b n+ = (f f)(b n ) donc peut être étudiée comme (a n ) n N. Ainsi (b n ) n N est : croissante si b b 0 c est à dire u 3 u 0. décroissante si b b 0 c est à dire u 3 u. Remarque Les deux suites a et b seront de monotonies contraires. En effet, si a 0 a u 0 u2 alors par décroissance de f, f(u 0 ) f(u 2 ) u u 3 ainsi b 0 b. Ci-dessous les premiers termes de la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 et pour tout n N, u n+ = u n + 2.

6 5 Comportement asymptotique de la suite (u n ) n N 5. Cas (u n ) n N monotone Supposons que : il existe J D f tel que n N, u n J. (u n ) n N est monotone : croissante ou décroissante. Cas croissant / Si (u n ) n N est majorée (exemple, si J = [m,m] avec m R, M R) alors elle converge vers un point fixe de f appartenant à J 2/ Si (u n ) n N ne semble pas majorée (par exemple J = [m,+ [). On essaie de minorer (u n ) n N par un nombre m : n N, u n m tel qu il n existe pas de point fixe pour f sur [m,+ [ et on utilise le raisonnement par l absurde suivant : Supposons que la suite (u n ) n N converge vers une limite finie l. Par suite l m et l est un point fixe de f. Or f ne possède pas de point fixe sur [m,+ [ : contradiction!! Donc la suite (u n ) n N ne converge pas et puisqu elle est croissante, elle diverge vers +. Cas décroissant / Si (u n ) n N est minotée (exemple, si J = [m,m] avec m R, M R) alors elle converge vers un point fixe de f appartenant à J 2/ Si (u n ) n N ne semble pas minorée (par exemple J =],M[). On essaie de majorer (u n ) n N par un nombre M : n N, u n M tel qu il n existe pas de point fixe pour f sur ],M] et on utilise le raisonnement par l absurde suivant : Supposons que la suite (u n ) n N converge vers une limite finie l. Par suite l M et l est un point fixe de f. Or f ne possède pas de point fixe sur ],M] : contradiction!! Donc la suite (u n ) n N ne converge pas et puisqu elle est décroissante, elle diverge vers. 5.2 Cas (u n ) n N n est pas monotone Il s agit du cas étudié dans la section f décroissante. Les suites (u 2n ) n N et (u 2n+ ) n N sont monotones donc on peut leur appliquer le raisonnement de la section précédente pour déterminer leurs convergences respectives. Puis on applique le théorème suivant : Théorème La suite (u n ) n N converge vers l si et seulement si les suites (u 2n ) n N et (u 2n+ ) n N convergent toutes les deux vers le réel l. Dans ce cas les suites (u 2n ) n N et (u 2n+ ) n N sont adjacentes!!! 5.3 Méthode fondée sur l inégalité des accroissements finis Une autre méthode, dans le cas de convergence vers le point fixe l, consiste à utiliser l inégalité des accroissements finis : ❶ on majore f (x) sur l intervalle J stable par f, par un réel q < : x J, f (x) q ❷ après vérification de toutes les hypothèses, on applique l IAF aux points u n et l, point fixe de f dans J : f(u n ) f(l) q u n l u n+ l q u n l ❸ on montre alors par récurrence que : n N, u n l q n u 0 l ❹ puisque q <, on conclut avec le théorème d encadrement que lim n + u n l = 0 donc lim n + u n = l!!

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