Listededéfinitions, propositions et théorèmes

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1 Lissage exponentiel Jean-Marie Dufour Université de Montréal Première version: Mars 1987 Révisions: Mars 2002 Cette version: 17 février 2003 Compilé: 17 février 2003, 11:29am Cette recherche a bénéficié du support financier de la Chaire de recherche du Canada en économétrie, du Conseil des Arts du Canada (Bourse Killam), du Conseil de recherche en sciences humaines du Canada, du Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada, de la Fondation Alexander von Humboldt (Allemagne), de l Institut de Finance mathématique de de Montréal (IFM2), du Réseau canadien de centres d excellence (projet MITACS) et du Fonds FCAR du Québec. L auteur est titulaire de la Chaire de recherche du Canada en économétrie. Centre interuniversitaire de recherche en analyse des organisations (CIRANO), Centre interuniversitaire de recherche en économie quantitative (CIREQ) et Département de sciences économiques, Université de Montréal. Adresse postale: Département de sciences économiques, Université de Montréal, C.P succursale Centre Ville, Montréal, Québec, Canada H3C 3J7. TEL: (514) ; FAX: (514) ; courriel: jean.marie.dufour@umontreal.ca. Page Web:

2 Table des matières Liste de définitions, propositions et théorèmes i 1. Lissage exponentiel simple Formule adaptative Dérivation de la formule de lissage exponentiel simple Choix de la constante de lissage Lissage exponentiel double 3 3. Lissage exponentiel généralisé Fonctions à matrice de transition fixe Description de la méthode Méthode de Holt-Winters Méthode non saisonnière Méthodes saisonnières additives Méthode saisonnière multiplicative Notes bibliographiques 13 Listededéfinitions, propositions et théorèmes i

3 1. Lissage exponentiel simple On dispose d une série X 1,..., X T et on désire prédire X T +h (h 1). Dénotons la prévision par ˆX T (h). 1.1 Définition La valeur ˆX T (h) fournie par la méthode du lissage exponentiel simple avec la constante de lissage β (0 <β<1) est ˆX T (h) =(1 β) β j X T j. (1.1) ˆX T (h) est une moyenne des observations passées où le poids de chaque observation décroît de façon exponentielle avec la distance. Notons que ˆX T (h) ne dépend pas de h : ˆX T (h) ˆX T Formule adaptative On peut réécrire autrement la formule de calcul de ˆX T (h) : β ˆX T 2 T 1 =(1 β) d où l erreur de prévision ˆX T β ˆX T 1 = (1 β) β j+1 X T (j+1) =(1 β) [ T 1 = (1 β) X T. β j X T j j=1 j=1 β j X T j, β j X T j Par conséquent, ˆX T = β ˆX T 1 +(1 β) X T (1.2) est une moyenne pondérée de ˆX T 1 (h) et X T. On peut aussi écrire ˆX T sous une forme adaptative : ˆX T = ˆX T 1 +(1 β) [X T ˆX T 1. (1.3) On peut calculer ˆX T à partir de (1.2) et (1.3) en posant ˆX 1 = X 1. 1

4 1.2. Dérivation de la formule de lissage exponentiel simple Soit Cherchons la constante telle que β j (X T j a) 2 est minimal. S En prenant la dérivée de S par rapport à a, et en annulant on obtient, pour β 1, et T 1 S a = 2 β j X T j =â β j (X T j a) 2. (1.1) β j (X T j â) =0, β j =â 1 βt 1 β â = 1 β β j X 1 β T T j ˆX T pour T grand. ˆX T est la constante qui s ajuste le mieux au voisinage de T. Si β =1, S (X T j a) 2, (1.2) et â = 1 X T j. (1.3) T 2

5 1.3. Choix de la constante de lissage Considérons une série X T qui suit un processus AR (1) : Il s ensuit que X t = ρx t 1 + ε t, ρ < 1 iid ε t (0, 1). E (X t ) = 0, V (X t )=1/ ( 1 ρ 2), cov (X t,x t+h ) = ρ h. Supposons que l on désire choisir β tel que E { T h0 t=1 } [ X t+h0 ˆX 2 T (h 0 ) D ρ (h 0,β) soit le plus petit possible. On peut montrer que D ρ (h, β) = D ρ (1,β) = log (D ρ ) β = ( 2 2(1 β) βρ ρ h βρ h) +, 1+β (1 + β)(1 βρ) 2(1 ρ) (1 + β)(1 βρ) D ρ, ρ +2βρ 1 (1 + β)(1 βρ). Si 1 ρ<1, le minimum est à β =(1 ρ) / 2ρ. 3 Si 1 <ρ< 1, le minimum est à β =1. 3 Voir le Graphique de D ρ (1,β) dans Gouriéroux et Monfort (1983, p. 127) : pour ρ négatif, l EQM est élevée. pour ρ positif, D ρ (1,β) est relativement plate. Ceci suggère β =0.8ou Lissage exponentiel double Le lissage exponentiel simple est bien adapté au cas où la série a une moyenne approximativement constante au voisinage de T.À la place, supposons que la série peut être 3

6 approximée par une droite au voisinage de T : Ceci suggère une prévision de la forme : y t = a 1 + a 2 (t T ). où â 1 (T ) et â 2 (T ) sont choisis de façon à minimiser En différentiant Q, on obtient d où Remplaçons Q = ˆX T (h) =â 1 (T )+â 2 (T ) h (2.1) β j (X T j â 1 +â 2 j) 2. (2.2) Q = 2 β j (X T j â 1 +â 2 j)=0, a 1 Q = 2 jβ j (X T j â 1 +â 2 j)=0, a 2 β j X T j â 1 jβ j X T j â 1 β j +â 2 jβ j +â 2 jβ j = 0, j 2 β j = 0. T 1 β j T 1 T 1 jβ j j 2 β j par par par 1 1 β β (1 β) 2 β (1 + β) (1 β) 3 4

7 (limites lorsque T ). On obtient alors : (1 β) T 1 (1 β) 2 T 1 β j β X T j â 1 +â 2 1 β =0, jβ j X T j â 1 β +â 2 β (1 + β) 1 β =0. (2.3) Définissons S 1 (t) = (1 β) S 2 (t) = (1 β) = (1 β) 2 k=0 β j X T j, β j S 1 (t j) kβ k X t k +(1 β) S 1 (t), où on voit que S 2 (t) correspond à un double lissage. Substituant S 1 (t) et S 2 (t) dans (2.3), on obtient β S 1 (T ) â 1 +â 2 1 β =0, β (1 + β) (2.4) S 2 (T ) (1 β) S 1 (T ) â 1 β + 1 β â2 =0. d où Formule mise à jour _ Comme on voit que â 1 (T ) = 2S 1 (T ) S 2 (T ), â 2 (T ) = 1 β [S 1 (T ) S 2 (T ). (2.5) β S 1 (T ) = βs 1 (T 1) + (1 β) X T, S 2 (T ) = βs 2 (T 1) + (1 β) S 1 (T ) = βs 2 (T 1) + (1 β)[βs 1 (T 1) + (1 β) X T = βs 2 (T 1) + β (1 β) S 1 (T 1) + (1 β) 2 X T, â 1 (T ) = 2S 1 (T ) S 2 (T ) 5

8 = ( 1 β 2) X T + β 2 [â 1 (T 1) + â 2 (T 1) = ( 1 β 2) X T + β 2 ˆXT 1 (1) = â 1 (T 1) + â 2 (T 1) + ( 1 β 2) [ X T ˆX T 1 (1) = ˆX T 1 (1) + ( 1 β 2) [ X T ˆX T 1 (1), [ â 2 (T ) = â 2 (T 1) + (1 β) 2 X T ˆX T 1 (1). Dans le cas de la prévision parfaite [ X T = ˆX T 1 (1), â 1 (T ) = â 1 (T 1) + â 2 (T 1) = ˆX T 1 (1), â 2 (T ) = â 2 (T 1). 3. Lissage exponentiel généralisé Les méthodes de lissage exponentiel simple et double ajustent une constante ou une droite en donnant un poids plus grand aux observations dans le voisinage de T. Considérons une fonction de la forme où ϕ (t T )=f (t T ) a = n a j f j (t T ) j=1 f (t) = [f 1 (t),..., f n (t), a = (a 1,..., a n ). On désire ajuster la fonction ϕ (t T )=f(t T) a de façon à minimiser une somme pondérée des écarts [ XT j ϕ [ (T j) T 2 [ = XT j f ( j) a 2. Si on adopte une pondération exponentielle, le problème revient à minimiser S (a) = β j [ X T j f ( j) a 2. (3.1) Pour obtenir des formules faciles à calculer, il sera commode de considérer ici des fonctions 6

9 f (t) satisfaisant des conditions particulières Fonctions à matrice de transition fixe 3.1 Définition On dit que le vecteur f (t) =[f 1 (t),..., f n (t), t Z, est à matrice de transition fixe s il existe une matrice A telle que f (t) =Af (t 1), t Z. Si f (t) =Af (t 1), alors ϕ (t) =f (t) a = f (t 1) A a. On peut obtenir la plupart des tendances usuelles à partir de fonctions f (t) à matrice de transition fixe. a) Fonction constante b) Fonction linéaire ϕ (t) = a 1 si f (t) = 1, A =1. ϕ (t) = a 1 + a 2 t = f (t) a [ [ si f (t) =, A = t 1 1 [ [ [ f (t) = = = Af(t 1). t 1 1 t 1 c) Polynôme de degré m ϕ (t) = m β j t j = f (t) a f (t) = [f 1 (t),f 2 (t),..., f m+1 (t) f 1 (t) = 1,f 2 (t) =t, f 3 (t) =t (t 1) /2, f 4 (t) = t (t 1) (t 2) /3!,. f m+1 (t) = t (t 1)... (t m +1)/m!. On a f k (t) =f k 1 (t 1) + f k (t 1), k 2, 7

10 car (t 1) (t 2)... (t k +2) f k 1 (t 1) + f k (t 1) = (k 2)! (t 1) (t 2)... (t k +1) + (k 1)! [ (t 1) (t 2)... (t k +2) (t k +1) = 1+ (k 2)! k 1 [ (t 1) (t 2)... (t k +2) t = (k 2)! k 1 = f k (t). On peut donc écrire : f (t) = Af (t 1), A = d) Fonctions sinusoïdales ϕ (t) = a sin (ωt)+a 2 cos (ωt) [ [ sin (ωt) sin [ω (t 1) f (t) = = A cos (ωt) cos [ω (t 1) [ cos (ω) sin(ω) A =. sin (ω) cos(ω) e) Fonction exponentielle ϕ (t) = ae αt f (t) = e αt = e α e α(t 1) = Af (t 1) A = e α 8

11 3.2. Description de la méthode Cherchons a qui minimise S (a) en (3.1). Soit y = La valeur â (T ) qui minimise est donc où X T. X 1,F= f (0) f ( 1) f ( T +1) Ω = diag ( 1, 1/β, 1/β 2,..., 1/β T 1). S (a) =(y Fa) Ω(y Fa) (3.1) â (T ) = [ F Ω 1 F 1 F Ω 1 y = M (T ) 1 Z (T ) (3.2) M (T ) = F 1 Ω 1 F = Z (T ) = F Ω 1 y = β j f ( j) f ( j), (3.3) β j f ( j) X T j. Comme 0 <β<1, on peut trouver dans la plupart des cas une matrice M telle que Remplaçons M (T ) par la limite M : La prévision de X T +h est alors M = lim T M (T ). â (T )=M 1 Z (T ). (3.4) ˆX T (h) =f (h) â (T ). (3.5) 9

12 La formule de mise à jour de â (T ) est donnée par : Z (T ) = où f ( j) =Af ( j 1), où Comme A 1 M = = X T f (0) + β j X T j f ( j) T 2 = X T f (0) + β T 2 = X T f (0) + βa 1 β j X T j f ( j) β j X T j 1 f ( j 1) = X T f (0) + βa 1 Z (T 1) β j X T j 1 f ( j) â (T ) = X T M 1 f (0) + βm 1 A 1 Mâ (T 1) = gx T + Gâ (T 1) (3.6) = = g = M 1 f (0), G = βm 1 A 1 M. β j A 1 f ( j) [ A 1 f ( j) A β j f ( j 1) [f ( j 1) A [ β k 1 f ( k) f ( k) A, k=0 [ G = βm 1 A 1 M = M 1 β k f ( k) f ( k) k=1 = M 1 [ M f (0) f (0) A = [ I M 1 f (0) f (0) A A 10

13 = [ A gf (1), on a aussi d où la formule de mise à jour â (T ) = gx T + [ A gf (1) â (T 1) = gx T + A â (T 1) gf (1) â (T 1), â (T )=A â (T 1) + g [ X T ˆX T 1 (1). (3.7) 4. Méthode de Holt-Winters Holt et Winters ont proposé une approche un peu différente au problème du lissage exponentiel Méthode non saisonnière Holt et Winters ajustent aussi une droite au voisinage de T (comme dans le lissage exponentiel double). Les formules de mise à jour des coefficients sont toutefois différentes : où 0 <α<1, â 1 (T ) = (1 α) X T + α [â 1 (T 1) + â 2 (T 1) = (1 α) X T + α ˆX T 1 (1) (4.1) â 2 (T ) = (1 γ)[â 1 (T )+â 1 (T 1) + γâ 2 (T 1) = â 2 (T 1) +(1 γ)[â 1 (T ) â 1 (T 1) â 2 (T 1) (4.2) où 0 <γ<1. Ces deux formules sont des moyennes pondérées. Les prévisions associées sont : On prend habituellement : ˆX T (h) =â 1 (T )+hâ 2 (T ). (4.3) â 1 (2) = X 2, â 2 (2) = X 2 X 1. 11

14 Les formules de mise à jour du lissage exponentiel double peuvent s écrire : â 1 (T ) = ( 1 β 2) X T + β 2 [â 1 (T 1) + â 2 (T 1), â 2 (T ) = â 2 (T 1) + Les deux méthodes sont identiques si on prend α = β 2,γ=1 (1 β)2 1 β 2 [â 1 (T ) â 1 (T 1) â 2 (T 1). (1 β)2 1 β 2 = 2β 1 β 2. On a plus de flexibilité, mais on doit choisir deux constantes Méthodes saisonnières additives On suppose que la série peut être approximée au voisinage de T par où S t est un facteur saisonnier. Prenant a 1 +(t T ) a 2 + S t s =4 s =12 pour des données trimestrielles, pour des données mensuelles, on propose les formules suivantes de mise à jour : ( ) â 1 (T ) = (1 α) X T ŜT s + α [â 1 (T 1) + â 2 (T 1), (4.1) â 2 (T ) = (1 γ)[â 1 (T ) â 1 (T 1) + γâ 2 (T 1), (4.5) Ŝ T = (1 δ)[x T â 1 (T ) + δŝt s, (4.6) où 0 <α<1, 0 <γ<1 et 0 <δ<1, d où la prévision ˆX T (h) = â 1 (T )+hâ 2 (T )+ŜT +h s, si 1 h s, = â 1 (T )+hâ 2 (T )+ŜT +h 2s, si s<h 2s. Des valeurs initiales sont nécessaires. Pour s =4, on peut prendre : â 1 (3) = 1 8 X X X X X 5, â 1 (4) = 1 8 X X X X X 6, 12

15 â 2 (4) = â 1 (4) â 1 (3), Ŝ 4 = X 4 â 1 (4), Ŝ 3 = X 3 â 1 (3), Ŝ 2 = X 2 â 1 (3) + â 2 (4), Ŝ 1 = X 1 â 1 (3) + 2â 2 (4) Méthode saisonnière multiplicative On cherche à approximer X t par une tendance de la forme [a 1 +(t T ) a 2 S t. Les formules de mise à jour sont : â 1 (T ) = (1 α) X T + α [â 1 (T 1) + â 2 (T 1), Ŝ T s 0 <α<1, â 2 (T ) = γâ 2 (T 1) + (1 γ)[â 1 (T ) â 1 (T 1), 0 <γ<1, X T Ŝ T = δŝt s +(1 δ) â 1 (T ), 0 <δ<1, d où la prévision ˆX T (h) = [â 1 (T )+hâ 2 (T ) ŜT +h s, 1 h s, = [â 1 (T )+hâ 2 (T ) ŜT +h 2s, s < h 2s. Valeurs initiales pour s =4: â 1 (3), â 1 (4), â 2 (4) : mêmes valeurs que pour la méthode additive saisonnière ; Ŝ 1, Ŝ2, Ŝ3, Ŝ4 : on divise les observations par la tendance linéaire calculée à partir de â 1 (4) et â 2 (4). 5. Notes bibliographiques Voir Gouriéroux et Monfort (1983, Chap. II). 13

16 Références Gouriéroux, C. et Monfort, A. (1983), Cours de séries temporelles, Economica, Paris. 14