Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013

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1 Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 01/013 Table des matières 1 Suites géométriques : Rappels et compléments 1.1 Définition, exemples Expression en fonction de n Variation relative Sens de variation et représentation graphique Somme de termes d une suite géométrique 3 3 Limite d une suite géométrique Notion de limite Quelques propriétés sur les limites Limite d une suite géométrique Suites arithmético-géométriques Définition Exemple d utilisation d une suite intermédiaire Table des figures 1 Évolutions exponentielles de suites géométriques Suite définie par u n = 1 n Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 SUITES GÉOMÉTRIQUES : RAPPELS ET COMPLÉMENTS En préliminaire au cours : Exercices : 1,, 3 page 19 et, 5, 6, 7 page , 5 page 19 et 4, 31, 3, 34 page 34 6, 7, 8 page 19 et 8, 9, 30 page 34 3 [TransMath] 1 Suites géométriques : Rappels et compléments 1.1 Définition, exemples Définition : On dit qu une suite (u n ) est géométrique si on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q. On a donc : Exemples : Le réel q est alors appelé raison de la suite. u n+1 = q u n 1. La suite : 1,, 4, 8, 16,... est géométrique de raison.. La suite définie par : est arithmétique de raison 1. { u 0 = 3 u n+1 = un = 1 u n 3. On augmente tous les ans une quantité de 5%. La suite obtenue est u n+1 = 1, 05u n. C est donc une suite géométrique de raison 1, Expression en fonction de n Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. On a : u 1 = u 0 q u = u 1 q = (u 0 q) q = u 0 q u 3 = u q = ( u 0 q ) q = u 0 q 3 Plus généralement, on a le résultat suivant : Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. Alors : u n = u 0 q n Remarque : Plus généralement, si (u n ) est une suite géométrique de raison q et si n et p sont deux entiers naturels, on a : u n = u p q n p. En particulier, si le premier terme de la suite est u 1, on a : u 1 = u p q n 1 Exemple : Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 3 et de raison. On a : u n = u 0 q n = 3 n. En particulier : u 10 = 3 10 = 307. Exercices : 18, 19, 0, 1 page 34 et 47, 48, 50 page , page 6 ; 35, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 46, 56 page 35 ; 58, 60 page 36 et 66 page 7 5 9, 10 page 9 et 61, 63, 65 page 37 6 [TransMath] 1. Généralités sur les suites.. Sens de variation d une suite. 3. Suites arithmétiques 4. Calcul de termes. 5. reconnaître et exploiter une suite géométrique. 6. Algorithmes.

3 SOMME DE TERMES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE 1.3 Variation relative 1.3 Variation relative Définition : Soit (u n ) une suite à termes tous non nuls. On appelle variation relative de la suite (u n ) le quotient : u n+1 u n u n Propriété : Soit (u n ) une suite géométrique (non nulle). Alors la variation relative de la suite (u n ) est constante. Démonstration : On note q la raison de la suite (u n ). On a donc u n+1 = qu n. u n+1 u n = qu n u n = u n (q 1) Par suite : un+1 un u n = un(q 1) u n = q 1. Exercice : 59 page 36 7 [TransMath] 1.4 Sens de variation et représentation graphique Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 positif. Si q > 1, alors la suite (u n ) est croissante. Si 0 < q < 1, alors la suite (u n ) est décroissante. Si q < 0, la suite (u n ) n est pas monotone. Démonstration : Si q > 0, on a : u n+1 u n = u 0 q n+1 u 0 q n = u 0 q n (q 1) Or, u 0 > 0 et q n > 0 donc u n+1 u n est du signe de q 1. Donc, si q > 1, (u n ) est strictement croissante, et si 0 < q < 1, (u n ) est décroissante. Si q < 0, q n et q n+1 sont de signes contraires donc (u n ) n est pas monotone. Remarques : 1. Si q = 1, (u n ) est constante.. Ces résultats sont inversés si u 0 < Sur la figure 1, on trouve deux exemples de représentation graphique de suites géométriques. On dit que les suites géométriques ont une évolution exponentielle. Exercices : 51, 5, 53, 55 page 35 8 [TransMath] Somme de termes d une suite géométrique Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q (avec q 1). On note S n la somme des (n + 1) premiers termes de la suite (u n ), c est-à-dire : S n = u 0 + u 1 + u + + u n Alors, on a : S n = u 0 1 q n+1 1 q En effet, si on note S = 1 + q + q + + q n : 7. Variation relative. 8. Sens de variation d une suite géométrique. 3

4 SOMME DE TERMES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE (a) Cas où u 0 > 0 et q > 1 (b) Cas où u 0 > 0 et 0 < q < 1 Figure 1: Évolutions exponentielles de suites géométriques S = 1 + q + q q n qs = q + q q n + q n+1 S qs = ( q n+1) On a donc : et, comme q 1, 1 q 0. D où : De plus : S qs = 1 q n+1 (1 q) S = 1 q n+1 S = 1 qn+1 1 q Par suite : Remarques : S n = u 0 + u 1 + u + + u n = u 0 + u 0 q + u 0 q + + u 0 q n = u 0 ( 1 + q + q + + q n) = u 0 S S n = u 0 1 q n+1 1 q 1. Il est plus facile de retenir cette formule sous la forme suivante :. Si q = 1, on a : de termes 1 (raison)nbre S = (premier terme) 1 raison S n = u 0 + u 1 + u + + u n = u 0 + u u u 0 1 n = u 0 + u u 0 }{{} n+1 fois = u 0 (n + 1) 4

5 3 LIMITE D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE Exemple : Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u 0 = 100 et de raison q = 1. S = ( ) = = = = , Exercices : 70, 71, 7, 73, 75, 77 page page 38 et 81 page [TransMath] 3 Limite d une suite géométrique 3.1 Notion de limite Étudier la limite d une suite u n, c est déterminer ce que devient u n lorsque n devient très grand (on dit que n tend vers + ). Exemples : 1. Soit (u n ) la suite définie par u n = 1 n (pour n 1). Les premiers termes de (u n ) sont : 1 ; 1 ; 1 3 ; 1 4 ;... ; 1 10 ;... ; ;... Les termes finissent par s accumuler autour de zéro (voir figure ). Figure : Suite définie par u n = 1 n On dit que la suite (u n ) converge vers zéro, où que (u n ) admet 0 comme limite. On note alors : lim (u n ) = 0.. Soit (v n ) la suite définit par v n = n. Les premiers termes de (u n ) sont : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;... ; 100 ;... ; ;... On peut rendre les valeurs de v n aussi grandes que l on veut en prenant n suffisamment grand. On dit que la suite (v n ) tend vers +, où que (v n ) admet + comme limite. On note alors : lim (v n ) = Par un raisonnement analogue, la suite (w n ) définie par w n = n tend vers. On note alors : lim (w n ) =. Remarque : Attention, le terme «converge» n est utilisable que pour des suites de limite finie, pas pour des suites tendant vers + ou. 3. Quelques propriétés sur les limites Propriété 1 : Soit (u n ) une suite de limite finie l et soit a et b deux réels. Alors : lim (au n ) = al ; lim (u n + b) = l + b ; lim (au n + b) = al + b. Remarque : En particulier, si la suite (u n ) converge vers zéro, la suite (au n + b) converge vers b. 9. Sommes de termes d une suite géométrique. 10. Algorithmique. 5

6 3.3 Limite d une suite géométrique 3 LIMITE D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE Propriété : Soit (u n ) une suite de limite + et soit a et b deux réels. Alors : Si a > 0, lim (au n ) = + ; Si a < 0, lim (au n ) = ; lim (u n + b) = l + b ; Propriété 3 : Soit (u n ) une suite de limite et soit a et b deux réels. Alors : Si a > 0, lim (au n ) = ; Si a < 0, lim (au n ) = + ; lim (u n + b) = l + b ; Remarques : 1. Lorsque (u n ) tend vers l infini, pour la limite de la suite (au n ), on utilise la règle des signes.. Lorsque (u n ) tend vers l infini, les suites (u n ) et (u n + b) ont même limite. 3.3 Limite d une suite géométrique Grâce à la figure 1, on peut conjecturer la propriété suivante, qui sera admise. Propriété : Soit q un réel strictement positif. Si 0 < q < 1, la suite de terme général (q n ) converge vers zéro. Si q > 1, la suite de terme général (q n ) admet comme limite +. Si q = 1, la suite de terme général (q n ) admet comme limite 1. Cette propriété, combinée à celles du 3., permet de déterminer la limite de suites géométriques et de somme de termes d une suite géométrique. Exemples : 1. Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison 0, 4. On a u n = 5 0, 4 n. Comme 0, 4 < 1, lim (0, 4 n ) = 0 donc lim (5 0, 4 n ) = 0. La suite (u n ) converge vers 0.. Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison 1, 5. On a v n = 1, 5 n. Comme 1, 5 > 1, lim (1, 5 n ) = + donc lim ( 1, 5 n ) =. La suite (v n ) tend vers. 3. Soit (w n ) la suite géométrique de premier terme w 0 = et de raison 1. On considère la suite (S n ), somme des (n + 1) premiers termes de la suite (w n ). On a : En utilisant le résultat du, on obtient : S n = 1 ( ) 1 n = 1 ( 1 S n = w 0 + w w n 1 ) n+1 = Comme 1 < 1, lim ( ) ( 1 n+1 = 0. Par suite, lim 1 ( ) ) 1 n+1 ( 1 ( ) ) ( n+1 1 = 4 1 = 1 et lim (S n ) = 4. ( ) ) n+1 1 Exercices : 3, 4, 5 page 7 et 83, 84, 87, 88 page , 7, 8 page 8 et 90, 9, 93, 94, 95 page 39 1 [TransMath] 11. Limite de suites géométriques. 1. Limite d une somme de termes d une suite géométrique. 6

7 4 SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES 4 Suites arithmético-géométriques 4.1 Définition Définition : On appelle suite arithmético-géométrique toute suite (u n ) vérifiant une relation de récurrence de la forme : u n+1 = au n + b où a et b sont deux réels. Remarque : En particulier, Si a = 0, (u n ) est une suite arithmétique de raison b ; si b = 0, (u n ) est une suite géométrique de raison a. 4. Exemple d utilisation d une suite intermédiaire Exercice résolu : exercice 11 page 30 [TransMath] 1. Au bout d un mois, la somme à rembourser (u 0 = 6000) a été augmentée de 1,5 %, soit multipliée par 1,015. Il faut soustraire à cette somme le montant de la première mensualité (300 ). On a donc : u 1 = 1, 015 u = 1, = 5790 Par un raisonnement analogue, au bout de mois, la somme à rembourser précédente (u 1 = 5790) a été augmentée de 1,5 %, soit multipliée par 1,015. Il faut soustraire à cette somme le montant de la deuxième mensualité (300 ). On a donc : u = 1, 015 u = 1, = 5576, 85. Plus généralement, chaque mois, le montant restant à rembourser du mois précédent est augmenté de 1,5 %, et on lui déduit la mensualité en cours. On a donc : 3. On pose v n = u n u n+1 = 1, 015u n 300 (a) On va montrer que (v n ) est une suite géométrique : v n+1 = u n = 1, 015u n = 1, 015u n ( ) = 1, 015 u n 1, 015 = 1, 015 (u n 0 000) = 1, 015v n Donc (v n ) est une suite géométrique est une suite géométrique de raison q = 1, 015 et de premier terme v 0 = u = = (b) On a donc v n = v 0 q n = , 015 n. De plus, comme v n = u n 0 000, on a : u n = v n = , 015 n Le crédit est remboursé dès que u n devient négatif ou nul. À l aide d un tableau de valeurs sur la calculatrice, on remarque que u 3 > 0 et u 4 < 0. Le crédit sera donc remboursé en 4 mois. Module : Exercice 16 page 3 13 et 17 page [TransMath] Exercices : 96 page 39 et 97, 99, 100, 101 page , 105 page 41 et 14, 15 page page page page 4 et 109 page [TransMath] 13. Utilisation du tableur. 14. Utilisation de la calculatrice. 15. Suites arithmético-géométriques. 16. Type BAC. 17. QCM. 18. Autre type de suite. 19. Applications. 7

8 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Références [TransMath] Transmath Term ES Spécifique/L Spécialité, programme 01, André antibi, Nathan, 01., 3, 5, 6, 7 8