L3 Phytem Outils mathématiques Correction du TD n o 7 Distributions

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1 ENS de Cachan L3 Phytem Outils mathématiques Coection du TD n o 7 Distibutions Execice 1. Soient p et q deux enties natuels. Calcule la distibution T = x p δ q où δ i est la déivée i ième de la mesue de Diac su. Coection : x p C donc x p δ q a un sens. Soit ϕ D, x p δ q, ϕ = 1 q δ, x p ϕ q [ d q = 1 q x ϕ] p. 1 dx D apès la fomule de Leibniz d q x p ϕ = dx q i= C q i d i d q i x p ϕ = dx dx 1. Si p > q, la quantité s annule en x =. En effet, d i x p = C p i dx xp i et p i est stictement positif.. Si p q, alos la quantité s écit p 1 F i,q x + i= q F i,q x. i=p q F i,q x. La pemièe de ces deux sommes s annule à l oigine pou la même aison que pécédemment, et la deuxième s écit q C q d i d q i d p d q p i x p ϕ = Cp q x p ϕ dx dx dx dx ca i=p d i x p = si i p + 1. dx On a donc dans ce cas, d apès 1 x p δ q, ϕ = 1 q Cpp!ϕ q q p = 1p q! δ q p, ϕ. q p! i= En ésumé si p > q x p δ q = 1 p q! q p! δq p si p q.

2 Execice. Calcule la déivée au sens des distibutions de la fonction localement intégable ln x su. Coection : La fonction ln x pou x est intégable au voisinage de l oigine ca pou tout < 1, x ln x tend ves losque x tend ves et donc ln x 1 x pou x non nul dans un voisinage de l oigine. Soit ϕ D, on a d ln x, ϕ = ln x, dϕ = dx dx ln x dϕ dx. 3 dx On pouait pense à faie une intégation pa paties, mais la déivée de ln x est la fonction 1 x qui n est pas intégable au voisinage de l oigine. On utilise alos la méthode suivante : d apès le théoème de Lebesgue ln x ϕ xdx = lim ln x ϕ x xdx = lim I 4 ca D aute pat, 1 { x } ln x ϕx ln x ϕx L 1. + I = ln x ϕ xdx + ln x ϕ xdx = [ln x ϕx] + [ln x ϕx]+ x ϕx = ln ϕ ϕ x dx. x ϕx x dx O, et, pa conséquent On déduit de 3, 4 et 5 que ϕ ϕ sup ϕ x, lim I = lim x d dx ln x = vp 1 x. ϕx dx. 5 x

3 Execice 3. Soit la distibution définie dans le plan pa la fonction localement intégable { 1 Ex, t = si t x > si t x < Soit l opéateu des ondes défini pa ésoude E au sens des distibutions. = t x. Coection : Soit On a pou tout ϕ D, E, ϕ = 1 ϕ x t dtdx 1 = 1 [ ] ϕx, t dx 1 t t= x = 1 ϕ x, x dx 1 t = 1 ϕ x, xdx 1 t 1 ϕ t, tdt + 1 x = 1 ϕ x, xdx 1 t 1 ϕ t, tdt + 1 x D aute pat, pou a : d ϕay, y = a dy = t x. t ϕ x dxdt [ ] ϕx, t t x ϕ x ϕ t ϕ t, tdt x ϕ t ϕ x ϕ ay, y + x dt x= t t, tdt + 1 x, xdx x, xdx t t, tdt ϕ ay, y. t ϕ t, tdt x On en déduit E, ϕ = 1 d dy ϕy, ydy 1 d ϕ y, ydy dy E, ϕ = 1 ϕ, + 1 ϕ, = ϕ, = δ, ϕ, ϕ D E = δ dans D.

4 Execice Monte que la fonction définit un élément de D. fx; y = 1 x + iy. L opéateu de Cauchy-iemann est défini pa = 1 x + i. y Monte que f = πδ. Coection : 1. Tout d abod 1 fx, y = x + y 1 = 1 X où X = x, y. 1 On sait que la fonction X α est intégable au voisinage de l oigine dans n si α < n. Ici α = 1 et n = donc f est L 1 loc ce qui implique que f définit un élément de D.. Soit ϕ D, on a On passe en coodonnées polaies : On a où 1 1 f, ϕ = f, ϕ = x + iy x = cos θ, y = sin θ, quad = dxdy = ddθ. x = cos θ sin θ θ ; y = sin θ + cos θ θ. 1 π e iθ f, ϕ = iθ ϕ e + ieiθ ϕ, θ = ϕ cos θ, sin θ. f x + if dxdy. 6 y ϕ ddθ, θ D apès le théoème de Fubini, 1 π [ ] ϕ f, ϕ = d dθ i [ 1 π ] ϕ θ dθ d. Comme ϕ, = ϕ, et que ϕ, θ est π-péiodique, il vient : et, pa conséquent f, ϕ = 1 π ϕ, = πϕ, = π δ, ϕ f = πδ.

5 Execice 5. On considèe dans la fonction où Ht désigne la fonction de Heaviside. Ex, t = Ht e x 4πt 1. Monte que E définit une distibution su.. L opéateu de la chaleu est défini pa Monte que dans D P = t x. P E = δ. Coection : 1. On a la majoation Ex, t Ht 4πt et la fonction Ht 4πt est localement intégable dans. Donc, E L 1 loc et définit un élément de D.. Soit ϕ D, O t x E, ϕ = E, ϕ t + ϕ x = e x ϕ 4πt t dxdt = lim en vetu du théoème de Lebesgue, puisque 1 e x [, [ ϕx, t 4πt e x ϕ 4πt t + ϕ x dxdt. e x ϕ 4πt t dt dx = lim I, C ϕx, t t L 1. Dans I, on peut alos faie une intégation pa paties et écie I = e x ϕx, tdtdx + e x ϕx, t t 4πt 4πt O, De même I = 1 4 π e x = 1 t 4πt 4 π e x x t 5 ϕ dxdt = lim 4πt x x t 5 1 e x t 3, t= dx. 1 e x e x 4 t 3 ϕx, tdtdx ϕx, dx. 7 4π e x Dans J faisons deux intégations pa paties : e x = x x 4πt 4 πt 3 ϕ dxdt = lim 4πt x J. e x

6 et comme il vient J = + e x x = 4πt 1 x 4 1 π t 5 e x ϕ x, t 4πt x t πt 3 e x ϕx, tdxdt x= lim ϕx, t = lim x ± J = 1 4 π x t 5 dt + x ± + x 8 e x πt 5, [ x 4 πt 3 ϕ x, t =, x En utilisant les expessions de I et J données pa 7 et 8, il vient e x 4 I + J = ϕx, dx, 4π e x ϕx, t ] + x= 1 e x t 3 ϕx, tdtdx. 8 t e x E, ϕ = lim x 4 ϕx, dx = lim K. 4π Dans l intégale, faisons le changement de vaiable o K = y = x dx = dy e y ϕ y, dy = 1 e y ϕ y, dy, π π lim ϕ y, = ϕ, et e y ϕ y, sup ϕx e y L 1 donc, d apès le théoème de Lebesgue lim K = 1 e y dy ϕ, = ϕ,. π Donc t x E = δ. dt

7 Execice 6. Soit x 3 ; on note = x. 1. Calcule f losque f est une fonction qui ne dépend que de.. Soit f = f une fonction qui véifie dans 3 \{} l équation + a f = où a \{}. Ecie l équation difféentielle à laquelle satisfait g = f et en déduie la fome des solutions C dans 3 \{} de + a f =. 3. Soit f = f une telle solution. Monte que si on pose on a, dans D 3 l = lim f, + a f = Clδ où C est une constante que l on calculea. 4. En déduie, dans D 3 1. Coection : 1. On a = 3 x i=1 i. Calculons l expession de en coodonnées sphéiques : comme f = f, il suffit de calcule la patie du tansfomé de qui ne contient que des déivées pa appot à celles en θ, ψ appliquées à f donneont zéo. On a x i f = f x i = x i x i f = xi x i x 1 = f 1 θ, ψ x = f θ, ψ x 3 = f 3 θ, ψ f f + x i f = 1 x i f 3 + x i f f = i=1 = f + f. x i 3 f + 1 x f i i=1. Soit f = f telle que + a f = dans 3 \{}. Posons g = f. On a alos g = f + f g = f + f. D apès la question pécédente, on a, en multipliant pa : f + f + a f = dans 3 \{}, f + f + a f =,

8 et donc g + a g =. La solution généale de cette équation dans 3 \{} est g = c 1 cos a + c sin a et donc la solution généale de + a f = dans 3 \{} est la fonction C f = c 1 cos a 3. Avec les notations de l énoncé, c 1 = l, donc cos a sin a f = l + c sin a + c. 9 L 1 loc 3. On va monte que dans D 3, + a f = Clδ. sin a La fonction c est une fonction C cos a de tandis que l n est pas définie en. On peut donc calcule + a sin a sin a au sens usuel. O, d apès la question pécédente, est solution dans 3 \{} de + a f = cas où c 1 = et comme c est une fonction C, on a + a sin a = dans entie. Calculons, dans D, la quantité + a cos a : Soit ϕ D, + a cos a, ϕ = En utilisant le fait que cos a + a cos a, ϕ cos a L 1 loc, on a cos a, + a ϕ = + a ϕd. cos a = lim + a ϕd = lim I. D apès la fomule de Geen, on a : cos a [ cos a I = + a ϕ ϕd + = ϕ cos a ] dσ, avec dσ dω où dω est la mesue de la sphèe unité. O, dans 3 \{}, + a cos a = cas où c = donc [ cos a ϕ I = ϕ cos a ] dσ. En oute, et Ainsi avec ϕ 3 i=1 I = cos a = x i cos a = ϕ x i sup ϕ = dω }{{} A A cos a M a sin a cos a 3 ϕ x i = M ca x i 1. i=1 + a sin a ϕdω } = {{ } B x =1 + cos a ϕdω } = {{ } C dω losque,

9 B a cos a sup C = cos a ϕ, θ, ψdω = D apès le théoème de Lebesgue, et donc ϕx dω losque, x =1 où ϕ, θ, ψ = ϕf 1 θ, ψ, f θ, ψ, f 3 θ, ψ. lim C = ϕ dω x =1 + a cos a, ϕ = dω δ, ϕ x =1 ϕ D + a f = 4πlδ. cos a En paticulie, la distibution est une solution élémentaie de l opéateu + a dans 4π 3.

10 Execice 7. Soient p, q, m et n des enties. Calcule [ T = x p δ q] [x m δ n] où δ i est la déivée i ième de la mesue de Diac su. Coection : On a vu execice 1 que On en déduit que 1. Si p > q ou m > n alos T =.. Supposons p q et m n. Alos où si p > q x p δ q = 1 p q! q p! δq p si p q. T = A p,q,m,n δ q p δ n m A p,q,m,n = 1q+n q!n! q p!n m!. D aute pat, si T E E étant l espace des distibutions à suppot compact et S D on a α β S T = α S β T δ S = S donc d q p d n m T = A p,q,m,n δ δ = A p,q,m,nδ q+n p m. dx dx

11 Execice 8. Monte qu il n est pas possible de défini le poduit de convolution de tois distibutions quelconques, au sens où ce poduit ne peut-ête associatif. Coection : Supposons que l on puisse défini le poduit de convolution de tois distibutions u, v et w de telle manièe que u v w = u v w. Posons On auait donc D aute pat ce qui est absude. u = 1, v = δ, w = H. u v = 1 δ = d d 1 δ = dx dx 1 = u v w = H =. v w = δ H = d d δ H = dx dx H = δ u v w = 1 δ = 1

12 Execice Calcule, dans D n, lim p p n π n p 3 1 x = lim P p x. p p. En déduie que toute distibution à suppot compact est limite, au sens des distibutions, d une suite de polynômes. Coection : 1. Soit ϕ D n. Il existe M > tel que supp ϕ {x : x M}. Posons p 3 I p = ϕx 1 pn x dx. π n p x M Faisons le changement de vaiables y = px ; alos dy = p n dx. D où I p = 1 π n y pm p 3 1 y y p 3 ϕ dy = 1 p π n Fixons y n. Pou p assez gand on a p 3 1 y p 3 = e p3 ln 1 y p 3 p 3 1 y pm 1 y y p 3 ϕ dy. p lim p 1 y pm 1 y p 3 p3 = e y 1 n 1 p3 y e p 3 y. D aute pat et 1 y p 3 ϕ p 3 y ϕ p ϕ y p Ce y L 1 n et donc, pa le théoème de Lebesgue ce qui signifie que dans D n, lim I p = 1 p π n p n lim p π n n e y dy ϕ = ϕ p 3 1 x = δ. p. Soit T E n alos T P p a un sens. De plus, c est une fonction C. D aute pat, α T P p = T α P p = si α > p 3 donc T P p est un polynôme. Montons que T P p convege ves T dans D n : En effet, si U D n ou E n et ϕ D n ou C n, on a T, ϕ = T ˇϕ avec ˇϕt = ϕ t T P p, ϕ = [T P p ˇϕ] = [P p T ˇϕ]

13 ca T P p C et ϕ D n. On en déduit que et T ˇ ˇϕ est un élément de [ n. D apès la pemièe question, on a T P p, ϕ = P p, T ˇ ˇϕ lim Pp, T ˇ ˇϕ = T ˇ ˇϕ = T ˇϕ p donc On en déduit que dans D n, lim T P p, ϕ = T ˇϕ = T, ϕ, p lim T P p = T. p ϕ DΩ.